2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(十六)文科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（十六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第一部分（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|90,{|15}A x x B x x =-<=-<，则A ⋂()B =R（ ）A. ()3,0-B. ()3,1--C. (3,1]--D. ()3,3-【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的补运算和交运算，即可求得结果. 【详解】由题知{|33},{|1RA x xB x x =-<<=-或5}x >，所以(){|31}RA B x x ⋂=-<-，故选：C.【点睛】本题考查二次不等式的解法，集合的运算，属于容易题.2.）Asin 40︒B. cos40︒C.cos130︒D.cos150︒-【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦的倍角公式，结合诱导公式，即可化简.cos130cos50sin 40︒︒︒=====，故选：A.【点睛】本题考查诱导公式，余弦的倍角公式，属于容易题.3..已知()()5,1,3,2OA OB =-=，AB 对应的复数为z ，则z =（ ） A. 5i - B. 32i + C. 23i -+ D. 23i --【答案】D 【解析】 【分析】根据向量减法坐标公式，解得AB 坐标，再写出对应的复数和其共轭复数. 【详解】由题可知()2,3AB =-， 故AB 对应的复数为23z i =-+， 则23z i =--， 故选：D.【点睛】此题考查复平面内点对应的向量，以及共轭复数的概念，属于容易题.4.在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100).据此绘制了如下图所示的频率分布直方图.则这200名学生中成绩在[80,90)中的学生有（）A. 30名B. 40名C. 50名D. 60名【答案】B【解析】【分析】根据面积之和为1，计算出[80,90)所在长方形的面积，即为频率，乘以样本容量即可. 【详解】由题知，成绩在[80,90)内的学生所占的频率为1(0.00520.0250.045)100.2-⨯++⨯=，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有2000.240⨯=名，故选：B.【点睛】本题考查频率分布直方图的概念及应用，属于容易题.5.函数()332,0log6,0x xf xx x⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（）A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】A【解析】【分析】由函数零点与方程的根的关系可得函数()332,0log6,0x xf xx x⎧->=⎨+≤⎩的零点即方程320x-=，3log60x+=的根，解方程后再将两根相加即可得解.【详解】解：令320x-=，解得3log2x=，令3log 60x +=，解得3log 6x =-， 则函数()f x 的零点之和为3331log 2log 6log 13-==-， 故选A.【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.6.我市高中数学研究会准备从会员中选拔x 名男生，y 名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛，若,x y 满足约束条件251127x y y x x -⎧⎪⎪-⎨⎪⎪⎩，则该小组最多选拔学生（ ） A. 21名 B. 16名C. 13名D. 11名【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式组画出可行域，构造目标函数z x y =+，数形结合即可求得. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示：目标函数z x y =+，求得(7,9)A ，观察可知，当直线y x z =-+过点(7,9)A 时，z 有最大值16， 故选：B.【点睛】本题考查线性规划的实际应用以及最优解，考查数形结合思想，属于中档题. 7.函数()()sin x xf x e ex -=+⋅的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据目标函数是奇函数，并且定义域为R ，据此判断. 【详解】因为()()()sin()sin ()xx x x f x ee x e e xf x ---=+⋅-=-+⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，根据奇函数图象的特点可以排除A 、D ， 又因为函数()f x 的定义域是R ，排除C . 故选：B.【点睛】此题考查函数的奇偶性，函数图象识别，属于中档题；一般地，我们从定义域，奇偶性，单调性以及特值得角度来判断.8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x =（ ）A.35B.911C.2123D.4547【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，使得最后退出循环时1873x x -=，即可得解. 【详解】1i =时，21x x =-；2i =时，()221143x x x =--=-；3i =时，()243187x x x =--=-；4i =时，退出循环.此时，1873x x -=，解得2123x =.故选C【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确结论，属于基础题.9.已知三个数0.5333,log 2,cos 2a b c ===，则它们之间的大小关系是（ ） A. c a b <<B. c b a <<C. a b c <<D.b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】 将数据与12或者1比较大小，从而判断三个数据的大小关系.【详解】由题知0.5332131,1log 3log 2log 2a b =>=>=>=，即112b <<， 又因为3862rad ≈︒，故310cos 6022c cos <=<︒=； 所以c b a <<， 故选：B.【点睛】此题考查指数、对数函数的基本性质，弧度制、三角函数的单调性，属于中档题. 10.已知单位向量12,e e 分别与平面直角坐标系,x y 轴的正方向同向，且向量123AC e e =-，1226BD e e =+，则平面四边形ABCD 的面积为（）B. C. 10D. 20【答案】C 【解析】【分析】由已知可得0AC BD ⋅=，可得AC BD ⊥，可得平面四边形ABCD 的面积1||||2AC BD =⋅⋅．【详解】由向量正交分解的定义可知，(3,1)AC =-，(2,6)BD =，则2||3AC ==22BD ==因为32(1)60AC BD ⋅=⨯+-⨯=，所以AC BD ⊥，所以平面四边形的对角线互相垂直，所以该四边形的面积为||||10102AC BD S ⋅===.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积运算性质、对角线互相垂直的四边形面积的计算，考查推理能力与运算求解能力． 11.已知函数32(2),0()12,02a x x ax a x f x x -⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []0,2【答案】C【分析】利用导数使得函数32y x ax a =-+，在区间(],0-∞单调递增；同时也要根据指数型复合函数的单调性，保证()f x 在区间()0,+∞上单调递增；最后再保证在分割点处，使得32y x ax a =-+的函数值小于等于()2122a xy -=+的函数值即可. 【详解】由题知，20a ->，即2a <； 由32y x ax a =-+得2320y x ax '=-≥ 只需保证0y '≥在(,0]x ∈-∞上恒成立，则32a x ≥在(,)x ∈-∞上恒成立，即0a ≥； 又函数()f x 在R 上单调递增，则需满足32a ≤， 综上，实数a 的取值范围是30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.【点睛】此题考查分段函数的单调性，三次函数单调性，恒成立问题等，涉及导数的计算，属于较难题. 12.已知3()|sin |f x x π=，123,,A A A 为图象的顶点，O ，B ，C ，D 为()f x 与x 轴的交点，线段3A D 上有五个不同的点125,,,Q Q Q ．记2(1,2,,5)i i n OA OQ i =⋅=，则15n n ++的值为（ ）1532B. 45C.4521534【答案】C 【解析】通过分析几何关系，求出230A OC ︒∠=，260A O C ︒∠=，再将i n 表示成222()=i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD =⋅=⋅+⋅，结合向量的数量积公式求解即可【详解】解：由图中几何关系可知，32OE =,23A E =,23OA =21A C =230A OC ︒∠=∴ 260A O C ︒∠=，32//A D A C ,∴23OA DA ⊥，即23OA DA ⊥．则2222()cos6i i i n OA OQ OA OD DQ OA OD OA OD π=⋅=⋅+=⋅=⋅，153453352n n ++==答案选C【点睛】本题结合三角函数考查向量的线性运算，找出两组基底向量2OA ，OD 是关键第二部分（非选择题 共90分）注意事项：1.本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.2.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.3.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. 13.命题“,()x R f x x ∀∈”的否定形式是____________.【答案】()000,x R f x x ∃∈> 【解析】 【分析】根据全称命题的否定的求解原则，直接得出结论.【详解】由题可知命题“,()x R f x x ∀∈”的否定形式是“()000,x R f x x ∃∈>”. 故答案为：()000,x R f x x ∃∈>.【点睛】此题考查全称命题的否定的概念，属于容易题.14.如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．【答案】2 ；-2 【解析】((0))(4)2f f f ==；(1)2AB f k '==-．15.如图，在单位圆中，723,PON S MON ∆=∆为等边三角形，且3090POM ︒︒<∠<，则sin POM ∠=__________.53【解析】 【分析】根据三角形PON 的面积，可求得sin PON ∠，再利用角度关系，应用正弦的和角公式即可求得.【详解】记POM α∠=，∵7PON S ∆=()1sin 6027α︒+=， ∴()sin 607α︒+=，∵3090α︒︒<<， ∴9060120α︒︒︒<+<∴()1cos 607α︒+=-， ∴()11sin sin 6060727214αα︒︒⎡⎤=+-=⨯+⨯=⎣⎦.. 【点睛】本题考查三角形的面积，单位圆的概念，角的分拆，和差角的三角函数，数形结合思想、逻辑推理能力等，属于中档题.16.已知ABC ∆中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，D 是AB 上的三等分点（靠近点A ），且1,()sin ()(sin sin )CD a b A c b C B =-=+-，则2+a b 的最大值为_____.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将角化边，反凑余弦定理，求得角C ；再利用向量的定比分点，结合均值不等式求得最大值.【详解】由()sin ()(sin sin )a b A c b C B -=+-，结合正弦定理得()()()a b a c b c b -=+-，整理得2222cos a b c ab ab C +-==，得1cos 2C =，可得3C π=； 因为点D 是AB 边上靠近点A 的三分点， 则1233CD CB CA =+， 故222144999CD CB CA CB CA =++⋅ 即22429a b ab ++=，即222(2)9292a b a b a b +⎛⎫+=+⨯+ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==223a b +，即2+a b 的最大值为故答案为：【点睛】本题考查正（余）弦定理，均值不等式的应用，逻辑推理能力等，属于较难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知{}n a 是递增的等差数列，且满足241520,36a a a a +=⋅=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*1302n n b a n N =-∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最小值. 【答案】（1）42n a n =-；（2）-225.【解析】【分析】（1）巧用等差数列的下标和性质，再由等差数列的基本量，根据题意列方程组即可求得.（2）由（1）知，数列{}n b 是等差数列，故直接用公式法求得n T ，再求其最小值即可.【详解】（1）因为{}n a 为等差数列，则241520a a a a +=+=，又1536a a ⋅=，故15,a a 是方程220360x x -+=的两根，∵{}n a 是递增的等差数列，解得152,18a a ==，则{}n a 的公差182451d -==-， 故24(1)42n a n n =+-=-.（2）由（1）知231n b n =-，因为()121312312n n b b n n +-=+--+=，故数列{}n b 是首项为-29，公差为2的等差数列， 由公式可得(29231)2n n T n =-+-230n n =-， 由二次函数的单调性，可得当15n =时，n T 的最小值为215153015225T =-⨯=-.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式，以及用公式法求解前n 项和，涉及其最小值的求解，属综合性基础题.18.在ABC ∆中，内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，且满足cos cos 3A a C b c =-. （1）求sin 2A ；（2）若1a =，ABC ∆，求b c +的值.【答案】（1）9（2）3 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得到cosC ，再根据同角三角函数关系求得sinC ，结合正弦的倍角公式即可求得；（2）利用（1）中结论，以及面积公式，即可得,b c 的一个方程；再根据余弦定理，得到,b c 的另一个方程，解方程组即可.【详解】（1）由正弦定理可得：cos (3sin sin )sin cos A B C A C -= 3sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=，故1cos 3A =，又0A π<<，所以sin A ，则sin 22sin cos A A A ==（2）由1sin 2ABC S bc A ∆==sin A ， 可得3bc =.又2221cos 32b c a A bc+-==， 得222()23b c b c bc +=+-=，即2()9b c +=，故3b c +=.【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，同角三角函数关系，正弦的倍角公式，以及三角形面积公式，余弦定理解三角形，属综合性基础题.19.已知四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ABCD ⊥底面，PB AD ⊥，PAD △是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，点M 为PC 的中点.（1）求证：PA MDB ∥平面（2）求三棱锥P DBM -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）连结AC ，交BD 于O ，//MO PA ，欲证PA MDB ∥平面，只需证//MO PA 即可，再由题意可证明；（2）由已知条件可得1122P DBM C DMB P CDB P ADB V V V V ----===，再求出P ADB V -的体积即可得解.【详解】解：（1）连结AC ，交BD 于O ，由于底面ABCD 为菱形，∴O 为AC 中点又M 为PC 的中点，//MO PA ，又MO MDB PA MDB ⊂⊄平面，平面//PA MDB ∴平面（2）过P 作PE AD ⊥，垂足为E ，由于PAD △为正三角形，E 为AD 的中点，由于侧面PAD ABCD ⊥底面，由面面垂直的性质得PE ABCD ⊥平面，由,AD PE AD PB ⊥⊥，得AD PEB ⊥平面.60AD EB EAB ︒∴⊥∴∠=，因为M 为PC 的中点， 所以1122P DBM C DMB P CDB P ADB V V V V ----===1131432342=⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥P DBM -的体积为12.【点睛】本题考查了线面平行的判定及三棱锥的体积的求法，重点考查了运算能力，属中档题.20.某校为了了解篮球运动是否与性别相关，在高一新生中随机调查了40名男生和40名女生，调查的结果如下表：喜欢 不喜欢 总计 女生8 男生20 总计（1）根据题意完成上面的列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关？（2）从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取5人做进一步调查，从这5人中任选2人，求2人都喜欢篮球运动的概率.附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c d d -==+++++++. 【答案】（1）填表、分析见详解，能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关；（2）35. 【解析】【分析】（1）根据男生和女生各有40个，即可得到表格中的所有数据，再根据表格数据，利用参考公式，计算2K ，即可进行判断；（2）先根据分层抽样的等比例抽取的性质，计算出5人中喜欢篮球和不喜欢篮球的人；从而列举出所有从5人中抽取2人的可能性，再找出满足题意的可能性，用古典概型概率计算公式即可求得.【详解】（1）填表如下：∴2280(3220208)7.912 6.63552284040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为喜欢篮球运动与性别有关.（2）从女生中按喜欢篮球运动与否，用分层抽样的方法抽取5人， 则其中喜欢篮球运动的有325440⨯=（人）， 不喜欢篮球运动的有85140⨯=（人） 设喜欢篮球运动的4人记为,,,A B C D ，不喜欢篮球运动的记为a ，则从这5人中任选2人的所有结果有：{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A C A D A a B C B D B a C D C a D a ，共10种. 其中恰好2人都喜欢篮球运动的有{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A C A D B C B D C D ，共6种. 所以从这5人中任选2人，2人都喜欢篮球运动的概率为63105P ==. 【点睛】本题考查2K 的计算，以及古典概型的概率计算，涉及分层抽样的计算，属综合性中档题.21.已知函数21()(32)()2x f x m e x m R =--∈. （1）若0x =是函数()f x 的一个极值点，试讨论()ln ()()h x b x f x b R =+∈的单调性；（2）若()f x 在R 上有且仅有一个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）当0b 时，()h x 在(0,)+∞上单调递减；当0b >时，()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；（2）2222,333e ⎧⎫⎛⎫++∞⋃⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭. 【解析】【分析】（1）根据极值点处导数为零，计算出参数m 以及()h x ，再对()h x 求导，对参数b 进行分类讨论，从而求得该函数的单调区间；（2）分离参数，构造函数，通过讨论构造的函数的单调性求得值域，即可求得参数m 的取值范围.【详解】（1）()(32)xf x m e x '=--，因为0x =是函数()f x 的一个极值点，则(0)320f m '=-=，所以23m =， 则21()ln (0)2h x b x x x =->， 当2()b b x h x x x x-'=-=， 当0b 时，()0h x '恒成立，()h x 在(0,)+∞上单调递减，当0b >时，2()000h x b x x '>⇒->⇒<<，所以()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减.综上所述：当0b 时，()h x 在(0,)+∞上单调递减；当0b >时，()h x 在上单调递增，在)+∞上单调递减.（2）()f x 在R 上有且仅有一个零点， 即方程2322x x m e -=有唯一的解，令2()2x x g x e=， 可得(2)()0,()2x x x g x g x e -'>=， 由(2)()02xx x g x e -'==， 得0x =或2x =，（1）当0x 时，()0g x '，所以()g x 在(,0]-∞上单调递减，所以()(0)0g x g =，所以()g x 的取值范围为[0,)+∞.（2）当02x <<时，()0g x '>，所以()g x 在(0,2)上单调递增，所以0()(2)g x g <<，即220()g x e <<， 故()g x 的取值范围为220,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）当2x 时，()0g x '，所以()g x 在[2,)+∞上单调递减，所以(0)()(2)g g x g <，即220()g x e <， 即()g x 的取值范围为220,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 所以，当320m -=或2232m e ->， 即23m =或22233m e >+时，()f x 在R 上有且只有一个零点， 故m 的取值范围为2222,333e ⎧⎫⎛⎫++∞⋃⎨⎬⎪⎩⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查对含参函数单调性的讨论，以及利用导数研究由函数零点个数求参数范围的问题，涉及分离参数，构造函数的数学方法，属综合性中档题.请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2） 【解析】【分析】(1)先将1C 和2C 化为普通方程，可知是两个圆，由圆心的距离判断出两者相交，进而得相交直线的普通方程，再化成极坐标方程即可；(2)先求出l 的普通方程有4x y +=，点(0,4)M ，写出直线l的参数方程242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入曲线1C ：22(5)10x y -+=，设交点,A B 两点的参数为1t ，2t ，根据韦达定理可得12t t +和12t t ，进而求得MA MB +的值．【详解】(1) 曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =. 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=. (2) 直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M直线l的参数方程为242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=.设,A B 两点的参数为1t ，2t所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号.所以1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．23.已知x ，y ，z 均为正数．（1）若xy ＜1，证明：|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ；（2）若xyz x y z ++＝13，求2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8【解析】【分析】（1）利用基本不等式可得|x |||4z y z z +⋅+≥=再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x +z |⋅|y +z |＞4xyz .（2）由xyz x y z ++＝13, 得1113yz xz xy++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz ≥3，从而求出2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值.【详解】（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥4，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴44xyz>，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵xyzx y z++＝13，即1113yz xz xy++=．∵1122 yz yzyz yz+⋅=，1122xz xzxz xz+⋅=，1122xy xyxy xy+⋅=，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴1116 xy yz xzxy yz xz+++++，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．。
2021届全国大联考新高考原创预测试卷(二十九)文科数学
2021届全国大联考新高考原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
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答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x ||x |<3}，B ={x ||x |>1}，则A B =A ．RB ．(1,3)C ．(3,1)(1,3)-- D ．{–2，2}2.下列函数中，在其定义域上是减函数的是A ．1y x =- B ．tan()y x =- C ． e x y -=- D ．2,02,0x x y x x -+≤⎧=⎨-->⎩3.已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件4.在△ABC 所在的平面内有一点P ，如果PB AB PC PA -=+2， 那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比是A. 34B. 12C. 13D. 235.若α为第三象限角，则A ．cos20α>B ．cos20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<6.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若23a =，2b =，60A =︒，则B 为A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°7.已知函数2()1log f x x x =-++，则不等式()0f x <的解集是A ．(0,2)B ．(,1)(2,)-∞+∞ C ．(1,2) D ．(0,1)(2,)+∞8.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年．如图，现有△ABC 满足“勾3股4弦5”，其中AC=3，BC=4，点D 是CB 延长线上的一点，则AD AC ⋅= A ．3 B ．4 C ．9 D ．不能确定 9.在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则sin α等于A ．25-B ．55-C ．55D ．2510.在ABC ∆中，,51cos ,6,5===A AC AB O 是ABC ∆的内心，若OP xOB yOC =+,其中]1,0[,∈y x ，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为 A.3610 B . 3614 C . 34 D. 26 11.已知()2ln f x a x x =-在区间()0,1内任取两个不相等的实数p q 、，不等式()()1f p f q p q->-恒成立,则实数a 的取值范围为A ．()3,5B ．(],3-∞C ．(]3,5D ．[)3,+∞12.已知函数，若在区间上有m 个零点，，，，，则A. 4042B. 4041C. 4040D. 4039二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数2i 2i z a a =--是负实数，则实数a 的值为 ．14.已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的最大值是 ． 15. 如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120︒，点C 在弧AB 上，且30COB ︒∠=，若OB OA OC μλ+=，则λμ+= ．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()2g x x =+，实数,a b 满足3b a >>.若[]12,,2,0x a b x ⎡⎤∀∈∃∈-⎣⎦,使得()()12f x g x =成立,则b a -的最大值为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分） 已知集合}03|{<≤-=x x A ，集合}2|{2x x x B >-= （1）求B A ⋂；（2）若集合}22|{+≤≤=a x a x C ，且C B A ⊆⋂)(，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）函数的部分图象如图所示，其中，，．1求函数解析式；2求时，函数的值域．19.（本小题满分12分）已知向量(sin(),2),(1,cos())a x b x ωϕωϕ=+=+（ω＞0，0＜ϕ＜4π）。
2021届全国大联考新高考原创预测试卷(三十)文科数学
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第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 设全集{|0}U x x =∈>R ，函数()1ln f x x =-A ，则UA 为A. (,)e +∞B. [,)e +∞C. (0,)eD. (0,]e2. 复数12,z z 满足12||||1z z ==，12||2z z +，则12||z z -= A. 1 B. 2 C. 2 D. 223. 设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题：①若l α⊥，αβ⊥，则//l β； ②若//l α，//αβ，则//l β； ③若l α⊥，//αβ，则l β⊥； ④若//l α，αβ⊥，则l β⊥. 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2C. 3D. 44. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为 A. 1030020(())a x a x a a x +++的值B. 3020100(())a x a x a a x +++的值C. 0010230(())a x a x a a x +++的值D. 2000310(())a x a x a a x +++的值5. 已知x 、y 取值如下表：A. 0.95B. 1.00C. 1.10D. 1.15 6. 已知p ：“函数()f x 为偶函数”是q ：“函数(())g f x 为偶函数”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为A. 163π+B. 326π+C. 6412π+D. 646π+8. 在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，若22a b -=，sinC B =，则A =A.6π B. 3π C.23π D.56π 9. 函数||()x f x x e =⋅的大致图象为10. 若等差数列{}n a 前n 项和n S 有最大值，且11121a a <-，则当n S 取最大值时，n 的值为 A. 10B. 11C. 12D. 1311. 已知,x y 满足041x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，且12z x y =+的最大值是M ，最小值是m ，若3Ma mb +=(,a b 均为正实数)，则21a b+的最小值为正视图侧视图A. 4B.92C. 8D. 9 12. 已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若212||||8PF PF a ⋅=，且12PF F ∆的最小内角为30，则双曲线C 的离心率是A.2B. 2C.3D. 3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 已知向量(1,2)x =-a ，(2,2)y =b ，且⊥a b ，则||+a b 的最小值为________. 14. 已知函数()sin(2)3f x x π=+与()g x 的图象关于直线6x π=对称，将()g x 的图象向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后与()f x 的图象重合，则ϕ的最小值为__________.15. 给出下列5种说法： ①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小； ③回归分析研究的是两个相关事件的独立性；④在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；⑤相关指数2R 是用来刻画回归效果的，2R 的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好. 其中说法正确的是________（请将正确说法的序号写在横线上）. 16. 如图，在三棱锥A BCD -中，ACD ∆与BCD ∆都是边长为2的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的表面积为________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分） 如图，一山顶有一信号塔CD (CD 所在的直线与地平面垂直)，在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为,α沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β. (1) 求BC 的长； (2) 若24,45,75,30,l αβθ︒==︒==︒求信号塔CD 的高度. 18. （本小题满分12分）API [0,50] (50,100] (100,150] (150,200](200,250] (250,)+∞ 天数 6 12 22 30 14 16(1) 若将API 值低于150的天气视为“好天”，并将频率视为概率，根据上述表格，预测今年高考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率； (2) API 值对部分生产企业有着重大的影响，，假设某企业的日利润()f x 与API 值x 的函数关系为：40150()15150x f x x ()⎧=⎨(>)⎩≤（单位；万元），利用分层抽样的方式从监测的100天A E DCB αβθ中选出5天，再从这5天中任取3天计算企业利润之和，求利润之和小于80万元的概率.19. （本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，侧棱1AA ⊥平面ABC ，D 为棱11A B 的中点，E 为1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =.(1) 求证：EF 平面1BC D ； (2) 求点D 到平面1EBC 的距离.20. （本小题满分12分）已知点(1,0)F ，点P 为平面上的动点，过点P 作直线:1l x =-的垂线，垂足为H ，且HP HF FP FH ⋅=⋅.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 过点F 的直线与轨迹C 交于点,A B 两点，在,A B 处分别作轨迹C 的切线交于点N ，求证：NF AB k k ⋅为定值.21. （本小题满分12分） 已知函数1ln ()xf x x+=. (1) 若函数()f x 在区间1(,)2a a +上存在极值，求正实数a 的取值范围；(2) 如果当1x ≥时，不等式()1kf x x +≥恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图AB 是圆O 的一条弦，过点A 作圆的切线AD ，作BD AD ⊥，与该圆交于点E，若AD =2DE =.(1) 求圆O 的半径；(2) 若点H 为BC 中点，求证,,O H E 三点共线.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ()sin 2x y ααα⎧=⎨=⎩是参数，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1sin cos ρθθ=-.(1) 求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2) 求曲线1C 上的任意一点P 到曲线2C 的最小距离，并求出此时点P 的坐标. 24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()|2|f x x a a =-+.(1) 若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；(2) 在(1)条件下，若存在实数n ，使得()()f n m f n --≤恒成立，求实数m 的取值范围.A 1B 1C 1ABCED答案一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. A2. B3. A4. C5. C6. A7. C8. A9. A 10. B 11. B 12. C 简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】A {|1ln 0}{|0}A x x x x e =-=<≥≤，则(,)U A e =+∞．故选A. 2. 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.【试题解析】B 根据复数的几何意义，由题意，可将12,z z 看作夹角为90︒的单位向量，从而12||z z -=，故选B.3. 【命题意图】本小题主要考查空间线和面的位置关系，对于特殊位置要提示考生多加论证，多举反例.【试题解析】A 易知③正确，故选A.4. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化.【试题解析】C 由秦九韶算法，0010230(())S a x a x a a x =+++，故选C.5. 【命题意图】本小题主要考查线性回归方程的性质和应用，对学生的数据处理能力提出一定要求.【试题解析】C 由题意知，4,5x y ==，从而代入回归方程有 1.10b =，故选C .6. 【命题意图】本小题主要借助条件逻辑的判定，考查函数的性质以及对复合函数奇偶性的判定等问题.【试题解析】A 当()f x 为偶函数时，可得(())(())g f x g f x -=，故p 是q 的充分条件；而当(())g f x 为偶函数时，不能推出“()f x 为偶函数”成立，如3()||,()g x x f x x ==，3(())||g f x x =是偶函数，而()f x 不是偶函数，故选A.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为4(163)6412+=+ππ，故选C.8. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A由正弦定理得c =，a =，再由余弦定理可得cos A =，故选A.9. 【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题.【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除,B C ；又由于当0x >时，x e 的增加速度快，故选A.10. 【命题意图】B 本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前n 项和的理解，理解等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.【试题解析】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由11121aa <-，知11120,0a a ><，从而使n S 取最大值的11n =，故选B. 11. 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能，而且本题另外的一个重要考点是基本不等式的应用，此类问题也是非常典型的常规问题.【试题解析】B由题可求得，33,2M m ==，从而12ba +=，2121559()()22222b b a a a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23a b ==时取“=”，故选B. 12. 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力和数形结合能力提出较高要求.【试题解析】C 不妨设点P 在双曲线右支，12,F F 分别为左，右焦点，有12||||2PF PF a -=，由212||||8PF PF a ⋅=，可得12||4,||2PF a PF a ==，由12||22F F c a =>知，12PF F ∆的最小内角为1230PF F ∠=︒，从而12PF F ∆为直角三角形，1290F F P ∠=︒，此时双曲线离心率e =，故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 3 14. 6π15. ②④⑤16.203π 简答与提示：13. 【命题意图】本小题是向量的简单应用，对向量计算的掌握是考生必须掌握的基本技能.【试题解析】由a b ⊥得12xy =，||1(23a b +=+≥=，故||a b +的最小值为3.14. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称，图像的平移以及三角函数最值的求取，属于基本试题.【试题解析】函数()g x 的解析式为()sin 2g x x =，其图象向左平移ϕ个单位后对应解析式为sin(22)y x ϕ=+，从而223k πϕπ=+，即()6k k N πϕπ=+∈，所以min 6πϕ=.15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题. 【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题. 【试题解析】取,AB CD 中点分别为,E F ，连接,,EF AF BF ，由题意知,AF BF AF BF ⊥=，EF ，易知三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上，连接,OA OC ，有222222,R AE OE R CF OF =+=+，求得253R =，所以其表面积为203π.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用解三角形的思想解决实际问题，对考生的抽象概括能力和运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 在ABC ∆中，,(),CAB ABC ACB αθπβθβα∠=-∠=--∠=-，由正弦定理，sin()sin()BC l αθβα-=-.(6分)(2) 由(1)及条件知，sin()sin()BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒，45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒，由正弦定理得，sin 4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒.(12分)18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4， 则连续两天出现“好天”的概率为0.40.40.16⨯=. (6分)(2) 利用分层抽样后利润等于40万元的天数为2，并设为,A B ，利润等于15万元的天数为3，并设为,,a b c ，从中取出3天的结果可能有以下10种：ABa 、ABb 、ABc 、Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc .其中Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc 共7种利润之和不足80万元.因此利润值和小于80万元的概率为710. (12分)19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间点面距离的求法. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：由1112DB AF BB AE ==，可知//EF BD ， 11////EF BDEF BC D BD BC D ⎫⇒⎬⊂⎭平面平面.(6分)(2) 由题可知111132EBD ABB A A DE ABE BDB S S S S S ∆∆∆∆=---=.1111111111111111A A A B C A A C D C D ABB A C D A B C C D A B ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎭⎪ ⊥⎭平面平面平面则1113C EBD EBD V S C D -∆=⋅= 1EBC ∆中，EC =EB =，1BC =1EBC S ∆=11132C EBD EBC V S h h -∆=⋅==，则4h =(12分)20. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解(1) 设(,)P x y ，则(1,)H y -，有(1,0),(2,),(1,),(2,)HP x HF y FP x y FH y =+=-=-=-，从而由题意得24y x =.(4分)(2) 证明：设点000(,)(0)M x y x ≠为轨迹C 上一点，直线000:()m y k x x y =-+为轨迹C 的切线，有20004()y x y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得，20000440k y y k x y --+=，其判别式0000164(44)0k k x y ∆=--+=，解得002k y =，有002:2y m y x y =+ * 设1122(,),(,)A x y B x y ，:(1)AB y k x =-，联立有24,(1)y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 得，2440ky y k --=，有124y y k+=，124y y ⋅=-根据*式有112:2y NA y x y =+，222:2y NB y x y =+，解得2(1,)N k-，从而20111NF AB k k k k -⋅=⋅=-+，为定值. (12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)函数的定义域为(0,)+∞，2211ln ln ()x xf x x x--'==-. 令()0f x '=，得1x =；当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，1x =为极大值点，所以112a a <<+，故112a <<，即实数a 的取值范围为1(,1)2. (6分)(2)当1x ≥时，(1)(1ln )x x k x ++≤，令(1)(1ln )()x x g x x ++=，则221[1ln 1](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x+++-++-'==.再令()ln h x x x =-，则1()10h x x'=-≥，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0g x '>， 所以()g x 为单调增函数，所以()(1)2g x g ≥=，故2k ≤.(12分)22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 取BD 中点为F ，连结OF ，由题意知，//OF AC ，OF AC = AC 为圆O 的切线，BC 为割线2CA CD CB ∴=⋅，由2AC CD ==，6,4,2BC BD BF ∴===在Rt OBF ∆中，由勾股定理得，4r OB ===. (5分) (2) 由(1)知，//,OA BD OA BD =所以四边形OADB 为平行四边形，又因为E 为AB 的中点， 所以OD 与AB 交于点E ，所以,,O E D 三点共线. (10分)23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+=2C 的直角坐标方程为1y x =+.(5分)(2) 设(1cos2,sin 2)P αα+，则P 到2C 的距离|2)|4d πα=+，当cos(2)14πα+=-，即322()4k k Z παπ=+∈时，d 1，此时P 点坐标为(1.(10分) 24. 【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知识. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力. 【试题解析】解：(1) 由()6f x ≤，得626(6)a x a a a -≤-≤-<，即其解集为{|33}x a x -≤≤，由题意知()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，所以1a =. (5分)(2) 原不等式等价于，存在实数n ，使得()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++恒成立，即min |12||12|2m n n ≥-+++，而由绝对值三角不等式，|12||12|2n n -++≥， 从而实数4m ≥. (10分)。
2021年高考文科数学模拟试卷(含答案)
2021年高考文科数学模拟测试卷一、选择题（共12小题）・已知集合A = {xll2x- ll≥3}, B={x ∖y=l s (x 2-x-6)1 24•在等差数列｛如｝中,a 3+a 3+a ι3=27,S π表示数列｛Qn ｝的前〃项和，则S 15=（在圆柱内任取一点E 则使IPOlWr 的槪率为（A 1B 丄 A- 3b∙ 2）,则CRqrIB=（）2. 3・A. (- 1, 3)B. 0C. (2, 3)D. (-2, -1)则 sinθcosθ=（D- 2若它们的中位数相同，平均数也相同, 复数 Z= （sinθ - 2cosθ） + （sinθ+2cosθ） Z 是纯虚数,A-色 B - ~A- 2 β∙ 5则图C. 2D. 3A. 134B. 135C ∙ 136D. 1375.已知α>0, b>O,两直线∕ι:则■的最小值为（）a b(r∕ - 1) x+y - 1 =0, /2: x+2hy+∖ = 0 且厶丄/2,A. 2B. 4C. 8D. 9D ∙ -√37・圆柱的底面半径为几 侧面积是底面积的4倍.O是圆柱中轴线的中点，若 c∙ i① 两个变量间的相关系数厂越小,说明两变量间的线性相关程度越低;( )6.执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（)饷!A ・0B.普C. 438.下列四个命题中，正确的有（② 命题"3Λ∙∈R,使得W+χ+ιv(Γ的否定是：“对XMWR,均有x 2+.r+l>O n: ③ 命题“PM 为真”是命题“p7q 为真”的必要不充分条件；④ 若函数/ (Λ) =x y +3ax 2+hx+a 2 在 X= - 1 有极值 0,则 a = 2, b = 9 或 U= 1, b = 3.的取值范围是()A. (4 (加2+1) , +∞)B. (O T 4 (l+∕n2)]C. ( - ∞, 0) U {4 (l+∕n2) }D. (0, 4 (加2+1))二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相 应位置.13・已知某三棱锥的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的体积B. 1个 x+y-3≤0 9.已知X, y 满足区域D: χ-y-l≤O,U>1 B. (O, 2√3] A ・0个 C. 2个 D ∙ 3个则.1：MTL :化的取值范围是()χkχ+yJ A ・[1, +∞)C. [2^√3-3, UD. [1, 2√3]x 2- 2x+y 2+4y+a 2=Q (a>O),过F 的直线/与C 交于仏B 两邑(AA 在第一象限)，且7B =4AF,直线/与圆M 相切，则U=(A. 0B. 12.若函数/ (x) =ax 2+ )2√∏ r √H5 • 5(2-α) X - InX (UeR y )在其定SI 域上有两个零点，则αD. 3,焦点为化圆M ：10∙函数心苗沪图象大致为∖∕z14.已知△ ABC中，ZBAC=60° , AB=2, AC=4, E、F 分别为BC 边上三等分点，则^-AF= __________ .15.若数列｛如的前“项和为S“,对任意正整数H都有3S”+如=2,记bn"”丄2则数列｛ττ—｝的前50项的和为b n b ni-l -------16.如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为''赵爽弦图”，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为寺，若直角三角形的两条直角边的长分别为心b(a>b),则匕=a三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内.17.已知各项都不相等的等差数列｛如｝中，a4= I(V3,又5, "2,他成等比数列.(/)求数列｛/｝的通项公式；TT(〃)若函数y=Z a l Sin("^"x+Φ) T OVφVπ,的一部分图象如图所示，A ( - 1,⑷)，B (3,・山)为图象上的两点，HZAOB=Q i其中O为坐标原点，0 <θ<π,求COS(θ+φ)的值.18・某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每IOO颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差A-(D C) 10 11 13 12 8发茅数y 23 25 30 26 16 (颗)(1)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为叫n f求事件iζm9舁均小于25”的概率；(2)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于X的线性回归方程，=皆十苏A A λ AΣ Xi y i-nχy(参考公式：回归直线方程为=bΛ+a,其中J -----------------------Σ x i2-n(x)2 1-119.如图甲，在平面四边形ABCD中，已知ZA=45° , ZC=90o , ZADC=105o , AB=BD,现将四边形ABCD沿BZ)折起，使平^ABD丄平而BDC (如图乙),设点E、F分别为棱AC S AD的中点•(I )求证：DC丄平而ABC；■BCD夹在平而BEF与平而BCD间的体积・2上矿lG>b>O)上一个动点，且点M到两焦点的距离b z.220.已知点M为椭圆青a之和为4,离心率为萼，且点M 与点N 关于原点O 对称.乙(I )求椭圆的方程；(Il )过点M 作椭圆的切线/与圆C ： x 2+y 2=4相交于A, B 两点，沁NAB 的面积最大时，求直线/的方程.21 ・已知函数f (x) =x+xlnx 9 h (x) = (G-I) x+xlnx+2ln (l+x).(I )求函数f (X)在点(1, f (1))处的切线方程；(Il )当GE (0, 2)时，求函数g (X) =f (A) -h (X)在区间［0, 3］上的最 小值・请考生在第22∙23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做得第一题记分.作 答时请写清题号•［选修4«4:坐标系与参数方程］坐标系(与直角坐标系XOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以X 轴 正半轴为极轴)中，圆C 的方程为P =2√5sinθ .(I )求圆C 的圆心到直线/的距离；(Il )设圆C 与直线/交于点A 、B.若点P 的坐标为(3, √5) , ^∖PA ∖+∖PB ∖.［选修4・5:不等式选讲］23. ( I )已知非零常数°、b 满足a +b=^-3-,求不等式∖-2x+∖∖^ab 的解集;(Il )若VΛ-∈［1, 2］, Λ-k-rtl≤ 1恒成立，求常数G 的取值范围・22.在直角坐标系XOy 中，直线/的参数方程为x=3-^t$ L α为参数)，在极一、选择题1. 解：因为 A = {x ∖∖2x- ll≥3) = {xLv^2 或 XW-1},所以CRA= ( - 1, 5) , B={x ∖y=lg (x 2-X- 6) } = {A I X >3 或 XV-4}, 故选：B.2. 解：T 复数 Z= (sinθ - 2cosθ) + (sinθ+2cosθ) i 是纯虚数,Sinθ -2GOS θ =0 ,Sin θ +8cos θ ≠0,故选：C.3・解：根据茎叶图知，乙的中位数是31,・•・甲的中位数也是31,即30[+29 =3], 又甲的平均数是(24+29+33+42) =32,/. n=9；故选：A.4. 解：在等差数列｛如｝中， T 03+08+53 = 27,Sn 表示数列｛伽｝的前H 项和，故选：B.5. 解：∙.∙d>0, b>0,两直线人：3)x+y-l=0, ∕2: Λ+6hy+l=0,且人 丄/2, ∙∙∙ («-6) +2b=09 即 a+2b= 1斗当且仅当 a = 2bc ab=£时，等号成立. 故选：C.6. 解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变2「 兀 2兀 2017兀,,/七重 S=tan-y+tan —^-+ ∙ ∙ ∙+tan 的 值，OC5 i门JT由于taιr≡^-的取值周期为6,且2017 = 336X6+2, 故选：C.7. 解：根据题意，设圆柱的高为九 圆柱的底而半径为几其底而而积S=πr 2,侧而积 S wι = 2πr ∙ h,参考答案解得 tanθ = 2.若侧而积是底而积的3倍，即2πr∙ Λ=4πr2,则有h = 3r,3若IPolW匚则P在以O为球心，半径为,•的球内，其体积W = 4：T ,故选：C.8.解：对于①：相关系数厂的绝对值越趋近于1,相关性越强；越趋近于0,相关性越弱，故①错误；对于②：命题u3x∈R,使得疋+x+lVO”的否定是："对V疋R,均有x7+x+l MO” ,故②错误;对于④：f (X) = 3x2+6ax+b,因为f(X)在X=-I有极值0,故[f(-4)=3a-b÷a2-l=0 解得严2 或严1If Z (-l) = 7-6a+b=0 ' lb=9 ∏b=5当“=1, b = 3 时，f (Λ-)=3X7+6Λ+3=3(X+1) 2$0 恒成立，此时f (%)没有极值点，故不符合条件；故选：A.x+y-3≤09.解：作出不等式χ-y-1<O表示的平而区域如图所示，k x≥l令t=∖则r∈[0, 8], r+l∈[l, 3],X_ (l+t) 2-3 (4+t)+3 -IIX , 3--------- 花 --------- ln+l÷t ^7∙Q 7而当1+/=1 时，1+片严一-3=1,当1 +/=3 时，l+r+√--3=1,6十t 1+t...GT 2严的取值范围⅛[2√3-3, 1].x(ιc+yj故选：C.10. 解：根据题意，函数f(M)= J j 其定义域为{xlx≠O} (9 T) ∙M"F =≡≡≡-≡⅛=")'即函数")g 数，排除人V sin3x q"∙αi >-∣*?Y/ (X)= — =I 当XT+OO 时，/ (χ) TO,函数图象向X(9-z -l)-X 2 3“轴靠近,排除C; 故选：D.He 解：如图，设A (X], yι) , B (x 2, yι),Q3，则直线/的方程为y= -^β∑+i,即3x+4y-6 = 0∙则圆M 的圆心坐标为(1, -2),半径为“5-/・ 故选：B.12. 解：函数定狡域为(O, +oo),由f M =0有两个根，而f (1) =2,所以x=l 不是方程的根，lns-2x ,一 .、， / _ (2χ-1) (x+l-InX)即直线y=a 与函数y=—6 有两个交点，y X -X3x,lsin3x(X 2-X)2,解得Xi = I.lr⅛^1y∏dn=Tη-nα+h ι2).T~^2由图可知，d 的取值范围是(4 (1+∕∏4) , +∞). 故选：A. 二、填空题13. 解：由三视图还原原几何体如图，P：.BC 丄平面PAC t 得BC 丄PC,取PB 中点O,则O 为三棱锥P-ABC 外接球的球心，・：这个几何体的外接球的体积为彳■兀X (√2)5=⅛^∙兀.4 CJ314. 解：根据题意，作出如下所示的图形:,—-1—- 2— 同理可得，AF=yAB+yAC ， =∣× 22÷∣-×2×7×<os60β+j× 42=-y. 20 故答案为：于.15. 解：数列仙｝的前"项和为S“，对任意正整数川都有3S n +a n =2①, 2 当∏= 1时，自1包・CPq 丄底面 ABC,且 AB=PA = 2,18.①-②得 3 （SH-SH .1） + {a n - 6∕π 1） =O tQ 1所以数列{a n ］是以号为首项，才为公比的等比数列• 所以 b n = IOS l a n =2n-8. 2所以门。
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(九)文科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“22≠x ”是“x 2≠1”的（ ） A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2. 等差数列{}n a 满足10345113=-+a a a ，则=4a （ ）A.5-B.0C.5D.103已知函数f （x ）=x 2+2cos x ，f’（x ）是f （x ）的导函数，则函数y =f’（x ）的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A.60 B.30 C.20 D.105. 定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （1+x ）=f （1－x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）=x （3－2x ），则f （229）=（ ） A ．－1 B ．－21C ．21 D ．16. 已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A. []1,2- B. []0,1 C. []0,2 D. []1,0-7. (错题再现)已知四边形ABCD 中，BC AD //，,3AD BC =90=∠BDC ，AC 与BD 相交于点E ，且6=DE 则DE DA •=（ ）A.18-B.12-C.12D.488．古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数,则该点轨迹是一个圆”.现在,某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G 信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域,以实现5G 商用，已知甲、乙两地相距4公里,丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍,则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：平方公里)是( ) A.23B.43C.36D.469.已知三棱柱111C B A ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O 的表面积为π20，则三棱柱的体积为（ ） A.36 B.12 C.312 D.1810.设椭圆C ：12222=+by a x （)0(>>b a 的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A,B 两点，直线l 的倾斜角60 ，FB AF 2=则椭圆C 的离心率为( ) A.32 B.36. C. 21 D.3111.已知函数()f x 的导函数()2f x sinx '=+，且(0)1f =-，数列{}n a 是以4π为公差的等差数列，若234(3f a f a f a π++=)()()，则20162a a =（ ）A ．2016B ．2015C ．2014D ．201312.已知函数有两个零点，则下列说法错误的是( ).A.B.C.D.有极小值点，且二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.已知)1,3(-=，把它向右平移3个单位，再按。
2021年全国统一高考真题数学试卷(文科)(含答案及解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（文）一､选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}M =，{3,4}N =，则)(U C M N =（ )A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4} 2.设43iz i =+，则z =（ ）A.34i --B.–34i +C.34i -D.34i +3.已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<；命题||:,1x q x R e ∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A.p q ∧ B.p q ⌝∧ C.p q ∧⌝ D.()p q ⌝∨4.函数()sincos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A.3πB.3π和2C.6πD.6π和25.若,x y 满足约束条件2,3,4,y x y x y ≤≤+≥⎧⎪-⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为（ ）A.18B.10C.6D.46.225coscos 1212ππ-=（ ） A.12B.3C.2D.27.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（ ） A.34 B.23 C.13 D.168.下列函数中最小值为4的是（ ）A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x xy -=+ D.4n ln l y x x=+9.设函数1(1)xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A.1()1f x -- B.1()1f x -+ C.1()1f x +- D.1()1f x ++10.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为A.2π B.3π C.4π D.6π 11.设B 是椭圆C :2215x y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为A.52212.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a > 二、填空题13.已知向量(2,5)a =，(,4)b λ=，若//a b ，则λ= .14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为 .15.记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为，60B =︒,223a c ac +=，则b = .16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.810.310.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210s s y x +-≥不认为有显著提高）.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ﹔（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.19.设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =.已知1a ，23a ，39a ，成等差数列.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S ，和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2nn S T <. 20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2. （1）求C 的方程，（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 21.已知函数32()1f x x x ax =-++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标. 22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为)(2,1C ，半径为1.（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程. 23.已知函数()|||3|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()f x a >-，求a 的取值范围.答案及解析一､选择题1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}M =，{3,4}N =，则)(U C M N =（ )A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}2.设43iz i =+，则z =（ ） A.34i -- B.–34i + C.34i - D.34i +3.已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<；命题||:,1x q x R e ∈∀≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.()p q ⌝∨答案： A 解析：根据正弦函数的值域sin [1,1]x ∈-，sin 1x <，故x R ∃∈，p 为真命题，而函数||x y e =为偶函数，且0x ≥时，1x y e =≥，故x R ∀∈，||1x y e =≥恒成立.则q 也为真命题，所以p q∧为真，选A. 4.函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ）A.3πB.3π和2C.6πD.6π和2 答案： C 解析：()sin()34x f x π=+max ()f x =，2613T ππ==. 故选C.5.若,x y 满足约束条件2,3,4,y x y x y ≤≤+≥⎧⎪-⎨⎪⎩则3z x y =+的最小值为（ ）A.18B.10C.6D.4答案： C 解析：根据约束条件可得图像如下，3z x y =+的最小值，即3y x z =-+，y 轴截距最小值.根据图像可知3y x z =-+过点(1,3)B 时满足题意，即min 336z =+=.6.225cos cos 1212ππ-=（ ） A.12B.33 C.22 3 答案： D 解析：2222223()sin cos 25cos cos cos cos cos 12121212121262ππππππππ-=-=--==∴选D. 7.在区间1(0,)2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（ ） A.34 B.23 C.13 D.16答案： B解析：在区间1(0,)2随机取1个数，可知总长度12d =，取到的数小于13，可知取到的长度范围13d '=，根据几何概型公式123132d p d '===，∴选B.8.下列函数中最小值为4的是（ ） A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222x xy -=+D.4n ln l y x x=+答案： C 解析：对于A ，22224213(1)33y x x x x x =++=+++=++≥.不符合， 对于B ，4|sin ||sin |y x x =+，令|sin |[0,1]t x =∈，∴4y t t=+，根据对勾函数min 145y =+=不符合， 对于C ，242222x x x xy -==++，令20xt =>，∴4224y t t =+≥=⨯=， 当且仅当2t =时取等，符合，对于D ，4n ln l y x x =+，令ln t x R =∈，4y t t=+. 根据对勾函数(,4][4,)y ∈-∞-+∞，不符合.9.设函数1(1)xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A.1()1f x --B.1()1f x -+C.1()1f x +-D.1()1f x ++答案： B 解析：12()111x f x x x-==-+++， ()f x 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到2()g x x=为奇函数. 所以选B.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为A.2πB.3πC.4πD.6π 答案： D 解析：做出图形，11//AD BC ，所以1PBC ∠为异面直线所成角，设棱长为1.1BC，12B P =，12PC =，BP =. 2221111312cos 22BC BP C P PBC BP BC +-+-∠===⋅，即16PBC π∠=，故选D.11.设B 是椭圆C :2215x y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为 A.526 5D.2 答案： A 解析：方法一：由22:15x C y +=，(0,1)B 则C 的参数方程：5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩.22||(sin 1)(5cos )PB θθ=-+24sin 2sin 6θθ=--+212554(sin )442θ=-++≥.∴max 5||2PB =，故选A. 方法二：设00(,)P x y ，则220001([1,1])5x y y +=∈-①，(0,1)B . 因此22200||(1)PB x y =+-②将①式代入②式化简得：22012525||4()444PB y =-++≥，当且仅当014y =-时||PB 的最大值为52，故选A.12.设0a ≠，若x a =为函数2()()()f x a x a x b =--的极大值点，则A.a b <B.a b >C.2ab a <D.2ab a > 答案： D 解析：2()2()()()()(32)f x a x a x b a x a a x a x b a '=--+-=---当0a >时，原函数先增再减后增.原函数在()0f x '=的较小零点时取得极大值. 即23a b a +<，即a b <，∴2a ab <. 当0a <时，原函数先减再增后减.原函数在()0f x '=的较大零点时取得极大值. 即23a b a +>，a b >，2a ab <，故选D. 二、填空题13.已知向量(2,5)a =，(,4)b λ=，若//a b ，则λ= . 答案：85解析：由已知//a b 可得82455λλ⨯=⇒=. 14.双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为 . 答案：5解析：22145x y -=的右焦点为(3,0)，到直线280x y +-=的距离22|38|512d -==+. 15.记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，60B =︒,223a c ac +=，则b = .答案：22解析： 由面积公式1sin 32S ac B ==，且60B =︒，解得4ac =， 又由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，223a c ac +=，且0b > 解得22b =.16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.答案： ②⑤或③④ 解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC ==5BA BC ==2AC =，俯视图为⑤.俯视图为③，如图（2），PA ⊥平面ABC ，1PA =，5AC AB ==，2BC =，俯视图为④.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.810.310.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s .（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210s s y x +-≥不认为有显著提高）. 答案：见解析 解析：9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x ++++++++==+；10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y ++++++++==+.211(0.040.090.040.010.040.010.040.09)10s =+++++++10.360.03610=⨯= 221(0.040.010.040.090.040.090.040.010.04)10s =++++++++10.40.0410=⨯=. （2）10.3100.3y x -=-=22120.0360.04221010s s ++=20.0076=. ∵则0.30.0920.0760.0304=>=，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高； 没有显著提高.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ﹔（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.答案： 见解析 解析：19.设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =.已知1a ，23a ，39a ，成等差数列.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S ，和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和.证明：2nn S T <. 答案： 见解析 解析：设{}n a 的公比为q ，则1n n a q -=，因为1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21923q q +=⨯，解得13q =， 故11()3n n a -=，11313(1)12313n n n S -==--. 又3n n n b =，则1231123133333n n n n nT --=+++++，两边同乘13，则234111231333333n n n n nT +-=+++++，两式相减，得23412111113333333n n n nT +=+++++-，即1111(1)1133(1)332333121n n n n n n n T ++-=-=---， 整理得31323(1)4323423n n n nn n T +=--=-⨯⨯， 323314322()(1)04232323n n n n nn n T S ++-=---=-<⨯⨯，故2n n S T <.20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 到准线的距离为2. （1）求C 的方程，（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. 答案：见解析 解析：（1）由焦点到准线的距离为p ，则2p =. 抛物线c 的方程：24y x =.（2）设点200(,)4y P y ，(,)Q Q Q x y ，(1,0)F .∵9PQ QF =.∴222000009499(,)9(1,)4104910Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q y y x x x y x y y x y y y x y y ⎧+⎪⎧-=-=⎪⎪--=--⇒⇒⎨⎨⎪⎪-=-⎩=⎪⎩则020001193944Q OQ Qy y k y y x y ===≤=++. ∴直线OQ 斜率的最大值为13. 21.已知函数32()1f x x x ax =-++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标. 答案： 见解析 解析：（1）2()32f x x x a '=-+（i ）当4120a ∆=-≤，即13a ≥时，()0f x '≥恒成立，即()f x 在()f x 在x ∈R 上单调递增.（ii ）当4120∆=->，即13a <时，()0f x '=解得，113x =，213x +=.∴()f x 在113(,)3a --∞，113()3a -+∞单调递增，在113113(33a a-+单调递减，综上所述：当13a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当13a <时，()f x 在113113(,33a a-++单调递减.（2）设可原点切线的切点为32(,1)t t t at -++，切线斜率2()32k f t t t a '==-+.又321t t at k t -++=，可得322132t t at t t a t-++=-+.化简得2(1)(21)0t t t -++=，即1t =.∴切点为(1,1)a +，斜率1k a =+，切线方程为(1)y a x =+，将(1)y a x =+，321y x x ax =-++联立可得321(1)x x ax a x -++=+，化简得2(1)(1)0x x -+=，解得11x =，21x =-.∴过原点的切线与()y f x =公共点坐标为(1,1)a +，(1,1)a ---.22.在直角坐标系xOy 中，C 的圆心为)(2,1C ，半径为1.（1）写出C 的一个参数方程;（2）过点)(4,1F 作C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程. 答案： 见解析 解析： （1）C 的参数方程为2cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）（2）C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=①当直线斜率不存在时，直线方程为4x =，此时圆心到直线距离为2r >，舍去；②当直线斜率存在时，设直线方程为1(4)y k x -=-，化简为410kx y k --+=， 此时圆心(2,1)C 到直线的距离为1d r ===，化简得2||k =，两边平方有2241k k =+，所以k =代入直线方程并化简得40x -+=或40x +-=化为极坐标方程为5cos sin 4sin()46πρθθρθ=⇔+=或cos sin 4sin()46πρθθρθ+=⇔+=+23.已知函数()|||3|f x x a x =-++.（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()f x a >-，求a 的取值范围. 答案： 见解析 解析：当1a =时，()6|1||3|6f x x x ≥⇔-++≥，当3x ≤-时，不等式136x x ⇔---≥，解得4x ≤-； 当31x -<<时，不等式136x x ⇔-++≥，解得x ∈∅； 当1x ≥时，不等式136x x ⇔-++≥，解得2x ≥. 综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞. （2）若()f x a >-，即min ()f x a >-，因为()|||3||()(3)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+（当且仅当()(3)0x a x -+≤时，等号成立），所以min ()|3|f x a =+，所以|3|a a +>-，即3a a +<或3a a +>-，解得3(,)2a ∈-+∞.。
2021年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）数学（文）一､选择题1.已知全集U = {1, 2,3, 4,5}，集合M = {1, 2} ，N = {3, 4} ，则C U (M N ) =（)A.{5}B.{1, 2}C.{3, 4}D.{1, 2,3, 4}2.设iz = 4 + 3i ，则z =（）A.-3 - 4iB.–3 + 4iC.3 - 4iD.3 + 4i3.已知命题p : ∃x ∈R,sin x < 1；命题q : ∀x ∈R, e|x|≥ 1 ，则下列命题中为真命题的是（）A.p ∧qB.⌝p ∧qC.p ∧⌝qD.⌝( p ∨q)答案：A解析：根据正弦函数的值域sin x ∈[-1,1] ，sin x < 1 ，故∃x ∈R ，p 为真命题，而函数y =e|x|为偶函数，且x ≥ 0 时，y =e x≥1 ，故∀x ∈R ，y =e|x|≥ 1恒成立.则 q 也为真命题，所以 p ∧q 为真，选 A.2 ⎨ ⎩4. 函数 f (x ) = sinA. 3π 和B. 3π 和2C. 6π 和D. 6π 和2 答案：Cx+ cos x 3 3的最小正周期和最大值分别是（ ）解析：f (x ) =f (x )max2 sin( x + π) 3 4= ，T = 2π1 3= 6π .故选 C.⎧x + y ≥ 4, 5. 若 x , y 满足约束条件⎪x - y ≤ 2, 则 z = 3x + y 的最小值为（ ）⎪ y ≤ 3,A. 18B. 10C. 6D. 4答案：C解析：根据约束条件可得图像如下，z = 3x + y 的最小值，即 y = -3x + z ， y轴截距最小值.根据图像可知 y = -3x + z 过点 B (1,3) 时满足题意，即 z min = 3 + 3 = 6 .2 26. cos2 π- cos 2 5π= （ ） 12 121 A.2B.3C. 2D.2答案：D解析：cos 2π - cos25π= cos 2 π- cos 2 (π - π) = cos 2 π - sin 2 π= cos π=∴选 D. 1212122 1212126217. 在区间(0, ) 2 随机取1 个数，则取到的数小于 1 的概率为（ ） 3A.B.C.D.答案：B3 2 3 3 3 4231316解析：在区间(0, 1 ) 随机取1 个数，可知总长度d = 1 ，取到的数小于 1，可知取到的长度范围22 31 d ' = 1，根据几何概型公式 p = d ' = 3 = 2，∴选 B.3 d 1 328. 下列函数中最小值为 4 的是（ ）A. y = x 2 + 2x + 4B. y =| sin x | +4| sin x |C. y = 2x + 22-x 4D. y = ln x +答案：Cln x解析：对于 A ， y = x 2 + 2x + 4 = x 2 + 2x + 1 + 3 = ( x + 1)2 + 3 ≥ 3.不符合，对于 B ， y =| sin x | +4 | sin x | ，令t =| sin x |∈[0,1] ，∴ y = t + 4 ， t根据对勾函数 y min = 1 + 4 = 5 不符合， 对于 C ， y = 2x+ 22-x= 2x+ 4 2x4，令t = 2x > 0 ，∴ y = t +≥ 2 t= 2 ⨯ 2 = 4 ，当且仅当t = 2 时取等，符合，对于 D ， y = ln x +4 ln x ，令t = ln x ∈ R ， y = t + 4 .t根据对勾函数 y ∈(-∞, -4] [4, +∞) ，不符合.1- x9. 设函数 f ( x ) =A. f ( x -1) -11+ x，则下列函数中为奇函数的是（ ）t ⋅ 4t2 6 2 2 2 1 B. f ( x -1) + 1C. f ( x + 1) -1D. f ( x + 1) + 1答案：B解析：1- x 2 f (x ) = = -1+ 1+ x ，1+ xf (x ) 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g (x ) = 2 为奇函数.x所以选 B.10. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， P 为 B 1D 1 的中点，则直线 PB 与 AD 1 所成的角为π A. 2 π B. 3 π C. 4πD.6答案：D解析：做出图形， AD 1 / / BC 1 ，所以∠PBC 1 为异面直线所成角，设棱长为1.BC = ， BP = ， PC = ， BP = 6 . 1 1 2 1 2 22 2 22 +3 - 1 cos ∠PBC = BC 1 + BP - C 1P = 2 2 = ，即∠PBC = π ，故选 D. 2BP ⋅ BC 1 2 ⨯ ⨯ 2 623 1-4(sin θ + 1)2 + 254 4 y y ⎨5 0 011. 设 B 是椭圆C :5 A.2B. x 2 + 25= 1的上顶点，点 P 在C 上，则 PB 的最大值为C.D. 2 答案：A解析：方法一：由C : x 2 + 25= 1， B (0,1)则C 的参数方程： ⎧⎪x = 5 cos θ.| PB |= ⎪⎩ y = sin θ== ≥ .2 5∴| PB |max = 2，故选 A.x 2 2 方法二：设 P (x 0 , y 0 ) ，则 0+ y 0 = 1( y 0 ∈[-1,1]) ①， B (0,1) .5因此| PB |2 = x 2 + ( y -1)2②将①式代入②式化简得：65(sin θ -1)2 + ( 5 cos θ )2 -4sin 2 θ - 2sin θ + 6| PB |2=-4( y +1)2+25≥25，当且仅当y=-1时| PB | 的最大值为5，故选 A.0 4 4 4 0 4 212.设a ≠ 0 ，若x =a 为函数f (x) =a(x -a)2 (x -b) 的极大值点，则A.a <bB.a >bC.ab <a2D.ab >a2答案：D解析：f '(x) = 2a(x -a)(x -b) +a(x -a)2=a(x -a)(3x - 2b -a)当a > 0 时，原函数先增再减后增.原函数在f '(x) = 0 的较小零点时取得极大值.即a <a + 2b，即a <b ，∴ a2<ab . 3当a < 0 时，原函数先减再增后减.原函数在f '(x) = 0 的较大零点时取得极大值.即a >a + 2b，a >b ，a2<ab ，故选 D. 3二、填空题13.已知向量a = (2,5) ，b = (λ, 4) ，若a / /b ，则λ=.答案：85解析：由已知a / /b 可得2⨯4 = 5λ⇒λ=8.5x2-y2=14.双曲线4 51的右焦点到直线x + 2 y - 8 = 0 的距离为. 答案：12 + 225 3 3 2 5 ， 2解析：x - y 2 4 5 = 1的右焦点为(3, 0) 到直线 x + 2 y - 8 = 0 的距离 d = | 3 - 8 | = .15. 记 ∆ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 面 积 为 ，B = 60︒, a 2 + c 2 = 3ac ，则b =.答案：2解析：由面积公式 S = 1ac sin B = ，且 B = 60︒ ，解得ac = 4 ，2又由余弦定理b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B ， a 2 + c 2 = 3ac ，且b > 0解得b = 2 .16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.答案：②⑤或③④解析：由高度可知，侧视图只能为②或③.侧视图为②，如图（1），平面 PAC ⊥ 平面 ABC ，PA = PC =2 ，BA = BC =，AC = 2 ，俯视图为⑤.5 2俯视图为③，如图（2）， PA ⊥ 平面 ABC ， PA = 1， AC = AB =5 ， BC = 2 ，俯视图为④.17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y ，样本方差分别记为s 2 和 s 2 .12（1）求 x ， y ， s 2 ， s 2 ；12（2 ）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y - x ≥ 2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 答案：s 2+ s 2 1 2 10旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.110.010.110.310.610.510.410.50.0076 0.09 0.076 1 2 见解析解析：x = 9.8 +10.3 +10 +10.2 + 9.9 + 9.8 +10 +10.1+10.2 + 9.7 10= 10 ；y = 10.1+10.4 +10.1+10 +10.1+10.3 +10.6 +10.5 +10.4 +10.5 10= 10.3 .s 2= 1 (0.04 + 0.09 + 0.04 + 0.01+ 0.04 + 0.01+ 0.04 + 0.09)10 = 1⨯ 0.36 = 0.036 10 s 2= 11 (0.04 + 0.01+ 0.04 + 0.09 + 0.04 + 0.09 + 0.04 + 0.01+ 0.04)10 = ⨯ 0.4 = 0.04 . 10（2） y - x = 10.3 -10 = 0.32 = 2= 2 .∵则0.3 = > 2 =，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18. 如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是矩形， PD ⊥ 底面 ABCD ， M 为 BC 的中点，且PB ⊥ AM .（1） 证明：平面 PAM ⊥ 平面 PBD ﹔（2） 若 PD = DC = 1，求四棱锥 P - ABCD 的体积.答案：见解析解析：s 2+ s 2 1 2 10 0.036 + 0.04 10 0.0304+ 1 - n 3n 3n + 1 n n + + + 19. 设{a } 是首项为1的等比数列，数列{b } 满足b=na n.已知a ，3a ，9a ，成等差数 nnn3列.1 2 3 （1） 求{a n } 和{b n }的通项公式；（2） 记 S ，和T 分别为{a } 和{b } 的前n 项和.证明： T<S n. nnnnn2答案：见解析 解析：设{a } 的公比为q ，则a = qn -1， 因为a ， 3a ， 9a 成等差数列，所以1 + 9q 2 = 2 ⨯ 3q ，解得q = 1，1故 a = 21 n -1 ， S 31- 1 = 3n 3= 3 (1- 1 ) . n (3) n 1-1 2 3n 3n 1 2 3n -1 n 又b n = 3n ，则T n = 31 + 32 + 33 + + 3n -1 + 3n ，1 1 12 3n -1 n 两边同乘 3 ，则 3 T n = 32 + 33 + 34 + + 3n 2 1 1 1 1 + ，3n +1 两式相减，得 3 T n = + 2 3 4 ， 3 3 3 3 1 (1- 1 ) 即 2 T = 3 3n - n = 1 (1- 1 ) - n ， 3 n1- 1 3 3n +1 2 3n 3n +1 3 1 n 3 2n + 3整理得T n = 4 (1- 3n ) - 2 ⨯ 3n = 4 - 2 ⨯ 3n ，2T - S = 2( 3 - 2n + 3) - 3 (1- 1 ) = - 4n + 3n n 4 2 ⨯ 3n 2 3n 2 ⨯ 3n故T < S n.< 0 ， n220. 已知抛物线C ： y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 到准线的距离为2 .（1） 求C 的方程，（2） 已知O 为坐标原点，点 P 在C 上，点Q 满足 PQ = 9QF ，求直线OQ 斜率的最大值.答案：PQ = 9QF 2 9 4x y y 见解析解析：（1） 由焦点到准线的距离为 p ，则 p = 2 .抛物线c 的方程： y 2 = 4x .y 2 （2） 设点 P ( 0, y 0 ) ， Q (x Q , y Q ) ， F (1, 0) .4∵.⎧ y 2 ⎪y 2 - 0 = 9 - 9x ⎧ 2⎪ 9 + 0⎪x = 4 ∴ (x - 0 , y - y ) = 9(1- x , - y ) ⇒ ⎨ Q 4 Q ⇒ ⎨ Q 10 Q 4 Q 0 Q Q⎪ ⎪ ⎩y Q - y 0 = -9x Q ⎪ y = y 0则 k OQ = y Q x Qy 02 9 +0 41 9 + y 0 y 0 4 ≤ = 1 . 3 ⎩ Q 10 ∴直线OQ 斜率的最大值为 1.321. 已知函数 f (x ) = x 3 - x 2 + ax +1.（1） 讨论 f (x ) 的单调性；（2） 求曲线 y =f (x ) 过坐标原点的切线与曲线 y = f (x ) 的公共点的坐标.答案：见解析解析：（1） f '(x ) = 3x 2 - 2x + a（i ）当∆ = 4 -12a ≤ 0 ，即a ≥ 1 时， f '(x ) ≥ 0 恒成立，即 f (x ) 在 f (x ) 在 x ∈ R 上单调3递增.（ii ）当∆ = 4 -12 > 0 ，即a < 1时， f '(x ) = 0 解得，x= 1-1- 3a ，x= 1+1- 3a .31323= =1- 1- 3 a 1+ 1+ 3a C C C 1 ⎨y = 1+ sin θ∴ f (x ) 在(-∞, 1-1- 3a ) ，( 3 3, +∞) 单调递增，在( 3 3调递减， 综上所述： 当 a ≥ 时， 3 f (x ) 在 R 上单调递增； 当 a < 1 时， 3f (x ) 在(, ) 单调递减.3 3（ 2 ） 设可原点切线的切点为 (t , t 3 - t 2 + at +1) ， 切线斜率 k =f '(t ) = 3t 2 - 2t + a . 又t 3 - t 2 + at +1k =，可得 tt 3 - t 2 + at +1t= 3t 2- 2t + a .化简得(t -1)(2t 2+ t +1) = 0 ，即t = 1 .∴切点为(1, a +1) ，斜率 k = a +1 ，切线方程为 y = (a +1)x ，将 y = (a +1)x ，y = x 3 - x 2 + ax +1联立可得 x 3 - x 2 + ax +1 = (a +1)x ，化简得(x -1)2 (x +1) = 0 ，解得x 1 = 1 ， x 2 = -1.∴过原点的切线与 y = f (x ) 公共点坐标为(1, a +1) ， (-1, -a -1) .22. 在直角坐标系 xOy 中，的圆心为C (2,1) ，半径为1.（1） 写出的一个参数方程;（2） 过点 F (4,1) 作的两条切线.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案： 见解析解析：（1）（2）的参数方程为⎧x = 2 + cos θ （θ 为参数）⎩的方程为(x - 2)2 + ( y -1)2 = 1①当直线斜率不存在时，直线方程为 x = 4 ，此时圆心到直线距离为2 > r ，舍去；1+ 1- 3a 1- 1- 3a ,1+ 1+ 3a ) 单 C Ck 2+ 1k 2+1 3 3 3 3 3 3 ②当直线斜率存在时，设直线方程为 y -1 = k (x - 4) ，化简为kx - y - 4k +1 = 0 ，此时圆心C (2,1) 到直线的距离为d =| 2k -1- 4k +1|= r = 1 ，化简得2 | k |= ，两边平方有4k 2 = k 2 +1，所以k =±3代入直线方程并化简得 x - 3y + - 4 = 0 或 x + 3y - - 4 = 0 化为极坐标方程为ρ cos θ -3ρ sin θ = 4 - ⇔ ρ sin(θ + 5π) = 4 - 6 或 ρ cos θ + 3ρ sin θ = 4 + ⇔ ρ sin(θ + π) = 4 + .623. 已知函数 f (x ) =| x - a | + | x + 3 |.（1） 当a = 1 时，求不等式 f (x ) ≥ 6 的解集；（2） 若 f (x ) > -a ，求a 的取值范围.答案： 见解析解析：当 a = 1 时， f (x ) ≥ 6 ⇔| x -1| + | x + 3 |≥ 6 ，当 x ≤ -3 时，不等式⇔ 1 - x - x - 3 ≥ 6 ，解得 x ≤ -4 ； 当-3 < x < 1 时，不等式⇔ 1 - x + x + 3 ≥ 6 ，解得 x∈∅ ；当 x ≥ 1 时，不等式⇔ x -1 + x + 3 ≥ 6 ，解得 x ≥ 2 .综上，原不等式的解集为(-∞, -4] [2, +∞) .（2）若 f (x ) > -a ，即 f (x )min > -a ，因为 f (x ) =| x - a | + | x + 3 |≥| (x - a ) - (x + 3) |=| a + 3 | （当且仅当(x - a )(x + 3) ≤ 0 时，等号成立），所以 f (x )min =| a + 3 | ，所以| a + 3 |> -a ，即 a + 3 < a 或 a + 3 > -a ，解得3a ∈(- , +∞).23。
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(十六)理科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（十六）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数cos3sin3z i =+(i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】本题考查三角函数的符号,复数的几何意义.复数cos3sin3z i =+在复平面内对应点坐标为(cos3,sin 3);因为3,2ππ<<所以cos30,sin30;则(cos3,sin 3)是第二象限点.故选B2.设,a b ∈R ，则“||||a a b b >”是“33a b >”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当||||a a b b > ①若0a >,0b >,则有22a b >,于是33a b >;②若0a >,0b <,则有||0,||0a a b b ><,可知||||a a b b >显然成立,于是33a b >; ③若0a <,0b >,则||||a a b b >不成立,不满足条件; ④若0a <,0b <,由||||a a b b >,可得22a b ,即22a b <,所以有330a b >>.∴ “||||a a b b >”是“33a b >”的充分条件.必要性证明:当33a b >①若0a b >>,则有||||a b >,于是||||a a b b >;②若0a b >>,则有||0,||0,a a b b ><于是||||a a b b >; ③若0a b >>,则有22a b <,于是22a b ,因为2||a a a =-,2||b b b =-,所以有||||a a b b >成立.∴ “||||a a b b >”是“33a b >”的必要条件.综上所述,“||||a a b b >”是“33a b >”的充要条件. 故选:C.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.3.在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为（ ） A .B. C. 5D. 10【答案】C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S=+=.或者注意到·0AC BD=分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题.4.若x,y满足约束条件x0x+y-30z2x-2y0x y≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞）【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 34π+B. 3πC. 2πD. π【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图画出其立体图形,即可求得该几何体的体积. 【详解】根据三视图画出其立体图形:由三视图可知,其底面面积为:2π,其柱体的高为:2 ∴ 根据柱体的体积公式求得其体积为:π故选:D.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体体积,解题关键是根据三视图画出其立体图形,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.6.函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【详解】根据函数2()1log f x x =+过1,02⎛⎫⎪⎝⎭排除A; 根据1()2x g x -+=过()0,2排除B 、D,故选C ．7.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若()0.51ln ,(ln 2018),2019a f b f c f e ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D.c a b <<【答案】C 【解析】 【分析】已知奇函数()f x 在R 上是增函数,化简a ,b ,c 即可求得答案. 【详解】根据奇函数性质: ()()f x f x -=-化简()11lnln ln 2019,20192019a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ 0.5ln 2019ln 2018e >>根据()f x 在R 上是增函数∴ ()()0.5ln 2019(ln 2018)f f f e >>即()0.51ln(ln 2018)2019f f f e ⎛⎫->> ⎪⎝⎭故: c b a << 故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,要熟练掌握奇函数的性质()()f x f x -=-,属于综合题.8.设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝ ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知221,m mm m C a C b +==,137a b =,221137m m m m C C +∴=,即()()()2!21!137!!!1!m m m m m m +=⋅⋅+,211371m m +∴=⋅+,解得6m =．故B 正确． 考点：1二项式系数；2组合数的运算．9.已知点P 是直线:4370l x y --=上动点,过点P 引圆222:(1)(0)C x y r r +-=>两条切线,PM PN ,,M N 为切点,当MPN ∠的最大值为2π时,则r 的值为( )C.D. 1【答案】A 【解析】 【分析】因为点P 在直线:4370l x y --=上,连接PC ,当PC l ⊥时,MPN ∠最大,再利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】点P 在直线:4370l x y --=上,连接PC当PC l ⊥时, MPN ∠最大, 由题意知,此时MPN ∠最大值为2π时,∴ 4CPM π∠=,||PC =圆222:(1)(0)C x y r r +-=>,可得其圆心为:()0,1根据点到直线距离公式可得圆心()0,1到l 距离为:1025d -== ∴2=,故r =故选:A.【点睛】本题考查求圆的半径,解题关键是结合题意用数形结合,用几何知识来求解,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10.英国统计学家..E H 辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1x ，2x 和x ，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1y ，2y 和y ，则下面说法正确的是（ ） A. 11x y <，22x y <，x y > B. 11x y <，22x y <，x y < C. 11x y >，22x y >，x y > D. 11x y >，22x y >，x y <【答案】D 【解析】 【分析】分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为1x ，1y ，行政庭维持原判的案件率2x ，2y ，总体上维持原判的案件率为x y ，的值，即可得到答案．【详解】由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为1290.90632x =≈，行政庭维持原判的案件率21000.847118x =≈，总体上维持原判的案件率为1290.86150x ==； 法官乙民事庭维持原判的案件率为1900.9100y ==，行政庭维持原判的案件率为2200.825y ==，总体上维持原判的案件率为1100.88125y ==．所以11x y >，22x y >，x y <．选 D ．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A. 1,2B. 1,4⎛ ⎝⎦C. 4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D. 2,【答案】B 【解析】由题意得，(,0),(2,0)A a F a ，设00(,)bP x x a，由AP FP ⊥，得2220020320c AP PF x ax a a ⋅=⇒-+= ,因为在E 的渐近线上存在点P ，则0∆≥，即2222222994209884c a a a c e e a -⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤ ，又因为E 为双曲线，则14e <≤，故选B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将AP FP ⊥系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，0∆≥，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键.12.在正四棱锥P ABCD -中，已知异面直线PB 与AD 所成的角为060，给出下面三个命题：1p ：若2AB =，则此四棱锥的侧面积为4+； 2p ：若,E F 分别为,PC AD 的中点，则//EF 平面PAB ；3p ：若,,,,P A B C D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积是四边形ABCD 面积的2π倍.在下列命题中，为真命题的是（ ） A. 23p p ∧B. 12()p p ∨⌝C. 13p p ∧D.23()p p ∧⌝【答案】A 【解析】因为异面直线PB 与AD 所成的角为60︒，AD 平行于BC ，故角PBC=60︒，正四棱锥-ABCD P中，PB=PC ，故三角形PBC 是等边三角形；当AB=2，此四棱锥的侧面积为1p 是假命题；取BC 的中点G ，,E F 分别为,PC AD 的中点故得//,//AB FG PB EG ，故平面EFG//平面PAB ，从而得到EF//平面PAB ，故2p 是真命题；设AB=a, AC 和BD 的交点为O ，则PO 垂直于地面ABCD ，PA ＝ａ，AO ，POO 为球心，球的半径为２，表面积为22πa ,又正方形的面积为2a ,故3p 为真． 故23p p ∧为真； ()12p p ∨⌝ 13p p ∧ ()23p p ∧⌝均为假． 故答案为A ．二、填空题：本大题有4个小题，每题5分，满分20分13.已知α为三角形内角，sin cos 2αα-=，则cos2=α__________．【答案】 【解析】 【分析】因为sin cos 2αα-=,故()22sin cos 2αα⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭,可得12sin cos 02αα=>,而sin 0,cos 0αα>>,即可求得sin cos αα+,根据余弦二倍角公式即可求得答案.【详解】sin cos 2αα-=可得()22sin cos 2αα⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭故:12sin cos 02αα=> 而sin 0,cos 0αα>>，∴ sin cos αα+==，则cos 2(cos sin )(sin cos )ααααα=-+==故答案为:. 【点睛】本题考查了三角函数化简求值,掌握余弦二倍角公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.14.已知函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩,若存在四个不同的实数1234|,,,x x x x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===,且1234x x x x <<<,则1234x x x x +++=__________．【答案】8【解析】【分析】因为函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩,画出其函数图像,当存在四个不同的实数1234,,,x x x x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===,且1234x x x x <<<结合图像求解1234x x x x +++的值.【详解】 函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 画出函数图像:12,,x x 在二次函数22y x x =-,其对称轴为:1x = ∴ 12212x x +=⨯= ，34,x x 在sin ,2y x π=在24x <<,其对称轴为:3x =∴34236x x +=⨯= ，∴1234268x x x x +++=+=故答案为:8.【点睛】本题考查了根据分段函数图像应用,解题关键是画出函数图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15.为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件:（i ）老年人的人数多于中年人的人数;（ii ）中年人的人数多于青年人的人数;（iii ）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为___________.②抽取的总人数的最小值为__________．【答案】 (1). 6 (2). 12【解析】【分析】设老年人、中年人、青年人的人数分别为,,x y z ,①4z =,则8x x y>⎧⎨>⎩ ,即可求得中年人的人数的最大值. 由题意可得2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩,得2z x y z >>>,,,x y z +∈N ,即可求得抽取的总人数的最小值.【详解】设老年人、中年人、青年人的人数分别为,,x y z①4z =,则8x x y>⎧⎨>⎩ ,则y 的最大值为6 ②由题意可得2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩,得2z x y z >>>,,,x y z +∈N22z z ∴>+ 解得2z >∴ 当3,4,5z y x ===时x y z ++取最小值12.故答案为:①6.②12. 【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件确定可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,从而确定目标函数在何处取得最优解. 16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列有关说法中：①对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数；②函数()sin 1f x x =+是圆()22:11O x y +-=的一个太极函数； ③直线()()12110m x m y +-+-=所对应的函数一定是圆()()()222:210O x y R R -+-=>的太极函数；④若函数()()3f x kx kx k R =-∈是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2.k ∈- 所有正确的是__________．【答案】（2）（3）（4）【解析】【分析】利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可【详解】①显然错误，如图②点()01，均为两曲线的对称中心，且()sin 1f x x =+能把圆()2211x y +-=一分为二，故正确③直线()()12110m x m y +-+-=恒过定点()21，，经过圆的圆心，满足题意，故正确④函数()()3f x kx kx k R =-∈为奇函数，3221y kx kx x y ⎧=-∴⎨+=⎩， 则()2624222110k x k x kx -++-= 令2t x =，得()232222110k t k t kt -++-= 即()()2222110t k t k t --+= 1t ∴=即1x =±对22221k t k t -+，当0k =时显然无解，0<即204k <<时也无解即()22k ∈-，时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分 若2k =±时，函数图象与圆有四个交点，若24k >时，函数图象与圆有六个交点，均不能把圆一分为二综上所述，故正确的是②③④【点睛】本题主要考查了关于圆的新定义，首先是要理解新定义的内容，其次是根据新定义内容结合已经学过的知识来判定正确还是错误，在解答过程中只要能举出一个反例即可判定结果三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中,角,,A B C 所对的边为,,a b c ,且sin sin 3sin sin a A c C a C b B +=.(1)求角B 的大小;(2)若23()sin cos 3f x x x x =+,求()2A f 的取值范围. 【答案】（1）6π； （2）1(,1]2-. 【解析】【分析】(1)因为sin sin sin sin a A c C C b B +-=,根据正弦定理:sin sin sin a b c A B C ==,可得222a c b +=,即可求得角B的大小; (2)2()sin cosf x x x x =化简可得()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即可求得()2A f 的取值范围. 【详解】(1)sin sin sin sin a A c C C b B += 根据正弦定理:sin sin sin a b c A B C== 222a c b ∴+=,即:222a c b +-=222cos 22a cb B ac +-∴==, 又(0,),B π∴∈6B π∴=(2)2()sin cos 2f x x x x =-11cos 2sin 222x x +=+-1sin 2222x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 570,,,6336A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1sin ,132A π⎛⎫⎛⎤∴+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ ()f A ∴取值范围为1(,1]2-. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,解题关键是利用正弦定理sin sin sin a b c A B C ==边化角,再利用和角正弦公式化简所给式子,属于基础题.18.已知正项数列{}n a 中,221111,230n n n n a a a a a ++=--=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n n b a -是等差数列,且12b =,314b =,求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）13-=n n a ； （2）23122n n +-. 【解析】【分析】(1)将2211230n n n n a a a a ++-⋅-=化简为()()1130n n n n a a a a +++-=,结合已知即可求得答案;(2)令n n n c b a =-,则1133341,5c a c b a =-==-=,31231c cd -==-,所以1(1)221n c n n =+-⋅=-,可得1213n n n n b c a n -=+=-+,根据分组求和,即可求得答案.【详解】(1)2211230n n n n a a a a ++-⋅-=()()1130n n n n a a a a ++∴+-=0n a >,110,30n n n n a a a a ++∴+>-=可得:13n na a += 11a =,11133n n n a --∴=⋅=.(2)令n n n c b a =-,则1133341,5c a c b a =-==-=,31231c cd -==- 1(1)221n c n n ∴=+-⋅=-,1213n n n n b c a n -∴=+=-+123n n S b b b b ∴=++++()21(13521)3333n n -=++++-+++++23122n n =+- 【点睛】本题考查根据递推公式求通项公式和数列求和.解题关键是掌握分组求和,考查了分析能力和计算能力,属于基础题型.19.已知菱形ABCD 的边长为4,ACBD O =,60ABC ∠=︒,将菱形ABCD 沿对角线BD 折起,使AC a =,得到三棱锥A BCD -,如图所示.⇒(1)当22a =时,求证:AO ⊥平面BCD ;(2)当二面角A BD C --的大小为120︒时,求直线AD 与平面ABC 所成的正切值.【答案】（1）见解析； （2）3010. 【解析】【分析】(1)根据线面垂直定义,即可求得答案.(2)由于平面ABC 不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以O 为原点建系,,OC OD 所在的直线分别为x 轴,y 轴,求出平面ABC 的法向量n ,求解AD 和n 的夹角,即可求得答案.【详解】(1)在AOC △中,2,22OA OC AC a ====,222OA OC AC ∴+=90AOC ︒∴∠=,即AO OC ⊥,AO BD ⊥,且AO BD O =,AO ∴⊥平面BCD .(2)由(1)知,OC OD ⊥,以O 为原点,,OC OD 所在的直线分别为x 轴,y 轴建立如图的空间直角坐标系O xyz -:则(0,0,0),(0,23,0),(2,0,0),(0,23,0)Q B C D -.,AO BD CO BD ⊥⊥AOC ∴∠为二面角A BD C --的平面角,120AOC ︒∴∠=∴点(A -(1,AD =,(1,BA =-,(2,BC =设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =,则∴ 00n BC n BA ⎧⋅=⎨⋅=⎩故200x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取1x =,则,3y z =-= ∴31,3n ⎛=- ⎝ 设直线AD 与平面ABC 所成的角为θ, ||sin ||||134AD n ADn θ⋅===cos θ∴==sintan cos θθθ∴===∴ 直线AD 与平面ABC 所成的正切值【点睛】本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握其结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题.20.半圆22:1(0)O x y y +=≥的直径的两端点为(1,0),(1,0)A B -,点P 在半圆O 及直径AB 上运动,若将点P 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点Q ,记点Q 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程;(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线C 的“直径”.【答案】（1）答案见解析 （2. 【解析】【分析】(1)设(,)Q x y ,则,2y P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由题意可知当P 在直径AB 上时,显然0(11)y x =-<<;当P 在半圆O 上时,221(0)2y x y ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭,即可求得答案; (2)设曲线C 上两动点()00(,),,G x y H x y ,显然G ,H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大,不妨设00y y ≥≥,()()22200||GH x x y y =-+-,根据不等式性质,即可求得曲线C 的“直径”.【详解】(1)设(,)Q x y ,则,2y P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由题意可知当P 在直径AB 上时,显然0(11)y x =-<<;当P 在半圆O 上时,221(0)2y x y ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭, ∴ 曲线C 的方程为0(11)y x =-<<或221(0)4y x y +=≥. (2)设曲线C 上两动点()00(,),,G x y H x y ,显然G ,H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大,不妨设00y y ≥≥,则()()()()()22222220000||41GH x x y y x x y x x x =-+-≤-+=-+-,()()222200041324x x x x x x x -+-=--++ 22200044416344433333x x x x ⎛⎫=-+++≤+≤+= ⎪⎝⎭ 216||3GH ∴≤等号成立时:13G ⎫⎪⎪⎝⎭,(1,0)H -或13G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,(1,0)H ,由两点距离公式可得:max ||GH =故曲线C 的“直径”为3. 【点睛】本题考查了求解曲线轨迹方程和曲线C 的“直径”.在求曲线上两点间距离最大时,将两点设出,用两点间距离列出表达式,通过不等式放缩求其最值,考查了分析能力和计算能力.21.某地政府为了帮助当地农民脱贫致富,开发了一种新型水果类食品,该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时,销售价为每件12元,当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂,每件只能卖5元.每天的销售量与当天的气温有关,根据市场调查,若气温不低于30℃,则销售5000件;若气温位于25,[)30℃℃,则销售3500件;若气温低于25℃,则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划,统计了前三年8月份的气温范围数据,得到下面的频数分布表:以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率.(1)求今年8月份这种食品一天销售量(单位:件)的分布列和数学期望值;(2)设8月份一天销售这种食品的利润为y (单位:元),当8月份这种食品一天生产量n (单位:件)为多少时,y 的数学期望值最大,最大值为多少？【答案】（1）见解析，3800； （2）当3500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为11900. 【解析】【分析】(1)今年8月份这种食品一天的销量X 的可能取值为2000、3500、5000件,求出(2000)P X =,(3500)P X =和(5000)P X =,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望.(2)由题意知,这种食品一天的需求量至多为5000件,至少为2000件,所以只需要考虑20005000n ≤≤.分别讨论,35005000n ≤≤和20003500n ≤<,即可求得y 的数学期望最大值.【详解】(1)今年8月份这种食品一天的销量X 的可能取值为2000、3500、5000件,414(2000)0.290P X +=== 36(3500)0.490P X === 2115(5000)0.490P X +=== 于是X 的分布列为:X 的数学期望为()20000.235000.450000.43800E X =⨯+⨯+⨯=.(2)由题意知,这种食品一天的需求量至多为5000件,至少为2000件,∴ 只需要考虑20005000n ≤≤,当35005000n ≤≤时,若气温不低于30度,则4Y n =;若气温位于[25,30),则35004(3500)3245003Y n n =⨯--⨯=-;若气温低于25度,则20004(2000)3140003Y n n =⨯--⨯=-;此时()22114(245003)(140003)12600119005555E Y n n n n =⨯+⨯-+-=-≤, 当20003500n ≤<时,若气温不低于25度,则4Y n =;若气温低于25度,则20004(2000)3140003Y n n =⨯--⨯=-;此时()41134(140003)280011900555E Y n n n =⨯+-=+<; ∴ 3500n =时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为11900.【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.22.已知函数()f x 为反比例函数,曲线()()cos g x f x x b =+在2x π=处的切线方程为62y x π=-+.（1）求()g x 的解析式;（2）判断函数3()()12F x g x π=+-在区间(0,2]π内的零点的个数,并证明. 【答案】（1）3cos ()1x g x x =-； （2）函数()F x 在(0,2)π上有3个零点. 【解析】【分析】(1)设()(0)a f x a x =≠,则cos ()a x g x b x =+,直线62y x π=-+的斜率为6π-,过点,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭,2(sin cos )()a x x x g x x '-+=,所以3a =,12g b π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,即可求得()g x 的解析式;(2)函数()F x 在(0,2]π上有3个零点.因为33cos 3()()122x F x g x x ππ=+-=-,则23(sin cos )()x x x F x x '-+=,根据函数的单调性和结合已知条件,即可求得答案. 【详解】(1)设()(0)a f x a x =≠,则cos ()a x g x b x =+, 直线62y x π=-+的斜率为6π-,过点,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2(sin cos )()a x x x g x x '-+=, 则26,2a g πππ-⎛⎫'==- ⎪⎝⎭, 3a ∴=,12g b π⎛⎫==- ⎪⎝⎭∴ 3cos ()1x g x x=-. (2)函数()F x 在(0,2]π上有3个零点.证明:33cos 3()()122x F x g x x ππ=+-=- 则23(sin cos )()x x x F x x '-+=又330,06222F F ππππ⎛⎫⎛⎫=->=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴ ()F x 在(0,]2π上至少有一个零点, 又()F x 在(0,]2π上单调递减,故在(0,]2π上只有一个零点, 当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,cos 0x <,故()0F x <, 所以函数()F x 在3(,)22ππ上无零点. 当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,令()sin cos ,()cos 0h x x x x h x x x '=+=>, ∴ ()h x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,3(2)0,02h h ππ⎛⎫>< ⎪⎝⎭, ∴ 03,22x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使得()F x 在03,2x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在(]0,2x π上单调递减. 又3(2)0,02F F ππ⎛⎫=< ⎪⎝⎭, ∴函数()F x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点. 综上所述,函数()F x 在(0,2)π上有3个零点.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程和求解函数的零点个数,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.。
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(五)文科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（五）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一.选择题：（每题5分，共60分，每题只有一个答案是正确的）1.已知{}24410M x x x =-+=，{}1P x ax ==，若P M ⊆，则a 的取值集合为（ ） A. {}2 B. {}0C. {}0,4D. {}0,2【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合,M N ，再根据集合之间的关系，确定参数的值.【详解】因为24410x x -+=，解得12x =，故集合12M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.当0a =时，1ax =没有实数根，故P =∅，满足P M ⊆； 当0a ≠时，1ax =，解得1x a =，故集合1P a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 若满足P M ⊆，则112a =，解得2a =. 综上所述，{}0,2a ∈. 故选：D.【点睛】本题考查由集合之间的关系，求参数值的问题，属基础题. 2.已知复数2aii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于（ ） A. 2- B. 2C. 1-D. 0【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，化简复数，根据其类型，列方程计算即可.【详解】因为2ai i +-2222i ai a i i+==-+-， 因为其是纯虚数，故可得0a -=，解得0a =. 故选：D.【点睛】本题考查复数的运算，以及由复数的类型求参数值的问题，属基础题.3.若x ，y 满足2,1,2,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为（ ）A. 8B. 9C. 2D. 10【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得目标函数的最大值. 【详解】由题可知，不等式组表示的平面区域如下图所示：目标函数2z x y =+，可以整理为2y x z =-+，与直线2y x =-平行. 数形结合可知，当且仅当目标函数过点()3,2A 时，取得最大值. 则2x y +的最大值为2328⨯+=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题. 4.直线1y kx =+被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为( ) A. 0 B. 12±C. ±1D. 22±【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的弦的性质，通过勾股定理求出k .【详解】圆心为(0,0)2；圆心到直线的距离为21d k =+2，所以212d +=，解得0k =，故选A.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，利用弦长求解参数.直线和圆相交弦长问题，一般通过勾股定理来建立等式.5.已知等比数列{}n a 满足12a =，且12,,6a a 成等差数列，则4a =( ) A. 6 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C【解析】 【分析】设公比为q ，由等比数列的通项公式和等差数列中项性质列方程，解方程可得q ，即可得到所求值．【详解】12,,6a a 成等差数列，得12642a a +==，即：14a q =，2q = 所以，341a a q =＝16故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.若角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 2θ=（ ） A. 45-B.35C.45D.35【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知tan θ，利用同角三角函数关系，将目标式转化为tan θ的代数式，代值计算即可. 【详解】因为角θ终边在直线2y x =上，故可得2tan θ=； 又22222442sin cos tan 1415sin cos tan sin θθθθθθθ====+++.故选：C .【点睛】本题考查正弦的倍角公式，由角度终边所在位置求解三角函数值，属综合基础题.7.过点2(1)A ，的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. 10x y -+=B. 30x y +-=C. 20x y -=或+30x y -=D. 20x y -=或10x y -+=【答案】D 【解析】 【分析】设直线方程为(1)2y k x =-+，计算截距得到2210k k--+=，计算得到答案. 【详解】易知斜率不存时不满足；设直线方程为(1)2y k x =-+，则截距和为：2210k k--+=解得1k =或2k = 故直线方程为：1y x =+和2y x = 故选D【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.8.如果双曲线的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，一条渐近线方程为y =，那么经过双曲线焦点且垂直于x 轴的弦的长度为（ ）A.B. C. 2D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求出双曲线的方程，再计算出通径的长度即为所求.【详解】设双曲线方程为22221x y a b-=，由题可知3,bc a==222a b c +=， 解得2223,6,9a b c ===.故双曲线的通径长22b a ==故选：A.【点睛】本题考查双曲线方程的计算，以及通径长度的计算，涉及由抛物线方程求焦点的坐标，属综合基础题.9.已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()4f a =- ，则(14)f a -= （ ）A. 74-B. 54-C. 34-D. 14-【答案】A 【解析】因为1222x -->-，所以1a >，则2()log (1)4f a a =-+=-，即15a =，则27(14)(1)224f a f--=-=-=-；故选A.10.如下图，在正方体1111ABCD A B C D-中，O是底面ABCD的中心，则异面直线1AD和1OC 所成角的大小为（）A.3πB.6πC.2πD.23π【答案】B【解析】【分析】连接1BC，找出异面直线的夹角为1OC B∠，在1OBC中求解即可. 【详解】连接1BC，如下图所示：因为1111ABCD A B C D-是正方形，故可得1111,D C AB D C=//AB，故四边形11D C BA为平行四边形，故1AD//1BC，则1OC B∠即为所求角或其补角.设正方体棱长为2，则在1OC B中：112,22,6OB BC OC==故2221111122OC BC OB cos OC B OC BC +-∠==⨯，则16OC B π∠=.则异面直线1AD 和1OC 所成角的大小为6π. 故选：B .【点睛】本题考查异面直线夹角的求解，处理问题的关键是平移直线从而找到夹角，属基础题.11.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ，都有()()30f x f x ++-=.当(]0,1x ∈时，()3sin12f x x π=-，则()()20192020f f +=（ ） A. 0 B. 1-C. 1D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得函数的周期，再根据(]0,1上函数的解析式，即可求得函数值. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，故可得()()()00,f f x f x ==--， 又因为()()30f x f x ++-=，故可得()()3f x f x =+， 故()f x 是周期为3的周期函数.则()()20192020f f +=()()6733067331f f ⨯++⨯+()()3010sin122f f π=+=+-=-. 故选：D.【点睛】本题考查函数周期的求解，以及利用函数周期求函数值的问题，涉及特殊角的三角函数值，属基础题.12.函数()f x 的导函数()f x '，对x ∀∈R ，都有()()f x f x '>成立，若()10f =，则满足不等式()0f x >的x 的范围是（ ） A. 01x <<B. 1x >C. x e >D. 0x >【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数()()xf x F x e=，根据()f x 的性质，求得()F x 的性质，再利用()F x 的性质，求解不等式即可.【详解】构造函数()()xf x F x e=，则()()()xf x f x F x e-=''；因为对x ∀∈R ，都有()()f x f x '>成立，故可得()0F x '>在R 上恒成立，故()F x 是R 上的单调增函数. 又因为()10f =，故可得()10F =， 又不等式()0f x >等价于()0xe F x >，根据()F x 的性质，容易得不等式解集为()1,+∞. 故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调性，涉及构造函数法，属中档题.二、填空题：（每小题5分，共20分）13.如下图是一个算法流程图，则输出的k 的值为______.【答案】2 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，即可得到输出结果.【详解】模拟执行程序框图如下：1,1s k ==2s =，不满足10s >，故2k =， 6s =，不满足10s >，故3k =， 15s =，满足10s >，输出2.故答案为：2.【点睛】本题考查由程序框图求输出结果，属基础题.14.如图是一组数据（x ，y ）的散点图，经最小二乘估计公式计算，y 与x 之间的线性回归方程为ˆy＝ˆb x ＋1，则ˆb ＝________.【答案】0.8 【解析】 【分析】根据线性回归直线必过样本点中心(),x y ，即可求出． 【详解】由图可知，x ＝01344+++＝2，y ＝0.9 1.9 3.2 4.44+++＝26，将（2，2.6）代入ˆy＝ˆb x ＋1中，解得ˆb ＝0.8． 故答案为：0.8．【点睛】本题主要考查由线性回归直线必过样本点中心(),x y ，求参数的值，属于基础题． 15.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，36S =，则20S =______. 【答案】210 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量，求出数列的公差，利用公式即可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为36S =，故可得()23316a d =+=，解得1d =. 故2012019?202102S a d ⨯=+=. 故答案为：210.【点睛】本题考查等差数列前n 项和的基本量的计算，属基础题.16.已知向量a ()2,0=，b (),1t =，且a b a ⋅=，则向量a 与b 的夹角大小为______弧度. 【答案】4π 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标运算，求得参数t ，再根据向量夹角的坐标计算公式，即可求得. 【详解】因为a ()2,0=，b (),1t =，且a b a ⋅=，故可得2t =1t =，则()1,1b =，故,?222?a b cos a b a b⋅===⨯，又向量夹角的范围为[]0,π， 故向量a 与b 的夹角大小为4π. 故答案为：4π. 【点睛】本题考查向量坐标的运算，涉及数量积的坐标运算，夹角的坐标运算，属基础题.三、解答题：（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明）17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A C B A C +-． （1）求角B ；（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，cos()A C -=DC 的长．【答案】（Ⅰ）6B π=;（Ⅱ）5AD =．【解析】【试题分析】（1）运用正弦定理将已知中的222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=等式转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；（2）借助题设条件DA DC =，且11a =，()5cos A C -=，再运用正弦定理建立方程求解： （Ⅰ）由正弦定理和已知条件，2223a c b ac +-=所以3cos B =． 因为()0,B π∈，所以6B π=．（Ⅱ）由条件．由()()525cos sin A C A C -=⇒-=．设AD x =，则CD x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD BAD B=∠．故4551252x x =⇒=-．所以455AD DC ==-． 18.银川市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m （单位：平方米，60130m ≤≤）进行了一次调查统计，制成了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）试估计该市市民的平均购房面积：（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从购房面积位于[]110,130的40位市民中随机取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[]120,130的概率，【答案】(1) 96平方米；(2)12. 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，结合平均数的求解方法即可代值计算；（2）先计算出从区间[)110,120，[]120,130各抽取的人数，再计算出所有抽取的可能情况数量以及满足题意的可能情况的数量，用古典概型的概率计算公式即可求得. 【详解】（1）设该市市民的平均购房面积为x 平方米，则650.05750.1850.2950.251050.21150.151250.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 解得96x =.故该市市民的平均购房面积为96平方米.（2）由题可知在区间[)110,120，[]120,130上的人数分别有30人，10人，从中抽取4人，则在区间[)110,120，[]120,130上抽取的人数分别为3人，1人.设区间[)110,120的3人为123,,A A A ，在区间[]120,130的1人为B ，故从4人中抽取2人的所有可能有6种，具体如下： 121312323,,,,,A A A A A B A A A B A B ，其中满足题意的有3种，具体如下：123,?,A B A B A B ，故这2人的购房面积恰好有一人在[]120,130的概率3162P ==. 【点睛】本题考查由频率分布直方图计算平均数，涉及古典概型的概率求解，分层抽样性质的应用，属综合基础题.19.在平行四边形ABCD 中，3AB =，2BC =，过A 点作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E ，3AE =连结EB ，交AD 于点F ，如图1，将ADE ∆沿AD 折起，使得点E 到达点P 的位置，如图2.（1）证明：平面BFP ⊥平面BCP ；（2）若G 为PB 的中点，H 为CD 的中点，且平面ADP ⊥平面ABCD ，求三棱锥G BCH -的体积.【答案】（1）见解析； （2）316. 【解析】【分析】（1）证明BE AD ⊥．PF AD ⊥，BF AD ⊥．推出PF BC ⊥，BF BC ⊥，得到BC ⊥平面BFP ，然后证明平面BFP ⊥平面BCP ．（2）解法一：证明PF ⊥平面ABCD ．取BF 的中点为O ，连结GO ，得到GO ⊥平面ABCD ．然后求解棱锥的高．解法二：证明PF ⊥平面ABCD ．三棱锥G BCH -的高等于12PF ．说明BCH 的面积是四边形ABCD 的面积的14，通过ABCD 13P ABCD V S PF -=⨯⋅平行四边形，求解三棱锥G BCH -的体积． 【详解】（1）证明：如题图1，在Rt BAE 中，3AB =，3AE =60AEB ∠=︒． 在Rt AED 中，2AD =，所以30DAE ∠=︒．所以BE AD ⊥．如题图2，,PF AD BF AD ⊥⊥．又因为AD BC ，所以PF BC ⊥，BF BC ⊥，PF BF F ⋂=，所以BC ⊥平面BFP ，又因为BC ⊂平面BCP ，所以平面BFP ⊥平面BCP ．（2）解法一：因为平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =，PF ⊂平面ADP ，PF AD ⊥，所以PF ⊥平面ABCD ． 取BF 的中点为O ，连结GO ，则GO PF ，所以GO ⊥平面ABCD ．即GO 为三棱锥G BCH -的高． 且113sin3022GO PF PA ==⨯︒=．因为，三棱锥G BCH -的体积为111313333332616BCH BCD G BCH V S GO S -=⋅=⨯⨯=⨯⨯=三棱锥． 解法二：因为平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =，PF ⊂平面ADP ， 所以PF ⊥平面ABCD ．因为G 为PB 的中点．所以三棱锥G BCH -的高等于12PF ． 因为H 为CD 的中点，所以BCH 的面积是四边形ABCD 的面积的14， 从而三棱锥G BCH -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的18．ABCD 平行四边形 面ABCD 113333332P ABCD V S PF -=⨯⋅=⨯=平行四边形， 所以三棱锥G BCH -的体积为316． 【点睛】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.在MAB 中，点()1,0A -，()1,0B ，且它的周长为6，记点M 的轨迹为曲线E ． ()1求E 的方程；()2设点()2,0D -，过点B 的直线与E 交于不同的两点P 、Q ，PDQ ∠是否可能为直角，并说明理由．【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）见解析 【解析】【分析】()1由题意得，6MA MB AB ++=，则4MA MB AB +=>，可得M 的轨迹E 是以()1,0A -，()1,0B 为焦点，长轴长为4的椭圆，则E 的方程可求；()2设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系，结合向量数量积，证明PDQ ∠不可能为直角．【详解】()1由题意得，6MA MB AB ++=，4MA MB AB ∴+=>，则M 的轨迹E 是以()1,0A -，()1,0B 为焦点，长轴长为4的椭圆，又由M ，A ，B 三点不共线，0y ∴≠．E ∴的方程为()221043x y y +=≠； ()2设直线PQ 的方程为1x my =+，代入223412x y +=，得()2234690m y my ++-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+． ∴()()()()()121212121222112114DP DQ x x y y my my my my y y ⋅=+++=++++++++ ()()()222121222291182713990343434m m m y y m y y m m m -+=++++=-+=>+++． PDQ ∴∠不可能为直角．【点睛】本题考查定义法求椭圆方程，考查了数量积在圆锥曲线中的应用，处理直线与椭圆的位置关系的问题常用到设而不求的方法，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等，是中档题．21.已知函数()ln 2f x x x =--.（Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（Ⅱ）函数()y f x =在区间(),1k k +（k ∈N ）上有零点，求k 的值.【答案】(1)1y =-；(2)0或3.【解析】【分析】（1）对函数求导，解得()1f '，利用点斜式即可求得切线方程；（2）利用导数判断函数单调性，根据零点存在定理，即可求得零点所在区间，k 值得解.【详解】（1）因为()ln 2f x x x =--，故可得()11f x x '=-， 则()()11,10f f =-'=，切线方程为()10y --=，整理得1y =-.故曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y =-.（2）令()0f x '=，解得1x =，容易知函数()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，且()110f =-<，在区间()0,1上，存在3x e -=，使得()3310f ee --=+>，故()f x 在区间()0,1上有一个零点；在区间()3,4上，因为()()3130,4240f ln f ln =-=-，故()f x 在区间()3,4上有一个零点；综上所述，满足题意的区间为()0,1，()3,4，故k 的可取值为0或3.【点睛】本题考查根据导数的几何意义求切线的斜率，以及利用导数讨论函数的零点分布，涉及零点存在定理，属综合基础题. 选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l的参数方程为222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=a 的值．【答案】(1) 曲线C 的直角坐标方程为即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+；（2）2a =.【解析】【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线l 的普通方程，极坐标方程两边同乘以ρ利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.【详解】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>， 所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+， 直线l 的普通方程为2y x =+. (2)将直线l的参数方程2,22x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=. 因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠.由根与系数的关系，得12t t +=，1244t t a =+.因为点P 的直角坐标为()2,0-，在直线l 上.所以12PM PN t t +=+==解得2a =，此时满足0a >.且1a ≠，故2a =.．【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23.已知a ，b ，c 为正数，函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|.(1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)若f (x )的最小值为m ，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥12.【答案】(1) {x |－3≤x ≤7} (2) 证明见解析【解析】【分析】（1）分段讨论x 的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解；（2）求出m 的值，根据基本不等式得出结论．【详解】解：（1）()|1||5|10f x x x =++-，等价于1(1)(5)10x x x -⎧⎨-+--⎩或15(1)(5)10x x x -<<⎧⎨+--⎩或5(1)(5)10x x x ⎧⎨++-⎩， 解得31x --或15x -<<或57x ，所以不等式()10f x 的解集为{|37}x x -．（2）因为()|1||5||(1)(5)|6f x x x x x =++-+--=，当且仅当(1)(5)0x x +-即15x -时取等号．所以6m =，即6a b c ++=．222a b ab +，222a c ac +，222c b bc +，2222()222a b c ab ac bc ∴++++，22222223()222()36a b c a b c ab ac bc a b c ∴+++++++=++=．22212a b c ∴++．当且仅当2a b c ===时等号成立．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．。
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(十二)文科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（十二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则A B =（ ）A.(],1-∞-B.[]0,1C.(][),01,-∞+∞D.(][),11,-∞-+∞2.已知命题:0p x ∀>，33x x >.则p ⌝为（ ）A.0x ∀>，33x x ≤ B.0x ∀≤，33x x ≤ C.00x ∃>，0303xx ≤D.00x ∃≤，0303xx ≤3.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 值分别为3，4，5，则输出的a 值为（ ）A.2B.3C.4D.54.将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A.()2sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C.()72sin 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()22sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5.已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A.10B.26.函数2sin 2xy x =的图象可能是（ ）A. B.C. D.7.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为则抛物线22y bx =的准线方程为（ ）A.x =B.2x =-C.y =D.2y =-8.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ） A.72里B.60里C.48里D.36里9.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A.)122π+B.)122π+C.32π+2 10.若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ）A.)41B.)41C.12D.411.若曲线()()21x f x ax e -=+在点()()2,2f 处的切线与40x y +=垂直，则a 的值为（ ）A.0B.1C.2D.312.已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A.1010B.-2020C.2020D.4040第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(),a b 是平面区域2001x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩，内的任意一点，则3a b -的最小值为_____________.14.已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________.15.已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3564a a =，则10S 的值为___________. 16.已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤. 17.（本小题满分10分）在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=. （1）求角B 的大小； （2）若b =ABC 面积的最大值.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：()21n S n <+.19.（本小题满分12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ABE DCF -和一个四棱锥P ABCD -组合而成的，其中2EF EA EB ===，AE EB ⊥，PA PD ==//PAD 平面EBCF .（1）证明：平面//PBC 平面AEFD .（2）若直三棱柱ABE DCF -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V . 20.（本小题满分12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）； （2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率. 21.（本小题满分12分）已知函数()22xf x e mx x =--（e 为自然对数的底数）.（1）若0m =，讨论()f x 的单调性； （2）若[)0,x ∈+∞时，()12ef x >-恒成立，求m 的取值范围. 22.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F 在直线30x y -+=上，且2a b +=+（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC △的重心，探求PAC △面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.数学（文科）参考答案、解析及评分细则1.C ∵(][),11,A =-∞-+∞，故选C.2.C 命题p 是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“00x ∃>，0303xx ≤”.3.D4B 函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5.D 因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+， 因为()//2a a b +，所以42222x+=， 所以1x =，所以2b =.6.D 令()2sin 2xf x x =， 因为x R ∈，()()()2sin 22sin 2xxf x x x f x --=--=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ； 因为,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 7.B由题意2221322a b ⎛=== ⎝⎭，∴b = 8.A 记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列，由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得1192a =∴23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以此人第3天和第4天共走了72里.9.B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，所以该几何体的表面积为()2111122S ππ=⨯⨯+⨯⨯)1122222π+⨯⨯=+.10.D 因为260x y xy ++==，所以()62xy x y =-+，因为x ，y 为正实数，所以21122222x y xy xy +⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.11.B 由题意()()21x ax a ef x -+'=+，()()023131f a e a '=+=+，直线40x y +=的斜率为14-，∴()11431a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭+，解得1a =. 12.C 函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x +=，即11y x=+的图象关于点()0,1对称， 即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点； 则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ++++++=++-+⎡⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y -+++-+-++++-+-=⎤⎦.13.-2 作出不等式组2001a b a b +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩表示的可行域，当0a =，2b =时，目标函数3z a b =-取得最小值-2.42122iz i i+==-，故12z i =-=. 15.1023 由3564a a =，得2464a =，又数列{}n a 的各项都为正数，所以48a =.设等比数列{}n a 的公比为q，则2q ===.所以()1010112102312S -==-.16.111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭由题意，函数满足()()20f x f x -+=，即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2，当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =，当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==，即()1,B e ，()3,C e ，当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点，此时31e k =-，解得13e k +=.直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点，此时51e k =-，解得15e k +=.直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =. 所以要使得函数()()2g x f x kx k =--有且仅有3个零点，则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 17.解：（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=， 所以222a c ac b +-=，即222a c b ac +-=.…………………………………………………………3分由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，.……………………………………4分 因为0B π<<，所以3B π=.…………………………………………………………5分（2）因为3B π=，所以2sin sin sin 2a c bA C B====，三角形ABC面积112sin 4sin sin sin 223S ac B A C A A A A π⎛⎫==⨯=-=+ ⎪⎝⎭⎝13sin sin 222246A A A A π⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭.……………………………………6分 ∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，.………………………………………………8分 当且仅当3Aπ=时，262A ππ-=，此时ABC △面积取得最大值4.……………………10分 18.解：（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩.……2分整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，.……………………………………………………4分所以()11n a a n d n =+-⋅=，即n a n =，.……………………………………………………5分()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+.……………………………………………………………………6分 （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭.………………………………9分所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++.………………………………………………12分 19.解：（1）取AD 的中点H ，连接PH ，EH ，FH .由题知，PH AD ⊥，且2PH =，又因为AE EB ⊥，三棱柱ABE DCF -为直三棱柱，所以EF ，EA ，EB 三条直线两两垂直，故AE ⊥平面EBCF ，BE ⊥平面AEFD .因为平面//PAD 平面EBCF ，所以AE ⊥平面PAD ，因为PH ⊂平面PAD ，所以AE PH ⊥，又因为AEAD A =，所以PH ⊥平面AEFD ，所以//PH BE ，又因为2PH BE ==，所以四边形PHEB 为平行四边形，所以//PB HE ，因为HE ⊂平面AEFD ，PB ⊄平面AEFD ，所以//PB 平面AEFD ，同理可证//PC 平面AEFD ，又因为PBPC P =，所以平面//PBC 平面AEFD .…………………6分（2）由题知，直三棱柱ABE DCF -的体积1142V EB EA EF =⨯⨯⨯=，四棱锥P ABCD -的体积2118222323P ABD B PAD V V V AD PH AE --==⨯⨯⨯⨯==⨯，所以1243823V V ==.………………12分20.解：（1）由频率分布直方图可得10.0160.0360.0800.0445a ++++=，解得0.024a =，.…3分各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………6分（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，.………………………………………………………………………………………9分其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种.…………………………………11分 所求概率63105P ==.…………………………………………………………………………12分 21.解：（1）当0m =时，()2xf x e x =-，()2xf x e '=-，.…………………………………………1分令()20x f x e '=-≤，得ln 2x ≤，令()20xf x e '=-≥，得ln 2x ≥.………………………….3分所以函数()f x 在(),ln 2-∞上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增.………………………………4分（2）()12e f x >-恒成立，即2212x ee x mx --+>恒成立. 当0x =时，对于任意的m R ∈，202e->恒成立；.…………………………………………5分当0x >时，即2212x ee x m x --+<恒成立.……………………………………………………6分 令()2212xe e x g x x--+=，则()()2422212x x e e x x e x g x x ⎛⎫----+⎪⎝⎭'=. 整理得()()3222x x e x e g x x -++-'=，.……………………………………………………7分令()()222xh x x e x e =-++-，注意到()10h =，()()12xh x x e '=-+，再令()()12xx x e ϕ=-+，则()0xx xe ϕ'=>，.…………………………………………8分所以()x ϕ在()0,+∞单调递增，()()010x ϕϕ>=>，即()0h x '>.所以()h x 在()0,+∞单调递增.……………………………………………………9分 又()10h =，故知在()0,1上()0h x <，在()1,+∞上()0h x >.从而()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增.………………………………………………10分故()()min 2121112ee e g x g --+===-，.……………………………………………………11分因为2212x ee x m x --+<在[)0,+∞恒成立， 所以12em <-.……………………………………………………………………12分22.解析：（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.……………………………………4分（2）若直线l的斜率不存在，则1322S ==. 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程可得()222124240k x kmx m +++-= 设()11,A x y ，()22,C x y ， 则122412km x x k +=-+，()21222212m x x k -⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC △的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212m y y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC △的面积132S AC d =⋅12x =-⋅ 1232x x m =-⋅m =m=2==. 综上可得，PAC△面积S .………………………………………………12分。
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(八)文科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≤x 2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n >x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 2C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n >x 20D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 22．若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．－12D ．－13．执行如图程序语句，输入a ＝2cos 2 019π3，b ＝2tan 2 019π4，则输出y 的值是( )A ．3B ．4C ．6D ．－1INPUT a ，b IF a<b THENy ＝a(a ＋b) ELSEy ＝a 2－b END IF PRINT y END4.某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是( )A ．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B ．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C ．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80D ．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8 5.在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A ＝（ ）.A.33 B.43 C.31 D.41 6. 在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为( )A.89B.79C.49D.197.设函数)(x f y =在()+∞∞-,内有定义，对于给定的正数K ，定义函数⎩⎨⎧>≤=kx f k k x f x f x f k )(,,)(),()(取函数xx f -=2)(，当K =21时，函数)(x f k 单调递增区间为（ ） A.()0,∞- B.(0,+)∞ C.()1,-∞- D.(1,+)∞8.在ABC ∆中，已知AD 为BC 边上的高，AE 为BAC ∠的平分线，AB=4,25144=−→−•−→−AEAD ,748=−→−•−→−AE AB 则•=( ) A.16-. B.16. C.18- D.19- 9．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，∠ACB=90°，11==CC BC ,23=AC ,P 为1BC上的动点，将平面P AC 1进行翻转，使之与平面B CC 1在同一平面上，则1PA CP +的最小值为( ) A ．52B ． 132+C ．5D ．125+10.已知1F ， 2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若直线y x =与双曲线C 交于P ， Q 两点，且四边形12PF QF 为矩形，则双曲线的离心率为（ ） A ． 22+ B ．22+ C ． 26 D ．26+11.(错题再现)已知向量)0,2(-=OB ，)0,2(=OC ，),sin ,(cos θθ=CA 则OB OA ,cos 的取值范围是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,415 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-552,1 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--23,1 12. 已知对任意实数x 都有()()'2x f x f x e -=，()01f =-，若()()1f x k x >-在1>x 上恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．()1+∞， B ．)4,(23e -∞C ．1214e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3214e ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13．（错题再现）在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________． 14. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+ (0)2πϕ<<与y 轴的交点为()0,1,且图象上两对称轴之间的最小距离为2π,则使()()0f x t f x t +--+=成立的t 的最小值为 . 15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆底部的弧长为90尺，米堆的高为12尺．圆周率约为3.若将此堆米用草席盖上，则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如544≈23，550≈23) 平方尺。