导数典型例题.doc
导数典型例题讲解(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】资料一 ：导数.知识点 1．导数的概念例1．已知曲线y =3x 上的一点P (0, 0)，求过点P 的切线方程·解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0.例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程·解析：∵ y =x 2, ∴ ∆y =(x 0＋∆x )2－x 02＝2x 0∆x ＋(∆x )2 =4∆x ＋(∆x )2∴ k ＝00lim lim(4)4x x yx x∆→∆→∆=+∆=∆. ∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0.例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋∆t ]内相应的平均速度．解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ∆S =1+(t +∆t )+(t +∆t )2－(1+t +t 2)=2t ·∆t +∆t +(∆t )2,∴21St t t∆=++∆∆, 即()21v t t t =++∆, ∴ (5)11v t =∆+,即在[5，5＋∆t ]的一段时间内平均速度为(∆t ＋11)米／秒∴ v (t )=S ’＝0limlim(21)21t t St t t t ∆→∆→∆=++∆=+∆ 即v (5)＝2×5＋1＝11.∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数y =x在x =1处的导数。
解析：∆y =11111xx x-+∆-=+∆+∆, ∴ y x ∆∆=1(11)x x +∆++∆,∴0lim x yx ∆→∆∆=01lim 21(11)x x x ∆→=-+∆++∆.例5．已知函数f (x )=21sin00x x x x ⎧≠⎪⎨⎪=⎩, 求函数f (x )在点x ＝0处的导数解析：由已知f (x )=0，即f (x )在x =0处有定义，∆y =f (0+∆x )－f (0)=21()sinx x ∆∆, y x ∆∆=1sin x x ∆⋅∆, 0limx yx ∆→∆∆=01lim sin x x x∆→∆⋅∆=0, 即 f ’(0)＝0.∴ 函数f (x )在x ＝0处导数为0.例6．已知函数f (x )=21(1)121(1)12x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩≤, 判断f (x )在x ＝1处是否可导？解析：f (1)=1, 20001[(1)1]112lim lim lim (1)12x x x x y x x x ---∆→∆→∆→+∆+-∆==+∆=∆∆,001(11)112lim lim 2x x x y x x ++∆→∆→+∆+-∆==∆∆, ∵00lim lim x x y y x x -+∆→∆→∆∆≠∆∆, ∴ 函数y =f (x )在x ＝1处不可导．例7．已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’.解析：∵ y =2x 3+3, ∴ ∆y =2(x +∆x )3+3－(2x 3+3)=6x 2·∆x +6x ·(∆x )2+2(∆x )3,∴y x∆∆=6x 2+6x ·∆x +2(∆x )2, ∴ y ’=0limx y x∆→∆∆=6x 2. 例8．已知曲线y ＝2x 3＋3上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程和法线方程．解析：∵ x =1, ∴ y =5, P 点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,∴ y ’1|x =＝6, ∴ 曲线在P 点处的切线方程为y －5＝6(x －1)即6x －y －1＝0, 又曲线在P 点处法线的斜率为－61， ∴ 曲线在P 点处法线方程为y －5＝－61( x －1)，即 6y ＋x －31＝0.例9．抛物线y ＝x 2在哪一点处切线平行于直线y ＝4x －5？解析：∵y ’=0limx yx ∆→∆∆=220()lim 2x x x x x x∆→+∆-=∆, 令2x ＝4．∴ x =2, y ＝4, 即在点P (2，4)处切线平行于直线y ＝4x －5.例10．设mt ≠0，f (x )在x 0处可导，求下列极限值 (1)000()()limx f x m x f x x∆→-∆-∆；(2) 000()()limx xf x f x t x∆→∆+-∆. 解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x 0)定义中的极限形式。
导数100题经典大题汇编
高三《函数与导数解答题》1. 已知2()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+-（1）求函数f(x)的最小值；（2）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； 解：（1）'()=ln 1f x x +由'()0f x =得1x e=当'1(0,),()0,()x f x f x e ∈<时单调递减；当'1(+),()0,()x f x f x e∈∞>，时单调递增；min 11()()f x f e e==-（2）232ln 3,2ln x x x ax a x x x≥-+-≤++则设'23(3)(1)()2ln (0),()x x h x x x x x x x +-=++>=则h① (0,1),()0,()x h x h x '∈<单调递减， ② (1,),()0,()x h x h x '∈+∞>单调递增，所以min ()(1)4h x h ==，对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立， 所以min ()4a h x ≤=2. 已知函数)(ln 2)(),()(R b x xbx g R a ax x f ∈+=∈=，)()()(x g x f x G -=，且(1)0G =，()G x 在1x =的切线斜率为0。
（1）求,a b ；（2）设/1()2,n a G n n=+-求证：121111118n a a a +++< 解：（1）()2ln (0)bG x ax x x x=-->，由(1)0G = 得：0a b -= /22()b G x a x x =+- 又/(1)0G =，则2a b += 1,1a b ∴==…………4分 （2）/212()1(0)G x x x x =+->，/1()2,n a G n n =+- 21n a n n ∴=--……5分2111n a n n ∴=--，易证：1n =时，111118a <；2n =时12111118a a +<；3n ≥时，221111111()12(2)(1)321n a n n n n n n n n =<==--------+ 121111*********(1)34253621n a a a n n ∴+++<-++-+-+-++--+ 11111111()361118n n n =---<-+3. 已知函数)0(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f 且． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23x f mx x x g 在区间)3,(t 上总存在极值？（Ⅲ）当2=a 时，设函数32)2()(-+--=xep x p x h ，若在区间[]e ,1上至少存在一个0x ，使得)()(00x f x h >成立，试求实数p 的取值范围．解：（Ι）由xx a x f )1()('-=知： 当0>a 时，函数)(x f 的单调增区间是)1,0(，单调减区间是),1(+∞；当0<a 时，函数)(x f 的单调增区间是),1(+∞，单调减区间是)1,0(；………………4分（Ⅱ）由()212af '=-=2a ⇔=-,∴()223f x ln x x =-+-，()22f 'x x =-. ………………………6分故3232()'()(2)222m m g x x x f x x x x ⎡⎤=++=++-⎢⎥⎣⎦，∴2'()3(4)2g x x m x =++-,∵ 函数)(x g 在区间)3,(t 上总存在极值，∴0)('=x g 有两个不等实根且至少有一个在区间)3,(t 内…………7分又∵函数)('x g 是开口向上的二次函数，且02)0('<-=g ，∴ ⎩⎨⎧><0)3('0)('g t g …………8分由4320)('--<⇔<t tm t g ，∵=)(t H 432--t t 在[]2,1上单调递减，所以9)1()(min -==H t H ；∴9-<m ，由023)4(27)3('>-⨯++=m g ，解得337->m ； 综上得：379.3m -<<- 所以当m 在)9,337(--内取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23x f m x x x g 在区间)3,(t 上总存在极值。
完整版)导数求导练习题
完整版)导数求导练习题1.若 $f(x) = \sin\alpha - \cos x$，则 $f'(\alpha)$ 等于什么？答：$f'(\alpha) = \cos\alpha$。
2.函数 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 2$，若 $f'(-1) = 4$，则 $a$ 的值等于什么？答：$f'(x) = 3ax^2 + 6x$，代入 $x=-1$ 得 $-3a + (-6) = 4$，解得 $a = -\frac{10}{3}$。
3.函数 $y=x\sin x$ 的导数是什么？答：$y' = \sin x + x\cos x$。
4.函数 $y=x^2\cos x$ 的导数是什么？答：$y' = 2x\cos x - x^2\sin x$。
5.若 $y=(2x^2-3)(x^2-4)$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = 4x^3 - 16x$。
6.若 $y=3\cos x - 4\sin x$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = -3\sin x - 4\cos x$。
7.与直线 $2x-6y+1=0$ 垂直，且与曲线 $y=x^3+3x^2-1$ 相切的直线方程是什么？答：曲线在点 $(-1.-1)$ 处的斜率为 $9$，所以切线方程为$y+1 = 9(x+1)$。
8.质点运动方程是 $s=t^2(1+\sin t)$，则当 $t=2$ 时，瞬时速度为什么？答：$v(t) = 2t(1+\sin t) + t^2\cos t$，代入 $t=2$ 得 $v(2) = 8+4\sqrt{2}$。
9.求曲线 $y=x^3+x^2-1$ 在点 $P(-1,-1)$ 处的切线方程。
答：曲线在点 $(-1,-1)$ 处的斜率为 $3(-1)^2+2(-1) = -1$，所以切线方程为 $y+1 = -(x+1)$。
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
关于导数的29个典型习题
关于导数的29个典型习题习题1设函数在0=x 的某邻域内1C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。
解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0=-+=-+→f b a f h f b h f a h ..01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知).0()2(1)2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可解出.1,2-==b a习题2 设,0,00,)()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=-x x xe x g xf x其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性.解 (1) 当0≠x 时，用公式有,)1()()()(])([)(22x e x x g x g x x e x g e x g x x f xx x ---++-'=+-+'='当0=x 时，用定义求导数，有.21)0()(lim)0(20-''=-='-→g x e x g f xx 二次洛 ⎪⎩⎪⎨⎧=-''≠++-'='∴-.0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x(2) 因在0=x 处有).0(21)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g xe x e x g x g x x g xf xx xx x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+xd y d dx dy22232])(1[定数。
完整版)导数大题练习带答案
完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。
Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。
+\infty)$。
Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。
m+3]$ 上的最值。
$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。
m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为$f(m)=me^{m}$。
Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。
证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有$x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。
2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。
Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。
$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$，在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$，由于切线垂直于直线 $y=x+2$，所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$，解得 $a=1$。
导数应用精选50题(含有答案)
C.2
D. 3
2
13.对于三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d （ a 0 ），定义：设 f (x) 是函数 y f (x) 的
导数，若方程 f (x) 0 有实数解 x0，则称点（x0，（f x0））为函数 y f (x) 的“拐点”．有
同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’
)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图 象中， y f (x) 的图象大致是（ ）
常数 为方程 f (x) = x 的实数根。 (1) 求证：当 x > 时，总有 x > f (x) 成立； (2) 对任意 x1、x2 若满足| x1－ | < 1,| x2－ | < 1,求证：| f (x1)－f (x2)| < 2.
25.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ax3 bx2 ，当 x 1 时，有极大值 3 ；
f
( ) ， f 3
(x ) 为 f(x)的导函数，令 a＝
12，b＝log32，则下列关系
正确的是( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b)
C．f(a)＝f(b)
D．f(|a|)<f(b)
16.设在函数 y x sin x cos x 的图象上的点 x0, y0 处的切线斜率为 k，若 k g x0 ，则
2.3导数的计算（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.3导数的计算（讲义+典型例题+小练）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()C C =为常数；②1()'n n x nx -=；11()'()'n n n x nx x---==-；1()'()'m mn n n m m x x x n -==③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =- ⑤()'x xe e = ⑥()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且 例：1．已知在一次降雨过程中，某地降雨量y （单位：mm ）与时间t （单位：min ）的函数关系可表示为10y t =40min t =时的瞬时降雨强度为（ ）mm/min. A ．12 B ．14C ．20D ．400【答案】B 【解析】 【分析】对题设函数求导，再求40min t =时对应的导数值，即可得答案. 【详解】 由题设，1102y t '=401101|2404t y ='==， 所以在40min t =时的瞬时降雨强度为14mm/min. 故选：B2．设()f x 是定义在R 上的可导函数，若()()000lim2h f x h f x h a h→+--=（a 为常数），则0()f x '=（ ） A ．2a - B ．a -C ．aD ．2a【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义即可求解. 【详解】0()f x '=()()0001lim222h f x h f x h a a h→+--=⨯=. 故选：C. 3．有下列结论：①()sin cos x x '=； ②5233x x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=； ③()31log 3ln x x '=； ④()1ln x x'=． 其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数公式即可求得答案. 【详解】①()sin cos x x '=，正确；②523353x x '⎛⎫ ⎪=⎝⎭，错误； ③()31log ln 3x x '=，错误； ④()1ln x x'=，正确．故选:C ．4．求下列函数在指定点处的导数．(1)()πf x x =，1x =；(2)()sin f x x =，π2x =． 【答案】(1)π (2)0 【解析】 【分析】（1）先求出函数()πf x x =的导数fx ，将1x =代入f x ，即可求出结果；（2）先求出函数()sin f x x =的导数f x ，将π2x =代入fx ，即可求出结果.(1)解：因为()πf x x =，所以()1f x x ππ-'=，所以()1f π'=. (2)解：因为()sin f x x =，所以()cos f x x '=，所以cos 022f ππ⎛⎫'== ⎪⎝⎭.5．用不等式推理或借助计算机，比较函数2log y x =和y x =增长的快慢. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】求得函数2log y x =和y x =导数，结合二次函数的性质，得到其导数的大小关系，即可求解. 【详解】由函数2log y x =，可得1,0ln 2y x x '=>，又由函数y x =，可得12y x'=， 令()ln 2,02f x x x x =->，令()0f x =，即ln 220x x -=，解得22()ln 2x =， 当220()ln 2x <<时，()0f x <，可得11ln 22x x >，此时函数2log y x =的增长更快； 当22()ln 2x >时，()0f x >，可得11ln 22x x <，此时y x =的增长更快； 举一反三：1．若函数10x y =，则1x y ='等于（ ）A ．110B ．10C ．10ln10D ．110ln10【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数10x y =的导数，再将x =1代入即可求得答案. 【详解】∵10ln10x y '=，∵110ln10|x y ='=． 故选：C. 2．曲线2yx 在点()1,1P 处的切线方程是（ ）A ．230x y -+=B ．210x y --=C ．210x y -+=D ．230x y --=【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程. 【详解】依题意得2y x '=，当1x =时，212y '=⨯=，即切线的斜率为2，故切线方程为()121y x -=-，即210x y --=. 故选：B ．3．12'⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．12B ．1C ．0D ．122【答案】C 【解析】 【分析】由常数的导数为0即可求得答案. 【详解】由题意，102'⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.4．已知f (x )=cos x ，g (x ) = x ，则关于x 的不等式()()0f x g x ''+≤的解集为__________.【答案】|2,2Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由题可得sin 1x ≥，利用正弦函数的性质即求. 【详解】由题可得sin 10x -+≤，即sin 1x ≥， 又sin 1x ≤， 所以sin 1x =， 所以2,2Z x k k ππ=+∈，∵原不等式的解集为|2,2Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为：|2,2Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭5．某质点的运动方程是3s t =，求该质点在3t =时的速度. 【答案】27 【解析】 【分析】根据导数的运算法则，代值计算即可. 【详解】因为质点的运动方程是3s t =，故质点的速度关于时间的函数关系为：v ='s 23t =， 故当3t =时，27v =. 故答案为：27.6．求下列函数的导数： (1)0y x =; (2) 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭;(3)2y x=；(4) 212s 2iny x =-. 【答案】(1)0y '=(2)1ln 22xy ⎛⎫=- ⎪⎭'⎝(3)32y x '=(4)sin y x '=- 【解析】 【分析】（1）根据常函数的求导公式，即可求出结果； （2）根据指数函数的求导公式，即可求出结果； （3）根据幂函数的求导公式，即可求出结果；（4）利用余弦二倍角公式化简，再根据余弦函数的求导公式，即可求出结果； (1)解:因为01y x ==，所以0y '=. (2)解:因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以111ln ln 2222x x y ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即1ln 22xy ⎛⎫=- ⎪⎭'⎝.(3)解:因为322x x y x == ，所以123322y x x '==，即32y x '=. (4)解:因为212s s 2in co y x x=-=，所以sin y x '=-.巩固提升一、单选题1．函数2()f x x =在点(1,1)处的切线斜率为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先判断点(1,1)是否在()f x 上，再求函数()f x 导数，进而得()1f '，即可求得答案. 【详解】 2()f x x =由2(1)11f ==，可得点(1,1)在2()f x x =上 ()2f x x '=∴()12f '=可得函数()f x 在点(1,1)处的切线斜率为2 故选：D.2．已知()sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x '=（ ）A ．cos xB ．cos x -C ．sin xD ．sin x -【答案】D 【解析】 【分析】化简函数()f x 的解析式，利用基本初等函数的导数公式可求得结果. 【详解】因为()sin cos 2f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因此，()sin f x x '=-.故选：D. 3．函数()1f x x=在2x =和3x =处的导数的大小关系是（ ） A ．()()23f f ''< B ．()()23f f ''> C ．()()23f f ''= D ．不能确定【答案】A 【解析】 【分析】求出函数导数即可比较. 【详解】 ()1f x x =，()21f x x '∴=-，所以()()112,349f f ''=-=-，即()()23f f ''<.故选：A.4．已知函数()tan f x x =，则4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭等于（ ）A ．12 B 2 C ．1 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，然后求出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭即可【详解】 由()sin tan cos x f x x x ==，得2222cos sin 1()cos cos x x f x x x+=='， 所以2124cos4f ππ⎛⎫=='= ⎪⎝⎭， 故选：D5．函数()ln f x x =在x e =处的导数等于（ ） A ．0 B ．1eC ．1D ．e【答案】B 【解析】 【分析】利用导数公式求解. 【详解】因为函数()ln f x x =， 所以1()f x x'=， 所以1()f e e '=， 故选；B6．下列结论正确的个数为（ ） ①若y ＝ln2，则12y ； ②若()21f x x =，则()2327f '=-；③若2x y =，则2x y '=； ④若2log y x =，则1ln 2xy '=． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】C 【解析】 【分析】根据求导公式依次对选项求导即可. 【详解】①：由ln 2y =，得0y '=，故①错误； ②：由221()f x x x -==，得332()2f x x x -'=-=-，所以2(3)27f '=-，故②正确；③：由2x y =，得ln 22x y '=⋅，故③错误；④：由2log y x =，得11ln 2ln 2xy x '==，故④正确； 故选：C 二、多选题7．已知()2f x x =的导数为()f x '，则必有（ ） A ．()()f x f x '> B ．()()f x f x '≥（1≥x ） C ．()()f x f x '< D ．()()f x f x '≤（1x ≤）【答案】BD 【解析】 【分析】求出导数，作差可得出答案. 【详解】由()2f x x =，得()2f x '=，所以()()()21f x f x x '-=-，当1≥x 时，()()f x f x '≥，当1x ≤时，()()f x f x '≤，所以选项BD 正确. 故选：BD.8．下列求导过程正确的是（ ）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()12x x '=C ．()1a a x ax -'=D ．()ln log a ax x'=【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导函数判断可得选项. 【详解】解：由211x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得A 错误； 由()12x x '=，得B 正确；由()1a a x ax -'=，得C 正确； 由()1log ln a x x a'=，得D 错误． 故选：BC. 三、填空题9．已知()2f x x =，()lng x x =，若()()23f x xg x ''+=，则x =________.【答案】12##0.5【解析】 【分析】对()2f x x =与()lng x x =求导后代入题干中的条件，列出方程，求出x 的值.【详解】函数的导数公式可知()2f x x '=，()1g x x'=， 由()()23f x xg x ''+=得1223x x x +⋅=，即21x =，解得12x =. 故答案为：1210．设函数()1f x ax =+，若()12f '=，则=a ___________. 【答案】2 【解析】【分析】 根据函数在()()00,x f x 处的导数的定义()()()00000limlim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆'==∆∆得到方程，即可求出参数的值【详解】解：因为()1f x ax =+，所以()()()()()00111111limlim x x f x f a x a f a x x∆→∆→+∆-∆++-+'===∆∆， 且()12f '=，∵2a =.故答案为：2四、解答题11．设b 为实数，直线12y x b =+能作为下列函数图象的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由．(1)1()f x x =； (2)4()f x x =；(3)()sin f x x =；(4)()x f x e =．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)详见解析；(4)详见解析.【解析】【分析】求导，令1()2f x '=求解判断. (1)解：因为1()f x x =， 所以211()2f x x '=-=无解， 所以直线12y x b =+不能作为函数图象的切线；(2)因为4()f x x =，所以3()4f x x ， 令31()42f x x '==，解得12x =，此时116y =， 所以切点坐标为11,216⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以直线12y x b =+能作为函数图象的切线；(3)因为()sin f x x =，所以()cos f x x '=， 令1()cos 2f x x '==，解得2,3x k k Z ππ=±∈，此时3y = 所以切点坐标为32,3k k Z ππ⎛+∈ ⎝⎭或32,,3k k Z ππ⎛-∈ ⎝⎭， 所以直线12y x b =+能作为函数图象的切线；(4)因为()x f x e =，所以()x f x e '=， 令()12x f x e '==，解得1ln 2x =，此时12y =， 所以切点坐标为11ln ,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以直线12y x b =+能作为函数图象的切线；12．已知函数()a b f x ax +=的导数为()26f x x '=，求a ，b 的值． 【答案】2,1a b ==【解析】【分析】求导，再由待定系数法得出a ，b 的值．【详解】1()()a b f x a a b x '+-=+，因为()26f x x '=，所以()6,2,112a a b a b a b +=⎧==⎨+-=⎩。
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导数典型例题导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最(极)值等等， 考查的题型有客观题(选择题、填空题)、主观题(解答题)、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考 查成为新的热点.一、与导数概念有关的问题【例1】函数f(x)=x(x-1) (x-2)…(x-100)在x= 0处的导数值为2A.0B.100C.200D.100 !解法一 “(0、_ .. f(° tx) _f(o) ...-xC-x-DO-2V'^-100)-0解法 f (0)_叽 L _叽-_||m (A x-1)( △ x-2)…(△ x-100)_ (-1) (-2)-( - 100) =100 !•••选 D..x _0解法二 设 f(x)_a 101x 101 + a 100X 100+ …+ a 1X+a 0,则 f z (0)_ 而 a 1_ (-1)(-2 ) - (- 100)_100 ! .•••选 D.点评解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解111【例2】已知函数f(x)_ c ；c ^x • — C ；X 2亠■亠— C ；X k 亠■亠一 <x n，n € N *，则2 k nf （2 42 连）_f （2—心） 顾0 -f （2 十2心）_f （2 —住）_c.. f （2 十2 心）—f （2）,典x_2|叭吳 +• f / (2)_ 一 (2c ： • 2它• 2kC ：• 2n & ) _-[(1+2) n -1]_ - (3n - 1).2 2 2点评导数定义中的“增量Ax ”有多种形式，可以为正也可以为负，如f(x0s.x) _f(xo )，且其定义形式可以是|im f(X0—mX)—f(X0)，也可以是 即-mxliI m-m x(令A x_x-X 0得到)，本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有 关知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖 谢谢观赏_2f / （2）+ f ' （2）_3 / （2），（X ）_c ： . c ；x •…k k 4c nx丄 ncn. f （x ） —f （X 。
）X -X【例3】 如圆的半径以 2 cm/s 的等速度增加，则圆半径 R=10 cm 时，圆面积增加的速度是 _______________ .解 T S= n R 2,而 R= R(t), R t =2 cm/s ，二 S t = ( n R 2)t =2 n R • R =4 n R ,2--S t /R =10=4 n R/R =10= 40 n cm /s.点评R 是t 的函数，而圆面积增加的速度是相当于时间t 而言的(R 是中间变量)，此题易岀现“T S=n R 2，S z =2 n R ，S z /R =IO =20 n cm 2/s ”的错误.本题考查导数的物理意义 及复合函数求导法则，须注意导数的物理意义是距离对时间的变化率， 它是表示瞬时速度，因速度是向量，故变化率可以为负值.2004年高考湖北卷理科第16题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题，据资料反映：许多考生在求出距离对时间的变化率是负值 后，却在写出答案时居然将其中的负号舍去，以致痛失4分.二、与曲线的切线有关的问题【例4】以正弦曲线y=sinx 上一点P 为切点的切线为直线 围是故选A.点评函数y=f(x)在点X 。
处的导数 "(x °)表示曲线，y=f(x)在点(X 0，f(x °))处的切线斜 率，即k=tan a ( a 为切线的倾斜角)，这就是导数的几何意义 .本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易岀错【例5】 曲线y=x 3-ax 2的切线通过点(0, 1 )，且过点(0, 1)的切线有两条，求实 数a 的值. 解•••点(0, 1)不在曲线上，•••可设切点为(m,m 3-am 2).而y z=3x 2-2 ax ,••• k 切=3m 3-2 am ，则切线方程为y=(3 m 3-2 am)x-2m 3-am 2.T 切线过(0, 1), • 2m 3- am 2+i=0.(*)设(*)式左边为f(m) ,• f(m)=0，由过(0, 1)点的切线有 2条，可知f(m)=0有两个 实数解，其等价于“f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于0，且a ^ 0” .由 f(m)=2 m - am +i ，得 f /(m)= 6m - am =2 m(3m- a)，令 f / (m)=0，得 m=0 , m=—,3a1 3• a ^ 0, f(0) • f( )=0，即 a 工 0, -a 3+1=0, • a=3.327点评本题解答关键是把“切线有2条”的“形”转化为“方程有2个不同实根”的“数”， 谢谢观赏l ，则直线 l 的倾斜角的范n | 3n I0, U , n「4」1 4，」 A.B. 0, n 1C.y=sinx 上点P 的切线斜率角为n 3na ，由题意知,■/ cosx € ［- 1， 1］， /• tan a € ［- 1， 1］，又 a € 0,n ，-冗D. Q 4tan a =y / =cosx.3na €0, U ,n.即数形结合，然后把三次方程( *)有两个不同实根予以转化.三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于0,且极小值小于0” .另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上.三、与函数的单调性、最(极)值有关的问题【例6】以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是① ② ③ ④A.①、②B.①、③C.③、④D.①、④解由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0,原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0,原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是③、④，故选 C.点评f/ (x)>0 (或<0 )只是函数f/ (x)在该区间单递增(或递减)的充分条件，可导函数f/ (x)在(a，b)上单调递增(或递减)的充要条件是：对任意x€ (a，b)，都有f z(x) > 0(或w 0)且f/ (x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用此充要条件可以方便地解决“已知函数的单调性，反过来确定函数解析式中的参数的值域范围”问题.本题考查函数的单调性可谓新颖别致.【例7】函数y=f(x)定义在区间(-3，7)上，其导函数如图所示，则函数y=f(x)在区间(-3，7)上极小值的个数是_______________ 个.解如图，A、0、B、C、E这5个点是函数的极值点，观察这5个极值点左、右导数的正、负，可知O点、C点是极小值点，故在区间(-3，7)上函数y=f(x)的极小值个数是2个.点评导数f/(x)=0的点不一定是函数y=f(x)的极值点，如使f/ (x)=0的点的左、右的导数值异号，则是极值点，其中左正右负点是极大值点，左负右正点是极小值点.本题考查函数的极值可以称得上是匠心独运.【例8】设函数f(x)与数列｛a.｝满足关系：①a i>a，其中a是方程f(x)=x的实数根；②a n+i=f(a n)，n € N* :③ f(x)的导数 f / (x) €( 0，1).(1)证明：a n>a，n€ N* ；谢谢观赏投入比率： 一x一 € Q,tl ,其中t 为常数，且t € 0,2 1.2(a -x)(2)判断a n 与a n+1的大小，并证明你的结论 .(1) 证明：(数学归纳法)当n=1时，由题意知 a i > a ，二原式成立. 假设当n = k 时，a k > a ，成立.••• f / (x)>0 ,••• f(x)是单调递增函数.二 a k+i = f(a k )> f( a )= a ， (T a 是方程 f(x)= X 的实数根) 即当n =k+1时，原式成立. 故对于任意自然数 N *，原式均成立.(2) 解：g(x)=x-f(x),x > a ,• g / (x)=1 - f / (x)，又T 0< f / (x)<1 ,• g / (x)>0. • g /(x)在a 垃)上是单调递增函数.而 g / ( a )= a - f( a )=0， • g / (x)>g( a ) (x> a )，即 X>f(x). 又由(1 )知，a n > a ， •a n >f(a n )=a n+1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识融入数学归 纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的冋题x【例9】 设x > 0，比较 A=xe -x ，B=lg(1+ x)，C= -------------- 的大小J 1十Xx解 令 f(x)=C-B= ------------ l g(1+ x)，则 f / (x)=+x• f(x)为 0,= 上的增函数，• f(x) > f(0)=0，• C > B.1 _ e j(1 _ X 2) 令 g(x)=B-A=lg(1+x)-xe -x ，则当 x > 0 时，g / (x)=> 0，1 + x• g(x)为 0, •：：上的增函数，• g(x) > g(0)=0，• B > A. 因此，C > B > A ( x=0时等号成立).点评运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如五、与实际应用问题有关的问题【例10】 某汽车厂有一条价值为a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入x 万兀之间满足：① y 与(a-x)和x 2的乘积成正比；②当a 3x时，y=a .并且技术改造(亦乂 >0，2(1 x) \ 1 x明当x>a 时，有f(a)= $ (a)，则只要设辅助函数 递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次, 知识点.F(x)= f(a)- $ (a)，然后证明 F(x)在 x>a 单调2004年全国卷H 的压轴题就考查了此f(a)= $ (a)，要证(1) 求y=f(x)的解析式及定义域； (2)求岀产品的增加值y 的最大值及相应的 x 值.解：(1)由已知，设 y=f(x)=k(a-x)x 2,点评f /(X o )=0 ,只是函数f(x)在x o 处有极值的必要条件，求实际问题的最值应先建立 一个目标函数，并根据实际意义确定其定义域，然后根据问题的性质可以断定所建立的目 标函数f(x)确有最大或最小值，并且一定在定义区间内取得，这时f(x)在定义区间内部又只有一个使f / (X o )=o 的点x o ,那么就不必判断 X 。