二次函数最值计算
二次函数求最值的方法
二次函数求最值的方法一提及函数就会让很多人望而生畏，不过也有很多人热衷于探索函数的本质。
函数的概念并不难，尤其是曲线函数。
在曲线函数中，二次函数是一种重要和实际的分析方法。
这篇文章将为你普及，如何利用二次函数来求取最大值和最小值。
首先，我们必须明白函数解析式。
在数学中，函数被定义为：给定一组输入值，每个输入值都有一个对应的输出值，而这种输入和输出定义关系就称为函数。
我们有一个函数 f (x)，其中每个值 x应一个值 f (x)。
函数 f (x)阶，决定了函数的特征，其中，二次函数的解析式为：f(x)=ax2+bx+c 。
参数 a、b c为实数，并且 a≠0 。
通常情况下，求函数 f (x)最大值和最小值，只需要分析函数的解析式，就可以计算出最大值与最小值的值。
接下来，我们就来分析一下求二次函数最值的方法：二次函数最大值及最小值解法：（1）首先，求二次函数的极值点，即满足：f′(x)=0则 x= -b/2a（2）其次，求出在 x= -b/2a的函数值，即：f (-b/2a)= (a(-b/2a)2+b(-b/2a)+c）=-b2/4a+c（3）最后，比较 -b2/4a+c f (x)其它 x 上的值，若 -b2/4a+c 于其它 x 上函数值，则 x = -b/2a，函数 f (x)值-b2/4a+c 为最大值；若 -b2/4a+c于其它 x 上函数值，则其它 x 上函数值取最大值。
以上就是求解二次函数最值的方法，总结起来，我们需要做以下几件事：（1）求函数 f′(x)=0解；（2）求函数 f (-b/2a)值；（3）求最大值或最小值时，取最大或最小值。
在实际应用中，我们可以利用上述步骤求解一个二次函数的最值，该方法简单实用，也可以用来解决复杂函数的求解。
从上面可以看出，求解和研究函数可以帮助我们更好地理解数学，进而可以更好地运用它们去求解实际应用的问题。
二次函数求最值的方法正是这种应用的一种实例，不仅可以让我们更好地理解曲线函数，也可以让我们更好地应用它们来求解实际的问题。
解题秘诀二次函数最值的4种解法
解题秘诀二次函数最值的4种解法二次函数是高中数学中的一个重要知识点，掌握了解题的秘诀和方法，就可以更好地解决与二次函数相关的各种问题。
本文将介绍四种解法来求解二次函数的最值问题。
一、二次函数的最值根据导数解法要求解二次函数的最值，可以通过求导数的方法来解决。
具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2. 对函数进行求导，得到导函数：f'(x) = 2ax + b。
3.导函数表示了二次函数的斜率，要求函数的最值，就是要求导函数为零点时的x值。
4. 解方程2ax + b = 0，求得x = -b / 2a。
5.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
6.x和y的值就是二次函数的最值。
二、二次函数的最值根据顶点法解法顶点法也是求解二次函数的最值的一种方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.求出二次函数的顶点坐标，顶点的x值为-x/2a。
3.将求得的x值代入二次函数，计算得到对应的y值。
4.x和y的值就是二次函数的最值。
三、二次函数的最值根据平移法解法平移法是一种通过平移变换求解二次函数最值的方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数表示为顶点形式：f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值就是顶点的纵坐标k。
四、二次函数的最值根据因式分解解法因式分解是一种求解二次函数最值的常用方法，具体步骤如下：1. 将二次函数表示为一般式：f(x) = ax^2 + bx + c。
2.将二次函数进行因式分解：f(x)=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的两个零点。
3.根据函数的几何性质，二次函数的最值为x轴与二次函数的拐点处的纵坐标。
通过以上四种解法，我们可以灵活地解决二次函数的最值问题。
二次函数的最值问题
二次函数的最值问题一、引言在高中数学中，二次函数是一个很重要的概念，其中最值问题是一个很经典的问题。
二次函数的最值问题不仅在学习中产生了广泛应用，而且在日常生活中也与我们息息相关，如电商网站的销售、生产线的成本以及世界记录的突破等等。
在本文中我们将会深入探讨二次函数的最值问题，其解法及常见误区。
二、二次函数的最值问题二次函数的一般式为： $$y=ax^2+bx+c$$ 其中$a\ne0$。
其中$a$控制着二次函数的开口方向和大小，$b$控制了二次函数的对称轴位置和方向，$c$则控制了二次函数的纵坐标的位置。
在本文中，$a>0$表示二次函数开口向上，$a<0$则表示二次函数开口向下。
当我们研究二次函数的最值问题时，往往需要注意以下几点： 1、二次函数曲线的开口方向 2、二次函数曲线的平移变换 3、二次函数曲线的上下平移变换 4、二次函数曲线在坐标系内的位置三、解题思路1、求最值的位置在求二次函数最值前，我们需要知道函数的最值位置。
由于二次函数的对称轴是关于它的顶点，所以我们可以先求出对称轴的位置，然后求出它的最值。
对称轴的位置可以通过以下方式求得： $$x=-\frac b{2a}$$一旦对称轴的位置确定，可以通过以下两点来确定最值：当$a>0$时，二次函数最小值为对称轴上的函数值。
当$a<0$时，二次函数最大值为对称轴上的函数值，且此值为绝对值的最小值。
2、解决最值问题首先按照一般式将二次函数表示出来，并将其关于$x$进行配方： $$y=a(x+\frac b{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$$如果$a>0$，则二次函数最小值为对称轴的函数值，即： $$y_{min}=c-\frac{b^2}{4a}$$如果$a<0$，则二次函数最大值为对称轴的函数值的负值，即： $$y_{max}=-y_{min}=-(c-\frac{b^2}{4a})$$3、约束条件在实际问题中，我们往往需要根据约束条件来解决二次函数的最值问题。
二次函数最值
二次函数最值内容讲解： 二次函数的最值问题，包括三方面的内容： 自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．二次函数y=ax 2+bx+c=a （x+2b a ）2+244ac b a -．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x>-2b a 时，y 随x•增大而增大；当x=-2b a时，y 取最小值244ac b a -．当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而增大；当x>-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x=-2b a时，y 取最大值244ac b a-． 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值； （2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析例1 （2003年武汉选拔赛试题）若x-1=1223y z +-=，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）． （A ）3 （B ）5914（C ）92 （D ）6 分析：设x-1=1223y z +-==t ，则x 2+y 2+z 2可用只含t 的代数式表示，通过配方求最小值． 解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t 2+10t+6=14（t+514）2+5914，所以最小值是5914． 评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k 法是解决等比问题最常用的方法．例2 （1995年全国初中数学联赛试题）设x 为正实数，则函数y=x 2-x+1x 的最小值是________．分析：先将原函数配方，再求最值。
解：y=x 2-x+1x =（x-1）2+（x+1x ）-1 =（x-1）2+）2+1 要求y 的最小值，最好有（x-1）2=0）2=0，这时得到x=1． 于是，当x=1时，y=x 2-x+1x 取最小值1．评注：函数y=x 2-x+1x 含有1x，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、•最有效的方法仍然是配方法．例3（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x2+4│x│-1的最小值是________．分析：对x分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，•求二次函数最值问题．解：y=2（│x│+1）2-3=222(1)3,0,2(1)3,0.x xx x⎧+-≥⎪⎨--≤⎪⎩其图象如图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．答案：-1．评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值．例4设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2-23x-1│的最值．分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．•然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．【解】：如图，先作抛物线y=x2-23x-1，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│x2-23x-1│的图象，对称轴是直线x=3，方程x2-23x-1=0的两根是3±2．由此可知，0与3•位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为：f（3）=|（3）-23·3-1|=4，而最小值为f（0），f（3）中较小者∵f（0）=1，f（3）=63-8>1，∴最小值为1．评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），•转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．例5 设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值．分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．解：由△=（-4m）2-4×2×（2m2+3m-2）≥0得m≤23，x1+x2=2m，x1x2=22323m m+-，x12+x22=2（m-34）2+78=2（34-m）2+78，•∵m≤23，∴34-m≥34-23>0，从而当m=23时，x+x取得最小值，且最小值为2×（34-23）2+78=89．评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．例6 求函数y=（4-x）+229x+的最值．分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值．解：设u=229x+-x，则u>0，且y=4+u．于是（u+x）2=4（x2+9），即3x2-2u·x+36-u2=0．∵x∈R，∴上式的判别式△=（2u）2-4×3×（36-u2）≥0，即u2≥27，故u≥33．∴y=4-x+229x+的最小值为4+33（当x=3时取到）．评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．例7 （2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2，求（1）函数在-2<x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．分析：本题由于字母a的不确定性，因此需要分类讨论，并通过数形结合的方法来解．解：函数y=x2-x-2的图象如图．（1）当-2<a<12时，y min=y│x=a=a2-a-2；当a≥12时，y min=12|xy==-94．（2）当-2<a且a+2<12，即-2<a<-32时，y min=y│x=a+2=（a+2）2-（a+2）-2=a2+3a；当a<12≤a+2，即-32≤a<12时，y min=12|xy==-94．评注：将a相对于抛物线对称轴的位置进行分类讨论是解题关键，•而数形结合的方法可以直观地帮助求解．例8 （2004年全国初中数学联赛试题江西赛区加试题）函数y=x2-2（2k-1）x+3k2-2k+6的最小值为m，则当m达到最大时x=_______．分析：可通过配方法将原函数配成a（x+n）2+m的形式，再根据m的形式确定m的最大值．解：y=（x-2k+1）2-k2+2k+5，当x=2k-1时，y最小值是m=-k2+2k+5=-（k-1）2+6，所以当k=1时，m达到最大值．此时x=2k-1=1．评注：配方法是求取二次函数最值问题中最常用的基本方法，对于二次函数的最小值的最大值问题，可通过反复配方来确定．例9（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z 的最大值是_______．分析：由条件可构造以x 、y 为根的一元二次方程，再根据其有实数根求出的范围． 解：∵x+y=5-z ，xy=3-z （x+y ）=3-z （5-z ）=z 2-5z+3． ∴x 、y 是关于t 的一元二次方程t 2-（5-z ）t+z 2-5z+3=0的两实根． ∵△=（5-z ）2-4（z 2-5z+3）≥0，即 3z 2-10z-13≤0，（3z-13）（z+1）≤0． ∴z ≤133，当x=y=13时，z=133． 故z 的最大值为133． 评注：•利用一元二次方程根的判别式的值“非负”或“为负”来求解函数最值的方法称为判别式法． 例10 （2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax 2+bx+c （其中a 是正整数）的图象经过点A （-1，4）与点B （2，1），并且与x•轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为________． 分析：应用二次函数y=ax 2+bx+c 过已知两点可确定a 、b 、c 之间关系，并利用根的判别式求出b+c 最值．解：由于二次函数的图象过点A （-1，4），点B （2，1），所以4,1,421,32.a b c b a a b c c a -+==--⎧⎧⎨⎨++==-⎩⎩解得 因为二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以△=b 2-4ac>0，（-a-1）2-4a （3-2a ）>0，即（9a-1）（a-1）>0，由于a 是正整数，故a>1， 所以a ≥2，又因为b+c=-3a+2≤-4，且当a=2，b=-3，c=-1时，满足题意，故b+c•的最大值为-4． 评注：借助二次函数图象与x 轴的交点是所对应二次方程的根，•通过根的判别式可确定相关字母（或式）的取值范围，进而可确定其最值是解决这类问题常用方法．例11 （2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知a<0，b ≤0，c>0，•24b ac -，求b-4ac 的最小值．分析：由b 2-4ac 容易想到一元二次方程ax 2+bx+c=0根的判别式，且b 2-4ac>0，故可构造抛物线y=ax 2+bx+c 来解．解：令y=ax 2+bx+c ，由a<0，b ≤0，c>0，判别式△=b 2-4ac>0，•所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0），因为x 1x 2=c a<0，不妨设x 1<x 2，则x 1<0<x 2，对称轴x=-2b a≤0，于是│x 1│24b b ac -+-24b b ac --=c ， 所以244ac b a -≥24b b ac ---242b ac a-， 故b 2-4ac ≤4，当a=-1，b=0，c=1时，等号成立．所以b 2-4ac 的最小值为4。
二次函数求最值的三种方法
二次函数求最值的三种方法一、引言在学习高中数学时，我们会学到二次函数，并学习如何求出这个函数的最值。
这是一个非常重要的问题，因为在实际生活中，很多问题都可以用二次函数来描述，例如：投射物的运动轨迹、拱桥的设计等。
为了更好地理解和掌握这一知识点，本文将分析三种常见的方法来解决二次函数求最值的问题。
这些方法包括：1.利用二次函数的顶点公式求最值2.利用二次函数的导数公式求最值3.利用求根公式解二次方程求最值在下文中，我们将详细展开上述三种方法的整体流程并进行详细描述。
二、利用二次函数的顶点公式求最值二次函数的标准形式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
我们可以通过求出顶点来确定二次函数的最值。
我们知道，对于标准二次函数，其顶点坐标为(-b/2a，f(-b/2a))。
使用这一公式，我们可以简单地找到二次函数的最值。
接下来，我们将细致地介绍如何使用顶点公式求二次函数的最值。
1. 将二次函数转换为标准形式。
我们有一个二次函数y=2x²+4x-5，我们可以将其转换为y=2(x²+2x)-5。
2. 现在，我们可以通过分离平方项来找到二次项x²的系数a和一次项x的系数b。
在本例中，二次项系数a为2，一次项系数b为4。
3. 接下来，我们可以使用顶点公式来计算出顶点的坐标。
根据公式，顶点的横坐标为-b/2a，若b为正数，顶点为函数的最小值，反之为最大值。
在本例中，由于一次项系数为正数，因此我们将使用公式-b/2a来计算横坐标。
(a) 横坐标=-b/2a=(-4)/(2*2)=-1(b) 将横坐标代入原函数中，可得纵坐标f(-1)=2*(-1)²+4*(-1)-5=-7(c) 顶点坐标为(-1,-7)。
4. 因其二次项系数为正数，所以这是一个开口向上的抛物线，并且其最小值为-7，在顶点的位置。
答案为f(x)=-7。
三、利用二次函数的导数公式求最值另一种方法是使用二次函数的导数公式来确定最值。
二次函数最值公式
二次函数最值公式二次函数最大值和最小值的公式可以用以下两种方法进行推导：1. 完成平方形式二次函数可以写成以下形式：f(x) = ax^2 + bx + c我们要求它的最大值（或最小值），可以将它化为完全平方形式：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，h和k是待求的顶点坐标，具体求解方法如下：首先，将x的系数a提取出来：f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c然后，将括号内的两项平方相加减去平方项的一半，再加上这个差的平方，就得到完全平方：f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + cf(x) = a(x + b/2a)^2 - ab^2/4a^2 + cf(x) = a(x + b/2a)^2 + (4ac - b^2)/4a其中，顶点坐标为（-b/2a, (4ac - b^2)/4a），最大值为k = (4ac -b^2)/4a （当a > 0时），最小值为k = (4ac - b^2)/4a （当a < 0时）。
2. 利用导数另一种方法是利用导数求解。
因为最大值和最小值都在函数的极值点处取得，所以我们可以通过求函数的导数来找到它的极值点。
首先，求出f'(x)：f'(x) = 2ax + b然后，令f'(x) = 0，解出x的值：2ax + b = 0x = -b/2a这个x就是函数的极值点，同时也是顶点的横坐标。
将x代入原函数，就得到顶点的纵坐标：k = f(-b/2a) = a(-b/2a)^2 + b(-b/2a) + ck = (4ac - b^2)/4a按照前面的规律，当a > 0时，最大值为k，当a < 0时，最小值为k。
总结以上就是二次函数最大值和最小值的两种求解方法。
其中，通过平方完成形式的方法比较简单，但有时比较费时间。
而利用导数的方法更直观，但需要学习导数知识。
怎么求二次函数最大值和最小值
二次函数通常是指带有一元二次项的代数式，其一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a 不等于0。
该函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线。
下面是求二次函数最大值和最小值的方法：
当二次函数的系数a大于0时，函数的图像开口朝上，最小值在顶点处取得。
顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
因此，可以通过求解函数的一阶导数（也就是斜率函数）等于0的点，即解出二次函数的顶点，从而得到最小值。
当二次函数的系数a小于0时，函数的图像开口朝下，最大值在顶点处取得。
同样地，可以通过求解函数的一阶导数等于0的点，即解出二次函数的顶点，从而得到最大值。
需要注意的是，二次函数的最大值和最小值只有在函数的定义域范围内才有意义。
因此，在应用上述方法求解最大值和最小值时，需要先确定函数的定义域。
二次函数求最值专题总结
二次函数求最值专题总结二次函数求最值是数学中的一个重要内容，涉及到了二次函数的解析式以及二次函数图像的性质。
本文将就二次函数求最值的方法和技巧进行总结，并提供相关实例加深理解。
一、二次函数求最值的基本思路二次函数的解析式为f(x)=ax^2+bx+c。
在求最大值或最小值时，可以先通过求导数的方法找到函数的驻点（即导数等于0的点），然后通过驻点的求解和函数图像的性质来确定最值的位置。
二、二次函数求最值的步骤1.求导数：将二次函数f(x)=ax^2+bx+c对x求导，得到f'(x)=2ax+b。
2.求解驻点：令f'(x)=0，即求解方程2ax+b=0，解得x= -b/(2a)。
3.确定最值位置：根据二次函数的图像性质，当a>0时，x=-b /(2a)为二次函数的最小值点；当a<0时，x=-b/(2a)为二次函数的最大值点。
4.求最值：将得到的x值代入原函数f(x)中，即可得到最值。
三、实例分析以二次函数f(x)=x^2+2x+1为例，来演示二次函数求最值的过程。
1.求导数：f'(x)=2x+2。
2.求解驻点：令2x+2=0，解得x=-1。
3.确定最值位置：由于a=1>0，所以x=-1为二次函数的最小值点。
4.求最值：将x=-1代入原函数f(x)中，得到f(-1)=(-1)^2 +2*(-1)+1=0。
经过计算可知，二次函数f(x)=x^2+2x+1的最值为0，即当x=-1时，函数取得最小值。
通过本文的分析和实例演示，我们了解了二次函数求最值的基本思路和步骤。
其中关键的一步是求解驻点，需要通过导数的方法进行求导和方程的解，进而确定最值的位置。
在实际应用中，掌握二次函数求最值的方法可以帮助我们更好地理解和解决问题。
希望本文的总结能够对二次函数求最值的学习有所帮助，同时也希望读者能通过更多的实例练习和思考，进一步提升对二次函数求最值的理解和运用能力。
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二次函数
1 二次函数：
1. 抛物线y=(x-h)²+1,当自变量1≤x ≤3,y 最小为5 求h
解：y=(x-h)²+1≥1，当1≤X ≤3时，Y 最小=5，对称轴一定不在1到3范围内(要不然最小值为1),即X=1时Y=5或X=3时Y=5，代入解析式：(1-h)²+1=5或(3-h)²+1=5,h=1±2或h=3±2，∴h=-1或h =5.
2. 已知关于X 的二次函数y=(x-h)²+3,当1≤X ≤3时，函数有最小值2h,则h 的值为多少？
解： h ＜1时，x=1时y 有最小值y=（1-h ）²+3=h ²-2h+4=2h ，解得h=2，不符合要求，舍去。
h ＞3时，x=3时y 有最小值y=（3-h ）²+3=h ²-6h+12=2h ，解得h=6，（h=2不符合要求，舍去）。
1≤h ≤3时，x=h 时y 有最小值y=（h-h ）²+3=3=2h ，h=3/2。
综上，h=23，或h=6
3.以x 为变量的二次函数y =x ²- 2(b-2)x + b ² - 1的图像不经过第三象限，则实数b 的取值范围是
解：y=x ²-2(b-2)x+b ²-1=x ²-2(b-2)x+(b-2)²+b ²-1-(b-2)²
=[x-(b-2)]²+4b-5 对称轴x=b-2
令x=0，得：y=b ²-1
①函数图像不过第三象限，对称轴位于x 轴正半轴，b-2>0 函数图像在y 轴上的截距>0，b ²-1>0 b-2>0，解得b>2
b ²-1>0，b ²>1，b<-1或b>1
综上，得：b>2
②函数图像不过第三象限，对称轴位于x 轴负半轴，函数图像的顶点在x 轴上或x 轴上方，4b-5 ≧0，解得b ≧45。