2021届全国大联考新高考原创预测试卷(二十九)文科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(二十九)文科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若1z i =+，则z zi⋅=（ ） A. 2i B. 2i -C. 2D. 2-【答案】B 【解析】 ∵1z i =+ ∴1z i =- ∴(1)(1)22z z i i i i i i⋅+-===-2.已知集合{}230,{|17},M x x x N x x =->=≤≤，则()R C M N =（ ）A. {}37x x <≤B. {}37x x ≤≤C. {}13x x ≤≤D.{}13x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由{}{2303M x x x x x =->=>或}0x <，所以{}03R C M x x =≤≤，又{|17}N x x =≤≤，(){}13R C M N x x ∴⋂=≤≤，故选：C【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.3.中国古代用算筹来进行记数,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯记数-样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万用纵式表示,十位、千位、十万位.--.用横式表示,例如6613用算筹表示就是，则8335可用算筹表示为( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据新定义直接判断即可.【详解】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8335可用算筹表示为.故选：B【点睛】本题考查了合情推理与演绎推理，属于基础题. 4.在区间[]2,4-上:任取一个实数x ,则使得312x -≤成立的概率为（ ） A.37B.45C. 23D. 12【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概型的概率求法即可求解. 【详解】3151222x x -≤⇔-≤≤， ∴使得312x -≤成立的概率为()51122422P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--故选：D【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，需熟记几何概型的概率求法公式，属于基础题. 5.函数()42x f x x=-的零点所在的区间是（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】由函数()42f x x=-，则121428122f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()141221f =-=，32348203232f ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭ ，()3102f f ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭由零点存在性定理可知函数()42x f x x=-的零点所在的区间是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理，属于基础题. 6.若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.6425B. 4825C. 1D.1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．7.已知,m n 是两条不同的直线,αβ是两个不同的平面,则//m n 的充分条件是（ ） A. ,m n 与平面α所成角相等 B. //,//m n αα C. //,,m m n αβαβ⊂⋂= D. //,m n ααβ=【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断即可.【详解】对于A ，若,m n 与平面α所成角相等，则,m n 可能相交或者异面，故A 错；对于B ，若//,//m n αα，则,m n 可能相交或者异面，故B 错；对于C ，若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，由线面平行的性质定理可得//m n ，故C 正确； 对于D ，若//,m n ααβ=，则,m n 可能异面，故D 错；故选：C【点睛】本题主要考查了空间中线面的位置关系，需掌握判断线面位置关系的定理和定义，考查了空间想象能力，属于基础题8.已知AB 是圆心为C 的圆的条弦,且9·2AB AC =,则AB =（ ） A. 3 B. 3C. 23D. 9【答案】B 【解析】 【分析】过点C 作CD AB ⊥于D ，可得12AD AB =，在Rt ACD ∆中利用三角函数的定义算出1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==，再由向量数量积的公式加以计算，结合92AB AC =即可求解.【详解】过点C 作CD AB ⊥于D ，则D 为AB 的中点，Rt ACD ∆中，12AD AB =，1cos 2AC CAB AD AB ⋅∠==， 291cos 22AB AC AB AC CAB AB ==∠=,解得3AB =. 故选：B【点睛】本题主要考查向量数量积的几何意义以及根据数量积求模，属于基础题. 9.函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. 0a >，0b >，0c <B. 0a <，0b >，0c >C. 0a <，0b >，0c <D. 0a <，0b <，0c < 【答案】C 【解析】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即bx a=-，即函数的零点000.0,0bx a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像10.函数() 2 3 2f x sin x cos x =的图象向右平移6π个单位 长度得到()y g x =的图象.命题()1:p y g x =的图象关于直线2x π=对称;命题2:,04p π⎛⎫-⎪⎝⎭是()y g x =的一个单调增区间.则在命题()()()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨⌝∧⌝⌝∨和()412:q p p ∧⌝中,真命题是( ) A. 13,q q B. 14,q qC. 23,q qD. 24,q q【答案】A 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式将函数() 22f x sin x cos x =化为()223f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由三角函数的图像变化规律求出()g x 的解析式，根据三角函数的性质判断1p 与2p 真假，再由命题的否定以及真假表即可判断.【详解】解:由()1 222sin 2cos 22sin 2223f x sin x cos x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ=-+=,由()22x k k Z ππ=+∈，解得()24k x k Z ππ=+∈， 显然2x π=不是()g x 对称轴，故1p 为假命题.由()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，解得()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数()g x 的单调递增区间为,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,当0k =时，44x ππ-≤≤，又,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故2p 为真命题.故1p ⌝为真命题，2p ⌝为假命题，故112:q p p ∨为真命题；()()212:q p p ⌝∧⌝为假命题；()312:q p p ⌝∨为真命题；()412:q p p ∧⌝为假命题；故选：A.【点睛】本题考查了辅助角公式、三角函数的性质、命题真假的判断以及命题的否定、真假表，需熟记三角函数的性质以及真假表，属于基础题.11.在三棱柱111 ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ,记ABC ∆和四边形11ACC A 的外接圆圆心分别为12,O O ,若2AC =,月三棱柱外接球体积为323π,则12O O 的值为( )A.53B. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据球心与截面中心的连线与截面垂直得出12OO MO 为矩形，从而即可求解. 【详解】设三棱柱111 ABC A B C -外接球的半径为r ，则343233r ππ=，解得2r ，设AC 的中点为M ，三棱柱111 ABC A B C -外接球球心为O ， 则1OO ⊥平面ABC ，2O M ⊥平面ABC ，可得12OO MO 为矩形，所以12OM O O =====故选：D【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.12.已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =的对称点在10kx y +-=的图象上,则实数k 的取值范围是( ) A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有两个交点，借助函数图像与导数的几何意义求出1y kx =+与()f x 的两段图像相切的斜率即可求出k 的取值范围. 【详解】直线10kx y +-=关于直线1y =的对称直线为10kx y -+-=， 则直线10kx y -+-=与()y f x =的函数图像有4个交点， 当0x >时，()1ln f x x '=-，∴当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<， ∴()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，作出()y f x =与直线10kx y -+-=的函数图像，如图所示：设直线1y kx =+与2ln y x x x =-相切，切点为()11,x y ，则111111ln 2ln 1x k x x x kx -=⎧⎨-=+⎩ ，解得11,1x k ==，设直线1y kx =+与()2302y x x x =--<相切，切点为()22,x y ， 则22222322312x k x x kx ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=+⎪⎩，解得211,2x k =-=，1y kx =+与()y f x =的函数图像有4个交点，∴直线1y kx =+与()f x 在(),0-∞和()0,∞+上各有2个交点，112k ∴<< 故选：A【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，考查了数形结合思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知0,0a b >>，若341log log 2a b ==，则ab=__________． 3【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化即可求解.【详解】由341log log 2a b ==，则123a =，124b =，1122123344a b ⎛⎫∴===⎪⎝⎭，故答案为：2【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、指数幂的运算，属于基础题.14.若,x y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为__________．【答案】4 【解析】当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x －y ＝0与直线x ＋y ＝3的交点(1，2)时，z 取最大值2×1＋2＝4.15.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，且()f x 在R 单调递增，对任意的()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+，则使不等式()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦成立的m 取值范围是__________．【答案】[)0,9 【解析】 【分析】首先判断出()f x为奇函数，然后根据题意将()21202f f m ⎡⎤⎫+->⎪⎢⎥⎭⎣⎦化为()()12f f m >-，再由函数的单调性转化为解12m >-即可.【详解】定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x g x g x =--，则()()()()f x g x g x f x -=--=-，()f x ∴为奇函数， 又对任意()12,0,x x ∈+∞，恒有()()()1212f x f x f x x =+，则()21202f m f m ⎡⎤⎛⎫++-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()()2120f m f m ++->∴()()()2122f m f m f m +>--=-()f x 在R 单调递增，∴212m m +>-，即2300m m m ⎧--<⎪⎨≥⎪⎩，解得09m ≤<故答案为：[)0,9【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档题.16.如图,在直四棱柱1111 ABCD A B C D -中,底面ABCD 是菱形,,E F 分别是11,BB DD 的中点, G 为AE 的中点且3FG =,则EFG 面积的最大值为________．【答案】3 【解析】 【分析】建立坐标系，使用法向量求出E 到直线FG 的距离，代入面积公式，使用不等式的性质求出最值.【详解】连接AC 交BD 于O ，底面ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥，以,,0OC OD Z 为坐标轴建立空间直角坐标系o xyz -， 设,OC a OD b ==，棱柱的高为h ， 则(),0,0A a -，0,,2h E b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,,2h F b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,224a b h G ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭，即3,,224a b h FG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()0,2,0FE b =-，23cos ,322FG FEb bFG FE b FG FE ⋅∴===⋅，E ∴到直线FG 的距离224sin ,24b d FE FG FE b b -===-，()222221333444322222EFGb b S FG d b b b b ∆+-∴=⋅⋅=-=-≤⨯= 当且仅当224b b =-，即22b =时取等号. 故答案为：3【点睛】本题考查了空间向量在求点到线的距离的应用、基本不等式求最值，注意在应用基本不等式时验证等号成立的条件，属于中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和,2458,15a a S ⋅==;等比数列{}n b 的前n 项和21n n T =-(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(2)当{}n a 各项为正时,设n n n c a b =⋅,求数列{}n c 的前n 项和. 【答案】（1）n a n =或6n a n =-，12n n b -= （2）()121n n T n =-⋅+【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与求和公式即可求n a ；由n T 与n b 的关系可求n b . （2）利用错位相减法即可求和.【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d则()()()()21111383381115101532a d a d d d d d d a d a d⎧⎧++=-+=⇔⇒=⇒==-⎨⎨+==-⎩⎩或 11,1,n d a a n ∴==∴= 11,5,6n d a a n ∴=-=∴=-当2n ≥时，112n n n n b T T --=-=当1n =时，111b T ==也满足上式 所以12n nb -=（2）由题可知，1,2n n n n n a n c a b n -===()01221122232?··122n n n T n n --=++++-+ ()12312122232?··122n n n T n n -=++++-+ ()1112?··22121n n n n T n n --=+++-=--故()121nn T n =-+【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，已知n S 求n a 以及错位相减法，需熟记公式，属于基础题.18.如图,在四棱锥 P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为梯形//, 90, 2.2ABAB CD ABC BCD BC CD ∠=∠=︒===(1)证明:BD PD ⊥;(2)若PAD △为正三角形,求C 点到平面PBD 的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）62【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可证出.（2）取AD 中点M ,连接PM ，利用等体法：由P BCD C PBD V V --=即可求解. 【详解】（1）证明：因为 2 4BC CD AB ===，，又底面ABCD 为直角梯形222 22, 22, AD BD AD BD AB BD AD ∴==+=∴⊥，面PAD ⊥底面 ABCD ，BD ∴⊥平面 .PAD 又PD ⊂平面 .PAD BD PD ∴⊥（2）因为侧面 PAD ⊥底面 ,ABCDPAD ∆为正三角形,取AD 中点M ,连接PMPM ∴⊥底面 ,ABCD 6PM =11126622332P BCD BCDV PM S -===设C 点到PBD 面的距离为,c d111262222332P BCD c PBDc Vd Sd -===62c d ∴=【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理、等体法求点到面的距离，需熟记锥体的体积公式，考查了学生的推理能力，属于中档题.19.为了了解居民的家庭收人情况,某社区组织工作人员从该社区的居民中随机抽取了n 户家庭进行问卷调查.经调查发现,这些家庭的月收人在5000元到8000元之间，根据统计数据作出如图所示的频率分布直方图.已知图中从左至右第一 、二、四小组的频率之比为1:3:6,且第四小组的频数为18.(1)求n ;(2)求这n 户家庭月收人的众数与中位数(结果精确到0.1);(3)这n 户家庭月收入在第一、二、三小组的家庭中,用分层抽样的方法任意抽取6户家庭,并从这6户家庭中随机抽取2户家庭进行慰问,求这2户家庭月收入都不超过6000元的概率.【答案】（1）60n = （2）众数是67.5，中位数是66.3 （3）45【解析】 【分析】（1）根据从左至右第一 、二、四小组的频率之比为1:3:6,求出第四小组的频率，再由频率=频数样本容量即可求解.（2）由频率分布直方图第四组小矩形底边中点的横坐标为众数；中位数等于各个小矩形面积与其小矩形底边中点横坐标之积的和.（3）根据分层抽样得出第一、二、三小组应分别抽取1,2,3，分别记记为;,;,,a b c d e f 依次列出基本事件个数，由古典概型的概率求法公式即可求解.【详解】解：（Ⅰ）设从左至右第一、三、四小组的频率分别为123,,p p p ，则由题意可知：()2131123360.020.040.0451p p p p p p p ⎧=⎪=⎨⎪+++++⨯=⎩,解得1230.050.150.3p p p =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 从而18600.3n == （2）由于第四小组频率最大，故这 n 户家庭月收入的众数为657067.52+= 由于前四小组的频率之和为：0.05 +0.1 0.15 +0.3 =0.6 >0.5+ 故这n 户家庭月收入的中位数应落在第四小组，设中位数为 x 则650.050.10.150.30.52x -+++⨯=，解得66.3x = （3）因为家庭月收入在第一、二、三小组家庭分别有3,6,9户，按照分层抽样的方法易知分别抽取1,2,3，第一组记为a ，第二组,b c ，第三组为,,d e f ， 从中随机抽取2 户家庭的方法共有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f ()()()()()(),,,,,,,,,,,c d c e c f d e d f e f 共15种；其中这2户家庭月收入都不超过6000元有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f()()(),,,,,,c d c e c f 共12种；所以这2户家庭月收入都不超过6000元的概率为124155P == 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，掌握住由频率分布直方图求众数、中位数，考查了古典概型的概率求法，属于基础题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴顶点分别为,A B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于,A B 的任意-一点,直线,TA TB 的斜率之积为13- (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,圆223:4O x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点,求POQ △面积的最大值.【答案】（1）2213x y += （2）2【解析】 【分析】（1）根据题意设出点(),T x y ，列出方程化简即可求解.（2）分类讨论当直线斜率不存在时，可求出弦长PQ =y kx m =+与椭圆联立，根据弦长公式求出弦长的最大值，再由面积公式max122S PQ =⨯⨯即可求解.【详解】解：（1）设(),T x y ，由题意知()()0,1,0,1A B -，设直线TA 的斜率为1k ，直线TB 的斜率为2k ， 则1211,y y k k x x +-==，由1213k k =-，得1113y y x x +-=- 整理得椭圆C 的方程为2213x y +=（2）当切线l 垂直x 轴时PQ =当切线l 不垂直 x 轴时，设切线方程为 .y kx m =+2=，得()22314m k =+ 把.y kx m =+代入椭圆方程2213x y +=，整理得()222316330k x kmx m +++-=设()()1122,,,P x y Q x y ，则2121222633,3131km m x x x x k k --+==++PQ ======()20k =≤=≠ 当且仅当2219k k =，即k =时等号成立，当0k =时，PQ =综上所述max2PQ =.所以当PQ 取最大值时，POQ △面积max 1222S PQ =⨯⨯=【点睛】本题考查了直接法求轨迹方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及基本不等式求最值，属于中档题. 21.已知函数()()222ln ,2af x ax xg x ax ax x=+-=-+ (1)若0,a ≥讨论()f x 的单调性;(2)当0a >时,若函数()f x 与()g x 的图象有且仅有一个交点()00,x y ,求[]0x 的值(其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[[][0.3710,0.37 1.2.92])=-=-=.参考数据:20.693 ,3 1.099 ,5 1.609,7 1.946ln ln ln ln ====【答案】（1）当0a =时， ()f x 在()0,∞+单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；()f x 在1,4a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭单调递增． （2）2 【解析】 【分析】（1）对()f x 进行求导，讨论a 的取值范围，令()0f x '>或()0f x '<，解不等式即可求解.（2）两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0a ax x x +-=在()0,∞+只有一个根, 令()22ln a F x ax x x=+-，研究 ()F x 的单调性，求出()F x 的零点，然后根据零点存在性定理判断零点所在的区间即可.【详解】解：（1）()2222122'2a ax x af x a x x x--=-+-= 对于函数()222,h x ax x a =--21160a ∆=+>当0a =时，则()1'0,f x x=-<()f x ∴在()0,∞+单调递减；当0a >时，令()0f x '<，则2220ax x a --<，解得104x a+<<∴()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；令()0f x '>，解得x >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增． （2）0a >且两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0aax x x+-=在()0,∞+只有一个根 令()22ln a F x ax x x =+-，则()3222'ax x a F x x--= 令()[)322,0,x ax x a x ϕ=--∈+∞，则()2'61x ax ϕ=-()0,a x ϕ>∴在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()min x ϕϕ= 注意到()()020,a x ϕϕ=-<∴在⎛ ⎝无零点，在⎫+∞⎪⎪⎭仅有一个变号的零点m()F x ∴在()0.m 单调递减，在(),m +∞单调递增，注意到()130F a =>根据题意m 为 ()F x 的唯一零点即0m x =20003002ln 0220aax x x ax x a ⎧+-=⎪∴⎨⎪--=⎩消去a ，得：3003300232ln 111x x x x +==+--令()332ln 11H x x x =---，可知函数()H x 在()1,+∞上单调递增 ()101022ln 220.693077H =-=⨯-<，()292932ln 32 1.00902626H =-=⨯->()[]002,3,2x x ∴∈∴=【点睛】本题主要考查了导函数在研究函数单调性、最值中的应用，考查了分类讨论的思想以及零点存在性定理，综合性比较强，难度较大.(二)选考题:共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.平面直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=(1)写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若射线()0:0OM θαρ=≥平分曲线1C ，且与曲线2C 交于点A ，曲线2C 上的点B 满足2AOB π∠=，求AB .【答案】（1）1C：2cos ρθθ=+，2C ：24x y =；（2【解析】 【分析】（1）根据cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求解；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(，所以方程是()03πθρ=≥，将()03πθρ=≥代入2C 的极坐标方程求出A ρ=，进而求出83B ρ=即可求解.【详解】解：（1）曲线1C 的直角坐标方程是()(2214x y -+=，即2220x x y -+-=化成极坐标方程为：2cos ρθθ=+曲线2C 的直角坐标方程是24x y =；（2）曲线1C 是圆，射线OM 过圆心(，所以方程是()03πθρ=≥代入2cos 4sin ρθθ=，得A ρ=又2AOB π∠=，将56πθ=，代入2cos 4sin ρθθ=，得83B ρ=因此3AB ==【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化以及利用极坐标求弦长，属于基础题.23.已知0,0a b >>，且221a b +=（1）证明：()55111a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ （2）若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围 【答案】（1）证明见解析 （2）99x -≤≤【解析】【分析】（1）利用基本不等式即可证出.（2）利用基本不等式求出2214a b +的最小值，然后再分类讨论解不等式即可求解.【详解】解：（1）()()55255444422111b a a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥++=+= ⎪⎝⎭（2）由221a b +=，得()2222222222141441459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭所以9211x x ≥---恒成立当1x ≥时，2119x x x ---=≤故19x ≤≤ 当112x ≤<时，211329x x x ---=-≤解得113x ≤，故112x ≤< 当12x <时，解得2119x x x ---=-≤，故9x ≥-，故192x -≤< 综上可知：99x -≤≤【点睛】本题考查了基本不等式求最值、解绝对值不等式，属于基础题.。
2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(三)文科数学
2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则AB =A ．{}|0x x <B ．{}|1x x <C ．{}1|0x x <<D ．{}|12x x <<2．z C ∈，若||12z z i -=+，则z =A ．322i - B ．322i + C ．22i + D ．22i -3．若sin 78m =，则sin 6=A ．12m + B ．12m- C ．1m + D ．1m- 4．函数()21x f x x-=的图象大致为A ．B ．C ．D ．5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 912216,4,2a a a =+=则数列1{}nS 的前10项和为 A ．1112B ．1011C ．910D ．896．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 7．已知ln 2421log 532a b c e ===，，，则a b c ，，满足 A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为 A ．54B ．5C 5D 59．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6C π=，12a b +=，则ABC面积的最大值为 A ．8B ．9C ．16D ．2110．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我()cong ，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取3π=） A ．704立方尺B ．2112立方尺C ．2115立方尺D ．2118立方尺11．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为 A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π12．若函数()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为 A ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][1,1,7⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞ 第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)(解析版)
∴CD⊥平面
ABD，∴CD
是三棱锥
C
ABD
的高，∴VC
ABD＝13×12×2×2×sin
60°×2＝2 3， 3
故选 A.
8．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得I20＝I0e－7.6×0.8μ，∴12＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选 C.
9．答案：C
解析：从题图(1)可以看出，该品牌汽车在 1 月份所对应的条形图最高，即销售量最多，
商品销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10
额 y/万元
且已知 错误!i＝380.0
(1)求第 10 年的年收入 x10. (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y^＝363x＋^a，
254 (ⅰ)求该种商品第 10 年的销售额 y10； (ⅱ)若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：①在线性回归方程y^＝b^x＋^a中，b^＝错误!，^a＝－y －b^－x ；
(1)求轨迹Γ的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A，B，直线 CD 与轨迹Γ交于点 C，D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．
-5-
21．(12 分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数 f(x)＝aex＋x2－ln x(e 为自然对数的底数，a 为常 数)，曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为(e＋1)x－y＝0.
于 8 月份，所以该公司 7 月份汽车的总销售量比 8 月份少，所以选项 C 是错误的；从题图(1)
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(三)文科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={|36},{|27}x x B x x -<<=<<，则()R A B =( )A. （2，6）B. （2，7）C. （-3，2]D. （-3，2）【答案】C 【解析】 【分析】由题得C B ⋃={x|x ≤2或x ≥7}，再求()A C B ⋃⋂得解.【详解】由题得C B ⋃={x|x ≤2或x ≥7}，所以()A C B ⋃⋂= (]3,2-.故选C【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知复数11z i =-+，复数2z 满足122z z =-，则2||z = ( )A. 2B.C. D. 10【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知求出复数2z ，再求2z . 【详解】由题得222(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i -------====+-+-+--，所以2z 故选B【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知命题:,2x p x R x e ∃∈->，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>,则( )A. 命题p q ∧⌝是真命题B. 命题p q ∨⌝是假命题C. 命题p q ∨是假命题D. 命题p q ∧是真命题【答案】A 【解析】 【分析】先分别判断命题p 与命题q 的真假，进而可得出结果.【详解】令()xf x e x =+，则易知()xf x e x =+在R 上单调递增， 所以当0x <时，()12xf x e x =+<<，即2x e x <-； 因此命题:,2x p x R x e ∃∈->为真命题； 由0a >得211a +>；所以，当1a >时，2log (1)0a a +>；当01a <<时，2log (1)0a a +<； 因此，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>为假命题；所以命题p q ∧⌝是真命题. 故选A【点睛】本题主要考查简单的逻辑连接词，复合命题真假的判定，熟记判定方法即可，属于常考题型.4.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为( )A. 4B. 2C. 3D. 8【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为q ，0q >，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，计算即可得到所求首项．【详解】正项等比数列{}n a 公比设为(0)q q >，满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，可得211a q =，54312a a +=，即4311312a q a q +=，可得22320q q +-=， 解得2q =-（舍去），12q =， 则14a =， 故选A ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）A. 2B. 4C. 442+D. 642+【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积. 【详解】由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱， 所以其体积为121222⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征.6.已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( ) A.12B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】 根据22a b -=得到22424a b a b +-=，再由基本不等式得到222424a b a b a b ≤+-=，结合数量积的定义，即可求出结果.【详解】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=， 又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤； 因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B【点睛】本题主要考查向量的数量积与基本不等式，熟记向量数量积的运算与基本不等式即可，属于常考题型.7.函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案. 【详解】因为()ln f x x x =所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项， 而()ln ln f x x x x x -=--=-， 所以()()f x f x -=-即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项， 故选C 项.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m β⊥，则//m α B. 若//m α，n m ⊥，则n α⊥C. 若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD. 若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误； 若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误． 若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.9.函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A. 2sin(2)6y x π=-B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin(+)6y x π=D. 2sin(+)3y x π=【答案】A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A. 【考点】 三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）. A. 24里 B. 12里C. 6里.D. 3里【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【详解】解：记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得：1192a =，65119262a ∴=⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题． 11.将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误的是（ ）A. 函数()g x 的最小正周期是πB. ()g x 图像关于直线7π12x =对称 C. 函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. ()g x 图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象平移关系求出()g x 的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．【详解】由题意，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度， 可得2()sin[2()]sin(2)233g x x x πππ=-+=-，对于A ,函数的最小正周期为2=2ππ，所以该选项是正确的； 对于B ，令712x π=，则772()sin(2)sin 1121232g ππππ=⨯-==为最大值， ∴函数()g x 图象关于直线712x π=，对称是正确的；对于C 中，[,]63x ππ∈-，则22[3x ππ-∈-，0]， 则函数()g x 在区间[,]63ππ-上先减后增，∴不正确；对于D 中，令3x π=，则2()sin(2)sin 00333g πππ=⨯-==，()g x ∴图象关于点(,0)3π对称是正确的，故选C ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．12.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 有(3)()f x f x +=-，当(3,0)x ∈- 时，()25f x x =-，则(8)f =（ ）A. 11B. 5C. -9D. -1【答案】C 【解析】 【分析】根据(3)()f x f x +=-即可得出(6)()f x f x +=，即得出()f x 的周期为6，再根据()f x 是偶函数，以及(3,0)x ∈-时，()25f x x =-，从而可求出f （8）f =（2）(2)9f =-=-． 【详解】(3)()f x f x +=-；(6)(3)()f x f x f x ∴+=-+=；()f x ∴的周期为6；又()f x 是偶函数，且(3,0)x ∈-时，()25f x x =-；f ∴（8）(26)f f =+=（2）(2)459f =-=--=-．故选C ．【点睛】本题主要考查偶函数和周期函数的定义，以及已知函数求值的方法．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为__________．【答案】2 【解析】 分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数2z x y =+可化为122zy x =-+，因此当直线122zy x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小，结合图像即可求出结果.【详解】由约束条件40,20,20,x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如下：因为目标函数2z x y=+可化为122zy x=-+，因此当直线122zy x=-+在y轴上截距最小时，2z x y=+取最小.由图像易得，当直线122zy x=-+过点(2,0)A时，在y轴上截距最小，即min2z=.故答案为2【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.14.已知4cos()35πα+=，则13sin()6πα-的值是____________.【答案】45-【解析】根据两角和的余弦公式可得134cos cos325πααα⎛⎫+==⎪⎝⎭，所以由诱导公式可得13sin6πα⎛⎫-=⎪⎝⎭31cos622sin sinπααα⎛⎫-=-⎪⎝⎭134cos225sinαα⎛⎫=--=-⎪⎪⎝⎭，故答案为45-.15.已知A，B，C三点在球O的表面上，2AB BC CA===，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则球O 的表面积为____. 【答案】6π 【解析】 【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【详解】解：设球的半径为r ，O ′是△ABC 的外心，外接圆半径为R 3=， ∵球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13， ∴得r 219-r 2＝43，得r 232=． 球的表面积S ＝4πr 2＝4π362⨯=π．故答案为6π．【点睛】本题考查球O 的表面积，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，是中档题．16.已知函数()sin f x ax x =+，若()()()g x f x f x '=+在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的最小值是___． 【答案】1 【解析】 【分析】化简函数的解析式，利用函数的导数，转化求解函数的最大值，即可得到结果．【详解】解：函数f x ax sinx =+（），若'g x f x f x ax sinx cosx a =+=+++（）（）（）， g x f x f x =+'（）（）（）在区间[-2π，2π]上单调递增，'0g x a sinx cosx =-+≥（），可得,,422a x x πππ⎛⎫⎡⎤≥-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得3,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,4x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭所以1a ≥.所以a最小值为：1．故答案为1．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，求解参数时．可将参数分离出来，转化为求解函数的最值，从而得到参数的取值范围．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 必做题：共60分.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=︒．(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)若PA AB =.求棱锥C PBD -的高. 【答案】（1）证明见解析（2）217. 【解析】 【分析】（1）推导出AC ⊥BD ，PA ⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面PAC ． （2）运用等体积转化图形求体积．【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥ BD . 又PA AC A ⋂=,所以BD ⊥平面PAC .（2）解：∵C PBD P CBD V V --=， 设棱锥C PBD -的高为h ∴1133PBD CBD h S PA S ∆∆⋅=⋅ ∵PA AB =，2AB =，60BAD ∠=︒ ∴22PB PD == 2BD = ∴2211722PBDS BD PB BD ∆⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11322CBD S BD AC ∆=⋅= ∴2217CBD PBD PA S h S ∆⋅==. 即棱锥C PBC -的高为2217. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥体积的求法，棱锥体积计算的常见方法： （1）直接应用体积公式求体积，这类问题的特征是：棱锥的底面积与高为已知或可求. （2）割补法求体积，一是将不方便计算的棱锥分割成若干易算的棱锥，逐一计算即可；二是将棱锥补成易算的棱锥或棱柱，从而求出棱锥体积.（3）转换棱锥求体积（主要适用三棱锥），在计算体积时可以换底进行等体积棱锥图形的转化.18.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭. （1）求角C 的值；（2）若4,7a c ==ABC ∆的面积.【答案】（1）23π；（2）【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简，将已知等式化简得sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合范围 ()0,C π∈，可得角C 的值；（2）利用余弦定理可求得24120b b +-=，解得b 的值，根据三角形的面积公式即可得出ABC ∆的面积.【详解】解：（1）因为sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即12sin sin cos 2sin sin 022R B C C R C B ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，由于在ABC ∆中，sin 0B >，则得出：1sin 022C C +=， 所以sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又因为()0,C π∈，则3C ππ+=，解得：23C π=.（2）在ABC ∆中，4,a c == 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-， 所以24120b b +-=，且0b >， 解得：2b =， 则ABC ∆的面积为：11sin 42222S ab C ==⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的综合应用，以及三角函数恒等变换的应用，同时考查学生的计算能力和转化思想.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2*2n n nS n N +=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()*213n an b n n N=-⋅∈，求数列{}nb 的前n 项和nT .【答案】（1）n a n =； （2）13(1)3,n n T n n N ++=+-⋅∈.【解析】 【分析】（1）应用公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩可求的通项n a 的表达式（2）由错位相减法求得数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）当n 2≥时，n n n 1a S S n -=-=；当n 1=时，11a S 1==，符合上式. 综上，n a n =. （2）()213nn b n =-.则由（1）-（2）得 ()()()2122123132132323213321313n n n nT n n -+⋅--=⋅+⋅++⋅+-⋅=+--⋅-()16223n n +=-+-⋅故()1313,n n T n n N ++=+-⋅∈.【点睛】知道n S 的表达式求数列通项时，我们常应用公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩可求的通项na 的表达式．20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(Ｉ) 证明：平面BDC ⊥平面1BDC（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【答案】1:1 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:121.已知函数ln ()(,)x af x bx a b R x-=-∈. （1）当0b =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()f x g x x=在x e =e 为自然对数的底）时取得极值，且函数()g x 在(0,)e 上有两个零点，求实数b 的取值范围.【答案】（1）()f x 在1(0,)a e +上单调递增，在1(,)ae ++∞上单调递减；（2）211(,)2e e. 【解析】 【分析】（1）当0b =时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f （x ）的单调性；（2）函数()g x 在()0,e 上有两个零点等价于函数()(),0,g x x e ∈的图像与x 轴有两个交点，数形结合即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）当0b =时，()ln x af x x-=， ()()221ln 1ln x x a a x x f x x x ⋅--+-=='， 令()0f x '=，得1a x e +=， 当()10,ax e+∈时，()0f x '>，当()1,ax e+∈+∞时，()0f x '<.所以函数()f x 在()10,ae +上单调递增，在()1,ae++∞上单调递减.（2）()()2ln f x x ag x b xx-==-，()()2431ln 2122ln x x a x a x x g x x x ⋅--⋅-=='+， ∵()g x 在x e =∴(0g e '=即1210a +-=，∴0a =. 所以()2ln x g x b x=-，()312ln xg x x -'=， 函数()g x 在(e 上单调递增，在),e +∞上单调递减，得函数的极大值12ge b e =-，∴当函数()g x 在()0,e 上有两个零点时，必有()0,10,2g e b e ⎧<⎪⎨->⎪⎩得2112b e e<<.当2112b e e <<时，210g e b e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭. ∴()g x 的两个零点分别在区间1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭与(),e e 中.∴的取值范围是211,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.己知直线l 的参数方程为132x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()13P ，．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值． 【答案】（1）21y x =+ ，216y x = ；（2810【解析】 【分析】（1）直线的参数方程消去t 可求得普通方程．由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，求得曲线C 普通方程．（2）直线的参数方程改写为153x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），由t 的几何意义求值．【详解】()1直线l 的参数方程为1(t 32x ty t=+⎧⎨=+⎩为参数)，消去参数，可得直线l 的普通方程y 2x 1=+，曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ16cos θ0-=，即22ρsin θ16ρcos θ=，曲线C 的直角坐标方程为2y 16x =，()2直线的参数方程改写为135x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入2y 16x =，24t 705--=，12t t +=1235t t 4=-，1212t t 11PA PB t t 35-+==． 【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()22f x x x a =-++，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足00()23f x x +-<，求a 的取值范围． 【答案】（1）4(,][2,)3-∞-⋃+∞（2）71a -<<- 【解析】 【分析】（1）当1a =时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式()5f x ≥； （2）求出()()min23f x x +-<的最小值，根据不等式的关系转化为()221f x x x =-++即可求a 的取值范围．【详解】解：（1）当1a =时，2215x x -++≥， 由()5f x ≥得][4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥；当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++≥，即2x ≥，所以此时不等式无解； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-．所以原不等式的解集为()2222f x x x x a +-=-++. （2）()2422244x x a x a x a =-++≥+--=+ 43a +<. 因为原命题等价于()221f x x x =-++，所以43a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的数学思想进行讨论是解决本题的关键，属于中档题.。
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(九)文科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“22≠x ”是“x 2≠1”的（ ） A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2. 等差数列{}n a 满足10345113=-+a a a ，则=4a （ ）A.5-B.0C.5D.103已知函数f （x ）=x 2+2cos x ，f’（x ）是f （x ）的导函数，则函数y =f’（x ）的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A.60 B.30 C.20 D.105. 定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （1+x ）=f （1－x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）=x （3－2x ），则f （229）=（ ） A ．－1 B ．－21C ．21 D ．16. 已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A. []1,2- B. []0,1 C. []0,2 D. []1,0-7. (错题再现)已知四边形ABCD 中，BC AD //，,3AD BC =90=∠BDC ，AC 与BD 相交于点E ，且6=DE 则DE DA •=（ ）A.18-B.12-C.12D.488．古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数,则该点轨迹是一个圆”.现在,某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G 信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域,以实现5G 商用，已知甲、乙两地相距4公里,丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍,则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：平方公里)是( ) A.23B.43C.36D.469.已知三棱柱111C B A ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O 的表面积为π20，则三棱柱的体积为（ ） A.36 B.12 C.312 D.1810.设椭圆C ：12222=+by a x （)0(>>b a 的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A,B 两点，直线l 的倾斜角60 ，FB AF 2=则椭圆C 的离心率为( ) A.32 B.36. C. 21 D.3111.已知函数()f x 的导函数()2f x sinx '=+，且(0)1f =-，数列{}n a 是以4π为公差的等差数列，若234(3f a f a f a π++=)()()，则20162a a =（ ）A ．2016B ．2015C ．2014D ．201312.已知函数有两个零点，则下列说法错误的是( ).A.B.C.D.有极小值点，且二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.已知)1,3(-=，把它向右平移3个单位，再按。
2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(二十九)数学
2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（二十九）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{|lg(1)}A x y x ==+，{}|2,xB y y x ==-∈R ，则A B =（ ）A. (1,0)-B. (1,)-+∞C. RD. (,0)-∞【答案】C 【解析】 【分析】求出对数型复合函数的定义域得集合A ，结合指数函数的值域求得集合B ，再根据并集概念求得交集．【详解】由题意{|10}{|1}(1,)A x x x x =+>=>-=-+∞，{|0}(,0)B y y =<=-∞，∴A B R =．故选：C ．【点睛】本题考查集合的并集运算，掌握对数函数和指数函数的性质是解题关键． 2.已知i 是虚数单位，1i -是关于x 的方程20(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，则p q +=（ ） A. 4 B. 4-C. 2D. 2-【答案】A 【解析】 【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现得出另一个根，然后由韦达定理求出,p q ，【详解】∵1i -是关于x 的方程20(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，∴方程的另一根为1i --，∴1(1)i i p -++--=-，2p =，(1)(1)2q i i =-+--=，∴4p q +=． 故选：A ．【点睛】本题考查实系数方程的复数根问题，需掌握下列性质：实系数方程的虚数根成对出现，它们是共轭复数．3.“cos 0θ<”是“θ为第二或第三象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】求出cos 0θ<时θ的范围后，再根据充分必要条件的概念判断．【详解】cos 0θ<时，θ是第二或第三象限角或终边在x 轴负半轴，因此题中就是必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充要条件和必要条件的定义是解题基础．4.2013年5月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素数．在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ） A.110B.421C.415D.15【答案】D 【解析】 【分析】用列举法写出所有基本事件即可得概率．【详解】不超过16的素数有2,3，5,7，11,13共6个，任取2个的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13)，共15个，其中可组成孪生素数的有(3,5),(5,7),(11,13)共3个，∴所求概率为31155P ==． 故选：D ．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是写出所有的基本事件． 5.已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2πB. ()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. ()f x 在11,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.512π是()f x 的一个极值点 【答案】D 【解析】 【分析】结合正弦函数性质判断． 【详解】∵()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴最小正周期为22T ππ==，A 错；ππ3()sin(2)333f π=⨯-=，∴(,0)3π不是函数()f x 图象的对称中心．B 错； 11(,)212x ππ∈时，232(,)332x πππ-∈，()f x 递减，C 错；55()sin(2)112123f πππ=⨯-=是函数的最大值，∴512π是()f x 的一个极值点，D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查正弦型复合函数的性质，掌握正弦函数的性质是解题关键． 6.已知0a b >>，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则ab=（ ） A. 2 B. 2C. 22D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用对数换底公式求出log a b ，然后结合b a a b =可求得,a b ，从而得ab． 【详解】∵5log log 2a b b a +=，∴15log log 2aa b b +=，解得log 2a b =或1log 2a b =， 若log 2a b =，则2b a =，代入b a a b =得222()a a a a a a ==，22a a =，又0a >，∴2a =，则224b ==，不合题意； 若1log 2a b =，则12b a =，即2a b =，代入b a a b =得222()b b b b b b ==，∴22b b =，又0b >，∴2b =，则24a b ==， 综上4,2a b ==，∴2ab=． 故选：B ．【点睛】本题考查对数的换底公式，对数的运算和指数的运算．本题解题时注意分类讨论． 7.函数6cos ()2sin x f x x x=-图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，然后研究函数值的正负，得出正确选项． 【详解】由已知6cos()6cos ()()2sin()2sin x xf x f x x x x x--==-=-----，函数的定义域关于原点对称，∴()f x 是奇函数，可排除C ；设()2sin g x x x =-，则()2cos 0g x x '=->，()g x 单调递增，(0)0g =，∴0x >时，()0>g x ，当(0,)2x π∈时，cos 0x >，()0f x >，排除D ； 由上分析，0x <时，()(0)0g x g <=，∴()f x 与cos x 的符号相反，有正有负，排除B ； 故选：A ．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法一般是用排除法，通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等，研究函数图象的特殊点，特殊的函数值，函数值的正负以及函数值的变化趋势等，排除错误的选项，得出正确选项．8.已知点(,)P m n 是函数22y x x =--图象上的动点，则|4321|m n +-的最小值是（ ） A. 25 B. 21C. 20D. 4【答案】C 【解析】 【分析】函数22y x x =--图象是半圆，|4321|m n +-可表示为(,)P m n 到直线43210x y +-=的距离的5倍，利用圆心到直线的距离求出P 到直线距离的最小值后可得结论．【详解】函数22y x x =--图象是半圆，圆心为(1,0)C -，半径为1r =，如图，作直线43210x y +-=，C 到直线43210x y +-=的距离为224021543d -+-==+，∴(,)P m n 到直线43210x y +-=的距离为43215m n d +-'=，其最小值为514-=，∴4321m n +-的最小值为5420⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查最值问题，解题方法是利用绝对值的几何意义求解，函数图象是半圆，|4321|m n +-与点到直线的距离联系，是点(,)P m n 到直线43210x y +-=的距离的5倍，这样把代数问题转化为几何问题求解．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.2019年4月23日，国家统计局统计了2019年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图（如图），则下列说法正确的是（ ）A. 第一季度居民人均每月消费支出约为1633元B. 第一季度居民人均收入为4900元C. 第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多D. 第一季度居民在居住项目的人均消费支出为1029元 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据饼图提供的数据计算．【详解】第一季度由饼图中知衣着消费441元，占总体的9%，∴总支出为44149009%=，那么每月消费支出为490016333≈元，A 正确； 第一季度居民人均消费为4900元，不是收入，B 错； 烟酒项目占31%，最多，C 正确；第一季度居民在居住项目的人均消费支出为490021%1029⨯=元，D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查统计图表（饼图）的认识，正确认识饼图，读懂它表示的数据是解题关键． 10.如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）A. 没有水的部分始终呈棱柱形B. 水面EFGH 所在四边形的面积为定值C. 随着容器倾斜度的不同，11A C 始终与水面所在平面平行D. 当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】想象容器倾斜过程中，水面形状（注意AB 始终在桌面上），可得结论．【详解】由于AB 始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水的部分，是以左右两侧的面为底面的棱柱，A 正确；图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B 错； 图（3）中11A C 与水面就不平行，C 错；图（3）中，水体积不变，因此AEH △面积不变，从而AE AH ⋅为定值，D 正确． 故选：AD ．【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于中档题．11.已知P 为双曲线22:13x C y -=上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，记线段PA ，PB 的长分别为m ，n ，则（ ）A. 若PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则123k k =-B. 12mn >C. 4m n +D. ||AB 的最小值为32【答案】ABD 【解析】 【分析】写出渐近线方程，设00(,)P x y ，直接计算12,,,k k m n ，然后判断各选项．【详解】由题意双曲线的渐近线为y x =±，即0x ±=， 设00(,)P x y ，不妨设P 在第一象限，A在渐近线0x -=上，则1k =2k =123k k =-，A 正确；P 在双曲线上，则220013x y -=，220033x y -=，m =n =，∴22003344x y mn -==12>，B 正确；4m n +≥=4m n =时等号成立，即4m n +的最小值为C 错误；渐近线y x =的斜率为k ==，倾斜角为6π，两渐近线夹角为3π，∴23APB ∠=π，22222292cos334AB m n mn m n mn mn π=+-=++≥=，当且仅当m n =时等号成立，∴32AB ≥，即AB 最小值为32，D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查渐近线方程，考查基本不等式求最值，这类题把许多知识点集中在一起同，对学生推理论证能力，分析求解能力要求较高，属于难题． 12.对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A. ,[]1x x x ∃∈+RB. ,,[][][]x y x y x y ∀∈++RC. 函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D. 若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2nt t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】BCD 【解析】 【分析】由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论． 【详解】[]x 是整数， 若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；,x y ∀∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则1t ≤<，t ≤<t ≤<t ≤<t ≤<=6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t ≤<5n ≤时，存在t ∈满足题意， 故选：BCD ．【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6x⎛- ⎝的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答） 【答案】20- 【解析】 【分析】由二项式系数的性质可得．【详解】二项展开式通项公式为3662166((1)r rrr r rr T C xC x --+==-，其中系数奇数项为正，偶数项为负，又6(0,1,,6)rC r =中，36C 最大，因此二项式系数最大的项为第4项，系数为3620C -=-．故答案为：20-．【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，解题关键是写出二项展开式通项公式1r T +，掌握二项式系数性质是解题关键．14.在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，点M 满足2DM MC =，点N 满足12CN DA =，则AM MN ⋅=_________． 【答案】0 【解析】 【分析】把向量,AM MN 都用,AB AD 表示，再进行数量积运算即得． 【详解】∵2DM MC =，12CN DA =， ∴211122()()()()()()332233AM MN AD DM MC CN AD AB AB AD AD AB AB AD ⋅=+⋅+=+⋅-=+⋅-22221414()(32)02929AB AD =-=⨯⨯-=． 故答案为：0．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取,AB AD 为基底，其它向量都用基底表示，然后再进行运算．15.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，0y -+=过点1F 且与C 在第二象限的交点为P ，若160POF ∠=︒（O 为原点），则2F 的坐标为________，C 的离心率为__________．【答案】 (1). (4,0) (2). 1【解析】【分析】求出直线与x 轴的交点1F 坐标，由对称性可得2F ，利用直线的倾斜角和160POF ∠=︒得1POF 是等边三角形，从而得P 点坐标，代入椭圆方程结合c 可求得,a b ，得离心率．0y -+=与x 轴交点为(4,0)-，即1(4,0)F -，4c =，∴2(4,0)F ，0y -+=，倾斜角为60︒，而1POF 60=︒，∴得1POF 是等边三角形，∴(2,P -，∴22222412116a b a b c ⎧+=⎪⎨⎪-==⎩，解得22a b ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，∴离心率为1c e a ===． 故答案为：(4,0)1．【点睛】本题考查求椭圆的焦点坐标和离心率，由焦点关于原点对称即可得结论，求离心率就是要求得,a c ，利用1POF 是等边三角形得出P 点坐标代入椭圆方程后可解得a ，从而求得离心率．本题属于中档题．16.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，14AA =，ABC是边长为形，1D 是线段11B C 的中点，点D 是线段11A D 上的动点，则三棱锥D ABC -外接球的表面积的取值集合为_____________（用区间表示）． 【答案】[25,32]ππ 【解析】 【分析】由于棱柱底面是正三角形，设,M N 分别是正三棱柱下底面和上底面中心，则三棱锥D ABC -的外接球球心O 在MN 上，由此设球半径为R ，引入DN x =，可把R 用x 表示出来，从而由x 的范围得出球表面积的范围．【详解】如图，设,M N 分别是正三棱柱下底面和上底面中心，则三棱锥D ABC -的外接球球心O 在MN 上，由AB =2CM =，14MN AA ==，设球半径为R ，DN x =，则02x ≤≤，由2222OD DN OC CM MN -+-=得22244R x R -+-=，解得222(12)464x R +=+，∵02x ≤≤， ∴0x =时，2min254R =，2x =时，2max 8R =， ∴min 254254S ππ=⨯=，max 4832S ππ=⨯=， 故答案为为[25,32]ππ．【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题，解题关键是找到外接球球心，三棱锥的外接球球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①4S 是2a 与21a 的等差中项；②7a 是33S 与22a 的等比中项；③数列{}2n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，________________________． （1）求n a ；（2）设34nn n b a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，是否存在*k ∈N ，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）不论选哪个条件，21n a n =+（2）不存在，见解析 【解析】 【分析】（1）如果是①或者②，用1a 和d 表示出已知数列的项和前n 项和，求出1a ，可得通项公式，如果是③，先说明数列{}2n a 是公差为4的等差数列，首期为12a +，由等差数列前n 项和公式可求得1a ，同样得通项公式；（2）用作差法求出{}n b 中的最大项3b ，而3278b <，得结论不存在项278>． 【详解】（1）解：若选①4S 是2a 与21a 的等差中项，则42212S a a =+， 即()()1114324222022a a a ⨯⎛⎫+⨯=+++⨯ ⎪⎝⎭． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+． 若选②7a 是33S 与22a 的等比中项，则237223S a a =⋅， 即()()2111316222122a a a -⎛⎫+⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+． 若选③数列{}2n a 的前5项和为65， 则2(1)2[2(1)2]24n n a a n n +-=+-⋅=．又212a a =+，所以{}2n a 是首项为12a +，公差为4的等差数列． 由{}2n a 的前5项和为65，得()154524652a ⨯++⨯=． 解得13a =．所以32(1)21n a n n =+-=+．（2）33(21)44n nn n b a n ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．1133(23)(21)44n nn n b b n n ++⎛⎫⎛⎫-=+⋅-+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1133[3(23)4(21)](52)44n nn n n n n ++=+-+=-． 所以110520 2.51,2n n n n b b b b n n n ++>⇔->⇔->⇔<⇔=；110520 2.53,4,5,n n n n b b b b n n n ++<⇔-<⇔-<⇔>⇔=所以123456b b b b b b <<>>>>．所以{}n b 中的最大项为333727(231)464b ⨯⎛⎫=⨯+⋅=⎪⎝⎭． 显然37278272764648b ⨯⨯=<=．所以*27,8n n b ∀∈<N ． 所以不存在*k ∈N ，使得278k b >． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，解题关键是根据已知条件求出数列的首项1a ．对于本题存在性命题，转化为求数列的最大项问题，而求数列的最大项方法可以解不等式组11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，满足此不等式组的n ，使得n a 最大，如果是正项数列，还可能用作商法，即由11n n a a -≥且11nn a a +≥得最大项的项数． 18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos sin a b C B -=．（1）求B ；（2）若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围．【答案】（1）6B π=（2）⎝⎭【解析】 【分析】（1）用正弦定理化边为角，然后由诱导公式和两角和的正弦公式变形后可求得B 角； （2）由正弦定理把c 边用角C 表示，这样三角形的面积可表示为C 的函数，C 的范围是32C ππ<<，结合三角函数性质可得面积范围．【详解】（1）由题设条件及正弦定理，得sin sin cos sin A B C C B -=．由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得cos sin sin B C C B =． 由0C π<<，得sin 0C ≠．所以cos B B =．又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0B =，22sin cos 0B B +=．这与22sin cos 1B B +=矛盾），所以tan 3B =．又0B π<<，得6B π=．（2）在ABC 中，由正弦定理，得sin sin c aC A =，即25sin sin 6c C C π=⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以2sin 5sin 6Cc C π=⎛⎫- ⎪⎝⎭． ABC 的面积112sin 1sin 25222sin 6C S ac B C π==⨯⨯⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎝⎭2cos sin C C =+． 由ABC 为锐角三角形，得02C <<π，5062B C ππ<=-<，所以32C ππ<<，从而tan C >sin cos C C >．所以cos 0sin 3C C <<S << 所以S的取值范是⎝⎭． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理，还考查三角形面积公式，两角差正弦公式，同角间的三角函数关系，正切函数性质等等．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边,,a b c 的齐次式或关于角的正弦sin ,sin ,sin A B C 的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．19.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，12AM MA =，12CN NC =．（1）求证：AN ∥平面11MB D ；（2）若22AB AD ==，60BAD ∠=︒，13AA =，求1NB 与平面11MB D 所成角的大小． 【答案】（1）见解析（2）90°． 【解析】 【分析】 （1）取AM 的中点E ，连接1EC 、11A C ．设1111AC B D O =，连接MO ．可证明1////AN C E MO ，从而可证得线面平行；（2）由余弦定理求得BD ，从而由勾股定理逆定理得DA DB ⊥．然后以D 为坐标原点，以DA ，DB ，1DD 所在方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，用空间向量法求得线面角．【详解】（1）取AM 的中点E ，连接1EC 、11A C ．设1111AC B D O =，连接MO ．由题意，O 是线段11A C 的中点，E 是线段MA 的中点， 所以MO 是11A C E △的中位线， 所以1MO EC ∥． 由题意，113AE AA =，1113NC CC =，11AA CC =， 所以1AE NC =，又1AE NC ∥，所以四边形1AEC N 平行四边形．所以1AN EC ∥．又1MO EC ∥，所以AN MO ∥．又AN⊄平面11MB D，MO⊂平面11MB D，所以AN平面11MB D．（2）在ABD△中，22AB AD==，60BAD∠=︒，由余弦定理，得22212212cos603BD=+-⨯⨯⨯︒=．可见222DA DB AB+=，所以DA DB⊥．以D为坐标原点，以DA，DB，1DD所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz-，则(1,0,2)M，1(0,3,3)B，1(0,0,3)D，(1,3,2)N-．所以1(1,0,1)D M=-，113,0)D B=，1(1,0,1)NB=．设(,,)n x y z=为平面11MB D的法向量，则1110,0,n D Mn D B⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,30.x z-=⎧⎪=令1x=，则(1,0,1)n=．可见，1NB就是平面11MB D的一个法向量，所以1NB与平面11MB D所成的角为90°．【点睛】本题考查证明线面平行，考查用空间向量法求直线与平面所成的角．解题关键是掌握线面平行的判定定理，寻找过同一点且两两垂直的三条直线，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系．20.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线1:1(0)l y kx k =+>与C 的交点为A ，B ，且当1k =时，||||5AF BF +=．（1）求C 的方程；（2）直线2l 与C 相切于点P ，且2l ∥1l ，若PAB △的面积为4，求k ．【答案】（1）22x y =（2）k =【解析】 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ．直线方程为1y x =+，代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，由焦点弦长公式12AF BF x x p +=++可求得p ， （2）设2001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义求得切线斜率，由12l l ，得21,2P k k ⎛⎫⎪⎝⎭，由韦达定理求得弦长AB ，计算出P 到直线AB 距离后可表示PAB △的面积，从而求得k 值． 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ．由221x py y x ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2220x px p --=． 判别式2480p p ∆=+>，122x x p +=．因此1212||||2325AF BF y y p x x p p +=++=+++=+=，解得1p =． 所以C 的方程为22x y =． （2）22x y =即为212y x =，求导得y x '=． 设2001,2P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，当0x x =时，0y x '=，因此直线2l 的斜率为0x ． 又因为12l l ，所以0k x =，因此21,2P k k ⎛⎫⎪⎝⎭．由221x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2220x kx --=．2480k ∆=+>，则122x x k +=，122x x =-．因此||AB ==直线1:1l y kx =+即为10kx y -+=．因此点21,2P k k ⎛⎫⎪⎝⎭到直线1l的211k +=．所以PAB △的面积为21111||22k S AB h +=⋅=⨯312=． 由题意，3142=，即332=2=． 又因为0k >，所以k =【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，考查直线与抛物线相交中的面积问题．直线与抛物线相交弦长需结合韦达定理计算，即12AB x =-= 21.某省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中选择3门作为选考科目，语文、数学、外语三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A ，B +，B ，C +，C ，D +，D ，E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明：某同学化学学科原始分为65分，该学科C +等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C +等级．而C +等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分计算方法为：设该同学化学学科的转换等级分为x ，696570655861xx --=--，求得66.73x =．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．为给高一学生合理选科提供依据，全省对六个选考科目进行测试，某校高一年级2000人，根据该校高一学生的物理原始成绩制成频率分布直方图（见右图）．由频率分布直方图，可以认为该校高一学生的物理原始成绩X 服从正态分布()2,(0)Nμσσ>，用这2000名学生的平均物理成绩x 作为μ的估计值，用这2000名学生的物理成绩的方差2s 作为2σ的估计值．（1）若张明同学在这次考试中的物理原始分为86分，等级为B +，其所在原始分分布区间为82～93，求张明转换后的物理成绩（精确到1）；按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取100人，记Y 表示这100人中等级成绩在区间[81,100]内的人数，求Y 最有可能的取值（概率最大）；（2）①求x ，2s （同一组中的数据用该组区间的中点作代表）；②由①中的数据，记该校高一学生的物理原始分高于84分的人数为Z ，求()E Z ． 附：若()2~,(0)X N μσσ>，则()0.6827P Xμσμσ-<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<+=．【答案】（1）Y 最有可能的取值是10．（2）①60，144②45.5 【解析】 【分析】（1）根据转换公式得等级分，~(100,0.1)Y B ．由()(1),()(1)P Y k P Y k P Y k P Y k ==-⎧⎨==+⎩求出k 值即可；（2）由频率分布直方图求出2,x s ，得,μσ，由正态分布曲线得概率(84)0.02275P X >=，则有~(2000,0.02275)Z B ，再由二项分布的期望公式得期望．【详解】（1）设张明转换后的物理等级分为x ，由938690868281xx --=--，求得84.27x ≈．所以，张明转换后的物理成绩为84分． 由题意，~(100,0.1)Y B ．由()(1),()(1)P Y k P Y k P Y k P Y k ==-⎧⎨==+⎩得10011100(1)10010010011100(1)1001000.10.90.10.9,0.10.90.10.9.k k k k k k k k k k k k C C C C ------++--⎧⎨⎩ 解得9.110.1k ．又*k ∈N ，所以10k =． 所以，Y 最有可能的取值是10． （2）①解：300.02400.08500.22600.36700.22800.08900.0260x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．22222(3060)0.02(4060)0.08(5060)0.22(6060)0.36s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯222(7060)0.22(8060)0.08(9060)0.02144+-⨯+-⨯+-⨯=．②由①中的数据，60μ=，12σ=，所以()2~60,12X N ．所以26021284μσ+=+⨯=．所以1(22)10.9545(84)0.0227522P X P X μσμσ--<+->===由题意，~(2000,0.02275)Z B ． 所以()20000.0227545.5E Z =⨯=．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图计算均值的方差，考查二项分布及其期望，考查正态分布，对学生数据处理能力有一定的要求，本题属于中档题． 22.（1）若x ∀∈R ，x a e x -恒成立，求实数a 的最大值0a ；（2）在（1）的条件下，求证：函数0()cos xe f x x a x x=++在区间(,0)π-内存在唯一的极大值点0x ，且()002f x x >． 【答案】（1）01a =．（2）家粘结性 【解析】【分析】（1）令xy e x =-，求出导函数y '，由0y '>确定增区间，0y '<确定减区间，从而得y 的最小值，得a 的取值范围，即得0a ；（2）求出导函数()f x '，通分后，令22()(1)sin xg x e x x x x =--+，再求导数()g x '，令()2sin cos 2x h x e x x x =--+．分类讨论，当(,0)2x π∈-时，()0h x >，得()g x 递减，从而可得()f x '在(,0)2π-上有唯一零点0x ，,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，令2()(1)x p x e x x =-+．利用导数得()p x 的单调性，从而得()0>g x ，于是得出在(,0)π-上()f x 的单调性，得唯一极大值点0x ．由()()020000201sin 0x g x ex x x x =--+=可对0()f x 变形，得()0000001sin cos 1()f x x x x x x -+=+-，只要证明在(,0)2π-上001sin 11x x ->-，从而可证得结论．【详解】（1）解：令xy e x =-，则01xxy e e e '=-=-． 可见，00y x '<⇔<；00y x '>⇔>．故函数xy e x =-在(,0)-∞上单调递减，在(,0)-∞上单调递增． 所以，当且仅当0x =时，函数xy e x =-取最小值1． 由题意，实数1a ．所以01a =．（2）由（1），2222(1)(1)sin ()sin 1x x e x e x x x x f x x x x---+'=-+=． 令22()(1)sin xg x e x x x x =--+，则()2()2sin cos 22sin cos 2x xg x xe x x x x x x e x x x '=--+=--+． 令()2sin cos 2x h x e x x x =--+． ①当,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，0x e >，2sin 0x ->，cos 0x x -，所以()0h x >． 可见，()()0g x xh x '=<，所以()g x 在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减．又22213210222g e ππππ+⎛⎫-=->-> ⎪⎝⎭（由（1），可得212e ππ+<，所以1212ππ+<），(0)10g =-<，所以存在唯一的0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =．从而，当0[,2)x x π∈-时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,0x x ∈时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减．②当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，令2()(1)x p x e x x =-+． 则()()220xxp x xe x x e '=+=+<．所以()p x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减． 所以222132()10244p x p e ππππ+⎛⎫>-=->-> ⎪⎝⎭（由（1），可得212e ππ+<，所以2121e ππ+<）． 又当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，20x >，sin 0x <，2sin 0x x ->， 所以当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，2()()sin 0g x p x x x =->，从而()0f x '>．所以()f x 在,2ππ⎛⎤--⎥⎝⎦单调递增． 综上所述，()f x 在()0,x π-上单调递增，在()0,0x 上单词递减． 所以，函数()f x 在区间(,0)π-内存在唯一极大值点0x ． 关于()002f x x >的证明如下： 由上面的讨论，0,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且()()020000201sin 0x g x e x x x x =--+=，所以()0000001sin 0x e x x x x --+=，所以()000001sin 1x x x e x x -=-．于是()()00000000001sin cos cos 1x x x e f x x x x x x x -=++=++-． 令()sin q x x x =-．当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()1cos 0q x x '=->．所以()q x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增．所以，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()(0)0q x q <=，即sin x x <．又因为0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以00sin x x <，0011sin 0x x ->->，所以001sin 011x x -<<-． 所以()()0000000000001sin cos cos 2cos 21x x f x x x x x x x x x x -=++>++=+>-．【点睛】本题考查导数研究不等式恒成立问题，用导数研究函数的极值点，证明极值点的性质．本题涉及到多次求导，等价转化思想，分类讨论思想，难度较大，属于困难题．。
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(二十一)文科数学
2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（二十一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝{2，3}，UA∩B＝{4，5}则B＝A.{1，2，3，4}B.{2，3，4，5}C.{3，4，5，6}D.{2，3，5，6}2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)满足(1－2i)z＝1＋2i，则a－b＝A.－15B.15C.－75D.753.下面两个图是2020年6月25日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图，每图下面横向标注日期，纵向标注累计数量。
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(二十九)文科数学
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
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答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}05|2>-=x x x A ，则C R A = A ．{}50|≤≤x xB ．{}0|<x xC ．{}5|>x xD ．{}05|≤≤-x x2．设复数z 满足z （2-i ）=1+i (i 为虚数单位)，则z 的共轭的虚部为 A ．53B ．53-C ．i 53D ．i 53-3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B = A ．4 B ．13C ．40D ．414．已知等差数列{a n },若a 2=10,a 5=1,则{a n }的前7项和为 A ．112 B ．51 C ．28 D ．185．已知)3,2(=a ，)1,(-=m m ，)3,(m c =，若b a //，则⋅= A ．-5B ．5C ．1D ．-16．甲、乙、丙三人参加银川一中招聘老师面试，最终只有一人能够被银川一中录用，得到面试结果后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”。
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(二十九)数学
2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（二十九）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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一、选择题1.已知全集U =R ，集合{}210A x x =->，{}02B x x =<<，则() UA B =（ ）A. ∅B. 102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C. 102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D. {}0x x <【答案】C 【解析】 【分析】根据集合补集和交集的定义进行求解即可. 【详解】解：12A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，12U A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，所以()102UA B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭. 故选：C .【点睛】本题考查交集补集的混合运算，属于基础题.2.设复数z 满足()12i z i -=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简复数z ，结合其几何意义，即可求得结果. 【详解】由()12i z i -=，得：()()()21222i1i 1112i i i z i i i +-+====-+--+ 所以复数z 在复平面上对应的点位于第二象限. 故选：B .【点睛】复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略：（1）复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．（2）复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．（3）利用复数相等求参．,(,,,R)a bi c di a c b d a b c d +=+⇔==∈．3.已知实数,x y 满足约束条件13010x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则11y z x +=+的取值范围为（ ）A. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 13,,22⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 12,,23⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可． 【详解】解：画出线性约束条件对应的可行域，11y z x +=+表示可行域内的点与()1,1--的连线斜率，由斜率公式可求两个边界斜率分别是13,22故其取值范围为13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A .【点睛】本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法,属于基础题．4.已知2a b →→==，且2a b →→⎛⎫- ⎪⎝⎭与a →垂直，则a →与b →的夹角是（ ）A.3πB.6π C.34π D.4π 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积的定义即可求解.【详解】解：22224cos 0a b a a a b θ→→→→→→⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭得1cos 2θ=，求得a 与b 的夹角是3π. 故选：A .【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算，属于基本题.5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()4123S a a =+，则公比q 的值为（ ）A. 2B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求和公式即可得出． 【详解】解：4123()S a a =+，1q ≠．∴411(1)3(1)1a q a q q -=+-，10a ≠213q ∴+=化为：22q =，解得q = 故选：D ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.已知13tan 4,tan 2ααππα⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin cos αα+=（ ）A.2 B. 2-C.3D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】利用已知切化弦求出1sin cos 4αα=，再表示()2sin cos αα+结合3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】解：1sin cos 1tan 4tan cos sin sin cos αααααααα+=+==，1sin cos 4αα=.()23sin cos 12sin cos 2αααα+=+=，因为3,2αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0αα+<，求得6 sin cosαα+=-.故选：B.【点睛】本题考查同角三角函数变换，属于基础题.7.某校早读从7点30分开始，若张认和钱真两位同学均在早晨7点至7点30分之间到校，且二人在该时段的任何时刻都到校都是等可能的，则张认比钱真至少早到10分钟的概率为（）A.112B.19C.16D.29【答案】D【解析】【分析】如图所示，设张认和钱真两位同学到校的时间分别为x，y时，且x，[7y∈，7.5]时，16y x-．利用几何概率求解即可得出．【详解】解：如图所示，设张认和钱真两位同学到校的时间分别为x，y时，且x，[7y∈，7.5]时，16y x-．43(7,)6A，43(7B，15)2．则张认比钱真至少早到10分钟的概率111223311922P⨯⨯==⨯．故选：D．【点睛】本题考查与面积有关的几何概型计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的最大棱长为（）A. 42B. 43C. 214D. 8【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解最长棱长即可．【详解】解：由题意可知几何体的直观图如图：P ABCD -是长方体的一部分， 最长棱长为：22242656214PB =++==． 故选：C ．【点睛】本题考查三视图的应用，判断几何体的形状是解题的关键，考查转化思想以及空间想象能力，是基础题．9.将函数()23sin cos f x x x x =+的图象横坐标变成原来的2倍，再向左平移()0t t >个单位，所得函数()g x 关于3x π=对称，则t 的最小值为（ ）A.3π B.6π C.56π D.23π 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式进行化简，利用三角函数的图象变换求出()g x 的解析式，利用对称性建立方程进行求解即可．【详解】解：2()3cos sin cos f x x x x =+ 1cos213sin 222x x +=⨯+ 313sin 2cos22x x =++ 3sin(2)32x π=++， 将函数()f x 的图象横坐标变成原来的2倍，得到3sin()3y x π=++，再向左平移(0)t t >个单位，所得函数()g x ，则3()sin()3g x x t π=+++，若关于3x π=对称，则332t k ππππ++=+，得6t k ππ=-，0t >，∴当1k =时，t 取得最小值为566πππ-=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用二倍角公式以及图象的变化以及对称性建立方程是解决本题的关键，属于基础题． 10.根据如下的流程图，输出的值是（ ）A.1261009B.2521009C.5044032D.10084032【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量111124466820162018S =+++⋯+⨯⨯⨯⨯的值，利用裂项法即可求解． 【详解】解：模拟程序的运行，可得0S =，2n =，1i =不满足条件1008i >，执行循环体，124S =⨯，4n =，2i = 不满足条件1008i >，执行循环体，112446S =+⨯⨯，6n =，3i = 不满足条件1008i >，执行循环体，111244668S =++⨯⨯⨯，8n =，4i = ⋯观察规律可知，2016n =，1008i =时， 不满足条件1008i >，执行循环体，111124466820162018S =+++⋯+⨯⨯⨯⨯，2018=n ，1009i =此时满足条件1008i >，退出循环，输出S 的值， 得1111111111111111252()()244668201620182244668201620182220181009S =+++⋯=-+-+-+⋯+-=-=⨯⨯⨯⨯．故选：B ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，借助裂项相消以便得出正确的结论，是基础题．11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，椭圆()222:11y M x n n +=>，若双曲线C 的渐近线与椭圆M 相交的四个交点与椭圆M 的两个焦点形成了一个正六边形，则这个正六边形的面积为（ ）A. 3B.C.2D. 9【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得椭圆与渐近线的交点坐标，进而求出交点到原点的距离，等于半个焦距，再由正六边形可得渐近线的斜率，可得a ，b 的关系，求出21n -值，进而求出正三角形的面积，6倍的一个正三角形的面积就为正六边形的面积．【详解】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为：b y x a=±，与椭圆2221y x n +=，联立可得222222a n x a n b =+所以222222b n y a n b =+，由得到的正六边形可得33b a =，所以22222222222()431a b n n OA x y a n b n +=+==++，2211OF n =-，所以221OA OF =，即2224113n n n =-+，解得：22133n =+，即2231n -=， 所以正六边形的面积为2333236(1)3n -==， 故选：A ．【点睛】考查圆锥曲线的综合，考查运算能力，属于基础题．12.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()()20xf x f x -'>，()21f -=，则不等式()214f x x <的解集是（ ） A. ()2,2- B. ()(),22,-∞-+∞ C. ()()2,00,2- D. ()(),00,2-∞【答案】C 【解析】 【分析】构造函数令2()()f x g x x=，依题意知()g x 为偶函数且在区间(0,)+∞单调递增；不等式2()1()(2)4f x g x g x <⇔<，利用单调性脱去“g ”即可求得不等式2()14f x x <的解集．【详解】解：令2()()f x g x x =，则243()2()()2()()x f x xf x xf x f x g x x x '-'-'==，因为()2()0xf x f x '->，所以，当0x >时，()0g x '>，即()g x 在区间(0,)+∞单调递增； 又()f x 是R 上的偶函数， 所以2()()f x g x x=是(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数， 又()2f ()21f =-=； 故()2g 2(2)124f ==， 于是，不等式2()14f x x <化为()()2g x g <， 故||2x <，解得22x -<<，又0x ≠， 故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数奇偶性，考查化归思想与运算能力，属于难题．二、填空题13.由小到大排列的一列数：5,8,9,,13x 的平均数和中位数相同，则x 的值为______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据平均数和中位数的定义，列方程求出x 的值．【详解】解：由题意知，数据5，8，9，x ，13的中位数是9， 平均数是1(58913)95x ⨯++++=，解得10x =． 故答案为：10．【点睛】本题考查了中位数和平均数的定义与计算问题，是基础题．14.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，11AA =，O 是正方形ABCD 的中心，则直线1OD 与平面11ADD A 成的角的余弦值是______.【答案】63【解析】【分析】取AD中点M，连接OM，1D M，显然1OD M∠为所求直线1OD与平面11ADD A所成的角，转化到1Rt MOD∆中求解即可．【详解】解：取AD中点M，连接OM，1D M，因为1111ABCD A B C D-为长方体，O是正方形ABCD的中心，M为AD中点，所以显然1OD M∠为所求直线1OD与平面11ADD A所成的角，且1111,112,1232OM AB MD OD===+==+=，∴11126cos3MDOD MOD∠===，即直线1OD与平面11ADD A所成的角的余弦值是6．故答案为：6．【点睛】本题考查线面角的定义及其求法，考查运算能力，属于基础题．15.已知数列{}n a满足11a=，且()*11009n na a n n N++=-∈，该数列前m项和为nS，则2019S=______.【答案】1010【解析】 【分析】利用()()()20191234520182019...S a a a a a a a =+++++++即可求解. 【详解】解：()()()20191234520182019...S a a a a a a a =+++++++ ()()()12100941009...20181009=+-+-++-()()1009100910071100710051003...1 (1009110102)⨯-=+----+++=+=.故答案： 1010.【点睛】本题考查数列求和的并项求和方法，属于基础题. 16.已知函数()ln xf x m x=-，若()()220f k f k --=有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.【答案】1121,1e e ⎧⎫⎛⎫-+⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭【解析】 【分析】原题等价于()2f k =或()1f k =-，即有2lnk m k =+或1lnk m k =-，则条件等价于①2lnkm k=+有2解，1lnk m k =-无解；②2lnk m k =+有1解，1lnk m k =-有1解；③2lnkm k=+无解，1lnkm k=-有2解；作出函数()lnk g x k =的图象，数形结合即可【详解】解：2()()20f k f k --=可化为[()2][()1]0f k f k -+=，解得()2f k =或()1f k =-，即有2lnk m k =+或1lnkm k=-，则方程2()()20f k f k --=有两个不同的实数解，等价于： ①2lnk m k =+有2解，1lnk m k =-无解；②2lnk m k =+有1解，1lnk m k =-有1解；③2lnk m k=+无解，1lnkm k=-有2解； 令函数()lnx g x x=，(0)x >，21()0lnxg x x -'==时，x e =，即有()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e+∞上单调递减，()maxg x g=（e）1e=，作出函数()g x的图象如图：则①2lnkmk=+有2解，1lnkmk=-无解，此时10211meme⎧<+<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，此时无解，舍去；②2lnkmk=+有1解，1lnkmk=-有1解，此时因为21m m+>-，则需1210mem⎧+=⎪⎨⎪-≤⎩，解得12me=-；③2lnkmk=+无解，1lnkmk=-有2解，此时12101meme⎧+>⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得111me<<+，综上，11{2}(1,1)me e∈-⋃+，故答案为：11{2}(1,1)e e-⋃+．【点睛】本题考查方程的根与函数零点的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题．三、解答题17.设ABC∆的内角,,A B C所对的边分别是,,a b c，且2cos cosa c bC B-=.（1）求角B的大小；（2）设3b=ABC∆周长的最大值.【答案】（1）3π；（2）33【解析】 【分析】 （1）由2cos cos a c bC B -=边化角得：2sin sin sin cos cos A C B C B-=，即2sin cos sin A B A =，又(0,)A π∈，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，从而求出角B ；（2）因为b =3B π=，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==，得2()33a c ac +=+，再结合基本不等式得到223()()3334a c a c ac ++=++，23a c <+，从而求出ABC ∆周长的最大值． 【详解】解：（1）2cos cos a c bC B-=． 由正弦定理，边化角得：2sin sin sin cos cos A C BC B-=，即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，又A B C π++=，sin()sin B C A ∴+=，2sin cos sin A B A ∴=，又(0,)A π∈，sin 0A ≠， 1cos 2B ∴=，又(0,)B π∈， 3B π∴=；（2）3b =，3B π=，2221cos 22a cb B ac +-∴==，223a c ac ∴+-=，2()33a c ac ∴+=+，0a >，0c >，2()4a c ac+∴， ∴223()()3334a c a c ac ++=++，2()12a c ∴+，又b =∴23a c +，所以ABC∆周长的最大值为a b c ===时取到最大值.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理综合应用，是基础题．18.某学校门口的小超市纯净水的销售水量y (千瓶)随着月份x 的变化而有所变化，为了预估2019年8月份的销售水量，销售员从2019年1月开始统计，得到了,x y 的一组统计数据如下表：（1）从函数y bx a =+与ln y d x c =+中选出你认为更适合刻画,x y 之间关系的模型，并说明理由；（2）根据你的判断及下面的数据和公式，求出y 关于x 的回归方程，并估计8月份小超市需要准备的水量.（结果精确到0.1）参考公式及数据：线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y b x =-⋅.【答案】（1）ln y d x c =+，理由见解析；（2）52.0千瓶 【解析】 【分析】（1）根据统计表中数据，结合y 随x 值的变化情况即可得出结论；（2）根据所选模型计算平均数与回归系数，写出回归方程，利用回归方程计算对应ˆy的值即可．【详解】解：（1）根据统计表中数据知，ˆˆˆydlnx c =+更适合刻画x ，y 之间的关系， 理由如下：x 值每增加1，函数值的增加量分别为14，8，6，4， 增加的越来越缓慢，适合对数型函数的增长规律， 与直线型函数的均匀增长存在较大差异， 故ˆˆˆydlnx c =+更适合刻画x ，y 之间的关系； （2）令i i z lnx =，计算知123451146()29.255y y y y y y =++++==， ∴51152221517250.9629.2ˆ206.250.965i i ii z yzydzz ==--⨯⨯=≈=-⨯-∑∑， ˆˆ29.2200.9610cy dz =-=-⨯=， ∴所求的回归方程为ˆ2010ylnx =+．当8x =时，算得52.0y =. 故估计8月份该超市需要准备的水量大约为52.0千瓶.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，,E F 分别在1A B ，11B C 上，且满足11111::C F C B A E A B =.（1）求证：//EF 平面11ACC A ； （2）求点F 到平面1A BC 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（22 【解析】 【分析】（1）过点F 作1//FG CC ，交BC 于G ，连结GE ，推导出1//EG AC ，从而平面//EFG 平面11AC C ，由此能证明//EF 平面11ACC A ．（2）设点F 到平面1A BC 的距离为h ，由11F A BC A BCF V V --=，能求出点F 到平面1A BC 的距离．【详解】解：（1）证明：过F 点作1//FG CC 交BC 于点G ，连接EG ， 有111::CG CB C F C B =，由11111::C F C B A E A B =，可得11::CG CB A E A B =，得1//EG AC . 又因为1//FG CC ，FG ⊄面11ACC A ，1CC ⊂面11ACC A ，故//FG 平面11ACC A ， 由1//EG AC ，同理可证//EG 平面11ACC A ，且FG EG G =，所以平面//EFG 平面11ACC A ， 又因为EF ⊂平面EFG ， 所以//EF 平面11ACC A . （2）解：在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1BC AA ∴⊥，又1AC AA A =∩，BC ∴⊥平面1ACA ，1BC AC ∴⊥，∴1111222A BCSAC BC =⨯⨯== 11122222BCF S BC CC ∆=⨯⨯=⨯⨯=，AC BC ⊥，1AC CC ⊥且1BC CC C = AC ∴⊥平面11BCC B ,即AC ⊥AC 平面BCF ,又AC //11A C ,11A C ∴⊥平面BCF ,∴点1A 到平面BCF 的距离为112A C =,设点F 到平面1A BC 的距离为h ，11F A BC A BCF V V --=，∴11133A BCBCF Sh S AC ∆=，∴112233⨯=⨯⨯，解得h =∴点F 到平面1A BC ．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，点()3,0A c -满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B . （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于,M N 两点，在x 轴上是否存在点(),0P t 使得PM PN ⋅为定值？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，11,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上代入可得a ，b 的关系，再由点(3,0)A c -满足以2AF 为直径的圆过椭圆的上顶点B ．可得20AB BF =可得b ，c 的关系，再由a ，b ，c 的关系求出椭圆的方程； （2）由（1）可得右焦点2F 的坐标，分坐标MN 的斜率为0和不为0两种情况讨论，假设存在P 满足条件，设直线MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积PM PN 的表达式，要使数量积为定值，则分子分母对应项的系数成比例，可得t 的值，且可求出定值．【详解】解：（1）由题意可得上顶点(0,)B b ，2AB BF ⊥，所以：221914a b+=，20AB BF =，即(3c ，)(b c ，)0b -=即223b c =，222a b c =+， 解得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（2）由（1）可得右焦点2F 的坐标(1,0)，假设存在(,0)P t)i 当直线MN 的斜率不为0时，设直线MN 的方程为：1x my =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线与椭圆的方程22134120x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得：22(43)690m y my ++-=，122643my y m -∴+=+，122943y y m -=+， 121228()243x x m y y m ∴+=++=+，222212121222296412()11434343m m m x x m y y m y y m m m---=+++=++=+++， 因为()()1122,,PM PN x t y x t y =--2222222221212122222241289(43)12853(4)(48()4343434343m t t m m t m t t t x x t x x t y y t m m m m m -+----+--=-+++=-+-==+++++，要使PM PN 为定值，则22448514t t t ---=，解得：118t =，这时13564PM PN =为定值，)ii 当直线MN 的斜率为0时，则(2,0)M -，(2,0)N ，P 为11(8，0)，则11(28PM PN =--，110)(28-，2111350)()4864=-=， 综上所述：所以存在11(8P ，0)，使PM PN 为定值．【点睛】考查求椭圆的标准方程及直线与椭圆的综合，属于中档题． 21.设函数()21ln 4f x ax x b x a ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭（1）若1x =是函数()f x 的一个极值点，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，对于任意的()1,x e ∈（e 为自然对数的底数）都有()0f x <成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）2b e e ≤- 【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合极值存在条件可求a ，b 关系，代入后即可求解单调区间； （2）先分离出b ，转化为求解相应函数的最值或范围，结合导数可求． 【详解】解：（1）定义域(0,)+∞，()21bf x ax x'=-+，由题意可得，f '(1)210a b =-+=即12b a =-，所以2122(12)[2(12)](1)()21a ax x a ax a x f x ax x x x--+----'=-+==， 由函数存在极值可知，14a ≠， 1()2i a =时，由()0f x '>可得1x >，函数()f x (1,)+∞单调递增，由()0f x '<可得01x <<，函数()f x 在(0,1)上单调递减.1()2ii a >时，由()0f x '<可得，01x <<，函数在()f x (0,1)上单调递减，由()0f x '>可得，1x >()f x 在(1,)+∞单调递增；()iii 当1142a <<时，由()0f x '>可得，1x >或1202ax a-<<，由()0f x '<可得，1212ax a-<<， 故函数的单调递增区间(1,)+∞，(0，122a a-），单调递减区间12(,1)2aa -； 综上所述：当14a =，()()2102x f x x-'=≥恒成立，不符合题意；当1142a <<时，()f x 在120,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在12,12a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()1,+∞上递增； 当12a ≥时，()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增. （2）1a =时，2()0f x x x blnx =-+<可得，2x x b lnx-<，令2()x x g x lnx-=，1x e <<，则2(12)1()()x lnx x g x lnx --+'=，令()(12)1h x x lnx x =--+，1x e <<，1()21h x lnx x'=-+- 222112()=0xh x x x x--''=-<则()h x '在(1,)e 上单调递减，所以()h x h '<'（1）0=，所以()h x 在(1,)e 上单调递减，()x 1h x 0→→， ()h x <0，即()0g x '<， 所以()g x (1,)e 上单调递减，()g x g >（e ）2e e =-，故2b e e -．故b 的范围(-∞，2]e e -．【点睛】本题主要考查了函数单调区间的求解及利用分离法求参数范围问题，属于中档题． 22.在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 的参数方程为22cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），直线l的极坐标方程为ρ=（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 的交点分别为,A B ，点()0,1P ，求11PA PB+的值. 【答案】（1）l：0x +=，C ：()()22214x y -++=；（2【解析】【分析】（1）直接利用变换关系，参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．【详解】解：（1）曲线C 的参数方程为22cos (12sin x y ααα=+⎧⎨=-+⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(2)(1)4x y -++=．直线l的极坐标方程为ρ=0x +． （20x +转换为参数方程为2(112x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数），代入22(2)(1)4x y -++=，得到：(2240t t +++=，解得(122t t +=-+，124t t =.所以1212||11||||||t t PA PB t t ++=== 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.已知两个正数,a b 满足22a b +=.（1）求22a b +的最小值；（2）若不等式2411342x x a b ab -+++≥+-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）45；（2）01a <≤ 【解析】【分析】（1）由条件可得22a b =-，(01)b <<，代入所求代数式，配方后，结合二次函数的最值求法，可得最小值；（2）运用绝对值不等式的性质和绝对值的定义可得原不等式左边函数的最小值，再由不等式恒成立思想和不等式的解法，可得所求范围．【详解】解：（1）两个正数a ，b 满足22a b +=，可得22a b =-，22222244(22)5845()55a b b b b b b +=-+=-+=-+， 由0a >，0b >，可得220b ->，即有01b <<， 则当45b =时，22a b +的最小值为45； （2）不等式|24||1|1342x x a b ab -++++-对任意的x ∈R 恒成立，|24||1|1|2|(|2||1|)10|21|14x x x x x x x -+++=-+-++++---+=，当且仅当2x =时取得等号，则|24||1|1x x -+++的最小值为4，可得3424a b ab +-，又220b a =->，即02a <<，①再由34232(2)(2)4a b ab a a a a +-=+---，化为20a a -，即01a ，②由①②可得01a <．【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，同时考查不等式的解法和二次函数的最值求法，化简运算能力，属于中档题．。
2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(二)文科数学
2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合{}{}(2)0,1,0,1,2A x x x B =+≤=-，则AB =（ ）A ．{}10-，B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．1,0,1,22．除夕夜，万家团圆之时，中国人民解放军陆、海、空三军医疗队驰援武汉.“在疫情面前，我们中国人民解放军誓死不退！不获胜利决不收兵！”这里“获取胜利”是“收兵”的（ ）. A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若()14f x ≥，则x 的取值范围为（ ）A ．[]2,1-B ．)42,⎡+∞⎣ C ．[])42,12,⎡-+∞⎣ D ．[])42,02,⎡-+∞⎣4．已知m ＝log 40.4，n ＝40.4，p ＝0.40.5，则（ ） A ．m ＜n ＜pB ．m ＜p ＜nC ．p ＜n ＜mD ．n ＜p ＜m5．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22x xf x -=+，则(1)f -=（ ） A ．52B ．32C ．32-D ．52-6．函数31log y x=的大致图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．7．若幂函数()()223265m f x m m x-=-+没有零点，则()f x 的图象关于（ ）对称 A ．原点 B ．x 轴C ．y 轴D ．没有8．函数()ln 2f x x x =+-的零点所在的大致区间为（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(,4)e9．用二分法求函数()ln(1)1f x x x =++-在区间[]0,1上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为( ) A ．5B ．6C ．7D ．810．已知函数()y f x =的图象经过点()1,2P -，则函数()y f x =--的图象必过点（ ） A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2--D ．()2,1-11．已知函数()(1)x f x a x e =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=，则a 的值为( ) A ．1 2eB．2e C．12D．212．已知定义域为R的奇函数()f x，当0x>时，满足()()()2372,0233,2log x xf xf x x⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则()()()()1232020(f f f f+++⋯+=)A．25log B．25log-C．2-D．0二、填空题13．命题：“0x∀<，2230x x-+≤”的否定是________.14．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，且当0x>时，()31f x x x=++，则()f x在R上的解析式为__________.15．已知函数()()311f x x=-+．利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得()()()()()54067f f f f f-+-+++++的值为_____．16．已知函数()y f x=及其导函数()y f x='的图象如图所示，则曲线()y f x=在点(2,0)P处的切线方程是三、解答题17．（113326031250.02723)27π⎛⎫++⎪⎝⎭（2）化简51log 3243log 9log 8ln lg 0.015e +⋅+++18．已知集合3{}3|A x a x a =-≤≤+，{|0B x x =≤或4}x ≥． （1）当2a =时，求AB ；（2）若0a >，且“x A ∈”是“Rx B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．已知函数()()2log a f x ax x =-．（1）若12a =，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间[]2,4上是增函数，求实数a 的取值范围．20．设函数()22()x x f x a a R -=⋅-∈（1）若函数y ＝f （x ）的图象关于原点对称，求函数3()()2g x f x =+的零点0x ； （2）若函数()()42x xh x f x -=++在[0,1]x ∈的最大值为－2，求实数a 的值.21．已知函数2()()x f x e x ax a =+-，其中a 是常数. (Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.22．已知函数()ln ,af x x a R x=+∈，且曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线20x y +=． （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）已知函数3()()g x f x x x=--图象上不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，试比较2121y y x x --与122x x g '+⎛⎫⎪⎝⎭的大小．参考答案1．A 2．B 3．D 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 【详解】解：函数()f x 的导函数1()10f x x'=+>，故()f x 在其定义域(0,)+∞上是增函数， 再根据()110f =-<，()2ln20f =>，可得()()120f f ⋅<，故函数()ln 2f x x x =+-零点所在的大致区间为(1,2)， 故选：B ． 9．C 【详解】开区间()0,1的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半， 经过n 此操作后,区间长度变为12n ，用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间()0,1上近似解, 要求精确度为0.01 ,10.012n∴≤，解得7n ≥，故选C. 10．A 【详解】()y f x =与()y f x =--函数关于原点对称, ()y f x =的图象经过点()1,2P -，则函数()y f x =--的图象必过点()1,2-,正确答案为A. 故选：A11．A 【详解】因为()(1)xf x a x e =-，所以()(1)x x x f x a e x e axe '⎡⎤=-=⎣⎦+， 又函数()(1)xf x a x e =-的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为210x y -+=，所以1(1)2k f ae '===， 解得：12a e=. 故选：A. 12．B 【详解】定义域为R 的奇函数()f x ，可得()()f x f x -=-，当0x >时，满足()()()23log 72,0233,2x x f x f x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，可得32x >时，()()3f x f x =-， 则()21log 5f =-， ()()()2211log 5f f f =-=-=， ()()300f f ==，()()241log 5f f ==-，()()()()25211log 5f f f f ==-=-=， ()()()6300f f f ===， ()()()2741log 5f f f ===-，()()()()28211log 5f f f f ==-=-=，()()()()123...2020f f f f ++++()222673log 5log 50log 5=⨯-++-226730log 5log 5=⨯⨯-=-， 故选B.13．20000,230x x x ∃<-+>14．331,0()0,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪+-<⎩15．13． 【详解】 设()()()()()54067S f f f f f =-+-+++++,，所以有()()()()()76045S f f f f f =+++++-+-，因为()(2)2f x f x +-=,因此221313S S =⨯⇒=16．20x y --=【详解】由图像可知，曲线在P 点的切线的斜率为1，故切线方程为02y x -=-，即20x y --=. 17．(1)227110300; (2) 18 【详解】 解：（1136012527π⎛⎫++ ⎪⎝⎭21113663332275()()23110003⨯⨯⨯=++⨯+ 23335()4271103⨯=++⨯+ 9510811003=+++ 227110300=， （2）51log 3243log 9log 8ln lg 0.015e +⋅+++5log 323log 33log 22(2)55=⋅++-+⨯533=+⨯ 18=18．（1）{|45}A B x x ⋂=≤≤；（2）01a <<． 【详解】（1）∵当2a =时，{|15}A x x =≤≤，{|0B x x =≤或4}x ≥，∴{|45}A B x x ⋂=≤≤； （2）∵{|0B x x =≤或4}x ≥， ∴{|04}RB x x =<<，因为“x A ∈”是“Rx B ∈”的充分不必要条件, 所以A 是RB 的真子集，且A ≠∅，又{|33}(0)A x a x a a =-≤≤+>，∴30,34,a a ->⎧⎨+<⎩， ∴01a <<．19．（1）增区间为(),0-∞；减区间为()2,+∞；（2）1a >． 试题解析： （1）当12a =时，()2121log 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2102x x ->，得220x x ->， 解得0x <或2x >， 所以函数的定义域为()(),02,-∞+∞，利用复合函数单调性可得函数的增区间为(),0-∞，减区间为()2,+∞． （2）令()2g x ax x =-，则函数()g x 的图象为开口向上，对称轴为12x a=的抛物线， ①当01a <<时，要使函数()f x 在区间[]2,4上是增函数，则()2g x ax x =-在[]2,4上单调递减，且2min ()0g x ax x =->，即()1421140164ag a ⎧≥⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩，此不等式组无解．②当1a >时，要使函数()f x 在区间[]2,4上是增函数，则()2g x ax x =-在[]2,4上单调递增，且2min ()0g x ax x =->，即()1222420a g a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得12a >，又1a >， ∴1a >，综上可得1a >．所以实数a 的取值范围为(1,)+∞． 20．（1）01x =-；（2）3-. 【详解】解：()f x 的图象关于原点对称，()()0f x f x ∴-+=，22220x x x x a a --∴⋅-+⋅-=，即(1)(22)0x xa -∴-⋅+=，1a（注：若用赋值法求解，没有检验，扣1分） 令3()2202x xg x -=-+=， 则22(2)3(2)20x x⋅+⋅-=，(22)(221)0x x ∴+⋅⋅-=，又20x >，1x ∴=-所以函数()g x 的零点为01x =-.（2）()2242[0,1]x x x xh x a x --=⋅-++∈，，令2[1,2]xt =∈，2()()[1,2]h x H t t at t ==+∈，，对称轴02a t =-， ① 当322a -≤，即3a ≥-时， max ()(2)422H t H a ==+=-，3a ∴=-；② 当322a ->，即3a <-时， max ()(1)12H t H a ==+=-，3a ∴=-（舍）；综上：实数a 的值为3-. 21．（Ⅰ）43y ex e =-（Ⅱ）24(,]ea a a ++- 【详解】解：(Ⅰ)由2()()x f x e x ax a =+-可得2'()e [(2)]x f x x a x =++.当1a =时,(1)f e =,'(1)4f e =.所以 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()41y e e x -=-， 即43y ex e =-（Ⅱ） 令2'()((2))0x f x e x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，所以()f x 是[0,)+∞上的增函数. 所以 方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根. 当(2)0a -+>，即2a <-时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表由上表可知函数()f x 在[0,)+∞上的最小值为24((2))a a f a e ++-+=. 因为 函数()f x 是(0,(2))a -+上的减函数，是((2),)a -++∞上的增函数，且当x a ≥-时，有()f x ()ae a a -≥->-.所以 要使方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是 24(,]e a a a ++-. 22．（1）3a =；（2）函数()f x 的单调增区间是(3,)+∞，单调减区间是(0,3)；（3）2112212y y x x g x x '-+⎛⎫> ⎪-⎝⎭【解析】（1）()f x 的定义域为21(0,),()a f x x x '+∞=-． 曲线()f x 在1x =处的切线平行于直线20x y +=，(1)12f a '∴=-=-，3a ∴=．（2）3()ln f x x x =+，22133()x f x x x x '-∴=-=． ∴当3x >时，()0,()f x f x '>是增函数；当03x <<时，()0,()f x f x '<是减函数． ∴函数()f x 的单调增区间是(3,)+∞，单调减区间是(0,3)．（3）3()ln f x x x =+，1()ln ,()1g x x x g x x '∴=-=-，1212212x x g x x '+⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭． 又()()22112121212121ln ln ln ln 1x x x x y y x x x x x x x x -----==----， ()212112212212112211122ln ln 21ln 2x x y y x x x x x g x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+-⎛⎫∴-=-=-⎢⎥ ⎪--+-+⎝⎭⎣⎦' 2122222112111121114ln ln 211x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥=-=+-⎢⎥--⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦． 设4()ln 21h x x x =+-+，则22214(1)()0(1)(1)x h x x x x x '-=-=≥++， ()h x ∴在(0,)+∞上是增函数． 令21x t x =，不妨设120x x <<，211x x ∴>，()(1)0h t h ∴>=，即22114ln201xxxx+->+．又21x x->，2112212y y x xgx x'-+⎛⎫∴->⎪-⎝⎭，2112212y y x xgx x'-+⎛⎫∴> ⎪-⎝⎭．。
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2021届全国大联考新高考原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x ||x |<3}，B ={x ||x |>1}，则A B =A ．RB ．(1,3)C ．(3,1)(1,3)-- D ．{–2，2}2.下列函数中，在其定义域上是减函数的是A ．1y x =- B ．tan()y x =- C ． e x y -=- D ．2,02,0x x y x x -+≤⎧=⎨-->⎩3.已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件4.在△ABC 所在的平面内有一点P ，如果PB AB PC PA -=+2， 那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比是A. 34B. 12C. 13D. 235.若α为第三象限角，则A ．cos20α>B ．cos20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<6.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若23a =，2b =，60A =︒，则B 为A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°7.已知函数2()1log f x x x =-++，则不等式()0f x <的解集是A ．(0,2)B ．(,1)(2,)-∞+∞ C ．(1,2) D ．(0,1)(2,)+∞8.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年．如图，现有△ABC 满足“勾3股4弦5”，其中AC=3，BC=4，点D 是CB 延长线上的一点，则AD AC ⋅= A ．3 B ．4 C ．9 D ．不能确定 9.在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则sin α等于A ．25-B ．55-C ．55D ．2510.在ABC ∆中，,51cos ,6,5===A AC AB O 是ABC ∆的内心，若OP xOB yOC =+,其中]1,0[,∈y x ，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为 A.3610 B . 3614 C . 34 D. 26 11.已知()2ln f x a x x =-在区间()0,1内任取两个不相等的实数p q 、，不等式()()1f p f q p q->-恒成立,则实数a 的取值范围为A ．()3,5B ．(],3-∞C ．(]3,5D ．[)3,+∞12.已知函数，若在区间上有m 个零点，，，，，则A. 4042B. 4041C. 4040D. 4039二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数2i 2i z a a =--是负实数，则实数a 的值为 ．14.已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的最大值是 ． 15. 如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120︒，点C 在弧AB 上，且30COB ︒∠=，若OB OA OC μλ+=，则λμ+= ．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()2g x x =+，实数,a b 满足3b a >>.若[]12,,2,0x a b x ⎡⎤∀∈∃∈-⎣⎦,使得()()12f x g x =成立,则b a -的最大值为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分） 已知集合}03|{<≤-=x x A ，集合}2|{2x x x B >-= （1）求B A ⋂；（2）若集合}22|{+≤≤=a x a x C ，且C B A ⊆⋂)(，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）函数的部分图象如图所示，其中，，．1求函数解析式；2求时，函数的值域．19.（本小题满分12分）已知向量(sin(),2),(1,cos())a x b x ωϕωϕ=+=+（ω＞0，0＜ϕ＜4π）。
函数()()()f x a b a b =+⋅-，()y f x =的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点7(1,)2M 。
（1）求()f x 图像的对称点坐标；（2）求)2014()2()1()0(f f f f ++++ 的值.20.（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B =60°. （1）若sin 2sin A C =，3b =，求ABC ∆的面积；（2）若2sin sin 2C A -=，求角C .21.（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数满足)()2(x f x f =-，且当1≥x 时，)1lg()(xx x f +=求的值；解不等式；若关于x 的方程在上有解，求实数a 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()()ln f x x x a =-，()1e 22xg x =-.（1）讨论()f x 的极值； （2）当1a =时，（i ）求证：当10e x <<时，()273f x x x <-； （ii ）若存在(]00,x m ∈，使得()()00f x g m -≤，求实数m 取值范围.文科数学试卷试卷答案一、选择题：ADDAC CDCDB DB 二、填空题13．1； 14. 12+； 15．3； 16．117.解（1）由已知得)0,3[-=A ；由22x x >-解得)1,2(-=B ， 所以)0,2(-=⋂B A（2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧+≤≥+-≤220222a a a a ，解得12-≤≤-a18.解：1根据函数的一部分图象，其中，，，可得，，，．又，得，，即，，，；2，，，．19. 解：（1）()()()f x a b a b =+⋅-=22b a-22sin ()41cos ()x x ωϕωϕ=++--+cos(22)3x ωϕ=-++由题意知：周期2222T πω==⨯，∴4πω=。
又图象过点M ，∴73cos(12)22πϕ=-⨯+即1sin 22ϕ=， ∵0＜ϕ＜4π，∴26πϕ=，12πϕ=， ∴()3cos()26f x x ππ=-+。
对称点坐标为Z k k ∈+),3,232(（2）()y f x =的周期4T =，∵3131(0)(1)(2)(3)(3)(3)(3)(3)122222f f f f +++=-+++++-= ∴原式=216045。
20.解：（1）在ABC ∆中，因为sin sin a c A C =，所以sin sin 2sin a CA C c==， 所以2a c =，由余弦定理可得22222cos6033b a c ac c =+-⋅︒==， 1,2,c a ∴== 所以ABC ∆的面积为1133sin 2122S ac B ==⨯⨯⨯=； （2）在ABC ∆中，因为120A C +=︒，0sin sin sin sin(120)C A C C -=--， 31132sin cos sin sin cos sin(60)22C C C C C C =--=-=-︒=， 0120,606060C C ︒<<︒∴-︒<-︒<︒， 6045,105C C ∴-︒=︒∴=︒21.解：函数满足，且当时，3lg 1)3()1(-==-f f函数满足，图象关于直线对称，且在上单调递增 故原不等式可化为，即，得)3,31(-∈x若关于x 的方程在上有解，即在上有解在上有两等根，即，无解一根大于1，一根小于1，即，得到一根为1，则，解得另一根为，不符综上所述，31>a 22.解：（1）依题()ln 1f x x a '=-+，()10ea f x x -'=⇒=，x()10,e a -1e a -()1e,a -+∞()f x ' -+()f x↘ 极小值 ↗列表分析可知，()11e a af f e--==-极小值，()f x 无极大值.（2）（i ）证明：当10x e <<，欲证()273f x x x <-， 即证()27ln 13x x x x -<-，即证7ln 13x x -<-，即证4ln 03x x -->.构造函数：()4ln 3h x x x =--，则有()1110x h x x x-'=-=<， 说明()h x 在ex 10<<单调递减， 于是得到()111411ln 033h x h e e e e ⎛⎫>=--=-> ⎪⎝⎭.（ii ）解：对于()()ln 1f x x x =-，可得()ln f x x '=. 因此，当()0,1x ∈时，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递增.（1）当01m <≤时，()()()min ln 1ln f x f m m m m m m ==-=-. 依题意可知()()()02ln 210mf mg m m m e m -≤⇒+--≤.构造函数：()()2101mm e m m ϕ=--<≤，则有()2mm e ϕ'=-.由此可得：当()0,ln 2m ∈时，()0m ϕ'<； 当()ln 2,1m ∈时，()0m ϕ'>，即()m ϕ在()0,ln 2m ∈时，单调递减，()ln 2,1m ∈单调递增. 注意到：()00ϕ=，()10ϕ=，因此()0m ϕ<.同时注意到2ln 0m m ≤，故有()2ln 210mm m e m +--≤. （2）当1m 时，()()min 11f x f ==-. 依据题意可知()()101031ln 322m m e f m g m e m ⎛⎫-≤⇒---≤⇒≤⇒<≤ ⎪⎝⎭.综上（1）、（2）所述，所求实数m 取值范围为0ln3m <≤.。