一元二次方程及根的定义
一元二次方程及求根公式
一元二次方程及求根公式二次方程是指含有二次项的方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
对于这类方程，我们可以利用求根公式来求解方程的根。
一、求根公式的推导对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以通过完成平方的方法将其转化为(x + p)^2 = q的形式，其中p和q是待求常数。
具体推导过程如下：1. 将二次项系数前的a提出来得到 a(x^2 + (b/a)x) = -c；2. 完成平方的方式是，将(x^2 + (b/a)x)的一半系数（即b/2a）提出来得到 [(x + (b/2a))^2 - (b/2a)^2] = -c；3. 将上式右边展开，变为 (x + (b/2a))^2 - (b^2/4a^2) = -c；4. 通过移项，可以将式子转化为 (x + (b/2a))^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2；5. 由此可得(x + (b/2a)) = ±√ [(b^2 - 4ac)/4a^2]；6. 化简后得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。
上述推导过程就是一元二次方程求根公式的推导过程，通过这个公式我们可以计算二次方程的根。
二、求解实根和虚根根据一元二次方程的求根公式，我们可以得知方程的根取决于判别式Δ = b^2 - 4ac 的值。
1. 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根。
即 x1 = (-b + √Δ)/2a 和x2 = (-b - √Δ)/2a。
2. 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根。
即 x1 = x2 = -b/2a。
3. 当Δ < 0 时，方程无实根，但有两个互为共轭的虚根。
此时令Δ = -D，则方程的根为 x1 = (-b + i√D)/2a 和 x2 = (-b - i√D)/2a，其中i为虚数单位。
三、实例演示下面通过一个实际的例子，来演示如何利用求根公式求解一元二次方程。
1.一元二次方程概念和根
x=1
2、若a b c 0, 则一元二次方程 ax bx c 0必有一解为 .
2
x=-1
3、若4a 2b c 0, 则一元二次方程
2 ax bx c 0必有一解为 x=.
2
4、根据下表的对应值, 试判断一元二次 方程ax bx c 0的一解的范围是 C
m为一切实数
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课堂练习
教材P4 练习1、2
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一元二次方程的解（根）
教学目标
1）理解方程的解的概念；
2）会用方程的解求待定系数。
知识回顾
1.什么是一元二次方程？ 整式方程变形后，只含有一个未知数，并 且未知数的次数是二次，这样的整式方程 叫一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式是怎样的？ a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
基础练习4：
方
2
程
一般形式
二次项 一次项 系 数 系 数
常数 项
3x =5x-1 3 3x2－5 5x＋1＝0
(x+2)(x 1)=6
3
－5
1
1x2 ＋1 x－ 8 ＝ 0
1
1
0 0
－8
4 －4
－7x2 ＋4＝0 2 2 ＋0 x＋4＝0 －7 即－ 7x － 7 4-7x =0 或7x2 － 4＝0 7
x=-7是方程的解
思考
你能否说出下列方程的解 根? 2 1) 3x 27 0 1.一元一次方程只有一个根 2 2) ( x 6) 0 2.一元二次方程有可能 有两个不相等的实数根； 2 3) x 36 0 有两个相等的实数根；
没有实数根。
一元二次方程的根的情况与一元一次方 程有什么不同吗?
一元二次方程的根和判别式
在求解过程中，要注意计算的准确性，避免误差的积累。
对于无理数和复数解，要理解其含义和表示方法。
求解一元二次方程的注意事项
深入学习一元二次方程的理论和应用，掌握各种解法和技巧。
加强数学基础知识和计算能力的训练，为更高层次的学习打下基础。
拓展学习其他类型的一元方程和不等式，提高解决问题的能力。
对未来学习的建议
复根的具体表达式为 $x_1 = -frac{b}{2a} + frac{sqrt{-Delta}}{2a}i$ 和 $x_2 = -frac{b}{2a} - frac{sqrt{-Delta}}{2a}i$，其中 $i$ 是虚数单位。
这种情况下，方程的解在复平面上表现为一对关于实轴对称的点，代表方程的一对共轭复根。
03
在几何问题中，经常需要求解一些最值问题，如点到直线的距离、两直线间的夹角等。通过构造一元二次方程并求解判别式，可以找到这些最值问题的解。
判别式在几何问题中的应用
在物理问题中，经常需要判断物体的运动状态（匀速、加速、减速等）。通过构造一元二次方程并求解判别式，可以确定物体的加速度和速度的变化情况。
无实根（虚根）
05
判别式在解决实际问题中的应用
判断直线与二次曲线的位置关系
01
通过判别式可以确定直线与二次曲线（如圆、椭圆、双曲线等）的交点个数，进而判断它们的位置关系（相切、相交、相离）。
判断二次曲线的形状
02
对于二次曲线的一般方程，通过计算判别式可以判断其形状（椭圆、双曲线、抛物线）。
求解几何最值问题
判断经济模型的稳定性
在经济学中，经常需要判断一些经济模型的稳定性。通过构造一元二次方程并求解判别式，可以确定经济模型的稳定性条件。
一元二次方程及根的定义
元二次方程及根的定义〔曲思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解 程，解方程求出另一个根即可解：将=-代入原方程，得''-解方程，得 」_ 1当'1 ■ -—时，原方程都可化为存-6^+8= 0解方程，得・二0 - 4 . 所以方程的另一个根为 4，-’•或-1.总结升华：以方程的根为载点•综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关 键是要抓住 根”的概念，并以此为突破口•举一反三:【变式i 】已知一元二次方程•「 m -:的一个根是：，求代数式思路点拨：抓住二为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题 解：因为住是方程…」二二--的一个根，所以-I 一 _-L_：u1 一 故 J ■一 J 二匚_、2004tS = — 1 + 曲2005所以-2004a -h r/十1“ 2005 -1 + 应■+ ---.已知关于一的方程■!■■- / -- 1的一个根为2，求另一个根及°的的值，再代回原方—2004c +2丽■-的值.总结升华：方程”即是一个等式”在 等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一 种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验类型二、一元二次方程的解法临2.用直接开平方法解下列方程: 2 2(1)3-27x =0 ； (2)4(1-x) -9=0.2解: (1)27x=3宀丄 $2(2) 4(1-x) =93.用配方法解下列方程：圖 (1) J 「r ； ；(2) / - -J.'. 工 L解: (1)由叮 r ,，得-■ :■，x a -H67 + 31 -32 十？=2004.1— x =-畠±3—4盘-2士屈-1±屈-罷土愿所以A' + ?：==-,故•一 -亠.(2) 由，亠一' :-i - - -得厂- ■:- -F +2屈+ (歼=(励+4(工1②2 = 6?所以'■ 1 :J故T 二・、：I _ / -C»4.用公式法解下列方程：解：⑴这里'-■L - •并且1屮一［丨:■ - 1(.-_ g ± J&2 _斗舲1 ± VsX = ------------------------ =：----- 所以二-,1+75 冈i—工1二所以 2 , ___________ .(2)将原方程变形为■'■'：-,.-；■2^ -r-4=0(3)将原方程展开并整理得?这里"-1并且•.“ I - - ■:- - ■:-_ £±_4舲 1 ±V33X = _______ : ________ 二_______所以L S -总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握, 我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材5. 用因式分解法解下列方程：曲（3）| 凶］.I | 上l・”rc\ j r■一T解：（1）将原方程变形为______________________________ ，提取公因式，得—，因为上「，所以- 1所以:=•或T — 1二-,⑵直接提取公因式，得肚-现更所以I 1 _|-或Z'i 厂、，（即T " A（3）直接用平方差公式因式分解得［（x 十&） + 2口］［（工 + 总）-加=0所以•或上■■ _ - 它对所以1|—右土 J 带_ 4游 2昉土应x=X 2=l -'(3) x(x-8)=0x i =0, X 2=8. (4) 配方，得2x +12x+32+4=0+4 (x+6)2=4 x+6=2 或 x+6=-2 X 1=-4， X 2=-8.点评：要根据方程的特点灵活选用方法解方程6. 若「 「L ' 一 7 ,求丄匚的值孟思路点拨：观察，把握关键：换元，即把 -I ::看成一个 整体 解：由'：'-|：,得L..!■ I - P〔/+,)-呼=16所以計-举一反三：【变式1】用适当方法解下列方程.(1)2(x+3) 2=X (X +3) ;(2)x 2-2 x+2=0 ;2 2⑶X -8x=0 ;(4)x +12x+32=0.2解: (1)2(x+3) =x(x+3)22(x+3) -x(x+3)=0 (x+3)[2(x+3)-x]=0 (x+3)(x+6)=0 x i =-3, X 2=-6.(2)x 2-2 J x+2=0这里a=1, b=-2宀,c=2b-4ac=(-2-4 >1 X2=12>0故亠L 「或门〕-（舍去）,所以-：'-■-.总结升华：把某一式子”看成一个整体”用换元的思想转化为方程求解，这种转化与化归的意识要建立起来.类型三、一元二次方程根的判别式的应用7. （武汉）一元二次方程4X2+3X-2=0的根的情况是（）訓A.有两个相等的实数根；B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根；D.没有实数根解析：因为△ =3 -4 >4*2）>0,所以该方程有两个不相等的实数根答案:B.丰宀卄*十孙一一轴2 *8. （重庆）右关于X的一兀一次方程x+x-3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）^3丄丄丄丄A.m >1-B.m v 1二C.m >-匸D.m v」-思路点拨：因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足-'「.2解：由题意，得△ =1-4 > >-3m）> 0,解得m > -I_.答案:C.举一反三：【变式1】当m为什么值时，关于X的方程，1；'1；；•有实根.思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分仁」、—• |和二 .,两种情形讨论.解：当厂「 4 - °即滋一土乙时，「仪+ 1） - 0，方程为一元一次方程，总有实根;2 __当;」4 / :即T工±2时，方程有根的条件是:△二2佃十1）『一4佃？一4）二尿+ 20工0—• ••当：且记工11时，方程有实根综上所述：当［时，方程有实根•【变式2】若关于x的一兀二次方程(a-2)x-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3 > 0的解集(用含a的式子表示).思路点拨：要求ax+3> 0的解集，就是求ax> -3的解集，那么就转化为要判定a的值. _2 2是正、负或0 •因为一兀二次方程(a-2)x -2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)-4(a-2)(a+1) v 0就可求出a的取值范围.解：•• •关于x的一兀二次方程(a-2)x -2ax+a+1=0没有实数根. (-2a^-4(a-2)(a+1)=4a2-4^+4a+8 v 0一满足-丁.■/ ax+3 > 0 即ax> -3.所求不等式的解集为•类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值____ 9.(河北)若x i, X2是一元二次方程2X〔3X+仁0的两个根，则x^+x^的值是()§,,!A.〜B.「C.二D.7思路点拨：本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入x i2+x；，求得其值•但一般不解方程，只要将所求代数式转化成含有X计X2和X1X2的代数式，再整体代入.解：由根与系数关系可得X i+X2=二,X i X2=t , X i2+X22=(x i+X2)2-2x i X2=(二)2-2 X =" 答案:A.总结升华：公式之间的恒等变换要熟练掌握•类型五、一元二次方程的应用临考点讲解：1. 构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键.2. 注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.10. （陕西）在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图•如果要使整个挂图的面积是 5400cm 2,设金色纸边的宽为 xcm ，那么x 满足的方程是（危解析：在矩形挂图的四周镶一条宽为 xcm 的金边，那么挂图的长为 （80+2x ）cm ，?宽为2（50+2x ）cm ，由题意，可得（80+2x ）（50+2x ）=5400，整理得 x +65x-350=0.答案:B.11. （海口）某水果批发商场经销一种高档水果， 如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少 20千克，现该商场要保证每天盈利 6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价 多少元庄解：设每千克水果应涨价 x 元，依题意，得（500-20x ）（10+x ）=6000 .2整理，得x -15x + 50=0 .解这个方程，x 1=5, X 2=10 . 要使顾客得到实惠，应取 x=5 . 答：每千克应涨价5元.总结升华：应抓住要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况.12. （深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图），打算一面利用长为 15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽.蹴-33^+130= 0 x 1 = 10.帀=〒:不合题意，舍去.答：花圃的长为13米，宽为10米.A.x +130x-1400=0C.X 2-130X -1400=0B.x +65x-350=0 D.x -64x-1350=0解:设与墙垂直的两边长都为::米，则另一边长13又•••当'1。
一元二次方程的定义和根
一元二次方程的定义和根一、一元二次方程的定义和根1、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。
其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。
对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0，只有当$a$≠0时才是一元二次方程。
反过来，如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程，则必须含着$a$≠0这个条件。
3、一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。
4、解一元二次方程（1）直接开平方法我们知道如果$x^2$=25，则$x$=$土\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
一般地，对于方程$x^2$=$p$，① 当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。
② 当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。
③ 当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。
（2）配方法通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 化二次项系数为1。
② 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。
④ 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
高中一元二次方程根与系数的关系
高中一元二次方程根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是由一个未知数的二次多项式所构成的方程。
一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知系数，a≠0，x是未知数。
在研究一元二次方程根与系数的关系时，我们可以通过求解方程的根来探讨这种关系。
一元二次方程的根可以分为以下几种情况：1. 无实根：当一元二次方程的判别式b²-4ac小于0时，方程无实根。
这意味着方程表示的抛物线与x轴没有交点，图像完全位于x 轴的上方或下方。
2. 有两个相等的实根：当一元二次方程的判别式b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实根。
这意味着方程表示的抛物线与x轴有且仅有一个交点，图像与x轴相切。
3. 有两个不等的实根：当一元二次方程的判别式b²-4ac大于0时，方程有两个不等的实根。
这意味着方程表示的抛物线与x轴有两个交点，图像在x轴上方或下方都有一段。
了解了一元二次方程根的分类情况后，我们可以进一步研究根与系数之间的关系。
下面以常见的三种情况进行讨论：1. 当判别式b²-4ac小于0时，方程无实根。
这意味着系数a、b、c的取值使得方程表示的抛物线位于x轴的上方或下方。
当我们改变系数a的值时，可以发现抛物线的开口方向发生改变，但无论怎样改变a的值，方程仍无实根。
2. 当判别式b²-4ac等于0时，方程有两个相等的实根。
这意味着系数a、b、c的取值使得方程表示的抛物线与x轴相切于一个点。
当我们改变系数b的值时，可以发现抛物线与x轴相切的点发生水平移动，但无论怎样改变b的值，方程仍有两个相等的实根。
3. 当判别式b²-4ac大于0时，方程有两个不等的实根。
这意味着系数a、b、c的取值使得方程表示的抛物线与x轴有两个交点。
当我们改变系数c的值时，可以发现抛物线与x轴的交点发生垂直移动，但无论怎样改变c的值，方程仍有两个不等的实根。
一元二次方程的判别式及跟与系数的关系
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系要点一、一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=−40时才有实数根．这里b ac 2−4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=−4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=−4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==−2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b −±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．【例1】（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ①x x 27−−1=0 ②()x x 29=43−1 ③x x 2+7+15=0④()mx m x 2−+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根． （2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2−4+=4++−−∵a b c ++>0，c a b −−<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．【例2】（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21−1+−=04有实根，则k 的取值范围为______． 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；【变式2-1】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式2-2】已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根，所以，解得， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即， ∴ m 的取值范围是且m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1．【例3】已知：关于x 的方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】.【变式3-1】关于x的一元二次方程()k x 21−2−−1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．≤k −1<2且k 1≠2， 由题意，得()()k k k k 4+1+41−2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1−2≠0⎩，解得≤k −1<2且k 1≠2；2(1)10m x x −++=54m ≤2(1)10m x x −++=214(1)450m m =−−=−+≥△54m ≤(1)0m −≠54m ≤(1)0m −≠2(1)04kkx k x +++=102k k ≠＞－且【变式3-2】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【变式3-2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k≠1． 故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【例4】当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+−43+4+4+20，得()()a b a 22+2+−1≤0．又因为()()a b a 22+2+−1≥0，所以()()a b a 22+2+−1=0，得a =1，b 1=−2．【变式4-1】已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a21−2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根， 所以a a 2−3+1=0．所以有a a a 2−2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21−2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13−2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．【变式4-2】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【例5】在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2−=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫−42−=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=−4，m 2=2．若m =−4，原方程化为x x 2−4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2， ∴△ABC 的周长为2+2+3=7． 若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==−1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根， 则m m 19+3+2−=02，则m 22=−5，原方程化为x x 22221−+=055，解得x 1=3，x 27=5， ∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375． 【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．要点二、一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=−，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=−，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=−，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212−++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=−40的条件下，我们有如下结论： （1）当ca<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a −0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba−<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a −>0，则此方程的两根均为正根；②若ba−<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．【例6】（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2−3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12−2⋅−2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12−；⑥x x 2212−；⑦x x 1211−．【解析】（1）−4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+−2⋅=3−2⨯1=7， ()()()x x x x x x 121212−2⋅−2=⋅−2++4=1−2⨯3+4=−1， ()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+−⋅=9−1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212−=+−4⋅=3−4⨯1=5，∴x x 12−=，∴()()(x x x x x x 22121212−=+−=3⨯=x x x x x x 21121211−−==．【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【例7】（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．（2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24−4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221−2−2的值等于54．【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2−3−4−3=21−120得：≤k 74． 由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=−2−3⎧⎪⎨⋅=−3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x xx x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3−2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意． 当x x 12=1时，k 2−3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或−2． （2）显然a ≠0由()△a a a 2=16−16+4≥0得a <0， 由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4， 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4−2−2=5−2+=9−2+=−24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215−2−2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾， 故不存在a ，使()()x x x x 12215−2⋅−2=4． 【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．【例8】（1）若m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，则m m n 2+2+−1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，则a ab a b 2−+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，∴m n +=−1，m m 2+−1=0，则原式()()m m m n 2=+−1++=−1=−1，（2）∵a 是方程x x 2+2−5=0的实数根，∴a a 2+2−5=0，∴a a 2=5−2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2−+3+=5−2−+3+=+−+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，∴a b +=−2，ab =−5，∴a ab a b 2−+3+=−2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=−2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7−−1+2016+7++1()()()()m n mn m n =−+1+1=−+++1=−7−2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．【例9】（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3−2+−1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．（2）已知二次方程342x x k 2−+−=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3−24−10⎪⎪2−3⎨<0⎪⎪−1⎪>0⎩-≥g ,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪−4−⨯−2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪−2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3． 【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子．【课后作业】1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22−1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________． A ．k 1≥4 B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2−=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．3．关于x 的方程()()m x m x 22−4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>−3．又≥≤m m 1−0⇒1， 故≤m 1−<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2−4=和m 2−4≠0，两种情形讨论：当m 2−4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2−4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1−4−4=8+20∆0，解得m 5≥−2．∴当m 5≥−2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥−2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2−+1+2−2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1−42−2=−30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2−3=0，k =3，此时方程为x x 2−4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2−5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是−2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =−1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2−40， ∴b ac 2−2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根， ∴αβ+=−3，αα2+3−7=0， ∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7−3=4，故答案为：4．11 8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+−5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+−=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=−2+2⎧⎪=−5⎪⎨+−=16⎪⎪∆=4+2−4−5≥0⎩，解得：m =−1或m =−15且m 9≥−4， ∴ m =−1．韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。
第五讲一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
第5讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±． 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=．②0∆=⇔方程有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程没有实数根．④⇔≥∆0方程有（两个）实数根典例分析知识点1：求根的判别式的值例1：（1）一元二次方程2x 2﹣4x+1=0的根的判别式的值是 （2）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m ﹣2）x+m ﹣2=0． （1）求根的判别式△的值（用含m 的代数式表示）． （2）当m=4时，求此一元二次方程根．知识点2：利用根的判别式不解方程判断根的情况 例2：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=知识点：利用根的判别式求待定字母系数的取值范围（1）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax﹣3+a=0有实数根，则a ．（2）关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）=0有两个实数根．求m的取值范围；（3）已知分式，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有个．知识点4：利用根的情况判断三角形形状例4：已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．知识点5：利用判别式求最值例5：阅读下列材料：求函数的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．知识点:6：一元二次方程的简单应用例6：（1）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．（2）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2？ （2）能否使所围矩形场地的面积为810m 2，为什么？（3）怎样围才能使围出的矩形场地面积最大？最大面积为多少？请通过计算说明．二、根与系数的关系 1、根与系数的关系如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(此公式的大前提：0∆≥)2、以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=3、根与系数的关系主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．典例分析知识点7：利用方程中各项系数求两根的和与积 例7：不解方程，求下列方程的两根和与积．（1）x 2﹣2x ﹣3=0； （2）3x 2+x ﹣1=0； （3）x 2+4x ﹣1=0．知识点8：已知方程的一个根，求另一个根例8：⑴若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为 ，c = ．（2）已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程131x x +=-解相同． ⑴求k 的值；⑵求方程220x kx +-=的另一个解．知识点9：已知方程，求关于方程的两根的代数式的值 例9：（1）已知方程2350x x +-=的两根为1x 、2x ，则2212x x += ．（2）已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为 ． （3）已知α、β是方程2520x x ++=βααβ的值．（４）如果a ，b 都是质数，且2130a a m -+=，2130b b m -+=，求b aa b+的值．知识点10：根据根与系数的关系确定方程参数的值 例10：（1）设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是＿＿＿＿．（2）已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值.（3）已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
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一元二次方程及根的定
义
Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
一元二次方程及根的定义
1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及
的值.
思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可.
解：将代入原方程，得
即
解方程，得
当时，原方程都可化为
解方程，得.
所以方程的另一个根为4，或-1.
总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口.
举一反三：
【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式
的值.
思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题.
解：因为是方程的一个根,
所以,
故,
,
所以.
.
总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验.
类型二、一元二次方程的解法
2.用直接开平方法解下列方程：
(1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0.
解：(1)27x2=3
.
(2)4(1-x)2=9
3.用配方法解下列方程：
(1)；(2).
解：(1)由，
得，
，
，
所以，
故.
(2)由，
得，
，
，
所以
故
4.用公式法解下列方程：
(1)；(2)；(3). 解：(1)这里
并且
所以，
所以，.
(2)将原方程变形为，
则
，
所以，
所以.
(3)将原方程展开并整理得，
这里，
并且，
所以.
所以.
总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材.
5.用因式分解法解下列方程：
(1)；(2)；
(3).
解：(1)将原方程变形为，
提取公因式，得，
因为，所以
所以或，
故
(2)直接提取公因式，得
所以或，(即
故.
(3)直接用平方差公式因式分解得
即
所以或
故.
举一反三：
【变式1】用适当方法解下列方程．
(1)2(x+3)2=x(x+3)；(2)x2-2x+2=0；
(3)x2-8x=0； (4)x2+12x+32=0.
解：(1)2(x+3)2=x(x+3)
2(x+3)2-x(x+3)=0
(x+3)[2(x+3)-x]=0
(x+3)(x+6)=0
x1=-3，x2=-6．
(2)x2-2x+2=0
这里a=1，b=-2，c=2
b2-4ac=(-2)2-4×1×2=12＞0
x==
x1=+，x2=-
(3)x(x-8)=0
x1=0，x2=8．
(4)配方，得
x2+12x+32+4=0+4
(x+6)2=4
x+6=2或x+6=-2
x1=-4，x2=-8．
点评:要根据方程的特点灵活选用方法解方程.
6.若，求的值.
思路点拨：观察，把握关键：换元，即把看成一个“整体”.解：由，
得，
，
，
所以，
故或(舍去)，
所以.
总结升华：把某一“式子”看成一个“整体”，用换元的思想转化为方程求解，这种转化与化归的意识要建立起来.
类型三、一元二次方程根的判别式的应用
7.(武汉)一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根;
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根;
D.没有实数根
解析:因为△=32-4×4×(-2)＞0，所以该方程有两个不相等的实数根.
答案:B.
8.(重庆)若关于x的一元二次方程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
＞＜＞-＜-
思路点拨：因为该方程有两个不相等的实数根，所以应满足.
解:由题意，得△=12-4×1×(-3m)＞0，
解得 m＞-.
答案:C.
举一反三：
【变式1】当m为什么值时，关于x的方程有实根.
思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分和两种情形讨论.
解：当即时，，方程为一元一次方程，总有实根；
当即时，方程有根的条件是：
，解得
∴当且时，方程有实根.
综上所述：当时，方程有实根.
【变式2】若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)．
思路点拨：要求ax+3＞0的解集，就是求ax＞-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)＜0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8＜0
∴满足
∵ax+3＞0即ax＞-3
∴所求不等式的解集为.
类型四、根据与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值
9.(河北)若x 1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是( )
A. B. C.
思路点拨:本题解法不唯一，可先解方程求出两根，然后代入x12+x22，求得其值.但一般不解方程，只要将所求代数式转化成含有x1+x2和x1x2的代数式，再整体代入.
解:由根与系数关系可得x1+x2=，x1·x2=，x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=()2-2×=.
答案:A.
总结升华:公式之间的恒等变换要熟练掌握.
类型五、一元二次方程的应用
考点讲解：
1．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体
问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．
2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要
对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．
10.(陕西)在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成
一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )
+130x-1400=0 +65x-350=0
=0 =0
解析:在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm的金边，那么挂图的长为(80+2x)cm，•宽为(50+2x)cm，由题意，可得(80+2x)(50+2x)=5400，整理得x2+65x-350=0.
答案:B.
11.(海口)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售
出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元
解：设每千克水果应涨价x元，依题意，得(500-20x)(10+x)=6000．
整理，得x2-15x＋50=0．解这个方程，x1=5，x2=10．
要使顾客得到实惠，应取x=5．
答：每千克应涨价5元．
总结升华：应抓住“要使顾客得到实惠”这句话来取舍根的情况．
12.(深圳南山区)课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积
为130平方米的花圃(如图)，打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．
解：设与墙垂直的两边长都为米，则另一边长为米，依题意得
又∵当时，
当时，
∴不合题意，舍去．∴. 答：花圃的长为13米，宽为10米．。