大学数学练习题
大一高等数学练习题
大一高等数学练习题大一高等数学练习题大一高等数学是大学数学课程中的一门重要课程，对于培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力具有重要作用。
在学习过程中，练习题是不可或缺的一部分，通过练习题的解答，可以巩固知识，提高解题能力。
下面，我们来看一些典型的大一高等数学练习题。
1. 求极限lim(x→0) (sinx/x)这是一个经典的极限题目，通过使用泰勒级数展开，可以得到该极限的解答为1。
这个题目考察了泰勒级数的应用和对极限的理解。
2. 求导数y = x^2 + 2x + 1这是一个求导数的题目，通过对多项式函数的求导规则的应用，可以得到该函数的导数为2x+2。
这个题目考察了对求导规则的掌握和运用。
3. 求定积分∫(0 to π/2) sinx dx这是一个求定积分的题目，通过使用反三角函数的性质和积分的基本性质，可以得到该定积分的解答为1。
这个题目考察了对积分的理解和运用。
4. 求微分方程的解dy/dx + y = x这是一个求微分方程的题目，通过使用分离变量的方法和求解一阶线性微分方程的常数变易法，可以得到该微分方程的解为y = x - 1 + Ce^(-x)，其中C为常数。
这个题目考察了对微分方程解法的掌握和运用。
5. 求矩阵的特征值和特征向量A = [[1, 2], [3, 4]]这是一个求矩阵的特征值和特征向量的题目，通过计算矩阵的特征多项式，可以得到该矩阵的特征值为-0.3723和5.3723，对应的特征向量为[-0.8246, 1]和[0.5658, 1]。
这个题目考察了对矩阵特征值和特征向量的计算和理解。
通过以上几个典型的大一高等数学练习题，我们可以看到，大一高等数学的练习题涉及到了数学的各个方面，包括极限、导数、定积分、微分方程和矩阵等内容。
这些题目不仅要求掌握基本的数学知识，还需要运用数学方法和技巧进行解答。
通过解答这些练习题，可以提高学生的数学思维能力和解题能力，培养学生的数学建模能力。
大学数学：微积分练习题
大学数学：微积分练习题1. 概述本文档为大学数学微积分练题，旨在帮助学生巩固和加深对微积分概念和技巧的理解。
题目覆盖了微积分的各个方面，包括导数、定积分、微分方程等内容。
2. 练题1. 计算函数 $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ 在点 $x = 2$ 处的导数。
2. 求函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 3$ 在区间 $[-1, 2]$ 上的定积分。
3. 求函数 $y(x)$ 满足微分方程 $\frac{dy}{dx} = x^2 + 1$，并满足初始条件 $y(0) = 1$。
4. 计算曲线 $y = x^2 + 1$ 与直线 $y = -2x + 3$ 的交点坐标。
5. 设函数 $f(x) = \sqrt{x}$，计算曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴所围成的面积。
3. 解答1. 对函数 $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ 进行求导，得到 $f'(x) = 6x - 2$。
代入 $x = 2$，得到导数的值为 $f'(2) = 10$。
2. 使用定积分的性质，对函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 3$ 在区间 $[-1, 2]$ 上进行求积分，得到 $\int_{-1}^{2} f(x) dx =\frac{29}{4}$。
3. 对微分方程 $\frac{dy}{dx} = x^2 + 1$ 进行求解，可得 $y(x)= \frac{1}{3}x^3 + x + C$，其中 $C$ 为常数。
代入初始条件 $y(0) = 1$，解得 $C = \frac{2}{3}$，所以符合条件的解为 $y(x) =\frac{1}{3}x^3 + x + \frac{2}{3}$。
4. 将曲线 $y = x^2 + 1$ 和直线 $y = -2x + 3$ 相交，即求解方程$x^2 + 1 = -2x + 3$。
解方程可得 $x = 1$，代入方程得到对应的 $y= 2$，所以交点坐标为 $(1, 2)$。
大学数学练习题
大学数学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5 方程21y dxdy-=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程y x dxdy/-=的解是( ). 13已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________.14 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).15方程0652=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程534y x y dx dy =++⎪⎭⎫ ⎝⎛的阶数为_______________.17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组Y =)(x A dxdy的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是____________________． 20．方程04=+''y y 的基本解组是____________________．21．方程1d d +=y xy 满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________．22．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 在区间I 上线性无关的____________________条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．23．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们____________________共同零点．二 单项选择:1 方程y x dxdy+=-31满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面 2 方程1+=y dxdy ( ) 奇解.(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个 3 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ).(A) 1=y (B)x y = (C) x y sin = (D)xe y = 4 方程x e y y x==-''的一个特解*y 形如( ).(A)b ae x= (B)bx axe x+ (C)c bx ae x++ (D)c bx axe x++ 5 )(y f 连续可微是保证方程)(y f dxdy=解存在且唯一的( )条件． （A ）必要 （B ）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分 6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间7 方程323y dxdy=过点(0,0)有( ). (A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解8 初值问题 ⎝⎛=10'x ⎪⎪⎭⎫01x , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(x 在区间,∞<<∞-t 上的解是( ).(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t u t )( (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t e u t )( (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e t u t )( (D) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e e u t )( 9 方程0cos 2=++x y x dxdy是( ). (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程 （C)超越方程 (D)二阶线性方程10 方程032=+⎪⎭⎫⎝⎛dx dy dx dy 的通解是( ).(A)xeC C 321+ (B) xeC x C 321-+ (C)xeC C 321-+ (D)xeC 32-11 方程0442=++⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy dx dy 的一个基本解组是( ).(A) xex 2,- (B)xe2,1- (C)xex 22,- (D)x xxe e22,--12 若y1和y2是方程0)()(2=++⎪⎭⎫⎝⎛y x q dx dy x p dx dy 的两个解,则2211y e y e y += （e 1,e 2为任意常数） (A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解 13 方程21y dxdy-=过点(0,0)的解为x y sin =,此解存在( ). (A)),(+∞-∞ (B) ]0,(-∞ (C)),0[+∞ (D)]2,2[ππ- 14 方程xe y x y -=23'是( ) .(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程 15 微分方程01=-y x dx dy 的通解是( ). (A) x c y = (B) cx y = (C)c xy +=1(D)c x y +=16 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ). (A)1=y (B)x y = (C)x y sin = (D)xe y = 17 方程x e y y x+=-''的一个数解xy 形如( ).(A) b ae x+ (B)bx axe x+ (C)c bx ae x++ (D)c bx axe x++ 18 初值问题 ⎝⎛10'x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫11)0(;01x x 在区间∞<<∞-t 上的解是( ). (A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t u t )( (B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-t e u t t )( (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t t e t u )( (D) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--t t t e e u )( 19．方程yx y =d d 的奇解是（ ）．（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y20. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（ ）个解．（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三21．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2 22．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解23．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y=的任一解的存在区间（ ）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+ （C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定三 求下列方程的解:1 求下列方程的通解或通积分:(1)ny y dx dy 1= (2)x y x y dx dy +⎪⎭⎫⎝⎛-=21 (3)5xy y dx dy += (4)0)(222=-+dy y x xydx (5)3)'(2'y xy y += 2 求方程的解 01)4()5(=-x tx 3 解方程:x y dxdycos 2=并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解 4 求方程: x ytg x y dx dy +=5求方程: 26xy xydx dy -=的通解6 求0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解.7 求解方程: 022244=++x dt xd dt x d8 求方程: 014455=-dt xd t dtx d 的解 9 求方程25'5''x y y -=-的通解10 求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x dtdy ty dt dx sin 111求初值问题⎩⎨⎧=--=0)1('y yx y 11:≤+x R 1≤y 的解的存在区间并求出第二次近似解12 求方程的通解 (1)2y x y dx dy += (2) xy x y dx dy tan += (3) 0)4()3(2=---dy x y dx x y (三种方法) (4)04524=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy13 计算方程 x y y 2sin 34''=+的通解14计算方程 t x dtdxdt x d cos 442=+- 15 求下列常系数线性微分方程: xxe y y y 210'2''=+-16 试求⎢⎣⎡=02x ⎥⎦⎤21x 的基解矩阵17 试求矩阵⎢⎣⎡-=12A ⎥⎦⎤41的特征值和对应的特征向量. 18 试求矩阵⎢⎣⎡-=53A ⎥⎦⎤35的特征值和特征向量 19 解方程组 ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛13''21y y ⎪⎪⎭⎫22 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21y y 20．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x43d d 2d d ．四 名词解释1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程 4伯努利方程 5Lipschitz 条件 6 线性相关 五 证明题1在方程0)(')(''=++y x q y x p y 中已知p(x);q(x)在);(+∞-∞上连续 求证:该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切. 2 设x 1(t)、x 2(t)分别是非齐次性线方程)()()(1111t f x t G dt xd t G dt x d n n n n n =+++-- )()()(2111t f x t G dtxd t G dt x d n n n n n =+++-- 证明：x 1(t)+x 2(t)是方程)()()()(21111t f t f x t G dtxd t G dt x d n n n n n +=+++-- 的解。
高等数学(题)
《大学数学》第一章函数作业（练习一）一、填空题1．函数x x x f -+-=5)2ln(1)(的定义域是 。
2.函数392--=x x y 的定义域为 。
3．已知1)1(2+=-x e f x ，则)(x f 的定义域为4．函数1142-+-=x x y 的定义域是 .5．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f．二、单项选择题1. 若函数)(x f y =的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域是( ) .A . ),0(∞+B . ),1[∞+C . ]e ,1[D . ]1,0[2. 函数x y πsin ln =的值域是)(.A . ]1,1[-B . ]1,0[C . )0,(-∞D . ]0,(-∞3．设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -⋅是（ ）． A.单调减函数； B.有界函数；C.偶函数；D.周期函数4．函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f xx （ ） A.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。
5．若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ ） A.2x ； B. 22-x ； C.2)1(-x ； D. 12-x 。
6．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）．A ． xB ．x + 1C ．x + 2D ．x + 37． 下列函数中，（ ）不是基本初等函数．A ． xy )e1(= B ． 2ln x y = C ． xxy cos sin =D ． 35x y =8．设函数⎩⎨⎧>≤=0,00,cos )(x x x x f ，则)4(π-f =（）．A ．)4(π-f =)4(πf B ．)2()0(πf f = C ．)2()0(π-=f f D ．)4(πf =229. 若函数1)e (+=x f x ，则)(x f = ( ) .A . 1e +xB . 1+xC . 1ln +xD . )1ln(+x10. 下列函数中=y （ ）是偶函数.A . )(x fB . )(x fC . )(2x fD . )()(x f x f --三、解答题1．设⎩⎨⎧<<≤≤=e 1ln 10)(x x x xx f ，求：(1) )(x f 的定义域； (2) )0(f ，)1(f ，)2(f 。
2015-2016(1)-大学数学(B)-练习题
2015-2016(1)-大学数学(B)-练习题D17. =+++∞→1)1232(lim x x x x .18. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点=x 处连续，则=a .三、解答与证明题19. 求下列数列极限 （1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n（3）⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→nn n n n n n n 22221lim （4）n nn n n 10...21lim +++∞→20. 求下列函数极限 （1）15723lim2323+++-∞→x x x x x （2）134lim22++∞→x x x （3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x（4）11lim31--→x x x （5）28lim32--→x x x（6）)1311(lim 31xx x ---→ （7）)1(lim x x x -++∞→ （8）xxx x ln )1(lim 1-→ （9）xxx sin lnlim 0→（10）x xx 3sin 2sin lim 0→ （11）3sin tan lim xx x x -→ （12）xx x 1)51(lim -→（13）xx x sin 30)21(lim +→21. 若432lim 23=-+-→x a x x x ，求a 的值.22. 当 a 取何值时，函数)(x f 在0=x 处连续： （1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f .23. 证明（1）方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程xe x3=在)1,0(内至少有一个根.第二章 一、选择题1、设)(x f 在点x 可导，则)(x f 在点x处 ……………………………………（ ）．A. 连续但不可微；B.连续且可微；C.不连续；D.不可微2、设)(x f 可导，且12)1()1(lim 0-=--→x x f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 …………………………………………………（ ）．A.2B.1-C.21D.2-3、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则)(a f '= ………………（ ）．A.aB.0C.)(a ϕD.)(a a ϕ 4、若x 为)(x f 的极值点，则…………………………………………………………( )．A.0)(0='x f ； B.0)(0≠'x f ；C.)(0='x f 或不存在；D.)(0x f '不存在.5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ，则y ''= （ ）．A.22)1(ax a + B.2)1(ax a + C.22)1(ax a +-D.2)1(ax a +- 6、由方程3ln =-yxe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy （ ）． A.1-y y xe e B.yyxe e -1C.yye xe -1 D.yy e xe 1-7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→＝………………………………………（ ）．A.3；B.1；C.2；D.极限不存在．二、填空题 8. 设21x e y +=，则=dy .9、已知x x yn ln )2(=-，则)(n y ＝ .10、已知过曲线24x y -=上点P 的切线平行于直线xy =，则切点P 的坐标为 .11. 已知,2)1(='f 则=-+-→2)1()(lim 21x x f x f x . 12.xx f 11111)(++=的间断点是_________________________________． 13. 曲线2xe y -=的渐近线 ．14.设函数)(x f 在0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000=_____________． 15.设⎩⎨⎧≥+<=00)(x xa x e x f x，当a =_____时，)(x f 在x =0处可导．三、解答与证明题16.已知xx x y arcsin 12+-=，求23='x y ．17.设xe y xcos =，求y ''.18.求曲线21x y =在点（4，2）处的切线方程和法线方程．19. 讨论函数在指定点处的连续性和可导性： （1）0 0)1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f ，（2）tan 0 1sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f20. 求方程xye y x =-所确定的隐函数的导数dxdy ．21. 求极限（1）]1)1ln(1[lim 0x x x -+→ （2）xx xx x sin tan lim 2-→ （3）)111(lim 0--→x x e x（4）xx x +→0lim （5）)1(lim 2n nn n -+∞→ （6）2sin limx dt t xx ⎰→22. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(tt y t t x 所确定，求122=t dx y d ．23. 求函数xxe y -=的单调区间、极值.24. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点.25. 证明：当0>x 时， x x x x<+<+)1ln(1.第三章一、选择题1、已知)(x f 的一个原函数是xsin ，则=')(x f ………………………………（ ）。
大学函数练习题
大学函数练习题题目一：求函数的极值1. 给定函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4，求f(x)的极值点及对应的极值。
解析：为了求函数的极值，首先需要求解导数为零的点。
对函数f(x)求导可得f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
将f'(x)设置为0并解方程，可以得到x = -1和x = 3两个根。
接下来，我们可以通过计算f(-1)、f(3)和f(x)在这两个点的导数值，来判断这些点是否为极值点。
当x = -1时，f(-1) = 15，而f'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) - 12 = 0。
所以x = -1是一个极小值点。
当x = 3时，f(3) = 22，而f'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 0。
所以x = 3也是一个极小值点。
因此，f(x)的极小值分别为x = -1时的f(-1) = 15，和x = 3时的f(3) = 22。
题目二：求函数的渐近线2. 给定函数g(x) = (x^2 - 9) / (x - 3)，求g(x)的水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线。
解析：首先，我们需要判断函数g(x)是否有水平渐近线。
水平渐近线的存在取决于函数在无穷远处的行为。
当x趋向于正无穷大时，g(x)的表达式可以简化为g(x) = (x^2 - 9) / x。
根据极限的概念，当x趋向于正无穷大时，g(x)无穷接近于x，因此函数g(x)的水平渐近线是y = x。
接下来，我们需要判断函数g(x)是否有垂直渐近线。
垂直渐近线的存在取决于函数在某一点的极限是否为无穷大。
当x趋向于3时，g(x)的分母(x - 3)趋向于零，而分子(x^2 - 9) = (x - 3)(x + 3)不趋向于零。
因此，这个函数g(x)在x = 3处没有定义，也即在x = 3处有一个垂直渐近线。
最后，我们需要判断函数g(x)是否有斜渐近线。
斜渐近线的存在取决于函数在无穷远处的行为。
大学生口算练习题挑战高等数学
大学生口算练习题挑战高等数学在大学数学课程中，高等数学往往是一个让学生头疼的科目。
高等数学的概念复杂，定理繁多，需要深入理解和运用。
为了更好地掌握高等数学知识，提高口算能力，我们可以通过挑战口算练习题来锻炼自己。
第一题：计算下列积分1. ∫(x^2+2x+3)dx2. ∫e^xsin(x)dx3. ∫(1/(x^2+1))dx第二题：计算下列极限1. lim(x→0)(sinx/x)2. lim(n→∞)(1+1/2+1/3+...+1/n)3. lim(x→∞)(lnx/x^2)第三题：求下列函数的导数1. f(x) = ln(x^2)2. g(x) = √(2x+1)3. h(x) = e^(-2x)第四题：计算下列微分方程的通解1. dy/dx = 2x2. x^2dy/dx - xy = 13. (1+x^2)dy/dx + y = x第五题：计算下列级数的和1. ∑(n=1 to ∞)(1/2^n)2. ∑(n=1 to ∞)(n^2/2^n)3. ∑(n=1 to ∞)(-1)^n/n通过挑战以上口算练习题，我们能够提高自己的计算能力和对高等数学知识的理解。
同时，这些练习题也涵盖了高等数学中的常见概念、定理和技巧，有助于我们巩固所学内容。
在解答题目的过程中，我们要注意运用数学方法和技巧，如积分的换元法、分部积分法，极限的夹逼准则和洛必达法则，导数的链式法则和反函数求导法则，微分方程的变量分离和常系数线性微分方程的通解等。
同时，我们也要注意计算的准确性和方法的合理性。
除了挑战口算练习题，我们还可以参加数学竞赛、加入数学学术团队、阅读数学专业书籍来提高自己的数学水平。
数学是一门需要不断练习和思考的学科，只有通过不懈的努力，我们才能在高等数学这个挑战中不断进步。
通过口算练习题的挑战，我们能够夯实基础、提高计算能力，使我们更加熟悉高等数学的概念和原理，为以后的学习和研究奠定坚实的基础。
因此，让我们积极参与口算练习题的挑战，不断提高自己的数学能力，迎接高等数学的挑战。
大学数学作业
《大学数学》（专升本）学习中心：专业：学号：姓名：完成时间：第一章函数作业（练习一）一、填空题⒈设)0(1)1(2>++=x x x xf ，则f x ()= 。
2．函数)(x f 的定义域为]1,0[，则)(ln x f 的定义域是 。
3.设1cos )2(sin+=x x f ，则=)2(cos xf . 4．设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。
5．若⎩⎨⎧<≤+<<-=20102sin 2x x x x y ，则=)2(πy .二、单项选择题⒈下列各对函数中，（ ）是相同的。
A.x x g x x f ==)(,)(2； B.f x x g x x ()ln ,()ln ==22；C.f x x g x x ()ln ,()ln ==33； D.f x x x g x x (),()=-+=-2111⒉设函数f x ()的定义域为(,)-∞+∞，则函数f x f x ()()－-的图形关于（ ）对称。
A.y ＝x ；B.x 轴；C.y 轴；D.坐标原点 3．设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -⋅是（ ）． A.单调减函数； B.有界函数；C.偶函数；D.周期函数4．函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f xx （ ） A.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。
5．若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ ） A.2x ； B. 22-x ； C.2)1(-x ； D. 12-x 。
6．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ ）．A ． xB ．x + 1C ．x + 2D ．x + 3 7． 下列函数中，（ ）不是基本初等函数．A ． xy )e1(= B ． 2ln x y = C ． xxy cos sin = D ． 35x y = 8．设函数⎩⎨⎧>≤=0,00,cos )(x x x x f ，则)4(π-f =（）．A ．)4(π-f =)4(πf B ．)2()0(πf f =C ．)2()0(π-=f fD ．)4(πf =229. 下列各对函数中，（ ）中的两个函数相等. A . 2)1ln(xx x y -=与x x g )1ln(-= B . 2ln x y =与x g ln 2= C . x y 2sin 1-=与x g cos = D . )1(-=x x y 与)1(-=x x y10．下列各函数对中，（）中的两个函数相等．A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．11)(2--=x x x f ，x x g =)(+ 1C ．2ln x y =，x x g ln 2)(=D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g三、解答题 1．设⎩⎨⎧<<≤≤=e 1ln 10)(x x x xx f ，求：(1) )(x f 的定义域； (2) )0(f ，)1(f ，)2(f 。
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大学数学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5 方程21y dxdy-=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程y x dxdy/-=的解是( ). 13已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________.14⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y yx dxdy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程534y x y dx dy =++⎪⎭⎫ ⎝⎛的阶数为_______________.17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________. 18若P(X)是方程组Y =)(x A dxdy的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是____________________． 20．方程04=+''y y 的基本解组是____________________．21．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是____________________．22．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 在区间I 上线性无关的____________________条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．23．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们____________________共同零点．二 单项选择:1 方程y x dxdy+=-31满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面 2 方程1+=y dxdy ( ) 奇解.(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个 3 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ).(A) 1=y (B)x y = (C) x y sin = (D)xe y =4 方程x e y y x==-''的一个特解*y 形如( ).(A)b ae x= (B)bx axe x+ (C)c bx ae x++ (D)c bx axe x++5 )(y f 连续可微是保证方程)(y f dxdy=解存在且唯一的( )条件． （A ）必要 （B ）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分 6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间7 方程323y dxdy=过点(0,0)有( ). (A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解8 初值问题 ⎝⎛=10'x ⎪⎪⎭⎫01x , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(x 在区间,∞<<∞-t 上的解是( ).(A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t u t )( (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t e u t )( (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e t u t )( (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=e e u t )( 9 方程0cos 2=++x y x dxdy是( ). (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程 （C)超越方程 (D)二阶线性方程10 方程032=+⎪⎭⎫⎝⎛dx dy dx dy 的通解是( ). (A)xeC C 321+ (B) xeC x C 321-+ (C)xeC C 321-+ (D)xeC 32-11 方程0442=++⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy dx dy 的一个基本解组是( ).(A) xex 2,- (B)xe2,1- (C)xex 22,- (D)x xxe e22,--12 若y1和y2是方程0)()(2=++⎪⎭⎫⎝⎛y x q dx dy x p dx dy 的两个解,则2211y e y e y += （e 1,e 2为任意常数）(A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解 13 方程21y dxdy-=过点(0,0)的解为x y sin =,此解存在( ). (A)),(+∞-∞ (B) ]0,(-∞ (C)),0[+∞ (D)]2,2[ππ- 14 方程xe y x y -=23'是( ) .(A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程 15 微分方程01=-y xdx dy 的通解是( ). (A) xcy = (B) cx y = (C)c x y +=1 (D)c x y +=16 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ). (A)1=y (B)x y = (C)x y sin = (D)xe y =17 方程x e y y x+=-''的一个数解xy 形如( ).(A) b ae x+ (B)bx axe x+ (C)c bx ae x++ (D)c bx axe x++18 初值问题 ⎝⎛10'x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫11)0(;01x x 在区间∞<<∞-t 上的解是( ). (A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t u t )( (B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-t e u t t )( (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t t e t u )( (D) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--t t t e e u )(19．方程yxy =d d 的奇解是（ ）．（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y20. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（ ）个解．（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三 21．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2 22．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解23．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y=的任一解的存在区间（ ）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+ （C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定三 求下列方程的解:1 求下列方程的通解或通积分:(1)ny y dx dy 1= (2)x y x y dx dy +⎪⎭⎫⎝⎛-=21 (3)5xy y dx dy += (4)0)(222=-+dy y x xydx (5)3)'(2'y xy y += 2 求方程的解 01)4()5(=-x tx 3 解方程:x y dxdycos 2=并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解 4 求方程: x ytg x y dx dy +=5求方程: 26xy xydx dy -=的通解6 求0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解.7 求解方程: 022244=++x dtxd dt x d 8 求方程:014455=-dt x d t dt x d 的解9 求方程25'5''x y y -=-的通解10 求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x dtdy ty dt dx sin 111求初值问题⎩⎨⎧=--=0)1('y yx y 11:≤+x R 1≤y 的解的存在区间并求出第二次近似解12 求方程的通解 (1)2y x y dx dy += (2) xy x y dx dy tan += (3) 0)4()3(2=---dy x y dx x y (三种方法) (4)04524=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy 13 计算方程 x y y 2sin 34''=+的通解14计算方程 t x dtdxdt x d cos 442=+- 15 求下列常系数线性微分方程: xxe y y y 210'2''=+-16 试求⎢⎣⎡=02x⎥⎦⎤21x 的基解矩阵 17 试求矩阵⎢⎣⎡-=12A ⎥⎦⎤41的特征值和对应的特征向量.18 试求矩阵⎢⎣⎡-=53A ⎥⎦⎤35的特征值和特征向量 19 解方程组⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13''21y y ⎪⎪⎭⎫22 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21y y 20．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x43d d 2d d ．四 名词解释1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程 4伯努利方程 5Lipschitz 条件 6 线性相关五 证明题1在方程0)(')(''=++y x q y x p y 中已知p(x);q(x)在);(+∞-∞上连续 求证:该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切. 2 设x 1(t)、x 2(t)分别是非齐次性线方程)()()(1111t f x t G dt xd t G dt x d n n n nn =+++-- )()()(2111t f x t G dtxd t G dt x d n n n nn =+++-- 证明：x 1(t)+x 2(t)是方程)()()()(21111t f t f x t G dtxd t G dt x d n n n n n +=+++-- 的解。