一元二次方程的概念及其解法

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程．

（4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a ≠0）

例1：下列方程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351

=--x x

，其中是一元二次方程的有 。

变式:方程：①13122

=-x x ②05222=+-y xy x ③0172

=+x ④02

2=y 中一元二次程的是 。

例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

变式1：一元二次方程3（x —2）2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x 的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x 的方程(m+1)x 2－mx+1=0，它是（ ） A ．一元二次方程 B ．一元一次方程 C ．一元一次方程或一元二次方程 D ．以上答案都不对 变式2：当m 时，关于x 的方程5)3(7

2

=---x x m m

是一元二次方程

知识点二：一元二次方程的解

（1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 （2）应用：利用根的概念求代数式的值； 【典型例题】

1. 已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ） A ．3-

B ．3

C ．0

D ．0或3

2. 已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

3. 若x=a 是方程x 2-x-2015=0的根，则代数式2a 2-2a-2015值为 。

4. 关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

5. 已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足0=+-c b a ，则此方程必有一根为 。

【举一反三】

1. 已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）

5. 若x=1是关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 一个根,求代数式2007(a+b+c)的值

知识点三：解一元二次方程

一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

一：直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如2()x m n +=的一元二次方程。根据平方根的定

义可知，x m +是n 的平方根，当0n ≥时，x m +=x m =-±，当n<0时，方程没有实数根。用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义，达到降次转化之目的。

（1）形如)0(2

≥=p p x 的方程的解是x=p=0时，==x x 210

（2）形如

()

()02

≥=+p p n mx 的方程的解为 形如()

02

=+-n m

a x 的方程可先化成()2

n

x a m

-=-

的形式，再用直接开平方法解。

【例题讲解】

1、方程（x-2）2=9的解是（ ）

A ．x 1=5，x 2=-1

B ．x 1=-5，x 2=1

C ．x 1=11，x 2=-7

D ．x 1=-11，x 2=7

2、若方程x 2=m 的解是有理数，则实数m 不能取下列四个数中的（ ）

A ．1

B ．4

C ．14

D ．1

2

3、对于形如

p x

=2

的一元二次方程，能直接开平方的条件是

___________________。

4、方程0162

=-x 的根是________________________。 5、用直接开平方法解下列方程： （1）81162=x （2）24322

=m

( 3)02592=-x （4）()0364

122

=--x

【同步训练】

1、用直接开平方法解方程（x-3）2=8，得方程的根为（ ）

A ．

B ．x 1x 2

C ．．x 1，x 2

2、方程1

2

（x-3）2=0的根是（ ）

A ．x=3

B ．x=0

C ．x 1=x 2=3

D ．x 1=3，x 2=-3