2021届全国大联考新高考原创预测试卷(六)文科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(二十九)文科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则z zi⋅=（ ） A. 2i B. 2i -C. 2D. 2-【答案】B 【解析】 ∵1z i =+ ∴1z i =- ∴(1)(1)22z z i i i i i i⋅+-===-2.已知集合{}230,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()R C M N =（ ）A. {}37x x <≤B. {}37x x ≤≤C. {}13x x ≤≤D.{}13x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由{}{2303M x x x x x =->=>或}0x <，所以{}03R C M x x =≤≤，又{|17}N x x =≤≤，(){}13R C M N x x ∴⋂=≤≤，故选：C【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.3.中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数-样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万用纵式表示,十位、千位、十万位.--.用横式表示,例如6613用算筹表示就是，则8335可用算筹表示为( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据新定义直接判断即可.【详解】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8335可用算筹表示为.故选：B【点睛】本题考查了合情推理与演绎推理，属于基础题. 4.在区间[]2,4-上:任取一个实数x ,则使得312x -≤成立的概率为（ ） A.37B.45C. 23D. 12【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概型的概率求法即可求解. 【详解】3151222x x -≤⇔-≤≤， ∴使得312x -≤成立的概率为()51122422P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--故选：D【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，需熟记几何概型的概率求法公式，属于基础题. 5.函数()42x f x x=-的零点所在的区间是（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】由函数()42f x x=-，则121428122f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()141221f =-=，32348203232f ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭ ，()3102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭由零点存在性定理可知函数()42x f x x=-的零点所在的区间是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理，属于基础题. 6.若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.6425B. 4825C. 1D.1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．7.已知,m n 是两条不同的直线,αβ是两个不同的平面,则//m n 的充分条件是（ ） A. ,m n 与平面α所成角相等 B. //,//m n αα C. //,,m m n αβαβ⊂⋂= D. //,m n ααβ=【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断即可.【详解】对于A ，若,m n 与平面α所成角相等，则,m n 可能相交或者异面，故A 错；对于B ，若//,//m n αα，则,m n 可能相交或者异面，故B 错；对于C ，若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，由线面平行的性质定理可得//m n ，故C 正确； 对于D ，若//,m n ααβ=，则,m n 可能异面，故D 错；故选：C【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系，需掌握判断线面位置关系的定理和定义，考查了空间想象能力，属于基础题8.已知AB 是圆心为C 的圆的条弦,且9·2AB AC =,则AB =（ ） A. 3 B. 3C. 23D. 9【答案】B 【解析】 【分析】过点C 作CD AB ⊥于D ，可得12AD AB =，在Rt ACD ∆中利用三角函数的定义算出1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==，再由向量数量积的公式加以计算，结合92AB AC =即可求解.【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，则D 为AB 的中点，Rt ACD ∆中，12AD AB =，1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==， 291cos 22AB AC AB AC CAB AB ==∠=,解得3AB =. 故选：B【点睛】本题主要考查向量数量积的几何意义以及根据数量积求模，属于基础题. 9.函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. 0a >，0b >，0c <B. 0a <，0b >，0c >C. 0a <，0b >，0c <D. 0a <，0b <，0c < 【答案】C 【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即bx a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像10.函数() 2 3 2f x sin x cos x =的图象向右平移6π个单位 长度得到()y g x =的图象.命题()1:p y g x =的图象关于直线2x π=对称;命题2:,04p π⎛⎫-⎪⎝⎭是()y g x =的一个单调增区间.则在命题()()()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨⌝∧⌝⌝∨和()412:q p p ∧⌝中,真命题是( ) A. 13,q q B. 14,q qC. 23,q qD. 24,q q【答案】A 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式将函数() 22f x sin x cos x =化为()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由三角函数的图像变化规律求出()g x 的解析式，根据三角函数的性质判断1p 与2p 真假，再由命题的否定以及真假表即可判断.【详解】解:由()1 222sin 2cos 22sin 2223f x sin x cos x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=-+=,由()22x k k Z ππ=+∈，解得()24k x k Z ππ=+∈， 显然2x π=不是()g x 对称轴，故1p 为假命题.由()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，解得()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数()g x 的单调递增区间为,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,当0k =时，44x ππ-≤≤，又,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故2p 为真命题.故1p ⌝为真命题，2p ⌝为假命题，故112:q p p ∨为真命题；()()212:q p p ⌝∧⌝为假命题；()312:q p p ⌝∨为真命题；()412:q p p ∧⌝为假命题；故选：A.【点睛】本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假表，需熟记三角函数的性质以及真假表，属于基础题.11.在三棱柱111 ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ,记ABC ∆和四边形11ACC A 的外接圆圆心分别为12,O O ,若2AC =,月三棱柱外接球体积为323π,则12O O 的值为( )A.53B. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据球心与截面中心的连线与截面垂直得出12OO MO 为矩形，从而即可求解. 【详解】设三棱柱111 ABC A B C -外接球的半径为r ，则343233r ππ=，解得2r ，设AC 的中点为M ，三棱柱111 ABC A B C -外接球球心为O ， 则1OO ⊥平面ABC ，2O M ⊥平面ABC ，可得12OO MO 为矩形，所以12OM O O =====故选：D【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.12.已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在10kx y +-=的图象上,则实数k 的取值范围是( ) A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有两个交点，借助函数图像与导数的几何意义求出1y kx =+与()f x 的两段图像相切的斜率即可求出k 的取值范围. 【详解】直线10kx y +-=关于直线1y =的对称直线为10kx y -+-=， 则直线10kx y -+-=与()y f x =的函数图像有4个交点， 当0x >时，()1ln f x x '=-，∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， ∴()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，作出()y f x =与直线10kx y -+-=的函数图像，如图所示：设直线1y kx =+与2ln y x x x =-相切，切点为()11,x y ，则111111ln 2ln 1x k x x x kx -=⎧⎨-=+⎩ ，解得11,1x k ==，设直线1y kx =+与()2302y x x x =--<相切，切点为()22,x y ， 则22222322312x k x x kx ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=+⎪⎩，解得211,2x k =-=，1y kx =+与()y f x =的函数图像有4个交点，∴直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有2个交点，112k ∴<< 故选：A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，考查了数形结合思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知0,0a b >>，若341log log 2a b ==，则ab=__________． 3【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化即可求解.【详解】由341log log 2a b ==，则123a =，124b =，1122123344a b ⎛⎫∴===⎪⎝⎭，故答案为：2【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、指数幂的运算，属于基础题.14.若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】4 【解析】当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x －y ＝0与直线x ＋y ＝3的交点(1，2)时，z 取最大值2×1＋2＝4.15.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+，则使不等式()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦成立的m 取值范围是__________．【答案】[)0,9 【解析】 【分析】首先判断出()f x为奇函数，然后根据题意将()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦化为()()12f f m >-，再由函数的单调性转化为解12m >-即可.【详解】定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，则()()()()f x g x g x f x -=--=-，()f x ∴为奇函数， 又对任意()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+，则()21202f m f m ⎡⎤⎛⎫++-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()()2120f m f m ++->∴()()()2122f m f m f m +>--=-()f x 在R 单调递增，∴212m m +>-，即2300m m m ⎧--<⎪⎨≥⎪⎩，解得09m ≤<故答案为：[)0,9【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档题.16.如图,在直四棱柱1111 ABCD A B C D -中,底面ABCD 是菱形,,E F 分别是11,BB DD 的中点, G 为AE 的中点且3FG =,则EFG 面积的最大值为________．【答案】3 【解析】 【分析】建立坐标系，使用法向量求出E 到直线FG 的距离，代入面积公式，使用不等式的性质求出最值.【详解】连接AC 交BD 于O ，底面ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥，以,,0OC OD Z 为坐标轴建立空间直角坐标系o xyz -， 设,OC a OD b ==，棱柱的高为h ， 则(),0,0A a -，0,,2h E b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,,2h F b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,224a b h G ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，即3,,224a b h FG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()0,2,0FE b =-，23cos ,322FG FEb bFG FE b FG FE ⋅∴===⋅，E ∴到直线FG 的距离224sin ,24b d FE FG FE b b -===-，()222221333444322222EFGb b S FG d b b b b ∆+-∴=⋅⋅=-=-≤⨯= 当且仅当224b b =-，即22b =时取等号. 故答案为：3【点睛】本题考查了空间向量在求点到线的距离的应用、基本不等式求最值，注意在应用基本不等式时验证等号成立的条件，属于中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和,2458,15a a S ⋅==;等比数列{}n b 的前n 项和21n n T =-(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(2)当{}n a 各项为正时,设n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和. 【答案】（1）n a n =或6n a n =-，12n n b -= （2）()121n n T n =-⋅+【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式即可求n a ；由n T 与n b 的关系可求n b . （2）利用错位相减法即可求和.【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d则()()()()21111383381115101532a d a d d d d d d a d a d⎧⎧++=-+=⇔⇒=⇒==-⎨⎨+==-⎩⎩或 11,1,n d a a n ∴==∴= 11,5,6n d a a n ∴=-=∴=-当2n ≥时，112n n n n b T T --=-=当1n =时，111b T ==也满足上式 所以12n nb -=（2）由题可知，1,2n n n n n a n c a b n -===()01221122232?··122n n n T n n --=++++-+ ()12312122232?··122n n n T n n -=++++-+ ()1112?··22121n n n n T n n --=+++-=--故()121nn T n =-+【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，已知n S 求n a 以及错位相减法，需熟记公式，属于基础题.18.如图,在四棱锥 P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形//, 90, 2.2ABAB CD ABC BCD BC CD ∠=∠=︒===(1)证明:BD PD ⊥;(2)若PAD △为正三角形,求C 点到平面PBD 的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）62【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可证出.（2）取AD 中点M ,连接PM ，利用等体法：由P BCD C PBD V V --=即可求解. 【详解】（1）证明：因为 2 4BC CD AB ===，，又底面ABCD 为直角梯形222 22, 22, AD BD AD BD AB BD AD ∴==+=∴⊥，面PAD ⊥底面 ABCD ，BD ∴⊥平面 .PAD 又PD ⊂平面 .PAD BD PD ∴⊥（2）因为侧面 PAD ⊥底面 ,ABCDPAD ∆为正三角形,取AD 中点M ,连接PMPM ∴⊥底面 ,ABCD 6PM =11126622332P BCD BCDV PM S -===设C 点到PBD 面的距离为,c d111262222332P BCD c PBDc Vd Sd -===62c d ∴=【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理、等体法求点到面的距离，需熟记锥体的体积公式，考查了学生的推理能力，属于中档题.19.为了了解居民的家庭收人情况,某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了n 户家庭进行问卷调查.经调查发现,这些家庭的月收人在5000元到8000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图.已知图中从左至右第一 、二、四小组的频率之比为1:3:6,且第四小组的频数为18.(1)求n ;(2)求这n 户家庭月收人的众数与中位数(结果精确到0.1);(3)这n 户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中,用分层抽样的方法任意抽取6户家庭,并从这6户家庭中随机抽取2户家庭进行慰问,求这2户家庭月收入都不超过6000元的概率.【答案】（1）60n = （2）众数是67.5，中位数是66.3 （3）45【解析】 【分析】（1）根据从左至右第一 、二、四小组的频率之比为1:3:6,求出第四小组的频率，再由频率=频数样本容量即可求解.（2）由频率分布直方图第四组小矩形底边中点的横坐标为众数；中位数等于各个小矩形面积与其小矩形底边中点横坐标之积的和.（3）根据分层抽样得出第一、二、三小组应分别抽取1,2,3，分别记记为;,;,,a b c d e f 依次列出基本事件个数，由古典概型的概率求法公式即可求解.【详解】解：（Ⅰ）设从左至右第一、三、四小组的频率分别为123,,p p p ，则由题意可知：()2131123360.020.040.0451p p p p p p p ⎧=⎪=⎨⎪+++++⨯=⎩,解得1230.050.150.3p p p =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 从而18600.3n == （2）由于第四小组频率最大，故这 n 户家庭月收入的众数为657067.52+= 由于前四小组的频率之和为：0.05 +0.1 0.15 +0.3 =0.6 >0.5+ 故这n 户家庭月收入的中位数应落在第四小组，设中位数为 x 则650.050.10.150.30.52x -+++⨯=，解得66.3x = （3）因为家庭月收入在第一、二、三小组家庭分别有3,6,9户，按照分层抽样的方法易知分别抽取1,2,3，第一组记为a ，第二组,b c ，第三组为,,d e f ， 从中随机抽取2 户家庭的方法共有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f ()()()()()(),,,,,,,,,,,c d c e c f d e d f e f 共15种；其中这2户家庭月收入都不超过6000元有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f()()(),,,,,,c d c e c f 共12种；所以这2户家庭月收入都不超过6000元的概率为124155P == 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，掌握住由频率分布直方图求众数、中位数，考查了古典概型的概率求法，属于基础题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴顶点分别为,A B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于,A B 的任意-一点,直线,TA TB 的斜率之积为13- (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,圆223:4O x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点,求POQ △面积的最大值.【答案】（1）2213x y += （2）2【解析】 【分析】（1）根据题意设出点(),T x y ，列出方程化简即可求解.（2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长PQ =y kx m =+与椭圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值，再由面积公式max122S PQ =⨯⨯即可求解.【详解】解：（1）设(),T x y ，由题意知()()0,1,0,1A B -，设直线TA 的斜率为1k ，直线TB 的斜率为2k ， 则1211,y y k k x x +-==，由1213k k =-，得1113y y x x +-=- 整理得椭圆C 的方程为2213x y +=（2）当切线l 垂直x 轴时PQ =当切线l 不垂直 x 轴时，设切线方程为 .y kx m =+2=，得()22314m k =+ 把.y kx m =+代入椭圆方程2213x y +=，整理得()222316330k x kmx m +++-=设()()1122,,,P x y Q x y ，则2121222633,3131km m x x x x k k --+==++PQ ======()20k =≤=≠ 当且仅当2219k k =，即k =时等号成立，当0k =时，PQ =综上所述max2PQ =.所以当PQ 取最大值时，POQ △面积max 1222S PQ =⨯⨯=【点睛】本题考查了直接法求轨迹方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及基本不等式求最值，属于中档题. 21.已知函数()()222ln ,2af x ax xg x ax ax x=+-=-+ (1)若0,a ≥讨论()f x 的单调性;(2)当0a >时,若函数()f x 与()g x 的图象有且仅有一个交点()00,x y ,求[]0x 的值(其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[[][0.3710,0.37 1.2.92])=-=-=.参考数据:20.693 ,3 1.099 ,5 1.609,7 1.946ln ln ln ln ====【答案】（1）当0a =时， ()f x 在()0,∞+单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；()f x 在1,4a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭单调递增． （2）2 【解析】 【分析】（1）对()f x 进行求导，讨论a 的取值范围，令()0f x '>或()0f x '<，解不等式即可求解.（2）两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0a ax x x +-=在()0,∞+只有一个根, 令()22ln a F x ax x x=+-，研究 ()F x 的单调性，求出()F x 的零点，然后根据零点存在性定理判断零点所在的区间即可.【详解】解：（1）()2222122'2a ax x af x a x x x--=-+-= 对于函数()222,h x ax x a =--21160a ∆=+>当0a =时，则()1'0,f x x=-<()f x ∴在()0,∞+单调递减；当0a >时，令()0f x '<，则2220ax x a --<，解得104x a+<<∴()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；令()0f x '>，解得x >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增． （2）0a >且两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0aax x x+-=在()0,∞+只有一个根 令()22ln a F x ax x x =+-，则()3222'ax x a F x x--= 令()[)322,0,x ax x a x ϕ=--∈+∞，则()2'61x ax ϕ=-()0,a x ϕ>∴在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()min x ϕϕ= 注意到()()020,a x ϕϕ=-<∴在⎛ ⎝无零点，在⎫+∞⎪⎪⎭仅有一个变号的零点m()F x ∴在()0.m 单调递减，在(),m +∞单调递增，注意到()130F a =>根据题意m 为 ()F x 的唯一零点即0m x =20003002ln 0220aax x x ax x a ⎧+-=⎪∴⎨⎪--=⎩消去a ，得：3003300232ln 111x x x x +==+--令()332ln 11H x x x =---，可知函数()H x 在()1,+∞上单调递增 ()101022ln 220.693077H =-=⨯-<，()292932ln 32 1.00902626H =-=⨯->()[]002,3,2x x ∴∈∴=【点睛】本题主要考查了导函数在研究函数单调性、最值中的应用，考查了分类讨论的思想以及零点存在性定理，综合性比较强，难度较大.(二)选考题:共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.平面直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=(1)写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若射线()0:0OM θαρ=≥平分曲线1C ，且与曲线2C 交于点A ，曲线2C 上的点B 满足2AOB π∠=，求AB .【答案】（1）1C：2cos ρθθ=+，2C ：24x y =；（2【解析】 【分析】（1）根据cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求解；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(，所以方程是()03πθρ=≥，将()03πθρ=≥代入2C 的极坐标方程求出A ρ=，进而求出83B ρ=即可求解.【详解】解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是()(2214x y -+=，即2220x x y -+-=化成极坐标方程为：2cos ρθθ=+曲线2C 的直角坐标方程是24x y =；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(，所以方程是()03πθρ=≥代入2cos 4sin ρθθ=，得A ρ=又2AOB π∠=，将56πθ=，代入2cos 4sin ρθθ=，得83B ρ=因此3AB ==【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化以及利用极坐标求弦长，属于基础题.23.已知0,0a b >>，且221a b +=（1）证明：()55111a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ （2）若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围 【答案】（1）证明见解析 （2）99x -≤≤【解析】【分析】（1）利用基本不等式即可证出.（2）利用基本不等式求出2214a b +的最小值，然后再分类讨论解不等式即可求解.【详解】解：（1）()()55255444422111b a a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥++=+= ⎪⎝⎭（2）由221a b +=，得()2222222222141441459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭所以9211x x ≥---恒成立当1x ≥时，2119x x x ---=≤故19x ≤≤ 当112x ≤<时，211329x x x ---=-≤解得113x ≤，故112x ≤< 当12x <时，解得2119x x x ---=-≤，故9x ≥-，故192x -≤< 综上可知：99x -≤≤【点睛】本题考查了基本不等式求最值、解绝对值不等式，属于基础题.。
2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷(六)文科数学
2021届全国学海大联考新高考原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一．单项选择1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.2、设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.下列有关命题的叙述错误的是（）A．若非是的必要条件，则是非的充分条件B．“x＞2”是“”的充分不必要条件C．命题“≥0”的否定是“＜0”D．若且为假命题，则，均为假命题4、已知函数为偶函数，则（）A．B．C．D．5、已知为等边三角形所在平面内的一个动点，满足，若，则（）A．B．3 C．6 D．与有关的数值6、设，，且，则的值为（）．A．B．C．D．7.线段如图，边长为2的正方形中，点是线段上靠近的三等分点，是的中点，则（）1.A．B．C．D．8、将函数()()3cos sin0fx x xωωω=+>的图象向右平移个单位长度，所得图象过点，则的最小值为（）A． B．C．D．9、已知，其中为锐角，若与夹角为，则,（）A．B． C．D．10．已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足，，则的面积为（）A．B．C．D．111、已知的重心恰好在以边为直径的圆上，若，则（） A．1 B．2 C．3 D．412．在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，（）A．B．C．D．二、填空题13、若两个非零向量满足，则向量与的夹角为__________．14、已知，，，，且∥，则＝ .15、已知函数, 则的值为___________。
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题
2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（六）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
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第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|02A xx⎧⎫=>⎨-⎩⎭∈⎬N，则集合UA的子集的个数为（）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】D【解析】分析】通过解不等式12x>-，得到集合A，进而得出{0,1,2}UA=.因为集合中有3个元素，故其子集个数为32个.【详解】由102x >-得2x >，则{}|2A x x =∈>N {}{}20,1,2U A x x ∴=∈≤=N ，则UA 的子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查了补集的运算，集合子集个数的结论，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，若412a ii+-∈R ，则实数a 的值是（ ） A. 2- B. –1C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出复数.因为该复数是实数，所以令其虚部为零，求出a 的值. 【详解】4(4)(12)82412(12)(12)55a i a i i a a i i i i +++-+==+--+，且412a ii+-∈R ， 240a ∴+=，即2a =-.故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的分类知识，属于基础题.3.用计算机生成随机数表模拟预测未来三天降雨情况，规定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨，根据随机生成的10组三位数：654 439 565 918 288 674 374 968 224 337，则预计未来三天仅有一天降雨的概率为（ ） A.12B.13C.49D.25【答案】D 【解析】 【分析】从所给的随机三位数中找出有且仅有一个13之间的数字的三位数，即表示未来三天仅有一天降雨.据古典概型的计算公式，即可得出结果.【详解】题中规定：1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨， 在10组三位随机数：654 439 565 918 288 674 374 968 224 337中， 439 918 288 374这4组随机数仅含有一个13的数，即表示未来三天仅有一天降雨，根据古典概型的概率计算公式可知，其概率42105p ==. 故选：D.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.4.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若342332,32S a S a =-=-，则首项1a =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】将已知两式相减，可得出434a a =，则该等比数列的公比为4q =，再将用1a 和q 来表示2332S a =-，即可解得1a 的值.【详解】由34233232S a S a =-⎧⎨=-⎩得3433a a a =-，即434a a =，则该等比数列的公比为4q =，2332S a =-21113()2a a q a q ∴+=-，即1115162a a =-，12a ∴=.故选：B.【点睛】本题考查了利用等比数列的通项公式求基本量，其中两式相减求得公比，是本题的关键.属于基础题.5.已知0,,cos22sin 212πααα⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A.12B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式将已知三角函数式化简，结合(0,)2πα∈可得cos 2sin αα=，再利用平方关系，即可求出sin α.【详解】cos22sin 21αα=-，即cos212sin 2αα+=，∴由二倍角公式可得22cos 4sin cos ααα=，(0,)2πα∈，cos 0α∴>，则cos 2sin αα=又22sin cos 1αα+=，且sin 0α>5sin α∴=. 故选：C.【点睛】本题考查了利用二倍角公式进行三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，属于基础题.6.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是（ ）（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A. 16B. 17C. 24D. 25【答案】B 【解析】 【分析】由题知，每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的43倍，故折线长度构成一个以43为公比的等比数列，写出其通项公式4()3nn a a =⋅，则要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，只需求解不等式4()1003n n a a =>，即可得解. 【详解】设初始长度为a ，各次构造后的折线长度构成一个数列{}n a ，由题知143a a =，143n n a a +=，则{}n a 为等比数列，4()3n n a a ∴=⋅，假设构造n 次后，折线的长度大于初始线段的100倍，即4()1003n n a a => ， 43lg100log 100lg 4lg 3n ∴>=-，lg100216lg 4lg 320.30100.4771=≈-⨯-17n ∴≥【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.7.已知α，β为两个不同平面，m ，n 为两条不同直线，则下列说法不正确的是（ ） A. 若m α⊥，n α⊥，则//m n B. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αC. 若m α⊥，m β⊥，则//αβD. 若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥【答案】B 【解析】 【分析】利用线线，线面以及面面的位置关系的判定定理和性质定理，对每个选项进行逐一判断，即可得解. 【详解】对于A ，m α⊥，n α⊥，根据线面垂直的性质可知，垂直于 同一平面的两直线平行，选项A 正确；对于B ， m α⊥，m n ⊥，根据线面垂直的定义以及线面平行 的判定定理可知n ⊂α或//n α，故选项B 错误；对于C ， m α⊥，m β⊥，根据线面垂直的性质定理以及面面平行 的判定定理可得//αβ，故选项C 正确；对于D ，由m α⊥和αβ⊥可知//m β或m β⊂，又n β⊥，则由线面 平行的性质定理和线面垂直的性质定理可知，m n ⊥，故选项D 正确. 故选：B.【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，属于基础题.8.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且点(),n n a S 在直线3210x y --=上，则43S S =（ ） A.157B.4013C.112D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由题得3210n n a S --=，利用1(2)n n n a S S n -=-≥，求出13(2n n a a n -=≥且)n N *∈，11a =，从而判断出数列{}n a 是等比数列.再利用等比数列的求和公式，即可求出比值. 【详解】点(),n n a S 在直线3210x y --=上，3210n n a S ∴--=，当2n ≥时，113210n n a S ----=， 两式相减，得：13(2n n a a n -=≥且)n N *∈，又当1n =时，113210a S --=，则11a =，{}n a ∴是首项为1，公比为3的等比数列，1(13)31132n n n S ⨯--==-， 443331403113S S -∴==-. 故选：B.【点睛】本题考查了数列中由n S 与n a 的关系求数列的通项问题，等比数列的判定，等比数列的前n 项和公式，属于中档题.9.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆()22:102x y C a a a+=>+的蒙日圆为226x y +=，则a =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】分两条切线的斜率是否同时存在进行分类讨论，在两条切线的斜率同时存在时，可在圆上任取一点()00,x y ，并设过该点的直线方程为()00y y k x x -=-，与椭圆方程联立，利用0∆=可得出关于k 的二次方程，利用韦达定理可求得实数a 的值.【详解】当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为(，该点在圆226x y +=上，所以，226a +=，解得2a =；当椭圆两切线的斜率同时存在时，不妨设两切线的斜率分别为1k 、2k ， 设两切线的交点坐标为()00,x y ，并设过该点的直线方程为()00y y k x x -=-，联立()002212y kx y kx x y a a⎧=+-⎪⎨+=⎪+⎩， 消去y 得()()()()()()2220000222220a k a x k a y kx x a y kx a a ⎡⎤++++-++--+=⎣⎦，()()()()()()2222200004242220k a y kx a k a a y kx a a ⎡⎤⎡⎤∆=+--++⋅+--+=⎣⎦⎣⎦， 化简得()2220000220k a x kx y a y ⎡⎤+-++-=⎣⎦，由韦达定理得()2122012a y k k a x -==-+-，整理得()220022240a x y a +-+=-=，解得2a =. 综上所述，2a =. 故选：B.【点睛】本题考查利用椭圆两切线垂直求参数，考查分类讨论思想以及方程思想的应用，属于中等题. 10.已知正数a 、b 满足1410a b a b+++=，则+a b 的最大值是（ ） A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】将+a b 当作整体，在原式的两边同时乘以+a b ，使14a b+这一部分配凑基本不等式的条件，从而得到一个关于+a b 的二次不等式，求解即可.【详解】由1410a b a b +++=， 得14()()10()a b a b a b a b++++=+，24()()a b a b a b a b ++∴+++24()5b aa b a b=++++ 10()a b =+，210()()5a b a b ∴+-+-4b a a b =+4≥= 当且仅当4b a a b=，即2b a =时，等号成立， 2()10()90a b a b ∴+-++≤，则19a b ≤+≤.故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，解一元二次不等式.其中构造基本不等式的结构形式，将+a b 看成一个整体，是本题的关键，属于中档题.11.双曲线221313y x -=的上、下焦点为1F 、2F ，P 是双曲线上位于第一象限的点，4OP =，直线1PF 交x轴于点Q ，则2PQF 的内切圆半径为（ ）A.B. 2C. 3D.【答案】A 【解析】 【分析】分析出122F PF π∠=，并设1F P m =，可得出2F P m =+PQ t =，利用切线长定理可求得2PF Q △的内切圆半径.【详解】易知，双曲线221313y x -=的上焦点为()10,4F 、()20,4F -，又124OP OF OF ===，122F PF π∴∠=，设1F P m =，则223F P m =+PQ t =，则211F Q FQ F P PQ m t ==+=+， 设2PF Q △的内切圆与边PQ 、2PF 、2F Q 切于点M 、N 、Q ， 由切线长定理得PM PN =，22F N F D =，MQ DQ =，2MPN π∠=，2EN PF ⊥，EM PQ ⊥，且EM EN =，则四边形PMEN 为正方形，所以，(()2223232PF PQ F Q m t m t PM +-=++-+==，则3PM =， 因此，2PF Q △3故选：A.【点睛】本题考查双曲线中三角形内切圆半径的计算，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数()f x 满足()()2f x f x =，当[1,2)x ∈时，()ln f x x =，则函数()()0y f x ax a =->在)4[1x ∈,上的零点个数()g a 的值域为（ ）A. {}0,1B. {}0,1,2C. {}0,1,2,3D. {0,1,2,3,4}【答案】B 【解析】 【分析】先由求出[2,4)x ∈时，()ln2xf x =.再将函数()()0y f x ax a =->的零点问题，转化为函数()y f x =的图象与直线(0)y ax a =>的公共点的问题，利用数形结合思想，即可判断出公共点个数，求出函数()g a ，从而求出()g a 的值域.【详解】由()()2f x f x =知()()2x f x f =，设[2,4)x ∈，则[1,2)2x∈， 则()()ln 22x xf x f ==，ln ,[1,2)()ln ,[2,4)2x x f x x x ∈⎧⎪∴=⎨∈⎪⎩，令()()0y f x ax a =->=0，即()f x ax =，∴函数()()0y f x ax a =->的零点个数，即为函数()f x 与直线(0)y ax a =>的交点个数，若(0)y ax a =>与函数()ln ,[1,2)f x x x =∈的图象相切， 设切点为11(,ln )M x x ，则切线斜率1111ln 1x k x x ==， 1[1,2)x e ∴=∉，故不能相切，若(0)y ax a => 与函数()ln,[2,4)2xf x x =∈的图象相切， 设切点为22(,ln )2x N x ，则切线斜率2222ln 2122x k x x =⋅=，22[2,4)x e ∴=∉，故也不能相切，又(2,ln 2)A ，(4,ln 2)B ，则ln 22OA k =，ln 24OB k =， ln 20,2ln 2ln 2()1,42ln 22,04a g a a a ⎧≥⎪⎪⎪∴=≤<⎨⎪⎪<<⎪⎩，则()g a 的值域为{0,1,2}.故选：B.【点睛】本题考查了代入法求函数的解析式，函数的零点个数，考查了转化思想和数形结合思想，属于较难题.第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -，且//AB AC ，则x =__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求解, 【详解】()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -(1,5),(1,10)AB AC x =-=--， //,5(1)100,3AB AC x x ∴--+==.故答案为:3【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.14.已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为__________.【答案】34 【解析】 【分析】对*21(1,)nn n a a n N --=+-∈分奇偶进行讨论，得出数列21{}n a -是常数列，数列2{}n a 是公差为2的等差数列，然后用分组求和法，即可求解. 【详解】*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，∴当n 为奇数时，21210n n a a +--=，则数列21{}n a -是常数列，2112n a a -==；当n 为偶数时，2222n n a a +-=，则数列2{}n a 是以23a =为首项，2的等差数列，129139248()()a a a a a a a a a ∴+++=+++++++4325(342)2⨯=⨯+⨯+⨯ 34=.故答案为：34.【点睛】本题考查了数列递推求通项，等差数列的判定，分组求和法，等差数列的求和公式.考查了分类讨论的思想，属于中档题.15.三棱锥S ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形， SA ⊥面ABC ， 2SA =,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是_____________ .【答案】283π【解析】【详解】由题意可知三棱锥外接球，即为以ABC ∆为底面以SA 为高的正三棱柱的外接球∵ABC ∆是边长为2的正三角形 ∴ABC ∆的外接圆半径r =， 设球的半径为R ，因为SA ⊥面ABC ， 2SA =, 所以222284243R r =+=， ∴外接球的表面积为22843R ππ=， 故答案为283π点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()()31f f a f a -⎡⎤⎣⎦=的实数a 的取值集合为__________. 【答案】2{|3a a 或2log 3}a = 【解析】 【分析】由31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩知，当1a <时，()2f a <，当1a ≥时，()2f a ≥.令()t f a =，对t 进行分类讨论，结合分段函数解析式，求出t 的值，再进一步求出a . 【详解】当1a <时，()312f a a =-<， 当1a ≥时，()2f a ≥ 令()t f a =，若1t <，()31f t t =-，与已知解析式相符，311a ∴-<，即23<a ； 若1t ≥，则()2tf t = 由231t t =-，得1t =或3， 当1t =时，()311t f a a ==-=，23a =； 当3t =时，()23at f a ===，2log 3a =. 故答案为：2{|3a a或2log 3}a =. 【点睛】本题考查了求分段函数的自变量的问题，考查了分类讨论思想，注意解题过程中分类讨论标准的适当选取，做到不重不漏.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.17.若ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且224()si sin n sin sin sin 3A B C B C -=-. （1）求cos A ；（2）若ABC A 的角平分线AD 长的最大值.【答案】（1）13；（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理将已知式化角为边，再由余弦定理求出cos A ； （2）由（1）的结论1cos 3A =及ABC sin A =和4bc =.再由二倍角公式求出cos23A =.将ABC 拆分成两个三角形ABD △和ACD ，利用面积相等，求出AD ，再利用基本不等式求出其最大值.【详解】解：（1）由正弦定理sin sin sin A B Ca b c ==， 及224()si sinn sin sin sin 3A B C B C -=-，可得224()3b c a bc -=-，即22223b c a bc +-=，∴由余弦定理得：2221cos 23b c a A bc +-==；（2）由1cos 3A =，得sin A =， cos23A ==， 1sin 23S ABC bc A ==，则4bc =， 由ABCABDACDS SS=+得111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 2cos2cos 22A Abc bc A AD b c ∴=≤==+， 当且仅当2b c ==时，等号成立， 即max AD =. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，基本不等式的应用，属于中档题.18.如图，正方体ABCD A B C D '''-'的棱长为4，点E 、F 为棱CD 、B C ''的中点.（1）求证：//CF 平面B ED ''； （2）求点D '到平面ACF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）4. 【解析】 【分析】（1）取C D ''的中点M ，连接CM 、FM ，证明出平面//CFM 平面B ED ''，利用面面平行的性质可证明出//CF 平面B ED ''；（2）取A B ''的中点N ，连接FN 、A C ''、A F '、D M '、D N '，证明出F 、N 、A 、C 四点共面，利用等体积法计算出点D 到平面ANF 的距离，即为所求. 【详解】（1）取C D ''的中点M ，连接CM 、FM ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，//CD C D ''且CD C D ''=，E 、M 分别为CD 、C D ''的中点，//CE D M '∴且CE D M '=，∴四边形CED M '为平行四边形，//CM D E '∴，CM ⊄平面B ED ''，D E '⊂平面B ED ''，//CM ∴平面B ED ''，F 、M 分别为B C ''、C D ''的中点，//FM B D ''∴，FM ⊄平面B ED ''，B D ''⊂平面B ED ''，//FM ∴平面B ED ''， CMFM M =，∴平面//CFM 平面B ED ''，CF ⊂平面CFM ，//CF ∴平面B ED ''；（2）取A B ''的中点N ，连接FN 、A C ''、A F '、D M '、D N '，N 、F 分别为A B ''、B C ''的中点，//FN A C ''∴，在正方体ABCD A B C D ''''-中，//AA CC ''且AA CC ''=，所以，四边形AA C C ''是平行四边形，//A C AC ''∴，//FN AC ∴，F ∴、N 、A 、C 四点共面，FND '的面积为221142422622FND A B C D A D N C D F B NFS SSS S''''''''''=---=-⨯⨯⨯-⨯=， AA '⊥平面A B C D ''''，∴三棱锥A D NF '-的体积为1164833A D NF D NF V S AA ''-'=⋅=⨯⨯=.由勾股定理得22224225AN AA A N ''=+=+=1222FN A C ''==226A F AA A F '''=+=.在ANF 中，22210cos 210AN NF AF ANF AN NF +-∠==-⋅， 2310sin 1cos 10ANF ANF ∴∠=-∠=， ANF ∴的面积为11310sin 2522622ANFSAN NF ANF =⋅∠=⨯=， 设点D 到平面ACF 的距离为h ，由D ANF A D NF V V ''--=， 即116833ANFS h h ⋅=⨯⨯=，解得4h =. 因此，点D 到平面ACF 的距离为4.【点睛】本题考查利用面面平行证明线面平行，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力与推理能力，属于中等题.19.某连锁餐厅新店开业，打算举办一次食品交易会，招待新老顾客试吃.项目经理通过查阅最近5次食品交易会参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量y （袋），得到如下统计表：（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）的关系为40020,031380,31t t C t t -<<⎧=⎨≥⎩，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有13万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）.参考公式：()()()112221ˆn niii ii i nniii x x y y x y nx ybxnxx x ===---==--∑∑∑∑，a y bx =-.参考数据：511343i ii x y==∑，521558i i x ==∑，5213237i i y ==∑.【答案】（1） 2.51y x =-；（2）餐厅应该购买31袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为9920元. 【解析】 【分析】（1）计算出x 、y 的值，利用题中的数据结合最小二乘法公式求出b 和a 的值，即可得出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+； （2）由（1）中求出的线性回归方程计算13x =时y 的值，再根据题意计算对应的利润值，比较大小即可． 【详解】（1）由表格中的数据可得1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，515222151343510.4252.5558510.45i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-， 因此，y 关于x 的线性回归方程为 2.51y x =-；（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当13x =时， 2.513131.5y =⨯-=，即预计需要原材料31.5袋.40020,031380,31t t C t t -<<⎧=⎨≥⎩，当31t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+.当30t =时，30030209020L =⨯+=； 当31t =时，70031380319920L =⨯-⨯=； 当32t =时，70031.5380329890L =⨯-⨯=.综上所述，餐厅应该购买31袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为9920元.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了利润计算问题，是中档题．20.已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的中点E 的横坐标为32，5AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知点()1,2D ，过点()4,0作直线l 交抛物线于M 、N 两点，求DM DN ⋅的最大值，并求DM DN ⋅取得最大值时直线l 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）当直线l 的方程为40x y +-=时，DM DN ⋅取最大值1.【解析】 分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，可得出12322x x +=，利用焦点弦长公式可求得p 的值，进而可得出抛物线C 的方程；（2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，设直线l 的方程为4x my =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积公式将DM DN ⋅表示为以m 为自变量的函数，利用二次函数的基本性质可求得DM DN ⋅的最大值及其对应的直线l 的方程.【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，由于线段AB 的中点E 的横坐标为32，则12322x x +=， 由抛物线的焦点弦长公式得1235AB x x p p =++=+=，解得2p =. 因此，抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，设直线l 的方程为4x my =+，联立244y xx my ⎧=⎨=+⎩，消去x 并整理得24160y my --=.由韦达定理得344y y m +=，3416y y =-.()()()()333333,1,21,23,2DM x y x y my y =-=--=+-，同理可得()443,2DN my y =+-，()()()()()()()234343434332213213DM DN my my y y m y y m y y ⋅=+++--=++-++()()()22216143213483411m m m m m m =-++-+=---=-++.当1m =-时，DM DN ⋅取最大值1，此时，直线l 的方程为40x y +-=.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中平面向量数量积的最值的求解，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数()xf x ae x =-有两个零点1x 、2x .（1）求实数a 的取值范围;（2）若213x x ≥，求实数a 的取值范围.【答案】（1）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）⎛ ⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）由()0f x =得xx a e =，构造函数()x xg x e=，利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值，作出函数()y g x =的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围； （2）由题意推导出1201x x <<<，分1103x <≤和1113x ≤<两种情况讨论，结合213x x ≥以及函数()y g x =的单调性得出1x 的取值范围，再由()1a g x =以及函数()y g x =的单调性可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()x f x ae x =-，令()0f x =，可得xxa e =， 构造函数()x xg x e=，则直线y a =与函数()y g x =的图象有两个交点. ()1xxg x e -'=，令()0g x '=，得1x =，列表如下： x(),1-∞1()1,+∞()g x ' +-()g x极大值所以，函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，且在1x =处取得极大值()11g e=.当0x <时，()0x x g x e =<；当0x >时，()0x g x x e=>，如下图所示：如上图可知，当10a e<<时，直线y a =与函数()y g x =的图象有两个交点， 因此，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）由（1）可知1>0x ，20x >，且()()12g x g x =，2113x x x ≥>，1201x x ∴<<<.①若1103x <≤，则21130x x >≥>，合乎题意； ②若1113x <<，则131x >，2131x x ≥>且函数()x x g x e=的单调递减区间为()1,+∞， ()()213g x g x ∴≤，即()()113g x g x ≤，即111133x x x x e e ≤，解得1ln 32x ≤，此时11ln 332x <≤. 综上所述，1x 的取值范围是ln 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.函数()x x g x e =在区间ln 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，()()1ln 302g g x g ⎛⎫∴<≤ ⎪⎝⎭，即306a <≤.因此，实数a 的取值范围是30,6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数以及函数不等式求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于难题.（二）选考题.共10分请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ．【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭； 设()22Q ,ρθ，则由2sin 333{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭； 所以Q 2P =【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.23.如图，AB 是半圆的直径，O 为AB 的中点，⊥DO AB 、C 在AB 上，且AC x =，BC y =.（1）用x 、y 表示线段OD ，CD 的长度：（2）若0a >，0b >，2a b +=，求44a b +的最小值.【答案】（1）2x y OD +=，222x y CD +=（2）2 【解析】【分析】 （1）AB 为直径，AB x y =+，OD 为半径，则2x y OD +=.Rt OCD △中，利用勾股定理，可求出222x y CD +=（2）Rt OCD △中CD OD ≥2222++x y x y ，即可得222()122a b a b ++≥=.再令22,x a y b ==，2212a b +≥≥，由此解得442a b +≥. 【详解】解：（1）直径AB x y =+，则半径2x y OD +=， 在Rt OCD △中，CD ===即CD = （2）由（1）知，CD OD ≥，2+x y ，当且仅当x y =时，等号成立， 222()122a b a b ++∴≥=， 令22,x a y b ==2212a b +≥≥ 442a b ∴+≥（当且仅当1a b ==时，等号成立）， 44a b ∴+的最小值为2.【点睛】本题考查了勾股定理，基本不等式的变形应用，考查了转化的思想，属于中档题.。
2021年全国百校高考数学第六次大联考试卷(文科)
2021年全国百校高考数学第六次大联考试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合P={x|x≥1}，Q={x|y=ln(4−x2)}，则P∩Q=()A. [1,2)B. (1,2]C. (1,2)D. (2,1)2.已知i是虚数单位，若z(1−i)=i−2，则|z|=()A. √52B. √10 C. √102D. √53.命题“∃x0∈R，2x0+lnx0≤0”的否定是()A. ∀x∈R，2x +lnx>0 B. ∀x∈R，2x+lnx≥0C. ∃x0∈R，2x0+lnx0<0 D. ∃x0∈R，2x0+lnx0>04.在等比数列{a n}中，已知a1a3a11=8，那么a2a8等于()A. 4B. 6C. 12D. 165.下列在区间(0,+∞)上为减函数的是()A. y=−sinxB. y=x2−2x+3C. y=ln(x+1)D. y=2020−x26.设m，n，l表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，则下列命题正确是()A. 若m⊥l，n⊥l，则m//nB. 若m⊥β，m//α，则α⊥βC. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βD. 若α∩γ=m，β∩γ=n，m//n，则α//β7.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是方程x2−3x+2=0的两个实数根，且△ABC的面积为√22，则角C的大小是()A. 45°B. 60°C. 60°或120°D. 45°或135°8.若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率等于√103，则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±3xB. y=±12x C. y=±13x D. y=±2x9.已知向量a⃗=(3,100)，若λa⃗=(3λ,2μ)(λ,μ∈R)，则λμ=()A. 50B. 3C. 150D. 1310.若执行如图所示的程序框图，且输入x的值为0，则输出x的值为()A. 9B. 8C. 7D. 611.若实数x，y满足不等式组{x−y+2≥0x+y−4≤0x−3y+3≤0，则4x+8y的最大值为()A. 28B. 23C. 4D. 112.已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，率为−2且经过焦点F的直线l交该抛物线于M，N两点，若|MN|=52，则该抛物线的方程是()A. y2=xB. y2=2xC. y2=4xD. y2=6x二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f(x)的定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=1+a x(a>0且a≠1)，若f(−1)=−32，则a=．14.函数y=xe2x的图象在点(1,m)处切线的方程为______ ．15.半径为R的球放在房屋的墙角处，球与围成墙角的三个互相垂直的面都相切，若球心到墙角的距离是√3，则球的表面积是______ ．16.已知点A(−2,0)，B(2,0)，若圆(x−a)2+(y−3)2=4上存在点P，使得∠APB=90°，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=n2−n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n+log3n=log3b n，数列{b n}的前n项和．18.某中学选取20名优秀学生参加数学知识竞赛，将他们的成绩(单位：分)分成范围为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]共6组，得到频率分布直方图如图所示．(1)求实数m的值；(2)若从成绩在范围[60,80)的学生中随机抽取2人，求抽到的学生成绩全部在范围[70,80)的概率．19.已知在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，DC=2AB，Q为PC的中点．(1)求证：BQ//平面PAD；(2)若PD=3，BC=√2，BC⊥BD，试在线段PC上确定一点S，使得三．棱锥S−BCD的体积为2320. 已知以椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的顶点为顶点的四边形面积是4√3，且其离心率为12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 经过椭圆C 的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点，证明：3|AB|=4|AF|×|BF|．21. 已知函数f(x)=2x −2lnx +a ，g(x)=−ax −2，a ∈R ．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)+g(x)>0对任意的x ∈(0,12)成立，求实数a 的取值范围．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =−ty =t +4(t 是参数)，以原点O 为原点，以x 轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=6cos(θ−π6). (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)设M(x,y)为曲线C 上任意一点，求x +y 的取值范围．23.已知函数f(x)=|2x+1|−|2x−2|．(1)求不等式f(x)<0的解集；(2)若f(x)≤a−2对任意的x∈R成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵P={x|x≥1}，Q={x|4−x2>0}={x|−2<x<2}，∴P∩Q=[1,2)．故选：A．可求出集合Q，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z(1−i)=i−2，∴z=i−21−i =(i−2)(1+i)(1−i)(1+i)=−32−12i，∴|z|=√94+14=√102，故选：C．先利用复数的运算法则求出z，再利用复数的求模公式即可求出|z|．本题考查了复数的四则运算及模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，“∃x0∈R，2x0+lnx0≤0”的否定是∀x∈R，2x+lnx>0，故选：A直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．4.【答案】A【解析】解：a1⋅a3⋅a11=a13⋅q12=(a1q4)3=a53=8，则a 2⋅a 8=a 52=4．故选：A根据等比数列的通项公式化简a 1a 3a 11=8后，得到关于第5项的方程，求出方程的解即可得到第5项的值，然后根据等比数列的性质得到a 2a 8等于第5项的平方，把第5项的值代入即可求出所求式子的值． 此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道综合题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =−sinx ，在区间(0,+∞)上不具有单调性，不符合题意，对于B ，y =x 2−2x +3=(x −1)2+2，在区间(1,+∞)上为增函数，不符合题意， 对于C ，y =ln(x +1)，在区间(0,+∞)上为增函数，不符合题意， 对于D ，y =2020−x2=(√2020)x ，是指数函数，在区间(0,+∞)上为减函数，符合题意，故选：D ．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案． 本题考查函数单调性的判断，涉及常见函数的单调性，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵m ，n ，l 表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面， ∴若m ⊥l ，n ⊥l ，则m 与n 平行，相交或异面，故A 错误； 若m ⊥β，m//α，则α⊥β，故B 正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故C 不正确；若α∩γ=m ，β∩γ=n ，m//n ，则α与β相交或平行，故D 不正确． 故选：B ．由m ，n ，l 表示不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，知：若m ⊥l ，n ⊥l ，则m 与n 平行，相交或异面；若m ⊥β，m//α，则α⊥β；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行；若α∩γ=m ，β∩γ=n ，m//n ，则α与β相交或平行．本题考查平面的基本性质和推论，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．7.【答案】D【解析】解：若a，b是方程x2−3x+2=0的两个实数根，则ab=2，△ABC的面积为12absinC=sinC=√22，可得内角C=45°或135°．故选：D．由二次方程的韦达定理和三角形的面积公式，即可得到所求值．本题考查三角形的面积公式和二次方程的根的韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1的离心率等于√103，可得a2+b2a2=109，可得ba=13，所以双曲线的渐近线方程为：y=±13x．故选：C．利用双曲线的离心率推出a，b的关系，即可得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率以及渐近线方程的求法，是基础题．9.【答案】C【解析】解：因为λa⃗=(3λ,100λ)=(3λ,2μ)，所以100λ=2μ，即λμ=150．故选：C．由λa⃗=(3λ,100λ)=(3λ,2μ)，得解．本题考查平面向量共线的条件，平面向量的坐标运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得：不满足条件x >7，执行循环体，x =4，x =1 不满足条件x >7，执行循环体，x =6，x =2 不满足条件x >7，执行循环体，x =8，x =3 不满足条件x >7，执行循环体，x =10，x =4 不满足条件x >7，执行循环体，x =12，x =5 不满足条件x >7，执行循环体，x =14，x =6 不满足条件x >7，执行循环体，x =16，x =7 不满足条件x >7，执行循环体，x =18，x =8 此时，满足条件x >7，退出循环，输出x 的值为8． 故选：B ．根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理．11.【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +y −4=0x −y +2=0，解得A(1,3)，由z =4x +8y ，得y =−x2+z8，由图可知，当直线y =−x2+z8过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为28． 故选：A ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．12.【答案】B【解析】解：抛物线的焦点为F( p2,0)准线方程为x=−p2，设直线MN方程为y=−2x+p，联立抛物线方程可得y2+px−p2=0，故x M+x N=y M2+y N22p =(y M+y N)2−2y M y N2p=3p2，由抛物线的定义可得|MN|=x M+x N+p=32p+p=52，解得p=1；则该抛物线的方程是y2=2x，故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，设出直线MN的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解得p即可；本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理考查化简运算能力，属于中档题．13.【答案】12【解析】【分析】本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及求函数值，同时考查了计算能力，属于基础题．根据条件，得到f(−1)=−f(1)=−1−a=−32，即可求出a的值．【解答】解：由题意，当x>0时，f(x)=1+a x(a>0且a≠1)，f(−1)=−32，∴f(−1)=−f(1)=−1−a=−32，∴a=12．114.【答案】3e2x−y−2e2=0【解析】解：∵y=xe2x，∴y′=(2x+1)e2x，∴y′|x=1=3e2，又当x=1时，y=e2，∴y=xe2x的图象在点(1,m)处切线的方程为y−e2=3e2(x−1)，即3e2x−y−2e2=0．故答案为：3e2x−y−2e2=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记导数的运算法则是关键，是基础题．15.【答案】4π【解析】解：根据题意可知球心与墙角顶点可构成边长为R的正方体则球心到墙角顶点的距离为正方体的对角线即√3R即√3R=√3解得：R=1故球的表面积是S=4π⋅12=4π，故答案为：4π．设球的半径为R，当球放在墙角时，同时与两墙面和地面相切可知球心与墙角顶点可构成边长为R的正方体，则正方体对角线即为球心到墙角顶点的距离，由此求出球的半径，可得球的表面积．本题主要考查了空间两点的距离，以及利用构造正方体进行解题，属于基础题．16.【答案】[−√7,√7]【解析】解：如图：由题可知，A(−2,0)和B(2,0)都在圆x 2+y 2=4上，∵P 在圆(x −a)2+(y −3)2=4，∠APB =90°，∴圆x 2+y 2=4与圆(x −a)2+(y −3)2=4存在公共点，所以0≤√a 2+32≤4，解得−√7≤a ≤√7，故答案为：[−√7,√7]．根据直径所对的圆周角恒为90°，可将题设转化为求以AB 为直径的圆与圆(x −a)2+(y −3)2=4存在公共点问题来解决．本题考查了圆与圆的位置关系，属于基础题．17.【答案】解：(I)当n =1时，a 1=S 1=12−1=0；当n ≥2时，S n−1=(n −1)2−(n −1)=n 2−3n +2， 所以a n =S n −S n−1=2n −2(n ≥2)，经验证，当n =1时，也成立；综上，a n =2n −2；(II)由条件有2n −2+log 3n =log 3b n ，解得b n =n ×9n−1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n =1×90+2×91+3×92+⋯+n ×9n−1，9T n =1×91+2×92+3×93+⋯+n ×92， 相减得−8T n =90+91+92+⋯+9n−1−n ×9n =1×(1−9n )1−9−n ×9n ， 整理得T n =1+(8n−1)×9n 64．【解析】(1)利用和项关系a n ={S 1, ;n =1S n −S n−1,n ≥2求解；(2)求出数列{b n }的通项公式b n =n ×9n−1，为差比型数列，利用错位相减法求和．本题考查点为利用数列的前n 项求数列的通项公式及利用错位相加法求差比型数列的前n 项和，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意，(0.010+m+m+0.030+0.025+0.005)×10=1，解得m=0.015；(2)成绩在范围[60,80)的学生人数为n=20×(0.015×10)+20×(0.030×10)=9人，成绩在范围[70,80)的学生人数q=20×(0.030×10)=6人，从9个学生中随机抽取2人的种数为C92=36种，从6个学生中随机抽取2人的种数为C62=15种，故所求概率P=1536=512．【解析】(1)利用频率之和为1，列式求解即可；(2)先求出成绩在范围[60,80)和[70,80)的学生人数，然后由古典概型的概率公式求解即可．本题考查了频率分布直方图的应用，古典概型概率公式，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法，掌握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了逻辑推理能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：取PD的中点G，连结AG，QG，又因为Q为PC的中点，所以GQ//DC且GQ=12DC，又因为AB//DC，DC=2AB，所以GQ//AB，GQ=AB，故四边形ABQG是平行四边形，所以BQ//AG，又BQ⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以BQ//平面PAD；(2)因为在四边形ABCD中，AB//DC，AD⊥DC，DC=2AB，所以点B在线段CD的垂直平分线上，又因为BC=√2，BC⊥BD，所以BD=BC=√2，故△BCD的面积S=12×√2×√2=1，设点S到平面ABCD的距离为h，因为三棱锥S−BCD的体积为23，所以13×1×ℎ=23，解得ℎ=2，又PD ⊥平面ABCD ，所以点S 在线段PC 上靠近点P 的三等分点处．【解析】(1)取PD 的中点G ，连结AG ，QG ，证明四边形ABQG 是平行四边形，可得BQ//AG ，由线面平行的判定定理证明即可；(2)确定点B 在线段CD 的垂直平分线上，求解△BCD 的面积，设点S 到平面ABCD 的距离为h ，根据锥体的体积求出h ，然后由PD ⊥平面ABCD ，即可得到点S 的位置．本题考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体体积的计算等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵以椭圆C 的顶点为顶点的四边形面积是4√3，∴4×12ab =4√3， ∴ab =2√3，又∵椭圆的离心率为12，∴a 2−b 2a 2=(12)2， ∴a 2=4，b 2=3，∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)证明：设l 为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 与椭圆的方程{x =my +1x 24+y 23=1，可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， ∴由韦达定理可得，y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，∴3|AB|=3√m 2+1|y 1−y 2|=3√m 2+1 √(y 1+y 2)2−4y 1y 2=36(m 2+1)3m 2+4，∵A(x 1,y 1)，F(1,0)，∴|AF|=√(x 1−1)2+(y 1−0)2=√my 12+y 12=√m 2+1|y 1|，同理可得|BF|=√m 2+1|y 2 |，∴4|AF|×|BF|=4(m 2+1)|y 1y 2|=4(m 2+1)⋅93m 2+4=36(m 2+1)3m 2+4，∴3|AB|=4|AF|×|BF|，即得证．【解析】(1)根据已知条件，结合椭圆的离心率公式，即可求解．(2)设l 为x =my +1，将直线l 与椭圆联立方程可得，(3m 2+4)y 2+6my −9=0，再结合韦达定理，以及两点之间的距离公式，即可证明．本题考查了直线与椭圆的综合知识，需要学生能够熟练掌握公式，且本题计算量大，属于难题．21.【答案】解：(1)因为f(x)=2x −2lnx +a ，定义域为(0,+∞)，所以f′(x)=2−2x =2x−2x ，当0<x <1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，当x >1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，f(x)的单调递增区间为(1,+∞)；(2)由题意可得，f(x)+g(x)>0对任意的x ∈(0,12)成立，即a >2+2lnx 1−x对任意的x ∈(0,12)成立， 令ℎ(x)=2+2lnx 1−x ，则ℎ′(x)=2x −2+2lnx (1−x)2， 令m(x)=2x −2+2lnx ，则m′(x)=−2+2x x 2， 当x ∈(0,12)时，m′(x)<0，则m(x)在(0,12)上单调递减，又当x =12时，m(x)>0，所以当x ∈(0,12)时，m(x)>0，即当x ∈(0,12)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在(0,12)上单调递增，故ℎ(x)<ℎ(12)=2−4ln2，所以a ≥2−4ln2，故实数a 的取值范围为[2−4ln2,+∞)．【解析】(1)求出f′(x)，利用导数的正负确定函数f(x)的单调性即可；(2)利用参变量分离将问题转化为a >2+2lnx 1−x 对任意的x ∈(0,12)成立，构造ℎ(x)=2+2lnx 1−x ，利用导数求解ℎ(x)的性质以及取值范围，即可得到a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题的求解，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．22.【答案】解：(1)由{x =−t y =t +4(t 是参数)，消去参数t ，可得直线的普通方程为x +y −4=0， 由ρ=6cos(θ−π6)，得ρ2=6ρ(√32cosθ+12sinθ)，即ρ2=3√3ρcosθ+3ρsinθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−3√3x −3y =0；(2)由(1)得，曲线C 的方程为(x −3√32)2+(y −32)2=9， 令x −3√32=3sinθ，y −32=3cosθ，则x +y =3sinθ+3cosθ+3√3+32=3√2sin(θ+π4)+3√3+32． ∴x +y 的取值范围是[3√3−6√2+32,3√3+6√2+32].【解析】(1)直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程，展开两角差的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 的参数方程形式，可得x +y =3sinθ+3cosθ+3√3+32，再由辅助角公式化积，利用三角函数求最值，即可求得x +y 的取值范围．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)因为函数f(x)=|2x +1|−|2x −2|，所以不等式f(x)<0为|2x +1|−|2x −2|<0，即(2x +1)2<(2x −2)2，化简得12x <3，解得x <14，所以不等式f(x)<0的解集为(−∞,14)；(2)因为函数f(x)=|2x +1|−|2x −2|≤|(2x +1)−(2x −2)|=3，所以f(x)max ≤3；又因为f(x)≤a −2对任意的x ∈R 成立，所以3≤a −2，解得a ≥5，所以实数a的取值范围是[5,+∞)．【解析】(1)不等式f(x)<0化为|2x+1|<|2x−2|，两边平方后求出不等式的解集；(2)求出函数f(x)的最大值，不等式化为f(x)max≤a−2，由此实数a的取值范围．本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)
压轴填空题第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三 立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四 立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。
2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(六)文科数学
2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一.选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合{1A x x ≤=-或}1x ≥，集合{}01B x x =<<，则（ ） A. {}1A B ⋂=B. RA B A ⋂=C.()(]R0,1A B ⋂=D.A B =R【答案】B 【解析】1B ∉ 故A 错；{}R 01B x x x =≤≥或 故B 正确； ()(]R 0,1A B ⋂≠ ；R A B ⋃≠；故选B.2.若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ）A.12B. 12-C.12i D. 12i -【答案】A 【解析】 【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部.【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算. 3.命题：“00x ∃>，使()0021x x a ->”，这个命题的否定是()A. 0x ∀>，使()21xx a -> B. 0x ∀>，使()21xx a -≤ C. 0x ∀≤，使()21xx a -≤D. 0x ∀≤，使()21xx a ->【答案】B 【解析】试题分析：由已知，命题的否定为0x ∀>，2(1xx a ⋅-≤使），故选B. 考点：逻辑问题中的特称命题的否定【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.4.已知向量()2,1a =，()0,1b =-，(),3c k =.若()()2//a b b c -+，则k 的值为（ ） A.83B. 2C. 1-D.43【答案】A 【解析】 【分析】分别求出2,a b b c -+的坐标，根据平行向量的坐标关系，即可求解 【详解】()()(),3,2(4,3)2,1,,01),2,(,c k a a b b c k b =-=+===-，()()82//,830,3a b b c k k -+∴-==.故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.5.等比数列{}n a 不具有单调性，且5a 是4a 和33a 的等差中项，则数列{}n a 的公比q =（ ） A. 1- B. 32-C. 1D.32【答案】A 【解析】 【分析】根据已知结合等差中项的定义，建立关于q 的方程，即可求解. 【详解】等比数列{}n a 不具有单调性，1q =或0q <，5a 是4a 和33a 的等差中项，所以54323a a a =+， 2230,1q q q --=∴=-或32q =（舍去）.故选:A.【点睛】本题考查等差中项、等比数列通项基本量的计算，属于基础题. 6.一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为（ ）A. 123B. 24C. 123+D. 2423+【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，利用侧面积公式，即可求解.【详解】由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，所以该正三棱柱的侧面积为23424S cl ==⨯⨯=，故选B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.7.甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】D 【解析】 【分析】依次假设甲、乙、丙、丁四人获奖，并根据题意只有一句是对的，可判断谁获奖，即可得出结论.【详解】若甲获奖，则这四个说的四句话都是错的，不合题意； 若乙获奖，则甲、乙、丁三人说的话是对的，不合题意；若丙获奖，则甲、丙两人说的话是对的，不合题意； 若丁获奖，则只有乙说的是对的，符合题意， 所以获奖同学是丁. 故选:D.【点睛】本题考查合情推理，考查逻辑推理能力，属于基础题. 8.||4cos x y x e =-图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,)+∞上的单调性即可得出结论． 【详解】显然||4cos x y x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称，当0x >时，4si (4si n n )x xy x x e e =-'+=--， 显然当(]0,x π∈时，0y '<，当(,)x π∈+∞时，34x e e e π>>>，而4sin 4x ≥-， 所以(4sin )0xy x e -+'<=，∴(4sin )0xy x e -+'<=在(0,)+∞上恒成立， ∴||4cos x y x e =-在(0,)+∞上单调递减． 故选D ．【点睛】本题考查了函数图象的识别，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．9.在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】C 【解析】 【分析】由条件可看出11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角，可证得三角形1BAC 中，1AB BC ⊥，解得1tan BAC ∠，从而得出异面直线1AC 与11A B 所成的角． 【详解】连接1AC ，1BC ，如图：又11AB A B ，则1BAC ∠为异面直线1AC 与11A B 所成的角.因为AB BC ⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1AB CC ⊥，∴AB ⊥面11BCC B ， ∴1AB BC ⊥，又2AB BC ==，122CC =()22122223BC =+=∴1tan 3BAC ∠160BAC ∠=︒. 故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.若函数()31y x ax a R =++∈在区间()3,2--上单调递减，则a 的取值范围是 （）A. [)1,∞+B. [)2,0-C. (],3∞-- D.(],27∞--【答案】D 【解析】 【分析】由 2'30y x a =+≤在区间()3,2--上恒成立，结合二次函数的性质即可求解．【详解】解：()31y x ax a R =++∈在区间 ()3,2--上单调递减，2'30y x a ∴=+≤在区间 ()3,2--上恒成立，即 23a x ≤-在区间 ()3,2--上恒成立，()2327,12x -∈--，27a ∴≤-．故选：D ．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题. 11.已知0,0a b >>，若不等式313n a b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A. 9 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】 【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可 【详解】0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333911016b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤ 故选C【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 12.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（ ）A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，利用导数可判断出函数()y g x =为R 上的增函数，并将所求不等式化为()()0g x g >，利用单调性可解出该不等式.【详解】构造函数()()xf xg x e =，()()()0x f x f x g x e '-'∴=>，所以，函数()y g x =为R 上的增函数，由()02f =，则()()0002f g e ==，()2xf x e >，可得()2xf x e>，即()()0g x g >， 0x ∴>，因此，不等式()2xf x e >的解集为()0,∞+.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二.填空题（每小题5分，共20分）13.已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S =_________. 【答案】55 【解析】()()111626755a d a d a d a +-+=+==，1111161111552a a S a +=⋅==. 14.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________． 【答案】750x y --= 【解析】 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.15.设变量x ，y 满足约束条件23602y x x y y ≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则z 2x y =-的最小值为________.【答案】83- 【解析】 【分析】做出满足不等式组的可行域，根据图形求出目标函数的最小值.【详解】做出可行域如下图所示，当z 2x y =-过点A 时，取得最小值，联立2360y x y =⎧⎨+-=⎩，解得432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即4(,2)3A ，所以z 2x y =-的最小值为83-. 故答案为:83-.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.16.四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD 是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA ⊥平面ABCD ，PA=5，则该球的表面积为 ． 【答案】50π 【解析】解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球， ∵长方体的对角线长等于球的直径， ∴2R==5，∴R=，外接球的表面积S=4πR 2=50π． 故答案为50π．【点评】本题考查了棱锥的外接球的表面积的求法，利用长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径是解答此题的关键．三.解答题17.已知数列{}n a 中，12n n a a +-=且1239a a a ++=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}2nn a +的前n 项和nS．【答案】(1) 21n a n =- (2) 2122n n S n +=+-【解析】 【分析】（1）由题设基本信息结合通项公式即可求解；（2）()2212nnn a n +=-+，分别求解等差数列与等比数列的前n 项和即可【详解】解：（1）12n n a a +-=，∴等差数列{}n a 的公差为2，()()1231111222369a a a a a a a ∴++=++++⨯=+=，解得11a =，因此，()12121n a n n =+-=-； （2）()2212nnn a n ∴+=-+，()()()123123232(21)2nn S n ⎡⎤=+++++++-+⎣⎦()123[135(21)]2222n n =++++-+++++，()21212(121)22212nn n n n+-+-=+=+--，因此，2122n n S n +=+-．【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，数列分项求和，属于基础题 18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知sin()sin 03b Cc B π--=.（1）求角C 的值；（2）若4a =，c =ABC ∆的面积. 【答案】（1）23C π=；（2）【解析】 【分析】（1）用正弦定理边化角，利用两角差正弦，求出C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解；（2）利用余弦定理，建立b 的方程，再由面积公式，即可求解. 【详解】（1）1sin()sin 0,sin (sin )sin sin 32b C c B B C C C B π--=-=，10,sin 0,sin ,tan 2B B C C C π<<∴≠==，20,3C C ππ<<∴=； （2）由余弦定理可得2222282cos 416c b a ab C b b ==+-=++，24120b b +-=解得2b =或6b =-（舍去）， 113sin 4223222S ab C ==⨯⨯⨯=， ABC ∆∴的面积为23.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、正弦定理与余弦定理的应用、三角函数的面积公式，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于基础题.19.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ； （2）平面//EFG 平面11BDD B .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】证明：（1）如图，连接SB，,E G分别是,BC SC的中点，//EG SB∴.又SB⊂平面11,BDD B EG⊄平面11BDD B，所以直线//EG平面11BDD B.（2）连接,,SD F G分别是,DC SC的中点，//FG SD∴.又∵SD⊂平面11,BDD B FG⊄平面11,BDD B//FG∴平面11BDD B.又EG⊂平面,EFG FG⊂平面,EFG EG FG G⋂=，∴平面//EFG平面11BDD B.【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，60DAB∠=，PD⊥平面ABCD，2PD AD==，点E、F分别为AB和PD的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点A 到平面PEC 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）30d =. 【解析】【试题分析】(1) 取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，通过证明四边形AEQF 为平行四边形,得到//AF EQ ,由此证得//AF 平面PEC .(2)利用等体积法,通过A PEC P AEC V V --=建立方程,由此求得点到面的距离.【详解】（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =， 故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形， 所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC ∆中，222cos EC EB BC EB BC EBC =+-⋅⋅∠11421272=++⨯⨯⨯= PDE ∆中227PE PD DE =+=在PDC ∆中2222PC PD CD =+=故EQ PC ⊥，5EQ AF ==，1225102PEC S ∆=⨯⨯=，131322AEC S ∆=⨯⨯=， 所以由A PEC P AEC V V --=得：113102332d ⋅=⋅⋅， 解得3010d =.21.已知函数()xf x e ax =-（e 为自然对数的底数）.（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）已知函数()f x 在0x =处取得极小值，()f x mx <在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，单调递减区间是(,ln 2)-∞；（2）1m e >-. 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，解不等式()0,()0f x f x ''><，即可求出结论；（2）由已知求出a ，通过函数有解，分离参数，构造函数，利用新函数的最值转化求解即可. 【详解】（1）(),()xxf x e ax f x e a '=-=-，当0a >时，()0,ln ,()0,ln f x x a f x x a ''>><<，()f x 单调递增区间是(ln ,)a +∞，单调递减区间是(,ln )a -∞，当2a =时，()f x 单调递增区间是(ln 2,)+∞，递减区间是(,ln 2)-∞； （2）当0a ≤时，()0,()f x f x '>在(,)-∞+∞单调递增， 无极值不合题意，当0a >时，由（1）可得ln x a =取得极小值， 函数()f x 在0x =处取得极小值，1a1(),[,2]2x f x e x mx x =-<∈有解，1x e m x ∴>-，设1()1,[,2]2x e g x x x =-∈不等式在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，min ()m g x ∴>，22(1)()x x x e x e e x g x x x--'==， 当1()0,1,()0,122g x x g x x ''<<<><<， ()g x ∴在1(,1)2单调递减，在(1,2)单调递增，1,()x g x =取得极小值，也是最小值为(1)1g e =-，1m e ∴>-.【点睛】本题考查函数的单调性、不等式能成立问题，应用导数求函数的单调性、极值最值，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极，z 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点()0M ，1．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值．【答案】(Ⅰ) 曲线C 的普通方程()2224x y -+=，直线l 的直角坐标方程10x y +-=；(Ⅱ)1【解析】【分析】（I ）利用22sin cos 1αα+=消去参数α，求得曲线C 的普通方程.利用sin ,cos y x ρθρθ==，求得直线l 的直角坐标方程.（II ）写出直线l的参数方程，根据参数的几何意义，求得MA MB ⋅.【详解】（I ）曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数可得曲线C 的普通方程为()2224x y -+=， 直线l 极坐标方程为sin()42πρθ+=，即sin cos 10ρθρθ+-=，所以直线l 的直角坐标方程10x y +-=.（II ）直线l 过点()0,1M ，倾斜角为3π4，所以直线的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入()2224x y -+=，化简得210t ++=，则12t t +=-121t t =， 设1||MA t =，2||MB t =，所以121MA MB t t ⋅=⋅=【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线参数方程的运用，属于中档题.。
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷(六)文科数学
2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．估计sin2020°的大小属于区间（ ）A ．)0,21(-B ．)21,0(C ．)21,22(--D ．)23,22( 2．已知)}2ln(|{2--=∈=x x y N x A ，}1,|{≤=∈=x e y N y B x ，则(C N A )∩B ＝（ ）A ．{1，2}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．∅3．设x ∈Z ，集合A 是偶数集，集合B 是奇数集．若命题p ：∀x ∈A ，x-1∈B ，则（ ）A ．￢p ：∀x ∈A ，x-1∉B B ．￢p ：∀x ∉A ，x-1∉BC ．￢p ：∃x ∉A ，x-1∈BD ．￢p ：∃x ∈A ，x-1∉B4．设锐角△ABC 的三个内角分别为角A ，B ，C ，那么“A +B ＞2π”是“sin B ＞cos A ”成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知243παπ-<<-，则sin α，cos α，tan α的大小关系为（ ） A ．sin α＞cos α＞tan α B ．cos α＞sin α＞tan αC ．tan α＞cos α＞sin αD ．sin α＞tan α＞cos α6．设⎩⎨⎧<+≥-=5)),3((5,2)(x x f f x x x f ，则f （3）的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．设a ＝0.30.2，b ＝0.20.3，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c 8．曲线x x y ln 2-=在x ＝1处的切线的倾斜角为α，则)22cos(πα-的值为（ ） A ．54 B ．54- C ．53 D ．53- 9．已知奇函数f （x ）与偶函数g （x ）满足2)()(+-=+-x x a a x g x f ，且g （b ）＝a ，则f （2）的值为（ ）A ．a 2B ．2C ．415D ．417 10．函数||ln 8)(4x x x f =的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．11．f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，0)()(<'⋅+x f x x f ，且0)3(=-f ，则不等式f （x ）＜0的解集为（ ）A ．（﹣3，0）∪（3，+∞）B ．（﹣3，0）∪（0，3）C ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）12．已知f （x ）是R 上的偶函数，f （x +π）＝f （x ），当20π≤≤x 时，f （x ）＝sin x ，则函数||lg )(x x f y -=的零点个数是（ ）A ．12B ．10C ．6D ．5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13．集合A ＝{1，3}，B ＝{1，2，a }，若A ⊆B ，则a ＝ ．14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝)(212矢矢弦+⨯．弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为32π，弦长等于9m 的弧田．按照上述经验公式计算所得弧田的面积是 m 2．15．若关于x 的不等式1ln ≤+x ax 恒成立，则a 的最大值是 ．16．函数)32(log 2sin +-=mx x y θ(其中)2,0(πθ∈)在区间)1,(-∞上递增，则实数m 的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知集合A ＝{x |2a ﹣1＜x ＜a +1}，B ＝}10|{≤<x x ．（1）若a ＝1，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）如图，以Ox 为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为)54,53(-。
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(三)文科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={|36},{|27}x x B x x -<<=<<，则()R A B =( )A. （2，6）B. （2，7）C. （-3，2]D. （-3，2）【答案】C 【解析】 【分析】由题得C B ⋃={x|x ≤2或x ≥7}，再求()A C B ⋃⋂得解.【详解】由题得C B ⋃={x|x ≤2或x ≥7}，所以()A C B ⋃⋂= (]3,2-.故选C【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知复数11z i =-+，复数2z 满足122z z =-，则2||z = ( )A. 2B.C. D. 10【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知求出复数2z ，再求2z . 【详解】由题得222(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i -------====+-+-+--，所以2z 故选B【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知命题:,2x p x R x e ∃∈->，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>,则( )A. 命题p q ∧⌝是真命题B. 命题p q ∨⌝是假命题C. 命题p q ∨是假命题D. 命题p q ∧是真命题【答案】A 【解析】 【分析】先分别判断命题p 与命题q 的真假，进而可得出结果.【详解】令()xf x e x =+，则易知()xf x e x =+在R 上单调递增， 所以当0x <时，()12xf x e x =+<<，即2x e x <-； 因此命题:,2x p x R x e ∃∈->为真命题； 由0a >得211a +>；所以，当1a >时，2log (1)0a a +>；当01a <<时，2log (1)0a a +<； 因此，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>为假命题；所以命题p q ∧⌝是真命题. 故选A【点睛】本题主要考查简单的逻辑连接词，复合命题真假的判定，熟记判定方法即可，属于常考题型.4.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为( )A. 4B. 2C. 3D. 8【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，0q >，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，计算即可得到所求首项．【详解】正项等比数列{}n a 公比设为(0)q q >，满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，可得211a q =，54312a a +=，即4311312a q a q +=，可得22320q q +-=， 解得2q =-（舍去），12q =， 则14a =， 故选A ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）A. 2B. 4C. 442+D. 642+【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积. 【详解】由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱， 所以其体积为121222⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征.6.已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( ) A.12B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】 根据22a b -=得到22424a b a b +-=，再由基本不等式得到222424a b a b a b ≤+-=，结合数量积的定义，即可求出结果.【详解】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=， 又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤； 因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B【点睛】本题主要考查向量的数量积与基本不等式，熟记向量数量积的运算与基本不等式即可，属于常考题型.7.函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案. 【详解】因为()ln f x x x =所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项， 而()ln ln f x x x x x -=--=-， 所以()()f x f x -=-即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项， 故选C 项.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m β⊥，则//m α B. 若//m α，n m ⊥，则n α⊥C. 若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD. 若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误； 若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误． 若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.9.函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A. 2sin(2)6y x π=-B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin(+)6y x π=D. 2sin(+)3y x π=【答案】A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A. 【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）. A. 24里 B. 12里C. 6里.D. 3里【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【详解】解：记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得：1192a =，65119262a ∴=⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题． 11.将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误的是（ ）A. 函数()g x 的最小正周期是πB. ()g x 图像关于直线7π12x =对称 C. 函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. ()g x 图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象平移关系求出()g x 的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．【详解】由题意，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度， 可得2()sin[2()]sin(2)233g x x x πππ=-+=-，对于A ,函数的最小正周期为2=2ππ，所以该选项是正确的； 对于B ，令712x π=，则772()sin(2)sin 1121232g ππππ=⨯-==为最大值， ∴函数()g x 图象关于直线712x π=，对称是正确的；对于C 中，[,]63x ππ∈-，则22[3x ππ-∈-，0]， 则函数()g x 在区间[,]63ππ-上先减后增，∴不正确；对于D 中，令3x π=，则2()sin(2)sin 00333g πππ=⨯-==，()g x ∴图象关于点(,0)3π对称是正确的，故选C ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．12.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 有(3)()f x f x +=-，当(3,0)x ∈- 时，()25f x x =-，则(8)f =（ ）A. 11B. 5C. -9D. -1【答案】C 【解析】 【分析】根据(3)()f x f x +=-即可得出(6)()f x f x +=，即得出()f x 的周期为6，再根据()f x 是偶函数，以及(3,0)x ∈-时，()25f x x =-，从而可求出f （8）f =（2）(2)9f =-=-． 【详解】(3)()f x f x +=-；(6)(3)()f x f x f x ∴+=-+=；()f x ∴的周期为6；又()f x 是偶函数，且(3,0)x ∈-时，()25f x x =-；f ∴（8）(26)f f =+=（2）(2)459f =-=--=-．故选C ．【点睛】本题主要考查偶函数和周期函数的定义，以及已知函数求值的方法．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为__________．【答案】2 【解析】 分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数2z x y =+可化为122zy x =-+，因此当直线122zy x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小，结合图像即可求出结果.【详解】由约束条件40,20,20,x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如下：因为目标函数2z x y=+可化为122zy x=-+，因此当直线122zy x=-+在y轴上截距最小时，2z x y=+取最小.由图像易得，当直线122zy x=-+过点(2,0)A时，在y轴上截距最小，即min2z=.故答案为2【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.14.已知4cos()35πα+=，则13sin()6πα-的值是____________.【答案】45-【解析】根据两角和的余弦公式可得134cos cos325πααα⎛⎫+==⎪⎝⎭，所以由诱导公式可得13sin6πα⎛⎫-=⎪⎝⎭31cos622sin sinπααα⎛⎫-=-⎪⎝⎭134cos225sinαα⎛⎫=--=-⎪⎪⎝⎭，故答案为45-.15.已知A，B，C三点在球O的表面上，2AB BC CA===，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则球O 的表面积为____. 【答案】6π 【解析】 【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【详解】解：设球的半径为r ，O ′是△ABC 的外心，外接圆半径为R 3=， ∵球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13， ∴得r 219-r 2＝43，得r 232=． 球的表面积S ＝4πr 2＝4π362⨯=π．故答案为6π．【点睛】本题考查球O 的表面积，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，是中档题．16.已知函数()sin f x ax x =+，若()()()g x f x f x '=+在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的最小值是___． 【答案】1 【解析】 【分析】化简函数的解析式，利用函数的导数，转化求解函数的最大值，即可得到结果．【详解】解：函数f x ax sinx =+（），若'g x f x f x ax sinx cosx a =+=+++（）（）（）， g x f x f x =+'（）（）（）在区间[-2π，2π]上单调递增，'0g x a sinx cosx =-+≥（），可得,,422a x x πππ⎛⎫⎡⎤≥-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得3,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,4x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭所以1a ≥.所以a最小值为：1．故答案为1．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，求解参数时．可将参数分离出来，转化为求解函数的最值，从而得到参数的取值范围．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 必做题：共60分.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=︒．(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)若PA AB =.求棱锥C PBD -的高. 【答案】（1）证明见解析（2）217. 【解析】 【分析】（1）推导出AC ⊥BD ，PA ⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面PAC ． （2）运用等体积转化图形求体积．【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥ BD . 又PA AC A ⋂=,所以BD ⊥平面PAC .（2）解：∵C PBD P CBD V V --=， 设棱锥C PBD -的高为h ∴1133PBD CBD h S PA S ∆∆⋅=⋅ ∵PA AB =，2AB =，60BAD ∠=︒ ∴22PB PD == 2BD = ∴2211722PBDS BD PB BD ∆⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11322CBD S BD AC ∆=⋅= ∴2217CBD PBD PA S h S ∆⋅==. 即棱锥C PBC -的高为2217. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥体积的求法，棱锥体积计算的常见方法： （1）直接应用体积公式求体积，这类问题的特征是：棱锥的底面积与高为已知或可求. （2）割补法求体积，一是将不方便计算的棱锥分割成若干易算的棱锥，逐一计算即可；二是将棱锥补成易算的棱锥或棱柱，从而求出棱锥体积.（3）转换棱锥求体积（主要适用三棱锥），在计算体积时可以换底进行等体积棱锥图形的转化.18.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭. （1）求角C 的值；（2）若4,7a c ==ABC ∆的面积.【答案】（1）23π；（2）【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简，将已知等式化简得sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合范围 ()0,C π∈，可得角C 的值；（2）利用余弦定理可求得24120b b +-=，解得b 的值，根据三角形的面积公式即可得出ABC ∆的面积.【详解】解：（1）因为sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即12sin sin cos 2sin sin 022R B C C R C B ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，由于在ABC ∆中，sin 0B >，则得出：1sin 022C C +=， 所以sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又因为()0,C π∈，则3C ππ+=，解得：23C π=.（2）在ABC ∆中，4,a c == 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 所以24120b b +-=，且0b >， 解得：2b =， 则ABC ∆的面积为：11sin 42222S ab C ==⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的综合应用，以及三角函数恒等变换的应用，同时考查学生的计算能力和转化思想.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2*2n n nS n N +=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()*213n an b n n N=-⋅∈，求数列{}nb 的前n 项和nT .【答案】（1）n a n =； （2）13(1)3,n n T n n N ++=+-⋅∈.【解析】 【分析】（1）应用公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩可求的通项n a 的表达式（2）由错位相减法求得数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）当n 2≥时，n n n 1a S S n -=-=；当n 1=时，11a S 1==，符合上式. 综上，n a n =. （2）()213nn b n =-.则由（1）-（2）得 ()()()2122123132132323213321313n n n nT n n -+⋅--=⋅+⋅++⋅+-⋅=+--⋅-()16223n n +=-+-⋅故()1313,n n T n n N ++=+-⋅∈.【点睛】知道n S 的表达式求数列通项时，我们常应用公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩可求的通项na 的表达式．20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(Ｉ) 证明：平面BDC ⊥平面1BDC（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【答案】1:1 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:121.已知函数ln ()(,)x af x bx a b R x-=-∈. （1）当0b =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()f x g x x=在x e =e 为自然对数的底）时取得极值，且函数()g x 在(0,)e 上有两个零点，求实数b 的取值范围.【答案】（1）()f x 在1(0,)a e +上单调递增，在1(,)ae ++∞上单调递减；（2）211(,)2e e. 【解析】 【分析】（1）当0b =时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f （x ）的单调性；（2）函数()g x 在()0,e 上有两个零点等价于函数()(),0,g x x e ∈的图像与x 轴有两个交点，数形结合即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）当0b =时，()ln x af x x-=， ()()221ln 1ln x x a a x x f x x x ⋅--+-=='， 令()0f x '=，得1a x e +=， 当()10,ax e+∈时，()0f x '>，当()1,ax e+∈+∞时，()0f x '<.所以函数()f x 在()10,ae +上单调递增，在()1,ae++∞上单调递减.（2）()()2ln f x x ag x b xx-==-，()()2431ln 2122ln x x a x a x x g x x x ⋅--⋅-=='+， ∵()g x 在x e =∴(0g e '=即1210a +-=，∴0a =. 所以()2ln x g x b x=-，()312ln xg x x -'=， 函数()g x 在(e 上单调递增，在),e +∞上单调递减，得函数的极大值12ge b e =-，∴当函数()g x 在()0,e 上有两个零点时，必有()0,10,2g e b e ⎧<⎪⎨->⎪⎩得2112b e e<<.当2112b e e <<时，210g e b e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭. ∴()g x 的两个零点分别在区间1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭与(),e e 中.∴的取值范围是211,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.己知直线l 的参数方程为132x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()13P ，．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值． 【答案】（1）21y x =+ ，216y x = ；（2810【解析】 【分析】（1）直线的参数方程消去t 可求得普通方程．由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，求得曲线C 普通方程．（2）直线的参数方程改写为153x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），由t 的几何意义求值．【详解】()1直线l 的参数方程为1(t 32x ty t=+⎧⎨=+⎩为参数)，消去参数，可得直线l 的普通方程y 2x 1=+，曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ16cos θ0-=，即22ρsin θ16ρcos θ=，曲线C 的直角坐标方程为2y 16x =，()2直线的参数方程改写为135x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入2y 16x =，24t 705--=，12t t +=1235t t 4=-，1212t t 11PA PB t t 35-+==． 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()22f x x x a =-++，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足00()23f x x +-<，求a 的取值范围． 【答案】（1）4(,][2,)3-∞-⋃+∞（2）71a -<<- 【解析】 【分析】（1）当1a =时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式()5f x ≥； （2）求出()()min23f x x +-<的最小值，根据不等式的关系转化为()221f x x x =-++即可求a 的取值范围．【详解】解：（1）当1a =时，2215x x -++≥， 由()5f x ≥得][4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥；当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++≥，即2x ≥，所以此时不等式无解； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-．所以原不等式的解集为()2222f x x x x a +-=-++. （2）()2422244x x a x a x a =-++≥+--=+ 43a +<. 因为原命题等价于()221f x x x =-++，所以43a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的数学思想进行讨论是解决本题的关键，属于中档题.。
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2021届全国大联考新高考原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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不按以上要求作答无效。
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答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,3,5,7,11}A =，{}2|9B x x =>，则AB =（ ）． A. {3,5,7,11}B. {7,11}C. {11}D. {5,7,11} 【答案】D【解析】【分析】求解二次不等式，由集合交运算即可容易求得结果.【详解】由29x >，解得3x <-或3x >，∴{|3B x x =<-或3}x >．∴{5,7,11}A B ⋂=．【点睛】本题考查二次不等式的求解，集合的交运算，属综合基础题.2.已知z 是复数z 的共轭复数，当1111i i z i i++=+--（i 是虚数单位）时，z z ⋅（ ）． A. 1C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】 根据复数的四则运算，求得z ，求其共轭，即可求得结果. 【详解】∵21(1)1(1)(1)i i i i i i ++==-+-，∴1||11i i i +==-，∴1z i =+，1z i =-． ∴(1)(1)2z z i i ⋅=+⋅-=．故选：C ．【点睛】本题考查复数的四则运算，以及共轭复数的求解，属综合基础题.3.已知136a =，2log b =，21.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A . b c a >> B. a c b >> C. a b c >> D. b a c >>【答案】C【解析】【分析】由对数运算，指数运算，即可容易判断.【详解】∵32223log log 22b ===，21.2 1.44c ==，136a =， ∴331366a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=． ∵3327628⎛⎫=< ⎪⎝⎭， ∴a b c >>．【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属综合基础题。
4.在中国园林建筑中，花窗是建筑中窗的一种装饰和美化的形式，既具备实用功能，又带有装饰效果，体现了人们对美好生活的憧憬．苏州园林作为中国园林建筑的代表，在很多亭台楼阁中都采用了花窗的形式，下图就是其中之一．该花窗外框是边长为80cm的正方形，正中间有一个半径为20cm的圆，如果窗框的宽度忽略不计，将一个小球（半径足够小）随机投在花窗上，则小球恰好从圆中穿过的概率为（）．A.6πB.8πC.16πD.32π【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得正方形面积和圆的面积，以及面积之比，即可求得结果.【详解】由题意可知正方形的面积216400cmS=，花窗正中间圆的面积22400cmSπ=，所以将一个小球随机投向花窗，小球恰好从圆中穿过的概率21400640016SPSππ===，故选：C．【点睛】本题考查几何概型的概率求解，属基础题.5.已知n S是等差数列{}n a的前n项和．若1545S=，则5353a a-的值为（）．A. 6B. 15C. 34D. 17【答案】A【解析】【分析】由1545S=求得8a，结合基本量的计算，即可求得结果.【详解】∵1545S=，∴81545a=．∴83a=．又∵()()()311158535432272a a a d a d a d a -=⨯+-⨯+=+=，∴53536a a -=．故选：A ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的性质，等差数列的基本量求解，属综合基础题.6.已知函数ln ,1()2,1x a x x f x x +>⎧=⎨≤⎩，若()f x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）． A. [2,)+∞B. [0,2]C. (2,)+∞D. (,2]-∞【答案】A【解析】【分析】要满足题意，只需y a lnx =+，2x y =在对应区间单调递增，以及分割点处的函数值大小关系，即可求得结果.【详解】∵当1x ≤时，1()222x f x ≤==，当1x >时，()ln f x a x a =+>， ∴当2a ≥时，()f x 在R 上为增函数，∴[2,)a ∈+∞.故选：A ．【点睛】本题考查由分段函数的单调性求参数值范围，涉及对数函数和指数函数的单调性，属综合基础题.7.已知(2,6)a =-，(3,1)b =，则向量a b +在b 方向上的投影为（ ）．A. 6-B.【答案】D【解析】【分析】求得a b +的坐标，利用向量的坐标即可求得结果.【详解】∵(2,6)a =-，(3,1)b =，∴(5,5)a b +=-．∴()53(5)110a b b +⋅=⨯+-⨯=，2||31b =+=∴向量a b +在b方向上的投影为()||10a b b b +⋅== 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及数量积的坐标运算，属综合基础题.8.已知直线,a b ，平面,,,a b αβαα⊂⊂，则//,//a b ββ是//αβ的 （ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为直线,,//,//a b a b ββ不一定相交所以时,αβ不一定平行,而//αβ时平面α内任意直线都平行平面β,即//,//a b ββ,因此//,//a b ββ是//αβ的必要但不充分条件,选B. 9.函数(1)y f x =+为奇函数，且在R 上为减函数，若(2)1f =-，则满足1(1)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A. [1,1]-B. [1,3]C. [0,2]D. [2,4] 【答案】B【解析】分析】 求得函数的对称性，结合函数值，利用函数单调性即可求得不等式.【详解】∵函数(1)y f x =+为奇函数，且在R 上为减函数，∴函数()y f x =的图象关于点(1,0)对称，且在R 上为减函数．∴()(2)0f x f x +-=．∴(0)(2)1f f =-=． ∴由1(1)1f x -≤-≤，可得(2)(1)(0)f f x f ≤-≤． 又∵函数()y f x =在R 上为减函数，∴012x ≤-≤．∴13x ≤≤．故选：B ．【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，涉及函数对称性的求解，属综合中档题. 10.在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ．若所有的棱长都是2，则异面直线1AC 与BC 所成的角的正弦值为（ ）．A. 14B. 2C. 2D. 22 【答案】A 【解析】【分析】由题可知，11AC B ∠即为所求或所求角的补角，利用余弦定理即可求得结果.【详解】如图，连接1AB ，∵BC //11B C ，∴11AC B ∠就是异面直线1AC 与BC 所成的角． 在11AC B 中，1122AC AB ==,112B C =, ∴112cos 422AC B ∠==．∴1114sin 4AC B ∠=． ∴异面直线1AC 与BC 14 故选：A ．【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，涉及余弦定理，属综合基础题.11.如图，1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y l a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线左、右两支分别交于点P ，Q ．若115FQ FP =，M 为PQ 的中点，且12FQ F M ⊥，则双曲线的离心率为（ ）．A. 142B. 72C. 2D. 2【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合几何关系，用,a c 表示出三角形2PMF 的三条边，由余弦定理即可求得结果.【详解】连接2F P ，2F Q ，设1FP t =，则由已知可得||||2PM MQ t ==．∵P ，Q 为双曲线上的点， ∴12FP t a =+，252F Q t a =-． ∵M 为PQ 的中点，且12FQ F M ⊥， ∴22F P F Q =．∴252t a t a +=-．∴t a =．∴1F P a =，||||2PM MQ a ==，223F P F Q a ==．∵在直角2PMF 中，222cos 33a MPF a ∠==． ∴22212942cos 233a a c F PF a a +-∠==-⨯⨯． ∴22414c a =．∴142e =． 故选：A ．【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线的定义，属中档题.12.已知6π，23π为函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴的两个相邻交点的横坐标，将()f x 的图象向左平移4π个单位得到()g x 的图象，A ，B ，C 为两个函数图象的交点，则ABC 面积的最小值为（ ）．A. C. 2π D. π 【答案】B【解析】【分析】根据周期和函数经过的一点即可求得函数解析式，由函数图像变换求得()g x ，再根据题意，即可求得三角形的面积最值. 【详解】∵2236T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴2ω=． 将,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()2sin(2)f x x ϕ=+，得()3k k Z πϕπ+=∈． 又∵||2ϕπ<，∴3πϕ=-，∴()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ∵()2sin 22cos 24233g x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由2sin 22cos 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2()34x k k Z πππ-=+∈， ∴7()224k x k Z ππ=+∈．∵相邻两个交点的横坐标之差为2π，将7()224k x k Z ππ=+∈代入()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得到交点的纵坐标为，∴ABC 面积的最小值为12π⨯⨯=． 故选：B ．【点睛】本题考查利用正弦函数性质求解函数解析式，以及由函数图像变换求变换后函数的解析式，属综合性困难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.一组样本数据10，23，12，5，9，a ，21，b ，22的平均数为16，中位数为21，则a b -=________．【答案】0【解析】【分析】由平均数的求解，即可求得,a b 的关系式，根据中位数的大小，即可容易求得b ，则问题得解.【详解】∵数据的平均数为16，∴102312592122169144a b ++++++++=⨯=．∴42a b +=．∵591012212223<<<<<<，且数据的中位数为21，∴21a ≥，21b ≥．∴21a b ==．∴0a b -=．故答案为：0.【点睛】本题考查一组数据的平均数和中位数的求解，属基础题.14.已知实数x ，y 满足0510060x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则实数2z x y =--的最大值为________．【答案】5-【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可求得结果.【详解】根据线性约束条件画出可行域，得到如图所示三角形区域ABC ．∵2z x y =--可化为1122y x z =--， ∴当直线1122y x z =--在y 轴上的截距最小时，实数z 取得最大值． 在图中作出直线12y x =-，并平移，使它与图中的阴影区域有公共点， 且在y 轴上的截距最小．由图可知，当直线过A 点时，截距最小．由05100x y x y -=⎧⎨+-=⎩，求得55,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 代入到2z x y =--中，解得5z =-，即max 5z =-．故答案为：5-.【点睛】本题考查简单线性规划问题的求解，属基础题.15.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()22n n S a n N ++=∈，则n a =________． 【答案】23n ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用n S 与n a 之间的关系，即可求得{}n a 是等比数列，则问题得解.【详解】∵()*22n n S a n N+=∈，∴123a =． ∴1122(2)n n S a n --+=≥．∴11220(2)n n n n S S a a n ---+-=≥．∴132(2)n n a a n -=≥． ∴12(2)3n n a n a -=≥． ∴数列{}n a 是以23为首项，23为公比的等比数列， ∴1222333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：23n ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用,n n a S 的关系求通项公式，涉及等比数列通项公式的基本量的求解，属综合基础题.16.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，F 是抛物线2:C y x =的焦点，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若||2AB =，则OAB 的面积为________．【答案】8【解析】 【分析】根据题意，设出直线AB 的方程，联立抛物线方程，由焦点弦公式即可容易求得k ，结合点到直线的距离公式，即可容易求得结果.【详解】由已知1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，10y >，20y <．若直线AB 斜率不存在，||1AB =，与已知矛盾； 则直线AB 斜率存在，设14y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 与抛物线2:C y x =联立，得204kky y --=， 则121y y k +=，2114y y ⋅=-． 由抛物线的定义，焦点弦长()2221211*********||212222AB x x y y y y y y k=++=++=+-⋅+=+=．∴1k =±，∴点O 到直线AB 的距离为8d =，∴1||28OABSAB d =⋅=．故答案为：8. 【点睛】本题考查由抛物线焦点弦求直线方程，以及求抛物线中三角形面积，属中档题. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.如图，在ABC 中，BD 是AC 边上的高，E 为AB 边上一点，CE 与BD 交于点O ，135BOC ︒∠=，1CD =，5DE =．（1）求BDE ∠的正弦值；（2）若2BO OD =，求ADE 的面积． 【答案】（15；（2）3. 【解析】 【分析】（1）先求得,OD DE ，利用余弦定理即可求得OE ，再利用正弦定理即可求得结果； （2）根据几何关系，以及（1）中所求，结合三角形面积公式，即可求得结果. 【详解】（1）∵135BOC ︒∠=，BD AC ⊥，1CD =， ∴45DOC ︒∠=，∴1OD =． 又∵5DE =，∴在DOE △中，由余弦定理，可得2251212OE OE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭，解得2OE =22OE =-再由正弦定理，得sin135sin DE OEBDE︒=∠，得2252sin 55BDE ∠==． （2）如图过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，则EF //AC ．∵在直角EOF △中，2OE =，45EOF ︒∠=，∴1OF EF ==． 又∵2BO OD =， ∴2BO =． ∴1BF =． 由EF BFAD BD=，得3AD =． 由（1）知，5cos sin 5ADE BDE ∠=∠=． ∴25sin ADE ∠=． ∴ADE 的面积1125sin 35322S AD DE ADE =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=． 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，属综合基础题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，E 为1CC 的中点，2AF FB =．（1）求证：1BC ∥平面1A EF ； （2）若12AC AA ==，2AB BC ==160A AC ︒∠=，求四棱锥111C BFA B -的体积．【答案】（1）证明见详解；（243. 【解析】 【分析】（1）连接1AC ，与1A E 交于点M ，连接MF ，只需证明MF //1BC ，即可证明线面平行； （2）根据几何关系，推导出所求四棱锥的体积与整个棱柱体积之间的关系，再由体积公式计算即可.【详解】（1）连接1AC ，与1A E 交于点M ，连接MF ，∵E 为1CC 的中点， ∴1C E //1AA ，且1112C E AA =． ∴1:2:1AM MC =． 又2AF FB =，∴在1ABC 中，MF //1BC ．又∵MF ⊂平面1A EF ，1BC ⊄平面1A EF ， ∴1BC //平面1A EF ．（2）解：∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，12AC AA ==，160A AC ︒∠=，∴三棱柱111ABC A B C -的高3h =∵V三棱锥11133ABC ABC C S h V -=⨯⋅=⋅三棱柱111ABC A B C -， ∴V 四棱锥11123ABB A C V -=⋅三棱柱111ABC A B C -．∵在侧面11ABB A 中，2AF FB =，∴S 梯形1123F B B A S =⋅平行四边形11ABB A ． ∴V 四棱锥11123C BFA B V -=⋅四棱锥11149C ABB A V -=⋅三棱柱111ABC A B C -∴V四棱锥114143223929B A B F =⨯=． 【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，涉及面面垂直推证线面垂直，以及棱锥棱柱体积的求解，属综合中档题.19.我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）．为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到下表：年龄区间[24,26][27,29][30,32][33,35][36,38][39,41][42,44][45,47][48,50]有意愿数80 81 87 86 84 83 83 70 66（1）设每个年龄区间的中间值为x，有意愿数为y，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数r（结果保留两位小数）；（2）从[24,26]，[33,35]，[39,41]，[45,47]，[48,50]这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率．（参考数据和公式：()()iinx x yy r --=∑，()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-，()()999111iii i i i i i x x yy x y x y ===--=-∑∑∑，9126340i ii x y ==∑473.96≈）【答案】（1）ˆ0.56100.72yx =-+．-0.63（2）35【解析】 【分析】（1）根据题意，结合参考数据和公式，代值计算即可求得结果；（2）列举出所有选取的结果，找出满足题意的选取结果，根据古典概型的概率计算公式即可求得.【详解】解：（1）由题意可求得：333379x ==，91720i i y ==∑，80y =， 9126640i i x y =⋅=∑，9126340i i i x y ==∑，∴()()9991112634026640300iii i i i i i x x yy x y x y ===--=-=-=-∑∑∑．又∵()229221222221296336912540ii xx =-=+++++++=∑，()9210149361699100196416i i y y =-=++++++++=∑，∴()()992211540416224640iii i x x yy ==-⋅-=⨯=∑∑．∴300ˆ0.56540b -=≈-．∴ˆˆ100.72a y bx =-=． ∴回归直线方程为ˆ0.56100.72yx =-+． ∴()()93000.63473.96iix x yy r ---==≈≈-∑．（2）由题意可知，在[24,26]，[33,35]，[39,41]年龄段中， 超过半数的夫要有生育二孩意愿，在[45,47]，[48,50]年龄段中， 超过半数的夫妻没有生育二孩意愿．设从[24,26]，[33,35]，[39,41]年龄段中选出的夫妻分别为1A ，2A ，3A ， 从[45,47]，[48,50]年龄段中选出的夫妻分别为1B ，2B ．则从中选出2对夫妻的所有可能结果为()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,AB ， ()23,A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B ，共10种情况．其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的情况有()11,A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，()22,A B ， ()31,A B ，()32,A B ，共6种．∴恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率63105P ==． 【点睛】本题考查线性回归方程、回归系数的计算，涉及古典概型的概率求解，计算量相对较大，需认真计算即可.20.已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，椭圆与y 轴正半轴交于点B ，直线1BF2F 到直线1BF（1）求椭圆C 的方程；（2）P 为椭圆C 上任意一点，过1F ，2F 分别作直线1l ，2l ，且1l 与2l 相交于x 轴上方一点M ，当123F MF π∠=时，求P ，M 两点间距离的最大值．【答案】（1）2214x y +=（22 【解析】 【分析】（1）设出1BF 的方程，根据其斜率以及点到直线的距离，即可列出方程，求得结果； （2）根据题意，得到1221tan31MF MF MF MF k k k k π-=⋅-+，从而求得M 点的轨迹方程，将问题转化为求一点到圆上任意一点距离的最大值，则问题得解.【详解】解：（1）由题意，可知1(,0)F c -，2(,0)F c ，(0,)B b ．∴b c =①． ∵直线1BF 的方程为1x yc b+=-，即0bx cy bc -+=．∴由题意有2bca=②． 又222a b c =+③．由①②③得2a =，1b =，c =．∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）由（1）可知：1(F，2F ． 设()00,P x y ，(,)M x y 且0y >． 则当1l ，2l 都不垂直于x轴时，1MF k =，2MF k =．∵123F MF π∠=，∴123MF x MF x π∠-∠=．∴1221tan31MF MF MF MF k k k k π-=⋅+．化简，得22(1)4(0)x y x y +-≠>=． 当1l 或2l 垂直于x轴时，得(M ，也满足上式． ∴M 点的轨迹方程为22(1)4(0)x y y =+->．∴当P 与圆心(0,1)距离最大时，P ，M 两点间距离取得最大值．===又∵011y -≤≤，∴0<≤．∴P ，M 2． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，椭圆中动点的轨迹问题，涉及圆外一点到圆上一点距离的最值问题，属综合中档题.21.已知函数()ln 1f x ax bx =-+，()ln g x ax x =-，1a >． （1）求函数()f x 的极值；（2）直线21y x =+为函数()f x 图象的一条切线，若对任意的1(0,1)x ∈，2[1,2]x ∈都有()()12g x f x '>成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）当0b ≤时没有极值；当0b >时，有极大值，极大值为1ln a f b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）(,)e +∞. 【解析】 【分析】（1）求导，对参数b 进行分类讨论，根据导数的正负，即可判断函数的单调性，根据单调性求极值；（2）设出切点为()00,x y ，利用导数几何意义求得,a b 与0x 之间的关系，将问题转化为在对应区间满足()()11max min g x f x '>，即可求得参数范围. 【详解】解：（1）∵1a >， ∴函数()f x 的定义域为(0,)+∞．∵()ln 1ln ln 1f x ax bx a x bx =-+=+-+，∴11()bxf x b x x'-=-=． ①当0b ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上为增函数，无极值；②当0b >时，由()0f x '=，得1x b=． ∵10,x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数，1,x b ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数，∴()f x 在定义域上有极大值，极大值为1lnaf b b⎛⎫= ⎪⎝⎭． （2）设直线21y x =+与函数()f x 图象相切的切点为()00,x y ，则0021y x =+． ∵1()f x b x=-'，∴()0012f x b x '=-=．∴012x b =+．∴0012bx x =-． 又∵000ln 121ax bx x -+=+， ∴0ln 1ax =．∴0ax e =．∴0ex a=． ∴2ab e=+． ∵对任意的1(0,1)x ∈，2[1,2]x ∈都有()()12g x f x '>成立， ∴只需()()11max min g x f x '>∵11()ax g x a x x'-=-=， ∴由()0g x '=，得1x a =．∵1a >，∴101a<<．∴10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 为减函数， 1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 为增函数．∴1()1ln g x g a a ⎛⎫≥=+⎪⎝⎭，即()min 11ln g x a =+． ∵()221f x b x '=-在2[1,2]x ∈上为减函数，∴()max 2(1)13a f x f b e ''==-=-． ∴1ln 3a a e +>-． 即ln 20a a e+->． 设()ln 2a h a a e=+-，易知()h a 在(1,)+∞上为增函数． 又∵()0h e =，∴实数a 的取值范围为(,)e +∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，涉及导数的几何意义，以及利用导数研究恒成立问题求参数，属压轴题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为143x t y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（2）设直线()4R πθρ=∈与曲线C 交于A ，B 两点（A 点在B 点左边）与直线l 交于点M ．求AM 和BM 的值．【答案】（1）222210x y x y +--+=，3430x y +-=．（2）||17AM =-，||1BM =+． 【解析】【分析】（1）利用公式和正弦的和角公式，将极坐标方程即可转化为直角坐标方程；消去参数t ，则参数方程即可转化为普通方程；（2）设出,,A B M 的极坐标点，联立()4R πθρ=∈与曲线C 的极坐标方程，即可求极坐标系下两点之间的距离.【详解】解：（1）∵22sin 11422πρθρθθ⎛⎫⎛⎫-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22sin 2cos 1ρρθρθ=--+0=，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为222210x y x y +--+= ∵143x t y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数），消去t ，得3430x y +-=． ∴直线l 的普通方程为3430x y +-=．（2）设点1,4A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,4M πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭．∵曲线C 的极坐标方程为2sin 104πρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，将()4R πθρ=∈代入，210ρ-+=．∴11ρ-，21ρ+．∵直线l 的极坐标方程为3cos 4sin 30ρθρθ+-=，∴333cos 4sin 3044ππρρ+-=，解得37ρ=．∴31||17AM ρρ=-=-，32||17BM ρρ=-=+． 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程之间的相互转化，涉及极坐标系下求两点之间的距离，属综合中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|||3|f x x a x =-++．（1）若1a =，解不等式()3f x x ≥；（2）若对任意,a x R ∈，求证：()2|1|f x a ≥-+．【答案】（1）(,2]-∞（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）分类讨论，即可求得不等式的解集；（2）使用两次绝对值三角不等式，即可容易证明.【详解】（1）解：∵1a =， ∴22,3()134,3122,1x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩．∴3223x x x ≤-⎧⎨--≥⎩或3143x x -<<⎧⎨≥⎩或1223x x x ≥⎧⎨+≥⎩， 解得3x ≤-或31x -<<或12x ≤≤．∴不等式()3f x x ≥的解集为(,2]-∞．（2）证明：∵()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，又∵|3||1|2a a +++≥，∴|3|2|1|a a +≥-+．∴()2|1|f x a ≥-+成立．【点睛】本题考查利用分类讨论求绝对值不等式的解集，以及利用绝对值三角不等式证明不等式，属综合基础题.。