一元二次方程知识点归纳
一元二次方程知识点总结
知识点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识点二、一元二次方程的解法1．直接开方法；2．配方法；用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方；求出方程的解；如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.3．公式法；(1)一元二次方程求根公式：一元二次方程，当时，.(2)一元二次方程根的判别式．①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.(3)用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.4．因式分解法；(1)用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.(2)常用因式分解法：提取公因式法，平方差公式、完全平方公式.知识点三、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，或将一个量表示两遍，由此得到方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 答(切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题.知识点四、一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实根是x 1， x 2，那么.注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.知识点一：一元二次方程的定义及解法只含有一个未知数，且未知数的最高次数是________，这样的整式方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的常见解法（1）__________；（2）__________；（3） ；（4） .例1：（2009·新疆建设兵团）解方程：2(3)4(3)0x x x -+-=． 【解析】可以用因式分解法或公式法解一元二次方程. 解法一：2(3)4(3)0x x x -+-=(3)(34)0x x x --+= (3)(53)0x x --=30x -=或530x -=12335x x ==， 解法二：22694120x x x x -++-=251890x x -+=x =181210±=12335x x ==，同步测试：1. （2009·浙江省台州市）用配方法解一元二次方程542=-x x 的过程中，配方正确的是（ ）A ．（1)22=+xB ．1)2(2=-xC ．9)2(2=+xD ．9)2(2=-x 2. （2009·四川省南充市）方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ） A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x =知识点二：一元二次方程的解的应用例2. （2009·山东省日照市）．若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为 （ D ）（A ）1 （B ）2 （C ）-1 （D ）-2同步测试：1.（2009·湖南省长沙市）．已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-2. （2009·山东省威海市）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．知识点三：一元二次方程根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式___________.（1）0∆>⇔_________________； （2）0∆=⇔________________； （3）0∆<⇔_________________.例3：（2009·成都市）若关于x 的一元二次方程0122=--x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A.k ＞-1B. k ＞-1且k ≠0C.k ＜1D. k ＜1且k ≠0【解析】因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以必须满足两个条件，⎩⎨⎧≠>∆0k ，解之得，k ＞-1且k ≠0，故选B. 【答案】B同步测试：1．（2009 芜湖）当m 满足 时，关于x 的方程21402x x m -+-=有两个不相等的实数根． 2．（2009·山东省泰安市）关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 。
一元二次方程知识点与考点
一元二次方程复习考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax例1、当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
练习：若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 .考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。
练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）A 1-B 1C c b -D a -6、若=∙=-+y x 则y x 324,0352 。
考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法： 对于以下等形式均适用直接开方法①2(0)x a a =≥ 解为：x =②2()(0)x a b b +=≥ 解为：x a +=③2()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b +=④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ 例1、解方程：()216251x -=0; ()();09122=--x 例2、若()()2221619+=-x x ，则x 的值为 。
一元二次方程知识点
一元二次方程知识点归纳1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. （重点）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
练习：知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由.(1)2x 2-x-3=0. (2)4y -y 2=0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21x-3=0.(7)x x 32 =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2. (9)3x 2-x 4+6=0. (10)3x 2=4x-3. 1、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 （ ） （A ）2（B ）－2（C ）0（D ）不等于22、已知关于x 的方程()()03122=+-++p x n x m ，当 时，方程为一次方程；当 时，两根中有一个为零a 。
3、已知关于x 的方程()2220mm x x m --+-=：（1） m 为何值时方程为一元一次方程； （2） m 为何值时方程为一元二次方程。
完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)
完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)一元二次方程专题复考点一、概念一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
一般表达式为ax^2+bx+c=0，其中a不等于0.关于“未知数的最高次数是2”，需要注意以下三点：一是该项系数不为0；二是未知数指数为2；三是若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）：A。
2x^2+11x-2=0B。
ax^2+bx+c=DC。
2x=x+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。
例2、方程m+2xm+1=0是关于x的一元一次方程，求m 的值，并写出关于x的一元一次方程。
针对练：1.方程8x^2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为多少？2.若方程m-2x=0是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出关于x的一元一次方程。
3.若方程(m-1)x+m·x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是多少？4.若方程nx+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）：A。
m=n=2B。
m=2.n=1C。
n=2.m=1D。
m=n=1考点二、方程的解方程的解是指使方程两边相等的未知数的值。
根的概念可用于求代数式的值。
典型例题：例1、已知2y+y^2-3的值为2，则4y+2y^2+1的值为多少？例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+a-4=0的一个根为2，求a的值。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为多少？例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为多少？针对练：1.已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为多少？另一根是多少？2.已知关于x的方程x^2+kx-2=0的一个解与方程(x+1)/(x-1)=3的解相同，求k的值，并求方程的另一个解。
一元二次方程知识点总结(全章齐全)
一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。
②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。
(2)确定a,b,c的值。
(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。
(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。
·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。
(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。
(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。
(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。
根的判别情况判别式：b2-4ac的值x1、x2的关系根的具体值一元二次方程两根与系数的关系：。
一元二次方程知识点归纳
一元二次方程知识点归纳一、一元二次方程的概念：1、含有1个未知数；2、未知数最高次数是2；3、必须整式方程（分母不能含有未知数）4、形式：）（002≠=++a c bx ax5、二次项：2ax ；一项：bx ；常数项 ：c6、二次项系数：0≠a ；一次项系数 ：b （全体实数）；常数项 ：c （全体实数）二、解方程的方法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法（1）02=+c ax c ax —=2 a c x —=2 ac x -±= （2）02=+bx ax 0=+）（b ax x a b x x -==210； （3）p n mx =+2)（ p n mx ±=+ n p mx —±= mn p x -±=（4）0)()(=+++b ax N b ax M 0)(=++b ax N M ）（（5）02=++n mx x n m m mx x -=++222)2()2( 44)2(22n m m x —=+ 4422n m m x —±=+ 242m n m x --±= （6）)0(02≠=++a c bx ax ）（ac b b x 422-=∆∆±-=三、一元二次方程根的判别式——ac b 42-=∆1、一元二次方程根的情况： ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<∆⎪⎩⎪⎨⎧==∆≠>∆≥∆（无解））（有两个相等实数根：）：（有两个不相等实数根（有两个实数根）00002121x x x x 2、规律：（1）当0<ac 时，必定0>∆，即一元二次方程有两个不相等实数根（2）当c=0时，ab x x -==210；，即一元二次方程有一根为0 （3）当b=0时，ac x —±=，即一元二次方程两根互为相反数 （4）当a=c 时，一元二次方程两根互为倒数四、一元二次方程的“根”（1）“根”：代入原方程使得左右两边相等的未知数的值（2）韦达定理：a b x x -=+21；a c x x =21；cb x x —=+2111； 2122122212x x x x x x —）（+=+ ；212212214)(x x x x x x —）（+=-五、配方法的应用（1）解一元二次方程（2）讨论∆（3）讨论恒值（4）平方的非负性六、应用题（1）“围栏”问题①设宽为x ；利用周长用x 的代数式表示长（注意：有围墙与无围墙区别） ②利用矩形面积公式列出并列出方程③结合实际，列出关于长、宽取值范围的不等式组，解得x 的取值范围（2）“边框问题”（挖角）（3）“挖路问题”（平移计算）（4）平均增长率：n x a M )1(+=（M ：后量；a ：现量；x ：增长率；n ：经过次数）（5）“握手”问题——单循环：2)1(-n n ；双循环：）（1-n n （6）直角三角形问题（7）“黄金分割”：215-=x （8）多边形的对角线条数：2)3(-n n （9）利润问题：调价幅度与销量增减成比例关系①设调价为x ；根据题意得，销量增幅：kx②调价后单价=原售价±调价；调价后销量=原销量±销量增幅调价后总收入=调价后单价×调价后销量③进货量=调价后销量④总成本=单成本×进货量5调价后总利润=调价后总收入-总成本（2）①单利润=单售价—单成本②总利润=单利润×销量。
一元二次方程总复习知识点梳理
一元二次方程总复习知识点梳理一元二次方程总复考点1：一元二次方程的概念一元二次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0的方程。
一般形式为ax2＋bx+c=0（a≠0）。
判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a)2=b（b≥0）的方程，两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
解法为x1=-a+√b，x2=-a-√b。
2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a)2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0，则原方程无解。
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。
它是通过配方推导出来的。
一元二次方程的求根公式是x=(-b±√(b2-4ac))/2a（b2-4ac≥0）。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。
理论根据：若ab=0，则a=0或b=0.步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
因式分解的方法有提公因式、公式法、十字相乘法。
5.一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。
⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2-4ac＜0，则方程无解。
⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式。
一元二次方程知识点总结
21章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念:等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
注意:（1）一元二次方程必须是一个整式方程；(2）只含有一个未知数；(3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：，它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.注意：（1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
(2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。
（3）形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程.二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如：当时,所以是方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法:直接开平方法理论依据：平方根的定义。
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
根据平方根的定义可知，是b的平方根,当时，,，当b<0时，方程没有实数根。
三种类型:（1）的解是；（2)的解是；（3）的解是.2、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
（一）用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式（2）在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数；（3）把原方程变为的形式。
（4）若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。
(二）用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把一元二次方程化成一般形式（2) 先把常数项移到等号右边，再把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(3）在方程的左、右两边加上一次项系数绝对值的一半的平方把原方程化为的形式；(4）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程.3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
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一元二次方程知识点
一、知识清单梳理
知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例
1.一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方
程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次
项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常
数项．
例：方程20
a
ax+=是关于x
的一元二次方程，则方程的根为－
1.
2 .一元二
次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方
求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解
法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为
x=
24
2
b b ac
a
-±-（b2-4ac≥0）.
(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶
数时，也可以考虑用配方法．
解一元二次方程时，注意
观察，先特殊后一般，即先
考虑能否用直接开平方法和
因式分解法，不能用这两种方
法解时，再用公式法.
例：把方程x2+6x+3=0变
形为(x+h)2=k的形式后，
h=-3,k=6.
知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
3 .根的判别式
(1)当Δ＝24
b ac
-0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝24
b ac
-0时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当Δ＝24
b ac
-0时，原方程没有实数根．
例：方程2210
x x
+-=的判
别式等于8，故该方程有两个不相
等的实数根；方程2230
x x
++=
的判别式等于－8，故该方程没有实
数根.
*
4.根与系数的关系
（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两
个根分别为x1、x2,则x1+x2= ；x1x2= 。
注意运用根与系数
关系的前提条件是△≥0.
（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式
的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与
系数的关系求解.
与一元二次方程两根相关代数
式的常见变形：
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,
(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,
12
1212
11x x
x x x x
+
+=
等.
失分点警示
在运用根与系数关系解题时，
注意前提条件时△=b2-4ac≥0.a≠0
知识点三：一元二次方程的应用
4 .列一元
二次方程解应用题
（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；
④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．
运用一元二次方程解决实
际问题时，方程一般有两个实
数根，则必须要根据题意检验
根是否有意义.
（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面
应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，
x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后
的量；
②销售问题;利润问题,利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.。