导数复习经典例题分类(含答案)

导数解答题题型分类之拓展篇（一）

编制:王平 审阅：朱成 2014-05-31

题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立；

经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令0)('=x f 得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；

经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值；题型特征（)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立）；参考例4；

例1.已知函数321()23

f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3

f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.设2

2(),1

x f x x =+()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；

（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例3.已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-，

326()(1)3(0)2

t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；

（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

例4.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）

（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.

例5.已知函数23)(a

x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数33)()(22

+-=a

bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；

（2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数

m 的取值范围．

题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题； 经验1：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：

第一种：转化为恒成立问题即0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；

第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；

第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；

特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要

弄清楚两句话的区别；

经验2：函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可；

例6．已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=3

1)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．

例7.已知函数.313)(23a

x ax x f -+-= （I ）讨论函数)(x f 的单调性。

（II ）若函数)(x f y =在A 、B 两点处取得极值，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值

范围。

例8．已知函数f(x)＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，其中a 为实数．

(Ⅰ)求导数f '(x)；(Ⅱ)若f '(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；

(Ⅲ)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a 的取值范围

例9.已知：函数c bx ax x x f ++-=23)(

（I ）若函数)(x f 的图像上存在点P ，使点P 处的切线与x 轴平行，求实数b a , 的关系式； （II ）若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值且图像与x 轴有且只有3个交点，求实数c 的取值范围.

例10．设()y f x =为三次函数，且图像关于原点对称，当12

x =时，()f x 的极小值为1-． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：当),1(∞+∈x 时，函数()f x 图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．

例11．在函数)0()(3≠+=a bx ax x f 图像在点（1，f （1））处的切线与直线.076=++y x 平行，

导函数)('x f 的最小值为－12。（1）求a 、b 的值；（2）讨论方程m x f =)(解的情况（相同根算一根）。

导数解答题题型分类之拓展篇（二）

编制:王平 审阅：朱成 2014-06-01

例12．已知定义在R 上的函数),,()(3R c b a c bx ax x f ∈++=，当1-=x 时，)(x f 取得极大值3，

1)0(=f .

（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）已知实数t 能使函数f (x)(t,t 3)+在区间上既能取到极大值，又能取

到极小值，记所有的实数t 组成的集合为M.请判断函数()()()f x g x x M x

=∈的零点个数. 例13.已知函数)(,42)1(3)(223x f k x k kx x f 若+-+-=的单调减区间为（0，4）

（I ）求k 的值；

（II ）若对任意的)(52],1,1[2t f a x x x t =++-∈的方程关于总有实数解，求实数a 的取值范围。 例14.已知函数b a R x x bx ax x f ,,()(23∈-+=是常数)，且当1=x 和2=x 时，函数)(x f 取得极值. （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若曲线)(x f y =与)02(3)(≤≤---=x m x x g 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.

例15.已知f (x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋2．

⑴若f(x)在x ＝1时有极值－1，求b 、c 的值；

⑵若函数y ＝x 2＋x －5的图象与函数y ＝

x k 2-的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 例16. 设函数ax x x x f +-=233

1)(，b x x g +=2)(，当21+=x 时，)(x f 取得极值. （1）求a 的值，并判断)21(+f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；

（2）当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图象有两个公共点，求b 的取值范围.

题型三：函数的切线问题；

经验1：在点处的切线，易求；

经验2：过点作曲线的切线需四个步骤；

第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；

例17.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：

（1）()f x 的解析式；

（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．

例18.已知32()4f x x ax x =--（a 为常数）在2x =时取得一个极值，

（1）确定实数t 的取值范围，使函数()f x 在区间[,2]t 上是单调函数；

（2）若经过点A （2，c ）（8c ≠-）可作曲线()y f x =的三条切线，求c 的取值范围． 题型四：函数导数不等式线性规划结合；

例19.设函数3211()(,)32

g x x ax bx a b R =+-∈，在其图象上一点(,)F x y 处的切线的斜率记为()f x ． (1)若方程()f x 有两个实根分别为-2和4，求()f x 的表达式；

(2)若()g x 在区间[]1,3-上是单调递减函数，求22a b +的最小值。

例20.已知函数),(3

1)(23R b a bx ax x x f ∈-+=

（1）若)(x f y =图象上的是)3

11,1(-处的切线的斜率为)(,4x f y =-求的极大值。 （2）)(x f y =在区间]2,1[-上是单调递减函数，求b a +的最小值。

例21. 已知函数23)(nx mx x f +=（m ，R n ∈，n m >且0≠m ）的图象在))2(,2(f 处的切线与x 轴平行.

(I) 试确定m 、n 的符号；

(II) 若函数)(x f y =在区间[,]n m 上有最大值为2n m -，试求m 的值.

题型五：函数导数不等式的结合

例22.已知函数()()0≠++=x b x

a x x f ，其中R

b a ∈,. （Ⅰ）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式； （Ⅱ）讨论函数()x f 的单调性； （Ⅲ）若对于任意的??

????∈2,21a ，不等式()10≤x f 在??????1,41上恒成立，求b 的取值范围. 例23.已知函数321()1(,3

R f x x ax bx x a =+-+∈，b 为实数）有极值，且在1=x 处的切线与直线01=+-y x 平行.

（1）求实数a 的取值范围；

（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不存在，

请说明理由；

例24.已知函数d cx x ax x f ++-=234

131)(（a 、c 、d ∈R ）满足0)1(',0)0(==f f 且0)('≥x f 在R 上恒成立。

（1）求a 、c 、d 的值；（2）若4

1243)(2-+-=b bx x x h ，解不等式0)()('<+x h x f ； 例25.设函数2()()f x x x a =--（x R ∈），其中a R ∈

（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点（2，(2)f ）处的切线方程；

（2）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；

（3）当3a >时，证明存在[1,0]k ∈-，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x -≥-对任意的x R ∈恒成立。

导数解答题题型分类之拓展篇答案2014-05-31

题型一例1、解：（Ⅰ）'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点，

∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得32

b =. 令'()0f x >，则2320x x -+>，解得1x <或2x >.

∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞.

（Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时'()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >，

∴()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]

上的最小值，且 2(2)3f a =+. 若当[1, 3]x ∈时，要使22()3

f x a ->恒成立，只需22(2)3f a >+， 即22233

a a +>+，解得 01a <<. 例2、解：(1)法一:(导数法)2222

4(1)224()0(1)(1)x x x x x f x x x +-+'==≥++ 在[0,1]x ∈上恒成立. ∴()f x 在[0,1]上增，∴()f x 值域[0,1]。

法二:22

0,0

22(),(0,1]111x x f x x x x x =???==?∈+?+??, 复合函数求值域. 法三:2222(1)4(1)22()2(1)4111

x x x f x x x x x +-++===++-+++用 对号函数求值域. (2)()f x 值域[0,1]，()52(0)g x ax a a =+->在[0,1]x ∈上的值域[52,5]a a --.

由条件,只须[0,1][52,5]a a ?--，∴5205451

2a a a -≤??≤≤?-≥?. 例3、解：（Ⅰ）/2()32f x x ax =+∴/(1)31f b a

?=-?=+?， 解得32a b =-??=-? （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又min max (1)4,(0)0,{()}(2)4,{()}(4)16f f f x f f x f -=-===-==

∴()f x 的值域是[4,16]- （Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2

t h x f x g x x t x x =-=-++-∈ ∴要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥-