证明数列不等式之放缩技能及缩放在数列中的应用全套整合

证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用

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证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性

例1．证明：当Z n n ∈≥,6时，

(2)

12n

n n +<. 证法一：令)6(2

)

2(≥+=n n n c n

n ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++=-+++n n n n n n n n n n c c , 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，6683

1.644

n c c ⨯≤==< 于是当6n ≥时，2

(2)

1.2

n n +< 证法二：可用数学归纳法证.(1)当n = 6时，6

6(62)483

12644

⨯+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即

(2)

1.2k

k k +< 则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)

1.222(2)(2)2k k

k k k k k k k k k k k k

++++++++=⨯<<++ 由(1)、(2)所述，当n ≥6时，

2

(1)

12n n +<. 二、借助数列递推关系 例 2.已知12-=n n a .证明：

()23

11112

3

n n N a a a *++++

<∈. 证明：n

n n n n a a 121121************⋅=-⋅=-<-=+++

， ∴3

2])21(1[321)21(...12111112122132<-⋅=⋅++⋅+<+++=

-+n n n a a a a a a S . 例3. 已知函数f(x)=

52168x

x +-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=．

(1) 试比较n a 与5

4

的大小，并说明理由；

(2) 设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1

n

i i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜1

4(2n －1)．

分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。 解：(1) 因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><<

155

48()52553444168432(2)22n n n n n n n

a a a a a a a +--+-=-=

=⋅---,因为20,n a ->所以154n a +-与54n a -同号，因为151044a -

=-<，250,4a -<350,4a -<…，5

0,4

n a -<即5.4n a <

（2）当2n ≥时，1111531531

()422422n n n n n n b a a b a a ----=-=⋅⋅-=⋅⋅--113125

224

n n b b --<⋅⋅=-，

所以2131212222n n n n n b b b b ----<⋅<⋅<

<=，

所以3121

(12)

1111

4(21)422124

n n

n n n S b b b --⎛⎫=+++<

++⋅⋅⋅+==- ⎪-⎝⎭

.

例4. 已知不等式

],[log 2

1

131212n n >+++ 其中n 为不大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数。设数列{}

n a 的各项为正且满足

1

11),0(--+≤

>=n n n a n na a b b a )2≥n （.证明：][log 222n b b

a n +<， 5,4,3=n .

证明：由1

1--+≤

n n n a n na a 得：

n a a n n 1

111+≥-, n a a n n 1111≥-∴

- )2(≥n , 111121-≥---n a a n n ,… ,2

1

1112≥-a a , 以上各式两边分别相加得：

2

1

111111++-+≥- n n a a n ， 2111111++-++≥∴

n n b a n ][log 21

12n b +>=b

n b 2][log 22+， ∴ ]

[log 222n b b

a n +<

)3(≥n .

三、裂项放缩 例5.求证:

3

5

191411)12)(1(62<++++≤++n n n n

解析:因为

⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<121121

2144

4

111222

n n n n n ,所以

353211211215

1

31211

1

2

=

+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k

n

k 又1

111)1(14313

21119

14

112

+=

+-=++

+⨯+⨯+>++++n n n n n n

当3≥n 时,)

12)(1(61++>

+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,

当2=n 时,

2191411)12)(1(6n

n n n ++++<++ ,所以综上有35

191411)12)(1(62<++++≤++n n n n .

例6.已知21n n a =+，()12x f x -=，

求证：()()()121126

n n T b f b f b f n =++

+<

． 证明：由于()()()

()()()()11

111212111111222212121212121n n n n n n n n n n b f n +-++++-+⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪

++++++⎝⎭

()()()122231111111

1122121212122121n n n n T b f b f b f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫

⎛⎫=++

+=-+-+

+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎣⎦

1111111212212126

n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭． 例7. 已知x x x f +=2

)(，数列{}n a 的首项)(,2

1

11n n a f a a ==

+. (1) 求证：n

n a a >+1；(2) 求证：6n ≥时211

2111111<++++++<

n

a a a .

证明：⑴ n n n a a a +=+2

1，∵2

11=

a ，∴n a a a ,,32都大于0，∴02

>n a ，∴n n a a >+1. （2）

n

n n n n n n a a a a a a a +-=+=+=

+11

1)1(1112

1

，∴11111+-=+n n n a a a .故 1

1113221211

211111*********+++-=-=-++-+-=++++++n n n n n a a a a a a a a a a a a ∵4321)21(22=+=a ,14

3

)43(23>+=a ,又∵n n a a n >≥+12，∴131>≥+a a n .

∴21211

<-

<+n a , ∴211

1111121<++++++<

n

a a a . 四、分类放缩

例8.当,3Z n n ∈≥，时，求证:2

1214131211n

n >-+⋅⋅⋅++++

证明:当21==n n ，时不等式显然成立.