一元二次方程定义
什么是一元二次方程
什么是一元二次方程
1、一元二次方程是含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0（a/0）。
其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
2、一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。
一般情况下，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。
10.《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2210x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --= 【答案】C ；【解析】A ：不是整式方程，故本选项错误；B ：当a =0时，即ax 2+bx +c =0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C ：由原方程，得x 2+x-3=0，符一元二次方程的要求；故本选项正确；D ：方程3x 2-2xy -5y 2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C ．【总结升华】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．举一反三：【高清ID ：388528 关联的位置名称（播放点名称）：利用定义求字母的值】【变式】关于x 的方程22(28)(2)10a a x a x --++-=,当a 时为一元一次方程；当a 时为一元二次方程.【答案】a =4；a ≠4且a ≠-2.要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程−−−→降次一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．要点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．【典型例题】 类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x2-4x-1=0； (4) (1-)x2=(1+)x．【答案与解析】(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴ 123x =，21x =． (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0．∴ 11t =，212t =．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ． a ＞1C ． a ≤1D ．a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∴a ≥1．故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．【高清ID ：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程2220x x t -++=的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设2212s x x =+，求s 关于t 的函数关系式． 【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：122x x +=，122x x t =+，从而2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-，即2(1)s t t =-<-．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程222(1)x m x m =--的两实数根为1x ，2x ．（1）求m 的取值范围；（2）设12y x x =+，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为222(1)0x m x m +-+=．∵ 原方程有两个实数根．∴ 22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△，∴ 12m ≤． （2） 1222y x x m =+=-+，且12m ≤． 因为y 随m 的增大而减小，故当12m =时，取得最小值1． 要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm，由题意得4x2＝10×8×(1-80%)．解得x1＝2，x2＝-2．经检验，x1＝2符合题意，x2＝-2不符合题意舍去．∴ x＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm．【总结升华】设小正方形的边长为x cm，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在欲砌50m长的墙，砌成一个面积300m2的矩形花园，则BC的长为多少m?【答案】解：设AB=x米，则BC=（50﹣2x）米．根据题意可得，x （50﹣2x ）=300，解得：x 1=10，x 2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x 1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．答:BC 的长为20m ．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x 个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x 2-5x+6＝0．解得，x 1＝2，x 2＝3．∴ 当x ＝2时，2x ＝4；当x ＝3时，2x ＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x 个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．【巩固练习】一、选择题1.已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是（ ）A.1B.﹣1C.0D.无法确定2．若一元二次方程式ax （x ＋1）＋（x ＋1）（x ＋2）＋bx （x ＋2）＝2的两根为0．2，则|3a ＋4b |之值为何（ ）A ．2B ．5C ．7D ．83．（2015•濠江区一模）某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ）A ．2%B ． 5%C ． 10%D ． 20% 4．将代数式x 2+4x-1化成（x+p ）2+q 的形式（ ）A.（x-2）2+3B.（x+2）2-4C.（x+2）2-5D.（x+2）2+45．若关于x 的一元二次方程2210kx x ++=有实数根，则k 的取值范围是（ ）．A ．k ＜0B ．k ≤0C ．k ≠1且k ≠0D ．k ≤1且k ≠06．从一块正方形的铁片上剪掉2 cm 宽的长方形铁片，剩下的面积是48 cm 2，则原来铁片的面积是( ) A.64 cm 2 B.100 cm 2 C.121 cm 2 D.144 cm 27．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定8．如果关于x 的方程ax 2+x-1=0有实数根，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．且D ．且二、填空题9．已知关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m = ，另一个根是 ．10．（2014秋•青海校级期末）有一间长20m ，宽15m 的矩形会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的长、宽分别为 和 ．11．关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=有一个根为0，则a = .12．阅读材料：设一元二次方程似20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a +=-，12c x x a =，根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为________． 13．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是___________________.14．设x 1，x 2是一元二次方程x 2-3x-2＝0的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为________． 15．问题1：设a 、b 是方程x 2＋x －2012＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为 ；问题2：方程x 2－2x －1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则（x 1―1）（x 2―1）＝ ； 问题3：已知一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根为x 1、x 2且x 1x 2（x 1＋x 2）＝3，则m的值是 ；问题4：已知一元二次方程x 2-2x+m=0,若方程的两个实数根为X 1,X 2，且X 1+3X 2=3,则m 的值是 .16．某校2010年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2012年共捐款4.75万元，则该校捐款的平均年增长率是 .三、解答题17．某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.18. 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．19．（2015•十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m+3）x+m 2+2=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．20．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．2.【答案】B；【解析】先根据一元二次方程式ax（x＋1）＋（x＋1）（x＋2）＋bx（x＋2）＝2的根确定a．b 的关系式．然后根据a．b的关系式得出3a＋4b＝－5．用求绝对值的方法求出所需绝对值．3.【答案】D；【解析】设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）故选D．4.【答案】C；【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=（x+2）2-5，故选C．5.【答案】D；【解析】因为方程是一元二次方程，所以k≠0，又因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，即△＝4-4k≥0，于是有k≤1，从而k的取值范围是k≤1且k≠0．6．【答案】A；【解析】本题用间接设元法较简便，设原铁片的边长为xcm.由题意，得x(x－2)=48，解得x1=－6(舍去)，x2=8.∴x2=64，即正方形面积为64 cm2.7.【答案】A；【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=△.8．【答案】B ；【解析】注意原方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程.二、填空题9．【答案】1；﹣3．【解析】根据一元二次方程的解定义，将x =2代入关于x 的方程x 2+mx ﹣6=0，然后解关于m 的一元一次方程；再根据根与系数的关系x 1+x 2=﹣b a解出方程的另一个根． 10．【答案】 15m ，10m ；【解析】设留空宽度为xm ，则（20﹣2x ）（15﹣2x ）=20×15×，整理得：2x 2﹣35x+75=0，即（2x ﹣5）（x ﹣15）=0，解得x 1=15，x 2=2.5，∵20﹣2x ＞0，∴x＜10，∴x=2.5，∴20﹣2x=15，15﹣2x=10．∴地毯的长、宽分别为15m 和10m ．11．【答案】-1；【解析】把x=0代入方程得1a =±,因为10a -≠，所以1a =-.12．【答案】10；【解析】此例首先根据阅读部分，明确一元二次方程根与系数的关系， 然后由待求式2112x x x x +变形为2221212121212()2x x x x x x x x x x ++-=，再整体代换． 具体过程如下：由阅读材料知 x 1+x 2＝-6，x 1x 2＝3． 而222221121212121212()2(6)23103x x x x x x x x x x x x x x ++---⨯+====． 13．【答案】3和5或-3和-5；【解析】注意不要丢解.14．【答案】7；【解析】∵ x 1，x 2是一元二次方程2320x x --=的两实数根，∴ x 1+x 2＝3，x 1x 2＝-2∴ 222222112211221212123(2)()3(2)7x x x x x x x x x x x x x x ++=+++=++=+-= 15．【答案】2011；-2；m=-1或3；m=34. 【解析】由于a ，b 是方程x 2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=-1，并且a 2+a-2012=0，然后把a 2+2a+b 可以变为a 2+a+a+b ，把前面的值代入即可求出结果．16．【答案】50%；【解析】设该校捐款的平均年增长率是x ， 则， 整理，得，解得，答：该校捐款的平均年增长率是50%.三、解答题17.【答案与解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5－x），由题意,得［10x+(5－x)］［10(5－x)+x］=736.整理,得x2－5x+6=0,解得x1=2,x2=3.当x=2时5－x=3,符合题意，原两位数是23.当x=3时5－x=2符合题意，原两位数是32.18.【答案与解析】设这两个月的平均增长率是x．，则根据题意，得200(1－20%)(1+x)2＝193.6，即(1+x)2＝1.21，解这个方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．19.【答案与解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，∴m≥﹣；（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，∵x12+x22=31+|x1x2|，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，解得m=2，m=﹣14（舍去），∴m=2．20.【答案与解析】⑴若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100－80）＝2000（元）⑵ ①依题意得：（100－80－x）（100+10x）＝2160即x2－10x+16=0解得：x1=2,x2=8经检验：x1=2,x2=8都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.②依题意得：y=（100－80－x）（100+10x）∴y= －10x2+100x+2000=－10(x－5)2+2250画草图（略）观察图像可得：当2≤x≤8时，y≥2160∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．。
一元二次方程的定义和根
一元二次方程的定义和根一、一元二次方程的定义和根1、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。
其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。
对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0，只有当$a$≠0时才是一元二次方程。
反过来，如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程，则必须含着$a$≠0这个条件。
3、一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。
4、解一元二次方程（1）直接开平方法我们知道如果$x^2$=25，则$x$=$土\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
一般地，对于方程$x^2$=$p$，① 当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。
② 当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。
③ 当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。
（2）配方法通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 化二次项系数为1。
② 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。
④ 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
一元二次方程的顶点公式
一元二次方程的顶点公式一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数常数，并且a≠0。
求一元二次方程的解通常有三种方法：因式分解、配方法和根的公式。
在这里，我们将讨论一元二次方程的顶点公式。
顶点公式是一种计算并描述一元二次方程抛物线的顶点坐标的方法。
抛物线的顶点是其最高（或最低）点，具有最大或最小的y值。
这个顶点可以通过顶点公式计算得到。
首先，让我们回顾一下一元二次方程的标准形式ax²+bx+c=0。
根据顶点公式，一元二次方程的顶点的x坐标可以通过公式x=-b/2a来计算。
这意味着顶点的x坐标是直线x=-b/2a的横坐标，它是抛物线的对称轴。
为了计算顶点的y坐标，我们将x的值代入原方程中，即：y=ax²+bx+c。
用顶点的x坐标取代x，我们得到y=a(-b/2a)²+b(-b/2a)+c。
经过简化，我们可以得到一个新的公式y=c-(b²/4a)。
所以，顶点的坐标就是(-b/2a,c-(b²/4a))。
让我们通过一个具体的例子来演示一下使用顶点公式求解一元二次方程的顶点坐标。
假设我们要解方程x²-4x+3=0的顶点坐标。
首先，我们找出a、b和c分别是1、-4和3、然后，我们可以直接使用顶点公式x=-(-4)/2(1)来计算顶点的x坐标，得到x=2、接下来，我们将此值代入方程y=1(2)²-4(2)+3，得到y=1所以，这个方程的顶点坐标是(2,1)。
顶点公式是一种简单而有效的方法，可以帮助我们求解一元二次方程的顶点坐标。
通过顶点公式，我们可以确定抛物线的对称轴，并找出抛物线最高（或最低）点的坐标。
这使得我们更好地理解和分析一元二次方程的性质和特点。
21.2.1.1直接开平方解一元二次方程
1.直接开平方法的理论根据是 平方根的定义
2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或 （χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程。
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
x 3.如果x2 64，则 = 8 。
(1). χ2=4
(2). χ2=0 (3). χ2+1=0
对于方程(1),可以这样想:
∵ χ2=4
根据平方根的定义可知:χ是4的( 平方根 ).
∴ χ= 4
即: χ=±2 这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ 的一元二次方程的两个根。
∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
21.2.1 直接开平方法 解一元二次方程
回顾
1、一元二次方程定义：
等号两边都是整式，只含 有一个未知数（一元），并且未 知数的最高次数是2 （二次）的 方程，叫做一元二次方程。
a x 1.如果 x2 a(a 0) ，则 就叫做 的 平方根 。
2.如果 x2 a(a 0) ， 则x = a 。
方程无实数根.
利用平方根的定义直接开平方求一元二
次方程的解的方法叫直接开平方法。
自主学习
第1,2题
对照以上方法，你认为怎样解方程（χ+1）2=4
解：直接开平方，得 x+1=±2
∴ χ1+1=2，χ2+1=－2 ∴ χ1+1=2，χ2+1=－2 ∴ χ1=1，χ2=－3
思考：
如何解以下方程
（1）χ2+6x+9=4 （2） 3（2－χ）2－27=0
如果我们把χ2=4， χ2=0， χ2+1=0变形 为χ2=p呢？
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式:ax²+bx+c=0(a,b，c为常数，x为未知数，且a≠0）.顶点式: y=a（x—h）²+k（a≠0，a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）(a≠0）［有交点A（x₁，0)和B（x₂，0)的抛物线，即b²-4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x—m）²=n(n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4。
等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6。
左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。
化方程为一般式：ax²+bx+c=0 (a≠0）2。
确定判别式，计算Δ(=b²—4ac)；3。
若Δ〉0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法:因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0;2. 将方程左边分解为两个一次式的积;3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0）.(2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时,可设解析式为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0)。
一元二次方程定义及其解法(配方法)
一元二次方程定义及其解法(配方法) 一元二次方程的定义及其解法（配方法）一、目标导航1.掌握一元二次方程的定义及a、b、c的含义；2.掌握配方法解一元二次方程的方法。
二、教学重难点重点：1.掌握一元二次方程的定义及a、b、c的含义；2.掌握配方法解一元二次方程的方法。
难点：配方法解一元二次方程。
三、走进教材知识点一：一元二次方程的定义1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。
举例：x^2+2x-3=0.3.一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。
自主练：下列方程中，是一元二次方程的有。
（填序号）①x=5；②x+y-3=0；③3x^2+2x-5x-3=0；④x(x+5)=x-2x^2；⑤2x^2-5x+8=0；⑥4x^2-2y^2=0.知识点二：配方法解一元二次方程1.解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。
2.配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成(x+n)^2=p（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。
3.配方法具体操作：1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举例：解方程x^2+2x-3=0.2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配方。
举例：解方程2x^2+2x-3=0.4.(x+n)^2=p（p≥0）的解法：对于方程(x+n)^2=p（p≥0），它的左边是一个完全平方式，右边是非负数，利用平方根的定义，可以将这个方程进行降次，降为两个一元一次方程，即x+n=√p和x+n=-√p，解两个一元一次方程即可。
一元二次方程的概念和解法
一元二次方程的概念和解法一．一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．判断是一元二次方程的标准：①整式方程 ②一元方程 ③二次方程二．一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．题模一：概念例1.1.1下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2210x x += B ．20ax bx c ++= C ．223253x x x --= D ．()()121x x -+=例1.1.2方程(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______例1.1.3若()22230m m x x --+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________例1.1.4已知关于x 的方程：2(2)(1)60m mm x m x --+-+=是一元二次方程，试求m的值_____．例1.1.5若方程()211m x x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__________．例1.1.6方程()13242+=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______题模二：解例1.2.1关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为_________________．例 1.2.2已知方程()()2230x m x n +-++=的两根分别是2-、3-，则=-n m __________。
例1.2.3已知1x =是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，则222m mn n ++的值为_______．随练1.1关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ，当m __________时是一元一次方程；当m __________时是一元二次方程随练1.2若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________随练 1.3已知方程()()2230x m x n +-++=的两根分别是2-、3-，则m n -=__________随练1.4若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ） A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012一．直接开平方法若()20x a a =≥，则x 叫做a 的平方根，表示为x =这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 二．直接开平方法的基本类型1．2(0)x a a =≥解为：x =2．2()(0)x a b b +=≥解为：x a += 3．2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += 4．22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+题模一：直接开平方法例2.1.1方程（x ﹣1）2=4的根是__． 例2.1.2方程（x+2）2﹣9=0的解为：__例2.1.3一元二次方程4（x ﹣1）2﹣9=0的解是 ． 例2.1.4求x 的值：21(51)303x --=随练2.1解下列方程：（1）2280x -= （2）225160x -= （3）()2190x --=随练2.2解关于x 的方程：2269(52)x x x -+=-随练2.3若方程()224x a -=-有实数根，则a 的取值范围是________.随练2.4解关于x 的方程：22(31)85x +=作业1若2|1|0b a -+=，则下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．250ax x b +-=B ．()()221350b x a x -++-=C ．()()21170a x b x -+--=D ．()2110b x ax ---=作业2已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．作业3若n （n ≠0）是关于x 方程x 2+mx+2n=0的根，则n+m+4的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-2作业4解关于x21)x -=作业5用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）29160x -= （2）()25160x +-= （3）()()22531x x -=+ （4）()()22425931x x -=-一．配方法配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法．二．配方法的一般步骤：运用配方法解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程的一般步骤是： 1．二次项系数化1； 2．常数项右移；3．配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）； 4．化成2()x m n +=的形式；5．若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解．22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒+-+=⇒222224()()2424b b b b aca x c x a a a a-⇒+=-⇒+=．题模一：配方法例1.1.1用配方法解方程：2640x x --=例1.1.2用配方法解下列方程： （1）22810x x +-= （2）2420x x ++= （3）211063x x +-= （4）231y +=例1.1.3已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 为实数，求y x 的值例1.1.4选用适当的方法，解下列方程： （1）（x ﹣1）2=3 （2）2x 2﹣5x+3=0．题模二：最值问题例1.2.1试用配方法说明223x x -+的值恒大于0例1.2.2已知x 、y 为实数，求代数式22247x y x y ++-+的最小值随练1.1若把代数式257x x ++化为()2x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则k m -=_________．随练1.2已知a ，b ，c 均为实数，且4a b +=，2210c ab -=-，求ab 的值．随练1.3用配方法说明21074x x -+-的值恒小于0 随练1.4已知x ，y 为实数，求代数式2254824x y xy x +-++的最小值．一．公式法公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=根的判别式24b ac ∆=-，12,x x 是方程的两根，若240b ac ∆=-≥，则1,2x =．二．公式法解一元二次方程的一般步骤1．把方程化为一般形式； 2．确定a 、b 、c 的值； 3．计算24b ac -的值；4．若240b ac -≥，则代入公式求方程的根； 5．若240b ac -<，则方程无解．三．判别式与根的关系1．0∆>时，原方程有两个不相等的实数解； 2．0∆=时，原方程有两个相等的实数解； 3．0∆<时，原方程没有实数解．题模一：公式法例2.1.1解方程：x 2+4x ﹣1=0．例2.1.2解方程1(61)432(2)2x x x x ++-=+ 例2.1.3用公式法解关于x 的一元二次方程()()212130m x m x m -+-+-=．例2.1.4解方程：320x x x -+=题模二：判别式与根的关系例2.2.1下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ） A ．x 2+1=0 B ．x 2﹣3x+1=0 C ．x 2﹣2x+1=0 D ．x 2﹣x+1=0例2.2.2已知关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1m <- B ．1m > C ．1m <且0m ≠ D ．1m >-且0m ≠例2.2.3关于x 的方程（a-6）x 2-8x+6=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9随练2.1用公式法解一元二次方程22310x x --=．随练2.2解方程(5)(7)1x x --= 随练2.3解关于x 的方程：20x px q ++=．随练2.4解关于x 的方程210x x --=．随练2.5下列一元二次方程中无实数解的方程是（ ） A ．x 2+2x+1=0 B ．x 2+1=0 C ．x 2=2x-1 D ．x 2-4x-5=0随练2.6若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）2210kx x --=A ．B ．C ．且D ．且随练2.7已知关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+1=0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥-54且m ≠1 B ．m ≤54且m ≠1 C ．m ≥54 D ．m ≤-54且m ≠0一．因式分解法因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab =，则0a =或0b =．题模一：因式分解法例3.1.1用因式分解法解方程：()()23430x x x -+-=例3.1.2用因式分解法解方程：23440x x --=．1k >-1k <1k >-0k ≠1k <0k≠例3.1.3用因式分解法解方程：()()22921610x x --+=．例3.1.4用因式分解法解方程：222320x mx m mn n -+--=，（m 、n 为常数）随练3.1用因式分解法解方程：()22136x x-=-．随练3.2用因式分解法解方程：()22510531x x x -+=-随练3.3用因式分解法解方程：26350x x --=．随练 3.4用因式分解法解关于x 的一元二次方程()()221631720mx m x ---+=（21m ≠）．。
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一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：⑴整式方程．⑵方程中只含有一个未知数．⑶化简后方程中未知数的最高次数是2⑷二次项的系数不为0（2016～2017北京海淀区中学期中）用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是A ．()222x -=B ．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -=（2016～2017北京海淀区中学期中）一元二次方程23610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A ．3，6，1B ．3，6，1-C ．3，6-，1D ．3，6-，1-（2016～2017北京海淀区科迪实验中学期中）一元二次方程2320x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A ．3，1-，2-B ．3，1，2-C ．3，1-，2D ．3，1，2（2016～2017北京海淀区科迪实验中学期中）用配方法解方程2620x x ++=，配方正确的是A ．()239x +=B ．()239x -=C ．()236x +=D ．()237x +=（2016～2017北京海淀区科迪实验中学期中）已知2是关于x 的方程230x ax a +-=的根，则a 的值为A ．4-B ．4C ．2D ．45 （2016～2017北京海淀区科迪实验中学期中）方程02=-x x 的解为．（2016～2017北京海淀区科迪实验中学期中）若关于x 的方程220x x k --=有两个相等的实数根，则k 的值是．（2016～2017北京海淀区科迪实验中学期中）解方程：246x x +=．（2016～2017北京海淀区中学期中）解方程：2430x x -+=．（2016～2017北京海淀区科迪实验中学期中）已知：2230m m +-=．求证：关于x 的方程2220x mx m --=有两个不相等的实数根．（2016～2017北京海淀区中学期中）已知m 是方程2310x x -+=的一个根，求()()()2322m m m -++-的值．（2016～2017北京海淀区中学期中）关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根12,x x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得120x x =成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．（2016—2017北京八中百万庄校区期中）请你写出一个一元二次方程，满足条件：○1二次项系数是1；○2方程有两个相等的实数根. 此方程可以是（2016-2017北京市第三十五中学期中） 解方程：23620x x --=（2017—2018学年首师附第一学期10月练习）解关于x 的一元二次方程： 2450x x --=．（2016-2017北京市第三十五中学期中）已知关于x 的方程04332=++m x x 有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.（2016-2017北京市人大附中期中） 关于x 的一元二次方程1322=-+x kx 的一个根是1，则k 的值为（ )A.1 B 2 C3 D 无法确定（2016-2017北京市人大附中期中）解一元二次方程 104)5(-=-x x x（2016-2017北京市人大附中期中）已知a 是一元二次方程0422=--x x 的一个根，求9)6()1(2=-++a a a 的值（2016-2017北京市人大附中期中）已知关于x 的一元二次方程034)2(2=+--x x k 有两个不相等的解（1）求k 的取值范围（2）若k 为最大的整数，求方程和根（2017届北京一六一中学第一学期十一月月考）已知关于x 的方程mx 2+(3m +1)x +3=0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值；（2017届北京一六一中学期中）试判断方程0)2)(3(2=---p x x 的根的情况 A 无论p 取何值，原方程总有两个相等的实根B 无论p 取何值，原方程没有实根C 无论p 取何值，原方程总有两个不相等的实根D 无法判断（2016～2017北京海淀区中学期中）古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家——“代数学之父”阿尔·花拉子米．在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”．以21039x x +=为例，花拉子米的几何解法如下：如图，在边长为x 的正方形的两个相邻边上作边长分别为x 和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形．通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为 ()2________39x +=+，从而得到此方程的正根是________．（2017—2018学年首师附第一学期10月练习）若关于x 的方程20x mx m -+=有两个相等实根，则代数式2281m m -+的值为__________．55 5x x x x5（2017—2018学年首师附第一学期10月练习）已知关于x 的方程221(1)04x a -+=有实根．（1）求a 的值．（2）若关于x 的方程2(1)0(0)mx m x a m +--=≠的所有根均为整数，求整数m 的值． （2017—2018学年首师附第一学期练习）一元二次方程2320x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A ．3，1-，2-B ．3，1，2-C ．3，1-，2D ．3，1，2 （2017—2018学年首师附第一学期练习）用配方法解方程2620x x ++=，配方正确的是A ．()239x +=B ．()239x -=C ．()236x +=D ．()237x +=（2017—2018学年首师附第一学期练习）．已知2是关于x 的方程230x ax a +-=的根，则a 的值为A ．4-B ．4C ．2D ．45 （2017—2018学年首师附第一学期练习）方程02=-x x 的解为．（2017—2018学年首师附第一学期练习）若关于x 的方程220x x k --=有两个相等的实数根，则k 的值是．（2017—2018学年首师附第一学期练习）解方程：246x x +=．（2017—2018学年首师附第一学期练习）已知：2230m m +-=．求证：关于x 的方程2220x mx m --=有两个不相等的实数根．（2017—2018i 学年一六六中学第一学期练习）若关于的方程有一个根为，则的值为（ ）．A. B.C. D.（2017—2018i 学年一六六中学第一学期练习）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．（2017—2018i 学年一六六中学第一学期练习） 选择适当的方法解下列方程：．（2017—2018学年西城区教院附中）一元二次方程x 2﹣2x ﹣5=0根的判别式的值是（ ）A. 24B. 16C. ﹣16D. ﹣24（2017—2018学年西城区教院附中）一元二次方程x 2﹣2x ﹣5=0根的判别式的值是（ ）A. 24B. 16C. ﹣16D. ﹣24（2017—2018学年北京五十六中）解方程：x 2﹣6x+5=0．（2017—2018学年北京五十六中）已知关于的一元二次方程．（）求证：无论取何实数时，原方程总有两个实数根．（）若原方程的两个实数根一个大于，另一个小于，求的取值范围．（2016-2017学年北京161中九上）已知关于x 的方程mx 2+（3m+1）x+3=0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值；（3）在（2）的条件下，将关于x 的二次函数y=mx 2+（3m+1）x+3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．（2016-2017学年石景山中学）已知关于x 的方程2(21)100mx m x m m +-+-=≠（）.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值.（2016-2017学年顺义中学）关于x 的一元二次方程()2211n x x n +++=的一个根是0，求n 的值．若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个相等的实数根，那么k 的取值为（ ）A ．1>kB ．1<kC ．1=kD ．1<k 且0≠kB ．（2016-2017学年通州中学）如图所示，在一幅长cm 80，宽cm 50的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．如果要使整幅挂图的面积是2cm 5400，设金色纸边的宽为cm x ，那么x 满足的方程是（）A ．014001302=-+x xB ．0350652=-+x xC ．014001302=--x xD ．0350652=--x x（2016-2017学年通州中学）如果a 是一元二次方程0332=--x x 的一个解，那么代数式8622--a a 的值为．（2016-2017学年通州中学）解下列一元二次方程：（1）()212=+x （2）542+=x x （2016-2017学年通州中学）已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．（2016-2017学年通州中学）如果关于x 的方程2320x x m -++=有一个根为0，那么m 的值等于. （2016-2017学年通州中学）解方程：2610x x --=.（2015-2016学年西城中学）关于x 的一元二次方程022=+-k x x 有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ）．A ．1k ≤B ．1>kC ．1=kD ．1k ≥（2015-2016学年西城中学）关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＝0有一个根为2，则m 的值为将一元二次方程0142=++x x 化成2()x a b +=的形式，其中a ，b 是常数，则a ＋b =． （2015-2016学年西城中学）解方程：（1）2650x x -+=； （2）22310x x --=．解： 解：（2015-2016学年西城中学）已知：关于x 的一元二次方程23(1)230(3)mx m x m m --+>-=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且12x x <．①求方程的两个实数根1x ，2x （用含m 的代数式表示）；②若1284mx x <-，直接写出m 的取值范围．（1）证明：（2015-2016学年延庆中学）方程2460x x --=的根的情况是A ．有两个相等实数根B ．有两个不相等实数根C ．没有实数根D ．无法判断（2015-2016学年延庆中学）关于x 的一元二次方程ax 2+bx －2016=0有一个根为x = 1，写出一组满足条件的实数a ，b 的值：a ＝，b ＝．（2015-2016学年延庆中学）解方程：2250x x +-=．（2015-2016学年延庆中学）若m 是方程210x x +-=的一个根，求代数式2(1)(1)(1)m m m +++-的值．（2015-2016学年延庆中学）若关于x 的一元二次方程x 2－4x +m －1=0有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．（2015-2016学年延庆中学）关于x 的方程224490x mx m -+-=．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为1x ，2x ，其中1x <2x ．若1221x x =+，求m 的值．（2015-2016学年门头沟中学）一元二次方程(2)0x x -=的解是A ．0x = B.2x = C.02x x ==或 D.02x x ==且（2015-2016学年门头沟中学）若关于x 的一元二次的方程2320kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．98k ≥-B ．98k ≤-C ．98k ≥-且0k ≠D ．98k ≤-且0k ≠（2015-2016学年门头沟中学） 若一元二次方程204c x bx -+=有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的的b 、c 的取值，则b=________；c =_____________.（2015-2016学年门头沟中学）用配方法解方程：22310x x +-=.（2015-2016学年门头沟中学）用求根公式法解方程：2314x x +=.（2015-2016学年门头沟中学）用适当的方法解方程：2280x x --=（2015-2016学年门头沟中学）已知关于x 的方程220x ax a ++-=（1）若该方程的一个根为1，求a 的值；（2）求证：不论a 取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根．（2015-2016学年门头沟中学）如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32a x b x c a x t x t a x a t x t a ++=--=-+，所以有2902b ac -=；我们记“292K b ac =-”即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程①220x x --=；方程②2680x x -+=这两个方程中，是倍根方程的是 ______________（填序号即可）；（2）若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，求2245m mn n ++的值；（3）关于x 的一元二次方程2203x n -+=（0m ≥）是倍根方程，且点(,)A m n 在一次函数38y x =-的图像上，求此倍根方程的表达式.（2015-2016学年平谷中学）用配方法解一元二次方程：2230x x --=．（2015-2016学年平谷中学）解一元二次方程：22210x x --=．（2015-2016学年平谷中学）已知：关于x 的一元二次方程()()221200kx k x k +++=≠．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根均为整数，且k 为正整数，求k 的值．（2015-2016学年平谷中学）如果关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程2680x x -+=的两个根是2和4，则方程2680x x -+=就是“倍根方程”．（1）若一元二次方程230x x c -+=是“倍根方程”，则c =________；（2）若()()()200x m x n m --=≠是“倍根方程”，求代数式2245m mn n -+的值； （3）若关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠是“倍根方程”，求a ，b ，c 之间的关系．（2015-2016学年怀柔中学）已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是_________________．（2015-2016学年怀柔中学）解方程：（y-1）2+3(y-1)=0.（2015-2016学年怀柔中学）王洪同学在解方程2210x x --= 时，他是这样做的：解：方程2210x x --=变形为221x x .-= 第一步21x x ).-= （第二步121x x .=-= 或第三步121 3.x x ∴== ，第四步王洪的解法从第步开始出现错误.请你选择适当方法，正确解此方程.（2015-2016学年怀柔中学）先化简，再求值：21)3(21)m m -++2(，其中220m m +-=．（2015-2016学年怀柔中学）已知：关于x 的一元二次方程()2220x n m x m mn --+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若10m -=，求证：()2220x n m x m mn --+-=有一个实数根为－1；（3）在（2）的条件下，若y 是n 的函数，且y 是上面方程两根之和，结合函数图象回答：当自变量n 的取值范围满足什么条件时，2y n ≤．（2015-2016学年丰台中学）关于x 的一元二次方程0232=-++m x x 有一个根为1，则m 的值等于__________．（2015-2016学年丰台中学）解方程：0662=+-x x ．（2015-2016学年丰台中学）已知关于x 的一元二次方程01632=-+-k x x 有实数根，k 为负整数．（1）求k 的值；（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．（2015-2016学年东城中学）已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根为A ．2B ．3C ．4D ．8（2015-2016学年东城中学）若关于x 的一元二次方程2(5)410a x x ---=(a －5)有实数根，则a 的取值范围是A ．1a ≥B ．5a ≠C ．a ＞1且5a ≠D ．1a ≥且5a ≠（2015-2016学年东城中学）方程220x x -=的根是．（2015-2016学年东城中学）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x 尺，根据题意，可列方程为．（2015-2016学年东城中学）解方程：223+10x x -=0182=+-x x .（用配方法）（2015-2016学年东城中学）列方程解应用题某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元，求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率．（2015-2016学年东城中学）已知：关于x 的一元二次方程22(1)20(0)ax a x a a --+-=>．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y 是关于a 的函数，且21-y ax x =，求这个函数的表达式；(3) 将（2）中所得的函数的图象在直线a =2的左侧部分沿直线a =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象直接写出：当关于a 的函数y =2a +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围是．（2015-2016学年朝阳中学）已知关于x 的一元二次方程2210++-=x x m 的一个根是0，则m 的值为（2015-2016学年大兴中学）若m 是方程240x x +-=的根，则代数式3255m m +-的值是______ .（2015-2016学年大兴中学）解方程:2410x x +-=．（2016-2017学年朝阳中学）解一元二次方程 2x 2+3x －1＝0．（2016-2017学年朝阳中学）关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x +k 2﹣1=0有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）写出一个满足条件的k 值，并求此时方程的根.（2016-2017学年东城中学）若x=﹣2是关于x 的一元二次方程22302x ax a +-=的一个根，则a 的值为 A ．1或﹣4 B ．﹣1或﹣4 C ．﹣1或4 D ．1或4（2016-2017学年东城中学）若关于x 的一元二次方程()21410k x x -++=有实数根，则k 的取值范围是A ．k ≤5B ．k ≤5，且k ≠1C ．k ＜5，且k ≠1D ．k ＜5 （2016-2017学年东城中学）方程28150x x -+=的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是.（2016-2017学年东城中学）用配方法解方程：261x x -=（2016-2017学年东城中学）已知关于x 的一元二次方程()()21120m x m x --++=，其中1m ≠ .（1）求证：此方程总有实根；（2）若此方程的两根均为正整数，求整数m 的值（2016-2017学年平谷中学）用配方法解方程2470x x --=时，应变形为A ．()2211x -=B ．()2211x +=C ． ()2423x -=D ．()2423x +=（2016-2017学年平谷中学）一元二次方程022=-x x 的解为____________..（2016-2017学年平谷中学）解方程:2410x x +-=．.（2016-2017学年平谷中学）列方程解应用题。