一元二次方程的基本概念及性质

一元二次方程的基本概念及性解法
1、 一般式：____________，a 为____________，b 为___________，c 为________。

即时巩固:
1．方程（m 2－1）x 2
＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ）
（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1
2.方程(x –1)(2x +1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 . 2、 一元二次方程的解法
(1)直接开平方法 （也可以使用因式分解法）
①2
(0)x a a =≥ 解为:________ ②2
()(0)x a b b +=≥ 解为:__________
③2
()(0)ax b c c +=≥ 解为:_______ ④22
()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为:_______
1．方程x 2
－2＝0的解是x ＝ ；
(2)配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：
2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+=示例：222
33310()()1022
x x x -+=⇔--+=②二次项
的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：
22220 (0)()0 ()()022b b b
ax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠+
+=⇒-⇒++=
(3)公式法：一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：
222
4()24b b ac
x
a a -+=①当____________时，右端是正数．方程有两个不相等的实根：
② 当____________时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根;__________ ③ 当__________________时，右端是负数．因此，方程没有实根。

备注：公式法解方程的步骤：
①把方程化成一般形式，并确定出a 、b 、c
②求出2
4b ac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =(4)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
如：2
0(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 适合用提供因式，而且其中一个根为0
24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+=
课堂巩固：
1、若12,x x 是方程2
220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：
(1) 22
12x x +； (2)
12
11x x +； (3) 12(5)(5)x x --；
(4) 12||x x -．
2、已知关于x 的方程22
1(1)104
x k x k -++
+=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．
3、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． （1）是否存在实数k ，使12123
(2)(2)2
x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值； 若不存在，请您说明理由．(2) 求使12
21
2x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．
4、韦达定理相关知识
(1)一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 有两实数根21x x 和，那么=+21x x ，12*x x = 。

我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称____________。

（2）二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时，如果可用公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和，那么_________________．如果方程
)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解。

即时巩固：
(1)一元二次方程02
=++q px x 的两个根是21x x 和，则=+21x x ，=•21x x 。

(2)以21x x 和为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212
=•++-x x x x x x (3)在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数，则=b 。

课后练习：
1．方程（m 2－9）x 2
＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是（ ）
（A ）m ≠3 （B ）m ≠0 （C ）m ≠-3 （D ）m ≠±3 2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是（ ）
（A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解 3．方程x x -=+65的解是（ ）
（A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝3
4．若关于x 的方程2x 2
－ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是（ ）
（A ）－4 （B ）4 （C ）4或－4 （D ）2 5．如果关于x 的方程x 2
－2x －
2
k
＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）－1 （D ）0
6．以
213+ 和 2
1
3- 为根的一个一元二次方程是（ ） （A ）02132=+-x x （B ）02132=++x x （C ）0132=+-x x （D ）02
132
=-+x x
7．4x 2
－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是（ ）
（A ）（2x ＋5）（2x －5）（B ）（4x ＋5）（4x －5）（C ）)5)(5(-+x x （D ）)52)(52(-+x x 8．关于x 的方程x 2－（a 2
－2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数， a 是（ ） （A ）5 （B ）－3 （C ）5或－3 （D ）1
9、关于x 的方程是(m 2
–1)x 2
+(m –1) x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程； 当m 时，方程为一元一次方程.
10、方程0322
=+x x 的根是 .
11、当k = 时，方程0)1(2
=+++k x k x 有一根是0. 12、若方程kx 2
–6x +1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 . 13、设x 1、x 2是方程3x 2
+4x –5=0的两根，则
=+2
11
1x x .x 12+x 22= . 14、关于x 的方程2x 2
+(m 2–9)x +m +1=0，当m = 时，两根互为倒数； 当m = 时，两根互为相反数.
15、若x 1 =23-是二次方程x 2
+ax +1=0的一个根，则a = ，该方程的另一个根x 2
= .
16、方程x 2
+2x +a –1=0有两个负根，则a 的取值范围是 . 17、若p 2
–3p –5=0，q 2
－3q –5=0，且p ≠q ，则
=+2
211p q . 18、分解因式：122
--x x = ，2
2
32y xy x --= .
19、如果把一元二次方程 x 2
–3x –1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，
那么这个新一元二次方程是 .
20、已知方程0)1(2
=+++k x k x 的两根平方和是5，则k = . 21、解下列方程：
(1)
9)12(2
=-x (2)42)2)(1(+=++x x x
(3)3x 2
–4x –1=0 (4)4x 2
–8x +1=0（用配方法）
22、求证：不论k 取什么实数，方程x 2
-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.
23、已知关于x 的方程（m ＋2）x 2
－035=-+m mx . （1）求证方程有实数根；
（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m 的值．
24、已知关于x 的方程式x 2＝（2m ＋2）x －（m 2
＋4m －3）中的m 为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m 的值，并解方程．
25、已知a 、b 、c 为三角形三边长，且方程b (x 2-1)-2ax+c (x 2
+1)=0有两个相等的实数根. 试判断此三角形形状，说明理由.。