一元二次方程定义及其解法
1、一元二次方程的定义及解法
第一讲一元二次方程的定义及解法1.1 一元二次方程的定义知识网络图定义直接开平方法一元二次方程配方法解法公式法因式分解法知识概述1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2bx c 0（a 0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项． 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根课堂小练1．（2018?马鞍山二模）已知 a 是方程x2﹣2x﹣1=0 的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（）A ． 1 B．﹣ 2 C．﹣ 2 或 1 D ．22（．2018?岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0 有一个根为1，则m 的值为（）A ．1 B．3 C．0 D．1 或33．（2017 秋?潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x 的一次项系数是（）A ．﹣ 5 B．﹣9 C．0 D ．5课后练习1．（2018?荆门二模）已知 2 是关于x 的方程x2﹣（5+m）x+5m=0 的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（）A ．9 B．12 C．9 或12 D． 6 或12 或152．（2018?河北模拟）若关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+4=0 的解是x=2，则2020+2a﹣b 的值是（）A ．2016B ．2018 C．2020 D．20223．（2017 秋?武城县期末）若关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m 2﹣3m+2=0 的常数项为0，则m 等于1.2 直接开平方法知识概述1．直接开方法解一元二次方程：（1） 直接开方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法 （2）直接开平方法的理论依据：平方根的定义课堂小练1．（2017 春?费县校级月考）解方程：（1）25x 2﹣36=0 课后练习1．（2017 秋?天宁区校级月考）解方程：（1）（x+2）2﹣16=0 1.3 配方法4． 5． A ． 0 B ．1 C ．2 2017 秋?蓬溪县期末）关于 A ．1B ．﹣ 12017 秋?常熟市期末）已知 A ． 2015 D ．1 或 2x 的一元二次方程（C ．±12元二次方程 x 2﹣ xB ．2016C ．2018 22a ﹣ 1) x 2+2ax+1 ﹣ a 2=0 有一个根是 0，则D ．0﹣ 2=0 的一个根是 m ，则 2018﹣ m 2+m 的值是（ D ． 2020（3）能用直接开平方法解一元二次方程的类型：①形如关于 x 的一元二次方程 ，可直接开平方求解可直接开平方求解，两根是2）4（2x ﹣1）2=36．2)x 2﹣2x ﹣4=0．②形如关于 x 的一元二次方程知识概述1．配方法解一元二次方程： （1）配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法 .（2）配方法解一元二次方程的理论依据是公式： （3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 移项：将含未知数的项移到左边，不含未知数的项移到右边； ②化系数为 1：方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③ 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤ 若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解 课堂小练1．（ 2018?临沂）一元二次方程 y 2﹣ y ﹣ =0 配方后可化为（ ）A ．（y+ ） 2=1B ．（y ﹣ ）2=1C ．（y+ ）2=D ．（y ﹣ ）2=22．（2018?旌阳区模拟）用配方法解方程 x 2﹣ x ﹣1=0 时，应将其变形为（）2 2 2 2A ．（x ﹣ ） =B ．（x+ ） =C ．（x ﹣ ） =0D ．（ x ﹣ ） =3．（ 2018?中江县模拟）用配方法解方程： x 2﹣7x+5=0 ．课后练习上方程用配方法变形正确的是（1．（ 2018?秀洲区二模）在《九章算术》 勾股”章里有求方程 2x +34x ﹣71000=0的正根才能解析的题目，以2A ．（x+17 ） 2B ．（x+17）2=71289 2C ．（x ﹣17）2=70711 2D ．（x ﹣17）2=712892．（2017 秋?定安县期末）将一元二次方程 x 2﹣ 4x ﹣ 6=0化成（ x ﹣ a ） 2=b 的形式，则 b 等于（ ）［来A ． 4B ． 6C ． 8D ． 103．（2018?宁河县一模）解下列方程：21）x 2+10x+25=022） x 2﹣ x ﹣1=0．4．（2017?广东模拟）解方程：（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8．1.4 公式法知识概述1. 一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，2. 一元二次方程根的判别式①当时，原方程有两个不等的实数根②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3. 用公式法解一元二次方程的步骤①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c 的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根课堂小练1．（2016 秋?通江县月考）下列方程适合用求根公式法解的是（A ．（x﹣3）2=2 B．325x2﹣326x+1=0 C．x2﹣100x+2500=0 D ．2x2+3x ﹣1=0 2．（2016秋?惠安县校级期中）用求根公式法解方程x2﹣2x﹣5=0 的解是（）A ．x1 =1+ ，x2=1﹣B．x1=2+ ，x2=2﹣C．x1=1+ ，x2=1﹣ D ．x 1=2+ ，x2=2﹣[来源学§科§网Z§X§X§K]3．（2018?和平区模拟）解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4=0．课后练习1．解方程2（1）3x2+5x+1=0 ．1.5 因式分解法知识概述1.用因式分解法解一元二次方程的步骤1）将方程右边化为0；2）将方程左边分解为两个一次式的积；3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式）要点诠释：22)2x2﹣7x+6=03）4x2﹣3=12x（用公式法解）24）2x2+3x=1 （用公式法解），十字相乘法等[来源 学#科# 网 Z#X#X#K]（ 1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的 积；（ 2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0； （ 3）用分解因 式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以含有 未知数的代数式 . 课堂小练1．（ 2018?泸县模拟）解方程： x （x ﹣1）=4x+6 ．2．（2017 秋?白银期末）解方程：（1）3（ x ﹣ 1） 2=x （x ﹣1）课后练习1．解方程（1） 4x 2﹣ 8x+3=0（2）x （x+6）=7 （3）2（x ﹣3）2=5（3﹣x ）22）4）3x（x﹣1）=2（x﹣5）x（x+5）=14；6）x（x﹣2）+（x﹣2）=0．1）[来源学#科# 网Z#X#X#K]。
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。
（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。
公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。
一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。
例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。
2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。
（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。
2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。
3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。
一元二次方程概念及其解法
对于一元二次方程，最多有两个解，也 可能有一个解或无解。
解的情况取决于判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值：当 $Delta > 0$ 时，方 程有两个不相等的实数根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根 （即一个重根）；当 $Delta < 0$ 时，
方程无实数根。
其他实际问题
增长率问题
已知某量的增长率和初始值，求经过一段时间后 的总量。
储蓄问题
已知本金、利率和存款期限，求到期后的本息和。
工程问题
已知工作效率和工作时间，求工作总量或剩余工 作量。
05 一元二次方程与函数关系 探讨
一元二次函数图像性质
开口方向
当a>0时，抛物线开口 向上；当a<0时，抛物
线开口向下。
对称性
顶点
抛物线关于对称轴对称， 对称轴为x=-b/2a。
抛物线的顶点坐标为(b/2a, c-b^2/4a)，是抛 物线的最高点或最低点。
与x轴交点
当Δ=b^2-4ac≥0时，抛 物线与x轴有交点，交点 坐标为(-b±√Δ/2a, 0)。
判别式与函数图像关系
判别式Δ=b^2-4ac 的值决定了抛物线与 x轴的交点个数
frac{n}{m}$，$x_2 = frac{q}{p}$
03 特殊类型一元二次方程求 解
完全平方型
概念
示例
完全平方型一元二次方程是指可以化 为 $(x+a)^2=b$ 或 $(x-a)^2=b$ 形式的一元二次方程。
方程 $(x+3)^2=16$ 可以化为 $x+3=pm4$，解得 $x=-3pm4$， 即 $x_1=1$，$x_2=-7$。
一元二次方程的概念及解法
一元二次方程一、一元二次方程的概念：（1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）•整式方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．练习: 判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．练习:一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_____，一次项系数为_______，常数项为______．2．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1、关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？2、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？3、当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于x的一元二次方程二、一元二次方程的解：复习：方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习: 关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值三，一元二次方程的解法的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程的解法总结
一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法和分解法）一元二次方程定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式:ax²+bx+c=0(a,b，c为常数，x为未知数，且a≠0）.顶点式: y=a（x—h）²+k（a≠0，a、h、k为常数）交点式：y=a（x—x₁）（x—x₂）(a≠0）［有交点A（x₁，0)和B（x₂，0)的抛物线，即b²-4ac≥0］ .直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x—m）²=n(n≥0）的方程，其解为x=m±配方法：1.将此一元二次方程化为ax²+bx+c=0的形式（此一元二次方程满足有实根）2.将二次项系数化为13.将常数项移到等号右侧4。
等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.将等号左边的代数式写成完全平方形式6。
左右同时开平方7.整理即可得到原方程的根公式法:1。
化方程为一般式：ax²+bx+c=0 (a≠0）2。
确定判别式，计算Δ(=b²—4ac)；3。
若Δ〉0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=若Δ=0,该方程在实数域内有两个相等的实数根:x₁=x₂=若Δ〈0,该方程在实数域内无实数根因式分解法:因式分解法又分“提公因式法”;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
用因式分解法解一元二次方程的步骤1. 将方程右边化为0;2. 将方程左边分解为两个一次式的积;3. 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；4. 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
用待定系数法求二次函数的解析式（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0）.(2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时,可设解析式为顶点式：y=a（x-h）²+k（a≠0)。
一元二次方程定义及其解法(配方法)
一元二次方程定义及其解法(配方法) 一元二次方程的定义及其解法（配方法）一、目标导航1.掌握一元二次方程的定义及a、b、c的含义；2.掌握配方法解一元二次方程的方法。
二、教学重难点重点：1.掌握一元二次方程的定义及a、b、c的含义；2.掌握配方法解一元二次方程的方法。
难点：配方法解一元二次方程。
三、走进教材知识点一：一元二次方程的定义1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。
举例：x^2+2x-3=0.3.一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。
自主练：下列方程中，是一元二次方程的有。
（填序号）①x=5；②x+y-3=0；③3x^2+2x-5x-3=0；④x(x+5)=x-2x^2；⑤2x^2-5x+8=0；⑥4x^2-2y^2=0.知识点二：配方法解一元二次方程1.解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。
2.配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成(x+n)^2=p（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。
3.配方法具体操作：1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举例：解方程x^2+2x-3=0.2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配方。
举例：解方程2x^2+2x-3=0.4.(x+n)^2=p（p≥0）的解法：对于方程(x+n)^2=p（p≥0），它的左边是一个完全平方式，右边是非负数，利用平方根的定义，可以将这个方程进行降次，降为两个一元一次方程，即x+n=√p和x+n=-√p，解两个一元一次方程即可。
1.一元二次方程的概念及解法(教师)
一元二次方程的概念和解法模块一 一元二次方程的概念1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式()ax bx c a 2++=0≠0，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax bx c 2++=0 (a ≠0)．要特别注意对于关于x 的方程ax bx c 2++=0．当a ≠0时，方程是一元二次方程；当a =0且b ≠0时，方程是一元一次方程．（3）关于x 的一元二次方程式()ax bx c a 2++=0≠0的项与各项的系数．ax 2为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．模块二 一元二次方程的解法1．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如()(),≥ax b c a c 2+=≠00的一元二次方程． （2）配方法：解形如()ax bx c a 2++=0≠0的一元二次方程， 运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①二次项系数化为1． ②常数项右移．③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）． ④化成()x m n 2+=的形式．⑤若≥n 0，直接开平方得出方程的解．（3）公式法：将()ax bx c a 2++=0≠0进行配方可以得到：b b ac x a a 222-4⎛⎫+= ⎪24⎝⎭．当≥b ac 2-40时，两个根为,x 12=，其中b ac 2-4=0时，两根相等为bx x a12-==2；当b ac 2-4<0时，没有实数根．可以用△表示b ac 2-4，△称为根的判别式． 运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值； ③计算b ac 2-4的值；④若≥b ac 2-40，则代入公式求方程的根； ⑤若b ac 2-4<0，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式． 因式分解法的一般步骤：①将方程化为一元二次方程的一般形式； ②把方程的左边分解为两个一次因式的积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解．2．一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，把一元二次方程的一般形式ax bx c 2++=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）转化为它的简单形式()A x B C 2-=，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（2）公式法：公式法是由配方法演绎得到的，同样适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算b ac 2-4的值．（3）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【教师备课提示】说到方程，大家都知道方程是怎么来的吗？？？说到一元二次方程不得不提到三个人，丢番图，花拉子米和韦达的故事（根据进度控制故事时长）．模块一 一元二次方程的概念例1、（1）下面关于x 的方程中：①ax bx c 2++=0；②()()x x 223-9-+1=1；③x x21++5=0；④x x 23-2+5-6=0；⑤||x x 2-3-3=0；⑥x kx 2++3=0（k 为常数）是一元二次方程_________．（2）若一元二次方程()()m x m x m 222-2+3+15+-4=0的常数项为零，则m 的值为_________．（3）若a b a b x x 2+--3+1=0是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．【解析】（1）②⑥．（2）由题意可知，m 2-4=0，m -2≠0，故m =-2 （3）分以下几种情况考虑：①a b 2+=2，a b -=2，此时a 4=3，b 2=-3；②a b 2+=2，a b -=1，此时a =1，b =0； ③a b 2+=1，a b -=2，此时a =1，b =-1；【教师备课提示】这三道题主要考察学生们对一元二次方程的基本概念的理解，比较简单，但是第三个小题容易犯错误。
一元二次方程概念与解法
一元二次方程概念与解法教学目标1•了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程2•能够利用一元二次方程解决简单的实际问题。
教学重点一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、分解因式法。
教学难点列一元二次方程解决实际问题。
知识点梳理：一元二次方程知识框图：1•一元二次方程：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。
2. —元二次方程的一般形式：a2x+bx+c=0(a丰0)3•—元二次方程的解法直接开平方法：适用于(mx+n) 2=h (h > 0)的一元二次方程。
配方法：适用于化为一般形式的一元二次方程。
关键：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
公式法：-b b2 4acx=(b2-4ac> 0)2a关键：b2-4ac>0时，方程才有解。
因式分解法：适用于方程右边是0,左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
4 .一元二次方程ax2+bx+c=0 (a丰0)的根的判别式是_____________________ ，当 _______ 时，它有两个不相等的实数根；当_____________ 时，它有两个相等的实数根；当 ____________ 时，？它没有实数根.5.根的判别式及应用(△ =b2-4ac)(1) 判定一元二次方程根的情况.△ >0 有两个不相等的实数根 △ =0 有两个相等的实数根 △ <0 没有实数根； △ > 0有实数根•6.根与系数的关系(韦达定理)的应用bc 韦达定理：如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 工的两根为X 1、X 2，则X 1+X 2=-,X 1 X 2=.aa(1) 已知一根求另一根及未知系数； (2) 求与方程的根有关的代数式的值 ； (3) 已知两根求作方程；(4) 已知两数的和与积，求这两个数； (5) 确定根的符号：(X i ,X 2是方程两根).0,一元二次方程的应用解应用题的关键是把握题意 是否符合实际意义• 例题讲解1： 一元二次方程基本概念(1) mf-3x+x 2=0是关于X 的一元二次方程的条件是 A m=1 B m 丰-1 C m 丰0 D m为任意实数(2) (k-1 ) x 2-kx+仁0是关于x 的一元二次方程的条件是 Js 丰1_.有两正根X ,x 2x ,x 2 00,有两负根有一正根一负根0,X 1 x 2 x 1x 20,0, X 1X 2 0有一正根一零根0,X 1 X 2 0 X 1X 2 0 有一负根一零根0, X 1 x 2 0X 1=X 2=00, X i X 2，找准等量关系，列出方程•？最后还要注意求出的未知数的值(3) _____________________________________ 已知方程mX+mx+3m-X+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m ___________________________ 时，为兀一次方程1. 关于x 的方程(k — 3)X 2+ 2x — 1 = 0,当k _______ 时，是一元二次方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
班级姓名课题一元二次方程定义及其解法（配方法）
一、目标导航
1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义；
2.掌握配方法解一元二次方程的方法.
二、教学重难点
重点：1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义；
2.掌握配方法解一元二次方程的方法.
难点：配方法解一元二次方程.
三、走进教材
知识点一：一元二次方程的定义
1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：
()
200
++=≠，其中2ax叫做二次项，a叫做二ax bx c a
次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系
数，c叫做常数项。
举例：2230
+-=
x x
3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。
自主练习： 下列方程中，是一元二次方程的有 。
（填序号）
①2
5x =； ②30x y +-=； ③253302x x +-=；
④2(5)2x x x
x +=-； ⑤23580x x -+=； ⑥2
04y y -=。
知识点二：配方法解一元二次方程
1. 解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。
2. 配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成()2x n p
+=
（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做
配方法。
3. 配方法具体操作：
（1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举
例：解方程2230
+-=，
x x
（2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配
方。
举例：解方程22230
+-=。
x x
4. ()2
x n p
+= +=（p≥0）的解法：对于方程()2
x n p
（p≥0），它的左边是一个完全平方式，右边是非负数，利用平方根的定义，可以将这个方程进行降次，降为两个一元一次方
程，即x n p +=和x n p +=-，解两个一元一次方程即可。
自主练习：
题型一：直接开平方法
1.2(1)2x -=
2.2(2)(0)x a a +=≥
题型二：配方法
（1）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A. ()2
16x += B. ()216x -= C. ()229x += D. ()229x -= （2）下列方程中，一定有实数解的是（ ）
A. 210x +=
B. 2
2x a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C. ()22130x ++= D. ()2210x +=
合作探究
活动一：二元一次方程的理解
已知关于x 的方程22(1)(1)0m x m x m --++=．
（1）x 为何值时，此方程是一元一次方程
（2）x 为何值时，此方程是一元二次方程并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
变式练习：
把方程x (2x －1)=5(x +3)化成一般形式是 ，其中二次项是_________，一次项系数是_________，常数项是_________。
活动二：配方法解一元次方程
1、用配方法解下列一元二次方程
（1）276x x -=-； （2）2310x x -+=。
跟踪训练一：
（1）264x x -=；
（2）28120x x -+=。
2、利用配方法解一元二次方程：
（1）02522=+-x x ；
（2）23410x x -++=
跟踪训练二：
（
1）2x 2－x =0； （2）12
x 2+2x －1=0。
知识构建：
堂清练习：
1 .于x 的方程()()21+1310m x m x m -++-=，当m _______时，是一元一次方程； 当m _______时，是一元二次方程。
2.用配方法解一元二次方程
（1）23 1.750x
x --= （2）21104x x -+=
感悟反思：。