江苏省高邮市送桥中学 必修5导学案 1.1正弦定理(2)
苏教版高中必修五数学导学案：1.1 正弦定理2
（3）已知 ， ， ，解这个三角形．
练习：
学案1,2,3
1.已知两边一对角，为什么分别会出现两解、一解和无解的情况呢？
教
学
过
程
设
计
教
学
二次备课
例2、仿照正弦定理的证明，证明 ，并运用此结论解决下面问题：
（1）在 中，已知 ， ， ，求 ；
（2）在 中，已知 ， ， ，求 和 ；
备课时间
2020年8月18日
上课时间
第周周月日
班级节次
课 题
正弦定理2
总课时数
第节
教 学目 标
1. 掌握正弦定理的内容；
2.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
教 学重 难点
利用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题
教 学参 考
各省高考题 教学与测试
授 课方 法
自学引导 类比
教学辅助手段
多 媒 体
三、课堂小结
1．正弦定理的内容。
2．应用正弦定理解两类三角形问题。
3.两边一角解的不确定性的判断。
1.在 中：（1）已知 ，求 ， ；
（2）已知 ，求 ， ．
2. 已知两角一边会不会出现以上情况？
学生练习：
学案：5,7
6,9板演，
课 外作 业
见学案
教 学 小 结
专用教室
教
学
过
程
设
计
教பைடு நூலகம்
学
二次备课
一、引入新课
1．正弦定理：在△ABC中
===。
2．正弦定理可解决两类问题：
（1）已知，求；
（2）已知，求。
二、学生活动
高中必修五导学案 第一章 解三角形(含答案)
第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理 【学习目标】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．【学习过程】1、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？2、新课导学 ※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a bA B=， 同理可得sin sin c bC B=，从而sin sin a bA B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a bA B =sin c C=． （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c bC B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．【学习评价】1．满足a =4，A=045，B=060的△ABC 的边b 的值为（ ） A 62 B 232+ C 13+ D 132+2．△ABC 中6=a ，36=b ，A=030，则边c = （ ） A 6 B 12 C 6或12 D 363．在△ABC 中，若C B A cos sin 2sin ⋅=，C B A 222sin sin sin +=，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B 。
必修五导学案1(正弦定理)
【能力提升】可供学生课外做作业
1、已知 则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
2、在 中， B=120 C=30 a=5 ,则此三角形的最大边长为
3、已知在 中，AB=6，A=30 ，B= ,解此三角形。
作 ，根据三角函数的定义，
sinA=，sinB=
两式分别化得CD=和CD=即可得到=
化作比式得
=
同理可得
==
小结：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
典例分析：
例1、在 中， ，解三角形。
例2、在
例3、
注意：一般地，已知三角形的任意两边与其中一边的对角解三角形，有可能有两解或一解或无解。（有能力的学生可以试着将各种情形分类总结一下）
【自我评价】你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
【基础检测】当堂达标练习，（时量：5分钟满分：10分）分：
1、已知ΔABC已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）。
A 8 B 4 C 4 -3 D 8 -8
2、在 中，三个内角之比 ，那么 等于
3、在△ABC中，若 ， ， ，则 ．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。
2、一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作（solving triangles)。
【预习自测】
1、已知ΔABC中已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）。
A、3 B、2 C、 D、
(苏教版)数学必修五导学案：1.1正弦定理(2)
苏教版高中数学必修五《正弦定理》教案2
1.1 正弦定理教学目标：(1)掌握正弦定理及其证明，会初步运用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识；(2)在问题解决中，培养学生的自主学习和自主探索能力；(3)提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣，在合作学习中，学会学习，学会交流，相互评价，提高学生的合作意识与交流能力。
教学重点：正弦定理及其证明过程 教学难点：正弦定理的推导与证明教学过程： 一．问题情境引言：从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量，设计和计算。
测量河流两岸码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等问题，都可以转化为求三角形的边与角的问题，这就需要我们进一步探索三角形的边角关系。
探索1：在Rt △ABC ，C=900，那么边角之间有哪些关系？sinA=c a ，sinB=c b，sinC=cc =1，……即c=A a sin ，c=B b sin ，c=Ccsin ， ∴A a sin =B b sin =Cc sin 探索2：在任意三角形里, A a sin =B b sin =Ccsin 还成立吗？ （几何画板演示） 二.学生活动 数学实验：分组一：对于锐角三角形验证结论是否成立？c b a DBA C分组二：对于钝角三角形验证结论是否成立？数学猜想：A a sin =B b sin =Ccsin ; 三.建构数学:数学证明: 证法一：证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21== 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin 正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）a bcOBCADb ac DA BC b ac 过程：sinB=AD c ，sinC=sin （1800-C ）=ADb，得csinB=bsinC ，得b sinB =c sinC 同理可得：a sinA =csinC 所以a sinA =b sinB =c sinC所以a sinA =b sinB =c sinC同理可得：a sinA =csinC得b sinB =csinC 得csinB=bsinC ，sinB=AD c ，sinC=AD b，过程：cba DDBACBC证明三：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD DaA a 2sin sin === 同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 证明四：（向量法）探索3：观察正弦定理的结构，看它有什么特点？你能用语言把它叙述出来吗？定理中的正弦改成余弦，结论还成立吗？正弦定理结构和谐、对称，体现了数学的和谐美与对称美； 若改成余弦，除正三角形外，其余三角形都不成立。
高中数学必修五《正弦定理》精品导学案附课时作业
第一章 解三角形§ 1．1．1 正弦定理【情形激趣】有一个旅行景点，为了吸引更多的旅客，想在景色区两座相邻的山之间搭建一条参观索道。
已知一座 山顶 A 到山脚 C 的直线距离是 1500 米，在山脚 C 测得两座山顶之间的夹角是脚 C 与山顶 A 之间的夹角是 30 。
求需要建多长的索道？b5E2RGbCAP450，在另一座山顶B 测得山BA300451500C【学习过程 】 一、课前准备试验 ：固定 ABC 的边 CB 及 思虑 ： C 的大小与它的对边 明显，边 AB 的长度跟着其对角B ，使边 AC 绕着极点 C 转动． AB 的长度之间有如何的数目关系？C 的大小的增大而．可否用一个等式把这类关系精准地表示出来？二、新课导学 ※ 学习研究研究 1：在初中， 我们已学过如何解直角三角形， 下边就第一来商讨直 角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a ，AC=b ，AB=c ，p1EanqFDPw依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有asin A ，bsin B ，又 sin C 1c ， ccc进而在直角三角形 ABC 中，ab c．sin A sin B sin C研究 2：那么关于随意的三角形，以上关系式能否仍旧建立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种状况：当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，依据随意角三角函数的定义，有 CD= a sin B b sin A ，则 a bsin A ，cb sin B 同理可得，sin C sin B 进而 a b csin A sin B ．sin C近似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍旧建立．请你试一试推导.1.表达正弦定理的内容：2.正弦定理的变形①边化角： a = ， b = ， c = ；DXDiTa9E3d②角化边：sin ， sin ， sin C ； RTCrpUDGiT3.正弦定理的推论： a : b : c进而知正弦定理的基本作用为：①②一般地，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程叫作_______【沟通释疑】（二）合作商讨种类一已知两角及一边解三角形例 1. 在ABC 中，已知 A 45 ， B 60 ，a42cm，解三角形．变式：在ABC 中，已知 B 45 ， C 60 ， a 12cm，解三角形．规律总结：种类二已知两边及此中一边的对角解三角形例 2. 在ABC中， c6, A 45 , a2,求 b和 B, C ．变式：在ABC中， b3, B 60 , c1, 求a 和A, C ．规律总结：种类三判断三角形的形状例 3在ABC 中，已知a2tan B b 2 tan A ，试判断三角形的形状。
苏教版必修五 第一章 解三角形学案11正弦定理导学案1.doc
2009年9月1 日执笔人:女兆东盐审核人：祁正权必修5 §1.1正弦定理（1）第1课时一、学习目标1.理解正弦定理的推理过程；2.掌握正弦定理的内容；3.能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。
二、学法指导1.要注意定理的几种证法，自己能够发现通过探索、讨论研究，发现证明方法；2.体会向量是一种处理问题的工具三、课前预习1.在AA3C中，已知a,b分别为ZA,ZB所对的边，则a >b = A____ B o sin A sin B2.正弦定理：在二角形中，即===（）3.一般的，把二角形的二个角A,B,C和它们的对边a, b,c叫做二角形的元素。
已知二角形的几个元素求其他元素的过程叫做一4,正弦定理的证明方法有哪些？四、课堂探究探索1我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在RtAABC中，设C =90° ,贝U sinA=. sinB=, sinC=即：探索2对于任意三角形，这个结论还成立吗？探索3这个结论对于任意二角形可以证明是成立的.不妨设C为最大角，若C为真角，我们已经证得结论成立，如何证明。
为锐角、钝角时结论也成立？证法1若C为钥用（图（1））,过点A作ADLB C于4An A nD ,此时有sinB = — , sinC=千，所以/ : Vh r 8 ------------ b_ 尸csinB=bsinC ,即一^ =」一.同理可得（i）csin B sin Ca c。
b c--- = --------- ，所以 ----- = ------ = ------- •sin A sin C sin A sin B sin C若。
为鲤角（图（2））,过点A作AD LBC ,交8C的延长线于此4 n AT）时也有sin8=——，且sinC = sin（180。
—C）=——.同样可得c b= = .综上可知，结论成立.sin A sin B sin C证法2利用三角形的面积转换，先作出三边上的高AD、BE、CF ,则AD = c sin 3 , BE =asinC , CF =bsinA . 所以S MBC = —ab sin C = —ac sin B = —bcsmA ,1n h c 每项同除以一a"c即得：2sin A sin B sin C探索4充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法.我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在AA3C中，有而=瓦5+京.设C为最大角，过点A作AD1B C于。
江苏省高邮市送桥中学高中数学 1.1正弦定理(2)导学案(无答案)苏教版必修5
第2课时：正弦定理(2)【学习目标】1、会利用正弦定理证明简单三角形问题；2、会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题；3、会利用正弦定理判断三角形解的个数。
【学习重点】正弦定理应用【预习内容】a sin A ＝bsin B＝csin C已知两角一边或已知两边和其中一边的对角求解三角形中其它的量. 【新知学习】1、在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径，故有asin A ＝bsin B＝csin C=2R，这一关系对于任意三角形也能成立吗？【新知深化】1、asin A ＝bsin B＝csin C=2R2、如何利用正弦定理解决两边及邻角问题.评述：(1)要求学生注意考虑问题的全面性.对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述问题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角一边或两边与其中一边的对角.(3)对于已知两边夹角这一类型，将通过下一节所学习的余弦定理求解.【新知应用】例1、在△ABC中，已知a＝28，b＝20，A＝120°，求sin B和c例2、根据下列条件解三角形：（1）已知60,1b B c ==︒=；（2）已知45,2c A a ==︒=例3. 已知135cos ,53sin ==B A ，求C cos ；【新知回顾】 通过本节学习，我们一起研究了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知两角一边；已知两边和其中一边的对角.【教学反思】第2课时：正弦定理(2)课后作业1. （1）△ABC 中,2,2,4a b A π===，求B ，c ；（2）△ABC 中，23,6,6a b A π===，求B ，c ；2.根据下列条件解三角形：（1）b ＝13，a ＝26，B ＝30°；（2）014,76,60a b B ===3. 在△ABC 中，已知060,B =且2b =，则此三角形的外接圆半径为 。
4. 在△ABC 中，已知031,60,3a A c ===，解三角形。
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1.1 正弦定理(2)
【学习目标】
1、会利用正弦定理证明简单三角形问题；
2、会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题；
3、会利用正弦定理判断三角形解的个数。
【学习重点】
正弦定理应用
【预习内容】
a sinA＝b
sinB＝
c sinC
已知两角一边或已知两边和其中一边的对角求解三角形中其它的量. 【新知学习】
1、在Rt△ABC中，斜边c等于Rt△ABC外接圆的直径，故有
a
sinA＝
b
sinB＝
c
sinC=2R，这一
关系对于任意三角形也能成立吗？【新知深化】
1、a
sinA＝
b
sinB＝
c
sinC=2R
2、如何利用正弦定理解决两边及邻角问题.
评述：(1)要求学生注意考虑问题的全面性.对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.
(2)综合上述问题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角一边或两边与其中一边的对角.
(3)对于已知两边夹角这一类型，将通过下一节所学习的余弦定理求解.
【新知应用】
例1、在△ABC中，已知a＝28，b＝20，A＝120°，求sinB和c
例2、根据下列条件解三角形：
（1）已知60,1b B c ==︒=；
（2）已知45,2c A a =
=︒=
例3. 已知13
5cos ,53sin ==
B A ，求
C cos ；
【新知回顾】
通过本节学习，我们一起研究了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题：已知两角一边；已知两边和其中一边的对角.
【教学反思】
1.1 正弦定理(2)课后作业
1. （1）△ABC 中,
2,4
a b A π==，求B ，c ；
（2）△ABC 中，
6,6
a b A π===，求B ，c ；
2.根据下列条件解三角形：
（1）b ＝13，a ＝26，B ＝30°；
（2）014,60a b B ===
3. 在△ABC 中，已知0
60,B =且2b =，则此三角形的外接圆半径为 。
4. 在△ABC 中，已知
01,60,3
a A c ===，解三角形。