高一第二次月考数学

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2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期第二次月考数学试题(解析版)

2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}21,R ,|A xx x B x x a ==∈=≥∣，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（） A ．(),1-∞- B ．()1,+∞ C ．(],1-∞- D ．[)1,+∞【答案】C【分析】根据A B ⊆列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】依题意{}1,1A =-，{}|B x x a =≥，由于A B ⊆，所以1a ≤-，即a 的取值范围是(],1-∞-. 故选：C2．已知角θ的终边经过点()2,3-，则sin θ=（）A ．BC ．D 【答案】A【分析】由任意角的三角函数的定义即可得出答案. 【详解】因为角θ的终边经过点()2,3-，所以sin θ=故选：A.3．下列运算正确的是（） A ．lg2lg502⋅= B ．11552log 10log 0.252+=C ．4251log 3log log 82⋅⋅= D ．()log 12=-【答案】C【分析】结合基本不等式、对数运算、对数函数的性质等知识求得正确答案. 【详解】22lg2lg50lg100lg2lg50122+⎛⎫⎛⎫⋅<== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项错误.1511111555552log 10log 0.25log 100log 0.25log 25log 10+=+<==，B 选项错误.32242544355321log3log log8log3log5log8log3log5log832⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅234211131log8log233322===⨯=，C选项正确.())2111log1log=))2111log12-==-，D选项错误.故选：C4．在平面直角坐标系中，点()tan2022,sin2022P位于第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】D【分析】运用诱导公式计算出P点坐标的符号就可判断出P点所在的象限.【详解】()tan2022tan5360222tan2220︒︒︒︒=⨯+=>，()sin2022sin5360222sin2220︒︒︒︒=⨯+=<，()tan2022,sin2022P︒︒∴在第四象限；故选：D.5．设函数()f x的定义域为()1,3-，则函数()()()1ln1f xg xx+=-的定义域为（）A．()2,1-B．()()2,00,1-⋃C．()0,1D．()(),00,1-∞⋃【答案】B【分析】要使()g x有意义，根据抽象函数的定义域、对数真数不为0、分母不为0可得到答案. 【详解】要使()()()1ln1f xg xx+=-有意义，只需1131011xxx-<+<⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，即221xxx-<<⎧⎪<⎨⎪≠⎩，解得20x-<<或01x<<，则函数()g x的定义域为()()2,00,1-⋃.故选：B.6．已知函数()y f x=的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．()cos 22x xxf x -=-B ．()cos 22x x xf x -=-C ．()sin 22x xxf x -=-D ．()sin 22x xxf x -=-【答案】A【分析】由图象可得()y f x =为奇函数，故排除C ，D ，再结合图象求得0x >时，函数的第一个零点为π2x =，根据π3π22x <<时，函数的正负和题干图象即可得答案. 【详解】解：由图象可得()y f x =为奇函数，对于C ，()sin 22xx x f x -=-，所以()sin(-)sin ()2222x x x x x xf x f x ---===--为偶函数，故排除；对于D ，()sin 22x xx f x -=-，所以()sin(-)sin ()2222x x x x x x f x f x ---===--为偶函数，故排除；对于A ，因为()cos 22x x xf x -=-，所以()cos(-)cos ()2222x x x xx x f x f x ---==-=---，为奇函数；对于B ，因为()cos 22x xx f x -=-，所以()cos(-)cos ()2222x x x x x xf x f x ---==-=---，为奇函数；因为当0x >时，22x x ->，即220x x -->，当π2x =时，πcos cos02x ==，所以当0x >时，函数的第一个零点为π2x =，当π3π22x <<时, cos 0x <, 所以()0f x <，而此时函数()f x 的图象位于x 轴下方，故A 选项的解析式符合. 故选：A.7．已知函数()2f x x x =，当[]2,2x ∈-时，()()83f a x f x --，则实数a 的取值范围是（）A ．][(),128,∞∞--⋃+B ．[]12,8-C ．][(),04,∞∞-⋃+D ．[]0,4【答案】D【分析】由解析式确定函数的奇偶性与单调性，并对函数式变形，然后利用性质化简不等式，转化为求函数的最值，从而得参数范围．【详解】首先22()()f x x x x x -=--=()f x =，()f x 为偶函数，0x ≥时，3()f x x =是增函数，22(2)(2)288()f x x x x x f x ===，因此不等式()()83f a x f x --先化为()(62)f a x f x -≤-，()f x 是偶函数，则有()(62)f a x f x -≤-，又0x ≥时，3()f x x =是增函数，因此62a x x -≤-，[2,2]x ∈-，620x ->，因此有62a x x -≤-，2662x a x x -≤-≤-，366x a x -≤≤-，所以366x a x -≤≤-对[2,2]x ∈-恒成立，360x -≤（2x =时取等号），64x -≥（2x =时等号成立），所以04a ≤≤．故选：D ．8．已知ln 1a a =，若1,ln5,e log 2a a x a y a z +==⋅=⋅，其中e 为自然对数的底数，则（）A ．y x z <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．x y z <<【答案】B【分析】先判断出a 的取值范围，然后结合差比较法、放缩法判断出,,x y z 的大小关系. 【详解】依题意，ln 1a a =，则1a >，1ln a a=，画出()1ln ,0y x y x x==>的图象如下图所示，由图可知，两个函数有1个交点，构造函数()1ln f x x x=-，则()f x 在()0,∞+上递增，()()11110,2ln 2022f f =-<=->=，所以存在()()1,2,0a f a ∈=，即a 的取值范围是()1,2. ln ln 1,e a a a a a a ===，所以1e a a x a a a a +==⋅=⋅，而21ln e ln 5ln e 2e =<<=<，所以()e ln5e ln50,x y a a a x y -=⋅-⋅=->>.由于()()e e log 2e log 2e log log 2aa a a a x z a a a -=⋅-⋅=⋅-=⋅-()e log e log 20a a =⋅->，所以>x z ，由于1e 2.52222224232255>=⨯==>=，所以e 1ln5ln 5log 5log 2elog 2ln a a a y a z a=⋅=⋅=<== 所以y z x <<. 故选：B【点睛】比较代数式的大小的方法有：利用函数的单调性比较大小，这种方法要求掌握基本初等函数的性质；利用差比较法比较大小或利用商比较法比较大小，这种方法先作差后，判断得到的式子的符号，从而确定大小关系.二、多选题9．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合M ={-1，1，2，4}，N ={1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（） A ．2y x = B ．2yxC ．2x y =D ．2log y x =【答案】BC【分析】根据选项中的解析式依次判断即可.【详解】对选项A ，当4x =时，8y N =∉，故A 错误；对选项B ，任意x M ∈都有2y x N =∈，故B 正确. 对选项C ，任意x M ∈都有2x y N =∈，故C 正确. 对选项D ，当1x =时，0y N =∉，故D 错误；故选：BC10．设0a >，0b >，且a b ，则“2a b +>”的一个必要条件可以是（）A ．332a b +>B ．222a b +>C ．1ab >D ．112a b+>【答案】AB【分析】题中为必要条件，则2a b +>能推出选项，逐一判断【详解】对于A ，若2a b +>，则()()()()()()()22233223324a b a b a b a ab b a b a b ab a b a b ⎡⎤+⎡⎤+=+-+=++->++->⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦成立；对于B ，若2a b +>，则()22222a b a b++>>，成立；对于C ，22a b ab +⎛⎫< ⎪⎝⎭，无法判断出1ab >；对于D ，2112a b a b+>+，且()114a b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，因为2a b +>，所以不能得出11a b +与2的大小关系. 故选：AB11．已知x 的值使下列各式分母均不为零，则其中值总相等的式子有（） A ．sin 1cos xx-B ．1cos sin 1cos sin x xx x -++-C ．cos sin 1sin cos 1x x x x -++-D ．1cos sin 1cos sin x x x x++-+【答案】ACD【分析】利用特殊值排除错误选项，结合同角三角函数的基本关系式证明相等的式子. 【详解】令π3x =，A选项，πsin32π11cos 132=--B选项，ππ1cossin 1333ππ1cos sin 33-+====+- C选项，ππcossin 13133ππsin cos 133-+====+-，D选项，ππ1cossin 3133ππ1cos sin 33+++===-+所以B 选项排除.由题意可得1cos 0x -≠，则cos 1x ≠；若sin 0,x =则cos 1x =-，则1cos sin 0x x +-=与题意不符，故sin 0,x ≠由()()22sin 1cos 1cos 1cos x x x x =-=+-，得sin 1cos 1cos sin x xx x +=-，令sin 1cos 1cos sin x x k x x+==-，依题意可知1k ≠±，则()()()()1sin cos sin 11cos sin sin sin sin sin cos 1sin cos 11cos cos 111cos 1cos k x x x x x k x xx x x x x k x x k x x--++--====+-+--+----，()()()()1sin 1cos sin sin sin sin 1cos sin 1cos 1cos 11cos 1cos k x x x k x xx x x x k x k x x++++===-+-+-+--，所以ACD 选项的值总相等. 故选：ACD12．下列关于函数图象的对称性描述正确的有（）A ．若()()222f x f x -=-，则函数()f x 的图象关于直线=1x -对称B ．若()()2223f x f x -+-=，则函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()22y f x =-与()2y f x =-的图象关于直线1x =对称D ．函数()322y f x =--与()2y f x =-的图象关于点13,22⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】ABD【分析】根据对称性对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，由()()222f x f x -=-，以x 替换2x 得()()2f x f x -=-，以1x +替换x 得()()()121f x f x +-=-+，即()()11f x f x -+=--，所以函数()f x 的图象关于直线=1x -对称，A 选项正确. B 选项，由()()2223f x f x -+-=，以x 替换2x 得()()23f x f x -+-=，以1x +替换x 得()()()1213f x f x +-+-+=，即()()113f x f x -++--=，所以函数()f x 的图象关于点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，B 选项正确.C 选项，对于函数()22y f x =-，以2x -替换x 得()()()22222y f x f x =--=-+，所以函数()22y f x =-与()22y f x =-+的图象关于直线1x =对称，C 选项错误.D 选项，对于函数()322y f x =--，以1x -替换x ，以3y -替换y 得： ()()33212y f x -=---，即()()332,2y f x y f x -=--=-，所以函数()322y f x =--与()2y f x =-的图象关于点13,22⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 选项正确.故选：ABD三、填空题13．已知扇形的圆心角为6π,面积为3π,则扇形的半径是________．【答案】2【分析】根据扇形的面积公式可以直接求解.【详解】设扇形的圆心角为α,半径为r ,扇形的面积公式为： 22211422326S r r r r ππα=⇒=⋅⋅⇒=⇒=.故答案为：2【点睛】本题考查了扇形的面积公式的应用,考查了数学运算能力.14．已知函数()f x 满足以下三个条件①()21f =-，②在定义域()0,∞+上是减函数，③()()()f x y f x f y ⋅=+，请写出一个同时符合上述三个条件的函数()f x 的解析式__________. 【答案】12()log f x x =（答案不唯一）【分析】由题意在学过的函数中找一个满足三个条件的函数即可.【详解】由()()()f x y f x f y ⋅=+可考虑对数函数()log a f x x =，又因为()f x 在定义域(0,)+∞上是减函数，所以()log a f x x =的底数(0,1)a ∈，又因为(2)1f =-，所以12a =，所以12()log f x x =. 故答案为：12()log f x x=（答案不唯一）.15．已知函数()2log 421x xy a a =+⋅+-的值域为R .则实数a 的取值范围是__________.【答案】1a >或1)a ≤-【分析】根据题意可得()421x x g x a a =+⋅+- 能取到所有的正数，采用换元法令2,0x t t =>，则可得2()1,0h t t at a t =++->能取到所有的正数，讨论a 的取值，结合二次函数性质即可求得答案.【详解】若使得函数()2log 421x xy a a =+⋅+-的值域为R ，令()421x x g x a a =+⋅+-，则()421x x g x a a =+⋅+-能取到所有的正数，令2,0x t t =>，令2()1,0h t t at a t =++->，则2()1,0h t t at a t =++->能取到所有的正数，当02a-≤，即0a ≥时，()h t 在0t >时递增，故需满足(0)0h <，即10,1a a -<∴>，当>02a-，即a<0时，需满足()02a h -≤，即2()()1022a aa a -+-+-≤，解得1)a ≤-综合以上可得实数a 的取值范围是1a >或1)a ≤-，故答案为：1a >或1)a ≤-．16．关于x 1x <-的解集为__________. 【答案】[1,)+∞【分析】将不等式等价转化之后两边同时平方，然后化简，再次平方即可求解.【详解】1x -可化为：1x <-+222(21)1(1)2(1x x x x -+<-+-+，整理可得：(1)(x x x -<-10x x -≥⎧>，解得：1x ≥，所以原不等式的解集为[1,)+∞，故答案为：[1,)+∞.四、解答题17．已知集合(){}2211,2201x A xB x x m x m x ⎧⎫+=<=+--<⎨⎬-⎩⎭. (1)当1m =时，求A B ⋃；(2)已知A B B =，求实数m 的取值范围. 【答案】(1){}21x -<< (2)[]2,4-【分析】（1）计算{}21A x =-<<，112B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，再计算并集得到答案.（2）A B B =，故B A ⊆，考虑B =∅和B ≠∅两种情况，计算得到答案.【详解】（1）当1m =时，{}2121012B x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，{}212102111x x A x x x x x ⎧⎫⎧⎫++=<=<=-<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭，故{}21A B x =-<<（2）A B B =，故B A ⊆，(){}()(){}2220120B x x m x m x x x m =+--<=-+<，对应方程的根为1和2m -，当B =∅时，12m-=，2m =-；当B ≠∅时，12m -<且22m-≥-，解得24m -<≤. 综上所述：24m -≤≤18．已知函数()()()sin πcos πf x x x =+-，且π04x <<. (1)若()14f x =，求πcos cos 2x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值；(2)若函数()g x 满足()()tan g x f x =，求14g ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】(2)417【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解；(2)利用同角三角函数的基本关系求解. 【详解】（1）()()()sin πcos πsin (cos )sin cos f x x x x x x x =+-=-⋅-=，因为()14f x =，所以1sin cos 4x x =，πcos cos cos sin 2x x x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，因为()2221cos sin cos sin 2sin cos 2x x x x x x -=+-=，又因为π04x <<，所以cos sin x x >，所以cos sin x x -=，所以πcos cos cos sin 2x x x x ⎛⎫++=-=⎪⎝⎭（2）令01tan 4x =，则00sin 1cos 4x x =，又因为2200sin cos 1x x +=，由002200sin 1cos 4sin cos 1x x x x ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得00sin cos x x ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00sin cos x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为0π04x <<，所以00sin cos x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以004sin cos 17x x =，所以000014(tan )()sin cos 417g g x f x x x ⎛⎫==== ⎪⎝⎭.19．设0.66log 3,log 3m n ==. (1)试用,m n 表示lg18； (2)求证：2mn m n mn <+<. 【答案】(1)m mnm n+- (2)证明过程见解析.【分析】（1）根据题目中的整数底数6进行化归，并利用换底公式即可得解;（2）证明0mn <后利用换底公式和适当放缩即可求解. 【详解】（1）6666666log 18log (63)1log 31lg18log 10log 10log 10log 10n⨯++====，而0.6log 3m =，所以66log 3log 0.6m =，即6log 0.6nm =，所以66log 10nm=，即61log 10nm =-，故6log 101n m=-，故611lg18log 101n n m mnn m n m+++===--.（2）()()0.66log 3log 30mn =⨯<,33330.661111log 0.6log 6log (0.66)log 3.6log 3log 3m n mn m n +=+=+=+=⨯=, 而3331log 3log 3.6log 92=<<=，所以12m nmn+<<，又因为0mn <，所以2mn m n mn <+<. 故原式得证.20．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t ､人的反应时间1t ､系统反应时间2t ､制动时间3t ，相应的距离分别为0d ，1d ，2d ，3d ，如下图所示.当车速为v （米/秒），且(]0,33.3v ∈时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[]1,2k ∈）.阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3.制动时间10.8t =秒20.2t =秒3t距离010d =米1d2d2320v d k =米(1)请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式()d v ；并求当2k =，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？【答案】(1)()21020v d v v k=++；2秒(2)20千米/小时【分析】（1）利用()0123d v d d d d =+++求得函数关系式，并利用基本不等式求得最短时间. （2）化简不等式()50d v <，利用分离常数法，结合一元二次不等式的解法求得v 的取值范围. 【详解】（1）由题意得()0123d v d d d d =+++，所以()22100.80.2102020v v d v v v v k k =+++=++；当2k =时，()21040v d v v =++，()10101121124040v v t v v v =++≥+⨯+=（秒）. 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒.（2）根据题意要求对于任意[]1,2k ∈，()50d v <恒成立，即对于任意[]1,2k ∈，2105020v v k++<，即2140120k v v <-恒成立，由[]1,2k ∈，得111,204020k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 所以2140120k v v<-，即2401120v v ->，即2208000v v +-<，解得4020v -<<. 所以020v <<.故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在20千米/小时.21．已知函数()()22log 2,R f x x mx m =-∈.(1)记集合(){01,0}A xf x x =≤≤>∣，若[],A a b =，求证：1b a -≤； (2)设函数()(),32,3f x xg x x ⎧≥=⎨-<⎩，若存在实数0x ，使()()00g x g x -=-，求实数m 取值范围.【答案】(1)证明详见解析 (2)5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）解不等式()01f x ≤≤，根据其解集为[],a b ，求得b a -，进而证得不等式成立. （2）将问题转化为()2f x =在区间[)3,+∞有解，结合分离常数法以及函数的单调性求得m 的取值范围.【详解】（1）依题意集合()[]{01,0},A xf x x a b =≤≤>=∣，由()220log 21x mx ≤-≤得2122x mx ≤-≤，222122x mx x mx ⎧-≥⎨-≤⎩，即22210220x mx x mx ⎧--≥⎨--≤⎩，由于0x >m m ≥，所以不等式2210x mx --≥解得x m ≥不等式 2220x mx --≤解得0x m <≤所以不等式组22210220x mxx mx⎧--≥⎨--≤⎩的解为m x m≤≤，所以a m b m==所以b a-=1=≤==.（2）依题意，函数()(),32,3f x xg xx⎧≥=⎨-<⎩，且存在实数x，使()()00g x g x-=-，所以()2f x=在区间[)3,+∞有解，即()22log22x mx-=在区间[)3,+∞有解，即()222log22log4x mx-==，2224,240x mx x mx-=--=，2442xm xx x-==-，函数4y xx=-在[)3,+∞上递增，所以45523,336m m≥-=≥，所以m的取值范围是5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本小题的第一问比较抽象和难理解，关键点是解对数不等式()01f x≤≤，大胆往下计算，即可求得,a b.第二问类似奇函数图象关于原点对称，突破口在于将问题进行转化，转化为()2f x=，研究方程有解来进行求解.22．若函数()f x与()g x对任意1x D∈,总存在唯一的2x D∈,使()()12f xg x m=成立,则称()f x是()g x在区间D上的“m阶伴随函数”;当()()f xg x=时,则称()f x为区间D上的“m阶自伴函数”.(1)若函数13xf x为区间[],(0)a b b a>>上的“1阶自伴函数”,求22aba b+的最大值;(2)若()44f xx=+是()222g x x ax a=-+在区间[]0,2上的“2阶伴随函数”,求实数a的取值范围.【答案】(1)25(2)3,2⎡⎡⎣⎣【分析】(1)根据函数新定义,将“1阶自伴函数”转化为值域之间的关系,列出不等式即可找到,a b之间的关系,再将22aba b+中分母一次项中的b乘以2a b+,再分子分母同除以ab,用基本不等式即可,注意取等条件;(2)先将“2阶伴随函数”转化为值域之间的关系,求出()2f x 值域为[]2,4,即()g x 在[]0,2的值域的包含[]2,4,且()g x 值域所对应的自变量唯一,结合二次函数图象的性质,分类讨论即可.【详解】（1）解:由题知13x f x为区间[](),0a b b a >>上的“1阶自伴函数”,则任意[]1,x a b ∈,总存在唯一的[]2,x a b ∈,使()()121f x f x =,()130x f x -=≠,则只需使()()121f x f x =成立即可, ()f x 单调递增,()()1111211,3,33,3a b b a f x f x ----⎡⎤⎡⎤∈∈∴⎣⎦⎣⎦, 因为任意[]1,x a b ∈,总存在唯一的[]2,x a b ∈,使()()121f x f x =成立, 即11113,33,3a b b a----⎡⎤⎡⎤⊆⎣⎦⎣⎦,则11113333b a a b ----⎧≤⎨≥⎩, 即1111b a a b -≤-⎧⎨-≥-⎩,即22a b a b +≥⎧⎨+≤⎩, 故2a b +=, 则222242ab aba b a b=++()224ab a a b b =++ 2224aba ab b =++241a b b a =++≤25=, 当且仅当4a bb a=,即423b a ==时取等,故22ab a b+的最大值为25; （2）由题()44f x x =+是()222g x x ax a =-+在区间[]0,2上的“2阶伴随函数”,即任意[]10,2x ∈,总存在唯一的[]20,2x ∈,使()()122f x g x =成立, 即()()212g x f x =成立, 即()2f x 在[]0,2的值域是()g x 在[]0,2的值域的子集,且()g x 值域所对应的自变量唯一, ()()424,42x f x x f x +=∴=+, ()[]22,3f x ∴∈, ()()2222g x x ax x a a ==--+, ()g x ∴对称轴为x a =,①0a ≤时,()g x 在[]0,2上单调递增, 只需()()0223g g ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩, 即()22223a a ⎧≤⎪⎨-≥⎪⎩, 解得:0a ≤,②2a ≥时,()g x 在[]0,2上单调递减, 只需()()0322g g ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩, 即()22322a a ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩, 解得:22a ≤≤,③01a <<时,()g x 在[]0,a 上单调递减,[],2a 单调递增, 只需()()0223g g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩, 即()22223a a ⎧<⎪⎨-≥⎪⎩,解得:02a <≤④12a <<时,()g x 在[]0,a 上单调递减,[],2a 单调递增, 只需()()0322g g ⎧≥⎪⎨<⎪⎩, 即()22322a a ⎧≥⎪⎨-<⎪⎩,解得2a <,⑤1a =时不满足唯一,故舍,综上:3,2a ⎡⎡∈⎣⎣.。

陕西省安康市高新中学2024-2025学年高一上学期第二次月考(10月)数学试题

陕西省安康市高新中学2024-2025学年高一上学期第二次月考（10月）数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2,3,5,1,4,5,7A B ==，则（）A ．A B =∅ B ．A B ⊆C ．A B A= D ．5A B∈ 2．已知函数()()21,223,2f x x f x x x x ⎧->-=⎨+-≤-⎩则()()1f f =（）A ．5B ．0C ．-3D ．-43．已知不等式210ax bx +->的解集为11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则不等式20x bx a --≥的解集为（）A ．(][),32,-∞--+∞ B ．[]3,2--C ．[]2,3D ．][()–,23,∞+∞ 4．设,,a b c 为实数，且0a b <<，则下列不等式正确的是（）A ．11a b <B ．22ac bc <C ．b a a b>D ．22a ab b >>5．已知幂函数()2()1mf x m m x =+-的图像与坐标轴没有公共点，则(2)f =（）A ．12BC ．14D．6．已知()e ex x xf x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为223y x =-，值域为{}1,5-的“孪生函数”共有（）A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个8．已知数2,0,()1,04,x x f x x x+≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩若m n <且()()f n f m =，则n m +的取值范围是（）A ．(1,2]B ．90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．3,24⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3,24⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题9．下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“若1x <，则21x <”的是真命题C ．设,x y ∈R ，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件10．定义在R 上的函数()f x ，对任意的1x ，2x ∈R ，都有()()()12121f x x f x f x +=+-，且当0x >时，()()0f x f >恒成立，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+C ．函数()f x 为R 上的增函数D ．函数()()1g x f x =-为奇函数11．设正实数m ，n 满足1m n +=，则（）A ．12m n+的最小值为3+B C的最大值为1D ．22m n +的最小值为12三、填空题12．已知集合A ＝{1，3}，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝.13．已知函数()f x 的定义域是[]0,4，则函数y =的定义域是.14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞，当12x x ≠时，都有()()1122120x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立，则不等式()0f x >的解集为.四、解答题15．已知集合{}250A x x x =-≤，(){}24B x x a =->.(1)若0a =，求A B ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈R ð”的必要条件，求实数a 的取值范围16．已知幂函数()f x 与一次函数()g x 的图象都经过点()4,2，且()()95f g =.(1)求()f x 与()g x 的解析式；(2)求函数()()()h x g x f x =-在[]0,1上的值域.17．已知函数()21x bf x x +=-是定义域()1,1-上的奇函数.（1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间()1,1-上是减函数；（3）解不等式()()10f t f t -+<.18．设函数()y f x =是定义在()0∞，+上的减函数，并且满足()()()f xy f x f y =+，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求()1f 和()2f 的值（2）如果()128x f f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，求x 的取值范围19．已知函数()311a f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数.(1)证明：函数()f x 在()0,∞+上单调递增；(2)若不等式()()21f x m f x ->+对任意的(]0,2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.。

河北省邢台市信都区邢台市第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题(含答案)

邢台一中2024-2025学年第一学期第二次月考高一年级数学试题考试范围：必修一第一章、第二章、第三章说明：1．本试卷共4页，满分150分．2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“”的否定是（）A ．B ．C ．D ．2．已知集合，则满足条件的集合的个数为（）A ．5B ．4C ．3D ．23．对于实数，“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数的定义域为，则）A ．B ．C ．D ．5．若“，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．6．若函数的部分图象如图所示，则（）2,220x x x ∃∈++≤R 2,220x x x ∀∈++>R 2,220x x x ∀∈++≤R 2,220x x x ∃∈++>R 2,220x x x ∃∈++≥R {}{}*30,,40,A x x x B x x x =-≤∈=-≤∈N N A C B ⊆⊆C x 202xx+≥-2x ≤()y f x =[]1,4-y =31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(]1,935,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦x ∃∈R 23208kx kx ++≤k 03k ≤<03k <<30k -<≤30k -<<()22f x ax bx c=++()1f =A ．B ．C ．D ．7．已知函数，若，对均有成立，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8．记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（）A．B ．1C ．2D ．4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（）A ．函数在上是单调减函数B ．函数与函数C ．已知函数，则D ．函数的单调增区间为10．二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： (012)……22…23-112-16-13-()221f x x x =-+[)2,x ∃∈+∞[]1,1a ∀∈-()22f x m am <-+m ()3,1-1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,3-{}max ,,x y z ,,x y z ,x y 2221max ,,4x y x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭12()11f x x =-()(),11,-∞+∞ ()f t t =()g x =2211f x x x x⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭()13f =y =[)1,+∞2(,,y ax bx c a b c =++0)a ≠x y x1-ymn且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（）A ．B ．C ．函数的对称轴为直线D ．关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间11．若函数对定义域中的每一个都存在唯一的，使成立，则称为“影子函数”，以下说法正确的有（）A ．“影子函数”可以是奇函数B ．“影子函数”的值域可以是R C ．函数是“影子函数”D ．若都是“影子函数”，且定义域相同，则是“影子函数”第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．当时，的最大值为______．13．已知幂函数图象经过点，若，则实数的取值范围是______；若，则______14．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）32x =0y <0abc >1009mn >12x =x 20ax bx c ++=12-()y f x =D 1x 2x D ∈()()121f x f x ⋅=()f x ()f x ()f x ()2(0)f x x x =>()(),y f x y g x ==()()y f x g x =⋅54x <14345y x x =-+-()f x x α=()4,2()()132f a f a +>-a 120x x <<()()122f x f x +122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭()(),f x g x R ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()1225g x g x x ->--a设集合（1）是否存在实数，使是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；（2）若，求实数的取值范围．16．（15分）已知函数，对于任意，有．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上的最小值为，求的值；（3）若成立，求的取值范围．17．（15分）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水果示范区”．该地区某水果树的单株年产量（单位：千克）与单株施肥量（单位：千克）之间的关系为，且单株投入的年平均成本为元．若这种水果的市场售价为10元/千克，且水果销路畅通．记该水果树的单株年利润为（单位：元）．（1）求函数的解析式；（2）求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？18．（17分）已知函数．（1）用单调性的定义证明函数在上为增函数；（2）是否存在实数，使得当的定义域为时，函数的值域为．若存在．求出的取值范围；若不存在说明理由．19．（17分）定义：对于定义域为的函数，若，有，则称为的不动点．已知函数．（1）当时，求函数的不动点；{}{}{}2212,40,A x a x a B x x x C y y x B=-≤≤+=-≤==∈a x B ∈x A ∈a A C C = a ()25f x ax bx =+-x ∈R ()()()22,27f x f x f -=+-=()f x ()f x [],3t t +8-t ()()()22,,(1)10x x m f x ∃∈+∞-≥+m ()x ϕx ()232,031645,36x x x x x ϕ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩10x ()f x ()f x ()221x f x x-=()f x ()0,+∞λ()f x 11,(0,0)m n m n ⎡⎤>>⎢⎥⎣⎦()f x []2,2m n λλ--λD ()f x 0x D ∃∈()00f x x =0x ()f x ()()218,0f x ax b x b a =+-+-≠1,0a b ==()f x（2）若函数有两个不相等的不动点，求的取值范围；（3）设，若有两个不动点为，且，求实数的最小值．邢台一中2024-2025学年第一学期第二次月考答案1．A 2．B ． 3．A 4．B 5．A 6．D 7．B 8．C 9．BC 10．BCD 11．AC12．答案：0 13． 14．15．解：（1）假定存在实数，使足的充分不必要条件，则，则或，解得或，因此，所以存在实数，使是的充分不必要条件，．（2）当时，，则，由，得，当，即时，，满足，符合题意，则；当，由，得，解得，因此，所以实数的取值范围是．16．解：（1）因为关于对称，即，又，则可解得，所以；（2）当，即时，，解得或（舍去）；()221y x a x =-++12x x 、1221x x x x +()1,3a ∈()f x 12,x x ()121ax f x a =-b 23,32⎛⎤⎝⎦<5,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭a x B ∈x A ∈B A Ü20124a a -≤⎧⎨+>⎩20124a a -<⎧⎨+≥⎩2a ≥2a >2a ≥a x B ∈x A ∈2a ≥04x ≤≤15≤≤{}15C x x =≤≤A C C = A C ⊆212a a ->+13a <A =∅A C ⊆13a <212a a -≤+A C ⊆12125a a ≤-≤+≤113a ≤≤1a ≤a 1a ≤()()()22,f x f x f x -=+2x =22ba-=()24257f a b -=--=1,4a b ==-()245f x x x =--32t +≤1t ≤-()()2min ()3(3)4358f x f t t t =+=+-+-=-2t =-0t =当，即时．，不符合题意；当时，，解得（舍去）或，综上，或．（3）由可得，因，依题意，，使成立．而，不妨设，因，则，设，因，则，当且仅当时等号成立，即当时，，故的最大值为2，依题意，，即的取值范围为．17．解：（1）当．时，，当时，，故；（2）当时，开口向上，其对称轴为，所以其最大值为，当当且仅当，即时，等结成立，综上，施肥量为3kg 时，单株年利润最大为380元．18．【详解】（1），设，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上为增函数．23t t <<+12t -<<()man ()29f x f ==-2t ≥()2min ()458f x f t t t ==--=-1t =3t =2t =-3t =()()2(1)10x m f x -≥+()22(1)45x m x x -≥-+2245(2)10x x x -+=-+>()2,x ∃∈+∞22(1)45x m x x -≤-+22222(1)21241454545x x x x x x x x x x --+-==+-+-+-+2t x =-2x >220,451t x x t >-+=+()2221111t g t t t t=+=+++0t >12t t +≥1t =3x =max ()2g t =22(1)45x x x --+2m ≤m (],2-∞03x ≤≤()()223210101010320f x x x x x =+⨯-=-+36x <≤()1616045101045010f x x x x x ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭()21010320,0316045010,36x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪⎩03x ≤≤()21010320f x x x =-+12x =()23103103320380f =⨯-⨯+=36x <≤16010x x=4x =()222111x f x x x -==-()12,0,x x ∀∈+∞12x x <()()()()22121212122222222212211212111111x x x x x x f x f x x x x x x x x x -+⎛⎫--=--=== ⎪⎝⎭120x x <<(221212120,0,0x x x x x x -+>()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x ()0,+∞（2）由（1）可知，在上单调递增，呂存在使得的值域为，则，即，因为，所以存在两个不相等的正根，所以，解得，所以存在使得的定义域为时，值域为．19．【解析】（1）当时，，令，即，解得或，所以的不动点为或4．（2）依题意，有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，所以，解得，或，且，所以，因为函数对称轴为，当时，随的增大而减小，若，则；当吋，随的增大而增大，若，则；故，所以的取值范围为．（3）令，即，则，当时，由韦达定理得，由题意得，故，于是得，则，令，则，所以，()f x 11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦λ()f x []2,2m n λλ--22112112f m mm f n n n λλ⎧⎛⎫=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=- ⎪⎪⎝⎭⎩221010m m n n λλ⎧-+=⎨-+=⎩0,0m n >>210x x λ-+=21212Δ40100x x x x λλ⎧=->⎪=>⎨⎪+=>⎩2λ>()2,λ∈+∞()f x 11,m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,2m n λλ--1,0a b ==()28f x x x =--()f x x =28x x x --=2x =-4x =()f x 2-()221x a x x -++=12x x 、()2310x a x -++=12x x 、22Δ(3)4650a a a =+-=++>5a <-1a >-12123,1x x a x x +=+=()22221212121221122(3)2x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-2(3)2y x =+-3x =-3x <-y x 5x <-2y >3x >-y x 1x >-2y >()2(3)22,a +-∈+∞1221x x x x +()2,+∞()f x x =()218ax b x b x +-+-=()2280,0ax b x b a +-+-=≠()1,3a ∈128b x x a -=()22f x x =()12121ax x x f x a ==-81b a a a -=-281a b a =+-1t a =-02,1t a t <<=+2(1)18101012t b t t t +=+=++≥+=当且仅当，即时取等号，所以实数的最小值为12．1t t=1,2t a ==b。

湖北省武汉市第六中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷(含答案)

武汉六中高一年级第二次月考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（）A ．B ．0、1、 3}C ．D ．2．已知，则下列结论正确的是（）A ． B ． C ．D ．3．下列函数的最值中错误的是（）A ．的最小值为2B ．已知，的最大值是C ．已知，的最小值为3D54．已知关于的不等式的解集是，则下列说法错误的是（）A ． B ．C ．D ．不等式的解集是5．已知函数f (x )＝，在(0，a －5)上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．[6，8]B ．[6，7]C ．(5，8]D ．(5，7]6．已知函数，且，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（）A ．B ．C ．D ．4Z ,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N {}14Q x x =-≤≤P Q = {}1,2,4{}03x x ≤≤{}14x x -≤≤0a b c >>>11a b a b+>+b ab a a b+<+c ba c a b>--b c ba c a->-1x x+0x >423x x--2-1x >11x x +-x 20ax bx c ++>{}13x x <<0a <0a b c ++=420a b c ++<20cx bx a -+<113x x x ⎧⎫--⎨⎩⎭或221,143,1x x x x x ⎧-+<⎨-+≥⎩()()4f x x x =+()()2230f a f a +-<a ()3,0-()3,1-()1,1-()1,3-Rt ABC △90C ∠=︒5cm AB =4cm AC =P A 1cm /s A C →C Q A 2cm /s A B C →→C C APQ △2(cm )S P (s)t S t8．已知函数为定义在上的偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．若是的必要不充分条件，则实数a 的值可以为（）A ．2B ．C ．D ．010．下列说法正确的是（）A ．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为B ．若函数，则在区间上单调递减C ．若正实数m ，n 满足，则D ．若函数，则对任意，，且，有11．定义域为的奇函数，满足，下列叙述正确的是（）A ．存在实数，使关于的方程有3个不同的解B ．当时，恒有C ．若当时，的最小值为1，则D ．若关于的方程和的所有实数根之和为0，则或三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知不等式对任意恒成立，则正实数a 的取值范围是 .13．若函数的定义域为，则的定义域为．14．设函数的定义域为，满足，且当时，.若()f x R()12,0,x x ∀∈+∞12x x <()()1221212x f x x f x x x -<-()12f =-()00f =()2f x >-[]1,1-()()1,00,1-U ()()1,01,-⋃+∞()1,1-2:60p x x +-=:10q ax +=12-1314,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12y x -=2()f x x -=()f x (,0)-∞1122m n >1122m n --<1()f x x -=1x 2(,0)x ∈-∞12x x ≠()()122f x f x +<122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭R ()f x 22,2()2322,02x f x x x x x ⎧>⎪=-⎨⎪-+<≤⎩k x ()f x k =1211x x -<<<()()12f x f x >(0,]x a ∈()f x 51,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 3()2f x =()f x m =32m =-38m =-191ax x +≥-(0,1)x ∈()21f x -[]3,1-y =()f x R 1(1)()2f x f x +=(0,1]x ∈()(1)f x x x =--对任意，都有，则的取值范围是 .四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知实数集，集合，集合（1）当时，求；（2）设，求实数的取值范围.16．中国芯片产业崛起，出口额增长迅猛，展现强劲实力和竞争力．中国自主创新，多项技术取得突破，全球布局加速．现有某芯片公司为了提高生产效率，决定投入万元买一套生产设备．预计使用该设备后，前n （）年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．使用若干年后对该设备处理的方案有两种，方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理，哪种方案较为合理？并说明理由（注：年平均盈利额）17．已知函数．(1)若，求在上的值域；(2)设，记的最小值为，求的最小值．[,)x m ∈+∞8()9f x ≤m R 2{2150}A x x x =--<{1}B x x a =-<1a =a 160*N n ∈()2102n n -=总盈利额年度()()2231,2f x x x g x x x a x =+-=--+1a =()g x []2,2x ∈-()()()x f x g x ϕ=-()x ϕ()h a ()h a18．已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，．(1)求的值，并证明：当时，；(2)判断的单调性，并证明你的结论；(3)若，求不等式的解集.19．若函数G 在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G 是在上的“美好函数”．(1)下列三个函数①；②；③，哪个（些）是在上的美好函数，说明理由．(2)已知函数．①函数G 是在上的“美好函数”，求a 的值；②当时，函数G 是在上的“美好函数”，求t 的值；(3)已知函数，若函数G 是在（m 为整数）上的“美好函数”，且存在整数k ，使得，求a 的值．()f x +R ,a b +∈R ()()()f a f b f ab +=01x <<()0f x >()1f 1x >()0f x <()f x ()21f =-()2110f ax x ax +-++<()m x n m n ≤≤<max y min y max min 1y y -=m x n ≤≤1y x =+|2|y x =2y x =12x ≤≤2:23(0)G y ax ax a a =--≠12x ≤≤1a =1t x t ≤≤+2:23(0)G y ax ax a a =-->221m x m +≤≤+maxminy k y =参考答案：题号12345678910答案B B A C D B C D BCD ACD 题号11 答案ACD12．13．14．15．（1）（2）16．方案二更合理，理由如下：设为前年的总盈利额，单位：万元；由题意可得，方案一：总盈利额，当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利额为万元方案二：平均盈利额为，当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备：总利润为万元；综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要年即可，故方案二更合适．17． (1) (2)18．（1）因为，都有，所以令，得，则，因为时，，所以当时，，则，令，得，所以，证毕.（2）在上单调递减，证明如下：不妨设，则，，令，则，所以，即，所以在上单调递减；[4,)+∞51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦43m ≥-{|3025}x x x -<≤≤<或(,4]-∞()f n n ()()229810216010100160f n n n n n n =---=-+-()()221010016010590f n n n n =-+-=--+5n =()f n 909020110+=()210100160161010010020f n n n n nn n -+-⎛⎫==-++≤-= ⎪⎝⎭16n n=4n =4n =()80f n =8030110+=11043,92⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1-,a b +∈R ()()()f a f b f ab +=1a b ==()()()111f f f +=01x <<()0f x >1x >101x <<1(0f x>1,a x b x ==()()110f x f f x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭()10f x f x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()f x +R 120x x <<1201x x <<12()0x f x >122,x a x b x ==1212()()()x f x f f x x +=1212()()()0x f x f x f x -=-<12()()f x f x >()f x +R（3）由，得，又，所以，由（2）知在上单调递减，所以，所以，所以，当时，不等式为，所以不等式的解集为；当时，不等式为，所以不等式的解集为；当时，不等式为，若时，则，所以不等式的解集为，若时，则，所以不等式的解集为，若时，则，所以不等式的解集为，综上所述：时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，时，不等式的解集为.19．（1）对于①在上单调递增当时，，当时，，∴，符合题意；对于②在上单调递增当时，，当时，，∴，不符合题意；对于③在上单调递增当时，，当时，，∴，不符合题意；故①是在上的美好函数；（2）①二次函数对称轴为直线，当时，，当时，，当时，在上单调递增，，，当时，在上单调递减，，，综上所述，或；②二次函数为，对称轴为直线，在上单调递增，在上单调递减，当，，当时，，当时，．若，在上单调递增，()2110f ax x ax +-++<()211f ax x ax +-+<-()21f =-()()212f ax x ax f +-+<()f x +R 212ax x ax +-+>2(1)10ax a x +-->(1)(1)0ax x +->0a >1()(1)0x x a+->1(,)(1,)a -∞-⋃+∞0a =10x ->(1,)+∞0a <1()(1)0x x a+-<1a =-11a-=∅10a -<<11a ->1(1,a-1a <-11a -<1(,1)a-1a <-1(,1)a-1a =-∅10a -<<1(1,)a-0a =(1,)+∞0a >1(,)(1,)a-∞-⋃+∞1y x =+1x =2y =2x =3y =max min 1y y =-|2|y x =1x =2y =2x =4y =max min 1y y ≠-2y x =1x =1y =2x =4y =max min 1y y ≠-12x ≤≤2:23(0)G y ax ax a a =--≠1x =1x =14y a =-2x =23y a =-0a >2:23(0)G y ax ax a a =--≠()21341y y a a ∴-=---=1a ∴=0a <2:23(0)G y ax ax a a =--≠()21431y y a a ∴-=---=1a ∴=-1a =1a =-2:23(0)G y ax ax a a =--≠223y x x =--1x =223y x x =--(),1∞-x t =2123y t t =--1x t =+()()22212134y t t t =+-+-=-1x =34y =-1t >223y x x =--[],1t t +则，解得（舍去）；若，在上单调递减，在上单调递增，则，解得（舍去），；若，在上单调递减，在上单调递增，则，解得，（舍去）；若，在上单调递减，则，解得（舍去）．综上所述，或；（3）由（2）可知，二次函数对称轴为直线，又，，，当时，在上单调递增当时取得最大值，时取得最小值，∴，为整数，且，，即的值为5，又∵，，．()22214231y y t t t -=----=1t =112t ≤≤223y x x =--[],1t (]1,1t +()223441y y t -=---=1t =-1t =102t ≤<223y x x =--[],1t (]1,1t +()()2132341y y t t -=----=0t =2t =0t <223y x x =--[],1t t +()22122341y y t t t -=----=0t =0t =1t =2:23(0)G y ax ax a a =--≠1x =221m x m +≤≤+ 1m ∴>3221m x m ∴<+≤≤+221m x m +≤≤+2:23(0)G y ax ax a a =--≠[]2,21m m ++21x m =+2x m =+2max 2min (21)2(21)34484(2)2(2)333y a m a m a m k y a m a m a m m +-+-+====-+-+-++m k 1m >38m ∴+=m max min 1y y =-()()()()22101210135225231a a a a a a ⎡⎤∴+-+--+-+-=⎣⎦164a ∴=。

江西省新余市高一下学期第二次月考数学试题(解析版)

高一下学期第二次月考数学试题第I 卷（选择题）一、单选题1. 设复数z 满足，则在复平面内对应的点在第几象限（） 1i 1i ()z -=+||i z -A. 一B. 二C. 三D. 四2. 设m ，n 是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（） ,a βA. ，则 B. ，则 ,//m n n α⊥m α⊥//,m ββα⊥m α⊥C. ，则D. ，则,ααβ⊥⊥m //m β,m m αβ⊥⊥//αβ3. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（）2a b = a b 2b a - a A.B.C.D.33a -32a - 12a - 3a4. 设，，)sin 56cos56a =︒-︒cos 40cos128cos 40cos38b =︒︒+︒︒，则a ，b ，c 的大小关系是（）22cos 401c =︒-A. B. a b c >>b a c >>C.D.c a b >>a c b >>5. 已知向量，的夹角为60°，且，则（）a b 1a a b =-=A. B.21a b -= 21a b -= C.D.,60a a b -=︒,60b a b -=︒6. 上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为，则该球的体积为（）A.B.C.D.32π336π7. 锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ，若，则sin A 的取()2c a a b =+值范围是（）A. B. C. D.1(21(28. 在中，角A ，B ，C 所对边分别记为a ，b ，c ，若，，则面ABC A 2b a =2c =ABC A 积的最大值是（）A.B. 2C.D.4323二、多选题9. 下列命题正确的是（）A. 设是非零向量，则,a ba b a b ⋅= B. 若，是复数，则1z 2z 1212z z z z ⋅=⋅C. 设是非零向量，若，则,a b a b a b +=- 0a b ⋅= D. 设，是复数，若，则 1z 2z 1212z z z z +=-120z z ⋅=10. 若函数，则（）44()si n cos f x x x =+A. 函数的一条对称轴为 ()f x π4x =B. 函数的一个对称中心为 ()f x π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 函数的最小正周期为()f x π2D. 若函数，则的最大值为23()8()4g x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()g x 11. 如图，的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且ABC A a b =，D 是外一点，，，则下列说法cos cos )2sin a C c A b B +=ABC A 1DC =3DA =正确的是（）A. 是等边三角形ABC AB. 若A ，B ，C ，D 四点共圆 AC =C. 四边形ABCD 3-D. 四边形ABCD 3+12. 如图，在矩形AEFC 中，EF =4，B 为EF 中点，现分别沿AB 、BC 将AE =△ABE 、△BCF 翻折，使点E 、F 重合，记为点P ，翻折后得到三棱锥P -ABC ，则（）A. 三棱锥B. 直线PA 与直线BC 所成角的余弦-P ABCC. 直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为D. 三棱锥外接球的半径为13-P ABC第II 卷（非选择题）三、填空题13. 若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是______. 1x =+x 14. 如图，正方体的棱长为2，E 是侧棱的中点，则平面截1111ABCD A B C D -1AA 1B CE 正方体所得的截面图形的周长是________.1111ABCD A B C D -15. 已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于ABC A ,,A B C ,,a b c A BC D 点，且.若，则面积的最小值是______.4=AD (2)cos cos 0b c A a C ++=ABC A 16. 已知向量，满足，且，若向量满足，则a b2a b == 32a b ⋅= c 233c a b ++= c r 的取值范围为________.四、解答题17. 已知锐角的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量，ABC A (sin ,cos )m C C =，且．(2sin cos ,sin )n A B B =-- m n ⊥ （1）求角C 的值；（2）若，求周长的取值范围．2a =ABC A 18. 已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD AD BC ∥，，，，为中点，过，，的平面截四AB AD ⊥4PA AD ==2BA BC ==M PA C D M 棱锥所得的截面为．P ABCD -α（1）若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明αPB F α． 3PBFB=（2）求多面体的体积．ABCDMF 19. 如图，在中，D 是线段上的点，且，O 是线段的中点延长ABC A BC 2DC BD =AD交于E 点，设．BO AC BO AB AC λμ=+（1）求的值；λμ+（2）若为边长等于2的正三角形，求的值．ABC A OE BC ⋅20. 如图，在直三棱柱中，，D 为的中点，为上一111ABC A B C -90ABC ∠=︒1CC E AB 点，且．2AE BE =（1）证明：∥平面；AD 1B CE （2）若，，求点到平面的距离．16AB AA ==3BC =D 1B CE21. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . ABC A sin cos B a b C =-（1）求；B （2）若，，求的面积的最大值. DC AD =2BD =ABC A22. 已知函数的最大值为1．())cos 2n s co x x f x a x =-+（1）求实数a 的值；（2）将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来()f x π12的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的12()g x ()2g x m -=ππ,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭解，求实数m 的取值范围．江西省新余市第一中学2022-2023学年高一下学期第二次月考数学试题第I 卷（选择题）一、单选题1. 设复数z 满足，则在复平面内对应的点在第几象限（） 1i 1i ()z -=+||i z -A. 一 B. 二C. 三D. 四【答案】D 【解析】【分析】利用复数除法运算求得，进而判断其对应点所在象限.||i z -【详解】由，故在复平面内对应的点为()1i (1i)1i 2ii 1i (1i)(1i)2z +++====--+||i=1i z --()1,1-.所以z 在对应点在第四象限. 故选：D.2. 设m ，n 是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（） ,a βA. ，则 B. ，则 ,//m n n α⊥m α⊥//,m ββα⊥m α⊥C. ，则 D. ，则,ααβ⊥⊥m //m β,m m αβ⊥⊥//αβ【答案】D 【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用线面垂直的性质判断D 作答.【详解】对于A ，在长方体中，平面为平面，分1111ABCD A B C D -ABCD α1111,A B B C 别为直线，,m n 显然满足，而，此时不成立，A 错误；,//m n n α⊥//m αm α⊥对于B ，在长方体中，平面，平面分别为平面，1111ABCD A B C D -ABCD 11CDD C ,αβ为直线，11A B m 显然满足，而，此时不成立，B 错误；//,m ββα⊥//m αm α⊥对于C ，在长方体中，平面，平面分别为平面，1111ABCD A B C D -ABCD 11CDD C ,αβ为直线，1CC m 显然满足，而，此时不成立，C 错误； ,ααβ⊥⊥m m β⊂//m β对于D ，因为，由线面垂直的性质知，，D 正确. ,m m αβ⊥⊥//αβ故选：D3. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（）2a b = a b 2b a - a A.B.C.D.33a -32a - 12a - 3a【答案】B 【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算律求在上的投影向量.2b a - a【详解】在上的投影向量为，2b a - a |2|cos 2,||ab a b a a a --⋅， 2(2)2|2|cos 2,||||b a a a b ab a b a a a a -⋅⋅---==所以，在上的投影向量为.2b a - a 222222||cos120||32||||a b a a a a a a a a ⋅-︒-⋅=⋅=-故选：B4.设，，)sin 56cos56a =︒-︒cos 40cos128cos 40cos38b =︒︒+︒︒，则a ，b ，c 的大小关系是（）22cos 401c =︒-A. B. a b c >>b a c >>C. D.c a b >>a c b >>【答案】B 【解析】【分析】运用和角、差角公式（辅助角公式）、二倍角公式、诱导公式及三角函数的单调性可比较大小.【详解】因为， )()sin 56cos56sin 5645sin11a ︒︒︒︒︒=-=-=cos50cos128cos 40cos38sin 40sin 38cos 40cos38cos(4038)cos 78sin12b ︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=+=-+=+==，，22cos 401cos80sin10c ︒︒︒=-==因为， sin12sin11sin10︒︒︒>>所以． b a c >>故选：B.5. 已知向量，的夹角为60°，且，则（）a b 1a a b =-=A. B.21a b -= 21a b -= C.D.,60a a b -=︒,60b a b -=︒【答案】C 【解析】【分析】对两边同时平方可得，由模长的计算公式代入可判断A ，B ；由向1a b -=r r1b = 量夹角计算公式可判断C ，D .【详解】由可得：，1a a b =-= 2222cos 6011a b a b b b +-⋅︒=+-=可得：，，1b = 1cos 602a b a b ⋅=⋅⋅︒=对于A ，，故A 不正确；2a b -===对于B ，B 不正确； 2a b -===对于C ，，1a b -===，, ()1112cos ,112a a b a a b a a b-⋅--===⨯⋅- [],0,πa a b -∈ 故，故C 正确；,60a a b -=︒对于D ，，,()1112cos ,112b a b b a b b a b-⋅--===-⨯⋅-[],0,πb a b -∈ ，故D 不正确.,120b a b -=︒故选：C .6. 上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为，则该球的体积为（） A.B.C.D.32π336π【答案】A 【解析】【分析】设三棱台为，其中是下底面，是上底面，点，111ABC A B C -ABC A 111A B C △O 分别为，的中心，证明点就是几何体的外接球的球心，即得解.1O ABC A 111A B C △O 【详解】设三棱台为，其中是下底面，是上底面，点，111ABC A B C -ABC A 111AB C △O 分别为，的中心，1O ABC A 111A B C △则，，同理，1OO =2OA ==111O A =所以，同理.12OA ===112OB OC ==所以. 1112OA OB OB OA OB OC ======所以点就是几何体的外接球的球心. O 所以球半径，2R OA ==所以体积为． 34π32π33R =故选：A7. 锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ，若，则sin A 的取()2c a a b =+值范围是（）A. B. C. D.1(21(2【答案】C 【解析】【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得，再求出的范围即可.2C A =A 【详解】由，得，由余弦定理得，()2c a a b =+22c a ab =+2222cos c a b ab C =+-∴，即， 2222cos a ab a b ab C +=+-2cos b a a C =+由正弦定理得， sin 2sin cos sin A A C B +=∵，()πB A C =-+∴，sin 2sin cos sin sin cos cos sin A A C B A C A C +==⋅+即.()sin sin A A C =-∵，∴，∴，22c a ab =+c a >0C A ->又为锐角三角形，∴， ABC A ππ0,022A C A <<<-<∴，解得，A C A =-2C A =又，，， π02A <<π0π32B A <=-<π022C A <=<∴， ππ64A <<∴.s n i 12A ⎛∈ ⎝故选：C.8. 在中，角A ，B ，C 所对边分别记为a ，b ，c ，若，，则面ABC A 2b a =2c =ABC A 积的最大值是（）A. B. 2 C.D. 4323【答案】C【解析】【分析】由余弦定理及同角三角函数的基本关系可求与，故cos C sin C. ABC S =△【详解】由余弦定理可得， 222222224454cos 244a b c a a a C ab a a+-+--===所以. sin C =因为，，所以，即，解得. 2b a =2c =a b c b a c +>⎧⎨-<⎩322a a >⎧⎨<⎩2,23a ⎛⎫∈⎪⎝⎭所以1sin 2ABC S ab C a ==△==当时，.2204,499a⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()max164343ABCS===△故选：C.二、多选题9. 下列命题正确的是（）A. 设是非零向量，则,a ba b a b⋅=B. 若，是复数，则1z2z1212z z z z⋅=⋅C. 设是非零向量，若，则,a ba b a b+=-a b⋅=D. 设，是复数，若，则1z2z1212z z z z+=-12z z⋅=【答案】BC【解析】【分析】根据向量数量积公式，判断AC；根据复数的四则运算，以及复数模的公式，判断BD.【详解】A.设是非零向量，则，只有当时，,a bcos,a b a b a b⋅=//a b，，其他情况不相等，故A错误；cos,1a b=a b a b⋅=B.设，，1i,,Rz a b a b∈=+2i,,Rz c d c d∈=+，()()()()12i iiz z ab c d ac bd ad bc=++=-++12zz==，=，所以，故B正确；12z z=1212z z z z=C.设是非零向量，若，两边平方后得，故C正确；,a ba b a b+=-a b⋅=D.设，，1i,,Rz a b a b∈=+2i,,Rz c d c d∈=+，，()()12i z z a c b d +=+++()()12i z z a c b d -=-+-，，12z z +=12z z -=若，则，1212z z z z +=-0ac bd +=又，不能推出，故D 错误.()()12i ac bd ad bc z z =-++120z z =故选：BC10. 若函数，则（）44()si n cos f x x x =+A. 函数的一条对称轴为 ()f x π4x =B. 函数的一个对称中心为 ()f x π,04⎛⎫⎪⎝⎭C. 函数的最小正周期为 ()f x π2D. 若函数，则的最大值为2 3()8()4g x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()g x 【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数的同角关系和二倍角的正、余弦公式化简可得，13()cos444f x x =+结合余弦函数的性质依次判断选项即可.【详解】由题意得，. ()24422222113()sin cos sin cos sin cos 1sin cos 424422f x x x x x x x x x =+=+=-=+-A ：当时，，又， π4x =()1π31cos 44442f x ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭min 1()2f x =所以是函数的一条对称轴，故A 正确； π4x =()f x B ：由选项A 分析可知，所以点不是函数的对称点，故B 错误； π142f ⎛⎫=⎪⎝⎭π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x C ：由，知函数的最小正周期为，故C 正确； 2ππ42T ==()f x π2D ：，所以，故D 正确. 3()8()2cos 44g x f x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦max ()2g x =故选：ACD ．11. 如图，的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且ABC A a b =，D 是外一点，，，则下列说法cos cos )2sin a C c A b B +=ABC A 1DC =3DA =正确的是（）A. 是等边三角形ABC AB. 若A ，B ，C ，D 四点共圆 AC =C. 四边形ABCD 3-D. 四边形ABCD 3+【答案】AD【解析】【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知是sin B a b =ABC A 等边三角形，从而判断A ；利用四点共圆，四边形对角互补，从而判断B ；由余弦定理可得，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换可求四边形ABCD 的面2106cos AC α=-积，由正弦函数的性质求出最值，判断CD.，cos cos )2sin a C c A b B +=，cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=，因为， ()22sin A C B +=sin()sin 0A C B +=≠所以，又，且，所以． sin B =()0,πB ∈a b =π3B =所以是等边三角形，A 选项正确；ABC A在中，由余弦定理得，，则， ACD A1cos 3D ==-2π3D ≠即，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，B 选项错误；πB D +≠设，，由余弦定理得：ADC α∠=0πα<<， 222222cos 31231cos 106cos AC AD CD AD CD ααα=+-⋅=+-⨯⨯⨯=-所以四边形ABCD 面积，)3sin 106cos 2ADC ABC S S S αα=+=+-V V 即，1π3sin 3sin 23S ααα⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以， 0πα<<ππ2π333α-<-<所以当，即时，S，无最小值， ππ32α-=2π3α=3C 选项不正确，D选项正确；故选：AD.12. 如图，在矩形AEFC 中，EF =4，B 为EF 中点，现分别沿AB 、BC 将AE =△ABE 、△BCF 翻折，使点E 、F 重合，记为点P ，翻折后得到三棱锥P -ABC，则（）A. 三棱锥B.直线PA 与直线BC 所成角的余弦-P ABCC. 直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为D. 三棱锥外接球的半径为13-P ABC 【答案】BD【解析】【分析】证明平面，再根据即可判断A ；先利用余弦定理求BP ⊥PAC P ABC B PAC V V --=出，将用表示，利用向量法求解即可判断B ；利用等体积法求出点cos APC ∠BC ,PC PB 到平面的距离，再根据直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为即可判断A PBC d d PA C ；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判PAC △断D.【详解】由题意可得，,BP AP BP CP ⊥⊥又平面，,,,,AP CP P AP CP P AP CP ⋂==⊂PAC 所以平面，BP ⊥PAC 在中，，，PAC△PA PC ==AC=所以，故A 错误； 114232P ABC B PAC VV --==⨯⨯⨯=对于B ，在中，， PAC△1cos 3APC ∠==4BC ==cos ,PA BC PA BC PA BC ⋅===，==所以直线PA 与直线BC 所成角的，故B 正确；对于C ， 12PBC S PB PC =⋅=A 设点到平面的距离为，A PBC d 由，得，解得，B PAC A PBC V V --=13⨯=d =所以直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为C 错误； d PA ==由B 选项知，，则， 1cos 3APC ∠=sin APC ∠=所以的外接圆的半径， PAC △12sin AC r APC =⋅=∠设三棱锥外接球的半径为，-P ABC R 又因为平面，BP ⊥PAC则，所以， 22219111222R r PB ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭R =即三棱锥，故D 正确. -P ABC 故选：BD. 第II 卷（非选择题）三、填空题13. 若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则该方程可以是______.1x =+x 【答案】2240x x -+=【解析】【分析】得到为方程的另外一个根，利用根与系数的关系求出的值，进而1x =,b c 求出答案.【详解】设实系数一元二次方程为20x bx c ++=∵是关于的实系数一元二次方程的一个根，1x =x 20x bx c ++=∴为方程的另外一个根，21x =-∴，， ()())21114c =⋅=-=()()112b -=+=∴，，4c =2b =-∴该方程可以是 2240x x -+=故答案为：2240x x -+=14. 如图，正方体的棱长为2，E 是侧棱的中点，则平面截1111ABCD A B C D -1AA 1B CE 正方体所得的截面图形的周长是________.1111ABCD A B C D -【答案】+【解析】【分析】为中点，则截面图形为梯形，利用勾股定理求各边的长，可得周F AD 1B CFE 长.【详解】为中点，连接，F AD 1,,EF FC A D正方体中，，，则四边形为平行四边形，11//A B DC 11=A B DC 11A B CD 有，，11//A D B C 11A D B C =为中点，是的中点，则，得，F AD E 1AA 1//EF A D 1//EF B C 则平面截正方体所得的截面图形为梯形，1B CE 1111ABCD A B C D -1B CFE其中，，， 1B C ==EF ==1C E F B ===则梯形的周长为即所得的截面图形的周长是 1B CFE ++故答案为：+15. 已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于ABC A ,,A B C ,,a b c A BC D 点，且.若，则面积的最小值是______.4=AD (2)cos cos 0b c A a C ++=ABC A【答案】【解析】【分析】利用正弦定理及两角和正弦公式可得，然后利用三角形面积公式及基本2π3A =不等式即得.【详解】∵，(2)cos cos 0b c A a C ++=∴，2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=即，()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=又，，()0,πB ∈sin 0B >∴，即，又， 2cos 10A +=1cos 2A =-()0,πA ∈∴， 2π3A =由题可知，，ABC ABD ACD S S S =+A A A 4=AD 所以，即， 12π1π1πsin 4sin 4sin 232323bc c b =⨯+⨯()4bc b c =+又，当且仅当取等号，()4bc b c =+≥64bc ≥b c =所以， 12π1sin 64232ABC S bc =≥⨯=A即面积的最小值是.ABC A故答案为：16. 已知向量，满足，且，若向量满足，则a b 2a b == 32a b ⋅= c 233c a b ++= c r 的取值范围为________.【答案】3⎤+⎦【解析】【分析】将和看作两个向量，由向量减法的几何意义求解即可.23c a b ++ 23a b +【详解】设向量，，则，23m c a b =++ 23n a b =+ c m n =- 由已知，，233c a m b ++== 又∵，， 2a b == 32a b ⋅=∴ n === 由向量减法的几何意义，， m n m n m n -≤-≤+∴，33-33c -≤≤当且仅当与方向相同时，，与方向相反时，.m n 3c =- m n 3c =+∴的取值范围为.c r 3⎤+⎦故答案为：.3⎤+⎦四、解答题17. 已知锐角的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量，ABC A (sin ,cos )m C C =，且．(2sin cos ,sin )n A B B =-- m n ⊥ （1）求角C 的值；（2）若，求周长的取值范围．2a =ABC A 【答案】（1） π6C =（2）(32++【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示得，2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=应用正余弦定理的边角关系化简，结合锐角三角形求角C ；（2）法一：将用的三角函数表示出来，结合求周长范围；法二：首先,b c A ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A得到，再用表示周长，利用函数的单调性求范围. b ∈b 【小问1详解】sin (2sin cos )cos sin m n C A B C B ⋅=--=，2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=（法一），，2sin (cos cos )0a C c B b C -+=222cos 2a c b B ac +-=222cos 2a b c C ab +-=，∴，则，又为锐角三角形，故. 2sin 0a C a -=1sin 2C =ABC A π6C =（法二）则，， 2sin sin sin()2sin sin sin 0C A C B C A A -+=-=sin 0A ≠∴，且为锐角三角形，故. 1sin 2C =ABC A π6C =【小问2详解】，， 52sin πsin cos 6sin sin sin A a B A b A A A⎛⎫- ⎪⎝⎭====sin 1sin sin a C c A A ==由于为锐角三角形，则，且，解得， ABC A π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5ππ062C A <=-<ππ,32⎛⎫∈⎪⎝⎭A （法一）周长 cos 1cos 122sin sin sin A A l a b c A A A+=++=+++=++，而，即， 22cos12222cos sin tan 222A A A A =++=++ππ,264A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan2A ⎫∈⎪⎪⎭∴，故的周长l 的取值范围为．1tan 2A ∈ABCA (32++（法二）由上，由余弦定理得b ∈c ==，周长， 2l a b c b =++=++记，则在单调递增， ()2f bb =++()f b ∴的周长l 的取值范围为．ABC A (32++18. 已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD AD BC ∥，，，，为中点，过，，的平面截四AB AD ⊥4PA AD ==2BA BC ==M PA C D M 棱锥所得的截面为．P ABCD -α（1）若与棱交于点，画出截面，保留作图痕迹（不用说明理由），并证明αPB F α． 3PB FB=（2）求多面体的体积．ABCDMF 【答案】（1）答案见解析（2） 409【解析】【分析】（1）延长，连接交于，连接，可得截面；过DC AB E ⋂=ME PB F FC αM 作交于，通过证明，可得； MN AB ∥PB N MNF EBF ~A A 3PB FB=（2）由（1）可得，后由题目条件可得答案.ABCDMF E MAD E FBC V V V --=-【小问1详解】延长，连接交于，连接，如图，四边形为截面.DC AB E ⋂=ME PB F FC MFCD α中，，由，则为中点，为中点． ADE V BC AD ∥12BC AD =C DE B AE 过作交于，则. M MN AB ∥PB N 112MN AB ==,.，即． MNF EBF ∴~A A 12FN MN BF BE ∴==2BF NF ∴=13BF BP =【小问2详解】 .ABCDMF E MAD E FBC V V V --=-由题意及（1）可得，. AD AM ⊥142242,,AD AM AP AE AB =====则； 11111642433263E MAD ADM V S AE AD AM AE -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=A 又可得，点F 到平面BEC 距离为， 2,BE BC BE AB BC ⊥===143,PA PA =则. 11111182243392929E FBC F BEC BEC V V S PA BE BC PA --===⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅A 则． 409ABCDMF E MAD E FBC V V V --=-=19. 如图，在中，D 是线段上的点，且，O 是线段的中点延长ABC A BC 2DC BD =AD 交于E 点，设．BO AC BO AB AC λμ=+（1）求的值；λμ+（2）若为边长等于2的正三角形，求的值．ABC A OE BC ⋅ 【答案】（1） 12-（2） 56【解析】【分析】（1）根据图形，利用向量的线性运算，化简求值；（2）法一，根据平面向量基本定理的推论，确定，再以向量为基底，4AC AE = ,AB AC 表示向量，利用数量积公式，即可求解；法二，首先设，以向量OE AC t AE = ,AB AC 为基底，表示与，利用向量平行求，再利用数量积公式求的值.BO OE t OE BC ⋅【小问1详解】因为O 为的中点，，AD 2DC BD = 12BO BA AO BA AD =+=+ 121233BA AB AC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2136AB AC =-+ 又，故 BO AB AC λμ=+ 211,,362λμλμ=-=+=-【小问2详解】法一，设，因为O 为的中点，， AC t AE = AD 2DC BD =∴ 11111111()()22262636AO AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ==+=+=+-=+ 136t AB AE =+ ∵B ，O ，E 三点共线，所以，得 1136t +=4t =故 11111436312OE AE AO AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭因为为边长为2的正三角形ABC A 故 1111312312OE BC AB AC BC BA BC CA CB ⎛⎫⋅=-+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭1π1π||||cos ||||cos 33123BA BC CA CB =⋅+⋅221111522321226=⨯⨯+⨯⨯=（法二）设 AC t AE = 1111212233OE AE AO AC AD AC AB AC t t ⎛⎫=-=-=-+ ⎪⎝⎭11136t AB AC ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭又由（1）知与为非零的共线向量. 21,36BO AB AC BO =-+ OE 与为非零的共线向量，所以，得 BO OE 111631263t --=-4t =∴ 11312OE AB AC =-+ 因为为边长为2的正三角形ABC A 故 1111312312OE BC AB AC BC BA BC CA CB ⎛⎫⋅=-+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭1π1π||||cos ||||cos 33123BA BC CA CB =⋅+⋅ . 221111522321226=⨯⨯+⨯⨯=20. 如图，在直三棱柱中，，D 为的中点，为上一111ABC A B C -90ABC ∠=︒1CC E AB 点，且．2AE BE =（1）证明：∥平面；AD 1B CE（2）若，，求点到平面的距离．16AB AA ==3BC =D 1B CE 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）如图，连接交于点，连接，证明，原题即得证；BD 1B C F EF EF AD ∥（2）由题知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，过作D 1B CE B 1B CE B ，垂足为，连接，过作，垂足为，先证明平面BG CE ⊥G 1B G B 1BH B G ⊥H BH ⊥，即线段为点到平面的距离，再求出即得解.1B CE BH B 1B CE BH 【小问1详解】如图，连接交于点，连接，BD 1B C F EF 因为四边形为矩形，且为的中点，所以， 11BCC B D 1CC 12BB BF DF CD ==又因为，所以，所以， 2BE AE =2BF BE DF AE==EF AD ∥因为平面，平面，所以平面．EF ⊂1B CE AD ⊄1B CE //AD 1B CE 【小问2详解】由题知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，D 1B CE B 1B CE 过作，垂足为，连接，过作，垂足为，B BG CE ⊥G 1B G B 1BH B G ⊥H 因为平面，平面，所以，1BB ⊥ABC CE ⊂ABC 1BB CE ⊥又因为，平面，平面，1BG BB B = BG ⊂1BB G 1BB ⊂1BB G 所以平面，CE ⊥1BB G 因为平面，所以.BH ⊂1BB G CE BH ⊥又平面，，1,CE B G ⊂1B CE 1CE B G G = 所以平面，即线段为点到平面的距离．BH ⊥1B CE BH B 1B CE因为，，，所以， 90ABC ∠=︒234BE AB ==3BC =5CE ==由几何关系可知，BG CE BE BC ⋅=⋅所以，， 125BG =1B G ==由几何关系可知，11BH B G BG BB ⋅=⋅所以，故点到的． BH =D 1B CE21. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . ABC A sin cos B a b C =-（1）求；B （2）若，，求的面积的最大值.DC AD = 2BD =ABC A 【答案】（1） π6（2）8-【解析】【分析】（1）利用三角形内角和，正弦定理即可求出角；B （2）利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出的取值范围，即可得到的面积ac ABC A 的最大值.【小问1详解】由题意，在，ABC A sin cos B a b C =-∵， sin sin sin a b c A B C==πA B C ++=,， sin sin sin cos C B A B C =-()sin sin sin cos C B B C B C =+-∴， )cos sin 0B B C -=∵，sin 0C ≠0πB <<，可得，解得：. cos 0B B -=tan B =π6B =【小问2详解】由题意及（1）得在中，，，， ABC A π6B =DC AD = 2BD =∴为边的中点，D AC 2244216BD =⨯= ∴,2BD BA BC =+u u u r u u r u u u r ∴，即()()()()222242BD BA BC BA BA BC BC =+=+⋅+ ，22242cos 16BD BA BA BC B BC =++=设，，则， BA c = BC a = (2222π2cos 1626a c ac a c ac ++=++=≥+所以时，等号成立. 32ac ≤=-a c =∴，当且仅当时，等号成立， 11sin 824ABC S ac B ac ==≤-A a c =∴的面积的最大值为ABC A 8-22. 已知函数的最大值为1． ())cos 2n s co xx f x a x =-+（1）求实数a 的值；（2）将图象上所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来()f x π12的倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上有两个不同的12()g x ()2g x m -=ππ,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）0（2） 53m -<<--【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简，结合函数的最大值即可求得答案； ()f x （2）根据三角函数图像的平移以及伸缩变换规律，可得的解析式，将()g x ()2g x m -=在上有两个不同的解，转化为在上有两个不ππ,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭πsin(4323x m -=+ππ,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭同的解，数形结合，结合正弦函数性质，即可求得答案.【小问1详解】函数 ())cos cos 2cos 221x x x x x a f x a =-+--+=, πsin(2)162x a --+=由于函数的最大值为1,故.()f x 211,0a a -+=∴=【小问2详解】由题意可得， π()2sin(2)16f x x =--故， πππsin(4)1sin(4)16623()2g x x x =---=--则在上有两个不同的解， ()2g x m -=ππ,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭即相当于即在上有两个不同的解， ()2g x m =+πsin(4323x m -=+ππ,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭此时， π2π5π4[,)333x -∈令，作出函数的图象，如图： π2π5π4,[,)333x t t -∈=()2sin h t t =结合图象可知. 2353m m -<+<∴-<<-。

高一数学第二学期第二次月考试卷

3 2 , 2)( x 0
0) 上
f (x) 分别取得最大值和最小
值.
(1)求 f (x) 的解析式;
(2)在区间 [ 21 , 23 ] 上是否存在 f ( x ) 的对称轴？请说明理由。 44
23．已知定义在 R 上的函数 f ( x ) a sin x b cos x ( 0, a 0, b 0) 的周期为，
5
21. 239 729
22.（1） A
2,T
3,
2
,
这时
f (x)
2 sin(
2
x
)
3
6
3
6
（2） sin( 2 x ) [ 3 ,0], 故 sin( 2 x ) 1
3
6
2
3
6
即在[ 21 , 23 ] 上不存在 f ( x ) 44
23. 解：（1） f ( x )
则 AB AD BC BE CF
．
17．若 tan =2，则 2sin2 －3sin cos =
。
18．若 sin － cos 7 ， ∈（0，π），则 tan =
。
5
三、解答题（共 5 题，每题 12 分，共 60 分）
19．已知角是第三象限角，且 f ( ) sin( ) cos( 2 ) tan( ) tan( ) sin( )
高一数学第二学期第二次月考试卷
本试题分Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷两部分。考试结束后，将答题卡和Ⅱ卷答题纸上交。本
试卷共 150 分，考试时间为 120 分钟。
一、选择题（每小题 5 分，共 65 分）
1． sin(
19

高一数学第二次月考试卷(含答案)

高一数学第二次月考试卷班级______姓名________ 命题教师——一、选择题（本题12小题，每题5分，共60分）1、函数1y x=+ D ） A. [)4,-+∞ B ．()()4,00,-+∞ C ．()4,-+∞ D. [)()4,00,-+∞2、若集合{}{}21,02,A x x B x x =-<<=<<则集合A B 等于（D ）A 、{}11x x -<<B 、{}21x x -<<C 、{}22x x -<<D 、{}01x x <<3、若集合{}2228x A x Z +=∈<≤，{}220B x R x x =∈->，则()R A C B 所含的元素个数为（ C ）A 、0B 、1C 、2D 、34、函数1()f x x x=-的图像关于（ C ）。

A. y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称 D.直线y x =对称5、已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -＝ (D) A.2 B.1 C.0 D.-26、若)(x f 是偶函数，其定义域为),(+∞-∞，且在[)+∞,0上是减函数，则)23(-f 与)252(2++a a f 的大小关系是（ C ） A 、)252()23(2++>-a a f f B 、)252()23(2++<-a a f f C 、)252()23(2++≥-a a f f D 、)252()23(2++≤-a a f f 7、若)(x f ，)(x g 都是奇函数，且2)()()(++=x bg x af x F 在),0(+∞上有最大值8，则)(x F 在)0,(-∞上有（ D ）A 、最小值8-B 、最大值8-C 、最小值6-D 、最小值4-8、设253()5a =，352()5b =，252()5c =，则,,a b c 的大小关系是 ( A ) A 、a c b >> B 、a b c >> C 、c a b >> D 、b c a >>9、函数1()(0,1)x f x a a a +=>≠的值域为[)1,+∞，则(4)f -与(1)f 的关系是（ A ）A 、(4)(1)f f ->B 、(4)(1)f f -=C 、(4)(1)f f -<D 、不能确定10、若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范（ B ）A. 3(,3)2 B. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. (]0,3 D. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭11、已知[]1,1-∈x 时，02)(2>+-=a ax x x f 恒成立，则实数a 的取值范围是（ A ） A.（0，2） B.），（∞+2 C. ），（∞+0 D.（0，4） 12、奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f += （ D ） A 、2- B 、1- C 、0 D 、1二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13、设集合{}{}21,1,3,2,4,A B a a =-=++{}3A B =，则实数a 的值为_1____ 。

高一下学期第二次月考数学试题(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第二学期第二次月考高一年级数学试题满分150 时间：120分钟一、单项选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 以3i 2-的虚部为实部，以23i 2i +的实部为虚部的复数是（）A. 33i - B. 3i + C. 22i -+ D. 22i+【答案】A 【解析】【分析】确定所求复数的实部和虚部，即可得解.【详解】复数3i 2-的虚部为3，复数23i 2i 32i +=-+的实部为3-，故所求复数为33i -，故选：A.2. 下列命题中，正确的是（）A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D. 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱【答案】D 【解析】【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可.【详解】解：对于A ，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱，当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A 错误；对于B ，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B 错误；对于C ，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C 错误；对于D ，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直，所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D 正确.故选：D .3. 已知ABC V 中，4,30a b A ===°，则B 等于（）A. 60°或120°B. 30°或150°C. 60°D. 30°【答案】A 【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得解.【详解】解：ABC V 中，因为4,30a b A ===°，所以B A >，因为sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a ==，又0180A <<°°，所以60B =°或120°.故选：A .4. 若复数z 满足()212i z i +=-，则复数z 所对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【详解】解：由题意可得：122iz i -====+ ,据此可知：复数z 所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.5. 已知平面向量,a b rr 满足3,2a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为60°,若()a mb a -^r r r ,则实数m 的值为（）A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】,a b r r的夹角为60o ，且3,2a b ==r r ，则·32cos 603a b =´´=o r r ，又由()a mb a -^r r r ，可得()·0a mb a -=r r r ，变形可得2·a ma b=r r r ，即93m =´ ，解可得3m = ，故选D.6. ABC D 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B p=，4C p=，则ABC D 的面积的为A. 2+B.1+C. 2-D.1-【答案】B 【解析】详解】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7. 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π【答案】C 【解析】【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==´´==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R p p ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．8. 向量()1,1a =-r ，且向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则a b ×r r 的取值范围是（）A. ()1,1- B. ()1,-+µ【C. ()1,+µD. (),1-µ【答案】B 【解析】【分析】根据共线向量定理，结合条件列出方程，即可得到结果.【详解】因向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则存在实数,0l l >，使得()2a a bl =+r r r 即()12a bl l -=r r所以12b a l l -=r r，因为()1,1a =-r ，所以22a =r 所以2112ab a l ll l --×=×=r r r 因为0l >，所以1a b ×>-r r故选:B .二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 在ABC V 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，则A 可以是（）A.π12B.6p C.π3D.2π3【答案】ABC 【解析】【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得cos A 的取值范围，可求得角A 的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在ABC V 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，因为222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，可得222b c a bc +-³，则2221cos 22b c a A bc +-=³，0πA <<Q ，π03A \<£.故选：ABC.10. 下列命题中错误的有（）A. 若平面内有四点A B C D 、、、，则必有AC BD BC AD +=+uuu r uuu r uuu r uuu r；为B. 若e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =r r r ；C. 3a a a a =r r r r g g ；D. 若a r 与b r 共线，又b r 与c r 共线，则a r 与c r必共线；【答案】BCD 【解析】【分析】利用平面向量的减法化简判断选项A ；由向量共线以及单位向量的性质判断选项B ；由数量积的运算判断选项C ，由向量共线以及零向量的性质判断选项D ．【详解】对于A ，AC BD BC AD -=-uuu r uu uuu r Q u r uuu r ，AC BD BC AD \+=+uuu r uuu r uuu r uuu r，正确；对于B ，e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =±r r r ，错误；对于C ，23a a a a a a =¹r r r r r r g g g ，错误；对于D ，若0b =r r ，则a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，而a r 与c r不确定，错误；故选：BCD11. 在四棱锥P ABCD -中，已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中正确的是（）A. 平面PAB ^平面PADB. 平面PAB ^平面PBCC. 平面PBC ^平面PCDD. 平面PCD ^平面PAD【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA AB AB AD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以AB ^平面PAD ，又由AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ^平面PAD ，所以A 正确；对于B 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA BC AB BC ^^，且PA AB A =I ,,PA AB Ì平面PAB ，所以BC ^平面PAB ，又由BC Ì平面PBC ，所以平面PAB ^平面PBC ，所以B 正确；对于C 中，假设平面PBC ^平面PCD ，过点B 作BE PC ^，可得BE ^平面PCD ，因为CD Ì平面PCD ，所以BE CD ^，又由CD BC ^，且BE BC B =I ，所以CD ^平面PBC ，可得CD PC ^，这与CD PD ^矛盾，所以平面PBC 与平面PCD 不垂直，所以C 不正确；对于D 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA CD AD CD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以CD ^平面PAD ，又由CD Ì平面PCD ，所以平面PCD ^平面PAD ，所以D 正确.故选：ABD.12. 已知函数()sin f x x x =,则下列命题正确的是（）A. 函数π()(0,)2f x x éùÎêúëû的单调递增区间是π0,6éùêúëû；B. 函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称；C. 函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π6；D. 若实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1237π3x x x ++=．【答案】ACD 【解析】【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.【详解】由()sin f x x x =，得()π2sin 3f x x æö=+ç÷èø.对于A ，当π0,2x éùÎêëû时，ππ56π,33x éù+Îêúëû，当πππ332x £+£即π06x ££时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为π0,6éùêúëû，故A 正确；对于B ，当π6x =-时，ππππsin sin f æöæö-=-+==¹ç÷ç÷èøèø22106636，故B 不正确；对于C ，函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，得到()πsin g x x m æö=++ç÷èø23所得的图象关于y 轴对称，所以πππ(Z)m k k +=+Î32,解得ππ(Z)m k k =+Î6，当0k =时，m 的最小值是π6，故C 正确；对于D ，如图所示，实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则必有0x =，或2πx =，此时()πsin f x x æö=+=ç÷èø23π3.所以1237π3x x x ++=，故D 正确.故选：ACD.5分，共20分）13. 计算100的结果为______.【答案】1-【解析】【分析】先求出41=-，所以100425´=，代入即可得出答案.)i 1==+，)()221i 12i i 2ù=+==úû，42i 1==-，所以()1004252511´==-=-.故答案为：1-14. 在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______ .【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF ，DF ，则AF BC ^，DF BC ^，即AFD Ð为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC V 中，sin 60AF AB==o sin 60DF BD ==o由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-Ð===××.故答案为：13.15. 若向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p，则a b -=rr ________．【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律求得2a b -r r的值，进而可求得a b -r r 的值.【详解】由于向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p ，则cos 13a b a b p ×=×=r r r r ，()222223a b a ba ab b -=-=-×+=r r r rr r r r Q，因此，a b -=r r .【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题.16. ABC V 中60B =o，AC =2AB BC +最大值______．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理，列出方程，利用一元二次方程根的判别式，可得答案.详解】设AB c =，AC b =，BC a =，由余弦定理：222cos 2a c b B ac+-=，所以2223a c ac b +-==，设2c a m +=，则2c m a =-，代入上式得227530a am m -+-=，方程有解，所以28430m D =-³，故m £，当m =时，此时a =，c =，符合题意，因此最大值为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应有文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．（1）求证：AB uuu r ⊥AD uuu r；（2）要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标．【答案】（1）证明见解析（2）(0，5)【解析】【分析】（1）计算AB AD ×uuu r uuu r得其为0可证；（2）由AB uuu r ＝DC uuu r可得C 点坐标．【小问1详解】证明：A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．∴AB uuu r ＝(1，1)，AD uuu r＝(－3，3)．【又∵AB uuu r ·AD uuu r ＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB uuu r ⊥AD uuu r .【小问2详解】∵AB uuu r ⊥AD uuu r ，若四边形ABCD 为矩形，则AB uuu r ＝DC uuu r.设C 点的坐标为(x ，y )，则有(1，1)＝(x ＋1，y －4)，∴11,41,x y +=ìí-=î∴0,5.x y =ìí=î∴点C 的坐标为(0，5)．18. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，D 是1CC 的中点，F 是1A B 的中点.（1）求证：//DF 平面ABC ；（2）求证：AF BD ^ .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，证明出四边形CDFE 为平行四边形，可得出//DF CE ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出CE ^平面11AA B B ，可得出CE AF ^，可得出AF DF ^，再证明出1AF A B ^，利用线面垂直的判定定理与性质定理可证得结论成立.【小问1详解】证明：取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，如下图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，因为E 、F 分别为AB 、1A B 的中点，则1//EF AA 且112EF AA =，D Q 为1CC 的中点，则1CD AA //且112CD AA =，//CD EF \且CD EF =，所以，四边形CDFE 为平行四边形，故//DF CE ，DF ËQ 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，因此，//DF 平面ABC .【小问2详解】证明：1AA ^Q 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，1CE AA \^，ABC Q V 为等边三角形，E 为AB 的中点，则CE AB ^，1AB AA A Ç=Q ，AB 、1AA Ì平面11AA B B ，CE \^平面11AA B B ，AF ÌQ 平面11AA B B ，则AF CE ^，//DF CE Q ，AF DF \^，1AB AA =Q ，F 为1A B 的中点，则1AF A B ^，1A B DF F =Q I ，1A B 、DF Ì平面1A BD ，AF \^平面1A BD ，BD ÌQ 平面1A BD ，AF BD \^.19. 当实数m 为何值时，复数()()2281532i 8z m m m m -+-+=+在复平面内的对应点满足下列条件：（1）位于第四象限；（2）位于实轴负半轴上（不含原点）；（3）在上半平面（含实轴）．【答案】（1）73m -<<（2）4m =（3）7m £-或4m ≥【解析】【分析】（1）由实部大于0且虚部小于0列出不等式组求解；（2）由实部小于0且虚部等于0列式求解；（3）由虚部大于或等于0列出不等式求解．【小问1详解】要使点位于第四象限，则有228150,3280,m m m m ì-+>í+-<î∴35,74,m m m <>ìí-<<î或∴73m -<<；【小问2详解】要使点位于实轴负半轴上（不含原点），则有228150,3280,m m m m ì-+<í+-=î∴35,74,m m m <<ìí=-=î或∴4m =；【小问3详解】要使点在上半平面（含实轴），则有20328m m +-³，解得7m £-或4m ≥．20. 已知ABC V 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．【答案】845p ，485p 【解析】【分析】根据旋转体的定义，明确组合体是由同底的两个圆锥组成的，结合圆锥的侧面积和体积公式可得答案.【详解】如图，在ABC V 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC ，∵BC ·AC ＝AB ·CD ，∴CD ＝125，记为r ＝125，那么ABC V 以AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π，V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB ＝13π×12()52×5＝485π.21. 在锐角三角形ABC V 中，角,,A B C 对边分别为,,a b c2sin 0b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且,a c b >=，求AB AC ×u u u r u u u r的值．的【答案】（1）3B p=；（2）1AB AC ×=uuu r uuu r ．【解析】【分析】（1）利用正弦定理，直接计算求解即可.（2）利用余弦定理，计算求出cos A ，然后，利用向量的内积公式，即可求解.【小问1详解】2sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=，因为sin 0A ¹，所以sin B =，又B 为锐角，所以3B p =．【小问2详解】由（1）知，3B p =，因为b =，所以根据余弦定理得2272cos 3a c ac p =+-，整理得2()37a c ac +-=，又5a c +=，所以6ac =，又a c >，所以3,2a c ==，于是222cos 2b c a A bc +-===所以||||cos 21AB AC AB AC A ×===uuu r uuu r uuu r uuu r ．22. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（1）求证：AO ^平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（3）求点E 到平面ACD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理，结合勾股定理和等腰三角形的性质，可得答案；（2）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案；（3）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】证明：,,.BO DO AB AD AO BD ==\^Q 则222AO BO AB +=，即1AO =，,,.BO DO BC CD CO BD ==\^Q 则222CO BO BC +=，即CO =，在AOC △中，由已知可得2222,AC AO CO AC =\+=，.AO OC ^BD OC O Ç=Q ，,BD OC Ì平面BCD ，AO \^平面BCD【小问2详解】取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知,ME AB OE DC ////\直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME V 中，111,22EM AB OE DC ====OM Q 是直角AOC △斜边AC 上的中线，11,2OM AC \==222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-\Ð==××\异面直线AB 与CD 所成角的大小为；【小问3详解】设点E 到平面ACD 的距离为.h 11,.33E ACD A CED ACDCED V V h S AO S --=\××=××V V Q 在ACD △中，2,CA CD AD ===12ACD S ==\V 而11,12CED AO S ===V，AC CED D AO S h S ×\===V V \点E 到平面ACD。

河北省邢台市第一中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题

河北省邢台市第一中学2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________六、作图题19．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x £时，()22f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象（如图所示），请根据图象解答下列问题．(1)作出0x>时，函数()f x的增区间；f x的图象，并写出函数()(2)写出当0x>时，()f x的解析式；(3)用定义法证明函数()f x在()-¥-上单调递减.,1七、解答题20．已知：a，b，c为ABCV的三边长，(1)当222V的形状，并证明你的结论；a b c ab ac bc++=++时，试判断ABC(2)判断代数式2222-+-值的符号.a b c ac值；若不存在，说明理由.由图可知，()f x 的增区间是()()1,0,1,-+¥．（2）∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=，当0x >时，0x -<，22()()()22f x f x x x x x =-=--=-，所以，当0x >时，2()2f x x x =-．（3）当(),1x Î-¥-时，()22f x x x =+，设()121,,x x -¥-Î，且12x x <，222212112121212122()()()()2()()(2)22f x f x x x x x x x x x x x x x +--=-=+-=-+++，∵()121,,x x -¥-Î，且12x x <，∴12120,20x x x x -<++<，则12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，∴函数()f x 在(),1-¥-上单调递减．20．(1)等边三角形，证明见解析(2)符号为负【分析】借助完全平方公式整理可得()()()2220a b b c a c -+-+-=，进而得到a b c ==，从而求解；。

2024-2025学年高一上学期第二次月考(10月)数学试题

2024级高一数学试题总分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定为（）x ∀∈R 2210x x -+>A.， B.，x ∀∈R 2210x x -+<x ∀∉R 2210x x -+>C.， D.，x ∃∈R 2210x x -+≥x ∃∈R 2210x x -+≤2.定义集合运算.设，，则集合的真子{},,A B c c a b a A b B ==+∈∈◇{}0,1,2A ={}2,3,4B =A B ◇集个数为（）A.32B.31C.30D.153.设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合且{}02M x x =≤≤{}02N y y =≤≤M N 以集合为值域的函数关系的有（）NA ①②③④ B.①②③C.②③D.②4.已知函数.下列结论正确的是（）()223f x x x =-++A.函数的减区间()f x ()(),11,3-∞- B.函数在上单调递减()f x ()1,1-C.函数在上单调递增()f x ()0,1D.函数的增区间是()f x ()1,3-5.已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（）()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f xA. B.若，则()()11f f -=()3f x =x C.的解集为 D.的值域为()1f x <(),1-∞()f x (),4-∞6.已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（）()f x []0,1fA.和B.和⎡⎣[]1,0-⎡⎣[]0,1C.和D.和[]1,0-[]1,0-[]1,0-[]0,17.设函数；若，则实数的取值范围是（）()()()4,04,0x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩()()231f a f a ->-a A. B.()(),12,-∞-+∞ ()(),21,-∞-+∞ C. D.()(),13,-∞-+∞ ()(),31-∞-+∞ 8.已知函数满足，则（）()f x ()111f x f x x ⎛⎫+=+⎪-⎝⎭()2f =A. B. C. D.34-343294二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.设集合，集合，若，则实数的值可以为（ {}2280A x x x =--={}40B x mx =-=A B =∅R m ）A. B. C.0 D.12-1-10.已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（）0x <()()240ax x b -+≥A. B.0a >0b <C.的最小值为8 D.的最小值为2a b -1b a +16411.已知，均为正实数.则下列说法正确的是（）x y A.的最大值为22xy x y +128.若，则的最大值为84x y +=22x y +C.若，则的最小值为21y x+=1x y +3+D.若，则的最小值为22x y x y +=-12x y x y +++169三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数______()f x =13.已知函数满足对任意实数，都有成立，()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x ≠()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦则实数的取值范围是______a 14.记为，，中最大的数.设，，则的最小值为______.{}max ,,abc a b c 0x >0y >13max ,,y x x y ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；()f x ()()94ff x x =+()f x （2）已知函数.求的解析式；()24212f x x x +=-()f x （3）已知函数满足，求函数的解析式.()f x ()1222f x f x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭()y f x =16.（本小题满分15分）已知定义在的函数，，满足对，等式()0,+∞()f x ()21f =(),0,x y ∀∈+∞恒成立且当时，.()()()f xy f x f y =+1x >()0f x >（1）求，的值；()1f 14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）若，解关于的不等式：.()21f =x ()()64f x f x +-≤17.（本小题满分15分）已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩（1）若，用定义法证明：为递增函数；3a =()f x （2）若对任意的，都有，求实数的取值范围.x ()22f x x >-a 18.（本小题满分17分）两县城和相距20km ，现计划在县城外以为直径的半圆弧（不含A B AB AB 两点）上选择一点建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂AB C 对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城A A B 的距离的平方成反比，比例系数为，对城市和城市的总影响度为城市和城市的影响度之和，B K A B A B 记点到城市的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为，统计调查表明：当C A x C A B y 垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065.AB AB （1）将表示成的函数；y x（2）判断弧上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总信影响度最小？若存AB A B 在，求出该点到坡的距离；若不存在，说明理由.A 19.（本小题满分17分）已知集合，其中，由中元{}()12,,2k A a a a k =⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥()1,2,i a Z i k ∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅A 素可构成两个点集和：，.P Q (){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈其中中有个元素，中有个元素.新定义一个性质：若对任意的，，则称集合具P m Q n G x A ∈x A -∉A 有性质G（1）已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性{}0,1,2,3J ={}1,2,3K =-{}222L y y x x ==-+质，若有，则直接写出其对应的集合、；若无，请说明理由；G P Q （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？A G 2024k =Q （3）试判断：集合具有性质是的什么条件并证明.A G m n =。

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高一数学第二学期第一次月考试题
一．选择题：（本大题共12小题，每题5分，共计60分）
1、在①60°②480°③-960°④-1600°这四个角中，属于第二象限的角是（）（A ）① （B ）①② （C ）②③ （D ）①②③④
2、已知sin θ< 0，cos θ>0，则角θ是（）（A ）第一象限角（B ）第二象限角（C ）第三象限角（D ）第四象限角
3．将︒-588化为),3600(360Z k k ∈<≤⋅+︒
︒︒αα的形式是（） A ．︒
︒
⨯-+-360
)2(165 B ． ︒
︒⨯-+360
)3(195C ．︒
︒⨯-+360
)2(195 D ．︒
︒⨯-+360
)3(165
4.空间直角坐标系中，点)0,4,3(-A 与点)6,1,2(-B 的距离是（） A ．432 B ．212 C ．9 D ．86
5 在直角坐标系中，直线033=--y x 的倾斜角是（）
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
6
5π D ．
3
2π 6. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= （） A 、 3- B 、6- C 、2
3- D 、
32
7.已知5
12
tan -
=α ，且α是第四象限的角，则=αsin （） A ．1312- B ．1312 C ．1312± D ．12
5-
8.已知圆02
2=++++F Ey Dx y x 的圆心坐标为（-2，3）半径为4，则D ，E ，F 分别是（） A.-4、-6、3 B.-4、6、3 C.-4、6、–3 D. 4、-6、-3
9.半径为πcm ，圆心角为60°所对的弧长是（）
A ．cm 3π
B ．cm 32π
C ．cm 3
2π
D ．cm 322π 10直线0943=--y x 与圆42
2=+y x 的位置关系是（） A ．相交且过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交但不过圆心
11、已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程为（）
A ． (x －1)2 + (y + 1)2 = 25
B ．(x －1)2 + (y + 1)2 = 100
C ．(x + 1)2 + (y －1)2 = 25
D ．(x + 1)2 + (y －1)2 = 100 12.已知圆0222
2=+-++a y x y x 被直线02=++y x 所截得弦的长度为4，则实数a 的值是（）
A ．－2
B ．－4
C ．－6
D ．－8 二．填空题：（本大题共4小题，每题5分，共计20分）
13．已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C .求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程_______ 14．若角α的终边经过点(12)P -，，则αsin 的值为_____________________． 15直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 _______
16已知31tan -
=α，则α
αα
αsin cos 5cos 2sin -+= _____ 三．解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) 17.（10分）计算︒
︒
︒
++360cos 765tan 810sin
18. （12分）求圆心在直线053=-+y x 上，并且经过原点和点)1,3(-的圆的方程.
19.（12分）已知4
1
cos =
α，求ααtan ,sin 的值
20. （12分）求经过两条直线04:1=-+y x l 和02:2=+-y x l 的交点M ，且满足下列条件的直线l 的方程：（1）与直线012=--y x 平行；（2）与直线012=--y x 垂直。

21. （12分）已知等腰三角形ABC 底边一个端点B(1,-3)，顶点A(0,6)，求另一个端点C 的轨迹方程。

2
22. （12分）已知圆42
2
=+y x 和圆044y -42
2
=+++x y x 关于直线l 对称，求直线l 的方程。