一元二次方程的概念整理

一元二次方程的概念整理：
1. 一元二次方程的概念：
（1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。

（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），才能确定a 、b 、c 的值。

一元一次方程与一元二次方程的区别和联系
2. 一元二次方程的解法：
熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点。

一元二次方程的基本解法有四种：
（1）直接开平方法：
()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。

ax b c a c +=≠≥200()
（2）配方法： ()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次
项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。

1x px p x m n n 22
220+⎛⎝ ⎫⎭
⎪+=≥() （3）公式法：
用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。

关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式），
若，则代入求根公式。

a b c b ac b ac x b b ac a ∆=--≥=-±-22
244042
（4）因式分解法：
适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。

我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。

一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。

对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。

3. 一元二次方程根的判别式：
一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。

4. 一元二次方程的根与系数的关系：
()已知、是一元二次方程＋＋＝的两个根，那么，，，逆命题也成立。

x x ax bx c a x x b a x x c a
122121200≠+=-⋅=
一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用：
（1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。

（2）不解方程，求某些代数式的值。

（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。

（4）已知两数和与积，求这两个数。

（5）二次三项式的因式分解。

……
运用根与系数的关系，可以大大缩减了复杂的运算量，避免进行无理数的计算。

注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。

∆≥≠⎧⎨⎩00a
5. 二次三项式的因式分解：
在实数范围内分解二次三项式ax 2＋bx ＋c （a ≠0），可先用求根公式求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根x 1、x 2，然后写成ax 2＋bx ＋c ＝a （x －x 1）（x －x 2）。

当a ≠1时，分解时注意不要忘了a 。

()()例如：x x x 2555-=+- 6. 可化为一元二次方程的分式方程的解法：
解分式方程的常用方法是去分母，换元法转化为整式方程求解。

解分式方程时，一定要注意验根，验根后要写结论。

列一元二次方程解应用题
通过对实际问题的数量关系的探索，进一步体验方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型。

在解题过程中，注意几点：
（1）注意挖掘题目中隐含的等量关系；
（2）注意语言与代数表达式的互化；
（3）注意单位问题。

（4）注意检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义。

2. 一元二次方程的根的判别式。

∆>⇔0方程有两个不相等的实数根。

∆=⇔0方程有两个相等的实数根。

∆<⇔0方程无实数根。

注意：
（1）根的判别式是指∆=-b ac 24，而不是∆=-b ac 24；
（2）使用根的判别式之前一定要把方程变为一元二次方程的一般形式。

3. 一元二次方程根与系数的关系
如果x x 12，是一元二次方程ax bx c a 200++=()≠的两根，那么x x b
a 12+=-，
x x c
a 12·=。

注意应用根与系数的关系的前提条件：
（1）注意二次项系数a ≠0；
（2）是在有实数根的条件下，即∆≥0。