2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(二)文科数学
2021年河北省衡水中学高考(文科)数学第二次联考试卷(全国Ⅱ) (解析版)
2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（文科）（全国Ⅱ）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{3，5}B．{2，4}C．{3，7}D．{2，5}2．已知复数z＝，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……，照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（）A．6B．7C．8D．94．已知向量＝（1，），||＝2，|﹣|＝，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙肯定优秀；丁：乙的说法是错误的．若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（）A．1B．C．D．27．MOD函数是一个求余函数，格式为MOD（M，N），其结果为两个数M，N作除法运算后的余数，例：MOD（36，10）＝6．如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的n＝6，v＝1，则输出的u的值为（）A．1B．2C．3D．48．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△F1PF2的面积为b2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知函数g（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，函数，则（）A．B．C．D．g（x）＝f（2x﹣1）10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中x t为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（）A．B．C．D．11．已知圆C：x2+y2＝1，直线l：x＝2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（）A．B．（0，2）C．（2，1）D．12．已知函数，则不等式的解集是（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}二、填空题（共4小题）.13．已知角α的终边上有一点P（2，3），则cos2α的值为．14．若x，y满足约束条件，则z＝4x+y的最小值为．15．已知直线l：y＝x+b为曲线f（x）＝e x的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC外接圆半径的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知在公比为2的等比数列{a n}中，a2，a3，a4﹣4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和S2n．18．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如表：男性女性总计参与该项老年运动16p x不参与该项老年运动44q y总计6040100从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是．（1）求2×2列联表中p，q，x，y的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2＞k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝AB＝2，，∠ABC ＝60°，且平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M﹣BCD的体积．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段PQ为直径的圆经过点R，且，求直线l的方程．21．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）在区间上，f（x）是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为．（1）求圆C的普通方程及极坐标方程；（2）过点A的直线l与圆C交于M，N两点，当△MCN面积最大时，求直线l的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝x﹣1﹣|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥﹣1的解集；（2）若不等式f（x）＜ax﹣1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{3，5}B．{2，4}C．{3，7}D．{2，5}解：由题意得∁U A＝{2，4，6，8}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}，故选：B．2．已知复数z＝，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：复数，则＝﹣i，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．3．为了弘扬“扶贫济困，人心向善”的传统美德，某校发动师生开展了为山区贫困学生捐款献爱的活动．已知第一天募捐到1000元，第二天募捐到1500元，第三天募捐到2000元，……，照此规律下去，该学校要完成募捐20000元的日标至少需要的天数为（）A．6B．7C．8D．9解：设第n天募捐到a n元，则数列{a n}是以1000为首项，500为公差的等差数列，所以其前n项和S n＝250n（n+3）．因为S7＝17500，S8＝22000，所以至少需要8天可完成募捐目标．故选：C．4．已知向量＝（1，），||＝2，|﹣|＝，则与的夹角为（）A．B．C．D．解：根据题意，设与的夹角为θ，因为，所以，即，向量＝（1，），则||＝，则有，解得，又由0≤θ≤π，则θ＝，故与的夹角为；故选：D．5．甲、乙、丙、丁4人在某次考核中的成绩只有一个人是优秀，他们的对话如下，甲：我不优秀；乙：我认为丁优秀；丙：乙平时成绩较好，乙肯定优秀；丁：乙的说法是错误的．若四人的说法中只有一个是真的，则考核成绩优秀者为（）A．甲B．乙C．丙D．丁解：假设甲优秀，则甲、乙、丙说法错误，丁说法正确，满足题设要求；假设乙优秀，则乙说法错误，甲、丙、丁说法正确，不满足题设要求；假设丙优秀，则乙、丙说法错误，甲、丁说法正确，不满足题设要求；假设丁优秀，则丙、丁说法错误，甲、乙说法正确，不满足题设要求．综上所述，优秀者为甲．故选：A．6．卡西尼卵形线是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．在数学史上，同一平面内到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知卡西尼卵形线是中心对称图形且有唯一的对称中心．若某卡西尼卵形线C两焦点间的距离为2，且C上的点到两焦点的距离之积为1，则C上的点到其对称中心距离的最大值为（）A．1B．C．D．2解：设左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2的中点为坐标原点，F1，F2所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则F1（﹣1，0），F2（1，0）．设曲线上任意一点P（x，y），则，化简得该卡西尼卵形线的方程为（x2+y2）2＝2（x2﹣y2），显然其对称中心为（0，0）．由（x2+y2）2＝2（x2﹣y2）得（x2+y2）2﹣2（x2+y2）＝﹣4y2≤0，所以（x2+y2）2≤2（x2+y2），所以0≤x2+y2≤2，所以．当且仅当时等号成立，所以该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大值为．故选：B．7．MOD函数是一个求余函数，格式为MOD（M，N），其结果为两个数M，N作除法运算后的余数，例：MOD（36，10）＝6．如图，该程序框图给出了一个求余的实例．若输入的n＝6，v＝1，则输出的u的值为（）A．1B．2C．3D．4解：模拟程序的运行，可得：当i＝1时，v＝1；当i＝2时，v＝2；当i＝3时，v＝4；…当i＝7时，v＝64，所以u＝MOD（64，7）＝1．故选：A．8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，若过点F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△F1PF2的面积为b2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：双曲线的渐近线方程为，在△OPF2中，，所以a＝b，离心率．故选：D．9．已知函数g（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，函数，则（）A．B．C．D．g（x）＝f（2x﹣1）解：由题中图象可得T＝4，所以ω＝＝＝，又函数图象过原点（0，0），所以sinφ＝0，又|φ|＜π，所以φ＝0，所以，由的图象得g（x）的图象，只需将f（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得．故选：C．10．中医药在抗击新冠肺炎疫情中发挥了重要作用，但由于中药材长期的过度开采，本来蕴藏丰富的中药材量在不断减少．研究发现，t期中药材资源的再生量，其中x t为t期中药材资源的存量，r，N为正常数，而t期中药资源的利用量与存量的比为采挖强度．当t期的再生量达到最大，且利用量等于最大再生量时，中药材资源的采挖强度为（）A．B．C．D．解：由题意得，所以当时，f（x t）有最大值，所以当利用量与最大再生量相同时，采挖强度为，故选：A．11．已知圆C：x2+y2＝1，直线l：x＝2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（）A．B．（0，2）C．（2，1）D．解：根据题意，因为P为直线l上的动点，设P（2，t），圆C：x2+y2＝1，其圆心C的坐标为（0，0），半径为1，以线段PC为直径的圆N的方程为x2+y2﹣2x﹣ty＝0，则有，联立可得2x+ty﹣1＝0，即两圆公共弦AB的方程为2x+ty﹣1＝0，即ty＝2（x﹣），所以直线AB过定点．故选：A．12．已知函数，则不等式的解集是（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}解：构造函数．因为g（﹣x）＝ln（+3x）+sin（﹣x）+x＝ln﹣sin x+x＝﹣ln（﹣3x）﹣sin x﹣x＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数，因为，（sin x﹣x）'＝cos x﹣1≤0，所以g（x）在区间（0，+∞）上是减函数．因为g（x）是奇函数且g（0）＝0，所以g（x）在R上是减函数．不等式等价于，即，所以，解得﹣1＜x＜1，即不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角α的终边上有一点P（2，3），则cos2α的值为．解：由题意得，则．故答案为：．14．若x，y满足约束条件，则z＝4x+y的最小值为．解：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，联立，解得交点为时，由z＝4x+y，得y＝﹣4x+z，由图可知，当直线y＝﹣4x+z过点时，z取最小值，，故答案为：．15．已知直线l：y＝x+b为曲线f（x）＝e x的切线，若直线l与曲线也相切，则实数m的值为4或﹣2．解：设直线l：y＝x+b与曲线f（x）＝e x相切于点，由，得x0＝0，所以切点坐标为（0，1），所以直线l的方程为y＝x+1．又由直线l与曲线g（x）相切，得，化简得x2﹣2（m﹣1）x+9＝0，△＝4（m﹣1）2﹣36＝0，解得m＝4或m＝﹣2．故答案为：4或﹣2．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC外接圆半径的最小值为．解：由，得，即，所以由正弦定理得，所以，所以，设△ABC外接圆半径为R，因此，所以，即外接圆半径的最小值为．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知在公比为2的等比数列{a n}中，a2，a3，a4﹣4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前2n项和S2n．解：（1）因为数列{a n}的公比q为2，所以a2＝2a1，a3＝4a1，a4﹣4＝8a1﹣4．因为a2，a3，a4﹣4成等差数列，所以2a3＝a2+a4﹣4,即8a1＝2a1+8a1﹣4，解得a1＝2，所以；（2）由（1）可得b n＝＝，所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S2n＝（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）＝（6+16+…+10n﹣4）+（2+4+…+2n）＝＝5n2+n+2n+1﹣2＝2n+1+5n2+n﹣2．18．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查．得到的数据如表：男性女性总计参与该项老年运动16p x不参与该项老年运动44q y 总计6040100从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是．（1）求2×2列联表中p，q，x，y的值；（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2＞k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（1）由题意得，解得p＝8，所以q＝40﹣8＝32，所以x＝16+8＝24，y＝44+32＝76；（2）由列联表中的数据可得K2的观测值，所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关；（3）由（1）得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人，所以抽样比，因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性人，记为A1，A2，A3，A4，女性人，记为B1，B2，从这6人中抽取2人的所有方式为（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种情况，其中符合题目要求的是6种情况，所以抽取的全是男性的概率为．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝AB＝2，，∠ABC ＝60°，且平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若M是PC上一点，且BM⊥PC，求三棱锥M﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC．∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAC．∵PA⊂平面PAC，∵PA⊥BD．又∵，∴PA2+AB2＝PB2，得PA⊥AB．又∵AB，BD⊂平面ABCD，AB∩BD＝B，PA⊥平面ABCD；（2）解：由（1）得PA⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，可得△PBC为等腰三角形．在△PBC中，由余弦定理得．∵BM⊥PC，∴，则．可得，又，∴．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段PQ为直径的圆经过点R，且，求直线l的方程．解：（1）由椭圆E的方程可得A（﹣a，0），B（a，0）．设M（x0，y0），则N（x0，﹣y0），所以．．又点M（x0，y0）在椭圆E上，所以，所以，所以，所以椭圆E的离心率．（2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E的标准方程为．设直线l的方程为y＝x+m，R（0，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为S （x S，y S），联立消去y，得5x2+8mx+4m2﹣4＝0，则△＝64m2﹣20（4m2﹣4）＝16（5﹣m2）＞0，解得m2＜5，所以，所以，所以,由，得RS⊥PQ，所以，解得,又因为以线段PQ为直径的圆过点R，所以PR⊥QR，所以．又y1＝x1+m，y2＝x2+m，代入上式整理得，即，解得m＝±1．所以直线l的方程为y＝x±1．21．已知函数．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）在区间上，f（x）是否存在最大值与最小值？若存在，求出最大值与最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），（1分）则．令f'（x）＝0，得．因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0．当x在定义域上变化时，f'（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，x1）x1（x1，0）（0，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+0﹣﹣0+f（x）↗极大值↘↘极小值↗所以函数y＝f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）令，得x＝a，则a是函数f（x）的唯一零点．因为，所以0＜a＜x2，所以．当0＜x＜a时，f（x）＞0；当x＞a时，f（x）＜0．由（1）可知函数f（x）在区间上单调递减，在区间（x2，+∞）上单调递增，所以f（x）在区间上的最大值为，最小值为，其中．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为．（1）求圆C的普通方程及极坐标方程；（2）过点A的直线l与圆C交于M，N两点，当△MCN面积最大时，求直线l的直角坐标方程．解：（1）圆C的参数方程为（α为参数），由cos2α+sin2α＝1，可得圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝8，由x＝ρcosθ，x2+y2＝ρ2，可得极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝4．（2）的直角坐标为A（4，4），圆C（x﹣2）2+y2＝8的圆心为（2，0），半径为2，，当∠MCN＝90°时，面积最大，此时，圆心C到直线l的距离．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣4＝k（x﹣4），即kx﹣y+4﹣4k＝0，圆心C到直线l的距离，解得，即3x﹣4y+4＝0．综上，直线l的方程为x＝4或3x﹣4y+4＝0．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝x﹣1﹣|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥﹣1的解集；（2）若不等式f（x）＜ax﹣1恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）由题意得f（x）＝x﹣1﹣|2x﹣1|＝,当时，令﹣x≥﹣1，解得；当时，令3x﹣2≥﹣1，解得．综上所述，f（x）≥﹣1的解集为．（2）由（1）得f(x)＝,当，﹣x＜ax﹣1，即（a+1）x﹣1＞0，此时，应有，解得a＞1；当时，3x﹣2＜ax﹣1，即（a﹣3）x+1＞0，此时，应有，解得1≤a≤3．综上所述，实数a的取值范围是（1，3]．。
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷(二十)数学(文科)试题
2021届河北衡水金卷新高考模拟试卷（二十）数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U =R ，集合{}(4)(1)0A x x x =-+≥，则UA（ ）A. (1,4]-B. [1,4)-C. (1,4)-D. [1,4]-【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式求解可得集合A,求其补集即可. 【详解】因为(4)(1)0x x -+≥， 所以1x ≤-或4x ≥， 即{|1A x x =≤-或4}x ≥，所以(1,4)UA =-，故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的补集运算，属于容易题.2.复数1z 在复平面内对应的点为(2,3)，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）A.85B. 85-C.85i D. 85i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应的点知123z i =+，利用复数的除法法则计算12z z ，即可求解. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为(2,3)， 所以123z i =+，则122+3(23)(2)18182(2)(2)555z i i i i i z i i i +----====---+-+--， 所以复数的虚部为85-. 故选：B【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，复数的除法运算，复数的虚部，属于容易题. 3.在ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 满足12BD DC =，则AD =（ ） A.1233+b c B.2133b c + C. 4133b c - D. 1122b c +【答案】A 【解析】 【分析】由条件即得()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+. 【详解】12BD DC =，13BD BC ∴=，故有()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+. 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性表示，向量的加减运算，是基础题.4.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为1V ，2V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为1S 、2S ，则“1S 、2S 不总相等”是“1V ，2V 不相等”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先得到命题：如果“1S 、2S 不总相等”，那么“1V ，2V 不相等”的等价命题：命题：如果“1V ，2V 相等”，那么“1S 、2S 总相等”，然后根据祖暅原理结合充分，必要条件的定义判断.【详解】命题：如果“1S 、2S 不总相等”，那么“1V ，2V 不相等”的等价命题是： 命题：如果“1V ，2V 相等”，那么“1S 、2S 总相等”，根据祖暅原理，当两个截面的面积1S 、2S 总相等时，这两个几何体的体积1V ，2V 相等， 所以逆命题为真，则是必要条件，当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故不充分， 所以“1S 、2S 不总相等”是“1V ，2V 不相等”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及等价命题，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 5.鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为A. 334000mmB. 333000mmC. 332000mmD. 330000mm【答案】C 【解析】 【分析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积． 【详解】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V ＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm 3）．故选C ．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．6.在正项等比数列{}n a 中，2224159002a a a a +=-，649a a =，则2020a 的个位数字是（ ）A. 1B. 7C. 3D. 9【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得1524a a a a =，根据条件求得2430a a +=，又由539a a =，利用等比数列的通项公式求出基本量1a 和q ，即可求出n a ，再对等比数列各项个位数进行分析推理，从而得出2020a 的个位数字. 【详解】解：根据题意，由等比数列的性质可得1524a a a a =，因为2224159002a a a a +=-，所以2224249002a a a a +=-， 所以2222424242()900a a a a a a ++=+=，又因为{}n a 为正项等比数列，则0n a >，0q >， 所以2430a a +=，又由于649a a =，则3115311309a q a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，即()2121309a q q q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得：11,3==a q ， 故13-=n n a ，可知234123451,3,39,327,381a a a a a ========可得n a 的个位数以4为周期不断循环，所以20192019450434504202013(3)3(3)27a a q===⨯=⨯， 所以2020a 的个位数字是7. 故选：B .【点睛】本题考查等比数列的性质和等比数列的通项公式，考查推理与运算能力，属于基础题.7.关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰试验.受其启发,我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值,试验步骤如下：①先请高三年级1000名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(,)(01,01)x y x y <<<<； ②若卡片上的x ,y 能与1构成锐角三角形,则将此卡片上交；③统计上交的卡片数,记为m；④根据统计数m估计π的值.假如本次试验的统计结果是218m=,那么可以估计π的值约为（）A. 389124B.391124C.389125D.391125【答案】D【解析】【分析】根据x,y能与1构成锐角三角形可求得,x y满足的不等式,进而利用几何概型的方法列式求解π即可. 【详解】因为实数对(,)(01,01)x y x y<<<<与1构成锐角三角形,设边长为1的边对应的角度为θ,则2221cos02x yxyθ+-=>,即221x y+>.根据几何概型的方法可知22112184110001π⨯=-,故218782411003025091125π⎛⎫=⨯-==⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查了随机模拟法与几何概型求解圆周率值的问题,需要根据题意确定,x y满足的不等式,再根据面积的比列式化简求解.属于中档题.8.已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线过点(3,2)，且双曲线的一个焦点在抛物线27y x=的准线上，则双曲线的方程为（）A.2212128x y-= B.2212821x y-= C.22134x y-= D.22143x y-=【答案】C【解析】【分析】由题意可得渐近线的斜率，即为,a b的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c，由a b c，，的关系，解方程可得,a b 进而得到所求双曲线的方程．【详解】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(2)，可得渐近线的斜率为b k a =-=双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线x =可得c =即227a b +=，解得2b =，a =则双曲线的方程为：22134x y -=． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解题的关键，属于基础题．9.已知三棱锥A-BCD 的四个顶点都在球O 的表面上，且AB BC ⊥，AB CD ⊥，2BCD 3π∠=，若2BC CD ==，AB =O 的表面积为（ ）A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π【答案】C 【解析】 【分析】先确定三角形BCD 外接圆半径，再解方程得外接球半径，最后根据球表面积公式得结果. 【详解】因为AB BC ⊥，AB CD ⊥，所以AB ⊥面BCD 因为2BC CD ==，2BCD 3π∠=所以22212cos 44222122BD BC CD BC CD BCD ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,即BD =因此三角形BCD 外接圆半径为122sin BDBCD=∠,设外接球半径R ，则222224374282AB R S R ππ⎛⎫=+=+=∴== ⎪⎝⎭.【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 10.将函数4sin()(0)3y x πωω=->的图像分别向左、向右各平移6π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为（ ） A. 3 B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】根据平移后的两个图象对称轴重合，求得ω的表达式，进而求得ω的最小值. 【详解】由于函数4sin()(0)3y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移6π个单位长度后分别得到4sin 63x ππω⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦和4sin 63x ππω⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即4sin 63x ππωω⎛⎫+- ⎪⎝⎭和4sin 63x ππωω⎛⎫-- ⎪⎝⎭.依题意平移后两个图象对称轴重合，所以()26k k Z πωπ⨯=∈，即3k ω=，由于0,k Z ω>∈，所以当1k =时ω取得最小值为3. 故选：A【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数的图象与性质，属于基础题.11.已知函数()y f x =满足(1)(1)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，则方程()lg f x x =实根共有（ ） A. 10个B. 9个C. 18个D. 20个【解析】 【分析】由题意，()y f x =为周期2的偶函数，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图的交点的个数，得到答案．【详解】函数()()y f x x R =∈满足：()()f x 2f x +=，()f x ∴是周期为2的周期函数， 当[]x 1,1∈-时，()2f x x =，∴作出()y f x =和()lg f x x =两个函数的图象，lg101=,lg91,lg111∴<>，11x ≥时，无交点.如图所示，结合图象，得方程()lg f x x =的解的个数为20个． 故选D ．【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中得到函数()y f x =是周期为2的函数，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，把方程解得个数转化为图象的交点的个数是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用．12.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22223:4b x y C +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ） A. 3(0,3B. 2(0,2C. 22D. 3[,1)3【答案】A 【解析】画出图象，根据图像判断出2232b a >，由此求得离心率的取值范围，进而求得离心率的最小值.【详解】由题意，如图，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直， ，则只需090APB ∠>，即045APO α=∠>，0322sin sin 452ba α=>=，即2232b a >，因为222a b c =+解得：223a c >.∴213e <，即33e <，而01e <<，∴303e <<，即30,3e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∈. 故选：A【点睛】本小题主要考查椭圆离心率最值的求法，考查圆的切线的几何性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知函数3()1f x ax x =++的图像在点(1, (1))f 处的切线过点（2，11），则a =____． 【答案】2 【解析】 【分析】求出函数的导数2()31f x ax '=+，(1)31f a '=+，而(1)2f a =+,根据点斜式得到直线方程，利用切线的方程经过的点求解即可．【详解】函数3()1f x ax x =++的导数为：2()31f x ax '=+，(1)31f a '=+，而(1)2f a =+，切线方程为：()()2311y a a x --=+-，因为切线方程经过（2，11），所以()()1123121a a --=+-解得2a =．故答案为：2.【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.14.若实数x ，y 满足约束条件1330y xx y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则5z x y =+的最小值为______．【答案】3【解析】【分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y xx y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A （12,12），由5z x y =+得5y x z =-+，平移5y x =-，易知过点A 时直线在y 上截距最小，此时，产生5Min y x z =-+所以5Min z x y =+的最小值为115322Min z =⨯+=． 故答案为：3【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．15.设函数22()4x x f x e e x -=--，则不等式2()(56)f x f x +--<0的解集是_______．（用区间表示）【答案】(1,6)-【解析】【分析】可判断出函数()f x 为奇函数，且函数()f x 为增函数，从而可解不等式.【详解】函数22()4x x f x e e x -=--，()2222()4=4()x x x x f x e e x e e x f x ---=-+---=- 所以函数()f x 为奇函数.又()()22222()224=22=20x x x x x x f x e e e e e e ---'=+-+--≥ 所以()0f x '≥在R 上恒成立，所以函数()f x 在R 上是增函数.不等式2()(56)f x f x +--<0即2()(56)f x f x <+所以256x x <+，解得16x -<<所以不等式的解集是(1,6)-.故答案为：(1,6)-【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.16.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC 边上的高为4a ，则cb bc +的最大值是______．【答案】【解析】【分析】由面积公式可得2sin a A =，再用余弦定理可得22sin 2cos b c A bc A +=+，即)c b A b cϕ+=+≤.【详解】由题，三角形的面积：2211sin sin 242S a bc A a A =⋅=∴= . 由余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=，可得：2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A +=+=+ .所以222cos )c b b c A A A b c bc ϕ++==+=+≤tan =2ϕ. 所以b c c b+的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，将边的关系转化为三角函数是解题的关键，属于较难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.已知数列{}n a 满足：212231n a a a n n n ++⋅⋅⋅+=++()n N +∈． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1n n b a =，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1940n S >的最小正整数n ． 【答案】（Ⅰ）2(1)n a n n =+（Ⅱ）20【解析】 【分析】（Ⅰ）因为212231n a a a n n n ++⋯+=++，所以2112(1)123n a a a n n n -++⋯+=-+-，两式作差，并进行整理即可得解；（Ⅱ）求出数列{}n b 的通项公式，通过裂项相消法进行求和，解不等式即可得到答案. 【详解】（Ⅰ）212231n a a a n n n ++⋯+=++① ∴当1n =时，可得14a =，当2n ≥时，2112(1)123n a a a n n n-++⋯+=-+-，②①-②可得：(21)121n a n n n =-+=+， 2(1)n a n n ∴=+，1n =时也满足，2(1)n a n n ∴=+. （Ⅱ）111112(1)21n n b a n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭1111111111122223121n S n n n ⎛⎛⎫∴=-++-+⋯+-=- ⎪ ++⎝⎭⎝， 又1940n S >，111912140n ⎛⎫-> ⎪+⎝⎭，解得19n >， 所以满足1940n S >的最小正整数n 为20. 【点睛】本题主要考查通项公式的求法及裂项相消法求和的应用，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.当数列出现前后项差的时候，可考虑裂项相消求和法.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点. 18.在直角梯形ABCD 中（如图1），//AB DC ，90BAD ∠=︒，5AB =，2AD =，3CD =，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图2），G 为AE 中点．（Ⅰ）求四棱锥D ABCE -的体积；（Ⅱ）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面ADE ？若存在，求BP BD 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）2245【解析】【分析】（Ⅰ）根据平面与平面垂直的性质定理得到DG ⊥平面ABCE ，再根据椎体的体积公式计算可得结果； （Ⅱ）过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，可证得平面//CFP平面ADE ，再根据平面与平面平行的性质可得//CP 平面ADE ，最后根据平面几何知识可求得比值.【详解】（Ⅰ）证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==，所以DG AE ⊥．因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ，所以DG ⊥平面ABCE ．在直角三角形ADE 中，易求22AE =， 则2AD DE DG AE⋅==， 所以四棱锥D ABCE -的体积1(15)222232D ABCE V -+⨯=⨯⨯=． （Ⅱ）在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BP BD =， 过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，如图所示：因为//CF AE ，AE ⊂平面ADE ．CF ⊄平面ADE ，所以//CF 平面ADE ，同理//FP 平面ADE ，又因为CF PF F ⋂=，所以平面//CFP 平面ADE ．因为CP ⊂平面CFP ，所以//CP 平面ADE ．所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE ．因为四边形AECF 为平行四边形．所以1AF CE ==，即4BF =，故45BP BF BD AB ==. 所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE 且45BD =. 【点睛】本题考查了平面与平面垂直的性质定理、平面与平面平行的判定与性质，考查了椎体的体积公式，属于中档题.19.某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元：方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]25,35,35,45,45,55,55,65,65,75,75,85,85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；（Ⅱ）若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案（1），丁、戊选择了日工资方案（2）．现从上述5名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（2）的概率；（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）【答案】（Ⅰ）0.4；（II ）710（Ⅲ）选择方案（1），理由见解析 【解析】【分析】 （Ⅰ）将[)[)[]65,75,75,85,85,95这三组的频率求出，再相加即可得到答案；（Ⅱ）利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果；（Ⅲ）利用频率分布直方图计算出快递公司人均日快递量的平均数，根据平均数计算出两种方案下骑手的人均日收入，比较可得结果.【详解】（Ⅰ）设事件A 为“随机选取一天．这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单” 依题意，快递公司的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2、0.15、0.05，因为0.20.150.050.4++=，所以()P A 估计为0.4．（Ⅱ）设事件B 为“从五名骑手中随机选取2人．至少有1名骑手选择方案（2）”从五名骑手中随机选取2名骑手，有10种情况，即{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丙}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}其中至少有1名骑手选择方案（2）的情况为{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}共7种情况，所以7()10P B =． （Ⅲ）快递公司人均日快递量的平均数是：300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此，方案（1）日工资约为50623236+⨯=元，方案（2）日工资约为()10062445190+-⨯=元236<元，故骑手应选择方案（1）.【点睛】本题考查了利用频率分布直方图计算频率、平均数，考查了古典概型的概率公式，属于基础题. 20.设函数2()ln f x x ax x =-+．（Ⅰ）若当1x =时()f x 取得极值，求a 的值及()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：2121()()42f x f x a x x a ---＞． 【答案】（Ⅰ）3a =．单调增区间为1(0,),(1,)2+∞，单调减区间为1(,1)2．（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（1）求导数'()f x ，由题意可知1x =为方程()0f x '=的根，求解a 值，再令导数()0f x '>，()0f x '<，分别求解单调增区间与单调减区间，即可.（2）函数()f x 存在两个极值点，等价于方程()0f x '=即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根，则>0∆，即可，再将()()2121f x f x x x --变形整理为2121ln ln 2x x a x x --+-；若证明不等式()()212142f x f x a x x a >---，则需证明2121ln ln 4x x x x a ->-，由1202a x x +=>变形为212121ln ln 2x x x x x x ->-+，不妨设210x x >>，即证2212111ln 21x x x x x x ->+，令211x t x =>，则()()21ln 1t h t t t -=-+，求函数()h t 的取值范围，即可证明.【详解】（Ⅰ）2121()2,(0)x ax f x x a x x x-+'=-+=> ∵1x =时，()f x 取得极值，∴()10f '=，3a =． ∴2231(21)(1)()x x x x f x x x-+--'== 由()0f x '>得102x <<或1x >， 由()0f x '<得112x << ∴()f x 的单调增区间为1(0,)2和(1,)+∞，单调减区间为1(,1)2． （Ⅱ）221(),(0)x ax f x x x-+'=> ∵()f x 存在两个极值点，∴方程()f x '即2210x ax -+=在(0,)+∞上有两个不等实根∴280a ∆=->且1212a x x +=>， ()()22212221112121ln ln f x f x x ax x x ax x x x x x --+-+-=-- 2121212121ln ln ln ln 2x x x x a x x a x x x x --=+-+=-+-- ∴所证不等式2121()()42f x f x a x x a ->--等价于2121ln ln 4x x x x a ->- 即变形为212121ln ln 2x x x x x x ->-+ 不妨设210x x >>，即变形为2212111ln 21x x x x x x ->+令211x t x =>，2212111ln 21x x x x x x ->+变形为2(1)ln 01t t t -->+， 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+ 则22214(1)'()0(1)(1)t h t t t t t -=-=>++， ∴()h t 在(1,)+∞上递增．∴()()10h t h >=， ∴2212111ln 21x x x x x x ->+成立， ∴2121()()42f x f x a x x a ->--成立． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及根据极值求参数取值范围，证明不等式.属于难题. 21.已知圆22(2):4F x y -+=，动点()(),0Q x y x ≥，线段QF 与圆F 相交于点P ，线段PQ 的长度与点Q 到y 轴的距离相等．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）过点()2,4A 作两条互相垂直的直线与W 的交点分别是M 和N （M 在N 的上方，A ，M ，N 为不同的三点），求向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围．【答案】（Ⅰ）28y x =（Ⅱ）(16,)+∞【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得点Q 的轨迹满足抛物线的定义，确定定点及定直线即可求得轨迹方程；（Ⅱ）设出直线AM 的方程，与抛物线方程联立得关于y 的一元二次方程，利用韦达定理可得184y m =-，由AM AN ⊥可得284y m =--，利用对勾函数的单调性可求得向量NM 在y 轴正方向上的投影1218()y y m m-=+的范围.【详解】（Ⅰ）由题知点Q 到F 的距离QF 等于Q 到y 轴的距离加2 所以QF 等于Q 到直线2x =-的距离，由抛物线的定义可知：点Q 的轨迹W 是以(2,0)F 为焦点，2x =-为准线的抛物线，所以动点Q 的轨迹W 的方程为28y x =．（Ⅱ）设直线AM 的方程为()()420x m y m =-+>，与28y x =联立，得 2832160y my m -+-=，则2644(3216)0m m ∆=-⨯->，即2210m m -+>，∵0m >，∴01m <<或1m ，设()()1122,,,M x y N x y ，则148y m +=，即184y m =-，AM AN ⊥，∴直线AN 的方程为()()1420x y m m =--+>，则284y m=--， 则向量NM 在y 轴正方向上的投影为1218()y y m m-=+ 因为函数1()8()f m m m=+在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以()()116f m f >=，即1218()(16,)y y m m -=+∈+∞， 向量NM 在y 轴正方向上的投影的取值范围为(16,)+∞.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求动点的轨迹、直线与抛物线的综合应用、韦达定理，涉及向量的投影、对勾函数的单调性，属于中档题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22312sin ρθ. （1）求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设A 、B 为曲线2C 上位于第一，二象限的两个动点，且2AOB π∠=，射线OA ，OB 交曲线1C 分别于点D ，C .求AOB 面积的最小值，并求此时四边形ABCD 的面积. 【答案】（1）1C ：sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C ：2213x y +=.（2）AOB 面积的最小值：34，四边形ABCD 的面积为：294. 【解析】【分析】（1）将曲线1C 消去参数即可得到1C 的普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的极坐标方程即可；（2）由（1）得曲线1C 的极坐标方程，设1,()A ρθ，2(,)2B πρθ+，3(,)D ρθ，4(,)2C πρθ+利用方程可得22121143p ρ+=，再利用基本不等式得121324AOB S ρρ=≥△，根据题意知ABCD COD AOB S S S =-△△，进而可得四边形ABCD 的面积.【详解】（1）由曲线1C的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）消去参数得40x +-=即曲线1C的极坐标方程为：cos sin 40ρθθ+-=，化简为：sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2C 的极坐标方程为22312sin ρθ 可得22(12sin )3ρθ+=，根据极坐标与直角坐标的互化公式：222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩故：2233x y +=， 曲线2C 的直角坐标方程：2213x y +=.（2）设()()1231,,,,,,,22A B D C ππρθρθρθρθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2C ：2213x y += ∴222211cos sin 13ρθρθ+=，222222sin cos 13ρθρθ+=， 故22121143p ρ+= 根据均值不等式可得：22121221143ρρρρ≤+=， 当且仅当12ρρ=（即4πθ=）时取“=”.121324AOB S ρρ=≥△， 此时3411224822cos sin cos 34646COD S ρρπππππ==⋅⋅==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故所求四边形的面积为329844ABCD COD AOB S S S =--==△△. 【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知a ，b ，c 均为正实数，函数222111()4f x x x a b c=+-++的最小值为1.证明： （1）22249a b c ++≥；（2）111122ab bc ac++≤. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）先分析得到22211114a b c ++=，再利用柯西不等式证明22249a b c ++≥；（2）将三个不等式22221121114a b ab b c bc +≥+≥，，221114a cac +≥相加即得证.【详解】证明（1）∵,,0a b c >， ∴222111()||||4x x x a f c b=+++- 222222111111|()|44x x c b a a b c≥+--+=++ ∴22211114a b c ++=. 由柯西不等式得2222222111(4)()(111)94a b c a b c++++≥++=当且仅当2a b c ===时取“=”∴22249a b c ++≥.（2）∵22221121114a b ab b c bc +≥+≥，，221114a c ac+≥，（以上三式当且仅当2a b c ===时同时取“=”） 将以上三式相加得2222111112()24ab bc ac a b c++≤++=. 所以111122ab bc ac ++≤. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式和柯西不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
【新高考】2021届河北省衡水中学高三二调数学试题(解析版)
8 5
，
a1 0, d 1时， S4 0 1 2 3 6 ，
a1 8, d 5 时， S4 8 (3) 2 7 2 ．
故选：C． 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式基本量的计算以及等差数列前 n 项和公式，属于基础题.
5.
已知
sin
3
3 3
，则
cos
2
3
（
）
A. 3 3
理解掌握水平.
7. 已知 min{m, n}表示实数 m，n 中的较小数，若函数 f (x) min 3 log 1 x, log2 x ，当 0 a b 时，
4
有 f a f b ，则 a b 的值为（ ）
A. 6
B. 8
C. 9
D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】
首先画出函数 f x 的图象，由图象确定当有 f a f b 时，即 log2 a log1 b 3 ，再根据对数运算公 4
的图象，属于中档题型.
8. 设 Sn 为数列
an
的前
n
项和， Sn
(1)n an
1 2n
,n N*
，则
S1
S2
S100
（
）
A.
1 3
1 2
100
1
B.
1 3
1 2
98
1
C.
1 3
1 2
50
1
D.
1 3
1 2
49
1
【答案】A 【解析】
【分析】
由递推式求出数列的首项,当
n
2
时分 n
B. 6 3
1
C.
3
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(二十)文科数学
2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分）1.已知集合223{()|}Ax y x y x N y Z ≤∈∈＝，＋，，，则A 中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6【答案】D 【解析】 【分析】根据223x y ≤＋知这个是一个圆,再根据x N y Z ∈∈，找到圆内满足条件的点即可.【详解】解：223{()|}A x y x y x N y Z ≤∈∈＝，＋，，,223x y ≤＋表示平面内圆心为(0,0),半径r =,又因为x N y Z ∈∈，,依题意画图,可得集合A 中元素的个数为6．故选：D【点睛】本题考查集合元素的个数,要知道集合是一个点集. 2.若a,b∈R，则a ＞b ＞0是a 2＞b 2的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】根据不等式的性质， 由a ＞b ＞0可推出a 2＞b 2；但，由a 2＞b 2无法推出a ＞b ＞0，如a=-2,b=1， 即a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充分不必要条件， 故选A. 3.设121iz i i-=++（i 是虚数单位），则z =（ ） A. 0 B.12C. 12【答案】C 【解析】 【分析】先进行复数的商的运算,再进行加法运算,最后用求模公式求解.【详解】解：复数()()()21122111i iz i i i i i --=+=+++- 2222ii i i i -=+=-+=1z ==故选:C【点睛】本题考查复数的模的求法,考查计算能力. 4.在平面直角坐标系中，向量(1,2)a =，(2,1)a b -=，(,)cx y ，若()2a b c +，()a cb +⊥，则x y +＝（ ） A.12B.32C. 32-D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】先求出向量b 的坐标表示,再求出2a b +,a c +的坐标表示,再根据向量平行、垂直运算性质进行运算求出,x y 即可.【详解】解：(1,2)a =,(2,1)a b -=,(,)cx y()(1,1)b a a b ∴=--=-2(1,5)a b ∴+=,(1,2)a c x y +=++又因为()2a bc +,()a cb +⊥,则50(1)(1)(2)10x y x y -=⎧⎨+⨯-++⨯=⎩解得：1454x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩153442x y ∴+=--=-故选：C【点睛】本题考查向量平行、垂直的坐标运算,属于基础题.5.已知数列{}n a 满足： *11(2)n n n a a a n n N +≥∈－＝－，， 1212a a ＝，＝，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2019S =（ ）A. 3B. 4.C. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式*11(2)n n n a a a n n N ≥∈＋－＝－，列举出3a 到7a ,得出数列{}n a 的周期为6,所以可以求出2019S . 【详解】解：1212a a ＝，＝,*11(2)n n n a a a n n N ≥∈＋－＝－，根据递推公式有：321211a a a =-=＝－432121a a a =-=-＝－ 543112a a a =--=-＝－ 6542(1)1a a a =---=-＝－ 7651(2)1a a a =---=＝－所以数列{}n a 的周期为6.2019123456123336()S a a a a a a a a a =++++++++336(121121)1214=⨯++---+++=故20194S =. 故选：B【点睛】本题考查数列递推公式的应用以及周期数列的前n 项和. 6.为了得到函数2sin(2)3y x π=-的图像,可以将函数2sin 2y x =的图像（ ）A. 向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度C. 向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意，令，解得， 由图像平移知，需要将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像；故答案为A.考点：函数图像平移法则的应用. 7.函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-的简图是A. B. C.D.【答案】A 【解析】 【详解】将6x π=代入到函数解析式中得0y =，可排除C ，D;将x=π代入到函数解析式中求出函数值为3负数，可排除B ，故选A ． 8.已知函数()22f x ax x a =-+，对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],0-∞ B. 4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞D. []1,0-【答案】B 【解析】【分析】由题意函数对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤, 可以分离出函数中的参数,转化为 ()212xa x ≤+,只需()2min21xa x ⎡⎤⎢⎥≤⎢⎥⎣⎦+即可,所以转化为导数的极值来解题. 【详解】解：函数()22f x ax x a =-+,对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤, 当[]1,2x ∈时,()0f x ≤即220ax x a -+≤, 即为()221a x x +≤ 可化为()212x a x ≤+令()22()1xg x x +=,则()()22'22221)22((12(212))x x x x g x x x -++-++==当[]1,2x ∈时,'()0g x <,单调递减.因此()min 2224()(2)152g x g ⨯==+=所以min 4()5a g x ≤=故实数a 的取值范围是4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：B【点睛】对于不等式恒成立问题中求参数的取值范围,先分离出参数,转化为求函数的导数,用导数判断出最值,求出最大值与最小值即可求出参数的范围. 9.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 10.已知函数()f x x =，若对x R ∀∈都有()()1f x f x kx +-≥成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. ()2,1-B. []2,1-C. []1,1-D.(][),21,-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得,x R ∀∈都有()()1f x f x +-的图象在y kx =的上方,将题目转化为函数图象来解决.【详解】解：因为()f x x =,x R ∀∈都有()()1f x f x kx +-≥, 则可x R ∀∈都有()()1f x f x +-图象在y kx =的上方.()()11x f x x f x +-=+-()()21,011,0121,1x xf x f x xx x-+<⎧⎪+-=≤<⎨⎪-≥⎩依题意画图要使()()1f x f x+-的图象恒在y kx=的上方,则斜率1OAk k≤=,或者2k≥-,实数k的取值范围是[]2,1-.故选：B【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题,可转化为转化为一个图像恒在另一个图像的上方而转为为斜率问题来求解,这类题型考查学生数形结合能力.11.已知函数()()121,11,1x xf xx x⎧-≤=⎨->⎩，如果对任意的n∈N*，定义()()()11n nf x f f x+=，那么()20202019f=（）A. 0B. 1C. 2D. 2020 【答案】C【解析】【分析】利用分段函数的性质,先代入()12019f,然后得出数值之后代入()22019f,得出规律,则可求出()20202019f.【详解】解：()()121,11,1x xf xx x⎧-≤=⎨->⎩,()()()11n nf x f f x+=()12019201912018f∴=-=()22019(2018)2017f f == ()32019(2017)2016f f ==()20172019(3)2f f == ()20182019(2)1f f ==()2019(1)20192(11)0f f ==-= ()2020(0)20192(10)2f f ==-=故选：C【点睛】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质和函数值的规律.12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0]2，上是增函数，则 A. (25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<- C. (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<<【答案】D 【解析】 【分析】由()()4f x f x -=-，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.【详解】因为()f x 满足()()4f x f x -=-，所以()()8f x f x -=， 所以函数()f x 是以8为周期的周期函数，则()()()()()()251,800,113f f f f f f -=-==. 由()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()4f x f x -=-，得()()()()11311f f f f ==--=.因为()f x 在区间[]02，上是增函数，()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()f x 在区间[]22-，上是增函数，所以()()()101f f f -<<，即()()()258011f f f -<<. 【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．二、填空题（每小题5分，共20分） 13.若4cos 5α=-，且α为第三象限角，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______.【答案】 【解析】试题分析：根据同角三角函数的关系算出35sin α==﹣，再利用两角和的正弦公式，即可算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；4cos ,5α=-α是第三象限的角，35sin α∴==﹣，34sin()()()44455sin coscos sinπππααα+=+=-+-=. 考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系14.220{100x y x y y --≤-+≥≤，则32z x y =+的最大值为________．【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求解即可. 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域,如图：（阴影部分ABC ∆）由32z x y =+得3122y x z =-+, 平移直线3122y x z =-+经过点C 时, 直线3122y x z =-+的截距最大, 此时z 最大. 由2200x y y --=⎧⎨=⎩,解得20x y ==⎧⎨⎩,即(2,0)C将C 的坐标带入目标函数32z x y =+, 得32206z =⨯+⨯=, 即32z x y =+的最大值为6. 故答案为：6【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.15.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 【答案】2 【解析】求函数f(x)＝3x －7＋lnx 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<ln e ＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2．16.已知命题0:p x R ∃∈，使0sinx ；命题q x R ∀∈：，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题p q ∧“”是真命题；②命题“”()p q ∧⌝是假命题；③命题“(”)p q ∨﹁是真命题；④命题()”)(“p q ∨﹁﹁是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．【答案】②③ 【解析】 【分析】先判断命题p 和命题q 的真假,再判断p ⌝,q ⌝的真假,最后根据真值表可得出结论.【详解】解： 01sinx =>,所以p 是假命题. 又22310412x x x ⎛⎫++⎪⎝⎭+=+> ,所以q 是真命题.p ⌝是真命题,q ⌝是假命题,故根据真值表可得②③正确.故答案为：②③【点睛】本题考查含简单逻辑连接词的命题的真假性的判断问题. 步骤为：①判断p 和q 的真假,②根据真值表判断复合命题的真假. 三、解答题（17小题10分，18--22小题每小题12分，共70分）17.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是首项为2且单调递增的等比数列，其前n 项和为n T ，2312b b +=，3412b a a =-，()81111112b S T =+. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)设()153n n c a =+，2log n n p b =，求数列11n n c p ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的前n 项和n G ． 【答案】（1）32n a n =-，2nn b =；（2）1n nG n =+ 【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,将条件带入通项公式,解方程即可求出.（2）将{}n a 、{}n b 的通项公式代入()153n n c a =+、2log n n p b =中,得到11n n c p ⎧⎫⨯⎨⎬⎩⎭的通项公式为11111n n c p n n⨯=⨯+,用裂项相消求和. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为()1q q >,由已知得2312b b ＋＝,得211()2b q q ＋＝,而12b =,所以260q q +-= 又因为()1q >,解得2q,所以2n n b =由3412b a a =-,可得138d a -=, 由()81111112b S T =+,可得1516a d += 解得11,3a d ==,由此可得32n a n =-所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-,数列{}n b 的通项公式为2nn b =（2）由（1）得1n c n =+,n p n =,所以11111111n n c p n n n n ⨯=⨯=-++ 所以111111111122334111n n G n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查求等差等比数列的通项公式,设首项和公差、公比,代入已知条件中即可求解.还考查用裂项相消求数列前n 项和,需要熟记公式,灵活求解.18.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()2sin sin sin sin 2Ba C A C A +=. (1)求角B ；(2)若6a c +=，ABC ∆的面积S =求b .【答案】（1）3B π=；（2）b =【解析】 【分析】(1)根据正弦定理的边化角公式和三角形内角和等于π,将已知条件化简为：2sin sin sin sin sin 2BA CBC A =,约分之后再用降幂公式即可求出B 的值. （2）由三角形面积公式可求得ac ,带入余弦定理即可求得b .【详解】（1）因为A B C π++=,0,,A B C π<<, 由已知()2sin sin 23sin sin 2Ba C A C c A += 和正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得： 2sin sin sin 23sin sin sin 2BA CBC A =,又因为sin ,sin ,sin 02BA C ≠,所以2sin 23sin 2B B =,22sin cos 23sin 222B B B =3sincos 22B B =,3tan 2B =,3B π= （2）由面积公式13sin 232S ac B ac ===得8ac =, 由余弦定理()22222cos 312b a c ac B a c ac =+-=+-=,得23b =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.已知四面体ABCD 中AB ⊥面BCD ，BC DC ⊥， BE AD ⊥垂足为E ，E ，F 为,AD CD 中点，2AB BD ==,1CD =（1）求证： AC面BEF ；（2）求点B 到面ACD 的距离． 【答案】（1）见解析；（2）2217【解析】 【分析】（1）证明线面平行,需先证明线线平行,可从三角形的中位线定理证明线线平行,从而再证线面平行.（2）求点到面的距离用等体积法,由A BCD B ACD V V --=,分别算出∆BCD S 、ACD S ∆,建立体积等式关系即可求B 到面ACD 的距离． 【详解】、（1）因为BE AD ⊥,AB BD =所以E 为AD 中点,又因为F 是CD 中点,所以AC EF , 而AC ⊄面BEF ,EF ⊂面BEF ,所以AC 面BEF .（2）由已知得BC =,AD =AC =, 所以三角形ACD为直角三角形其面积ACD S ∆=三角形BCD的面积BCD S ∆=设点B 到面ACD 的距离为h ,因为A BCD B ACD V V --=, 即11233BCD ACD S S h ∆∆⨯=⨯解得7h =, 所以点B 到面ACD的距离为7. 【点睛】（1）线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行,即a b a a b ααα⎫⎪∉⇒⎬⎪∈⎭.（2）用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想,先用简单的方法求出四面体的体积,然后计算出底面三角形的面积,再根据四面体体积公式V=-Sh 求出点到平面的距离h . 20.某班随机抽查了20名学生的数学成绩，分数制成如图的茎叶图，其中A 组学生每天学习数学时间不足1个小时，B 组学生每天学习数学时间达到一个小时。
2021届河北衡水密卷新高三原创预测试卷(二)文科数学
2021届河北衡水密卷新高三原创预测试卷（二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =-或，那么集合()U A C B ⋂=（ ）A. {}|24x x -≤<B. {}|34x x x ≤≥或 C. {}|13x x -≤≤ D. {}|21x x -≤<-【答案】C 【解析】本试题主要是考查了集合的交集和补集的求解运算，是一道基础试题． 已知全集,{|23},,{41}U R A x x B x x x ==-≤≤=<-∴或根据补集的定义结合数轴法可知，{|14}{|13}U U C B x x A C B x x =-≤≤∴⋂=-≤≤故选C.解决该试题的关键是对于数轴法的准确表示和运用． 2.命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为 A. 2,240x R x x ∀∈-+≥ B. 2000,240x R x x ∃∈-+> C. 2,240x R x x ∀∉-+≤ D. 2000,240x R x x ∃∉-+>【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，符合换量词否结论,按照这一规律写出即可.【详解】由全称命题否定的定义可知，“2,240x x x ∀∈-+≤R ”的否定为“2,240x x x ∃∈-+>R ”，故选B ．【点睛】一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．注意：命题的否定只否定结论，而否命题是条件与结论都否定． 3.“函数f （x ）＝－x 2＋2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是（ ） A. 23m ≤<B.1522m ≤≤ C. 13m ≤< D.522m ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】首先求区间[]1,3上不单调的充要条件，然后根据集合的包含关系，判断命题的必要不充分条件.【详解】函数的对称轴是x m =， 由已知可知13m <<，由选项判断，命题成立的必要不充分条件是13m ≤<. 故选：C【点睛】本题考查命题成立的必要不充分条件，属于基础题型，当命题以集合形式时，:p x A ∈，:q x B ∈，若A B ≠⊂，则p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件.4.已知2(0)()2(0)xx f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则[()]1f f x ≥的解集是（ ）A. (,-∞B. )+∞C. (,1][42,)-∞-+∞ D.(,[4,)-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】分0x ≥和0x < 先求()f x ，根据()f x 的值域，再解不等式()1f f x ≥⎡⎤⎣⎦. 【详解】当0x ≥时，()02xf x =≥ ()124x xf f x f ⎛⎫==≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ ， 解得：4x ≥，当0x <时，()20f x x =>，()()2212x f f x f x ==≥⎡⎤⎣⎦，解得：x≥（舍）或x ≤，综上可知：4x ≥或x ≤故选：D【点睛】本题考查分段函数不等式的解法，意在考查计算能力，属于基础题型，本题的关键是需根据x 的范围，求()f x 的范围.5.将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A. 在区间7[,]1212ππ上单调递减B. 在区间7[,]1212ππ上单调递增 C. 在区间[,]63ππ-上单调递减 D. 在区间[,]63ππ-上单调递增 【答案】B 【解析】试题分析：将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，得23sin(2())3sin(2)233y x x πππ=-+=-，∵71212x ππ≤≤，∴22232x πππ-≤-≤，∴函数3sin(2)3y x π=+在7[,]1212ππ上为增函数． 考点：函数图象的平移、三角函数的单调性．6.函数3()2xy x x =-的图像大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C ；当时，，，故，故排除A 、D ， 故选B .考点：函数的图象.7.若cos 2sin αα+=则tan()πα-=（ ） A. 2-B. 12-C.12D. 2【答案】A 【解析】 【分析】首先用辅助角公式化简()cos 2sin αααϕ+=-=tan 2ϕ=，然后求两个角的关系，求()tan πα-.【详解】()cos 2sin αααϕ+=-=且sin 5ϕ=，cos 5ϕ= ，tan 2ϕ= ()cos 1αϕ∴-=- ，2,k k Z αϕππ-=+∈2k αϕππ∴=++ ， tan tan 2αϕ∴==，()tan tan 2παα∴-=-=- .故选：A【点睛】本题考查诱导公式，辅助角公式和三角函数的性质，意在考查转化与变形和计算能力，属于基础题型.8.若实数,x y 满足不等式330{23010x y x y x my +-≥--≥-+≥，且x y +的最大值为9，则实数m =（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C 【解析】考点：简单线性规划的应用．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y ，再利用z 的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A 时，从而得到m 值即可．解：作出满足题设条件的可行域如图所示，设x+y=9， 显然只有在x+y=9与直线2x-y-3=0的交点处满足要求．联立方程组9230x y x y +=⎧⎨--=⎩解得45x y =⎧⎨=⎩即点A （4，5）直线x-my+1=0上，∴4-5m+1=0，得m=1． 故答案为1．9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（ ）A. AC BE ⊥B. 三棱锥E ABF -的体积为定值C. //EF 平面ABCDD. 异面直线,AE BF 所成的角为定值【答案】D【解析】【分析】根据点，线，面的位置关系，逐一分析选项，得到正确答案.【详解】A.因为AC BD⊥，1AC DD⊥，且1BD DD D=，所以AC⊥平面11BDD B，又因为BE⊂平面11BDD B，所以AC BE⊥，正确；B.1111233212E ABF A BEF BEFV V S AB EF BB AB--∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，所以三棱锥E ABF-的体积为定值，正确；C.因为//EF BD,且EF⊄平面ABCD，而BD⊂平面ABCD，所以//EF平面ABCD，正确；D.如上图，当点E在11B D的中点时，点F与1B重合，O是BD的中点，1//OE BB，AO EO⊥，此时AE与BF所成的角是AEO∠，6cos6OEAEOAE∠===.如上图，当点E 和1D 重合时，点F是11B D 的中点，O 是BD 的中点，如图1AD O ∠是AE 与BF 所成的角，12AD =，2AO =，11612OD =+=，1612342cos 26222AD O +-∴∠==⨯⨯,这两种情况下异面直线,AE BF 所成的角的余弦值不相等，所以所成角不是定值，故不正确. 故选：D【点睛】本题考查点，线，面的位置关系的判断，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型.10.如图，树顶A 离地面4.8m ，树上另一点B 离地面2.4m ，在离地面1.6m 的C 处看此树，离此树多少m 时看,A B 的视角最大（ ）A. 2.2B. 2C. 1.8D. 1.6【答案】D 【解析】【详解】过C 作CD ⊥AB 于D ，设CD x =，则5tan AD ACD CD x ∠==，2tan BD BCD CD x∠==，()23.20.8 2.43tan tan 3.20.8 1.621x x ACB ACD BCD x x x x -∴∠=∠-∠==≤+⨯+， 当且仅当21.6x x=，即 1.6x =时等号成立.11.已知曲线()3:x ,C f x ax a =-+若过点A (1.1)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为（ ） A. 38B. 1C.98D.158【答案】D 【解析】 【分析】设切点()3000,x x ax a -+，利用导数的几何意义求切线方程，并且求切点，由题意可知切线在切点处的导数和为0，求a .【详解】()23f x x a '=-，设切点为()3000,x x ax a -+，()2003f x x a '∴=-∴过切点的切线方程为：()()()3200003y x ax a x a x x --+=--，切线过点()1,1A ，()()()320000131x ax a x a x ∴--+=-- ，整理为：32002310x x -+= ，化简为：()()2001210x x -+= ，01x ∴=或012x =-，()13f a '=-，1324f a ⎛⎫'-=- ⎪⎝⎭，由两条切线的倾斜角互补，得3304a a -+-=，解得158a =.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线方程，并且求参数，意在考查转化与化归和计算能力.12.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，4πx =-和4x π=分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是 ( ) A. 3 B. 5C. 7D. 9【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得4424kT Tππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21()24k T k Z π+=∈，根据2T πω=，可推出()21k k N ω*=+∈，再根据()f x 在,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调，可推出24122T ππ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，从而可得ω的取值范围，再通过检验ω的这个值满足条件．【详解】∵()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4x π=-和4x π=分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标 ∴4424kT Tππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即21()24k T k Z π+=∈. 又∵2T πω=，0ω>∴()21k k N ω*=+∈又∵()f x 在,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调 ∴24122T ππ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭ 又∵2T πω=∴8ω≤当3k =，7ω=时，()()sin 7f x x ϕ=+，由4x π=是函数()f x 最小值点横坐标知4πϕ=-，此时，()f x 在,1228x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝-⎭-递减，,2824x ππ⎛∈-⎫ ⎪⎝⎭递增，不满足()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，故舍去；当2k =，5ω=时，()()sin 5f x x ϕ=+由4x π=是函数()f x 最小值点横坐标知4πϕ=，此时()f x 在,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故5ω=. 故选B ．【点睛】对于函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，如果它在区间(,)a b 上单调，那么基本的处理方法是先求出()f x 单调区间的一般形式，利用(,)a b 是单调区间的子集得到ω满足的不等式组，利用0ω>和不等式组有解确定整数k 的取值即可. 二．填空题 (本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 13.已知直线20ax by --=与曲线2y x 在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab的值为________ 【答案】12-; 【解析】 【分析】 先求2yx 在1x =处的导数，根据已知条件可知()11a f b '⨯=-，解得ab的值. 【详解】直线20ax by --=的斜率ak b=， 2yx ，2y x '=，当1x =，2y '=，由题意可知，21ab⨯=-， 12a b ∴=-. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查导数的几何意义和两直线的位置关系，意在考查计算能力，属于基础题型.14.函数()sin cos ,[0,]f x x x x π=+∈的值域为___________ 【答案】[1,2]-; 【解析】 【分析】首先化简函数()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据函数的定义域求值域.【详解】()2sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]0,x π∈5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， sin 4x π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭的值域是2,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ()f x ∴的值域是1,2⎡⎤-⎣⎦. 故答案为：1,2⎡⎤-⎣⎦【点睛】本题考查三角函数的化简和简单函数的性质，主要考查计算能力，属于基础题型. 15.设函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示， 若6()(0)52f παα=<<，则()6f πα+=_______【答案】4335+; 【解析】 【分析】首先根据函数图象特征求函数的解析式()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后再利用两角和的正弦公式求6f πα⎛⎫+⎪⎝⎭. 【详解】由图象可知，2A =，2233T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2T π=,22ππω∴= ，1ω∴=，当23x π=时，函数取得最大值， 22,32k k Z ππφπ∴+=+∈， 26k πφπ=-+ ，2πφ<6πφ∴=-，()2sin 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ ，()62sin 65f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3sin 65πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ ，02πα<<，663πππα∴-<-<，4cos 65πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭那么2sin 6f παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2sin 2sin cos 2cos sin 666666ππππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，341822525210=⨯⨯+⨯⨯==【点睛】本题考查根据图象求三角函数的解析式，以及两角和的正弦公式的应用，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.16.已知 01x ≤≤，若3112x ax -≤恒成立，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】[13,]22-. 【解析】 【分析】首先不等式等价于31112x ax -≤-≤，参变分离转化为2max 22a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭ ，且2min 112a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，转化为求函数的最值.【详解】由题意可知31112x ax -≤-≤， 当(]0,1x ∈时，32222x a x x x-≥=-，且2112a x x ≤+ 即2max 22a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭ ，且2min 112a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭设()22g x x x=-，函数在(]0,1上是单调递增函数， ()g x ∴的最大值是()11g =-，1212a a ∴≥-⇒≥-，设()2112h x x x=+ ，(]0,1x ∈()322110x h x x x x-'=-=< ，()h x ∴单调递减，()h x 的最小值是()312h =，32a ∴≤，当0x =时恒成立， 综上：a 的取值范围是13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查转化与变形，和计算能力，一般不等式在给定区间恒成立，可以参变分离转化为求函数的最值，而导数，基本不等式，判断函数单调性求最值，函数图象，都是求最值的常有方法. 三、解答题17.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，3cos 5B =. （1）求cos cos sin sin A CA C+的值； （2）若△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长． 【答案】(1) 54【解析】 【分析】（1）首先根据题意可知2b ac =，根据正弦定理转化为2sin sin sin B A C =，再变形cos cos sin sin sin sin sin A C BA C A C+=，代入求值； （2）首先根据面积求b ，再根据余弦定理求a c +.【详解】解：(1)△ABC 中，∵cosB=35＞045由a ，b ，c 成等比数列，得b 2=ac ，根据正弦定理得：sin 2B=sinAsinC ，∴cos cos +sin sin A CA C=cos sin sin cos sin()=sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++sin()sin sin sin sin sin B B A C A C π-== =2sin sin B B =15=sin 4B ； (2)△ABC 的面积为S △ABC =12acsinB=12b 2•45=2由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB=a 2+c 2﹣2×5×35，∴a 2+c 2=b 2+6=5+5=11，∴（a+c ）2=a 2+2ac+c 2=11+2×5=21，的周长为【点睛】本题考查根据正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归，和计算能力，属于基础题型.18.某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率.【答案】(1) 40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩(2) 3350【解析】 【分析】（1）根据题意分10n <和10n ≥两段，求分段函数；（2）根据表格计算不同的日需求量对应的利润，并且计算利润在[]500,650时，对应的频数，并计算频率，就是所求概率.【详解】解：（1）当日需求量10n ≥时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+； 当日需求量10n <时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润y 关于需求量n 的函数解析式为40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩.（2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10天获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元. 若利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9. 则利润在区间[500,650]内的概率为10149335050++=【点睛】本题考查分段函数和统计结合的综合问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAD 为正三角形，AB ∥CD ，AB =2CD ，∠BAD =90°，PA ⊥CD ，E 为棱PB 的中点（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若AD=CD=2，求点P 到平面ADE 的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 5719【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AP 的中点F ，连结EF ，DF ，根据题中所给的条件证明PA CE ⊥，即证明PA ⊥平面CDE ；（2）利用等体积P ADE E PAD V V --=，根据所给的条件，易求PAD S ∆，点E 到平面PAD 的距离就是CD ，并且根据点，线，面的关系和边长求ADE ∆的面积. 【详解】证明：（1）取AP 的中点F ，连结EF ，DF ， ∵E 是PB 中点，∴EF∥AB，EF=12AB ， 又CD∥AB，CD=12AB ， ∴CD∥EF，CD=EF ∴四边形CDEF 为平行四边形， ∴DF∥CE，又△PAD 为正三角形， ∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，又PA⊥CD，CD∩CE=C， ∴PA⊥平面CDE ， 又PA ⊂平面PAB ， ∴平面PAB⊥平面CDE ． ⑵∵AB∥CD，AB⊥AD， ∴CD⊥AD，又PA⊥CD，PA∩AD=A， ∴CD⊥平面PAD ，又（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面PAD ， ∴EF 为三棱锥的E ﹣PAD 的高，且EF=CD=2， 易得△PAD 的面积S △PAD =3×22=3， Rt△PAB 中，PB=2，AE=125 在矩形CDEF 中，CD=2，37 在△ADE 中，57，AD=2，222cos 235AE ED AD AED AE ED +-∠==⋅219sin 1cos 35AED AED ∴∠=-∠=∴△ADE 的面积119sin 2ADE S AE ED AED ∆=⋅⋅∠=设点P 到平面ADE 的距离为d ，由V P ﹣ADE =V E ﹣PAD 得13313×192d ， 解得457 ∴点P 到平面ADE 457【点睛】本题考查面面垂直的判断定理和点到平面的距离，意在考查推理证明和转化与化归，计算能力，属于中档题型，本题的难点是第一问分析线线，和线面关系，并且第二问求解边长时，需要用到点，线，面的位置关系.20.如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，设A ，B 分别为椭圆C 的右顶点，下顶点，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知不经过点A 的直线l ：(0,)y kx m k m R =+≠∈交椭圆于P ，Q 两点，且PA QA ⊥,求证：直线l 过定点.【答案】(1) 2214x y += (2)证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意建立,,a b c 的方程组求解；（2）直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+，由已知可知0AP AQ ⋅=，转化为坐标关系，代入根与系数的关系得到12k m =-或56k m =-，再验证是否成立，证明直线过定点.【详解】解：（1）由已知，3c a =，22221c b a a =-，可得224a b =，又因1AOB S ∆=，即112ab =，所以222()4b b=，即21b =，24a =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222418440k x kmx m +++-=， ()2216140k m ∆=⨯+->，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+， ① 因为PA QA ⊥ , ∴0AP AQ ⋅=，即1122(2,)(2,)0x y x y -⋅-= 即()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+=，又11y kx m =+，22y kx m =+，()22121212y y k x x m km x x =+++，即()()2212121(2)40k x x km x x m +⋅+-+++=， ②把①代入②得：2222224444816k m k m k m km -+--+()22224164k m k m =-+++22121650k km m ++=得12k m =-或56k m =-，所以直线l 的方程为1(2)2y m x =--或5665y m x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线l 过定点6(,0)5或(2,0)（舍去）， 综上所述直线l 过定点6(,0)5.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中直线过定点问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21.已知函数()[2(1)]2,xxf x e e a ax =-++（e 为自然对数的底数，且1a ≤）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) 1(,0).2- 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，并化简()()()21x x f x e e a '=--，然后再分情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的判断单调性的结果，也需分情况讨论函数的单调性和极值点的正负，并且结合零点存在性定理说明零点个数，讨论求参数的取值范围.【详解】解：(1)/()[2(1)]2x x x xf x e e a e e a =-++⋅+ 222(1)2x x e a e a =-++2(1)()x x e e a =--①当0a ≤时，0x e a ->，则当0x <时，/()0f x <，故()f x 在(,0)-∞单调递减；当0x >时，/()0f x >，故()f x 在(0,)+∞单调递增.②当0a >时，由/()0f x =得12ln ,0.x a x ==若1a =，则/()0f x ≥，故()f x 在R 上单调递增.若01a <<，则：当ln x a <或0x >时，/()0f x >，故()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞单调递增.当ln 0a x <<时，/()0f x <，故()f x 在(ln ,0)a 单调递减.(2)①当1a =时， ()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.②当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞，(0,)+∞单调递增，(ln ,0)a 单调递减故当ln x a =时，()f x 取得极大值，极大值为(ln )(2)2ln 0f a a a a a =-++<此时，()f x 不可能有两个零点.③当0a =时，()(2)x x f x e e =-，由()0f x =得ln 2x =此时，()f x 仅有一个零点.④当0a <时，()f x 在(,0)-∞单调递减； 在(0,)+∞单调递增.min ()(0)12f x f a ∴==--()f x 有两个零点， (0)0f ∴<解得12a >- ∴102a -<< 而则(1)[2(1)]20f e e a a =-++> 取2(1)2ab a+<，则222()[(1)](1)2[(1)]0b b f b e a a ab e a =-+-++>-+≥ 故()f x 在(,0)-∞、 (0,)+∞各有一个零点综上，a 的取值范围是1(,0).2-【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合，讨论法.请考生从第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.已知平面直角坐标系xOy ，直线l过点P ，且倾斜角为α，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；（2）设直线l 与圆C 交于M 、N两点，若||||PM PN -=l 的倾斜角α的值． 【答案】(1) 直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)；圆C的标准方程为：22(1)(5x y -+= (2) 4πα=或34π 【解析】【分析】（1）根据直线的参数方程的形式直接求解，根据极坐标和直角坐标的转化公式解圆C 的标准方程；（2）直线的参数方程代入圆的标准方程，利用t 的几何意义表示1212PM PN t t t t -=-=+，代入根与系数的关系求解.【详解】解：（1）因为直线l过点P ，且倾斜角为α所以直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数) 因为圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=所以22cos sin 10ρρθθ---=所以圆C的普通方程为：22210x y x +---=，圆C的标准方程为：22(1)(5x y -+-= （2）直线l的参数方程为cos ? sin x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩，代入圆C 的标准方程 得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=整理得22cos 40t t α--=设M 、N 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则122cos t t α+=所以||||PM PN -=12|||2cos |t t α+=，cos α= 因为0απ≤<，所以4πα=或34π 【点睛】本题考查直角坐标，参数方程和极坐标方程之间的转化以及利用直线的参数方程解决弦长问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.23.已知0, 0, 0a >b >c >，函数()f x =|a x|+|x+b|+c -.（1）当2a b c ===时，求不等式()8f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为1，证明：22213a b c ++≥. 【答案】（1）{|33}-<<x x （2）见证明【解析】【分析】（1）根据题意，当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2，据此可得f （x ）＜8⇔2228x x ≤-⎧⎨-⎩＜或2268x -⎧⎨⎩＜＜＜或2228x x ≥⎧⎨+⎩＜，解可得不等式的解集；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值为1，得a +b +c ＝1，进而可得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ＝1，结合基本不等式的性质分析可得结论．【详解】（1）当2a b c ===时，()222f x x x =-+++， 所以()28228x f x x ≤-⎧<⇔⎨-<⎩或2268x -<<⎧⎨<⎩或2228x x ≥⎧⎨+<⎩. 所以不等式的解集为{|33}x x -<<.（2）因为0a >，0b >，0c >，所以()f x a x x b c a x x b c =-+++≥-+++ a b c a b c =++=++，当且仅当()() 0a x xb -+≥等号成立； 因为()f x 的最小值为1，所以1a bc ++=，所以()22222221a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，因为222ab a b ≤+，222bc b c ≤+，222ac a c ≤+，当且仅当a=b=c 等号成立 所以()22222212223a b c ab ac bc a b c=+++++≤++， 所以22213a b c ++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及不等式的证明，涉及基本不等式的性质，属于基础题．。
2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷(二十)文科数学
2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、 选择题（每题的四个选项中只有一个正确,每题5分，共60分。
）1.已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}2．函数()()lg 211f x x x =++-的定义域是（ ） A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 3．演绎推理“因为对数函数)1,0(1≠>=a a x og y a 是增函数，而函数x og y 311=是对数函数，所以x og y 311=是增函数”所得结论错误的原因是 （ ）A ．大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D.大前提和小前提都错误4.已知不等式1+,1+,1+,……均成立,照此规律,第五个不等式应为1+<( ) A . B . C . D . 5.已知偶函数()f x 满足()()3f x f x +=-，且()11f =-，则()()513f f +的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．26.下列结论错误的是 ( ) A.命题“若,则”的逆否命题是“若,则”.B.若为假命题,则,均为假命题.C.命题p ：“0x ∀≥，都有1x e x ≥+”，则命题p 的否定为：00,x ∃<使001x e x <+D “”是“”的充分不必要条件.7．已知命题p ：关于x 的函数234y x ax =-+在[1,)+∞上是增函数，命题q ：函数(21)x y a =-为减函数，若p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．23a ≤ B ．102a << C ．1223a <≤ D ．112a << 8.函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ） A ．(4,)+∞ B ．3(,)2-∞- C ．3(,)2+∞ D ．(,1)-∞- 9.函数f (x )＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则m 的值为（）．A.－3B.－2C.3D.210．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，(x >0)3x ，(x ≤0)则)]41([f f 的值是( ) A. 23 B ． 2 C ．1 D ．1911.已知集合{}|1A x x =≥,集合{}|33,B x a x a a R =-≤≤+∈.若B A ⊆,则实数a 的取值范围（ ）.A.(],2-∞B.[]2,0 C ．[]04， D ． []22-，12.函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]11-，B ．[]13，C ．[]04，D ． []22-，二.填空题(每题的四个选项中只有一个正确,每题5分，共20分)13.已知bx ax x f +=2)(是定义在[]a a 4,1-上的偶函数，则=+b a ．14. 若命题“R x ∃∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围 ．15．已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，x x x f 2)(2+= ，则f (-2)的值是____.16. 已知()f x 是R 上的奇函数,对R x ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立,则(2014)f 等于__________三、解答题(共40分)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <4}，(1)求A B（2）求(∁R A )∩B ；18．(本小题满分10分)已知:p 实数x 满足不等式()()()300x a x a a --<>，:q 实数x 满足不等式53x -<，（1）当1a =时，p q ∧为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19．(本小题满分10分)已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩(1).若a =2,求f(f(0))的值。
2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷(二十九)文科数学
2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知i 是虚数单位，若复数()()121z i i =+-，则z 的虚部是（ ） A. 3 B. 3iC. 1D. i【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算法则计算可得复数z ，根据复数的概念可得答案. 【详解】2(12)(1)1223z i i i i i i =+-=-+-=+， 所以复数z 的虚部为1.故选：C【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，考查了复数的概念，属于基础题. 2.已知集合A ，B 均为全集{}1,2,3,4,5U =的子集，且(){}3,4UA B =，{}1,2B =，则集合A 可以有（ ）种情况 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】C 【解析】 【分析】 根据(){}3,4UAB =得到{}1,2,5A B =，故{}{}51,2,5A ⊆⊆得到答案.【详解】∵{}1,2,3,4,5U =，(){}3,4UAB =，∴{}1,2,5A B =∵{}1,2B =，于是{}{}51,2,5A ⊆⊆∴集合A 可以是{}5、{}1,5、{}2,5、{}1,2,5四种情况. 故选：C【点睛】本题考查了集合的运算和子集问题，意在考查学生的计算能力.3.已知命题p ：角α的终边在直线y =上，命题q ：()3k k Z παπ=+∈，那么p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】对命题p 根据终边相同的角的概念进行化简可得可得答案.【详解】角α的终边在直线y =上()23k k παπ⇔=+∈Z 或23k παππ=++()()213k k ππ=++∈Z ()3k k παπ⇔=+∈Z ，故p 是q 的充分必要条件，故选：C.【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，考查了充分必要条件的概念，属于基础题. 4.若0.33a =，2log 1.2b =，0.2log 1.5c =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数3xy =为递增函数可得1a >，根据对数函数2log y x =为递增函数可得01b <<，根据对数函数0.2log y x =为递减函数可得0c <，由此可得答案.【详解】因为0.30331a =>=，222log 10log 1.2log 21=<<=，0.20.2log 1.5log 10c =<=，所以a b c >>. 故选：A【点睛】本题考查了指数函数的单调性，考查了对数函数的单调性，关键是找中间变量，属于基础题.5.已知两个非零向量a ，b 满足()24,5a b +=，()23,5a b -=-，则a b ⋅的值为（ ） A. 1 B. －1C. 0D. －2【答案】B 【解析】 【分析】根据已知向量的坐标求出向量,a b 的坐标，再根据向量的数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为1111[2(2)(2)][2(4,5)(3,5)][(8,10)(3,5)](5,15)(1,3)5555a ab a b =++-=+-=+-==，所以(2)2(4,5)(2,6)(2,1)b a b a =+-=-=-， 所以(1,3)(2,1)1231a b ⋅=⋅-=⨯-=-. 故选：B【点睛】本题考查了向量的线性运算的坐标表示，考查了向量的数量积的坐标表示，属于基础题.6.已知数列{}n a 是首项为12a =，公比2q 的等比数列，且1n n n b a a +=+.若数列{}n b 的前n项和为n S ，则n S =（ ）A. 323n ⋅-B. 1323n +⋅-C. 32n ⋅D.1326n +⋅-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到2nn a =，32n n b =⋅利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】由题设条件知2nn a =，于是122n n n b +=+，即32n n b =⋅， ∴21323232326n n n S +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅-故选：D .【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，前n 项和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用. 7.已知a ，b R ∈，不等式组1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的平面区域为M ，不等式组2222a b a b -≤⎧⎨-≥-⎩表示的平面区域为N .在平面区域M 内有一粒豆子随机滚动，则该豆子始终滚不出平面区域N 的概率是（ ） A.78B.67C.89D.45【答案】A 【解析】 【分析】作出平面区域,M N ，计算区域,M N 的面积，根据几何概型的概率公式可得答案.【详解】如图所示，不等式组1111a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的平面区域M 为图中的阴影部分所表示的区域，易知直线22a b -=-分别交直线1a =-与b 轴于点11,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,1F .所以12BE=，1BF=.所以111112224BEFS BE BF∆=⋅=⨯⨯=，易得DHG BEF∆∆≌，因此14DHG BEFS S∆∆==，故阴影部分的面积21722242ABCD BEFS S S∆=-=-⨯=，于是豆子始终滚不出平面区域N的概率为()2771722248ABCDSP AS===⨯=.故选：A【点睛】本题考查了几何概型的面积型的概率公式，准确求出面积是解题关键，属于基础题.8.如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（）A. 620π+ B. 916π+ C. 918π+ D.2063π+【答案】C【解析】【分析】根据三视图可得该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，根据三视图中的数据，利用椎体和球体的体积公式计算可得答案.【详解】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形，其中腰长为323，而球体的半径为3，所以该组合体的体积为：314113332329182332V V Vππ=+=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+半球体三棱锥.故选：C【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了椎体和球体的体积公式，属于基础题.9.已知()f x是定义在R上的奇函数，当0x≥时，()21xf x=-，若()()26f a f a->-，则实数a的取值范围是（）A. ()(),23,-∞-+∞ B. ()3,2- C. ()2,3- D.()(),32,-∞-+∞【答案】C【解析】【分析】画出函数图像得到函数单调递增，利用函数的单调性得到26a a->-，计算得到答案. 【详解】()f x是奇函数，当0x≥时，()21xf x=-设0x<则0x->，()21xf x--=-，故()()112xf x f x⎛⎫--=⎝-⎪⎭=即()21,011,02xxxf xx⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩，函数()f x的图像如图所示：结合图像可知()f x是R上的增函数由()()26f a f a->-，得26a a->-解得23a-<<，故选：C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，判断函数的单调性是解题的关键.10.已知双曲线1C ：2221142x y m m-=+-，当双曲线1C 的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线2C ：()220y px p =>的焦点、若A 、B 是抛物线2C 上两点，8AF BF +=，则AB中点的横坐标为（ ） A.32B. 2C.52D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数取得最小值的条件，求得1m =，从而可得双曲线方程，再根据双曲线的焦点坐标求得抛物线的焦点坐标，可得抛物线方程，然后根据抛物线的定义和中点坐标公式可得答案.【详解】由题意可得420m ->，即有2m <，由()22214214c m m m =++-=-+，可得当1m =时，焦距2c 取得最小值，所以双曲线的方程为22122x y -=，于是1C 右焦点为()2,0，即抛物线2C 的焦点为()2,0， 所以22p=，4p =，则抛物线2C ：28y x =， 准线方程2x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴12||||228AF BF x x +=+++=，解得124x x +=， ∴线段AB 的中点横坐标为2. 故选：B【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的几何性质，考查了二次函数求最值，考查了抛物线的定义，属于基础题.11.已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3B π=，6b =，且a c +=A 的大小为（ ）A.25π B.27π C.512π D.12π【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理6sin sin sin3a cA C π==以及a c +=sin 62A π⎛⎫+=⎪⎝⎭，可得答案. 【详解】由正弦定理得6sin sin sin3a cA C π==2sin sin sin sin 3a c a c A C A A π++==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则2sin sin 3a c A A π⎤⎛⎫+=+- ⎪⎥⎝⎭⎦1sin sin 2A A A ⎤=++⎥⎦3sin cos 22A A ⎤=+⎥⎦112sin cos 12sin 226A A A π⎤⎛⎫=+=+⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，又∵a c +=12sin 6A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 62A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 于是64A ππ+=或34π（舍），故12A π=. 故选：D【点睛】本题考查了正弦定理，考查了两角和的正弦公式的逆用，属于中档题. 12.已知函数()()21ln 12f x x a x a x =--++（其中1a >），则函数()f x 零点的个数为（ ）个 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】求导得到()()()1x x a f x x--'=-得到函数的单调区间，计算()10f >，()()22ln 220f a a a +=-+<得到答案.【详解】()()()11x x a af x x a x x--'=--++=-（其中0x >）. 故01x <<或x a >时()0f x '<，1x a <<时()0f x '>， 即()f x 在()0,1和(),a +∞单调递减，在()1,a 单调递增. 由于()112f a =+，而1a >，所以()10f >， 又()()22ln 220f a a a +=-+<，所以函数()f x 有唯一零点 故选：B .【点睛】本题考查了函数的零点问题，求导得到函数的单调区间是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数()()cos axf x x a R x=-∈，若()2019f =()2019f -=______.【答案】【解析】 【分析】根据定义判断出函数()f x 为奇函数，再根据奇函数的性质可得答案. 【详解】因为函数()()cos ax f x x a R x =-∈的定义域是{|x x R ∈且,2x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭，是关于坐标原点对称，当0a =时，()f x x =-是奇函数； 当0a ≠时，()()f x f x -=-，故()f x 是奇函数；综上，对任意a R ∈，都有()f x 是奇函数.所以()()20192019f f -=-=故答案为：【点睛】本题考查了奇函数定义，考查了奇函数的性质，属于基础题. 14.2291sin cos αα+的最小值为______.【答案】16【解析】 【分析】利用22sin cos 1αα+=将2291sin cos αα+变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值.【详解】∵22sin cos 1αα+=，∴()2222229191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222sin 9cos 1010616cos sin αααα=+++=，当且仅当23sin 4α=，21cos 4α=时“=”成立， 故2291sin cos αα+的最小值为16.故答案为：16【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题. 15.已知四面体M DEF -中，3DEF π∠=，DF =ME DE ⊥，ME EF ⊥，4ME =，则该四面体的外接球的体积为______.【答案】3【解析】 【分析】先确定ME ⊥平面DEF ，将四面体M DEF -补成以DEF ∆为底面ME 为侧棱的直三棱柱，利用正弦定理得到2r，再计算R ==.【详解】∵ME DE ⊥，ME EF ⊥，∴ME ⊥平面DEF ， 将四面体M DEF -补成以DEF ∆为底面ME 为侧棱的直三棱柱， 该三棱柱的外接球就是四面体M DEF -的外接球， 由题知，球心到平面DEF 的距离为2，DEF ∆外接圆的半径为22sin 2BC r BAC ===∠，∴该三棱锥外接球的半径R ==∴该球的外接球的体积为(343π⨯⨯=故答案为：3【点睛】本题考查了四面体的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC ∆的面积()2214S a c =+，若2sin sin B A C =，则角B 的值为______.【答案】512π 【解析】 【分析】根据面积公式得到和余弦定理得到22sin 2cos ac B b ac B =+，结合2sin B A =sin C 得到1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得到答案.【详解】因为1sin 2S ac B =，又()2214S a c =+，所以()2211sin 42a c ac B += 所以222sin a c ac B +=，由余弦定理得2222cos a cb ac B +=+ 所以22sin 2cos ac B b ac B =+由2sin sin B A C =结合正弦定理，得2b =所以2sin 2cos ac B ac B =+)sin cos 1B B -=，所以1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，所以得46B ππ-=，或546B ππ-=（舍去），所以512B π∠=. 故答案为：512π【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，意在考查学生对于三角公式的综合应用能力.三、问答题17.已知{}n a 为等比数列，且各项均为正值，2116a =，463916a a a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若4log n n b a =，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】（1）14n na =；（2）1n nT n =+. 【解析】 【分析】(1) 设数列{}n a 的公比为q ，根据条件求出q 和1a ，则可得通项公式； (2)求出n b 后，利用裂项求和法可求得结果.【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q .由463916a a a a =得225616a a =，所以2116q =由条件可知0q >，故14q =，由2116a =，得114a =.故数列{}n a 的通项公式为14n n a =；（2）441log log 4n n n b a n ===-.故()1111111n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+1111112231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1n n =+. 所以数列11b n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n nT n =+. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，属于基础题.18.某气象站统计了4月份甲、乙两地的天气温度（单位C ︒），统计数据的茎叶图如图所示，（1）根据所给茎叶图利用平均值和方差的知识分析甲，乙两地气温的稳定性；（2）气象主管部门要从甲、乙两地各随机抽取一天的天气温度，若甲、乙两地的温度之和大于或等于20C ︒，则被称为“甲、乙两地往来温度适宜天气”，求“甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率.【答案】（1）见解析 （2）1425【解析】 【分析】（1）分别计算平均值和方差比较大小得到答案.（2）列出所有可能性共有25种可能，满足条件的共有14种，计算得到答案. 【详解】（1）根据题意可知：()178101213105x =++++=甲， ()198101112105x =++++=乙， 而()()()()()2222221710810101012101310 5.25s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲，()()()()()222222181091010101110121025s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙，∵x x =甲乙，22s s >甲乙，∴甲、乙两地的整体气温水平相当，乙地的气温水平更稳定一些.（2）气象主管部门要从甲、乙两地连续10天中各随机抽取一天的天气温度， 设随机抽取的甲、乙两地天气温度分别为x ，y ，则所有(),x y 为：()7,8，()7,9，()7,10，()7,11，()7,12，()8,8，()8,9，()8,10，()8,11，()8,12，()10,8，()10,9，()10,10，()10,11，()10,12，()12,8，()12,9，()12,10，()12,11，()12,12，()13,8，()13,9，()13,10，()13,11，()13,12，共计25个，而20x y +≥的基本事件有()8,12，()10,10，()10,11，()10,12，()12,8，()12,9，()12,10，()12,11，()12,12，()13,8，()13,9，()13,10，()13,11，()13,12，共计14个，故满足20x y +的基本事件共有14（个），于是“甲、乙两地往来温度适宜天气”的概率1425【点睛】本题考查了平均值，方差和概率的计算，意在考查学生的计算能力. 19.在四棱锥S EFGH -中，EF EH ⊥，∥EH FG ，224EH FG EF ===，22SH SE ==，平面SEH ⊥平面EFGH ，M ，N 分别为SF ，GH 的中点.（1）求证：MN ∥平面SEH ； （2）求E 到平面SGH 的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）43【解析】 【分析】（1）取EF 的中点为P ，连接MP ，NP ，证明平面MPN平面SEH 得到证明.（2））取EH 的中点为O ，连接SO ，OG ，得到GHS ∆为边长为22的正三角形，计算其面积，利用等体积法S EGH E SGH V V --=，计算得到答案. 【详解】（1）取EF 的中点为P ，连接MP ，NP ， ∵M ，N 分别为SF ，GH 的中点，∵MPSE ，PN EH ，∵MP ⊄平面SEH ，NP ⊂/平面SEH ，SE ⊂平面SEH ，EH ⊂平面SEH ， ∴MP ∥平面SEH ，PN 平面SEH ， ∵MP ⊂平面MPN ，PN ⊂平面MPN ，MP NP P =，∴平面MPN平面SEH ，∴MN ∥平面SEH（2）取EH 的中点为O ，连接SO ，OG ，∵SH SE ==，∴SO EH ⊥，2SO =， ∵平面SEH ⊥平面EFGH ，平面SEH平面EFGH EH =，∴SO ⊥平面EFGH ，∵∥EH FG ，2EH FG =，∴EO FG ，∴平行四边形EFGO ，∴OG EF ， ∵EF EH ⊥，2EF =，∴OG EH ⊥，2OG =，在Rt GOH ∆中，GH ==在Rt GOS ∆中，GS ==，∴GHS ∆为边长为的正三角形，∴(24SGH S ∆=⨯=设E 到平面SGH 的距离为d ，∵111422323GEH S OS ∆⨯⨯⨯⨯=⨯1133S EGH E SGH SGH V V S d d --∆===⨯=⨯，解得3d =，∴E 到平面SGH 的距离为3【点睛】本题考查了线面平行，点到平面的距离公式，利用等体积法可以简化运算，是解题的关键.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =222x y +=过椭圆C 的上，下顶点.（1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.【答案】（1）22182x y +=；（2）是，0. 【解析】 【分析】(1)根据已知条件,求出,a b ,即可得到椭圆方程;(2)设直线l 的方程为12y x t =+,将其代入椭圆方程后,根据韦达定理以及斜率公式变形,可得答案.【详解】（1）因为圆222x y +=过椭圆C的上，下顶点，所以b =又离心率e =a =，于是有2223b a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C 的方程为22182x y +=； （2）由于直线l 的斜率为12，可设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆C ：2248x y +=， 可得222240x tx t ++-=.由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，所以()2244240t t ∆=-->， 整理解得22t -<<设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点的对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-.若直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -，则21211122AE AQ y y k k x x ---+=++-+()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-， 又∵1112y x t =+，2212y x t =+. 于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++--()211212124x x x x tx tx x x =--+++--()12124x x t x x =-+--()()224240t t t =-----=，故直线AE 与AQ 的斜率之和为0，即0AE AQ k k +=.【点睛】本题考查了求椭圆方程,考查了韦达定理,考查了斜率公式,考查了运算求解能力,属于中档题.21.已知函数()ln f x x x =-.（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()()212h x f x x λ=+只有一个极值点，求实数λ的取值范围； （3）若函数()()21(2h x f x x λ=+（其中4λ>）有两个极值点，分别为1x ，2x ，且()()1212h x h x k x x +>+在区间()0,∞+上恒成立，证明：不等式ln 43k ≥-成立.【答案】（1）1y =-（2）0λ<（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到()11f x x'=-，计算()10f '=，()1ln111f =-=-得到切线方程. （2）求导得到()2x x h x xλλ-+'=即20x x λλ-+=在()0,∞+上只有一个根0x ，得到240λλλ⎧∆=->⎨<⎩，计算得到答案. （3）12x x λ+=，12x x λ=故()()12ln 12h x h x λλλ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，所以()()1212h x h x x x ++ln 12λλ=--，取ln 12y λλ=--，求导得到答案.【详解】（1）因为()ln f x x x =-，所以()11f x x'=-，令1x =，得()10f '=， 而()1ln111f =-=-，函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1y =-. （2）函数()()2211ln ln 22h x x x x x x x λλλ=-+=-+，其的定义域为()0,∞+， ()2x x h x xλλ-+'=，因为()h x 只有一个极值点， 故()0h x '=在()0,∞+上只有一个根0x ，即20x x λλ-+=在()0,∞+上只有一个根0x ，则2400λλλ⎧∆=->⎨<⎩，解得0λ<，又当()10,x x ∈时，()0h x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0h x '>， ∴0x 是()h x 在()0,∞+上的唯一一个极值点，此时0λ< （3）由（2）可知12x x λ+=，12x x λ=， 而()()221211122211ln ln 22h x h x x x x x x x λλλλ+=-++-+ ()()2121212121ln 2x x x x x x x x λ=--++-ln 12λλλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭于是()()1212ln 12h x h x x x λλ+=--+，令ln 12y λλ=--，则112y λ'=- ∵4λ>，∴0y '<，∴ln 12y λλ=--在()4,+∞上单调递减，∴ln 43y <-，∴ln 43k ≥-成立.【点睛】本题考查了函数的切线方程，函数的极值点，证明恒成立，变换得到()()1212h x h x x x ++ln 12λλ=--是解题的关键.请考生在22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）若()1,A ρα是直线l 上一点，2,3B πρα⎛⎫-⎪⎝⎭是曲线C 上一点，求||||OB OA 的最大值. 【答案】（120y --=，2220x y y +-=；（2）2. 【解析】 【分析】(1)消去参数可得普通方程,极坐标与直角坐标互化公式可得答案; (2)根据极坐标的几何意义以及三角函数的最值可得 答案.【详解】（1）由题，直线l的参数方程为1212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）.消去参数t 得直线l20y --=， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线l的极坐标方程)sin 2ρθθ-=，即cos 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，所以22sin ρρθ=，由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.（2）因为()1,A ρα在直线l 上，2,3B πρα⎛⎫-⎪⎝⎭在曲线C 上， 所以1cos 16πρα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22sin 2cos 2cos 3326ππππρααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以221||2cos 2||6OB OA ρπαρ⎛⎫==-+≤ ⎪⎝⎭， OB OA的最大值为2.【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,考查了极坐标与直角坐标互化公式,考查了极坐标的几何意义,考查了三角函数的最值,属于中档题. 23.设函数()12f x x a x a=-++（x ∈R ，实数0a >）. （1）若()1003f <，求实数a 的取值范围； （2）求证：()f x ≥ 【答案】（1）133a <<；（2）证明见解析 【解析】【分析】(1)将()1003f <化为231030a a -+<,解一元二次不等式可得答案; (2)先求出函数()f x 的最小值()min 12f x a a =+,再证明最小值12a a+≥.【详解】（1）∵0a >，∴()11100||3f a a a a =+=+<， 即231030a a -+<，解得133a <<. （2）()12f x x a x a =-++13,11,2113,2x a x a a x a x a a ax a x a a ⎧-+≥⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪⎪-+-≤-⎪⎩， 当x a ≥时，()12f x a a ≥+；当12x a a -<<时，()12f x a a>+；当12x a ≤-时，()12f x a a≥+∵1122a a a a +>+，∴()min 12f x a a =+≥=， 当且仅当12a a =即2a =时取等号，∴()f x ≥. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了求分段函数的最值，考查了基本不等式求最值，属于基础题.。
2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷(文科)(全国Ⅰ)
2021年河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷（文科）（全国Ⅰ）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|x2−2x≤0}，集合B满足A∪B=A，则B可以为()A. {x|x≤2}B. {x|−1≤x≤2}C. {1,2}D. {−1,0，1，2}2.设复数z=|√3+i|−i2021，则在复平面内z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间主要经营食品和服装两大类商品，2020年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度翻了一番，整理前三季度的收入情况如图所示，则下列说法错误的是()A. 该直播间第三季度的总收入是第一季度的4倍B. 该直播间第三季度的服装收入比第一季度和第二季度的服装总收入还要多C. 该直播间第二季度的食品收入是第三季度食品收入的13D. 该直播间第一季度的食品收入是第三季度食品收入的164.函数f(x)=x的图象大致为()ln|x|A.B.C.D.5. 已知函数f(x)=sinx −x ，设a =f(π0.1)，b =f(0.1π)，c =f(log 0.1π)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. b >c >aC. c >b >aD. b >a >c6. 在钝角三角形ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3)，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，S △ABC =√32，点D 为BC 的中点，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. √72B. √52C. √32D. 127. 已知函数f(x)=me x−2+n 的图象恒过点(2,1)，若对于任意的正数m ，n ，不等式1m+4n ≥A 恒成立，则实数A 的最大值为( ) A. 9 B. 3+2√2 C. 7D. 4√28. 设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，倾斜角为θ(0<θ<π2)的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点，若FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2FN 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则sin2θ=( )A. 2√23B. 13C. √24D. 4√299. 若各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，a 1a 5=256，则使得不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立的最大正整数n 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 810. 在平面内，A ，C 是两个定点，B 是动点，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则△ABC 的内角A 的最大值为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 已知函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,若函数g(x)=f(x)−kx +k 在区间[−2,1]上有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A. (−4−2√3,0)B. (−1,0)C. (−4+2√3,0)D. (−12,0)12.在△ABC中，AC=2√3，顶点B在以AC为直径的圆上，点P在平面ABC上的射影为AC的中点，PA=2，则其外接球的表面积为()A. 12πB. 163π C. 94π D. 16π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若某几何体的三视图如图所示、则该几何体的体积为______ ．14.从古至今，文学与数学都有着密切的联系.一首诗从末尾一字读至开头一字另成一首新诗，称之为“通体回文诗”，数学中也有类似的情况：对一个整数n(n>10)从左向右和从右向左读其结果都是质数，可以称它为“通体质数”.若在闭区间[10,30]中，任取一个整数，则此整数是“通体质数”的概率为______ ．15.对于双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)来说，我们定义圆x2+y2=a2为它的“伴随圆”.过双曲线x2a2−4y29=1(a>0)的左焦点F1作它的伴随圆的一条切线，设切点为T，且这条切线与双曲线的右支相交于点P，若M为PF1的中点，M在T右侧，且|MO|−|MT|为定值12，则该双曲线的离心率为______ ．16.已知函数f(x)=sin2x+sin(2x+π3)+a同时满足下述性质：①若对于任意的x1，x2，x3∈[0,π4]，f(x1)+f(x2)≥f(x3)恒成立；②f(π6)≤√3−a2，则a的值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}是递增的等差数列，a1=12，且满足a4是a2与a8的等比中项．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和．(2)求数列{1a n a n+118.如图，DA⊥平面ABC，DA=AC=1，O是AB的中点，△ACO为等边三角形．(1)证明：平面ACD⊥平面BCE；(2)若AD//BE，P为CE的中点，Q为线段OP上的动点，判断三棱锥QACD的体积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．19.电子烟是一种模仿卷烟的电子产品.有害公共健康.为研究吸食电子烟是否会引发肺部疾病，某医疗机构随机抽取了100人进行调查，吸电子烟与不吸电子烟的比例为1：3，整理数据得到如表：感染肺部疾病未感染肺部疾病总计吸电子烟15不吸电子烟50总计(1)完成2×2列联表，在犯错误的概率不超过5%的前提下，能否认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关？(2)为进一步调查分析电子烟中诱发肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被调查人中，按照吸电子烟和不吸电子烟这两大类别，采用分层抽样的方法抽取8人，从这8个人中任取2人进行血液、痰液等相关医学检查v求这两个人来自同一类别的概率．，其中n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=sinx−ae x−1(a∈R)．(1)定义f(x)的导函数为f(1)(x)，f(1)(x)的导函数为f(2)(x)，……以此类推，若)的单调区间；f(2020)(1)=sin1，求函数f(2x+π3(2)若a≥1，x≥0，证明：f(x)<0．21.已知圆M：(x−√6)2+y2=32，点Q是圆M上的一个动点，点N(−√6,0)，若线段QN的垂直平分线交线段QM于点T．(1)求动点T的轨迹曲线C的方程；(2)设O是坐标原点，点P(2,1)，点R(异于原点)是曲线C内部且位于y轴上的一个动点，点S与点R关于原点对称，直线PR，PS分别与曲线C交于A，B(异于点P)两点，判断直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=mt 2y=mt，(m≠0,t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)若直线l经过曲线C的焦点T，且与曲绒C交于M，N两点，求|TM|⋅|TN|．23.已知函数f(x)=|x−1|．(1)求不等式f(x)−f(2x+4)≤1的解集；(2)当x<−1时，f(ax)+f(−x)+x>0恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，集合B满足A∪B=A，∴B⊆A，∴B可以为{1,2}．故选：C．求出集合A，由集合B满足A∪B=A，得B⊆A，由此能求出集合B．本题考查集合的运算，考查并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵i4=1，i2021=(i4)505⋅i=i，|√3+i|=√(√3)2+12=2，复数z=|√3+i|−i2021=2−i，则在复平面内z对应的点(2,−1)位于第四象限，故选：D．由i4=1，可得i2021=(i4)505⋅i=i，再利用几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查统计图的应用，属基础题．依题意，根据统计图的数据，逐个选项判断即可．【解答】解：设第一季度的总收入为a，则由题意可知，第二季度的总收人为2a，第三季度的总收入为4a，故A正确；由图可知，该直播间第三季度的服装收人为4a×0.7=2.8a，第一季度和第二季度的服装总收入为a×0.9+2a×0.8=2.5a<2.8a，故B正确；该直播间第二季度的食品收入为2a×0.2=0.4a，第三季度的食品收入为4a×0.3=1.2a；0.4a1.2a =13，故C正确；而第一季度的食品收人是0.1a，不满足是第三能度食品收入的16.故D错误．故选D．4.【答案】B【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，f(−x)=−xln|−x|=−xln|x|=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x→+∞，f(x)→+∞，排除D，当x=e时，f(e)=elne=e<5，排除C，故选：B．先求出函数的定义域，判断函数是奇函数，利用极限思想以及f(e)的值利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用极限思想以及排除法是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用指数函数、对数函数性质比较大小，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．由题意得f′(x)≤0，可得f(x)在定义域上单调递减，比较π0.1，0.1π，log0.1π大小即可得a，b，c的大小关系．【解答】解：由题意得f′(x)=cosx−1≤0，所以f(x)在定义域上单调递减．因为π0.1>π0=1，0<0.1π<0.10=1，log0.1π<0，所以π0.1>0.1π>log0.1π，即c>b>a．故选C．6.【答案】C【解析】解：如图，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,S △ABC =√32， ∴12|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅sin∠BAC =sin∠BAC =√32，∴cos∠BAC =±12，若cos∠BAC =12，则：|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4−2×2×1×12=3，∴∠B =90°，△ABC 是直角三角形，与已知△ABC 是钝角三角形矛盾， ∴cos∠BAC =−12，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=12⋅√4+1−2×2×1×12=√32． 故选：C ．可画出图形，可求出|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，根据S △ABC =√32即可求出sin∠BAC =√32，从而得出cos∠BAC =±12，然后根据△ABC 为钝角三角形可得出cos∠BAC =−12，然后根据|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2，进行数量积的运算即可求出|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：可令x −2=0，即x =2，可得f(2)=m +n =1， 由m >0，n >0，可得1m+4n=(m +n)(1m+4n)=1+4+n m+4m n≥5+2√n m⋅4m n=9，当且仅当n =2m =23时取得等号， 则A ≤9，可得A 的最大值为9． 故选：A ．可令x −2=0，求得m +n =1，再由乘1法和基本不等式求得1m +4n 的最小值，由不等式恒成立思想得到A 的最大值．本题考查不等式恒成立问题解法，以及基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为抛物线y 2=2px(p >0)， 所以焦点F(p2,0)，设过焦点F ，倾斜角为θ的直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)， 设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)， 与抛物线联立得k 2x 2−(2p +pk 2)x +p 2k 24=0，所以x 1+x 2=2p+pk 2k 2，x 1x 2=p 24，因为FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 所以|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 所以x 1+p2=2(x 2+p2)，即x 1=2x 2+p2， 两边加x 2可得，x 1+x 2=3x 2+p2， 又因为x 1+x 2=2p+pk 2k 2，所以2p+pk 2k 2=3x 2+p2，解得x 2=pk 2+4p 6k 2，又因为x 1x 2=p 24，所以(2x 2+p2)x 2=p 24，所以2x 22+p2⋅x 2=p 24，所以2(pk 2+4p 6k 2)2+p 2⋅(pk 2+4p 6k 2)=p 24，所以k 4−7k 2−8=0， 解得k 2=8或k 2=−1(舍)， 又因为k >0， 所以k =tanθ=2√2，所以sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=4√29．故选：D ．根据题意设M 点坐标为(x 1,y 1)，N 点坐标为(x 2,y 2)，直线方程为y =k(x −p2)，k =tanθ，(0<θ<π2)，与抛物线联立，结合韦达定理可得x 1+x 2=2p+pk 2k2，x 1x 2=p24，由于FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，推出|FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos180°=−2|FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，即x 1=2x 2+p2，即可解得k ，tanθ，再计算sin2θ即可得出答案．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：各项均为正数的数列{a n }满足a n+1=4a n ，可得a n+1a n=4，则数列{a n }是公比为4的等比数列，又a 1a 5=256，∴a 12q 4=256，即a 1=1，∴a n =4n−1=(2n−1)2，可得√a n =2n−1，由不等式4n <133(1+√a 1+√a 2+⋯+√a n )成立， 得4n <133(1+20+21+22+⋯+2n−1)=133(1+1−2n1−2)=133×2n ， ∴2n <133<28，即n <8，可得最大正整数n 的值为7． 故选：C ．由已知可得数列{a n }是公比为4的等比数列，再由已知求得公比，得到数列通项公式，然后利用等比数列的前n 项和公式求1+√a 1+√a 2+⋯+√a n ，代入已知不等式求得n 的范围，可得最大正整数n 的值．本题考查等比数列的通项公式及前n 项和，考查指数不等式的解法，是中档题．10.【答案】A【解析】解：根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3r ，|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2r ，CD 的中点为E ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，又由|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上， 连接AB ，当AB 与圆E 相切时，∠A 最大，当AB 与圆相切时，BE =r ，AE =2r ，∠EBA =π2，则A =π6，故内角A 的最大值为π6， 故选：A ．根据题意，设CD 的中点为E ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，由向量加法的性质可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即有|BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |，进而可得|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，则点B 在以E 为圆心，CD 为直径即半径为r 的圆上，分析可得当AB 与圆相切时，∠A 最大，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查平面向量数量积的性质以及向量加法的性质，关键是分析B 的轨迹，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：函数f(x)={−2x 2+4x,0≤x ≤2,12f(x +2),x <0,， 作出f(x)在[−2,1]的函数图象， 当x ∈[−2,0)时，f(x)=−x 2−2x ． 那么g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y =kx −k 的交点问题即可求解．∵y =kx −k =k(x −1)，直线恒过(1,0)， ∴−x 2−2x =kx −k 只有2个交点， 此时△=(2+k)2+4k =0， 解得k =2√3−4，要使f(x)图象与y =kx −k 有3个交点， 可知−4+2√3<k <0． 故选：C ．作出f(x)在[−2,1]的函数图象，根据g(x)在区间[−2,1]上有3个不同的零点，转化为f(x)图象与y =kx −k 的交点问题即可求解．本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，∵顶点B在以AC为直径的圆上，∴∠ABC=90°，∵AD=DC，∴D为△ABC的外心，又PD⊥平面ABC，且AD=DC，∴PA=PC=2，∵PD⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，则△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心．在△PAC中，由余弦定理可得，cos∠APC=22+22−(2√3)22×2×2=−12，∴∠APC=120°，sin∠APC=√32，设△PAC外接圆的半径为R，则2R=ACsin∠APC=2√3√32=4，得R=2．∴其外接球的表面积为S=4π×22=16π．故选：D．由已知可得△ABC为直角三角形，得到AC的中点D为△ABC外接圆圆心，再由PD⊥底面ABC，可得△PAC的外心即为三棱锥P−ABC外接球的球心，求解三角形得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】16π9【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为2，高为4的13圆锥体；故V=13×13×π×22×4=16π9．故答案为：16π9．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】421【解析】解：在闭区间[10,30]中，任取一个整数，基本事件总数n=21，此整数是“通体质数”包含的基本事件有：11，13，17，19，共4个，∴此整数是“通体质数”的概率为P=421．故答案为：421．先求出基本事件总数n=21，再用列法求出此整数是“通体质数”包含的基本事件有4个，由此能求出此整数是“通体质数”的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是基础题．15.【答案】√132【解析】解：设双曲线的右焦点为F2，如图，则|MO|=12|PF2|，在Rt△OF1T中，|OF1|=c，|OT|=a，∴|TF1|=b，|OM|−|MT|=12|PF2|−(12|PF1|−b)=b−a=32−a=12，∴a=1，∴c=√a2+b2=√1+94=√132，故答案为：√132．根据双曲线的性质，定义，设出双曲线右焦点为F2，即可解出a的值，可以直接求出离心率．本题考查了双曲线的定义，性质，学生的运算能力，属于中档题．16.【答案】0【解析】解：f(x)=sin2x +(12sin2x +√32cos2x)+a=32sin2x +√32cos2x +a =√3(√32sin2x +12cos2x)+a=√3sin(2x +π6)+a当x ∈[0,π4]时，2x +π6∈[π6,2π3]，∴当x ∈[0,π4]时，f(x)∈[a +√32,a +√3]，∵对于任意x 1，x 2，x 3∈[0,π4]，f(x 1)+f(x 2 )≥f(x 3) 恒成立， ∴2f(x)min ≥f(x)max ， ∴2(a +√32)≥a +√3，∴a ≥0 ①，∵f(π6)=√3+a ≤√3−a 2，∴a 2+a ≤0，∴−1≤a ≤0 ②，由①②可得a =0． 故答案为：a =0．首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的最值的应用得出结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)由数列{a n }是递增的等差数列，设公差为d ，d >0，由a 1=12，且a 4是a 2与a 8的等比中项，可得a 42=a 2a 8，即(12+3d)2=(12+d)(12+7d)， 解得d =12(0舍去)， 则a n =12+12(n −1)=12n ； (2)1an a n+1=112n⋅12(n+1)=4(1n −1n+1)，则数列{1an a n+1}的前n 项和为4(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =4(1−1n+1)=4nn+1．【解析】(1)设公差为d ，d >0，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，进而得到所求通项公式；(2)求得1a n a n+1=4(1n−1n+1)，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】证明：(1)∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DA⊥BC，∵DA=AC=1，O是AB的中点，△ACO为等边三角形，∴OC=12AB，∴BC⊥AC，∵DA∩AC=A，∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面BCE，∴平面ACD⊥平面BCE．解：(2)取BC的中点R，连接OR，PR，在△ACB，△BCE中，OR，PR分别为中位线，∴OR//AC，PR//BE，∵AD//BE，∴PQ//AD，∵AC⊂平面ACD，PR⊄平面ACD，∴PR//平面ACD，同理OR//平面ACD，∵PR∩OR=R，PR⊂平面OPR，OR⊂平面OPR，∴平面ACD//平面OPR，∵BC⊥AC，∴平面ACD与平面OPR的距离CR=12BC=√32，∵S△ACD=12×1×1=12，∴V Q−ACD=13×12×√32=√312．故三棱锥QACD的体积是定值，值为√312．【解析】(1)根据直角三角形的性质可得BC⊥AC，再根据线面垂直的性质可得DA⊥BC，根据线面垂直和面面垂直的判断定理即可证明．(2)取BC 的中点R ，连接OR ，PR ，根据中位线定理，以及面面平行的判定定理可得平面ACD//平面OPR ，即可求出三棱锥QACD 的体积是为定值，根据三棱锥的体积公式即可求出．本题考查了线线垂直，线面垂直，面面垂直，线线平行，线面平行，面面平行的判定和性质，以及三棱锥的体积公式，属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意知，吸电子烟的有100×11+3=25(人)，不吸电子烟的有100−25=75(人)，由此填表如下：由表中数据，计算K 2=100×(15×50−25×10)225×75×40×60=509≈5.556>3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为吸食电子烟与感染肺部疾病有关； (2)用分层抽样方法抽取8人，吸电子烟的有8×14=2(人)，不吸电子烟的有6人， 从这8个人中任取2人，则这两个人来自同一类别的概率为P =C 22+C 62C 82=47．【解析】本题考查了独立性检验应用问题，也考查了分层抽样方法与古典概型的概率计算问题，是基础题．(1)分别求出吸电子烟和不吸电子烟的人数，填写列联表，计算K 2，对照附表得出结论； (2)求出用分层抽样法抽取的8人中吸电子烟和不吸电子烟的人数，计算所求的概率值．20.【答案】解：(1)先证f (n)(x)=sin(x +nπ2)−ae x−1，当n =1时，f (1)(x)=cosx −ae x−1=sin(x +π2)−ae x−1成立， 假设n =k 时，f (k)(x)=sin(x +kπ2)−ae x−1，成立，则n =k +1时，f (k+1)(x)=(f (k)(x))′=cos(x +kπ2)−ae x−1=sin(x +(k+1)π2)−ae x−1成立，所以f (n)(x)=sin(x +nπ2)−ae x−1，则f (2020)(1)=sin(1+2020π2)−ae 0=sin1−a =sin1，可得a =0，所以f(x)=sinx ，f(2x+π3)=sin(2x+π3)，令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ，k∈Z，所以f(2x+π3)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ]，k∈Z，单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ]，k∈Z．(2)证明：要证f(x)<0，即证sinx<ae x−1，又a≥1，则ae x−1≥e x−1，故只需证sinx<e x−1，令g(x)=e x−1−x，x≥0，则g′(x)=e x−1−1，在(0,1)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，在(1,+∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)=0，所以e x−1≥x，令ℎ(x)=x−sinx，则ℎ′(x)=1−cosx≤0，所以在(0,+∞)上，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0，所以x≥sinx，所以sinx≤x≤e x−1，因为左右两边的不等号不能同时取到，所以sinx<e x−1，所以f(x)<0，得证．【解析】(1)利用数学归纳法证得f(n)(x)=sin(x+nπ2)−ae x−1，由f(2020)(1)=sin1，即可求得a值，从而可得f(2x+π3)，再由正弦函数的单调性即可求解；(2)分析可得要证f(x)<0，只需证sinx<e x−1，再利用导数分别证得e x−1≥x，x≥sinx，即可证明结论成立．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查三角函数的单调性及不等式的证明，考查数学归纳法及分析法的应用，属于难题．21.【答案】解：(1)由题意知，圆M：(x−√6)2+y2=32，所以圆心M(√6,0)，r=4√2，因为线段QN的垂直平分线交线段QM于点T，所以|TQ|=|TN|， 因为|QT|+|TM|=4√2，所以|TM|+|TN|=4√2>2√6=|MN|，由椭圆的定义可知，2a =4√2，2c =2√6，解得a =2√2，c =√6， 所以b 2=a 2−c 2=(2√2)2−(√6)2=8−6=2， 所以曲线C 的方程为x 28+y 22=1．(2)设R(0,y 0)，y 0∈(−√2,√2)，S(0,−y 0)， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线PR 的方程为y −1=y 0−1−2(x −2)， 直线PS 的方程为y −1=y 0+12(x −2)，联立直线PR 与椭圆的方程，消去y 得(y 02−2y 0+2)x 2+4(1−y 0)y 0c +4y 02−8=0，可得2x 1=4y 02−8y 02−2y0+2，所以x 1=2y 02−4y 02−2y0+2， 则y 1=1−y 02(2y 02−4y 02−2y 0+2)+y 0=−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+2，联立直线PS 与椭圆的方程，消去y 得(y 02+2y 0+2)x 2−4(1+y 0)y 0c +4y 02−8=0，所以2x 2=4y 02−8y 02+2y0+2，所以x 2=2y 02−4y 02+2y0+2， 所以y 2=−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2，则A(2y 02−4y 02−2y0+2,−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+2)，B(2y 02−4y 02+2y0+2,−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2)，所以k AB =−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2−−y 02+4y 0−2y 02−2y 0+22y 02−4y 02+2y 0+2−2y 02−4y 02−2y 0+2=y 02−2y 02(y 02−2)，则直线AB 的方程为y −−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2=y 02−2y 02(y 02−2)(x −2y 02−4y 02+2y 0+2)，所以y =y 02−2y 02(y 02−2)x −y 02−2y 0y 02+2y0+2+−y 02−4y 0−2y 02+2y 0+2=y 02−2y 02(y 02−2)x +−2y 02−2y 0−2y 02+2y 0+2，则设直线过定点(m,n)，则y =y 02−2y02(y 02−2)(x −m)+n ，则有−m(y 02−2y 0)2(y 02−2)+n =−2y 02−2y 0−2y 02+2y 0+2，所以−m(y 02−2y 0)(y 02+2y 0+2)+2n(y 02−2)(y 02+2y 0+2)=(−2y 02−2y 0−2)(2y 02−4)，所以−my 04−2my 03−2m +2my 03+4my 02+4my 0+2ny 04+4ny 03+4n −4ny 02−8ny 0−8n =−4y 04+8y 02−4y 03+8y 0−4y 02+8，所以{−m +2n =−4−2m +2m +4n =−4，解得{m =2n =−1，所以直线AB 过定点(2,−1)．【解析】(1)由题意知圆心M(√6,0)，r =4√2，由线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点T ，推出|TQ|=|TN|，得|TM|+|TN|=4√2>2√6=|MN|，由椭圆的定义可知，a =2√2，c =√6，进而可得椭圆的方程．(2)设R(0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线PR ，直线PS 的方程，分别联立椭圆的方程可得A ，B 点坐标，进而写出直线AB 的方程，设直线过定点(m,n)，则y =y 02−2y02(y 02−2)(x −m)+n ，化简，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√22，转换为√22ρcosθ−√22ρsinθ=√22，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标为x −y −1=0．曲线C 的参数方程为{x =mt 2y =mt ，(m ≠0,t 为参数)，转换为直角坐标方程为y 2=mx ．直线与x 轴的交点坐标为(1,0)，故抛物线的焦点坐标为(1,0)，故抛物线的方程为y 2=4x ． 设直线的参数方程为{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)代入抛物线的方程为y 2=4x ，得到t 2−4√2t −8=0(t 1和t 2为M 和N 对应的参数)， 所以t 1t 2=−8，故|TM|·|TN|=|t 1t 2|=8．【解析】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．第21页，共21页 (1)直接利用转换关系，把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.【答案】解：(1)f(x)−f(2x +4)≤1即为|x −1|−|2x +3|≤1，等价为{x ≤−321−x +2x +3≤1或{−32<x <11−x −2x −3≤1或{x ≥1x −1−2x −3≤1， 解得x ≤−3或−1≤x <1或x ≥1，所以解集为{x|x ≤−3或x ≥−1}；(2)当x <−1时，f(ax)+f(−x)+x >0恒成立，可得|ax −1|+|−x −1|+x >0，化为|ax −1|−x −1+x >0，即|ax −1|>1，可得ax −1>1或ax −1<−1对x <−1恒成立，即有a <2x 对x <−1恒成立，或a >0，由x <−1时，2x >−2．所以a ≤−2或a >0，可得实数a 的取值范围是(−∞,−2]∪(0，+∞)．【解析】(1)由绝对值的意义和零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得|ax −1|>1对x <−1恒成立，由绝对值的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。
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2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60A x x x =+-<，集合{|1}B x x =>，则()RA B ⋂=（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2]C ．(1,2)D ．(2,)+∞2.已知复数sin2019cos2019z i =︒+︒，则复平面表示z 的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知向量(3,2)a =，(4,6)b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．512π D ．2π4.《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如右图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart，可用于对研究对象的多维分析）（）A．甲的直观想象素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数据分析素养C．乙的数学建模素养与数学运算素养一样D．乙的六大素养整体水平低于甲5.如图：本次考试成绩查询二维码是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷2178个点，其中落入白色部分的有968个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A．4 B．5 C．8 D．96.已知圆22:(2)16M x y+-=，过点(23,2)P作圆M的弦AB，则弦长AB的最小值为（）A．4 B．6 C．8 D．37.已知数列{}n a的通项公式2812na n n=-+-，前n项和为nS，若n m>，则n mS S-的最大值是（）A .5 B．10 C．15 D．208.函数221,0()log,0x xf xx x-⎧-≤=⎨>⎩，满足()1f x<的x的取值范围（）A．(1,2)-B．(1,)-+∞C ．{|0x x >或2}x <-D ．{|2x x >或1}x <-9.若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且21cos sin 4αα-=，则tan α的值等于（ ）A ．33-B ．33C ．3D ．3- 10.设,A B 是椭圆22:14x y C k+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足120BPB ∠=︒，则k 的取值范围是（ ）A ．(0,1][16,)⋃+∞B ．10,[8,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C ．10,[16,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(0,1][8,)⋃+∞11.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()f x f x '<，则不等式4(1)(23)x e f x e f x ⋅+<⋅-的解集是（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(4,)+∞D ．(,4)-∞12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 是棱1AA 的中点，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1C P平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是（ ）A ．17,5]B ．[4,5]C ．[3,5]D ．17]二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.13.已知数列{}n a 为等差数列，652a a -=，1121a =，若169k S =，则k =______.14.已知向量a 、b 满足||22a =，且b 与b a -的夹角等于4π，则||b 的最大值为______. 15.已知函数()cos2sin f x x x =+，若12,x x 为()f x 的最大值点和最小值点的横坐标，则()12cos x x +=____.16.已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1y x k=交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17.某省即将实行新高考，不再实行文理分科.某校为了研究数学成绩优秀是否对选择物理有影响，对该校2018级的1000名学生进行调查，收集到相关数据如下： （1）根据以上提供的信息，完成22⨯列联表，并完善等高条形图；选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 260 总计6001000（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：()20P K k0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8416.6357.87910.82818.已知数列{}n a 是单调递增的等差数列，2414a a +=且21a -，31a +，47a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列16n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .19.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，3b =，(2)cos cos 0c a B b C -+=.（1）求角B 的大小； （2）求a c +的取值范围.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，60DAB ∠=︒，7PA PD ==，Q F 、分别为AD AB 、的中点，PFAC ⊥.（1）求证：面POF ⊥面ABCD ； （2）求三棱锥B PCF -的体积. 21.已知函数()(ln )xf x a x x xe =+-.（1）当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()0f x <在[1,)x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =时，求函数()f x 的极大值.22.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过l 上一点P 作抛物线C 的两条切线，切点为,A B .（1）求证：直线AB 过焦点F ；（2）若||8PA =，||6PB =，求||PF 的值.高三文科数学参考答案一、选择题（共12小题）1.A 【解析】解：{|32}A x x =-<<，{|3RA x x =-或2}x ，(){|2}[2,)RA x x ==+∞.故选：A.2.C 【解析】解：由sin2019sin2190︒=︒<，cos2019cos2190︒=︒<，故选：C.3.D 【解析】解：0a b ⋅=；a b ∴⊥；a ∴与b 的夹角为2π.故选：D. 4.C 【解析】解：对于A 选项，甲的直观想象素养为4分，乙的直观想象素养为5分，即甲的直观想象素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数据分析素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的数学建模素养为4分数学运算素养为4分，故选项C 正确， 对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 错误，故选：C.5.B 【解析】解：由题意在正方形区域内随机投掷2178个点，其中落入白色部分的有968个点，则其中落入黑色部分的有1210个点，由随机模拟试验可得12102178S S =黑正，又9S =正，即5S ≈黑，故选：B.6.A 【解析】解：圆心坐标为(0,2)过最短弦AB在的直线斜率为x =，则min ||4AB =.故选：A.7.B 【解析】解：根据题意，数列{}n a 的通项公式是2812n a n n =-+-，其前n 项和是n S ，有12n m n n m S S a a a ++-=++⋯+， 即当12n n m a a a ++++⋯+最大时，n m S S -取得最大值；若28120n a n n =-+-，且n N +∈，解可得：26n ≤≤，即当26n 时，n a 的值为正.即当6n =，2m =时，623456343010S S a a a a -=+++=+++=， 此时n m S S -取得最大值10.故选：B. 8.A 【解析】解：当0x ≤时，()1f x <即211x--<，1222x -<=，1x ∴-<，10x -<≤，当0x >时，()1f x <即2log 1x<，02x <<，综上，12x -<<，故选：A. 9.A 【解析】解：由21cos sin 4αα-=，得()241sin 4sin 10αα---=，即24sin4sin 30αα+-=，解得1sin 2α=或3sin 2α=-（舍）.,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，56πα∴=，5tan tan 6πα∴==.故选：A. 10.A 【解析】解：分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况： ①04k <<时，C 上存在点P 满足120APB ∠=︒，假设M 位于短轴的端点时，AMB ∠取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒，120AMB ∠≥︒，60AMO ∠≥︒，1cos cos602AMO ∠=≤︒=，解得01k <≤. ②当椭圆的焦点在y 轴上时，4k >，同理可得16k ≥，k ∴的取值范围是(0,1][16,)⋃+∞，故选A.1l.D 【解析】解：不等式4(1)(23)xe f x e f x ⋅+<⋅-等价为123(1)(23)x x f x f x e e +-+-<， 构造函数()()x f x r x e =，则()()()xf x f x r x e'-'=，又有已知()()f x f x '<， ()0r x '∴<，即()r x 在R 上是减函数，由于123(1)(23)x x f x f x e e+-+-<，可得123x x +>-，解得4x <，即不等式4(1)(23)xe f x e f x ⋅+<⋅-的解集是(,4)-∞，故选：D.12.A 【解析】解：取11A D 中点E ，取1DD 中点F ，连接EF 、1C E 、1C F ，则平面CMN平面1C EF ，是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1C P平面CMN ，P ∴∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ， 在长方体1111ABCD A B C D -中，18AA =，3AB =，8AD =， 点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足1AN NA =，221max11345C P C E C F∴===+=，5EF=，2221min125(22)17C P PO C E EO==-=-=.∴线段1C P长度的取值范围是[17,5].故选：A.二、填空题（共4小题）13.13 【解析】解：设等差数列{}n a的公差为d，则根据652a a-=，1121a=得：121021da d=⎧⎨+=⎩；2d∴=，11a=；又169kS=；(1)169k k k∴+-=；解得13k=.故答案为：13.14.4 【解析】解：向量a、b满足||2a=，且b与b a-的夹角等于4π，如图在OAB△中，令OA a=，OB b=，可得4OBAπ∠=可得点B在半径为R的圆上，2224sinRA==，2R=.则||b的最大值为24R=15.14【解析】解：2()cos2sin2sin sin1f x x x x x=+=-++令sin x t=，则[1,1]t∈-故2()21f x t t=-++，[1,1]t∈-故14t=时，即11sin4x=时，()f x取得最大值，1t=-时，即2sin1x=-时，()f x取得最小值.()121cos4x x∴+=.16.2 【解析】解：联立A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩同理Bam x b ka =- 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩2A B N x x x ∴+=故221am am mk b ka b ka k -+=+--整理解之得：221b a =故2212b e a=+=17.【解析】解：（1）根据题意填写列联表如下，选物理 不选物理 总计 数学成绩优秀 420 320 740 数学成绩不优秀 180 80 260 总计6004001000完善等高条形图，如图所示；（2）计算222()1000(42080180320)12.474 3.841()()()()600400740260n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为数学成绩优秀与选物理有关. 18.【解析】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 由2414a a +=，得3214a =，37a ∴=. 由21a -，31a +，47a +成等比数列，得()()()2324117a a a +=-+，即2(71)(6)(14)d d +=-⋅+，解得2d =或10d =-.又数列{}n a 是单调递增的等差数列故0d >，10d ∴=-（舍去）数列{}n a 的通项公式为2(2)21n a a n d n =+-⋅=+. （2）166113(21)(23)2123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭111111112333557212332323n n S n n n n ⎛⎛⎫∴=-+-+⋯+-=-= ⎪++++⎝⎭⎝. 19.【解析】解：（1）根据题意，(2)cos cos a c B b C -=， 由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ⋅-⋅= 变形可得：2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ⋅=⋅+2sin cos sin()A B B C ∴⋅=+在ABC △中，sin()sin B C A +=2sin cos sin A B A ∴⋅=，即1cos 2B =， 则3B π=；（2）根据题意，由（1）可得3B π=，sin 2B =，又由正弦定理2sin b R B ==，22R ∴=2sin 2sin a R A A ==，2sin 2sin c R C C ==；232(sin sin )2sin sin 2sin 326a c A C C C C C C ππ⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=+=+⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦又由203C π<<，则5666C πππ<+<， 则有1sin 126C π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭， 23a c <+.20.【解析】解：（1）连接BD ，如图所示； 由四边形ABCD 为菱形， 所以AC BD ⊥，又O F 、分别为AD AB 、的中点，所以OF BD ，所以AC OF ⊥；又PF AC ⊥，OF F F =，所以AC ⊥平面POF ；又AC ⊂平面ABCD ，所以平面POF ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知，AC ⊥平面POF ，AC PO ∴⊥；又PO AD ⊥，AD AC A ⋂=，PO ⊥平面BCF ，223PO PA AO =-=在菱形ABCD 中，F 为AB 的中点，60DAB ∠=︒，所以2BF =，120FBC ∠=︒，4BC =，所以FBC △的面积为124sin120232FBC S =⨯⨯⨯︒=△； 所以三棱锥B PCF -的体积为 11233233FBC B PCF P BCF V V S PO --==⋅⋅=⨯=△三棱锥三棱锥. 21.【解析】解：（1）当0a =时，()x f x xe =-，()(1)x f x x e '=-+，(1)f e ∴=-，(1)2f e '=-∴切线方程为2(1)y e e x +=-⋅- 即20ex y e +-=（2）由()(1)1()1(1)(1)x x x a xe f x a x e x x x +-⎛⎫'=+-+=≥ ⎪⎝⎭ （1）a e ≥时，(1)0f a e =-≥，与()0f x <在[1,)+∞上恒成立矛盾，故a c ≥不符合题意.（2）当a e <时，由于1x ≥时，x xe e ≥故0xa xe -<，()0f x '<，()f x ∴在[1,)+∞递减，故max ()(1)0f x f a e ==-<故()0f x <在[1,)+∞上恒成立 a e ∴<符合题意综上可得：实数a 的取值范围是(,)e -∞【注】其他方法酌情给分（3）函数的定义域为(0,)+∞当1a =时，()ln x f x x x xe =+-，()(1)11()1(1)x x x xe f x x e x x +-'=+-+= 令()1x g x xe =-，()(1)0x g x x e '=-+<，则()g x 在(0,)+∞递减.又1102g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，(1)10g e =-<，01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使得0010x x e -=，即()00f x '= 故当()0|0,x x ∈，()0g x >即()0f x '>，()f x ∴在()00,x 递增. 当()0,x x ∈+∞，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x +∞递减. ()00000()ln x f x f x x x x e ∴==+-极大值又001x x e =，00ln 0x x +=，故0000()ln 1x f x x x x e =+-=-极大值22.【解析】解：设点()11,A x y 、()22,B x y 、()1,P a -设直线()111:PA y y k x x -=- 联立()11124y y k x x y x -=-⎧⎨=⎩消x 得：211114440y y y x k k -+-= 由0∆=得2111110k y k x -+=又2114y x =，故2211111104k y k y -+=故2111102k y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故112PA k k y ==，故直线PA 的方程为：()1112y y x x y -=-即1122yy x x =+ 同理22PB k y =直线PB 的方程为：2222yy x x =+. 又P 在直线PA PB 、上 11222222ay x ay x =-+⎧∴⎨=-+⎩ 故()11,A x y 、()22,B x y 在直线22ay x =-+上，故直线AB 的方程为22ay x =-+.令0y =，得1x =∴直线AB 过焦点F .（2）由（1）知联立2224ay x y x=-+⎧⎨=⎩消x 得：2240y ay --= 故122y y a +=，124y y =-，故12221PA PB k k y y ⋅=⋅=- 故直线PA 与直线PB 垂直，从而22||10AB PA PB =+= 又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩()2212124y y x x ∴-=-，12121242AB y y k x x y y a -∴===-+ 又0112PF a a k -==---，1PF AB k k ∴⋅=-故PF AB ⊥ 6824||105PF ⨯∴==。