数学物理方法知识点归纳
初中数学和物理归纳总结
初中数学和物理归纳总结初中数学和物理是学生在学习过程中的两门重要学科。
它们以其独特的规律性和实践性，对学生成长发挥着重要的作用。
本文将对初中数学和物理的知识进行归纳总结，以帮助学生更好地掌握这两门学科。
一、初中数学的归纳总结初中数学是一门基础学科，它涵盖了许多重要的数学概念和方法。
在这里，我将对初中数学的几个重点部分进行归纳总结。
1. 整数与有理数整数与有理数是数学中最基础的概念之一。
初中阶段，我们学习了整数的加减乘除、有理数的加减乘除以及它们之间的关系。
在实际运用中，我们可以使用整数和有理数解决各种问题，比如计算温度变化、计算钱币兑换等。
2. 几何的基本概念与运算几何学是数学的一个重要分支，它研究空间形状、大小、位置等问题。
在初中数学中，我们学习了平面图形的性质、立体图形的性质以及它们之间的关系。
通过学习几何，我们可以更好地理解和应用形状和结构。
3. 代数与方程代数是数学中研究数与数关系的一门学科。
在初中阶段，我们学习了代数表达式的运算、代数方程的解法，以及一次方程与简单二次方程的应用。
代数的学习让我们能够用符号表示未知数，并通过方程求解实际问题。
4. 数据与概率数据和概率是数学中与实际生活联系最密切的领域之一。
在初中数学中，我们学习了数据的收集、整理、分析以及概率的计算。
通过数据和概率的学习，我们可以更好地理解和应用统计学的方法，作出合理的预测和判断。
二、初中物理的归纳总结初中物理是一门应用性很强的学科，它通过实验和观察来探索物质运动的规律。
下面是初中物理几个重点内容的归纳总结。
1. 运动与力物理学研究物体运动和力的作用。
在初中物理中，我们学习了平抛运动、自由落体运动以及力的作用等知识。
通过学习这些内容，我们可以更好地理解物体的运动规律，解释各种物理现象。
2. 力的作用与转化力的作用是物体进行运动或发生形变的原因。
在初中物理中，我们学习了摩擦力、弹性力、重力等各种力的作用与转化规律。
通过学习这些内容，我们可以更好地掌握物体力学的基本原理。
数学物理方法整理(全)
CR条件极坐标形式
u 1 v 1 u v
f z u v u v 0 CR条件： i 0 z x y y x 解析函数 性质1、f(z)在区域 B 解析，u(x,y)和v(x,y)为共轭调和函数 u(x,y)和v(x,y)都满足二维 Laplace 方程
若l所围区域包围n个奇 点b1 b2 b3 ….， bn , 则 单极点
f z dz 2 i Re sf (b )
l j 1 j
n
称为留数定理
Re sf ( z0 ) lim ( z z0 ) f ( z )
z z0
m 1
1 d m Re sf ( z ) lim { [( z z ) f ( z )]} m阶极点 0 0 m 1 z z0 (m 1)! dz
m为z0的阶，z 0为m阶极点，一阶极点 单极点 z0本性奇点 m ,
第四章 留数定理
l
f ( z )dz ak ( z z0 ) k dz 2ia1 2i Re sf z0
k l0
a1 Re sf ( z0 )
a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
k
k
0
f(z)正幂部分称为解析部分，负幂部分称为主要部分 (z-z0 )-1的系数a-1称为f(z)在 奇点z0的留数
若 f ( z) a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 z0可去奇点
m m1 f ( z ) a ( z z ) a ( z z ) ... a0 a1 ( z z0 ) 若 m 0 m1 0
f ( z)
数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳
数学物理方法知识点总结数学物理方程知识点归纳一、力学1.物质的运动和静止是相对参照物而言的。
2.相对于参照物，物体的位置改变了，即物体运动了。
3.参照物的选取是任意的，被研究的物体不能选作参照物。
4.力的作用是相互的，施力物体同时也是受力物体。
5.力的作用效果有两个：使物体发生形变。
使物体的运动状态发生改变。
6.力的三要素：力的大小、方向、作用点。
7.重力的方向总是竖直向下的，浮力的方向总是竖直向上的。
8.重力是由于地球对物体的吸引而产生的。
9.一切物体所受重力的施力物体都是地球。
10.两个力的合力可能大于其中一个力，可能小于其中一个力，可能等于其中一个力。
11.二力平衡的条件(四个)：大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，作用在同一个物体上。
12.用力推车但没推动，是因为推力小于阻力(错，推力等于阻力)。
13.影响滑动摩擦力大小的两个因素：接触面间的压力大小。
接触面的粗糙程度。
14.惯性现象：(车突然启动人向后仰、跳远时助跑、运动员冲过终点不能立刻停下来)。
15.物体惯性的大小只由物体的质量决定(气体也有惯性)16.司机系安全带，是为了防止惯性(错，防止惯性带来的危害)。
17.判断物体运动状态是否改变的两种方法：速度的大小和方向其中一个改变，或都改变，运动状态改变。
如果物体不是处于静止或匀速直线运动状态，运动状态改变。
18.物体不受力或受平衡力作用时可能静止也可能保持匀速直线运动。
二、热学1.实验室常用温度计是利用液体热胀冷缩的性质制成的2.人的正常体温约为36.5℃。
3.体温计使用前要下甩，读数时可以离开人体。
4.物质由分子组成，分子间有空隙，分子间存在相互作用的引力和斥力。
5.扩散现象说明分子在不停息的运动着;温度越高，分子运动越剧烈。
6.密度和比热容是物质本身的属性。
7.沿海地区早晚、四季温差较小是因为水的比热容大(暖气供水、发动机的冷却系统)。
8.物体温度升高内能一定增加(对)。
9.物体内能增加温度一定升高(错，冰变为水)。
数学、物理知识点
初中数学知识点总结一、基本知识一、数与代数A、数与式：1、有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根；0的平方根为0；负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
数学物理方法知识点
数学物理方法知识点数学物理方法是物理学中的重要工具，它涉及到了许多数学概念和方法的应用。
在物理学的研究中，数学物理方法可以帮助我们更好地理解物理现象，推导物理定律，解决物理问题。
本文将介绍一些数学物理方法的知识点，希望能够对读者有所帮助。
1. 微积分。
微积分是数学物理方法中的基础，它包括了微分和积分两个部分。
微分可以帮助我们求出函数的导数，从而得到函数的变化率；而积分可以帮助我们求出函数的不定积分和定积分，用来计算曲线下的面积、求解定积分方程等。
在物理学中，微积分常常被用来描述物理量的变化、计算物理量之间的关系等。
2. 线性代数。
线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支，它在物理学中有着广泛的应用。
在量子力学中，线性代数被用来描述量子态和算符的性质；在电磁学中，线性代数被用来描述电场和磁场的分布和变化。
因此，掌握线性代数的知识对于理解物理学中的许多问题至关重要。
3. 偏微分方程。
偏微分方程是描述多变量函数之间关系的数学方程，它在物理学中有着广泛的应用。
在热传导、波动方程、量子力学等领域，偏微分方程被用来描述物理系统的演化规律和性质。
因此，掌握偏微分方程的求解方法对于理解物理学中的许多现象至关重要。
4. 变分法。
变分法是一种数学工具，它在物理学中被用来寻找能量最小值或者最优路径。
在经典力学、量子力学、场论等领域，变分法被广泛应用。
通过变分法，我们可以得到物理系统的运动方程、稳定性条件等重要结果。
5. 特殊函数。
特殊函数是一类在物理学中经常出现的函数，如贝塞尔函数、勒让德多项式、超几何函数等。
这些特殊函数在解决物理问题时起着重要的作用，它们有着独特的性质和应用。
掌握特殊函数的性质和求解方法对于理解物理学中的许多问题至关重要。
总结：数学物理方法是物理学中不可或缺的工具，它涉及到了许多数学概念和方法的应用。
微积分、线性代数、偏微分方程、变分法、特殊函数等知识点在物理学中有着广泛的应用，掌握这些知识对于理解物理学中的许多问题至关重要。
数学物理方法复习总结
数学物理⽅法复习总结数学物理⽅法教材：梁昆淼编写的《数学物理⽅法》[第四版]内容：第⼀篇复变函数论第⼆篇数学物理⽅程第⼀章复变函数⼀、复数1、复数的定义iy x z +=——代数式)sin (cos ??ρi z +=——三⾓式ρi e z =——指数式重点：复数三种表⽰式之间的转换！实部： z x Re = 虚部：z y Im = 模：22y x z +==ρ主辐⾓：)(arg x yarctg z = ,2a r g 0π<≤z辐⾓：πk z Argz 2arg +=),2,1,0( ±±=k共轭复数:iy x z +=*z x i y =- 2、复数的运算:加、减、乘、除、乘⽅、开⽅(1)、加法和减法(2)、乘法和除法))((221121iy x iy x z z ++=)()(12212121y x y x i y y x x ++-= )()(212121y y i x x z z ±+±=±111iyx z +=222iy x z +=21z z *222222211))((y x iy x iy x +-+=2222211222222121y x y x y x i y x y y x x +-+++=(2)、乘法和除法121111122222(cos sin )(cos sin )i i z i ez i eρ??ρρ??ρ=+==+=两复数相乘就是把模数相乘, 辐⾓相加;两复数相除就是把模数相除, 辐⾓相减。
(3) 复数的乘⽅和开⽅（重点掌握） )]sin()[cos(21212121ρρ-+-=i z z )(2121??ρρ-=i e 12121212[cos()sin()]z z i ρρ=+++)(2121??ρρ+=i e n i n e z )(?ρ=?ρin n e =)sin (cos ??ρn i n n +=或（n 为正整数的情况)棣莫弗公式：n i n i nsin cos )sin (cos +=+复数的乘、除、乘⽅和开⽅运算，采⽤三⾓式或指数式往往⽐代数式来得⽅便。
数学物理方法第一章
x1 iy 1 x 2 iy 2
x1 iy 1 x 2 x 2 iy 2 x 2
iy 2
iy 2
i
x 2 y 1 x1 y 2 x2 y2
2 2
复数的乘除用指数式更方便！
7
数学物理方法
复数的乘除用指数式更方便！
28
数学物理方法
另外，在复平面z上，绕原点和不绕原点转一圈， 角变化不一样。绕原点转一圈角增加了2，而 不绕原点转一圈，角不变。 一般地，对于多值函数ω = f(z)，若有这样的点z = z0，在它的邻域内当z的辐角改变2（即z绕z0一周） 时，ω的值并不还原，则z0点称为该函数的枝点。
i
ln i
若0是z的辐角的某一值，则 ln i 0 2 n （n为 整数） 都是lnz的值。即对数函数是一个多值函数。
幂函数：
s s ln z
（s为复数）
z e 我们还可以用类似于实数函数的定义方法定义反
三角函数、反双曲函数等。 值得注意的是正弦、余弦复变函数的模可大于1。
i5ຫໍສະໝຸດ 数学物理方法例1.1 下列式子在复平面z上表示什么 （1）R e z
1 2
，（2）R e 1
z
2
解：(见document 1.1)
例1.2 把下列复数用代数式、指数式和三角式表示 出 （1）i，（2）-1，（3）z2 解：(见document 1.1)
6
数学物理方法
3、复数运算 复数相等：当且仅当两个复数的实部和虚部分别 相等时这两个复数才相等。 复数加减：
2
2
xy
同样有：
0 0 即解析函数的实部和虚部都是二维的调和函数。 x y x y 同一解析函数的实部和虚部称为共轭调和函数。
数学物理方法大总结
数学物理⽅法⼤总结数学物理⽅法⼀、填空题1、Г函数为：Г(x)=0,10>-∞-?x dt t e x t ；⼜称为第⼆类欧拉积分的为：0Re ,)(10>=Γ-∞-?z dt t e z z t 。
2、B 函数（⼜称为第⼀类欧拉积分）为：0Re ;0Re )1(),(1101>>-=--?q p dt t t q p B q p ，；B 函数与Г函数之间的重要关系为：) ()()(),(q p q p q p B +ΓΓΓ=3、勒让德P l (x)的母函数：1)(2111),(02<=+-==∑∞=t t x P t tx d t x v l l l ，（B 卷）4、贝塞尔J n (x)的母函数：∑∞∞--=n n tt x t x J e)()1(2；其积分形式为：dt tei x J l n tt x n ?+-=1)1(221)(π（B 卷） 5、球阶函数：θπ?θ?θim ml m M l m l l ll l m l e p m l m l l Y y rd r c u )(cos )!()!(412)1(),(),()1(,1,+-+-=+=+，其中6、=-?l n a z dz)(?≠=的整数）是0(0)1(2n n n i π7、S —L ⽅程表现形式：0)()(])([=+-y x y x q dxdyx k dx d λρ 8、复数=-)4ln()2(4ln ππk i ++9、=+??∞∞-)6(sin πδx x 216sin -=-π10、复数=i cos 211--e e11、)3)(2(1)(--=z z z f 在，32<=+++-=n n nn n z zz f12、函数zze z f 1)(=在z=0处的奇点类型为本性奇点，其留数为： 2 1。
13、已知x 为复数，则=?-ππdx nx mx cos sin 0 。
14、函数><=1,01,)(t t t x f 的傅⾥叶变换为： )()sin cos 2)(πωωωωω+-=（G 。
数学物理方法归纳总结
数学物理方法归纳总结在数学和物理领域，人们经常使用各种数学方法来解决复杂的问题。
这些数学方法不仅能够帮助我们理解自然界的规律，还可以应用于各种实际情况中。
本文将对数学物理方法进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
1.微积分方法微积分是数学中的一门重要学科，它包括微分和积分两个方面。
微积分方法在物理学中的应用非常广泛。
例如，在研究物体的运动过程中，我们可以使用微积分方法求解物体的速度、加速度等相关问题。
微积分方法还可以用于求解曲线的斜率、曲率等问题，进一步帮助我们理解物理现象。
2.矢量分析方法矢量分析方法主要应用于描述和分析空间中的物理量。
在物理问题中，许多物理量都是有方向和大小的，通过使用矢量分析方法，我们可以更好地理解其性质和变化规律。
例如，通过计算力的合成与分解，可以求解力的平衡问题；利用矢量叉乘可以得到磁场强度的方向等。
3.微分方程方法微分方程是数学中的一种重要方程形式，它描述了变量之间的关系随时间、空间或其他独立变量的变化情况。
微分方程方法在物理学中应用广泛，常用于描述动力学、电磁场、波动等问题。
通过建立适当的微分方程模型，我们可以求解各种物理现象的演化过程。
4.矩阵方法矩阵方法是一种通过线性代数的理论和技巧来处理物理问题的数学方法。
在量子力学中，矩阵方法广泛应用于描述和计算粒子的能量、波函数、自旋等性质。
矩阵方法可以简化复杂的计算过程，帮助人们更好地理解量子力学中的各种现象。
5.概率统计方法概率统计方法是数学中研究随机事件规律和数据分析的一种数学方法。
在物理学中，概率统计方法可以用于解释微观粒子运动的不确定性、描述热力学系统的行为等。
概率统计方法可以帮助我们预测和分析物理现象中的随机因素，并进行相应的量化处理。
6.变分法变分法是一种用于求解最值问题的数学方法。
在物理学中，变分法常用于描述系统的最小作用量原理以及拉格朗日力学中的运动方程。
通过对物理量的变分求解，我们可以得到系统的稳定状态、系统的能量变化等重要信息。
数学物理方法总结
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y ∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法 由上式可知 22dv ydx xdy =+则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+不定积分法 上面已有v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ϕϕ=+=+⎰. 上式对x 求导有 2'()vy x xϕ∂=+∂,而由C-R 条件可知 '()0x ϕ=, 从而()x C ϕ=.故 v=2xy+C.222()(2)f z x y i xy C z iC =-++=+第二章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有()0lf z dz =⎰.复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inll i f z dz f z dz =+=∑⎰⎰.式中l 为区域外边界线,诸i l 为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inll i f z dz f z dz ==∑⎰⎰.柯西公式 1()()2l f z f dz i z απα=-⎰n 次求导后的柯西公式 ()1!()()2()n n l n f fz d i z ζζπζ+=-⎰第三章 幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-++-+∑其中0a ,1a ,2a ,3a ,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有110100limlim1k k k kk k kk a z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- 则 2010200............kk a a z z a z z a z z +-+-++-+收敛,200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.若极限1lim /k k k a a +→∞存在,则可引入记号R,1limkk k a R a →∞+=,于是,若0z z R -<,则 200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.2.若0z z R ->,则后项与前项的模之比的极限1101l i m l i m 1k k k k k k kk a z z a R a a z z +++→∞→∞->=-,即说明200102000()()()......()k k k k k a z za a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑发散.例题: 求幂级数2461.....z z z -+-+的收敛圆,z 为复变数. 解答: 由题意可得 1lim1kk k a R a →∞+== 故 246211......1z z z z -+-+=+ (1z <). 泰勒级数展开 设f(z)在以0z 为圆心的圆R C 内解析,则对圆内的任意z 点,f(z)可展为幂级数,0()()kkk f z a z z ∞==-∑,其中1()010()1()2()!R n k k C f z f a d iz k ζζπζ+==-⎰,1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆.例题: 在00z =的领域上将()zf z e =展开 解答: 函数()zf z e =的各阶导数()()n z fz e =,而()()0()(0)1k k f z f ==.则ze 在00z =的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!k kzk z z z z z z e k k ∞==++++++=∑.双边幂级数212010010220......()()()()......a z z a z z a a z z a z z ----+-+-++-+-+洛朗级数展开 设f(z)在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkk f z a z z ∞=-∞=-∑.其中101()2()k k Cf a d iz ζζπζ+=-⎰, 积分路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1: 在1z <<∞的环域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数.解答: 22222460211111111......111kk z z zz z z z z ∞=⎛⎫===+++ ⎪-⎝⎭-∑ 例题2: 在01z =的领域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数. 解答: 由题意得21111()()1211f z z z z ==---+ 则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kk k z z z z ∞=-===--+-++∑ (12z -<) 故 01111()(1)()2142k kk z f z z ∞=-=---∑.第四章 留数定理留数定理 设函数f(z)在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点1b ,2b ,……,n b 解析,在闭区域B 上除1b ,2b ,……, n b 外连续,则11()2R e ()2nj lj f z d z i s f b i aππ-===∑⎰. 其中,1111Re ()lim {[()()]}(1)!j m m j j m z b d a sf b z b f z m dz---→==--.推论1: 单极点的留数为000Re ()lim[()()]z z sf z z z f z →=-.推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z 点解析,0z 是Q(z)的一阶零点(0()0Q z =).0()0P z ≠,则000000()()'()()()Re ()lim()lim ()'()'()z z z z P z z z P z P z P z sf z z z Q z Q z Q z →→+-=-==. 上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用 类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.作自变量代换 ix z e =.则式子变为111(,)22z z z z z dzI R iz--=+-=⎰.例题: 计算 202cos dxI xπ=+⎰.解答: 21201122cos 41(2)2z z dxdz dzI i i z z xzz z π-====-=-+++++⎰⎰⎰,Z的单极点为1,2422z -+==- 则221Re(22241z s i z z z π→--=+-=++, 由于2-1z =内.故 I =. 类型二()f x dx ∞-∞⎰.积分区间是(,)-∞∞;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面及实轴上→∞时,zf(z)一致地0→.则式子可以变为()2I f x d x i π∞-∞==⎰{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题: 计算21dx x ∞-∞+⎰. 解答: 21dzI z ∞-∞=+⎰的单极点为1,2z i =±.21Re ()2lim()1z i sf i i z i z ππ→=-=+,故21dxx π∞-∞=+⎰.类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰,积分区间是[0,]+∞;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面或实轴上→∞,F(z)及G(z)一致地0→.则式子可以变为0()c o s {()i m xF x m x d x i F x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和;()s i n {()i m xG x m x d x G x eπ∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和. 若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有()2Re ()Re ()f x dx isf z isf z ππ∞-∞=+∑∑⎰在上平面实轴上.其中,在类型三中f(x)应理解为()imzF x e或()imxG x e.第五章 Fourier 变换傅里叶级数 周期为2l 的函数f(x)可以展开为级数01()(c o s s i n k kk k x k x f x a a b llππ∞==++∑. 其中,{1()cos1()sin lk lk lk l k a f d l lk b f d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰,k δ={2(0)1(0)k k =≠.注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可. 复数形式的傅里叶级数 ()k xilkk f x c eπ∞=-∞=∑其中 *1()[]2k x i ll k l c f e d lπξξ-=⎰. 傅里叶积分 0()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞=+⎰⎰傅里叶变换式 {1()()cos 1()()sin A f d B f d ωξωξξπωξωξξπ∞-∞∞-∞==⎰⎰复数形式的傅里叶积分{*()()()()[]i xi x f x F e d F f x e dx ωωωωω∞-∞∞-∞==傅里叶变换的性质(1) 导数定理 F [f ’(x)]=iwF(w)(2) 积分定理 F [()()x f d ξξ⎰]=1()F w iw(3) 相似性定理 F [f(ax)]=1()wF a a(4) 延迟定理 F [0()f x x -]=0()iwx e F w -(5) 位移定理 F [0()iw xef x ]=0()f w w -(6) 卷积定理 若F [1()f x ]=1()F w ,F [2()f x ]=2()F w ,则 F [1()f x *2()f x ]=122()()F w F w π. 其中1212()*()()()f x f x f f x d ξξξ∞-∞=-⎰称为1()f x 和2()f x 的卷积.δ函数()x δ={0(0)(0)x x ≠∞=.()bax dx δ=⎰{0(,0,0)1(a<0<b)a b <>都或都.δ函数的一些性质1.()x δ是偶函数.()()'()'()x x x x δδδδ-=-=-2. ()()xH x t dt δ-∞==⎰{0(0)1(0)x x <>.3.00()()()f t d f t τδττ∞-∞-=⎰.第六章 Laplace 变换拉普拉斯变换 0()()pt f p f t e dt ∞-=⎰拉普拉斯变换的一些性质 (1) 线性定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则 1121122()()()(c f t c f t c f pc f++. (2) 导数定理 '()()(0)f t p f p f -.(3) 积分定理1()td p ϕττ⎰L [()p ϕ]. (4) 相似性定理 1()()p f at f p a. (5) 位移定理 ()()tef t f p λλ-+.(6) 延迟定理 00()()pt f t t e f p --. (7) 卷积定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则1212()*()()(f t f t f p f p, 其中12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰称为1()f t 和2()f t 的卷积.第七章 数学物理定解问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为20tt xx u a u -=或220tt u a u -∆=或230tt u a u -∆=.(2) 扩散方程,热传导方程的形式为20t xx u a u -=或20t u a u -∆=.(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)0u ∆=.(4) 以上方程中x u 意为u x∂∂,xx u 意为22ux ∂∂.若以上各方程均为有源,则方程为 各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件 初始”位移” 0(,,,)(,,)t u x y z t x y z ϕ==, 初始”速度” 0(,,,)(,,)t t u x y z t x y z ψ==. 边界条件 第一类边界条件 (,)(,)u r t f M t ∑=第二类边界条件(,)uf M t n ∑∂=∂ 第三类边界条件 ()(,)uu Hf M t n ∑∂+=∂ 衔接条件 00(0,)(0,)u x t u x t -=+00(0,)(0,)()x x Tu x t Tu x t F t +--=-.(T 为张力) 达朗贝尔公式 定界问题 达朗贝尔公式 11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰. 其中0()t u x ϕ==,0()tt u x ψ==.()x -∞<<∞第八章 分离变数法泛定方程 20tt xx u a u -=(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成2''()''()()()T t X x a T t X x λ==-). ''()()0X x X x λ+=在不同的边界条件下解不同.边界条件(1) {(0)0()0X X l == , X(x)的解为 {2()()sin n n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=1,2,3……(2) {'(0)0()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()cosn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(3) {(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()sinn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(4) {'(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {2()()cosn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=0,1,2……T(t)的方程在有n 且n=0时的解为 ()T t At B =+; 在0n ≠时的解为()sincos n a n aT t A t B t l lππ=+; 在有k 的情况下为(21)(21)()sincos 22k a k aT t A t B t l lππ++=+.初始条件 将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 22220d R dRm R d d ρρρρ+-=. 解法为做代换t e ρ=.第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题拉普拉斯方程 0u ∆=(1) 球坐标系下 2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂. 分解为 2222(1)0R R r r l l R r r ∂∂+-+=∂∂ 其解为 11()ll R r Cr D r+=+. 和22211(sin )(1)0sin sin Y Y l l θθθθθϕ∂∂∂+++=∂∂∂(球方程,(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ) 球方程又可以分离为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为 {2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2……和 22222(1)2[(1)]01d d m x x l l dx dx x ΘΘ--++-Θ=- (连带勒让德方程).(2) 柱坐标系下 2222211()0u u u z ρρρρρϕ∂∂∂∂++=∂∂∂∂.分解为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为{2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2…… 和 ''0Z Z μ-=和 22221()0d R dR m R d d μρρρρ++-=. 当0μ=时,Z=C+Dz,()R ρ={ln (0)/(1,2,3......)m m E F m E F m ρρρ+=+=; 当0μ>时,()Z z De =+,方程R 转换为 22222()0d R dR x x x m R dx dx++-=(x =,m 阶贝塞尔方程). 当0μ<时,()Z z C D =+,方程R 转换为22222()0d R dR x x x m R dx dx +-+=(x =,m 阶虚宗量贝塞尔方程). 亥姆霍兹方程 20v k v ∆+=.在00x =的领域上l 阶勒让德方程的解为 0011()y x a y a y =+ 其中 2402()(1)(2)()(1)(3)1...2!4!(22)(24)...()(1)(3)...(21)......(2)!k l l l l l l y x x k l k l l l l l k x k -+--++=+++-----+++-++ 35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)...3!5!(21)(23)...(1)(2)(4)...(2)......(21)!k l l l l l l y x x x k l k l l l l l k x k +-+--++=+++-----++++++第十章 球函数高次项l x 的系数 2(2)!2(!)l l l a l = (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为2(2)(1)()(1)k k k k a a k l k l +++=-++,则 22(22)!(1)!2()!(2)!l n l l n a n l n l n --=---.则勒让德多项式为 [/2]20(22)!()(1)!2()!(2)!l kl k l l k l k P x x k l k l k -=-=---∑.[/2]l ={/2()(1)/2()l l l l -为偶数为奇数. ()1o P x =1()cos P x x θ==2211()(31)(3cos 21)24P x x θ=-=+ 3311()(53)(5cos33cos )28P x x x θθ=-=+ 42411()(35303)(35cos 420cos 29)864P x x x θθ=-+=++…… 勒让德多项式是正交的例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=3234x x ++展开为广义傅里叶级数.解答: 3234x x ++=00112233()()()()f P x f P x f P x f P x +++ = 23012311(31)(53)22f f x f x f x x ++-+- 则有 02142f f -=, 13332f f -=, 2302f =, 3522f =. 故有3234x x ++=0132144()()()55P x P x P x ++. 例题2: 在半径0r r =的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件02cos r r u θ==. 解答: 边界条件与ϕ无关,故选择球坐标,则有10(,)()(cos )l l l l l l B u r A r P r θθ∞+==+∑. 又有自然边界条件 0r u =有限故0l B =.则有(,)(cos )ll ll u r A r P θθ∞==∑. 而02202012cos (cos )()()33l l l r r l u A r P x P x P x θθ∞======+∑,则22200121(,)(cos )(cos )33l l l l u r A r P r P r θθθ∞===+∑.。
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第一章 复述和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且)()(0lim 0zf z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。
1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂在点不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
C-R 条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y y x u xy x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。
解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂存在。
(ii)C-R 条件在该点成立。
解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv∂∂不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数：22x u ∂∂+22y u∂∂=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。
但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。
②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分⎰BAdz z f )(的值均相等。
柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。
⎰=Cdz z f 0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。
n+1连区域柯西定理：⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓ+++=ni i i edzz f dz z f dz z f dz z f )(....)()()(21推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。
2.3柯西公式若f(z)在单连有界区域D 内解析，在闭区域D 的边界连续，则对于区域D 的任何一个内点a ，有⎰Γ-=dz a z z f i a f )(21)(π其中Γ是境界线。
2.5柯西导数公式ξξξπd z f i n z f C n n ⎰+-=1)()()(2!)( 第三章 级数3.2复变函数项级数 外尔斯特拉斯定理：如果级数∑∞=0)(k kz u在境界Γ上一致收敛，那么(i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m 阶导数组成的级数∑∞=0)()(k m kz u在区域内也收敛，而且它们的和等于F (m)(z)。
3.3幂级数阿贝尔(Abel)定理：如果幂级数∑∞=-0)(k kk a z c 在点z 0处收敛，则在任一圆|z-a|<=p|z 0-a|，0<p<1内，幂级数一致收敛，并且绝对收敛。
达朗贝尔(D ’Alembert)判别法:对于幂级数，计算下列极限|)(||)(|lim 11k kk k k a z c a z c --++∞→(i)当极限值小于1时，幂级数在点z 处绝对收敛(ii)当极限值大于1时，幂级数在点z 处发散(iii)当极限值等于1时，敛散性不能判断。
柯西判别法：计算极限k kk k a z c |)(|lim -∞→当极限值小于1时，幂级数在点z 处绝对收敛;而当极限值大于1时，幂级数在点z 处发散；极限值等于1时，不能判断 3.4解析函数与幂级数定理：幂级数的和是收敛圆内的解析函数。
Taylor 级数：∑∞=-=)()(!)()(n n n a z n a f z f ...!...!212+++++=n z z z e nz...)!12((-1)...!5!3sin 12n53+++-+-=+n z z z z z n ...)!2(...!4!21cos 242+++++=n z z z z n...1(-1)...32)1ln(1n 32+++-+-=++n zz z z z n 3.5解析函数与双边幂级数定理：双边幂级数的和是环形区域内的解析函数。
环形区域内的解析函数可展成双边幂级数∑∞-∞=-=k k ka z cz f )()(ξξξπγd a f i c k ⎰-=)()(21 称为Laurant 系数 3.8孤立奇点非孤立奇点：若函数f(z)在z=a 点的无论多么小的领域内，总有除z=a 以外的奇点，则z=a 是f(z)的非孤立奇点。
孤立奇点：若函数在z=a 不可导(或无定义)，而在去心领域0<|z-a|<ε解析，则z=a 是f(z)的一个孤立奇点。
第四章 留数4.1柯西公式的另一种形式 一阶极点留数：若g(z)在单连区域D 内解析，a 在D 内，在D 内作一环绕点a 的围线C 。
令f(z)=g(z)/(z-a)则有：⎰=Ca sf i dz z f )(Re 2)(π)()(lim )(Re z f a z a sf az -=→一阶极点留数的一种算法:如果)()()(z z z f ψφ=那么)()()(Res a a a f ψφ'=m 阶极点的留数公式|)]()[()!1(1)(Re 11a z mm m z f a z dzd m a sf =----=4.2用级数分析来分析留数定理∑∞-∞=-=k kka z c z f )()(则有Res 1)(-=c a f多连区域的柯西定理:如果在围线C 的内部包含n 个孤立奇点，利用多连区域的柯西定理就有∑⎰==nk k Ca sf i dz z f 1)(Re 2)(π4.3无限远点的留数⎰--=-=∞1)(21)(Re c dz z f isf π 定理1：如果当z →∞时，若zf(z)→0,则Resf(∞)=0 定理2：0)(Re )Resf(a1k=∞+∑=sf nk4.4留数定理计算型积分 第一种类型：⎰πϕϕϕ20)sin ,(cos d R 型积分令ϕi ez =iz dz d /=ϕ)(21cos 1-+=z z ϕ)(21sin 1--=z z ϕ ⎰⎰===1||20)()sin ,(cos z dz z f d R πϕϕϕ｛在单位圆内各个奇点的留数之和｝ 第二种类型：⎰∞∞-dx x f )(型积分注意，需要满足条件0)(lim z =∞→z zfi dx x f π2)(=⎰∞∞-｛在上半平面的奇点留数之和｝ （界限上的乘以0.5） 第三种类型：⎰∞∞-dx e x f imx )(型积分注意需要符合条件0)(lim z =∞→z fi 2)(π=⎰∞∞-dx e x f imx ｛f(z)e imz 在上半平面的奇点留数之和｝4.7围线积分方法 泊松积分：ab ax e abxdx e 4/02221cos -∞-=⎰π 菲涅尔积分：221sin cos 0202π==⎰⎰∞∞dx x dx x 第六章 积分变换6.1傅里叶级数三角函数系的正交性 2π周期-展开定理：∑∞=++=10)sin cos ()(m m m mx D mx C C x f⎰-=ππξξπd f C )(210⎰-=ππξξξπd m f C m cos )(1⎰-=ππξξξπd m f D m sin )(1任意周期2l-展开定理：∑∞=++=10)sin cos ()(m m m x lmD x lmC C x f ππ⎰-=ll d f l C ξξ)(210 ⎰-=l l m d l m f l C ξξπξcos )(1⎰-=l l m d lm f l D ξξπξsin )(16.2傅立叶积分⎰∞+=0]sin )(cos )([)(dk kx k D kx k C x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎰⎰∞∞-∞∞-ξξξπξξξπd k f k D d k f k C sin )(1)(cos )(1)(C(k)是偶函数，D(k)是奇函数 傅里叶公式令)]()([21)(~k iD k C k f -≡则dk e k f x f ikx⎰∞∞-=)(~)(⎰∞∞-=ξξπξd e f k f ik )(21)(~ )](~[)()]([)(~1k f F x f x f F k f -==6.3傅立叶变换线性定理][][][22112211f F C f F C f C f C F +=+导数定理)]([)]([x f ikF x f F =' )]([)(])([x f F ik dxx f d F n nn = 积分定理)]([1])([0x f F ikd f F xx =⎰ξξ 延迟定理)]([)]([00x f F e x x f F ikx -=-相似定理)(~1)]([akf a ax f F =卷积定理)(~)(~2])()([2121k f k f d x f f F πξξξ=-⎰∞∞-6.4拉普拉斯变幻dt e t p pt⎰∞-=0)()(φφ注意当t<0时，)(t φ=0)(p φ=L[)(t φ])(t φ=L -1[)(p φ])(t φ←→)(p φ线性性质：)(~)(~)()(2121p b p a t b t a φφφφ+=+导数的象函数：)0()()(φφφ-↔p p dtt d )0(...)0()0()()(1-n 21φφφφφ--'--↔--n n n nn p p p p dt t d 积分的象函数pp dt t t)()(0φφ↔⎰1!+↔n n p n t 象函数的位移定理：)()(a p t e at -↔φφ 由此可得22)(cos ωω+--↔a p ap t e at22)(sin ωωω+-↔a p t e at22)(ωω---↔a p ap t ch e at22)(ωωω--↔a p t sh e at （用来求逆变换）延迟函数的象函数)()()(p t H t φφ↔)()()(p e t H t p φττφτ-↔--卷积定理)]([)]([])()([21021t L t L d t L tφφττφτφ=-⎰象函数的导数nn ndp p d t t )()()(φφ↔-积分公式：⎰⎰∞∞=0)()(dt tt dp p φφ第八章 数学物理方程的导出线性算符与解的叠加边界条件已知函数=+∂∑][u nβα第九章 本征函数法热传导方程第二类边值问题)()(=+''xXxXλ本征值和本征函数系第一类边界条件齐次化的一般方法第十章勒让德多项式微分方程的幂级数解法二阶齐次线性常微分方程)()()()()(22=++zyzqdzzdyzpdzzyd将试解∑∞=-=)()(kkkzzCzy代入方程，求系数的递推公式，从而求出方程的解勒让德多项式对y 0(x)或y 1(x)乘以适当常数，使得x l 的最高项系数为2)!(2)!2(l l C l l =时的多项式称为勒让德多项式，此时相应的C l-2n 为)!2()!(2!)!22()1(2n l n l n n l C lnn l ----=-第十一章 贝塞尔函数。