一元二次方程的概念
六年级下册一元二次方程的意义,公式,定理
六年级下册一元二次方程的意义,公式,定理
一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的次数最高为2的整式方程叫做一元二次方程。
例如x^2-3x+1＝0，但要注意方程要化简之后满足上述条件才行，比如x^2-3x＝x^2+1，就不是一元二次方程。
二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知项的次数为1的整式方程，例如2x-3y＝1。
概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
标准形式为：ax²+bx+c=0（a≠0）。
一元二次方程必须同时满足三个条件：
1.是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
2.只含有一个未知数。
3.未知数项的最高次数是2。
一般形式
ax²+bx+c=0(a≠0)
其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b 是一次项系数；c是常数项。
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
一元二次方程总复习知识点梳理
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。
一元二次方程的定义和根
一元二次方程的定义和根一、一元二次方程的定义和根1、一元二次方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）。
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）。
其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。
对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0，只有当$a$≠0时才是一元二次方程。
反过来，如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程，则必须含着$a$≠0这个条件。
3、一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。
4、解一元二次方程（1）直接开平方法我们知道如果$x^2$=25，则$x$=$土\sqrt{25}$，即$x$=±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
一般地，对于方程$x^2$=$p$，① 当$p$>0时，方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ，$x_2$=$-\sqrt{p}$。
② 当$p$=0时，方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。
③ 当$p$<0时，因为对任意实数$x$ ，都有$x^2\geqslant$0，所以方程无实数根。
（2）配方法通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解方程是以配方为手段，以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 化二次项系数为1。
② 移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
③ 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。
④ 直接开平方：如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
一元二次方程复习知识点梳理
一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x＋4）中，不能随便约去x ＋4。
一元二次方程及其解法
1 / 8第2课时 一元二次方程及其解法一·基本概念理解1 一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
2、一元二次方程的解法（1）、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c2 / 8（4）、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式（5）、韦达定理若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则a b x x -=+21，ac x x =21。
第十七章_一元二次方程知识点
第十七章 一元二次方程知识点第一节 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．三个条件：（１）是整式方程（２）含有一个未知数（３）未知数的最高次数是２，三个条件缺一不可。
一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。
一元二次方程的解叫做一元二次方程的根第二节 一元二次方程的解法知识点1 特殊的一元二次方程的解法直接开平方法运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．由应用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0），那么x=±mx+n ）2=p（p ≥0），那么mx+n=±因式分解法知识点2 一般的一元二次方程的解法1． 配方法：解方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的一般步骤是：2.一元二次方程的求根公式问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1=2b a -，x 2=由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a -就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．3 .一元二次方程根的判别式求根公式：b 2-4ac>0以一元一次方程的x 1=2b a -x 1=2b a-，即有两个不相等的实根．当b 2-4ac=0时，•，所以x 1=x 2=2b a-，即有两个相等的实根；当b 2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论）（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=2b a -，x 2=2b a -．（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=2b a．（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．第三节一元二次方程的应用知识点1二次三项式的因式分解1、二次三项式形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式2、二次三项式因式分解的公式如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个实数根为x1、x2，则．从而得到二次三项式因式分解公式：ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)条件对于二次三项式当△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时，不能分解因式．3、用公式法分解二次三项式的步骤(1)求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2．(2)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)即可．说明：(1)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a．(2)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆．(3)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理．1、二次三项式的因式分解例1、；(2)－4y2＋8y－1．分析：这两个二次三项式都需要用公式法分解因式．解：(1)方程的根是(2)方程－4y2＋8y－1=0的两根是点拨：(1)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解；(2)写出二次三项式的分解因式时，不要漏掉第一个因数“－4”．(3)把4分解为2×2，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化，要注意学习这种变形的技巧和变形过程中符号改变．2、形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解例2、分解因式5x2－2xy－y2分析：形如Ax2＋Bxy＋Cy2的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，我们可以选择其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，就可将多项式Ax2＋Bxy＋Cy2看作二次三项式来分解，如本题可看作关于x的二次三项式，其中a=5，b=－2y，c=－y2．解：关于x的方程5x2－2xy－y2=0的根是．．点拨：本题将y视为常数，是利用公式法分解因式的需要，即把x视为主元，称为“主元法”，这样便于用公式解题．例3、分解因式3x2y2－10xy＋4；分析：将3x2y2－10xy＋4转化为关于xy为元的二次三项式，实际上是利用换元法进行因式分解．解：关于xy的方程3(xy)2－10xy＋4=0的根是，．3、二次三项式因式分解的灵活运用例4、二次三项式3x2－4x＋2k，当k取何值时，(1)在实数范围内能分解；(2)不能分解；(3)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？分析：(1)二次三项式在实数范围内能因式分解的条件是方程有实数根，即△=b2－4ac≥0；(2)不能分解的条件是△＜0；(3)△=0时，二次三项式是完全平方式．解：△=(－4)2－4×3×2k=16－24k(1)当△≥0时，即16－24k≥0，时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式；(2)当△＜0时，即16－24k＜0，时，3x2－4x＋2k不能分解因式；(3)当△=0时，即16－24k=0，时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式．当时，例5、已知二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2是一个完全平方式，试求m的值．分析：若二次三项式为一个完全平方式，则其判别式△=0．解：对于二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2，其中a=9，b=－(m＋6)，c=m－2，∴△=b2－4ac=[－(m＋6)]2－4×9×(m－2)=m2－24m＋108．∵原二次三项式是一个完全平方式，∴△=0，即m2－24m＋108=0，解得m1=6，m2=18．故当m=6或m=18时，二次三项式9x2－(m＋6)x＋m－2是一个完全平方式．点悟：解题规律是：若b2－4ac=0，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)是完全平方式；反之，若ax2＋bx ＋c(a≠0)是完全平方式，则b2－4ac=0．知识点2 实际应用。
一元二次方程的定义
一元二次方程的定义一、满足条件一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。
二、方程形式折叠一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项。
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
折叠变形式ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0);ax²+c=0(a、c是实数，a≠0);ax²=0(a是实数，a≠0)。
三、解题方法折叠公式法x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求根公式折叠十字相乘法x的平方+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）解法折叠因式分解法因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤一元二次方程一元二次方程（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.如1.解方程：x²+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)²=0解得：x=-12.解方程x（x+1）-2（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0即 x-2=0 或 x+1=0∴ x1=2，x2=-13.解方程x²-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴ x1=-2，x2= 2折叠十字相乘法公式x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+b²+a-b- 2=ab+a+b²-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)公式法（可解全部一元二次方程）求根公式首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b²-4ac<0时 x无实数根（初中）2.当Δ=b²-4ac=0时 x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b²-4ac>0时 x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a 来求得方程的根配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x²+2x－3=0解：把常数项移项得：x²+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x²+2x+1=4 因式分解得：（x+1)²=4解得：x1=-3,x2=1用配方法的小口诀：二次系数化为一分开常数未知数一次系数一半方两边加上最相当开方法（可解部分一元二次方程）如：x²-24=1解：x²=25x=±5∴x1=5 x2=-5均值代换法（可解部分一元二次方程）ax²+bx+c=0同时除以a，得到x²+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。
一元二次方程的概念
一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
概念介绍一元二次方程是代数学中的重要内容，也是高中数学的基础知识之一。
它的研究对象是只涉及一个未知数的二次方程。
一元二次方程的解是指能够使方程成立的未知数的取值，通常表示为x的取值。
一元二次方程的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，而x是未知数。
这个方程的解可以是实数，也可以是复数。
解的求解过程主要依赖于求根公式以及配方法。
求解一元二次方程的方法求解一元二次方程常用的方法包括因式分解、配方法和求根公式等。
1. 因式分解法：当一元二次方程能够被因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过求解两个一次方程来找到方程的解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x +2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2和x = -3为方程的解。
2. 配方法：当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法进行求解。
配方法的关键是通过添加适当的常数使得方程能够表示成一个完全二次平方的形式。
例如，对于方程x^2 - 6x - 27 = 0，我们可以将其配成(x - 3)^2 - 36 = 0的形式，进而得到(x - 3)^2 = 36，解得x = 9和x = -3为方程的解。
3. 求根公式：求根公式是利用判别式来求解一元二次方程的方式。
判别式Δ = b^2 - 4ac可以帮助我们判断方程的解的情况。
当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数解；当Δ小于0时，方程有两个共轭复数解。
求根公式为x = (-b ± √Δ) / 2a。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以计算得到Δ = 4^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4，因此有两个不相等的实数解x = (4 ± √4) / 2 = 2 ± 1。