全国大联考 数学
2023年高三5月大联考(全国乙卷)文科数学试题及参考答案
2023届高三5月大联考（全国乙卷）文理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，设复数21,z z 对应的点分别为()()1,12021-Z Z ，，，则=21z z （）A .2B .3C .2D .12.已知集合()(){}012<+-=x x x M ，{}30≤≤=x x N ，则=N M （）A .[)20，B .[]30，C .(]31，-D .(]32，3.《“健康中国2030”规划纲要》提出，将康时促进人的全面发展的必然要求，是经济社会发展的基础条件.实现国民健康长寿，是国家富强、民族振兴的重要标志.也是全国各族人民的共同愿望.为普及健康知识，某公益组织为某社区居民组织了一场健康知识公益讲座，讲座后居民要填写健康知识问卷（百分制），为了解讲座效果，随机抽取了10为居民的问卷，并统计得分情况如下表所示：则下列说法错误的是（）A .该10位居民的问卷得分的极差为30B .该10位居民的问卷得分的中位数为94C .该10位居民的问卷得分的中位数小于平均数D .该社区居民的问卷得分不低于90分的概率估计值大于0.24.已知2.0log 1.0=a ，a b lg =，ac 2=，则c b a ,,的大小关系为（）A .c b a <<B .b c a <<C .a c b <<D .ca b <<5.从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为152，“两个球都是白球”的概率为31，则“两个球颜色不同”的概率为（）A .154B .157C .158D .1511答题居民序号12345678910得分728365768890659095766.若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A.94B .98C .115D .11107.若函数()()⎩⎨⎧≥++<++=0,1ln 0,122x a x x ax ax x f 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A .()()∞+∞-，，10 B .()1,0C .()1，∞-D .()∞+，08.若平面向量b a ,满足b a 2=，且b a22+与b 垂直，则b a ,的夹角为（）A .43πB .32πC .3πD .4π9.已知椭圆E ：()012222>>=+b a b y a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，左、右焦点分别为21,F F ，延长2BF 交椭圆E 于点P .若点A 到直线2BF 的距离为3216，21F PF ∆的周长为16，则椭圆E 的标准方程为（）A .1162522=+y xB .1323622=+y xC .1484922=+y x D .16410022=+y x 10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n n n a S S S -=+++1232，7264=-a a ，344=S ，则2023是数列{}n a 的（）A .第566项B .第574项C .第666项D .第674项11.已知函数()()ϕω+=x x f cos 2()00<<->ϕπω，，()30=f ，且()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，则下列说法错误的个数是（）①存在ω值，使得函数()x f 在[]π,0上有两个极小值点；②ω的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛619613，；③函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛50π，上单调递增；④若Z ∈ω，则函数()x f 图象的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛092π.A .4B .3C .2D .112.在正三棱锥ABC P -中，E D ,分别为侧棱PC PB ,的中点，若BE AD ⊥，且7=AD ，则正三棱锥ABC P -外接球的表面积为（）A .π435B .π572C .π7108D .π9152二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为.14.已知公比小于0的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12232+==S a a ，，=1a .15.在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，︒=∠120ADC ，121AA AD =，E 是棱1AA 的中点，O 为底面菱形ABCD 的中心，则异面直线EO 和AD 所成角的余弦值为.16.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 是双曲线C右支上一点，记21F MF ∆的垂心为G ，内心为I .若GI F F 1221=，则双曲线C 的离心率为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持.如图是该地120家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图：（1）确定a 的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数（结果保留整数）；（2）按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20甲.记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为m .①求m 的值.②从这m 家中小微企业中随机抽取3家，这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250）内的概率.18.（12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ABC ∆的面积为3，12222=-+c b a .（1)求C ；（2）若33cos cos -=B A ,求c .19.（12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90BAC ，2211===AA AC AB ，141AA AE =，D 为棱1CC 的中点，F 为棱BC 的中点.（1）求证：⊥BE 平面C AB 1；（2）求三棱锥DEF B -的体积.20.（12分）已知函数()()01ln >+=a ax xx f .（1）当21e a =时，求()x f 的单调区间；（2）若函数()axx f y 1+=有两个不同的零点，求a 的取值范围.21.（12分）已知抛物线C ：()022>=p px y ，M 是其准线与x 轴的交点，过点M 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，当点A 的坐标为()0,4y 时，有BA MB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点A 关于x 轴的对称点为点P ，证明：直线BP 过定点，并求出该定点坐标.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+==ααsin 21cos t y t x （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ.（1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，若直线l 与曲线C 交于N M ,两点，求PN PM -的最大值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知c b a ,,都是正实数..（1）若1=ac ，求证：()()b c b b a 4≥++；（2）若1112121=++++cb a ，求c b a ++的最小值.参考答案一、选择题1.C解析：由题意，知i z 21=，i z -=12，∴i i i z z +-=-=11221，∴221=z z .2.A 解析：∵集合{}21<<-=x x M ，{}30≤≤=x x N ，∴[)20，=N M .3.B解析：将这10为居民的问卷得分按照从小到大的顺序排列为65,65,72,76,76,83,88,90,90,95，∴极差为95-65=30，故A 正确；中位数为5.7928376=+，故B 错误；平均数为()5.798095909088837676726565101>=+++++++++⨯，故C 正确；由题表及样本估计总体，知该社区居民问卷得分不低于90分的概率估计值为2.03.0103>=，故D 正确.4.D解析：∵x y 1.0log =在()∞+，0上单调递减，∴1.0log 2.0log 1log 1.01.01.0<<，即10<<a .∵x y lg =在()∞+，0上单调递增，∴1lg lg <a ，即0<b .∵xy 2=在R 上单调递增，∴022>a，即1>c .综上，得c a b <<.5.C解析：设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则()()31152==B P A P ，且B A C =.∵C B A ,,两两互斥，∴()()()()()[]158311521111=--=+-=-=-=B P A P B A P C P C P .6.A解析：初始值20==n S ，.第一次执行循环体：43113111212=⨯=⨯=-=n S a ，，，否；第二次执行循环体：6531311531=⨯+⨯=⨯=n S a ，，，否；第三次执行循环体：8751531311751=⨯+⨯+⨯=⨯=n S a ，，，否；第四次执行循环体：10971751531311971=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=n S a ，，，是，输出S .∵9491717151513131121971751531311=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯+⨯+⨯+⨯=S ，∴输出S 的值为94.7.A 解析：①当0=a 时，()()⎩⎨⎧≥+<=0,1ln 0,1x x x x f ，则()x f 只有一个零点0，不符合题意；②当0<a 时，作出函数()x f 的大致图象，如图1，()x f 在()0，∞-和[)∞+，0上各有一个零点，符合题意；③当0>a 时，作出函数()x f 的大致图象，如图2，()x f 在[)∞+，0上没有零点.若()x f 在()0，∞-上有两个零点，则符合题意，此时必须满足()011<-=-a f ，解得1>a .综上，得0<a 或1>a ，故选A.8.B 解析：∵b a 22+与b 垂直，∴()022=⋅+b b a ，化简得222b b a -=⋅.设b a ,的夹角为θ，则21cos -=⋅⋅=ba b a θ.∵[]πθ，0∈，∴32πθ=.9.B解析：由题意，得()()()0,,00,2c F b B a A ，，-，则直线2BF 的方程为0=-+bc cy bx ，∴点A 到直线2BF 的距离()321622=+=+--=c a a bc b bc abd ①.由21F PF ∆的周长为16，得16222121=+=++c a F F PF PF ，即8=+c a ②联立①②解得a b 322=③∵222c a b -=，∴a c 31=④.联立②④，解得26==c a ，，∴24=b ，故椭圆E 额标准方程为1323622=+y x .10.D 解析：由n n n n a S S S -=+++1232，得()n n n n n a S S S S --=-+++1122，即122++=+n n n a a a ，∴数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则由7264=-a a 和344=S 得⎩⎨⎧=+=+1732711d a d a ，解得⎩⎨⎧==341d a ，∴()13314+=⨯-+=n n a n .由202313=+n ，得674=n .11.B 解析：∵()30=f ，∴23cos =ϕ.∵0<<-ϕπ，∴6πϕ-=.当[]π,0∈x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-6,66πωπππωx ，∵()x f 在[]π,0上有且只有三个极值点，∴ππωππ362<-≤得619613<≤ω，∴根据图象可以判断，()x f 在[]π,0上有两个极大值点，一个极小值点，∴①错误，②错误；当⎪⎭⎫⎝⎛∈5,0πx 时，6566ππωπωππ-<-≤-，显然065>-ππω，不符合题意∴③错误；由Z ∈ω得3=ω，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63cos 2πx x f ，令Z k k x ∈+=-，263πππ，得Z k k x ∈+=，923ππ，当0=k 时，92π=x ，∴④正确.故选B.12.C 解析：如图，∵ABC P -为正三棱锥，P AC PBC P AB ∆≅∆≅∆，7==BE AD .取线段PE 的中点F ，连接AF DF ,，∵D 为PB 的中点，∴BE DF ∥，BE DF 21=.∵BE AD ⊥，∴DF AD ⊥.在ADF Rt ∆中，72==DF AD ，由勾股定理，得235=AF .设x P A APB ==∠，θ.在P AD ∆中，由余弦定理的推论，得222745212741cos x xx x x -=⋅-+=θ①同理，在P AF ∆中，由余弦定理的推论，得222235817412435161cos x xx x x -=⋅-+=θ②.联立①②，解得32=x ，32cos =θ.在P AB ∆中，由余弦定理，得()()832323223232cos 222222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=APB PB P A PB P A AB ，∴22=AB .取ABC ∆的中心1O ，连接11AO PO ，，则⊥1PO 平面ABC ，三棱锥ABC P -的外接球球心O 在1PO 上，连接OA ，设外接球半径为R .在1P AO Rt ∆中，R OA =，36232231=⨯=AB AO ，∴()321236232222121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=AO P A PO ，∴R R PO OO -=-=321211，∴21212AO OO AO +=，即2223623212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=R R ，解得7213=R ，∴所求外接球的表面积为ππ710842=R .二、填空题13.01=--y x 解析：2ln 1xxy -='，当1=x 时，1='y .又当1=x 时，0=y ，∴曲线xxy ln =在1=x 处的切线方程为1-=x y ，即01=--y x .14.4-解析：设等比数列{}n a 的公比为()0<q q ，将22=a 代入123+=S a ，得1222++=qq ，∴02322=--q q ，解得21-=q 或2=q （舍去），∴41-=a .15.1473解析：如图，连接C D C A AC 11，，，∵O 为AC 的中点，E 是棱1AA 的中点，∴C A OE 1∥.∵11D A AD ∥，∴C A D 11∠或其补角为异面直线EO 与AD 所成的角.不妨设1=AD ，则211111=====DD AA CD AD D A ，.在ADC ∆中，由余弦定理得：32111211120cos 22222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=︒⋅-+=DC AD DC AD AC .∵1111D C B A ABCD -为直四棱柱，∴⊥1AA 平面ABCD .又⊂DC AC ,平面ABCD ，∴DC AA AC AA ⊥⊥11，.∵11AA DD ∥，∴DC DD ⊥1，∴()732222211=+=+=AC AA C A ，512222211=+=+=DC DD C D 在C D A 11∆中，由余弦定理的推论得：14737125712cos 111212121111=⨯⨯-+=⋅-+=∠C A D A C D C A D A C A D .16.2解析：如图，连接MI GM ，并延长，与21F F 分别交于点D O ,.设双曲线C 的焦距为c 2.由题意得c GI 61=.∵21F F GI ∥，且G 为重心，则32=ODGI ，∴4c OD =.∵I 为21F MF ∆的内心，∴MD 为21MF F ∠的平分线，∴35212121===∆∆DF D F S S MF MF MDF D MF ，∴2135MF MF =.又a MF MF 221=-，∴a MF a MF 3521==，.设21F MF ∆的内切圆半径为r ，则M 到x 轴的距离为r 3，∵r F F S F MF 3212121⋅⋅=∆，()r F F MF MF S F MF ⋅++⋅=∆21212121，∴2121213F F MF MF F F ++=，∴a c 2=，∴双曲线C 的离心率2==ace .三、解答题（一）必考题17.解：（1）由频率分布直方图，得()150001.0006.02003.0002.0=⨯++++a ，解得004.0=a .设中位数为t ，专项贷款金额在[0,150)内的频率为0.45，在[150,200)内的频率为0.3，∴中位数t 在[150,200)内，∴()05.0006.0150=⨯-t ，解得158≈t ，∴估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元.（2）①由题意，得抽取比例为6112020=，专项贷款金额在[200,300]内的中小微企业有()30001.0004.050120=+⨯⨯家，∴应抽取56130=⨯家，∴5=m .②在抽取5家中小微企业中，专项贷款金额在[200,250)内的有4545=⨯家，记为D C B A ，，，，专项贷款金额在[250,300]内的有1515=⨯家，记为E .从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为CDE BDE BCE BCD ADE ACE ACD ABE ABD ABC ,,,,,,,,,，共10种，其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的情况为BCD ACD ABD ABC ,,,，共4种，∴所求概率52104==P .18.解：（1）∵ABC ∆的面积为3，∴3sin 21=C ab ，即32sin =C ab ①由余弦定理的推论，得abc b a C 2cos 222-+=.∵12222=-+c b a ，∴6cos =C ab ②.易知2π≠C ，①÷②，得33tan =C .∵()π，0∈C ，∴6π=C .（2）∵6π=C ，∴23cos =C ，即()23cos =+-B A ，∴23sin sin cos cos -=-B A B A .又33cos cos -=B A ，∴63sin sin =B A .由正弦定理得c CcB b A a 2sin sin sin ===，∴B c b A c a sin 2sin 2==，.由（1），知32sin =C ab ，∴34=ab ，∴34sin sin 42=B A c ，即23sin sin cB A =，∴6332=c ，解得6=c .19.解：（1）∵11112141BB AA AA AC AB AA AE ====，，，∴12121BB AB AB AE ==，，∴1BB ABAB AE =.∵111C B A ABC -为直三棱柱，∴侧面11A ABB 为矩形，∴︒=∠=∠9011ABB AB A ，∴1~BAB AEB ∆∆，∴AEB BAB ∠=∠1.又︒=∠+∠90AEB EBA ，∴︒=+∠901BAB EBA ，∴1AB BE ⊥.∵⊥1AA 平面ABC ，⊂AC 平面ABC ，∴AC AA ⊥1.又⊂=⊥11AA A AB AA AB AC ，， 平面11A ABB ，∴⊥AC 平面11A ABB ，∵⊂BE 平面11A ABB ，∴BE AC ⊥.∵⊂=11AB A AC AB ， 平面C AB 1，⊂AC 平面C AB 1，∴⊥BE 平面C AB 1.（2）连接AF ，∵⊄111AA BB AA ，∥平面11B BCC ，⊂1BB 平面11B BCC ，∴∥1AA 平面11B BCC ，∴三棱锥DEF B -的体积CD S V V V V ABF ABF D BDF A BDF E DEF B ⋅====∆----31.∵︒=∠==902BAC AC AB ，，F 为BC 的中点，∴BC AF BC ⊥=，22，∴2==BF AF ，∴1222121=⨯⨯=⋅⋅=∆AF BF S ABF ，∴三棱锥DEF B -的体积32213131=⨯⨯=⋅=∆-CD S V ABF DEF B .20.解：（1）由题意，知()x f 的定义域为()∞+，0，当21e a =时，()()()222222ln 1ln e x x e x e x f e x x e x f +⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-='+=，.令()x e x x g 2ln 1+-=，则()0122<--='xe x x g ，∴()x g 在()∞+，0上单调递减.∵()02=eg ，∴当()2,0e x ∈时，()0>x g ，从而()0>'x f ；当()+∞∈,2e x 时，()0<x g ，从而()0<'xf ，∴()x f 的单调递增区间为()2,0e ，单调递减区间为()+∞,2e.（2）函数()ax x f y 1+=有两个不同的零点等价于()01=+axx f 有两个不同的解，等价于()011ln =++x ax 有两个不同的解.令()()11ln ++=x ax x h ，()+∞∈,0x ，则()()2ln +='x a x h .由()0='x h ，得21ex =.又0>a ，∴当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0e x 时，()0<'x h ；当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,12e x 时，()0>'x h ，∴()x h 在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0e 上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,12e 上单调递增，∴()22min 11e a e h x h -=⎪⎭⎫⎝⎛=.①当012≥-ea 即20e a ≤<时，()x h 至多有一个零点，不符合题意；②当012<-e a 即2e a >时，012<⎪⎭⎫ ⎝⎛e h ，()011>+=a h .由单调性和函数零点存在定理，知()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,12e 上有且只有一个零点.∵2e a >，∴22111e a a <<，且a aa a h ln 2112-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛.令()x x x ln 21-+=ϕ，则()xx x 2-='ϕ，∴当()+∞∈,2x 时，()0>'x ϕ，∴()x ϕ在()∞+，2上单调递增.∵22>>e a ，∴()()04ln 32>-=>ϕϕa ，∴012>⎪⎭⎫⎝⎛a h .由单调性和函数零点存在定理，知()x h 在⎪⎭⎫⎝⎛21,0e 上有且只有一个零点.∴当2e a >时，()x h 有两个不同的零点，即()axx f y 1+=有两个不同的零点，符合题意.综上，a 的取值范围是()+∞,2e .21.解：（1）设()B B y x B ,，由BA MB =得B 诶线段MA 的中点.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p M ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=02242y y p x B B ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2420y y p x B B ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B ，把⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,420y p B 代入px y 22=中，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛422220p p y ，把()0,4y A 代入px y 22=中，得p y 820=，∴p p p 2422=⎪⎭⎫⎝⎛-.又0>p ，∴4=p ，∴抛物线C 的方程为x y 82=.（2）由题意，知直线l 的斜率存在且不为0，∵()02，-M ，∴可设直线l 的方程为2-=my x .设()()2211,,y x B y x A ，，则点()11,y x P -.由⎩⎨⎧=-=xy my x 822消去x 得01682=+-my y ，∴0>∆，根据根与系数的关系得1682121==+y y m y y ，.直线BP 的斜率12212212121288y y y y y y x x y y k -=-+=-+=，直线BP 的方程为()21228x x y y y y --=-，∴()()()221222122122128181********y y y y y y y x y y y y y y x ++--=+---=()28112+-=y y y ，即直线BP 的方程可表示为()28112+-=y y y x .∴直线BP 过定点，且定点坐标为()02，.（二）选考题22.解：（1）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 22πθρ，∴θθρcos 2sin 2+=，即θρθρρcos 2sin 22+=.又θρcos =x ，θρsin =y ，222ρ=+y x ，∴曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x .（2）依题意，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得：()043cos 2sin 2=-+-t t αα.设点N M ,所对应的参数分别为21,t t ，则43cos 2sin 2121-=+=+t t t t ，αα.∵点P 的直角坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛210，，∴1t PM =，2t PN =.∵021<t t ，∴2121t t t t PN PM +=-=-()ϕααα+=+=sin 5cos 2sin ，其中552sin 55cos ==ϕϕ，.由()03cos 2sin 2>++=∆αα，得R ∈α，∴当()1sin ±=+ϕα时，PN PM -最大，且最大值为5.23.解：（1）∵c b a ,,都是正实数，∴02>≥+ab b a ，02>≥+bc c b ，∴()()bc ab c b b a 22⋅≥++，当且仅当1===c b a 时，等号成立，即()()ac b c b b a 4≥++.又∵1=ac ，∴()()b c b b a 4≥++.（2）∵1112121=++++c b a ，∴12212422=++++cb a .由柯西不等式，得()()[]()22122212142221242++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++++++c b a c b a ，即()22215222+≥+++c b a ，即222+≥++c b a ，当且仅当()c b a 21222=+=+，即222222+===c b a ，，时等号成立，∴c b a ++的最小值为222+.。
2022年12月高三全国大联考(全国乙卷)文科数学试卷及答案
参考数据： ， ， ， .
参考公式：相关系数 ，回归直线方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
， .
19．如图，正三棱柱 的底面边长为2，高为3， 在棱 上， ， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积.
20．已知函数 ， ， 为常数， 的图象在点 处的切线方程为 .
故选：D
8．C
【分析】先判断函数 的奇偶性与单调性，再解不等式，求不等式成立的一个充分不必要条件是求其一个真子集.
【详解】函数 定义域为R，
因为 ，所以 是一个奇函数.
因为 ，所以 在R上单调递增.
因为 ，又 是一个奇函数，
所以 ，
又 在R上单调递增，
所以 ，解得 .
不等式 成立的一个充分不必要条件是集合 的真子集，所以选项C正确.
【详解】由抛物线 ： ，可知 ，焦点 ，
因为 过焦点 ，所以 ，
设 ，
联立 ，消元得 ，
则 ，
由抛物线定义知 .
故选：A
7．D
【分析】根据图像变换求得 的解析式，再求得 的对称中心.
【详解】函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数 ，所以 ，
令 ，即 的对称中心为 ，
令 ，求得 的一个对称中心为 .
A． B． C． D．3
12．已知各项不等于0的数列 满足 ， ， .设函数 ， 为函数 的导函数.令 ，则 （）
A． B．36C． D．54
二、填空题
13．已知平面向量 ， ，则平面向量 与 的夹角为______.
14．已知圆 ： ，且圆外有一点 ，过点 作圆 的两条切线，且切点分别为 ， ，则 ______.
江西省多所学校2025届高三第一次大联考数学试题
2025届新高三第一次大联考高三数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}lg 23,{1}M x y x N y y ==−=>∣∣，则M N ∩=（）A.31,2− B.31,2C.()1,∞+D.3,2∞+ 2.某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查7名同学在某周周日校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：35,30,50,90,70,85,60.则该组数据的中位数和平均数分别为（ ）A.60，58 B.60，60C.55，58D.55，603.已知()i1ia z a +=∈+R 为实数，则2i z z +=（）B.2C.14.曲线e sin2x y x =+在点()0,1处的切线方程为（ ）A.3220x y +−=B.2210x y −+=C.310x y −+=D.3220x y −+=5.已知锐角,αβ满足sin sin sin cos cos ααβαβ+=，则2αβ+=（）A.π2B.π3C.π4D.π6.过点()1,3P −的直线l 与曲线()22:(2)123M x y x −+=有两个交点，则直线l 斜率的取值范围为（）A.2,13B.4,23C.2,23D.2,437.已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 与T 交于,A B 两点，若线段AB 的中点M 在直线20x y +=上，则T 的离心率为（ ）8.如图，在平行四边形ABCD 中，tan 7,5,BAD AB AD E ∠==为边BC 上异于端点的一点，且45AE DE ⋅=，则sin CDE ∠=（ ）B.725C.513D.14二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知双曲线22:136x y C m m −=−+，则（ ）A.m 的取值范围是()6,3−B.1m =时，C 的渐近线方程为y x =C.C 的焦点坐标为()()3,0,3,0−D.C 可以是等轴双曲线10.下列函数中，存在数列{}n a 使得123,,a a a 和()()()123,,f a f a f a 都是公差不为0的等差数列的是（ ）A.()tan f x x =B.()2log f x x =C.()2024f x x= D.()1lg1xf x x+=− 11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ） A.()f x 的图象关于点()2,1对称 B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()()8g x g x +=D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.二项式6()x y −的展开式中42x y 的系数为__________.13.已知函数()π2024sin 26f x x=−在区间π,6m内恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为__________.14.已知三个正整数的和为8，用X 表示这三个数中最小的数，则X 的期望EX =__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间x （单位：s ）与位移y （单位：m ）之间的关系，得到如下表数据：x2.8 2.9 33.1 3.2 y2425293234画出散点图观察可得x 与y 之间近似为线性相关关系. （1）求出y 关于x 的线性回归方程；（2）记ˆˆˆˆi i i i ie y y y bx a =−=−−，其中i y 为观测值，ˆi y 为预测值，ˆi e 为对应(),i i x y 的残差，求前3项残差的和.参考数据：5521145.1,434.7ii i i i x x y ===∑∑，参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxyb ay bx xnx ==−==−−∑∑. 16.（15分）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且4cos 4c Ab a=−.（1）证明：4cos b C =；（2）若π,6C c ==，求ABC 的周长.17.（15分）已知直线:l x my n =+交抛物线2:4C y x =于,M N 两点，F 为C 的焦点，且FM FN ⊥. （1）证明：20m n +>； （2）求n 的取值范围.18.（17分）如图，在棱长为4的正方体ABCD EFGH −中，将侧面CDHG 沿CG 逆时针旋转角度θ至平面11CD H G ，其中π0,2θ∈，点P 是线段EF 的中点.（1）当112tan 3D PH ∠=时，求四棱锥11P CD H G −的体积； （2）当直线1DH 与平面11CD H G 所成的角为π6时，求cos θ的值.19.（17分）定义：若对于任意*n ∈N ，数列{}{},n n x y 满足：①n n x y ≠；②()()n n f x f y =，其中()f x 的定义域为,,n n D x y D ∈，则称{}{},n n x y 关于()f x 满足性质G .（1）请写出一个定义域为R 的函数()f x ，使得{}{},n n −关于()f x 满足性质G ；（2）设()(0,0)kg x x x k x=+>>，若{}{},n n x y 关于()g x 满足性质G ，证明：n n x y +> （3）设()()ππ22eesin x x h x x x +−−=+−∈R ，若{}{},n n x y 关于()h x 满足性质G ，求数列{}n n x y +的前n 项和.2025届新高三第一次大联考 高三数学参考答案及评分细则1.【答案】D【解析】()3{230},,{1}1,2Mx x N y y ∞∞=−>=+=>=+∣∣，故3,2M N ∞∩=+.故选D. 2.【答案】B【解析】将样本数据从小到大排列为30,35,50,60,70,85,90.易得中位数为60，平均数为()130355060708590607×++++++=.故选B. 3.【答案】D【解析】由题意可得()()()()()i 1i 1ii 11i1i 1i 22a a a a z +−−++===+++−，由z 为实数，得10a −=，即1a =，则1z =，故2i 2i z z +=+==.故选D.4.【答案】C【解析】因为e 2cos2x y x =+′，所以e sin2x y x =+在点()0,1处的切线斜率为00e 2cos03x y ==+=′，所以切线方程为()130y x −=×−，即310x y −+=.故选C. 5.【答案】A【解析】因为sin sin sin cos cos ααβαβ+=，所以()πcos sin cos cos sin sin cos 2αααβαβαβ−==−=+，注意到()ππ0,,0,π22ααβ −∈+∈ ，而cos y x =在()0,π上单调递减，从而π2ααβ−=+，即π22αβ+=.故选A.6.【答案】B【解析】由题意易知直线l 的斜率存在且不为0，设直线()():130l y k x k =−−≠，曲线()22:(2)123M x y x −+= 是以()2,0M 为圆心，1为半径的半圆（如图所示），设曲线M 的下端点为()2,1N −，要使l 与曲线M 有两个交点，则l 应位于直线PN 和切线PQ 之间，所以PQ PN k k k < .由()13221PV k −−−==−1，得43PQ k =.故直线l 斜率的取值范围为4,23 .故选B.7.【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意可知，线段AB 的中点M 是直线l 与直线20x y +=的交点，联立,20,y x c x y =−+= 解得21,33M c c − ，另一方面，联立22221,,x y a b y x c += =−得()2222222220abx a cx a c a b +−+−=.易知Δ0>，由韦达定理得21222243a c x x c ab +==+，解得222a b =，所以()2222a a c =−，故离心率e c a==故选D. 8.【答案】B【解析】由sin tan7cos BADBAD BAD∠∠∠==知BAD ∠为锐角，又因为22sin cos 1BAD BAD ∠∠+=，所以cos BAD BAD ∠∠=.设(01)BE BC λλ=<<，即.cos 55,,BE AD AB AD AB AD BAD AE AB BE AB AD DE λ∠λ=⋅=⋅==+=+()1AE AD AB AD λ=−=+− .由45AE DE ⋅=，得()()()()()222112125154545AB AD AB AD AB AD AB AD λλλλλλλ+⋅+−=+−+−⋅=−+=，又01λ<<，故35λ=.则323,2,55BE BC CE DE AB AD ====−，因此DE =，即DE =.在CDE 中，由正弦定理sin sin CE DECDE C∠=，以及sin sin C BAD ∠=，整理计算得7sin 25CDE ∠=.故选B. 9.【答案】ACD （每选对1个得2分）【解析】对于A ，22:136x y C m m −=−+表示双曲线，()()630m m ∴+−>，解得63m −<<，故A正确；对于B ，1m =时，双曲线方程为22127x y −=，其渐近线方程为y x x ±，故B 错误；对于C ，由A 得60,3m m +>−>0，设C 的半焦距为(0)c c >，则2639,3c m m c =++−=∴=，故其焦点坐标为()()3,0,3,0−，故C 正确；对于D ，若C 为等轴双曲线，则()3366,32m m m −=+⇒=−∈−，故D 正确.故选ACD.10.【答案】AD （每选对1个得3分）【解析】该题可转化为判断选项所给函数与一次函数是否存在3个交点，且其中一个交点是另外两个交点的中点的相关问题，过原点的直线与()tan f x x =的对称交点均满足题意，故A 正确；由于()2log f x x=与一次函数y kx m =+不可能有三个交点，故B 错误；()2024f x x =为偶函数，且与二次函数图象形状一致，与一次函数y kx m =+不可能有三个交点，故C 错误；过原点的直线可以与奇函数()1lg 1xf x x+=−存在三个交点，故D 正确.故选AD. 11.【答案】ABC （每选对1个得2分）【解析】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=，即()()21f x g x +−=①，用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②，由①+②得()()222f x f x ++−=，所以()f x 的图象关于点()2,1对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()42f x f x ++−=，()()()422f x f x f x +=−−=−，所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，所以()()8g x g x +=，故C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()26f f +=2，令10x =，则有()()10142,f f += ，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个，所以 20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选ABC.12.【答案】15【解析】由二项式6()x y −的展开式的通项为616C ()r rr r T x y −+=−，令2r =得其展开式中42x y 的系数为226C (1)15−=.13.【答案】5π4π,63【解析】由题意可得()π2024sin 26f x x =−，当π,6x m∈ 时，πππ2,2666x m −∈−，由函数()f x 在π,6m内恰有两个极值点，可知3ππ5π2262m <− ，解得5π4π63m < . 14.【答案】97【解析】设这三个正整数分别为,,x y z ，则题意可得()*8,,x y z x y z ++=∈N ，所以随机变量X 可能取值为1和2，用隔板法可求得：事件总情况为27C 种，当1X =时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有1134C C种；②三个数中有两个1，有23C 种，所以1X =时，112343127C C C 5C 7P +==；当2X =时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有13C 种；②三个数中有两个2，有23C 种，所以2X =时，1233227C C 2C 7P +==，所以291277EX =+×=. 15.解：（1）依题意可得1(2.8 2.93 3.1 3.2)3,5x =×++++= 1(2425293234)28.8,5y =×++++=5122215434.75328.8 2.7ˆ27,45.1530.15i ii i i i x y xybx x ==−−××====−×−∑∑ˆ28.827352.2a =−×=−所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ2752.2y x =−. （2）根据（1）得到11ˆˆ27 2.852.223.4,2423.40.6ye =×−==−=； 22ˆˆ27 2.952.226.1,2526.1 1.1y e =×−==−=−； 33ˆˆ27352.228.8,2928.80.2ye =×−==−=，所以31ˆ0.6 1.10.20.3ii e==−+=−∑. 16.（1）证明：由4cos 4c Ab a=−，得44cos ab b c A =−，由正弦定理得()sin 4sin 4sin cos 4sin 4sin cos 4sin cos b A B C A A C C A A C =−=+−=. 因为sin 0A ≠，所以4cos b C =.（2）解：因为π6C =，所以4cos b C =，由余弦定理得222π2cos 6c b a ab =+−， 即23126a a =+−，解得3a =，所以ABC 的周长为3+17.（1）证明：由题意联立24,,y x x my n = =+得2440y my n −−=，22Δ161600m n m n ∴=+>⇒+>.（2）解：设()()1122,,,M x y N x y ，由（1）得12124,4y y m y y n +==−，(),1,0,0FM FN F FM FN ⊥∴⋅=，即()()1212110x x y y −−+=， 即()()1212110my n my n y y +−+−+=， 整理得()()()22121211(1)0m y y m n y y n ++−++−=， 将12124,4y y m y y n +==−代入并整理得，()2222461,4(1)0m n n m n n =−++=−>，1n ∴≠，且2610n n −+ ，解得3n + 3n − 18.解：（1）由题意11D H ⊥平面1,EFGH PH ⊂平面EFGH ， 所以111D H PH ⊥，又因为112tan 3D PH ∠=，得11123D H PH =，所以16PH =，因为114,6PG GH PH ==，所以22211PG GH PH +=， 故1PG GH ⊥，又111111,D H PG GH D H H ⊥∩=， 故PG ⊥平面11CD H G ，所以111443P CD H G V PG −=××⋅=四棱锥（2）如图，易知,,GH FG GC 两两垂直，以G 为原点，,,GH FG GC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，由题知1HGH ∠θ=，则()()()()10,0,0,0,0,4,4cos ,4sin ,0,4,0,4G C H D θθ，故()()10,0,4,4cos ,4sin ,0GCGH θθ==，设平面11CD H G 的一个法向量为(),,m x y z =，由10,0,m GC m GH ⋅=⋅=得40,4cos 4sin 0,z x y θθ= += 取1y =，得tan x θ=−，故()tan ,1,0m θ=−，又()14cos 4,4sin ,4DH θθ=−− ，1πsin cos ,6DH m== ，12=， 化简可得24cos 2cos 10θθ−−=，解得cos θ=cos θ=. 19.（1）解：示例：()2f x x =（注：所有的定义域为R 的偶函数均符合题意）.（2）证明：因为()()n n g x g y =，所以n n n n k k x y x y +=+， 移项得()n n n n n n n nk x y k k x y y x x y −−=−=. 因为n n x y ≠，所以0n n x y −≠，故1,n n n n kx y k x y ==.由基本不等式2n n x y +n n x y =时取到等号， 而n n x y ≠，故2nn x y +>n n x y +>. （3）解：由题意，()ππ22ee sin x x h x x +−−=+−， 故()ππ22ee cos x x h x x +−−=−−′， 设()ππ22e e cos x x x x ϕ+−−=−−，则()ππ22e e sin sin 2sin 10x x x x x x ϕ+−−=+′+=+> ， 故()h x ′在R 上单调递增.而π02h −= ′， 故π2x >−时，()π0,2h x x ><−′时，()0h x ′<， 因此()h x 在π,2∞−−上单调递减，在π,2∞ −+ 上单调递增. 不妨设n n x y <，因为()()n n h x h y =， 所以当n n x x y <<时，()()n h x h x <，当n x x <或n x y >时，()()n h x h x >， 且x ∞→+时，(),h x x ∞∞→+→−时，()h x ∞→+， 故对于任意π2M h >−，方程()h x M =有且只有两个不同的根,n n x y ， 又ππ22h x h x−=−− ，故()h x 的图象关于π2x =−对称，故πn n x y +=−，因此数列{}n n x y +的前n 项和为πn −.。
天域全国名校协作体2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题
天域全国名校协作体2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知12i z =+，则1=z（ ） A ．12i 55- B ．12i 55+ C ．12i 55-- D ．12i 55-+2．已知向量()1,2a =r ，(),3b x =r ，若()a ab ⊥+rr r ，则实数x =（ ）A ．4-B ．11-C ．11D ．43．已知函数π()cos 2(0)12f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 的对称轴可以是（ ）A ．5π24x =B ．5π12x =C ．π6x =D ．π3x =4．已知函数||1()22x f x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其图象无限接近直线1y =但又不与该直线相交，则1()2f x >的解集为（ ） A ．(,2)(2,)-∞-+∞U B ．()2,2- C ．(,1)(1,)-∞-+∞UD ．()1,1-5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，“20250a =”是“()40494049,n n S S n n *-=<∈N ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于异于原点O 的A ，B 两点，若在直线6x =上存在点()()6,0P t t >，使得四边形OAPB 是平行四边形，则t =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A 点、B 点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A ，B 两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成45︒的夹角，则A ，B 两点在水平方向的距离约为（ ）A ．30mB ．40mC ．60mD ．120m8．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x ，y ，z 若x ，y 的样本相关系数为1213，y ，z 的样本相关系数为45，则x 、z 的样本相关系数的最大值为（ ）附：相关系数()()niix x y y r --=∑A ．4865B ．6365C ．6465D ．1二、多选题9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）A ．估计该年级学生成绩的众数为75B ．0.05a =C ．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.5010．已知曲线:44C x x y y =-．点1F，2(0,F ，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P ，使得124PF PF -= C ．直线2y x =与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向2y x =±作垂线，垂足分别为A ，B ，则45QA QB ⋅=11．已知1x ，2x ，…，5x ，6x 为1，2，…，5，6的任意排列，设{}{}{}123456min max ,,,max ,,X x x x x x x =，{}{}{}123456max min ,,,min ,,Y x x x x x x =．则（ ）A ．任意交换123,,x x x 的顺序，不影响X 的取值B ．满足123x x x <<及456x x x <<的排列有20个C ．4X =的概率为15D ．X Y >的概率为910三、填空题 12．已知1sin()2αβ+=，tan 5tan αβ=，则sin()αβ-=． 13．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积与以ABC V 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为．14．定义在[]0,1上的函数()f x 满足：①()()11f x f x +-=；②1()32x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()12120)1(f x f x x x ≤≤<≤，则()1f =，12025f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．四、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC V 的面积为S ，且()22a b c +=+(1)求角A ；(2)若ABC V 为锐角三角形，且4b c +=，求a 的取值范围． 16．已知函数ln ()ln 1xf x a x x=-+，R a ∈ (1)当1a =时，求()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；(2)求()f x 的零点个数．17．如图，四棱锥P ABCD -中，4AB PA ==，2CD CB ==，PD =60ABC ∠=︒，平面PAB ⋂平面PCD l =，且//l 平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)求四棱锥P ABCD -的体积；(2)设Q 为PC 上一点，若QA QB =，求二面角Q AB C --的大小.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点81,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴，过点M 且与椭圆C 有且只有一个公共点的直线与x 轴交于点P ． (1)求椭圆C 的方程；(2)点R 是椭圆C 上异于M 的一点，且三角形MPR 的面积为24，求直线MR 的方程； (3)过点P 的直线交椭圆C 于D ，E 两点（D 在E 的左侧），若N 为线段FP 的中点，直线NE 交直线MF 于点Q ，T 为线段DF 的中点，求线段TQ 的最大值．19．黎曼ζ函数()s ζ与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关.()s ζ是这样定义的：记()Re s 为复数s 的实部，()()11kk s n s n n ψ*==∈∑N .当()Re 1s >时，有()lim ()k k s s ζψ→+∞=，故()k s ψ对()s ζ的研究具有重要意义.(1)已知对任意正整数n ，都存在唯一的整数n a 和n b ，使得2n b n n a =⨯，其中n a 为奇数，n b 为自然数，求()101n n n a b =+∑；(2)试判断是否存在正整数k ，使得()12024k ψ=，并证明你的结论； (3)求证：332k ψ⎛⎫< ⎪⎝⎭.。
高三试卷数学-全国名校大联考2024届高三联考(L)数学试卷及参考答案
2023~2024学年高三第三次联考（月考）试卷文科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量（约30%）；数列、不等式（约70%）．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，集合{}230A x x x =-=，{}216B x x=<，则下列关系正确的是（）A.A B A ⋃= B.A B ⋂=∅C.A B A= D.U UA B⊆痧2.若实数a ，b 满足0a b <<，则（）A.11a b< B.2ab b <C.2ab a -<- D.11a b b a+<+3.设x ∈R ，则“3122x -<”是“21log 2x <<-”成立的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在等比数列{}n a 中，1238a a a ⋅⋅=，56724a a a ⋅⋅=，则91011a a a ⋅⋅=（）A.48B.72C.96D.1125.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则谷雨日影长为（）A.8.5尺B.7.5尺C.6.5尺D.5.5尺6.若关于x 的方程2220x ax a -++=在区间()2,1-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A.6,15⎛--⎫⎪⎝⎭B.6,15⎛⎫-⎪⎝⎭C.()6,1,5⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭D.()6,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭7.已知π02βα<<<，且()12cos 13αβ-=，3cos 25β=-，则()sin αβ+=（）A.1665B.3365C.5665D.63658.已知数列{}n a 是递增数列，且4(21)4,5(4)15,5n n a n n a a n --+≤⎧=⎨-+>⎩，则a 的取值范围是（）A.120,211⎛⎤⎥⎝⎦B.120,211⎛⎫⎪⎝⎭C.1,22⎛⎤⎥⎝⎦D.1,22⎛⎫⎪⎝⎭9.已知0a >，0b >且32a b +=，则12311a b +++的最小值为（）A.125B.245C.3224+ D.3222+10.定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列{}n a 是等方差数列，且公方差为3，11a =，则数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前33项的和为（）A.3B.6C.2D.411.将函数()2sin f x x =的图象向左平移π6个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1ω（0ω>）（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为（）A.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭12.如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，4AB =，3CD =，EF 是圆心为C 、半径为1的圆的动直径，则⋅BE AF的取值范围是（）A.[]2,5- B.[]1,7- C.[]0,8 D.[]1,9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知实数x ，y 满足约束条件2023020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最小值为______．14.已知数列{}n a 满足11a =，21a =，223,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 的前12项和为______．15.已知函数(1e ()ln e 1x x f x x -=-++，若对任意的x ∈R ，()()201f ax x f x +-+<-恒成立，则a 的取值范围为______.16.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*121,n n S S n +=+∈N ，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则21n na T +的最大值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，25489a a a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若3log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1sin sin 4B C =，1tan tan 3B C =．（1）求证：ABC 是等腰三角形；（2）若a =，求ABC 的周长和面积．19.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，n a =（*n ∈N 且2n ≥）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.在数列{}n a 中，11a =，22a =，1132n n n a a a +-=-(2,N )n n *≥∈.设1n n n b a a +=-.（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设1(1)(21)n n n n a c b +=+⋅+，记数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：1n T <.21.已知数列{}n a 满足1212(21)333334n nn n a a a +-⋅+++⋅⋅⋅+=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2(1)nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．2023~2024学年高三第三次联考（月考）试卷文科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量（约30%）；数列、不等式（约70%）．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】C【答案】A 【11题答案】【答案】A 【12题答案】【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】1【14题答案】【答案】114【15题答案】【答案】()1,+∞【16题答案】【答案】8三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）13n na =（2）()1112232n n n n T +=--⋅【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）ABC 的周长为8+【19题答案】【答案】（1）21n a n =-（2）2332n nn T +=-．【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【答案】（1）n a n=（2）()()1,2,N 21,21,N 2n n n n k k T n n n k k **⎧+=∈⎪⎪=⎨+⎪-=-∈⎪⎩【22题答案】【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭。
_数学丨2023届高三下学期2月大联考(全国乙卷)数学试卷及答案
2023年高三2月大联考（全国乙卷）理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 【解析】由(2i)8i z ，得8i 1510i 32i 2i 5z，所以32i z ．故选B ． 2．A 【解析】由103x x ，得(1)(3)0x x 且30x ，解得13x ，所以{|13}M x x . 由22y x ，得2y ，所以{|2}N y y ，所以[2,3)M N ．故选A ．3．B 【解析】根据全称命题的否定为特称命题，可知p 为“1x ，(1)0x x ”，故选B ． 4．C 【解析】A ：a 可能在平面 内，所以A 错误；B ：a 与m 可能平行，从而 与 可能相交，所以B 错误；C ：a ∥且b ∥ ∥ m ∥ ，所以C 正确；D ：如图，考虑正方形沿对角线折叠，另一条对角线折起后形成的两条直线，以及折痕和一条半平面内与折痕平行的直线，它们符合垂直关系，但两个半平面不一定垂直，所以D 错误．故选C ．5．D 【解析】因为(,)42 ，所以2(,)2 .又4sin 25 ，所以3cos 25，所以2312sin 5 ，解得sin （负值舍去）．故选D ． 6．B 【解析】由函数的值域，可以排除A.由函数的奇偶性，可以排除D.C:2cos sin ()x x x f x x ，令()cos sin g x x x x ，则()sin g x x x ．当(0,)x 时，()0g x 恒成立，所以()g x 在(0,) 上单调递减．因为(0)0g ，所以()(0)0g x g 在(0,) 上恒成立，所以当(0,)x 时，()0f x 恒成立，所以()f x 在(0,) 上单调递减，所以排除C ．故选B ．7．C 【解析】（1）若“糕点制作”安排1名女教师，有12C 种不同的安排方法，后续项目分两类：①若“自行车修理”安排1名男教师，则余下4人安排到另两个项目，每个项目2人，有122442C C C 种不同的安排方法；②若“自行车修理”安排2名男教师，则余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有212432C C C种不同的安排方法.（2）若“糕点制作”安排2名女教师，则“自行车修理”只能安排1名男教师，余下3人，1人安排到“绿植修剪”，2人安排到“蔬菜种植”，有21122432C C C C 种不同的安排方法，所以，一共有1122212211224424322432C (C C C C C C )C C C C 96 种不同的安排方法．故选C ．8．C【解析】2()2sin (cos sin )1sin 22sin 1sin 2cos 24f x x x x x x x x x ，所以()f x 的，将8x代入())4f x x，得884f （ ，故A 和D 错误；将2y x 的图象向右平移4个单位长度得到2(242y x x x 的图象，所以B 错误；由2224k x k k Z ，得5()88k x k k Z ，所以5[ 88，是()f x 的一个单调递减区间，所以()f x 在3( 48，上单调递减．故选C ． 9．A 【解析】由题意，知x ，y 满足约束条件0,0113x y x y x y x y ，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示（五边形OEBCD （包含边界）），作出直线24x y ，易得52(,)33A ，(2,1)B ，(1,2)C ，(0,1)D ，(1,0)E ，连接DE ，则非负数x ，y对应的可行域的面积为151122ODE BCDE S S △正方形，事件“24x y ”对应的可行域的面积为1112233ABC S AB BC △，所以所求概率为1235152P ．故选A ．10．D 【解析】由题图（2）得，．设截得的四边形木板为ABCD ，A ，AB c ，,,,BD a AD b BC n CD m ，如图．由3cos 5 得4sin 5 ．在ABD △中，由正弦定理，得2sin 2a ，解得a 在ABD △中，由余弦定理，得2222cos abc bc ， ∴226805b c bc ，配方，得216()805b c bc (*)． ∵2()2b c bc ，∴(*)式可化为22161()()55b c bc b c ， ∴21()805b c ，∴20b c ，当且仅当10b c 时等号成立． 同理，在CBD △中，得10m n ，当且仅当5m n 时等号成立，∴这块四边形木板周长的最大值为30．故选D ．11．A 【解析】设1||MF m ，2||MF n ，椭圆C 的半焦距为c ，则2m n a ，24mn c ，所以224a c22()()22m n m n mn 2()m a ．因为a c m a c ，所以22224()[0,]a c m a c ，即224c a25c ，则21154e ，所以152e ．故选A ． 12．B 【解析】（1）先比较,a b ：∵0.40.40.40.6e e (1ln e )a ，2ln 42(1ln 2)b ，∴可以构造函数()(1ln )f x x x ，则0.4(e )a f ，(2)b f ．对()f x 求导，得()ln f x x ，当(1)x ,时，()0f x ，∴()f x 在(1) ，上单调递减． ∵00.40.51e e e 2 ，∴0.4(e )(2)f f ，即a b ．（2）再比较,b c ：∵4ln 4e 42ln 2e b c ．∴可以构造函数()2ln e g x x x x ，则()1ln g x x ，当(0,e)x 时，()0g x ；当(e,)x 时，()0g x ，∴()g x 在(0e)，上单调递增，在(e ) ，上单调递减，∴max ()(e)0g x g ，即2221()32a R ，即22394b a ， 所以三棱锥P ABC 的体积为2311)32V ab a a (0a ).令3())16V x x x (0x ，则2())(2)(2)1616V x x x x．当02x 时，()0V x ；当2x ()0V x ，所以()V x 在(0,2)上单调递增，在上单调递减，所以()V x 在2x 处取得极大值，也是最大值，所以，当2a 时，三棱锥P ABC 的体积V说明：第13题写成135 也给分.第14题写成0y ，0y ，04x y ，04y x 或4x y 也给分. 三、解答题：共70分。
2022年高三12月大联考(全国乙卷)理科数学试卷参考答案
2022年高三12月大联考（全国乙卷） 理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1230x x (1,)A B ．故选A ．2．C 【解析】由()23i 47i z ，得47i (47i)(23i)12i 23i (23i)(23i)z ，所以复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,2)，故选C ．3．D 【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，由4716a S ，84a a ，得41847(71)71620a a d a a,即1111372116730a d a d a d a d ，解得151a d ，所以1(1)6,n a a n d n 则104a ，故选D.方法二：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为174474447()7281622a a a a S a a a，所以42a .由840a a 可得60a ，由42,a 60a 得151a d ，，所以5(1)16,n a n n 则104a ，故选D.4．A 【解析】方法一：由题意，知抛物线C ：24y x 的焦点F 的坐标为(1)0，，2p ，又直线1y kx 过 抛物线C 的焦点()1,0F ，所以10k ，解得1k ，所以直线的方程为1y x ，由214y x y x，得2610x x ，设(,),(,),A A B B A x y B x y 所以6A B x x ，所以||628A B AB x x p ．故选A ． 方法二：由题意，知抛物线C ：24y x 的焦点坐标为0(1)F ，，2p ，又直线1y kx 过抛物线的焦点()1,0F ，所以10k ，解得1k ，所以直线1y kx 的倾斜角4，所以22||8sin pAB. 故选A ． 5．D 【解析】因为=(1,3),(3,4) a b ，所以3129 a b ，A 错误；因为(5,9) a b c ，所以|| a b c ，B 错误；因为()190 ，a b a 所以 a b 与a 的夹角为锐角，C 错误；由题意，知(2,7), a b 又=(7,2)c ，所以()0 a b c ，则 a b 与c 垂直，D 正确.故选D ．2283a283，所以1a ，所以该长方棱台的三视图中侧视图为等腰梯形，其上底长为1，下底长为2，高为2，则侧视图的面积为1(12)232S，故选B. 8．A 【解析】方法一：第一步，选一个盒子放3个球，则这样的选法有13C 3 （种）；第二步，假设③号盒子放3个球，若③号盒子放1绿2白或1绿2红，则①②号盒子只有1种放法，若③号盒子放1红1白1绿，则①②号盒子有2种放法，若③号盒子放2红1白或2白1红，则①②号盒子有2种放法.所以，不同的放法有13C (11222)24 （种），故选A. 方法二：列举法：所以，不同的放法有13C (11222)24 （种），故选A. 9．C 【解析】由31n n S ，得当2n 时，1131n n S ，以上两式相减，得123n n a ，又当1n 时，14a ，所以14,123,2n n n a n ，所以2116,149,2n n n a n ，其前n 项和为121164(999)n n T 99923164192n n ．故选C ．10．C 【解析】211(),(1442222222222)x y x y x y x y x y +++，设(0)22x y t t ，则由题意得22222xyt t ，即22222xyt t ．因为22202222()2x y x y，即22022t t t ，当且仅当22x y ，即1x y 时等号成立，解得24t ，所以1122x y 的取值范围是(1,2]．故选C ． 11．B 【解析】由题意，知21(24)e (12)e 221a b a b b a ，∴21(24)e 21(21)e 2a b a a b b ，∴212(2)e 21(212)e 2a b a a b b ， ∴212[(2)e 2](212)e (21) 2.a b a a b b设()(2)e 2x f x x x ，则()(1)e 1x f x x ，令()()f x g x ，则()e x g x x ，当0x 时，()0g x ，()f x 单调递减，∴()(0)0f x f ，()f x 单调递增，()(0)0f x f ； 当0x 时()0g x ，，()f x 单调递增，∴()(0)0,()f x f f x 单调递增，()(0)0f x f . ∴()(0)0f a f .∴0()2()(21)f a f a f b ，∴()(21)f a f b ，∴21a b ，故选B ．12．C 【解析】由题意，知圆1C 的圆心坐标为(0,3，半径3r，12(2,0),(2,0)F F ，则12||4F F ，在11Rt F C O △（其中O 为坐标原点）中，因为111||||C O C F 所以1160,F C O 所以112120,F C F 121121602F MF F C F（同一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半）.在12F MF △中，由余弦定理，得222221212121212||||||2||||cos 60(||||)||||4F F MF MF MF MF MF MF MF MF a12=16 ，所以1,a 又2,c 所以双曲线2C 的离心率为2e ，故选C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(全国卷)高三数学第一次大联考试题理
（全国卷）2020届高三数学第一次大联考试题 理考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。
2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上。
3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
{}{}223,,1A x x x N B x x =-<<∈=> ，则集合A∩B＝A.{2}B.{－1，0，1)C.{－2，2}D.{－1，0，1，2}2.命题“∀x>0，x(x ＋1)>(x －1)2”的否定为；A.20,(1)(1)x x x x ∀>+≤-B.20,(1)(1)x x x x ∀≤+≤-C.20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-D.20,(1)(1)x x x x ∃≤+≤- 3.21232x dx x -+=+⎰ A.2＋ln2 B.3－ln2 C.6－ln2 D.6－ln44.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U AB φ= ”的2,0()0x x f x x -⎧≤⎪=> ，若f(x 0)<2，则x 0的取值范围是A.(－∞，－1)B.(－1，0]C.(－1，＋∞)D.(－∞，0)01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是 A.p∨q 是假命题 B.p∧q 是真命题 C.p∨(⌝q)是真命题 D.p∧(⌝q)是假命题 {}{}12,15A x x B x x =-<≤=≤-≤， 定义集合{},,A B z z x y x A y B *==+∈∈，则()B A B **等于 A.{}61x x -<≤ B.{}112x x <≤ C.{}110x x -<≤ D.{}56x x -<≤8.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x － a －x ＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a ，则函数f(x 2＋2x)的单调递增区间为A(－1.1) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)9.如图是二次函数f(x)＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g(x)＝alnx ＋ f’(x)的零点所在的区间是 A.(14，12) B.(12，1) C.(1，2) D.(2，3) ∈R ，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≧1时，函数f(x)＝1x -。
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绝密★启用前2016年第二次全国大联考【新课标I 卷】理科数学试卷考试时间：120分钟；满分150分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{}260,A x x x x =--<∈R ，{}||3,B y y x x A ==-∈，则A B I 等于（ ） A ．{}03x x << B ．{}10x x -<< C ．{}20x x -<< D ．{}33x x -<< 2．命题p ：0x ∃∈R ，不等式00cos 10xx e +-<成立，则p 的否定为（ ）A ．0x ∃∈R ，不等式00cos 10xx e +-≥成立 B ．x ∀∈R ，不等式cos 10x x e +-<成立 C ．x ∀∈R ，不等式cos 10x x e +-≥成立 D ．x ∀∈R ，不等式cos 10x x e +->成立3．在复平面内复数)0z b =>，则复数z bi -在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九 章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈 一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺， 问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（ ）A ．1998立方尺B ．2012立方尺C ．2112立方尺D ．2324立方尺 5．cos54cos 66cos 6︒+︒-︒=（ ） A ．0 B ．13 C ．12D ．1 6．已知双曲线22221(0)x y a b a b=>>－与两条平行直线1l ：y x a =+与2l ：y x a =-相交所得的平行四边形的面积为26b ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．2 7．如图，已知在等腰梯形ABCD 中，AB CD P ，45BAD ∠=︒，,,E F G 分别是,,AB BC CD的中点，若EF u u u r 在AG u u u r ，则||ABCD=u u u ru u u r （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．如图所示，函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线231122y x x =-++上，则()f x ＝（ ）A．1()sin()63f x xπ=+B．1()sin()23f x xπ=+C．()sin()23f x xππ=+ D．()sin()26f x xππ=+第7题图第8题图第9题图9．某程序框图如图所示，若输出43S=，则判断框中M为（）A．7k<？ B．6k≤？ C．8k≤？ D．8k<？10．已知5()a bx-的展开式中第4项的系数与含4x的系数分别为80-与80，则5()a bx-展开式所有项系数之和为（）A．1-B．1 C．32 D．6411．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为162393π+，则圆锥的母线长为（）A．22B．23 C．4 D．23+12．已知关于x的方程22ln20x a x ax--=有唯一解，则实数a的值为（）A．1 B．12C．13D．14第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数3()()xxaf x e xe=+为偶函数，则实数a=___________．14．已知F是抛物线24y x=的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，若4||3MF=，则NMF∠=___________．15．已知实数x、y满足220yx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩，则213log()12yzx-=+-的取值范围是___________．16．如图，已知点D在ABC∆的BC边上，且90DAC∠=︒，6cos3C=，6AB=，6BD=，则sinAD BAD∠=__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且1(3)6n n n S a a =+． （1）求数列的通项公式；（2）设1(1)(2)n n n b a a =-+，12n n T b b b =+++L ，求证：16n T <．18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱） 中，11,2BC CC AC ===，=90ABC ∠︒． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11A B C ；（2）设D 为AC 的中点，求平面1ABC 与平面1C D B 所成锐角的 余弦值．19．（本题满分12分）广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性， 是精神文明建设成果的一个重要指标和象征．2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开 展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20,30） ，[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80] 后得到如图所示的频率分布直图．问：（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40,70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的值；（3）若从年龄在[20,40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30,40）中的人数x 的分布列及 其数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点到直线320x y -+=的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为10． （1）求椭圆C 的方程；（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得过Q 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，且满足2211QA QB+ 为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2()21(f x ax bx e =++为自然对数的底数)． （1）若21=a ，求函数()()x F x f x e =的单调区间；（2）若a e b 21--=，方程()x f x e =在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 的极坐标方程为6cos 2sin ρθθ=+，直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设点(1,2)Q ，直线l 与曲线C 交于,A B ，求||||QA QB g 的值．2016安徽省高三百校大联考（全国Ⅰ卷）理科数学参考答案（1）D 解析：{}|1A y y =>-Q ，{}|12B x x =-<<，A B A ∴=U ，故选D. （2）A 解析：i i)(1i)1i i =1i 22a a a a ------=+Q（，111022a a -+∴++=，解得1a =-.（3）B 解析：根据题意可知函数f(x)为R 上的奇函数且为减函数，A 为偶函数，B 符合题意，C 为偶函数，D 为增函数，故选B. （4）B 解析：20161612016116100010020161622S S a a a a d ++-=-==，1.10d =（5）B 解析：224,62be b +===，双曲线的渐近线方程为x ±3y ＝0，d 1d 2＝|x ＋3y |2×|x －3y |2＝32． （6）C 解析：103)22cos(cos 2=++απα，23cos 2sin cos 10ααα-=，2212tan 33tan 20tan 701tan 10αααα-=⇒+-=+，解得()1tan 73α=-或舍. （7）D 解析：由三视图可知几何体的表面积为2382378.πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=（8）C 解析：设矩形长为x ，宽为y ，则x a ＝a －y a ，y ＝a －x ，S 矩形＝xy ＝x (a －x )≤(x ＋a －x 2)2＝a24，其概率的最大值为(S 矩形)max S △＝12，故选C ．（9）D 解析：由程序框图可得12,1,31,52a n a n a n ==→==→=-= 12,7,92a n a n →==→==→⋅⋅⋅∴a 的取值是以3为周期而变化的，∴2,2017a n ==，故选D.（10）A解析：可行域如图所示，由图可得当y z =+与22(2)4x y -+=的下面部分相切时，z 取得最小值，此时有2，解得z =-，故选A.（11）C 解析：由题意得,23232--=+±a a 解得1a =，∴()2sin()3f x x π=-. 0x z =+∵()()124,f x f x ⋅=-∴11221252,2,,66x k x k k Z k Z ππππ=-+=+∈∈，∴12122|||2()|3x x k k ππ+=++，∴12x x +的最小值为23π，故选C.（12）C 解析：'2()360f x x bx =-=，则f(x)的极值点为0,2b ，根据题意可知(0)0,f >再结合条件可得(2)0f b =，即34a b =，()0f x ∴=可转化为323340x bx b -+=.∵2x b =是方程的一个根，∴可解得另一个根为b -.∵0b >，∴12||3b x x -=.又∵142a <<，34a b =，∴112b <<，∴123||3b 32x x <-=<. （13）21-或 解析： ∵55511()()()()a a a y x x y x x y x y y++=+++,2233235510()20C a C a a a a ∴+=+=，∵0a ≠， 220a a ∴+-=，解得2a =-或1.（14）3 解析：由已知可得2||a bb ⋅=r rr ，即4a b ⋅=r r .∵||a b -=r r 2225a a b b -⋅+=r r r r ，解得|| 3.a =r （15解析：不妨设点A 00(,)x y 在第一象限，过A 向准线作垂线，垂足为D ，则根据抛物线定义可得03|||AF |x 2AD ==+，3FB FA =u u u r u u u r Q ，AD 平行x 轴，则可得2||23AD p ==，012x ∴=，代入C 方程可得203y =，所以点A到原点的距离d ==（16解析：设内角A ，B ，C 的对边分别为,a b c ，，则由题意可得6,4c a ==， 根据余弦定理可得22224cos ,b AD AD ADC =+-∠222(624cos ,AD AD ADB =+-∠ ∵ADB ADC π∠=-∠，∴222(6b)28b AD +=+，即2AD ==，当b =时，AD 取最小值，根据余弦定理可求得cos ACB ∠=，∴sin ACB ∠=ABC ∆的面积142S =⨯⨯= （17）解：（Ⅰ）由121n n S S n +-=-可得11n n a S n +=+-，则当2n ≥时，11(1)n n a S n -=+--， 两式相减得121n n a a +=-，∴1121n n a a +-=-，由1a =3可得23a =，则当2n ≥时，211222n n n a ---=⨯=，即121n n a -=+，----------5分∵1a 不满足121n n a -=+，∴13,121,2n n n a n -=⎧=⎨+≥⎩.------------------6分 （Ⅱ）当2n ≥时，11111212n n n a --=<+，------------------8分111123111()1111111141422().1323323212n n n n a a a a ---⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∴++++<+++=+=-<-L L ----------------12分（18）解：（Ⅰ）2⨯2列联表∴2250(1031027)9.98 6.63520303713K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为年龄45岁为分界点对使用微信交流的态度有差异. ---------5分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2,3.22342255369(0),101050C C P X C C ==⋅=⨯=11221123341422225555663412(1),1010101025C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=⨯+⨯=201121123234412222555516643(2),1010101010C C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=⨯+⨯= 201123412255(3)C C C C P X C C ==⋅∴X 的分布列为∴1233025525EX =+++=（19）解：（Ⅰ）∵ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，O 为AC 与BD 的交点，∴O 为BD 的中点，又BDF ∆为等边三角形，∴BD OF ⊥，∵AC ⊂平面ACEF ，OF ⊂平面ACEF ，AC OF O =I ，∴BD ⊥平面ACEF .-------------4分 （Ⅱ）∵AF FC =，O 为AC 的中点，∴AC OF ⊥， ∵BD OF ⊥，∴OF ⊥平面ABCD ， 建立空间直角坐标系O-xyz ，不妨设2AB =∵60,DAB ∠=o ∴(0,1,0)B，(C ,(0,1,0)D -,(0,0A F ，∵AF CE =u u u r u u u r，∴(E -，------------------7分设1111(,,)n x y z =u r 为平面BEC 的法向量，则1100n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，可求得1(1,n =u r ， 同理可求得平面ECD的法向量2n =u u r，∴1212121|cos ,|||5||||n n n n n n ⋅<>==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，∴二面角--B EC D.-------------------12分（20）解：=化简整理可得2215x y +=，∴曲线E 的方程为2215x y +=.-------------4分（Ⅱ）由题意可得'F （－2，0），若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2x =，此时||AB =，'F 到直线2x =的距离为4，'F AB ∆的面积，不满足题意；-----------------6分 ∴根据题意设直线l 的方程为(2)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立2215(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 可得2222(15)202050k x k x k +-+-=，2212122220205,.1515k k x x x x k k -+==++---------------8分则12|||AB x x =-== 设点'F 到直线l 的距离为d，则d =，∴'11||22F ABS d AB ∆=⨯⨯===，解得k =，∴存在直线:20l x --=或20x -=满足题意.---------- --------12分 （21）解：（Ⅰ）由条件可求得切点为(1,3)e a --，'(1)22f e a =--， 由已知可得3(2)2210e a e a ----=---，解得 1.a =- -----------------------4分（Ⅱ）由2()21x f x e ax x =---得()22xf x e ax '=--， 记()22,xg x e ax =--则()20xg x e a '=-<，即()()f x g x '=在11(,)4a --上单调递减， ∵12a <<，1'1()0a f e a --=>，141()2042af e -'-=+-<，∴()22xf x e ax '=--在11(,)4a --存在唯一的011(,)4x a ∈--，使得0()0f x '=， ------7分 且当0x x <时，()0f x '>；当0x x >时，()0f x '<， 即()f x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减， ∴020max 00()()21x f x f x e ax x ==---，由0()0f x '=得0022x eax =+，将其代入前式可得20max 00()()2(1)1f x f x ax a x ==-+-+， ∵12a <<，011(,)4x a ∈--，∴ 220max 01(1)()()(x )1a a f x f x a a a --==--++ ∵11(0,)2a a -∈，∴20max 1139()()()2(1)()144216f x f x a a a =<-⨯-+-⨯-+=-，∵12a <<，∴3915,21616a -<∴015()16f x <.----------------------------12分 （（23）解：（Ⅰ）消去参数ϕ可得1C 的直角坐标方程为2214x y +=，曲线2C 的圆心的直角坐标为(0,3)，∴2C 的直角坐标方程为22(y 3)1x +-=.---------4分（Ⅱ）设(2cos ,sin )M φφ，则2||MC ===∵1sin 1φ-≤≤，∴根据题意可得min max ||211,||415,MN MN =-==+=即||MN 的取值范围是[]1,5.-------------10分2min 2max ||2,||4MC MC ==。