高中物理第十一章机械振动第4节单摆教学案人教版4
人教版高中物理选修3-4第十一章机械振动第4节《单摆》导学案设计
人教版高中物理选修3— 4 第十一章：机械振动第 4 节：《单摆》导教案【知识总览】一、单摆及单摆的答复力1．单摆(1) 假如细线的质量与小球对比能够忽视，球的直径与线的长度对比也能够忽视，这样的装置就叫做单摆．单摆是实质摆的理想化模型．(2)单摆的均衡地点：摆球静止时所在的地点．2．单摆的答复力(1)答复力的根源：如图 1 所示，摆球的重力沿圆弧切向 (填“切向”或“法线方向” )的分力供给答复力．图 1(2) 答复力的特色：在偏角很小时，sinθ≈x，因此单摆的答复力为F＝－mgl l x，即小球所受的答复力与它偏离均衡地点的位移成正比，方向老是指向均衡地点，单摆的运动可当作是简谐运动．二、单摆的周期1．单摆振动的周期与摆球质量没关 (填“相关”或“没关” )，在振幅较小时与振幅没关 (填“相关”或“没关” )，但与摆长相关 (填“相关”或“没关” )，摆长越长，周期越长 ( 填“越长”“越短”或“不变” )．l2．单摆的周期公式T＝ 2πg.三、用单摆测定重力加快度1．实验原理2由 T＝ 2πgl，得g＝4Tπ2l，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加快度．2．数据办理(1)均匀值法：利用实验中获取的摆长和周期的实验数据，从中选择几组，分别计算重力加快度，而后均匀值．(2)图象法：以l 和 T 2 为纵坐标和横坐标，作出函数l ＝g2 的图象，图象的斜率k= g ，从2T 24π4π加快度 g.【即学即用】1．判断以下说法的正误．(1)单摆运动的答复力是重力和摆线拉力的协力．(×)(2)单摆经过均衡地点时遇到的协力为零．(×)(3)制作单摆的摆球越大越好．(×)(4)若单摆的振幅变成本来的一半，则周期也将变成本来的一半．(×)2．一个理想的单摆，已知其周期为T.假如因为某种原由重力加快度变成本来的 2 倍，振幅变倍，摆长变成本来的8 倍，摆球质量变成本来的 2 倍，它的周期变成________．【答案】2T【知识研究】(1)单摆的答复力就是单摆所受的合外力吗？(2)单摆经过均衡地点时，答复力为零，合外力也为零吗？答案(1) 答复力不是合外力．单摆的运动可看做变速圆周运动，其重力可分解为沿悬线方向的分力和圆弧切线方向的分力，重力沿圆弧切线方向的分力供给使摆球沿圆弧振动的答复力．(2)单摆经过均衡地点时，答复力为零，但合外力不为零．【知识升华】1．单摆向心力根源：细线拉力和重力沿径向的分力的协力．2．单摆答复力根源：重力沿圆弧切线方向的分力 F ＝ mgsinθ供给使摆球振动的答复力．3．答复力的大小：在偏角很小时，摆球的答复力知足 F ＝－ kx，此时摆球的运动可当作是简谐注意(1)单摆经过均衡地点时，答复力为零，但合外力不为零．(2)单摆的答复力为小球遇到的重力沿圆弧切线方向的分力，而不是小球遇到的合外力．【例 1】图 2 中 O 点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点 )拉至 A 点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、 C 之间往返摇动， B 点为运动中的最低地点，则在摇动过程中()图 2A ．摆球遇到重力、拉力、向心力、答复力四个力的作用B．摆球在 A 点和 C 点处，速度为零，协力与答复力也为零C．摆球在 B 点处，速度最大，细线拉力也最大D．摆球在 B 点处，速度最大，答复力也最大答案 C分析摆球在运动过程中只遇到重力和拉力作用， A 错误；摆球在摇动过程中，在最高点A、 C 处速度为零，答复力最大，协力不为零，在最低点 B 处，速度最大，答复力为零，细线的拉力最大， C 正确， B 、D 错误．二、单摆的周期【知识研究】l单摆的周期公式为T＝ 2πg.(1) 单摆的摆长l 等于悬线的长度吗？答案(1)不等于．单摆的摆长l 等于悬线的长度与摆球的半径之和．(2)可能会．单摆的周期与所在地的重力加快度g 相关，不一样星球表面的重力加快度可能不一样．【知识升华】1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发了然摆钟．l2．单摆的周期公式：T＝ 2πg.3．对周期公式的理解(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时建立(偏角为 5°时，由周期公式算出的周期和正确值相差(2)公式中 l 是摆长，即悬点到摆球球心的距离l ＝ l 线＋r 球．(3)公式中 g 是单摆所在地的重力加快度，由单摆所在的空间地点决定．(4)周期 T 只与 l 和 g 相关，与摆球质量m 及振幅没关，因此单摆的周期也叫固有周期．【例 2】某单摆由1m 长的摆线连结一个直径2cm 的铁球构成，对于单摆周期，以下说法中正确的()A．用大球代替小球，单摆的周期不变B．摆角从 5°改为 3°，单摆的周期会变小C．用等大的铜球代替铁球，单摆的周期不变D．将单摆从赤道移到北极，单摆的周期会变大【答案】 C分析用大球代替小球，单摆摆长变长，由单摆周期公式T＝2πlg可知，单摆的周期变大，由单摆周期公式 T＝ 2πl摆角g可知，在小摆角状况下，单摆做简谐运动的周期与摆角没关，时，单摆周期不变，故 B 错误；用等大铜球代替铁球，单摆摆长不变，由单摆周期公式T＝单摆的周期不变，故 C 正确；将单摆从赤道移到北极，重力加快度 g 变大，由单摆周期公式知，单摆周期变小，故 D 错误．三、实验：用单摆测定重力加快度1．实验原理2由 T＝ 2πl ，得g＝4π2l，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加快度．g T2．实验器械(2)将一个单摆移送到不一样的星球表面时，周期会发生变化吗？3．实验步骤(1)让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．在单摆均衡地点处做上标志．d (3)用刻度尺量出悬线长 l′ (正确到 mm) ，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为 l ＝ l′＋2.(4)把单摆拉开一个角度，角度不大于 5°，开释摆球．摆球经过最低地点时，用秒表开始计时，测出单摆达成 30 次 (或 50 次 )全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期．(5)改变摆长，频频丈量几次，将数据填入表格．4．数据办理(1)公式法：每改变一次摆长，将相应的l 和 T 代入公式 g＝4π2l中求出 g 值，最后求出 g 的均匀值．T2设计以下所示实验表格图 3 5．注意事项实验次数摆长 l/m周期T/s1232 (2) 图象法：由T＝ 2πg l得T2＝4gπl，以重力加快度－2) 重力加快度－2)g/(m ·s g 的均匀值 /(m ·sg1＋ g2＋g3g＝ 3T2为纵坐标，以l 为横坐标作出T2－ l 图象 (如图 3 所示 )．其斜(1)选择细而不易伸长的线，长度一般不该短于1m；摆球应采用密度较大、直径较小的金属球．(2)摇动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小．(3)摆球摇动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆．(4)计算单摆的全振动次数时，应从摆球经过最低地点时开始计时，要测n 次全振动的时间【例 3】某同学利用如图 4 所示的装置丈量当地的重力加快度．实验步骤以下：24π率 k＝，由图象的斜率即可求出重力加快度g.图 4A．按装置图安装好实验装置；C．用米尺丈量悬线的长度L ；D．让小球在竖直平面内小角度摇动，当小球经过最低点时开始计时，并计数为0，今后小球每经过最低点一次，挨次计数1、 2、 3、，当数到20 时，停止计时，测得时间为t；E．多次改变悬线长度，对应每个悬线长度，都重复实验步骤C、 D；F．计算出每个悬线长度对应的t2；G．以 t2为纵坐标、 L 为横坐标，作出t2－ L 图线．联合上述实验，达成以下问题：(1) 用游标为 10 分度的游标卡尺丈量小球直径，某次丈量示数如图 5 所示，读出小球直径 d 为 ________cm.图 5(2) 该同学依据实验数据，利用计算机作出t2－L 图线如图 6 所示．依据图线拟合获取方程t2＝ 404.0L ＋，由此能够得出当地的重力加快度2 23 位有效数字 )g＝ ________m/s .(取π＝，结果保存图 6(3)从理论上剖析图线没有过坐标原点的原由，以下剖析正确的选项是________．A．不该在小球经过最低点时开始计时，应当在小球运动到最高点时开始计时B．开始计时后，不该记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数C．不该作t2－ L 图线，而应作t－ L 图线D．不该作 t2－ L 图线，而应作t2－1(L ＋ d)图线2【答案】(3)D分析 (1)游标卡尺主尺的示数是＝ 15mm，游标尺示数是2×＝0.2mm ，小球的直径 d＝＋＝＝ 1.52cm.(2)依据单摆周期公式 T＝ 2πlg得：2t l d 2 2 l 2L 200 π＝2π，又 l ＝ L＋＋ d10 g，则 t ＝400π＝400πg.2 g g2故 t2－ L 图象的斜率表示400 πg的大小，2由题意知斜率k＝，则400π＝，g2 2代入π＝得 g≈(3)单摆摆长等于摆线长度与摆球半径之和，把摆线长度作为单摆摆长小于实质摆长，故t2原点，在纵轴上截距不为零，故 D 正确．【学科修养】经过此题，学生回首了游标卡尺的读数方法，提升了依据实质状况设计实验步骤的能力，锻炼了用单摆测定重力加快度的本事．在解题过程中，显现了实验研究过程中沟通、反省的能力．此题侧重表现了“实验研究”这个高中物理学科核心修养 .【点对点专题训练—光电效应方程的理解与应用】考点一单摆及单摆的答复力1． (多项选择 )单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是()A．摆线质量不计B．摆线不行伸缩C．摆球的直径比摆线长度小得多D．只假如单摆的运动就必定是简谐运动【答案】 ABC分析只有在偏角很小的状况下才能视单摆运动为简谐运动．考点二单摆的周期公式2．( 多项选择 )如图 7 所示为单摆的振动图象，2 2取 g＝ 10m/s ，π＝ 10，依据此振动图象能确立的物理量是()图 7A ．摆长B ．答复力C．频次D．振幅【答案】ACD分析由题图知，振幅为A＝ 3cm，单摆的周期为T＝ 2s，由单摆的周期公式 T＝ 2πlg，得1 x频次 f＝T＝ 0.5Hz ，摆球的答复力 F ＝－l mg，因为摆球的质量未知，没法确立答复力，A考点三用单摆测定重力加快度3．某同学在做“利用单摆测重力加快度”的实验中，先测得摆线长为，摆球直径后用秒表记录了单摆全振动50 次所用的时间，如图8 所示，则：图 8(1)该摆摆长为 ________cm，秒表所示读数为________s.(2)假如测得的g 值偏小，可能的原由是()A．测摆线长时摆线拉得过紧B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增添了C．开始计不时，秒表过迟按下D．实验中误将49 次全振动记为50 次(3)为了提升实验精度，在实验中可改变几次摆长l 并测出相应的周期T，从而得出对应的l再以 l 为横坐标， T2为纵坐标，将所得数据连成直线如图9 所示，并求得该直线的斜率为k度 g＝ ________(用 k 表示 )．图 924π【答案】(2)B(3)。
新人教版高中物理选修3-4第十一章机械振动第4节单摆学案
——教学信息分享网 第4节 单摆1．理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源。
2．了解影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式。
一、单摆的回复力1．单摆：由小球和细线组成，细线的质量与小球相比□01可以忽略，球的直径和线的长度相比□02可以忽略，与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略，这样的装置叫做单摆。
单摆是实际摆的□03理想化模型。
2．单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧□04切线方向的分力。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成□05正比，方向总指向□06平衡位置，若单摆摆长为l 、摆球质量为m ，则回复力F ＝□07－mg lx ，因此单摆做□08简谐运动。
二、单摆的周期1．定性探究影响单摆周期的因素(1)探究方法：控制变量法。
(2)实验结论：单摆振动的周期与□01摆球质量无关，振幅较小时周期与□02振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期□03越大。
2．定量探究单摆的周期与摆长的关系(1)周期的测量：用停表测出单摆N (30或50)次全振动的时间t ，利用T ＝□04t N计算它的周期。
(2)摆长的测量：用□05刻度尺测出细线长度l 0，用□06停表测出小球直径D ，利用l ＝□07l 0＋D 2求出摆长。
(3)数据处理：改变□08摆长，测量不同□09摆长及对应周期，作出T l 、T l 2或T l 图象，得出结论。
3．周期公式(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式：□10T ＝2π l g，即周期T 与摆长l 的二次方根成□11正比，与(单摆所在处的)重力加速度g 的二次方根成□12反比。
判一判(1)一根细线一端固定，另一端拴一小球就构成一个单摆。
( )。
高中物理 第十一章 第4节 单摆讲义(含解析)新人教版选修3-4-新人教版高中选修3-4物理教案
单摆一、单摆及单摆的回复力┄┄┄┄┄┄┄┄①1．单摆(1)组成：①细线，②小球。
(2)理想化模型的要求①质量关系：细线质量与小球质量相比可以忽略；②线度关系：球的直径与线的长度相比可以忽略；③力的关系：忽略摆动过程中所受阻力作用。
为了组成单摆，应尽量选择质量大、直径小的球和尽量细且不可伸长的线。
2．单摆的回复力(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。
(2)回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mg lx 。
(3)单摆运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律。
[注意]回复力是按效果命名的力，是沿振动方向上的合力，不是物体受到的合力。
①[选一选]关于单摆的摆球在运动中所受的力，下列说法正确的是( )A ．摆球运动到平衡位置时，重力与摆线拉力的合力为零B ．摆球在运动过程中受到三个力的作用：重力、摆线的拉力和回复力C ．摆球在运动过程中，重力和摆线拉力的合力等于回复力D ．摆球在运动过程中，重力沿圆弧方向上的分力等于回复力解析：选D 摆球所受外力为重力和摆线拉力，B 错误；摆球的轨迹是圆弧，故重力、拉力的合力除提供回复力外，还提供向心力，C 错误；摆球所受合外力在圆弧方向的分力(等于重力沿圆弧方向的分力)作为回复力，在圆弧法线方向上的分力作为摆球做圆周运动的向心力，D 正确；除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力，在最低点平衡位置处，回复力为零，回复力产生的加速度为零，但有向心力，有向心加速度，故重力与摆线拉力的合力不为零，A 错误。
二、单摆的周期┄┄┄┄┄┄┄┄②1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响(1)探究方法：控制变量法。
(2)实验结论：①单摆振动的周期与摆球质量无关；②振幅较小时周期与振幅无关；③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。
2．周期公式(1)提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
单摆教学设计
单摆教学设计一、教材分析1、教材的地位与作用《单摆》是高中物理人教版选修3-4第11章第4节内容。
本节内容安排在《简谐运动的回复力和能量》之后，属于简谐运动的应用实例，起到了承上启下的作用。
在学习“单摆”之前，学生们学习了简谐运动及其图象，简谐运动的振幅、周期、频率以及回复力和能量等内容。
这里作为简谐运动的应用实例，来学习单摆的运动规律、受力情况和图像特点，以加强对单摆内容的理解，深化、突出了单摆这种简谐运动。
2、教材处理由于单摆内容多、理论性强、探究过程复杂，故本节课只学习单摆振动的图像和回复力、单摆做简谐运动的条件等内容，单摆的周期及运用单摆测重力加速度留待下节课讨论。
3、学情分析经过近两年的高中学习，学生已经掌握了高中物理学中处理问题的很多基本方法，具有了一定的思维能力和接受能力。
但是由于本节课结合了数学知识，涉及到小角度的近似处理，这在高中物理学习中是第一次出现，学生对这样的处理感觉有困难。
二、教学目标知识与技能：1、知道什么是单摆，了解单摆的运动特点2、知道在摆角很小时单摆做简谐运动过程与方法：经历证明单摆运动是简谐运动的过程，学生体会数学方法在物理中的应用情感态度与价值观：通过证明过程，培养学生学习科学的兴趣和自觉性。
并在学习证明的过程中，学会运用科学态度、科学价值观去克服困难、探究解决类似的问题三、教学重难点重点：单摆振动的特点难点：单摆的回复力以及对小角度的近似处理。
五、教学过程（一）引入新课PPT展示摆钟、秋千照片，引导学生分析它们的运动都有什么相同点，提问这些摆动是属于一种什么样的运动呢？今天我们来学习最简单的摆动——单摆的运动。
本堂课主要解决两个问题1、知道什么是单摆。
2、证明单摆的运动是不是简谐运动（二）进行新课板书：11.4 单摆1、单摆模型（1）单摆：一根不可伸长的细绳，一端固定，另一端与小球相连，如果细线的质量与小球相比可以忽略，求的直径与线的长度相比可以忽略，忽略空气阻力的影响，这样的装置叫单摆。
《单摆》教学设计
《单摆》教学设计【教学内容】人教版20XX年4月第3版《普通高中课程标准实验教科书·物理选修3—4》第十一章《机械振动》中第4节“单摆”。
【教学分析】1.教材分析单摆的振动是简谐运动的重要特例，教材中安排这节内容，不仅使学生了解一种典型的简谐运动，而且也对前面所学的简谐运动概念起到加深理解和巩固的作用。
本节教材首先给出一个理想模型——单摆，结合生活经验与之前学习的知识，引导学生体验、判断单摆的运动是不是简谐运动，然后通过演示实验及其理论的分析得出单摆在摆角很小时的振动属于简谐运动；后又要求用实验方法定性分析单摆的周期及用单摆测量重力加速度。
教学中涉及到了较多的物理思想方法，如理想模型法、近似法、图像法、控制变量法等，是高中物理的重要内容之一。
这样使教材的容量变大，研究方法增多，对教师驾驭教材的能力提出了较高要求。
本节教材的重点是引导学生通过实验，研究和探索物理规律，使学生在理解和掌握物理规律的同时，充分认识物理学是一门实验科学，提高实验操作和研究能力。
2．学情分析（1）思维基础学生已经初步有了探究事物的一般方法，即“是什么？──怎么样？──为什么？”的思维方法。
根据新课程重视“过程与方法”的教学理念和高二学生由直观认识向逻辑推理、实验推理过渡阶段的认识特点，本设计中就通过创设问题情景，激励学生自己提出想要研究的问题。
（2）心理特点依据高中生求异思维很活跃的特点，通过实验和多媒体手段满足学生渴望获取新知识的需求学生在强烈兴趣（名人事迹引入）的驱使下，利用已有知识进行新规律的探究，既有挑战性，也有成就感。
（3）已有知识学生对机械振动的初步了解。
在上这节课之前，通过前几节内容的学习，学生知道了简谐振动的特点，通过生活中一种常见的模型——单摆，探究它的运动情况如何，从而萌发了学生继续探究的兴趣。
（4）学生学习本课可能遇到的困难和问题正确的理论分析单摆的振动是否满足简谐运动的条件，通过实验定性定量分析单摆周期与摆长的关系，以及用单摆测量重力加速度时的实验方法和操作所带来的问题。
2024-2025学年高中物理第十一章机械振动4单摆教案2新人教版选修3-4
1. 单摆的定义与周期公式
重点知识点：单摆是由一个质点和一条不可伸长的细线组成的理想振动系统。
板书设计：单摆的定义：质点、不可伸长的细线
2. 单摆的振动特点
重点知识点：单摆振动具有对称性、周期性等特征。
板书设计：单摆的振动特点：对称性、周期性
3. 单摆的应用
重点知识点：单摆应用于摆钟、摆锤等现实生活场景。
（2）《单摆的应用与原理》：介绍单摆在现实生活中的应用，如摆钟、摆锤等，让学生了解物理知识在实际中的应用价值。
（3）《数学在物理中的应用》：让学生了解数学在物理问题解决中的重要作用，特别是单摆周期公式的推导过程。
2. 鼓励学生进行课后自主学习和探究
（1）学生可以利用网络资源，如科普文章、视频等，进一步了解单摆的原理和应用。
2. 实验与探究：让学生通过观察单摆的振动实验，掌握实验操作技能，培养观察、实验、分析问题的能力，提高学生对物理规律的探究精神。
3. 科学态度与价值观：通过介绍单摆的应用，使学生认识到物理知识在现实生活中的重要性，培养学生的科学态度和价值观，提高其对物理学科的热爱和责任感。
4. 交流与协作：在课堂讨论和习题讲解环节，培养学生主动参与、积极交流、合作解决问题的能力，提高其团队协作精神。
在知识方面，学生已经学习了基本的力学知识，对质点、力、加速度等概念有一定的了解。但是，对于单摆这种复杂的物理系统，学生可能还存在一定的陌生感。因此，在教学过程中，需要注重引导学生建立单摆的物理模型，理解单摆的振动规律。
在能力方面，学生已经具备一定的实验操作能力和问题解决能力。但是，对于复杂的物理问题，学生可能还存在一定的困难。因此，在教学过程中，需要注重培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
高中物理第十一章机械振动4单摆学案新人教版选修3_4
4 单摆一、单摆1．由细线和小球组成,细线质量与小球的质量相比可以忽略,球的直径与线的长度相比也可以忽略．忽略摆动过程中所受阻力的作用,是理想化模型．2．单摆的回复力(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力．(2)回复力的特点：在偏角很小时,单摆所受的回复力和它偏离平衡位置的位移大小成正比,方向总是指向平衡位置,即F ＝－mg lx .(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动,其振动图象遵循正弦函数规律．结合单摆模型的特点想一想,下列装置能否视为单摆？为什么？提示：都不能,(1)中橡皮筋的伸缩不能忽略；(2)(3)中乒乓球和大木球摆动时,空气阻力不能忽略且乒乓球的质量与绳相比、大木球的直径与绳长相比也不能忽略．二、单摆的周期1．荷兰物理学家惠更斯确定了计算单摆周期的公式T＝2πlg,其中l表示摆长,g表示当地的重力加速度．由公式可以看出单摆的周期与摆球质量无关,在振幅较小时与振幅无关．2．由单摆周期公式T＝2πlg可得g＝4π2lT2,只要测出单摆的摆长和周期,就可以求出当地的重力加速度．机械摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用,其走时快慢是由摆钟的周期决定的．如果有条件,可以拆开摆钟看看,在分析其原理后,说明如何调整其走时快慢．提示：机械摆钟工作是以钟摆完成一定数量的全振动,从而带动分针、时针转动实现的,因此摆钟振动的周期就反映了摆钟走时的快慢．钟摆振动的频率与时间有关,它振动的周期越长,在一定时间内全振动的次数就越少,摆钟显示的时间走得就越慢．因此,如果摆钟变快,其振动频率也加大,振动周期变小了,所以要恢复正常,应该增大其摆长；如果摆钟走时变慢,其振动频率也变小,振动周期变大了,所以要恢复正常,应该减小其摆长．考点一单摆1．定义：如图所示,在一根长细线下悬挂一个小球,如果细线的质量与小球相比可以忽略,球的直径与线的长度相比也可以忽略,这样的装置就叫做单摆,它是实际摆的理想化模型．2．实际摆看成单摆的条件(1)悬线的形变量与悬线长度相比小得多．悬线的质量与摆球质量相比小得多．这时可把悬线看成是不可伸长且没有质量的细线．(2)摆球的大小与悬线长度相比小得多,这时可把摆球看成是没有大小只有质量的质点．【方法指导】理想模型法为了满足上述条件及尽量减小空气阻力的影响,组成单摆的摆球应选择质量大而体积小的球,线应尽量选择细而轻且弹性小的线．单摆是实际摆的理想化模型．3．摆长和最大偏角(1)摆长：摆球重心到摆动圆弧圆心的距离l＝l0＋R.(其中l0为细线长,R为小球半径)(2)最大偏角：摆球摆到最高点时,细线与竖直方向的夹角为θ.【例1】下图中的各种摆的模型,哪种或哪些是单摆？【导思】单摆是理想的模型,忽略绳子的质量和伸缩,忽略小球的直径．【解析】①的悬绳是粗绳,绳的质量不可忽略,不是单摆；②的悬绳是橡皮筋,伸缩不可忽略,不是单摆；③的悬绳长度不是远大于球的直径,不是单摆；④是单摆；⑤的上端没有固定,也不是单摆．【答案】④是单摆(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是( ABC )A．摆线质量不计B．摆线长度不伸缩C．摆球的直径比摆线长度短得多D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动解析：单摆由摆线和摆球组成,摆线只计长度不计质量,摆球只计质量不计大小,且摆线不伸缩,A、B、C正确．但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的,只有在摆角很小(θ<5°)的情况下才能视单摆运动为简谐运动．考点二单摆的回复力1．单摆的平衡位置如图所示,摆球静止在O点时,悬线竖直下垂,摆球所受到的重力G与悬线的拉力F′平衡,合力为零,小球保持静止,所以O 点是单摆的平衡位置．2．单摆的回复力(1)如图所示,摆球运动到某点P 时,摆球受重力G 和绳子拉力F ′两个力作用,将重力沿切向、径向正交分解,则绳子的拉力F ′与重力的径向分量G 1的合力提供了摆球做圆周运动所需要的向心力,而重力的切向分力F 则提供了摆球振动所需要的回复力F ＝mg sin θ.(2)单摆在摆角很小时做简谐运动设单摆的摆长为l ,在最大偏角θ很小的条件下,摆球对O 点的位移x 的大小与θ角所对应的弧长OP 、θ角所对应的弦长OP 都近似相等,即x ＝OP ＝OP ,若摆角θ用弧度表示,则由数学关系知sin θ≈θ＝OPl＝x l,则重力沿切向的分力F ＝mg sin θ≈mg xl,令k ＝mg l,则F ＝kx ,因为F 的方向与x 方向相反,故F ＝－kx . 由此可见,单摆在摆角很小条件下的振动为简谐运动． 3．单摆的振动图象我们已经知道,简谐运动的图象是正弦曲线(或余弦曲线),而在偏角很小的情况下,单摆做简谐运动,故它的振动图象也是正弦曲线(或余弦曲线)．4．理解单摆的受力和运动特点(1)摆球以悬挂点为圆心在竖直平面内沿圆弧做变速圆周运动,做圆周运动需要向心力,向心力由绳子的拉力与重力的径向分量的合力提供．(2)摆球以最低点为平衡位置做振动,做振动需要回复力,回复力由摆球重力的切向分力提供(或者说是由摆球所受合外力沿圆弧切向分力提供)．(3)单摆的运动既有圆周运动,又有简谐运动(摆角很小的情况下)①单摆振动的平衡位置：回复力F为零,而合力不为零,此时合力提供摆球做圆周运动的向心力．②单摆振动的最大位移处：向心力(F′－G1)为零,而合力不为零,此时合力提供摆球振动的回复力．【例2】下列关于单摆的说法,正确的是( )A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅),从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为－AB．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零【导思】 1.单摆的位移是怎样定义的？2．单摆的回复力是摆球的合力吗？3．弹簧振子经过平衡位置时加速度多大？4．单摆摆球经过平衡位置时摆球的加速度是零吗？【解析】简谐运动中的位移是以平衡位置为起点,摆球在正向最大位移处时位移为A,在平衡位置时位移应为零,A错．摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力(等于重力沿圆弧切线方向的分力)提供,合外力在摆线方向的分力提供向心力,摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零,但向心力不为零,所以合外力不为零(摆球在最高点时,向心力为零,回复力最大,合外力也不为零),B错,C正确．单摆经过平衡位置时所受合外力不为零,此时回复力为零,但向心力不为零,合外力刚好提供向心力,所以此时摆球加速度不为零,这与弹簧振子有所不同,弹簧振子经过平衡位置时,所受合外力为零,加速度为零,D错,故正确答案为C.【答案】 C关于单摆,下列说法中正确的是( A )A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置B．摆球受到的回复力是它的合力C．摆球经过平衡位置时,所受的合力为零D．摆角很小时,摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比解析：本题主要考查单摆的受力和回复力,根据回复力的定义知选项A正确；单摆的回复力除指明在最高点外都不是摆球受力的合力,但不管在哪个位置均可认为是重力沿轨迹圆弧切线方向的分力,所以选项B错误；摆球经过平衡位置时,回复力为零,但合力不为零,因悬线方向上要受向心力,选项C错误,综上所述选项D错误．考点三单摆的周期1．定性实验探究如图所示：(1)单摆振动的周期和振幅无关——单摆的等时性把悬挂在同一高度的两个相同的单摆的摆球拉到不同高度同时释放,使其做简谐运动．现象：摆球完成一次全振动所用时间相同．(2)单摆的周期与摆球质量无关摆长相同,将质量不同的摆球拉到同一高度同时释放,使其做简谐运动．现象：两摆球振动是同步的．(3)单摆振动的周期和摆长有关摆长不同,将质量相同的摆球拉到同一高度同时释放使其做简谐运动．现象：两摆球振动不同步,而且摆长越长,振动就越慢．结论：单摆的振动周期与摆球质量无关,在振幅较小时与振幅无关,与摆长有关．摆长越长,周期越大．2．定量实验探究——单摆周期与摆长的关系(1)如图所示,细线的上端固定在铁架台上,下端系一个小钢球,于是做成了一个单摆．用停表测出单摆做30～50次全振动的时间,计算出它的周期,并测出单摆的摆长(用刻度尺量出摆线长度,用游标卡尺测量摆球的直径,并算出半径,摆线长度与摆球半径之和就是单摆的摆长)．(2)改变摆长,测量各组不同摆长、周期的数据,把它们填在表格中．(3)先通过估算,对周期T与摆长l的定量关系作出猜测,如可能是T∝l、T∝l2,或者T∝l、T∝3l,然后按照猜测来确定纵坐标轴和横坐标轴．例如,如果我们通过简单的估算,认为很可能是T∝l2,那么可以用纵坐标表示T,横坐标表示l2,作出图象．如果这样作出的图象确定是一条过原点的直线,说明的确有T∝l2的关系,否则再做其他尝试．结论：单摆振动的周期T与摆长的二次方根l成正比,即T∝l.3．单摆的周期公式荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下,单摆的周期跟摆长的二次方根成正比,跟重力加速度的二次方根成反比,而跟摆球的质量和振幅无关．惠更斯确定了计算单摆周期的公式T＝2πl g .式中l为悬点到摆球球心的距离,g为当地的重力加速度．【例3】已知在单摆a完成10次全振动的时间内,单摆b完成了6次全振动,两单摆的摆长之差为1.6 m,则两单摆的摆长l a 与l b 分别为( )A ．l a ＝2.5 m,l b ＝0.9 mB ．l a ＝0.9 m,l b ＝2.5 mC ．l a ＝2.4 m,l b ＝4.0 mD ．l a ＝4.0 m,l b ＝2.4 m【导思】 由a 、b 相同时间内的全振动次数可求周期关系,由周期关系可得到摆长之比,结合题目给出的摆长之差就可解出摆长．【解析】 设两单摆的周期分别为T a 和T b ,依题意知10T a ＝6T b ,据T ＝2πlg,可知l ＝gT 24π2,所以l a l b ＝T 2a T 2b ＝36100,又l b －l a ＝1.6 m,则l a ＝0.9 m,l b ＝2.5 m.地球上同一位置重力加速度相同,单摆的周期跟摆长的平方根成正比． 【答案】 B如图所示,摆长为L 的单摆,若在悬点O 的正下方A 点固定一颗钉子,A 点距悬点O 的距离为L3,试求这个单摆完成一次全振动的时间是多少？答案：π⎝⎛⎭⎪⎫L g＋2L 3g 解析：在摆角很小时,单摆的振动可视为简谐运动,当摆线碰到钉子时,A 点成为“悬点”,单摆的摆长由L 变成2L3.由题意知,T ＝T 12＋T 22＝2πLg2＋2π2L 3g 2＝π⎝⎛⎭⎪⎫L g＋2L 3g . 【例4】如图所示,光滑的半球壳半径为R ,O 点在球心O ′的正下方,一小球甲由距O 点很近的A 点静止放开,R ≫AO ︵.(1)若另一小球乙从球心O ′处自由落下,求两球第一次到达O 点的时间比．(2)若另一小球丙在O 点正上方某处自由落下,为使两球在O 点相碰,小球应由多高处自由落下？【导思】 1.甲球从A 点释放后做什么运动？ 2．能否根据运动学知识求出甲球到达O 点所用时间？ 3．把甲球的运动看成类单摆,等效摆长是什么？【解析】 (1)甲球沿圆弧做简谐运动,它第一次到达O 处的时间为：t 1＝14T ＝14×2πR g ＝π2R g. 乙球做自由落体运动,到达O 处的时间为t 2.R ＝12gt 22,所以t 2＝2Rg.t 1t 2＝2π 4.(2)小球甲从A 点由静止释放运动到O 点的时间为t ＝T4(2n －1),n ＝1,2,3,…,由O 点正上方自由落下的小球丙到达O 点的时间也为t 时两球才能在O 点相碰,所以h ＝12gt 2＝12g 4π2R 16g (2n －1)2＝2n －12π2R8(n ＝1,2,3,…)．【答案】 (1)2π4 (2)2n －12π2R8(n ＝1,2,3,…)如图所示,小球m 自A 点以向AD 方向的初速度v 逐渐接近固定在D 点的小球n .已知AB ︵＝0.8 m,AB 圆弧半径R ＝10 m,AD ︵＝10 m,A 、B 、C 、D 在同一水平面上,则v 为多大时,才能使m 恰好碰到小球n ？(g 取10 m/s 2,不计一切摩擦)答案：5k πm/s(k ＝1,2,3…) 解析：小球m 的运动由两个分运动合成,这两个分运动分别是：以速度v 沿AD 方向的匀速直线运动和在圆弧面AB 方向上的往复运动．因为AB ︵≪R ,所以小球在圆弧面上的往复运动具有等时性,是类单摆,其圆弧半径R 即为类单摆的摆长．设小球m 恰好能碰到小球n ,则有AD ︵＝vt ,且满足t ＝kT (k ＝1,2,3…),又T ＝2πR g ,解以上方程得v ＝5k πm/s(k ＝1,2,3…)． 重难疑点辨析用单摆测定重力加速度1．实验原理单摆在摆角很小时,由单摆周期公式T ＝2πl g ,得g ＝4π2lT2.测得单摆的摆长l 和振动周期T ,就可以测出当地的重力加速度．2．实验器材铁架台及铁夹、金属小球(最好上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(1 m 左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺．3．实验步骤(1)做单摆：让线的一端穿过小球的小孔,然后打一个比小孔大一些的结．把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边,使铁夹伸到桌面以外,让摆球自由下垂,在单摆平衡位置处作上标记．(2)测摆长：l ＝l ′＋d2①用毫米刻度尺量出悬线长l ′,如图甲所示． ②用游标卡尺测出摆球的直径d ,如图乙所示．(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度,且满足偏角小于5°,然后释放摆球,当单摆摆动稳定后,用秒表测量单摆完成30次(或50次)全振动的时间t .计算出平均摆动一次的时间T ＝tn,即为单摆的振动周期．应以摆球经平衡位置时开始或停止计时.4．求重力加速度：把测得的周期和摆长的数值代入公式,求出重力加速度g 的值． 5．多次测量求平均值改变摆长,重做几次实验．计算出每次实验的重力加速度．最后求出几次实验得到的重力加速度的平均值,即可作为本地区的重力加速度．【拓展延伸】 如果要求用图象法来测定重力加速度,那么应该如何建立坐标系？ 分别以l 和T 2为纵坐标和横坐标,作出l ＝g4π2T 2的图象,它应该是过原点的一条直线,根据这条直线可以求出斜率k ,则重力加速度值g ＝4π2k .由于l T 的图象不是直线,不便于进行数据处理,所以采用l T 2的图象,目的是将曲线转换为直线,便于利用直线的斜率计算重力加速度．6．注意事项(1)细线的质量和弹性要小,如用单根尼龙丝、丝线等,长度一般不应短于1 m,小球要选用体积小、密度大的金属球,直径最好不超过2 cm.(2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹上,应夹紧在铁夹中,以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象．(3)摆长是悬点到球心的距离,等于摆线长加上小球半径． (4)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的角度应很小．(5)计算单摆的振动次数时,应从摆球通过最低位置时开始计,以后摆球从同一方向通过最低点时计数；要多测几次(如30次或50次)全振动的时间,用取平均值的办法求周期．【拓展延伸】 为什么摆球摆动时,要使之保持在同一个竖直平面内,不要形成圆锥摆？ 如图所示,用细线悬吊小球,使小球在水平面内做匀速圆周运动,即细线所扫过的面为圆锥面,通常我们称为圆锥摆,实际上圆锥摆中小球的运动不是振动,是匀速圆周运动．设运动过程中细线与竖直方向夹角为θ,线长为l ,则小球做圆周运动的半径r ＝l sin θ,向心力F 向＝mg tan θ.由F 向＝mr4π2T2得圆锥摆的周期T ＝2πl cos θg,显然该周期小于单摆周期,所以在用单摆测重力加速度的实验中,强调摆球必须在竖直面内摆动．【典例】 (1)测量单摆的振动周期,测量时间应从摆球经过________(选填“平衡位置”或“最高点”)时开始计时；某次测定了50次全振动的时间如图中停表所示,那么停表读数是________s ；该单摆的周期是T ＝________s(结果保留三位有效数字)．(2)测量出多组周期T、摆长L数值后,画出T2L图象如图所示,此图线斜率的物理意义是( )A．g B.1 gC.4π2gD.g4π2(3)在描点时若误将摆线长当作摆长,那么画出的直线将不通过原点,则由图线斜率得到的重力加速度将会( )A．偏大B．偏小C．不变D．都有可能(4)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度．他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1,然后把摆线缩短适当的长度ΔL,再测出其振动周期T2.则可用该同学测出的物理量来表达重力加速度为g＝________.【思路分析】解答本题的关键是要注意以下两点：(1)停表的读数规则；(2)T2L图象斜率的意义．【解析】(1)因摆球经过最低点时的速度大,容易观察和计时,所以测量时间应从摆球经过最低点开始计时．停表的读数为t＝1 min＋7.4 s＝67.4 s单摆周期T ＝150t ＝1.35 s.(2)根据单摆的周期公式T ＝2πL g 得T 2＝4π2g L ,所以T 2－L 图线斜率的物理意义是4π2g,选项C 正确．(3)因为T 2L ＝4π2g (常量),所以ΔT 2ΔL ＝4π2g ＝k ,若误将摆线当作摆长,画出的直线将不通过原点,但图线的斜率仍满足T 21－T 22L 1－L 2＝4π2g＝k ,所以由图线斜率得到的重力加速度不变,选项C 正确．(4)根据(3)分析知,ΔT 2ΔL ＝4π2g ,所以g ＝4π2ΔL ΔT 2＝4π2ΔLT 21－T 22.【答案】 (1)平衡位置 67.4 1.35 (2)C (3)C (4)4π2ΔLT 21－T 22对误差来源的分析1．单摆的振动不符合简谐运动的要求引起的系统误差(1)单摆不在同一竖直平面内振动,成为圆锥摆,g 值偏大．圆锥摆周期T ＝2πL cos θg,其中θ为摆线与竖直方向的夹角,L 为摆长．在计算g 时,以L 代替L cos θ,则测得g 值偏大．(2)振幅过大,摆线偏离竖直方向的角度超过5°,g 值偏小．摆角越大,摆球的实际周期T 也越大,求得的g ＝4π2LT2值偏小(此问题中学阶段不做过多研究)．2．测定摆长L 时引起的误差(1)在未悬挂摆球前测定摆长或漏掉加摆球半径,得到的摆线长偏短,g 值偏小． (2)测摆长时摆线拉得过紧或以摆球的直径与摆线长之和作为摆长,得到的摆线长偏长,g 值偏大．(3)悬点未固定好,振动时出现松动,使实际的摆长不断变长,g 值也偏小． 3．测定周期时引起的误差(1)开始计算时,停表过迟按下,会使所测时间t 偏小,g 值偏大；同理,停止计时时,停表过早按下,g 值偏大．(2)测定n 次全振动的时间为t ,误数为(n ＋1)次全振动,计算时,g 值偏大；同理,误数为(n －1)次全振动,计算时,g 值偏小．(3)计算单摆的全振动次数时,不以摆球通过最低点位置时开始计时,容易产生较大的计时误差．1．单摆做简谐运动的回复力是( D ) A ．摆球的重力 B ．摆线的拉力C ．摆球重力与摆线拉力的合力D ．摆球重力沿圆弧切线方向的分力解析：摆线的拉力是沿半径方向的,在圆弧切线方向上的分力为零,因此,摆球在切线方向上所受的力就是重力在切线方向上的分力,正是这个切线方向上的重力的分力充当了回复力,但这不是摆球重力与摆线拉力的合力,摆线的拉力与重力沿半径方向上的分力的合力提供做圆周运动的向心力,除在最大位移处两位置外,摆球在半径方向上所受的合力均不为零．故正确答案为D.2．用单摆测重力加速度的实验中,测出的重力加速度的值大于当地的重力加速度,下列原因中可能的是( D )A ．振幅太小导致测得的周期偏小B ．计算摆长时,只考虑线长,没有加上摆球半径C ．将n 次全振动误记为(n －1)次全振动D ．将n 次全振动误记为(n ＋1)次全振动解析：单摆周期与振幅无关,振幅的大小不会影响周期的测量,则A 错；由T ＝2πl g得,重力加速度g ＝4π2lT2,测得的g 偏大,可能是l 的测量值偏大,也可能是T 的测量值偏小,所以不加摆球半径,是使l 偏小,使g 偏小,则B 错；将n 次全振动记为(n －1)次全振动,T 的测量值偏大,使g 偏小,则C 错；同理分析知D 正确．故正确答案为D.3．(多选)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器,叫摆钟,摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供,运行的速率由钟摆控制．旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动,如图所示．以下说法正确的是( AC )A ．当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置B ．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移C ．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移D ．把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移 解析：根据周期公式T ＝2πlg知,当摆钟不准确时,则需要调整摆长,A 正确；摆钟快了,周期小,则需将摆长增长,增大周期,B 错误；由冬季变为夏季时摆杆受热伸长,则需上移圆盘调节,C 正确；摆钟从福建移到北京,加速度增大,则需将摆长增大,D 错误．4．将在地球上校准的摆钟拿到月球上去,若此钟在月球记录的时间是1 h,那么实际上的时间应是 6 h ．(月球表面的重力加速度是地球表面的16)．若要把此摆钟调准,应将摆长L 0调节为L 06.解析：对于一个确定的摆钟,其内部结构决定了它每摆动一个周期记录的时间是一定的．每摆动一个周期,在钟表上的记录时间为一定值,此定值与实际所用时间不一定相等．设在地球上校准的摆钟周期为T 0,月球摆钟记录时间为t 0,摆钟全振动次数为N ,实际时间为t 1,月球上摆钟周期为T 1.t 0＝NT 0,t 1＝NT 1,则有：t 0t 1＝T 0T 1＝2πl g 地2πl g 月＝g 月g 地,所求实际时间为t 1＝g 地g 月·t 0＝6t 0,要把该摆钟调准,需将摆长调为L 06. 5．(1)物理课外小组研究“用单摆测重力加速度”实验,他们依照教材实验直接测量的物理量应为：摆线长l 0、摆球直径d 、n 次全振动的时间t ,其公式为g ＝4π2⎝⎛⎭⎪⎫l 0＋d 2n2t2. (2)他们测出不同的摆长(l )所对应的周期(T ),在进行数据处理时：①如果甲同学以摆长(l )为横坐标、周期的平方(T 2)为纵坐标作出了T 2－l 图象,若他测得的图象的斜率为k ,则测得的重力加速度g ＝4π2k.若甲同学测摆长时,忘记测摆球的半径,则他用图象法求得的重力加速度准确(选填“偏小”“偏大”或“准确”)．②乙同学根据公式T ＝2πl g ,得：g ＝4π2l T2,用此式计算重力加速度,若乙同学测摆长时,也忘记了测摆球的半径,则他测得的重力加速度偏小(选填“偏小”“偏大”或“准确”)．(3)甲同学测量5种不同摆长单摆的振动周期,记录结果如下表所示：l /m 0.5 0.8 0.9 1.0 1.2 T /s 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20 T 2/s 22.023.203.614.004.84以摆长(l )为横坐标、周期的平方(T 2)为纵坐标,作出了T 2l 图象,请你替他在虚线框中作出T 2l 图象,利用此图象求出的重力加速度为9.86_m/s 2.答案：T 2l 图象见解析解析：(1)本实验是利用单摆的周期T ＝2πl g 得：g ＝4π2lT2,即只要测出摆长l 和周期T 就能求出当地的重力加速度g ,而l ＝l 0＋d /2,T ＝t /n .显然,本实验直接测量的物理量应为：摆线长l 0、摆球直径d 、完成n 次全振动所用的时间t .其公式为：g ＝4π2l 0＋d /2n 2t 2.(2)①若依据测量数据,作出T 2－l 图象,T 2＝4π2g l ,而k ＝4π2g ,故有：g ＝4π2k.图象对应的函数关系式应为T 2＝4π2g l ,如果忘记d ,则函数关系式应为：T 2＝4π2g·(l －d /2),显然图象的斜率不变,所以求得的重力加速度不变．②若根据公式T ＝2πl g 得：g ＝4π2lT2,用此式计算重力加速度,如果忘记d ,测量公式应为g ＝4π2l －d /2T 2,显然测量值偏小．(3)建立如图坐标系,并标出适当的标度,依据描点法画出T 2l 图象,则图象的斜率k ≈4.0 s 2/m.求出重力加速度为：g ＝4π2k≈9.86 m/s 2.。
高中物理第十一章机械振动4单摆课堂探究学案新人教版选修34
高中物理第十一章机械振动4单摆课堂探究学案新人教版选修34课堂探究一、证明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动如图所示，摆球受重力G ＝m g 和绳子的拉力F ′两个力作用，将重力m g 按切线方向和径向正交分解，则绳子的拉力F ′与重力的径向分力的合力充当了以悬点为圆心的圆周运动的向心力，而重力的切向分力F 提供了使摆球振动的回复力。
当单摆运动到摆线与竖直方向夹角为θ的位置时，摆球受到的回复力为F ＝m g sin θ。
设单摆的摆长为l ，在摆角θ＜5°的条件下，若将θ用弧度值来表示，就存在如下近似关系：sin θ≈θ。
上式中弧OP 所对的弦OP 就是摆角为θ时摆球对平衡位置的位移x ，所以sin θ≈x l。
摆球在摆角θ很小的条件下受到的回复力近似表示为： F ＝－mg l ·x ，令k ＝mg l，则F ＝－kx 。
对一个确定的单摆来说，k 是一个不随振动变化的定值，这表明摆球所受的回复力的大小跟摆球振动的位移成正比，负号则正好反映了摆球所受回复力的方向与摆球位移的方向相反(即回复力方向始终指向平衡位置)。
由此可见，单摆在摆角θ＜5°的条件下的振动是简谐运动。
由于中学物理实验对精度要求不是很高，θ＜10°时就可以满足中学物理实验对误差的要求。
做实验时，为了增加可见度，单摆的摆角不必拘泥于小于5°这个角度。
二、在探究实验中的几个问题1．测量单摆的振动周期时为什么要从平衡位置开始计时单摆摆到平衡位置时的速度最大，从这里作为计时起点误差最小。
因为计时的瞬间球快速地通过平衡位置，即使球没有摆到平衡位置或刚超过了平衡位置，摆球的运动用时也很短。
相反，若在最大位移处开始计时，正因为是速度很小，计时的瞬间若摆球没有到达或超过最大位移，运动时间较长，引起的误差就会大一些。
2．如何探究单摆振动的周期跟摆球质量的关系使用摆长相同而质量不同摆球的单摆，测量其摆动的周期即可。
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第4节单_摆一、单摆组成 要求细线 摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线 小球摆球看成是没有大小只有质量的质点单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，实验中尽量选择质量大、体积小的小球和尽量细不可伸长的线。
二、单摆的回复力1．回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。
2．回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mg lx 。
3．单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律。
三、单摆的周期1．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响 (1)探究方法：控制变量法。
(2)实验结论1.在摆角小于5°的情况下，单摆的自由振动是简谐运动。
2．单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线。
3．单摆的回复力是由摆球的重力沿运动方向的分力提供，与摆球偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置。
4．荷兰物理学家惠更斯首先提出单摆的周期公式T ＝2πlg，利用周期公式可以测定当地的重力加速度。
①单摆振动的周期与摆球的质量无关。
②振幅较小时，周期与振幅无关。
③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。
2．定量探究单摆的周期与摆长的关系(1)周期的测量：用停表测出单摆N (30～50)次全振动的时间t ，利用T ＝tN计算它的周期。
(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l 0，用游标卡尺测出小球直径D ，利用l ＝l 0＋D2求出摆长。
(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T l 、T l 2或T l 图像，得出结论。
3．周期公式(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T ＝2πlg，即T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次方根成反比。
4．周期公式的应用由单摆周期公式可得g ＝4π2lT2，只要测出单摆的摆长l 和周期T 就可算出当地的重力加速度。
1．自主思考——判一判(1)制作单摆的细线弹性越大越好。
(×) (2)制作单摆的细线越短越好。
(×) (3)制作单摆的摆球越大越好。
(×)(4)单摆的周期与摆球的质量有关，质量越大，周期越小。
(×) (5)单摆的回复力等于摆球所受合力。
(×) 2．合作探究——议一议(1)由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？提示：不是。
摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即a ∝F m，所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由T ＝2πlg决定，与摆球的质量无关。
(2)多多观察，写出生活中你能遇到哪些单摆模型。
提示：坐钟、牛顿摆、秋千等。
对单摆回复力及运动特征的理解1．单摆的回复力图1141(1)单摆受力：如图1141所示，受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F ＝mg sin θ提供了使摆球振动的回复力。
2．单摆做简谐运动的推证在偏角很小时，sin θ≈xl ，又回复力F ＝mg sin θ，所以单摆的回复力为F ＝－mg lx (式中x 表示摆球偏离平衡位置的位移，l 表示单摆的摆长，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反)，由此知回复力符合F ＝－kx ，单摆做简谐运动。
1．下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是( ) A ．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力 B ．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力 C ．单摆经过平衡位置时合力为零D ．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力解析：选B 单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆的合外力不仅要提供回复力，而且要提供向心力，故选项A 错误；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，D错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误。
2.一单摆做小角度摆动，其振动图像如图1142所示，以下说法正确的是( )图1142A．t1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大解析：选D 在t1时刻和t3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为零，A、C均错误；在t2时刻和t4时刻摆球在平衡位置，速度最大，悬线拉力最大，回复力为零，故B错误，D正确。
对单摆周期公式的理解1．摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝L＋d2，L为摆线长，d为摆球直径。
(2)等效摆长。
图1143(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sinα，这就是等效摆长，其周期T＝2π l sin αg。
图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。
图11432．重力加速度g若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即g ＝GMR2，式中R 为物体到地心的距离，M 为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化。
另外，在不同星球上M 和R 也是变化的，所以g 也不同，g ＝9.8 m/s 2只是在地球表面附近时的取值。
[典例] 有一单摆，其摆长l ＝1.02 m ，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t ＝60.8 s ，试求：(1)当地的重力加速度是多大？(2)如果将这个单摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？ [思路点拨](1)单摆的周期T 与t 的关系：T ＝t n。
(2)秒摆的周期为2 s 。
[解析] (1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T ＝2πl g， 由此可知g ＝4π2l T 2，只要求出T 值代入即可。
因为T ＝t n ＝60.830 s ＝2.027 s ，所以g ＝4π2lT 2＝4×3.142×1.022.0272m/s 2＝9.79 m/s 2。
(2)秒摆的周期是2 s ，设其摆长为l 0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有：T T 0＝l l 0， 故有：l 0＝T 02l T 2＝22×1.022.0272 m ＝0.993 m 。
所以其摆长要缩短Δl ＝l －l 0＝1.02 m －0.993 m ＝0.027 m 。
[答案] (1)9.79 m/s 2(2)缩短 0.027 m计算单摆的周期的两种方法计算单摆的周期有两种方法，一是依据T ＝2πl g ，二是根据T ＝tN。
第一种方法利用了单摆的周期公式，计算的关键是正确确定摆长。
第二种方法利用了粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于t 和N ，但利用该种方法计算周期，会受到时间t 和振动次数N 测量的准确性的影响。
1．甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角α甲>α乙(α甲、α乙都小于5°)，在同一地点由静止开始同时释放，则( ) A ．甲先到达平衡位置 B ．乙先到达平衡位置 C ．甲、乙同时到达平衡位置D ．无法判断解析：选C 由单摆的周期公式T ＝2πlg，可知周期T 与l 、g 有关，与质量、摆动的幅度无关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故同时释放，同时到达平衡位置。
2．一个单摆，在第一个行星上的周期为T 1，在第二个行星上的周期为T 2，若这两个行星的质量之比为M 1∶M 2＝4∶1，半径之比R 1∶R 2＝2∶1，则( )A ．T 1∶T 2＝1∶1B ．T 1∶T 2＝4∶1C ．T 1∶T 2＝2∶1D ．T 1∶T 2＝1∶2解析：选A 单摆的周期公式为T ＝2πl g ，同一单摆即有T ∝1g，又据万有引力定律mg ＝G Mm R 2，有g ＝GMR 2，因此T ∝R 2M，故T 1∶T 2＝R 12M 2M 1R 22＝4×14×1＝1∶1，故A 正确。
3.一个单摆的摆长为l ，在其悬点O 的正下方0.19 l 处有一钉子P (如图1144所示)，现将摆球向左拉开到A ，使摆线偏角θ<5°，放手后使其摆动，摆动到B 的过程中摆角也小于5°，求出单摆的振动周期。
图1144解析：释放后摆球到达右边最高点B 处，由机械能守恒可知B 和A 等高，则摆球始终做简谐运动。
单摆做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。
小球在左边的周期为T 1＝2πl g小球在右边的周期为T 2＝2π 0.81lg则整个单摆的周期为T ＝T 12＋T 22＝πlg＋π 0.81 lg＝1.9πl g。
答案：1.9πlg实验：用单摆测定重力加速度1．实验原理单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可以看成是简谐运动。
其固有周期为T ＝2πlg，由此可得g ＝4π2lT2。
据此，只要测出摆长l 和周期T ，即可计算出当地的重力加速度值。
2．实验器材摆球1个(穿有中心孔)、秒表、物理支架、米尺或钢卷尺、游标卡尺、细线等。
3．实验步骤(1)做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结。
然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记。
(2)测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l 线，用游标卡尺测量出摆球的直径d ，则单摆的摆长l ＝l 线＋d2。
(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过最低位置时开始用秒表计时，测量N 次(一般取30～50次)全振动的时间t ，则周期T ＝t N。
(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l 和周期T 。
4．数据处理(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l 和T 代入公式中求出g 值，最后求出g 的平均值。
设计如下所示实验表格 实验次数摆长l /m周期T /s重力加速度g /(m·s －2)重力加速度g 的平均值/(m·s －2)1 g ＝g 1＋g 2＋g 3323(2)图像法：由T ＝2πl g 得T 2＝4π2gl ，作出T 2l 图像，即以T 2为纵轴，以l 为横轴。