2019届高三优生精品卷(二)数学(文科)卷
河南省六市2019届高三第二次联考数学(文)试题(扫描版)
皿爲譏鷲豔緩總聆烘;能針120分 注意役爲，考生必须和己艸、站证号码昨溝楚'将条形码准确粘贴在条形码区 域内2.选择题必须用叫笔填涂;非选嘶必须使用°•池和色字迹的签字笔书写'字休 工笃.软号顺序在各題目的答题区域内作答庞出答题区域书写的答案无效;在草稿 妖、试題卷上答題无效.4.保持卡面清沽，不要折叠、不要弄应、不准使用涂改液、刮纸刀・第I 卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在毎小题给出的四个选项中，只有一个是符合題目要求的1. 已知集合 A = |x10<x<4| ,B= |«lx=2n + l,neN ,)，则 等于・ A. {1,3}B. 11,2,3|C. |3|D. |1|2・已知复数z=2 +ai(a wR),且I (1 - i)zl =4,则a 的值为 ，A.OB. ±1C.2・ D. ±23・在平面直角坐标系久Oy 中，角a©的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于仏B 两点，若点A 、B 的坐标分别为(丰，¥ )和(丰),则sin(a+/3)的值为A 遴 、B 吗C.0•，则△ PMN 而积的取值范2019n 24 - D--25严MO4.已知M( -4,0),/V(0,-3),P(x,y)的坐标〜满足 烂0一… 1・ ・ 围是 , ・^ ・・ ・・ •・• * I 小.,・八"・：.：•.・：・》•・ 川 .!•・ A. [12,24] B.[ 12,25] C.[6,12] D. [6,孕] 5-某调査机构对全国互联网行业进行调査统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不—定正确的精石〒改"卩比仏囹、注：90后指1990年及以后出生,80后指1980 -1989年之间出生,80前指1979年及以前3 尤+4yW12技术运营E5E运Z2湖U7?4市场謂运宓2H13. 2% 设计12.3%职能E3^2^9.8%产90后从琪互联网行业岗位分布图&ISSS36.5%其他IL6%高三数学(文科)试題第1页(共4页)佰也从业人员中90后占一半以上咯*中从册技术岗位的人数超过总人数的20%仟业中八班运营岗位的人数90后比80前多I行业中从冊技术岗位的人数90后比80后多%瘩）=2,%是第三彖限角，则aux的值为} B.-晋 C.醤 D.專却正方体MCD-MCa的棱长为7Z,平面心°到平面see的距离为cP知定义在尺上的奇曲数y =/（«）满足/（2 +Z）=/（=2 •则/（ 2018） + 匚2019）的危为匕2 B.O C.2 D.4A・ 2 29.胡曲线£-7't r = l（a>0,6>0）的右焦点口垂直于％轴的直线与双曲线E交于/!、〃两点,与双曲线E的渐近线交于C、D两点，若I佃I =^ICDI.则双曲线E的渐近线方程为±-f2x B・y= ±-/3x C.y = ±2xD.y = ±2-fix分别满足a -5'^t blnb= 1,3c‘ +c = 1，则a,b,c的大小关系为A.O& >aB. b > c > aC.b >a>cD. a >b >cII.已知AMC的内角4、3、C的对边分别是a、b、c,若爲 + ^=2a,则“ABC是A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰玄角三角形D・饨角三角形II巳知a wR,若/（兀）=（x + —）e-在区间（0,1）上有且只有一个极值点，则a的取值范田是A.a>0B.aWlC. a > 1D.aWO第II卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小J®,每小題5分.13 .设向员a = （ -3,4）.向£1乙与向fit。
2019届高三数学(文)二模试卷有解析
2019届高三数学（文）二模试卷有解析数学试题（文）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分。
满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合M= { } ,N= {-2，-1，0，1，2}，则等于A. {1}B. {-2,-1}C. {1,2}D. {0,1,2}2.设是虚数单位，则复数的模是A.10B.C.D.3. 己知是等差数列{ }的前n项和，，则A.20B.28C.36D.44.函数，若实数满足，则A.2B.4C. 6D.85. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为a，底面边长为b，一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1，路线为A-M-N-A1，则蚂蚁爬行的最短路程是A. B.C. D.6. 函数的图象的大致形状是7.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形。
若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是A. B.C. D.8.为了计算，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入A.B.C.D.9.若函数在R上的最大值是3，则实数A.-6B. -5C.-3D. -210. 直线是抛物线在点(-2,2)处的切线，点P是圆上的动点，则点P 到直线的距离的最小值等于A.0B.C. D.11.如图是某个几何体的三视图，根据图中数据（单位：cm) 求得该几何体的表面积是A. B.C. D.12.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且函数满足，则下列命题中正确的是A.函数图象的两条相邻对称轴之间距离为B.函数图象关于点( )对称C.函数图象关于直线对称D.函数在区间内为单调递减函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。
13.向量与向量(-1,2)的夹角余弦值是.14. 若双曲线的一条渐近线方程是,则此双曲线的离心率为.15.设实数满足不等式，则函数的最大值为.16.在△ABC中，AB= 1，BC = ，C4 = 3, 0为△ABC的外心，若，其中，则点P的轨迹所对应图形的面积是.三、解答题：本大题满分60分。
部分区(五区联考)2019届高三二模数学(文)试题及答案
天津市部分区2019年高三质量调查试卷（二）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．5 10．e −1 11．1612．(x +1)2+(y +1)2=2 13．92 14．(0,1)三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵(3a +b )cos C +c cos B =0，由sin sin sin a b c A B C== ……1分 ∴(3sin A +sin B )cos C +sin C cos B =0， ………………………………2分 ∴3sin A cos C +sin (B +C )=0， ……………………………………………4分 在∆ABC 中，由于sin (B +C )=sin A ≠0， ……………………………………5分 ∴cos C =13−. ………………………………………………．．．．…………6分 （Ⅱ）∵c =√6，由（Ⅰ）及由余弦定理，得6=a 2+b 2−2ab cos C ，……7分即6=a 2+b 2−2ab ×(13−)， ∴a 2+b 2+23ab =6，∴(a +b )2−43ab =6.（※） ……………………9分由（Ⅰ）知sin C =√1−cos 2C =3. ……………………10分由题意，得S ∆ABC =12ab sin C =4，∴ab =94. ………………………12分 结合（※）式，得a +b =3. ……………………………………………13分16．解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人数为5334671000+=，………………………1分被录用的人数为264169433+=． …………………………………2分 所以，从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为P =4331000. …………………………………………4分 （Ⅱ）记应聘D 学科的男性为123,,A A A ,应聘D 学科的女性为123,,B B B ，从应聘D 学科的6人中随机选择2人，共有15种结果：12{,},A A 13{,},A A 11{,},A B1213{,},{,}A B A B ，23{,},A A 212223{,},{,},{,}A B A B A B ，3132{,},{,},A B A B33{,}A B ，121323{,},{,},{,}.B B B B B B ……………………………………8分事件M “抽取的2人性别不同”情况有9种：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B ，212223{,},{,},{,}A B A B A B ，3132{,},{,},A B A B33{,}.A B …………………………………………10分 易得，其概率为93=155…………………………………………12分 所以事件M 发生的概率为35 ……………………………13分17．解：（Ⅰ）如图所示，四边形BCDE是等腰梯形，所以DE∥BC.所以∠ADE就是异面直线AD与BC所成的角，……2分在∆ADE中，AD=AE.又O为DE的中点，所以AO⊥DE.在∆ADO中，AD=√5,AO=2，所以异面直线AD与BC所成角的正弦值为5.……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AO⊥DE. ………………………………………6分因为平面ADE⊥平面BCED，平面ADE∩平面BCED=DE,且AO⊂平面A1DE，所以AO⊥平面BCED，…………………………………………………… 7分所以CO⊥AO.……………………………………………………………8分在∆OBC中，BC=4，易得OB=OC=2√2，所以CO⊥BO，又因为AO∩BO=O，所以CO⊥平面AOB. ……………………………9分又CO⊂平面AOC，所以平面AOB⊥平面AOC.……………………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知CO⊥平面AOB，所以直线AC与平面AOB所成角就是∠CAO. ……………………………11分在Rt∆AOC中，OC=2√2,AO=2，所以tan∠CAO=OCOA=√2，所以直线AC与平面AOB所成角的正切值为√2．………………………13分18．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，………………………………………1分由{a 4−2a 3=9,a 2=3 得{a 2(q 2−2q )=9,a 2=3………………………………2分 解得3q =或1q =-. …………… …………………………………………3分因为数列{a n }为正项数列，所以q =3， …………………………………5分所以，首项a 1=2a q=1， 故其通项公式为a n =3n−1. ………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n =(2n −1)∙log 3a 2n+2=(2n −1)(2n +1)， ………8分 所以11111()(21)(21)22121bn n n n n ==−−+−+…………………………10分 所以12111111111(1)23352121n n T b b b n n =+++=−+−++−−+L L 11=242n −+ 所以T n <12. …………………………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得2c a =且22211a b+= ，又因为a 2=b 2+c 2， ……………………………3分 解得a 2=4，b 2=2.所以，椭圆C 的方程为22142x y += . …………………………………………5分 （Ⅱ）易知，“椭圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ，使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立”． …………………………………6分依题意，点A (−2,0)，设B (t,0),P (m,n )，则有m 2+2n 2=4,① ……7分且PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−m,−n )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −m,−n )， 所以(−2−m,−n )∙(t −m,−n )=0，即(−2−m )(t −m )+n 2=0. ② …………………………………………9分由①得， n 2=242m −代入②，得 (−2−m )(t −m )+242m −=0，③ …………………………………………10分 因为−2<m <2，所以③化为m −t +22m −=0， 即m =2t −2. ………………………………………………………………12分所以−2<2t −2<2，解得0<t <2.故所求点B 的横坐标的取值范围是(0,2)． ………………………………14分20．解：（Ⅰ）由a =0，得f (x )=(x −3)e x ，所以f′(x )=(x −2)e x ， ………………………………2分由f ′(x )<0得x <2, 由f ′(x )>0得x >2,所以，函数()f x 的单调增区间是()2+∞，；单调减区间是()2−∞，.………4分 （Ⅱ）f (x )=(x −3)[e x +a (x −3)]，易得函数f (x )有一个零点x =3. ……………………………………………5分令g (x )=e x +a (x −3).1）若a =0，则g (x )=e x >0，g (x )无零点，所以函数f(x)只有一个零点；………………………………………6分2）若a≠0，则g′(x)=e x+a，①当a>0时，有g′(x)>0，所以函数g(x)在(−∞,+∞)上单调递增，而g（1a−）=e−1a−1−3a<0, g(3)=e3>0，此时函数g(x)在1(3)a−,内有一个零点，所以f(x)有两个零点. ……………………………………………………7分②当a<0时，由g′(x)=e x+a=0，得x=ln(−a)，所以函数g(x)在区间(−∞,ln(−a))单调递减，在区间(ln(−a),+∞)单调递增，所以函数g(x)min=g(ln(−a))=a[ln(−a)−4]. …………………………8分（ⅰ）当ln(−a)−4<0，即−e4<a<0时，g(x)min=g(ln(−a))=a[ln(−a)−4]>0,此时函数g(x)在其定义域内无零点，所以函数f(x)只有一个零点.（ⅱ）当ln(−a)−4=0，即a=−e4<0，此时函数g(x)有一个零点为4，所以函数f(x)有两个零点.（ⅲ）当ln(−a)−4>0，即a<−e4时，g(x)min<0，此时函数g(x)有两个零点，因为(3)0g≠，所以这两个零点均不为3.所以函数()f x有三个零点. ………………………………………………12分综上述，当a=0或−e4<a<0时，函数f(x)只有一个零点；当a>0或a=−e4时，函数f(x)有两个零点；当a<−e4时，函数f(x)有三个零点. ………………………14分。
2019年高考全国2卷文科数学试题含答案解析
2019年高考全国2卷文科数学试题解析1．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则AB =A ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 【答案】A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =，故选A.2．(1i)(2i)++=A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i + 【答案】B3．函数π()sin(2)3f x x =+最小正周期为 A ．4π B ．2π C ． π D ．π2【答案】C【解析】由题意2ππ2T ==，故选C. 4．设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则A ．a ⊥bB ．=a bC ．a ∥bD ．>a b 【答案】A【解析】由+=-a b a b 平方得222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A.5．若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2) 【答案】C6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为221π36π3463π2V =⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B. 7．设,x y 满足约束条件2+330,2330,30,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B --处取得最小值，最小值为min 12315z =--=-．故选A.8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ． (,1)-∞C ． (1,)+∞D ． (4,)+∞ 【答案】D9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己结果，故选D.10．执行下面的程序框图，如果输入的1a=-，则输出的S=A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B11．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A．110B．15C．310D．25【答案】D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：总计有25种情况，满足条件的有10种. 所以所求概率为102255=. 12．过抛物线2:4C y x =的焦点F ，3的直线交C 于点M （M 在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为A 5B ．2C ． 23D ． 33【答案】C二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 . 5【解析】2()215f x ≤+=14．已知函数()f x 是定义在R 上函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = .【答案】12【解析】(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=.15．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 球面上，则球O 的表面积为 . 【答案】14π【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以222232114,4π14π.R S R =++===16．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = .【答案】π3【解析】由正弦定理可得1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23B B AC C A A C B B B =+=+=⇒=⇒=. 17．（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11221,1,2a b a b =-=+=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S . 18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,1,90.2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=︒ （1）证明：直线BC ∥平面PAD ;（2）若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积. 19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100个网箱，测量各箱水产品产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.K 2=22006266343815.70510010096104⨯⨯-⨯⨯⨯⨯（）≈.由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法. 20．（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 错误!未找到引用源。
2019届高三文科数学测试题(二)附答案
2019届高三理科数学测试卷（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合(){}2log 2A x y x ==-，若全集U A =，{}12B x x =<<，则U B =ð（ ） A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞2．设i 是虚数单位，若复数()5i12ia a +∈-R 是纯虚数，则a =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．23．若()0,πα∈，()sin πcos 3αα-+=，则sin cos αα-的值为（ ） A．3B．3- C ．43 D ．43-4．设平面向量)=a ，(),3x =-b ，⊥a b ，则下列说法正确的是（ ）A．x =⊥a b 的充分不必要条件 B ．-a b 与a 的夹角为π3C ．12=bD ．-a b 与b 的夹角为π65．已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>()2,2，则双曲线的实轴长为（ ）A ．12B ．1 C．D6．若321n xdx =+⎰，则二项式2nx ⎛⎝的展开式中的常数项为（ ） A ．45256B ．45256-C ．45128D ．45128-7．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b 分别为10，4，则输出的a =（ ）A ．0B ．14C ．4D ．28．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163B ．203C ．169D ．209 9．已知0a >，1a ≠，()2x f x x a =-，当()1,1x ∈-时，均有()12f x <则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦B ．(]10,1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)1,12,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为（ ） A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元11．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象经过点()0,1B -，在区间ππ,183⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，且()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，当1t ，217π2π,123t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12t t ≠时，()()12f t f t =，则()12f t t +=（ ）A．B ．1- C ．1 D12．已知点P 是曲线sin ln y x x =+上任意一点，记直线OP （O 为坐标原点）的斜率为k ，则（ ）A ．存在点P 使得1k ≥B ．对于任意点P 都有1k <C ．对于任意点P 都有0k <D ．至少存在两个点P 使得1k =-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知平面向量()1,x y =-a ，1≤a ，则事件“y x ≥”的概率为__________． 14．已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上任意一点，且满足NF =，则NMF ∠=_________． 15．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB =BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．16．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt △，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11n n a S +=+， （1）求{}n a 的通项公式；（2）记()21log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111...2nT T T +++<．18．（12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=︒，BE BC =，F 为CE 的中点． （1）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（2）2AE EB =，在线段AE 上是否存在一点P ，使得二面角P DB F --的余弦值为10．请说明理由．19．（12分）某房产中介公司2017年9月1日正式开业，现对2017年9月1日到2018年5月1日前8个月的二手房成交量进行统计，y 表示开业第x 个月的二手房成交量，得到统计表格如下：（1）统计中常用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱，统计学认为，对于变量x ，y ，如果[]0.75,1r ∈，那么相关性很强；如果[]0.3,0.75r ∈，那么相关性一般；如果0.25r ≤，那么相关性很弱，通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，计算()(),1,2,...,8i i x y i =得相关系数r ，并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系（计算结果精确到0.01）；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+（计算结果精确到0.01），并预测该房地产中介公司2018年6月份的二手房成交量（计算结果四舍五入取整数）；（3）该房地产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获6千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望．参考数据：81850i i i x y ==∑，821204ii x ==∑，8213776ii y ==∑ 4.58≈ 5.57≈，参考公式：1221ˆni i i ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，ni i x y nx yr -=∑．20．（12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为1F ，过点1F 且与x ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若24y x =上存在两点M ，N ，椭圆C 上存在两个P ，Q 点满足：M ，N ，1F 三点共线，P ，Q ，1F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值．21．（12分）已知()()()ln f x x m mx m =+-∈R ， （1）求()f x 的单调区间；（2）设1m >，1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +<．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C上的点1,2M ⎛ ⎝⎭对应的参数π3ϕ=，射线π3θ=与曲线2C 交于点π1,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；（2）若点A ，B 在曲线1C 上的两个点且OA OB ⊥，求2211OAOB+的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()34f x x x =-++． （1）求()()4f x f ≥的解集；（2）设函数()()()3g x k x k =-∈R ，若()()f x g x >对x ∀∈R 成立，求实数k 的取值范围．高三理科数学（二）答 案一、选择题． 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】B 二、填空题．13．【答案】1142π-14．【答案】π615．【答案】3 16．【答案】43三、解答题．17．【答案】（1）12n n a -=；（2）见解析．【解析】（1）11n n a S +=+，2n ≥，11n n a S -=+，所以()122n n a a n +=≥， 又11a =，所以22a =，212a a =符合上式，所以{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列．所以12n n a -=． （2）由（1）知()()1212log log 2221nn n n n b a a n -+=⋅=⨯=-，所以()21212n n T n n +-==， 所以()22212111111111......1...1212131n T T T n n n +++=+++≤++++⋅⋅- 11111223=+-+-111...221n n n++-=-<-．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，BC AB ⊥，平面ABCD 平面ABE AB =，∴BC ⊥平面ABE ，又∵AE ⊂平面ABE ， ∴BC AE ⊥，又∵AE BE ⊥，BCBE B =，∴AE ⊥平面BCE ，BF ⊂平面BCE ，即AE BF ⊥， 在BCE △中，BE CB =，F 为CE 的中点， ∴BF CE ⊥，AE CE E =，∴BF ⊥平面ACE ， 又BF ⊂平面BDF ，∴平面BDF ⊥平面ACE ． （2）如图建立空间直角坐标系，设1AE =，则()2,0,0B ，()0,1,2D ，()2,0,2C ，()1,0,1F ，()0,0,0E ，设()0,,0P a ，()2,1,2BD =-，()1,0,1BF =-，()2,,0PB a =-，()2,0,2EC =， 因为0EC BD ⋅=，0EC BF ⋅=，所以EC ⊥平面BDF ，故()2,0,2EC =为平面BDF 的一个法向量， 设⊥n 平面BDP ，且(),,x y z =n ，则由BD ⊥n 得220x y z -++=， 由PB ⊥n 得20x ay -=，从而(),2,1a a =-n ，cos ,EC EC EC ⋅<>==n n n，∴cos ,10EC <>=n ，解得0a =或1a =，即P 在E 处或A 处． 19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）依题意可知， 4.5x =，21y =，88i ix y x yr -==∑940.924 4.58 5.57===≈⨯⨯，因为[]0.920.75,1∈，所以变量x ，y 线性相关性很强．（2）818222188508 4.521ˆ 2.242048 4.58i ii i i x yx ybx x===⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑， ˆˆ21 2.24 4.510.92ay bx =-=-⨯=， 即y 关于x 的回归方程为ˆ 2.2410.92yx =+， 当10x =，ˆ 2.241010.9233.32y=⨯+=， 所以预计2018年6月份的二手房成交量为33．（3）二人所获奖金总额X 的所有可能取值有0，3，6，9，12千元，()1110224P X ==⨯=，()11132233P X ==⨯⨯=，()1111562336218P X ==⨯+⨯⨯=，()11192369P X ==⨯⨯=，()111126636P X ==⨯=， 所以奖金总额的分布列如下表：()03691244318936E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元．20．【答案】（1）2212xy +=；（2） 【解析】（122ba=，，∴c a =，又222a b c =+，解得a =1c =，1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）①当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0， 此时4MN =，PQ =，PMQN S =四边形②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()()10y k x k =-≠，联立24y x =， 得()()22222400k x k x k ∆-++=>，设M ，N 的横坐标分别为M x ，N x ，则242M N x x k +=+，∴244M N MN x x p k=++=+， 由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为()()110y x k k=--≠，联立椭圆C 的方程，消去y ，得()()222242200k x x k ∆+-+-=>，设P ，Q 的横坐标为P x ，Q x ，则242P Q x x k +=+，22222P Q k x x k -=+，∴)2212k PQk+==+， )()22221122PMQN k S MN PQ k k +=⋅=+四边形，令()211k t t +=>， 则()()2222111111PMQNS t t t t ⎫===+>⎪-+--⎭四边形 综上()minPMQNS =四边形21．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）∵()()ln f x x m mx =+-，∴()1f x m x m'=-+， 当0m ≤时，∴()10f x m x m'=->+， 即()f x 的单调递增区间为(),m -+∞，无减区间；当0m >时，∴()11m x m m f x m x m x m⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=-=++，由()0f x '=，得()1,x m m m=-+∈-+∞， 1,x m m m ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，1,x m m ⎛⎫∈-++∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴当0m >时，()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭．（2）由（1）知()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭，不妨设12m x x -<<，由条件知()()1122ln ln x m mx x m mx +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即1212ee mx mx x m x m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 构造函数()e mx g x x =-，()e mx g x x =-与y m =图象两交点的横坐标为1x ，2x ， 由()e 10mx g x m '=-=可得ln 0mx m-=<， 而()2ln 1m m m >>，∴()ln ,mm m-∈-+∞， 知()e mx g x x =-在区间ln ,m m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间ln ,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，可知12ln mm x x m--<<<欲证120x x +<，只需证122ln m x x m +<-，即证212ln ln ,m m x x m m ⎛⎫<--∈-+∞ ⎪⎝⎭， 考虑到()g x 在ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增，只需证()212ln m g x g x m -⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 由()()21g x g x =知，只需证()112ln m g x g x m -⎛⎫<-⎪⎝⎭， 令()()2ln 2ln 2ln e 2e mx m mx m m h x g x g x x m m ---⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭，则()()2ln 2ln e e 2e e 222220e m mx m mxmx mx h x m m m ---⎛⎫'=---=+-≥== ⎪⎝⎭，所以()h x 为增函数，又ln 0m h m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合1ln m m x m --<<知()10h x <， 即()112ln m g x g x m -⎛⎫<-⎪⎝⎭成立，即120x x +<成立． 22．【答案】（1）见解析；（2）54． 【解析】（1）将1,2M ⎛ ⎝⎭及对应的参数π3ϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩，得π1cos 3πsin 23a b ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，ϕ为参数，即2214x y +=．设圆2C 的半径为R ，由题意可得，圆2C 的极坐标方程为2cos R ρθ= （或()222x R y R -+=），将点π1,3D ⎛⎫⎪⎝⎭代入2cos R ρθ=，得π12cos 3R =，即1R =，所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=即()2211x y -+=．（2）设()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上，所以222211cos sin 14ρθρθ+=，222222sin cos 14ρθρθ+=，所以22222222121111cos sin 5sin cos 444OAOBθθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 23．【答案】（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）12k -<≤．【解析】（1）()34f x x x =-++，∴()()4f x f ≥，即349x x -++≥，∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩①或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩②或3349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③，解不等式①：5x ≤-；②：无解；③：4x ≥， 所以()()4f x f ≥的解集为{5x x ≤-或}4x ≥．（2）()()f x g x >即()34f x x x =-++的图象恒在()()3g x k x =-，k ∈R 图象的上方，可以作出()21,4347,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩的图象，而()()3g x k x =-，k ∈R 图象为恒过定点()3,0P ，且斜率k 变化的一条直线， 作出函数()y f x =，()y g x =图象如图，其中2PB k =，可得()4,7A -，∴1PA k =-，由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方， 实数k 的取值范围为12k -<≤．。
2019年 二模 数学(文科) 参考答案
长春市普通高中2019届高三质量监测（二） 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. A3. D4. A5.B6. C7. C8. D9. C 10. D 11. B 12. C 简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算. 【试题解析】B 1z i =-+.故选B.2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】A {|2},{1,0,1,A x x A B=≤=-.故选A. 3. 【命题意图】本题考查含有一个量词的否定.【试题解析】D 易知. 故选D.4. 【命题意图】本题主要考查函数的性质. 【试题解析】A 易知. 故选A.5. 【命题意图】本题考查三视图的相关知识.【试题解析】B 易知.故选B.6. 【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C 1625252318,2()8,4a a a a d a a a a d +=+==+-+==.故选C. 7. 【命题意图】本题主要考查倾斜角及三角恒等变换的相关知识.【试题解析】C由题意可知2tan 2,cos 22cos 1ααα==-=2231tan 15α-=-+.故选C. 8. 【命题意图】本题主要考查平面向量的相关知识.【试题解析】D 由数量积的几何意义可知EF AE ⊥，由E 是BC 中点，所以52AF =.故选D. 9. 【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】C 易知①②③正确.故选C.10. 【命题意图】本题主要考查数形结合思想的运用.【试题解析】D 画出切线l 扫过的区域，如图所示，则不可能在直线上的点为(1,2)-.故选D.11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由题意可知224a b e ==，.故选B. 12. 【命题意图】本题是考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由0x π≤≤，有666x πππωωπ-≤-≤-，所以066ππωππ≤-≤+，从而1463ω≤≤. 故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 214. 2715. 3()22-16. ；10三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的相关知识. 【试题解析】解：（1）由3sin ,sin 24sin ABACB AC B ACB∠===∠. （6分） （2）3cos sin ,4ACD ACB ∠=∠=设2,3,AD m CD m == 有2234492234m m m =+-⋅⋅⋅，1m =或45m =，当1m =时，3CD =，sin 4ACD ∠=，1sin 24ACD S AC CD ACD ∆=⋅⋅∠=.当45m =时，125CD =，sin 4ACD ∠=，1sin 25ACD S AC CD ACD ∆=⋅⋅∠=.（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识. 【试题解析】解：（1）由饼状图知工资超过5000的有68人，故概率为0.68. （4分）（2）①A 企业[2000,5000)中三个不同层次人数比为1:2:4，设[3000,4000)中两人为A,B ，其余5人为a ,b ,c ,d ,e ,取出的两人共有如下21种情况，（A,B ）,（A, a ），（A, b ），（A, c ），（A, d ），（A, e ），（B,a ），（B,b ），（B,c ,），（B,d ），（B,e ），（a ,b ），（a ,c ），（a ,d ），（a ,e ），（b ,c ），（b ,d ），（b ,e ），（c ,d ），（c ,e ），（d ,e ），符合条件的共有10种情况，故所求事件概率为1021. （9分） ② A 企业的员工平均收入为：1(25005350010450020550042650018750038500195001)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5260= B 企业的员工平均收入为：1(250023500745002355005065001675002)5270100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 参考答案1：选企业B ，由于B 企业员工的平均收入高.参考答案2：选企业A ，A 企业员工的平均收入只比B 企业低10元，但是A 企业有高收入的团体，说明发展空间较大，获得8000元以上的高收入是有可能的.参考答案3：选企业B ，由于B 企业员工平均收入不仅高，且低收入人数少.（12分） （如有其它情况，只要理由充分，也可给分） 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）在直角梯形中，cosBD BDC DBA =∠=∠=在BCD ∆中，由余弦定理2BC PB PD ===，,PCD PCB ∆∆是等腰三角形，所以,PC M D PC M B ⊥⊥，PC ⊥平面M D B ，则平面PBC ⊥平面B D M .（6分） （2）取PD 中点N ，连接,AN MN ，ANMB 为平行四边形，所以//BM AN ，1BM AN ==，由PA AD =，所以AN PD ⊥，又由于CD ⊥平面PAD ，所以CD AN ⊥，所以AN ⊥平面PCD ，所以BM ⊥平面PCD ， 所以B 到平面PCD 的距离为1. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识. 【试题解析】解：（1）由题意知，21,2,12c b a b a a ====，所以2214x y +=.（4分） （2）由条件可知:l y x =+，联立直线l 和椭圆C ，有2214y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，有2580x ++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，有1212||||5y y x x -=-==所以121||2AOB S y y ∆=⋅-=（12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）()22122,()ln ,1a f x x x f x x x x'==--=+-， ()(2)ln 23,20,f f '=-=所以切线方程为ln 23y =-. （4分）（2）()2(1)()(13)x x a f x x x -+-'=≤≤，当1a ≤时，()0f x '<，()f x 在[1,3]上单调递减，所以()12,1f a =-=； 当3a ≥时，()0f x '>，()f x 在[1,3]上单调递增，所以()ln 3132,31ln 33f a +=-=<-，舍去； 当13a <<时，()f x 在(1,)a 上单调递增，在(,3)a 上单调递减，所以()2,f a a e =-=.综上1a =或a e =. （12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】（1）直线l的普通方程为)y x a =-，曲线C 的极坐标方程可化为2222cos 3ρρθ+=，化简可得2213y x +=. （5分） （2）当1a =时，直线l0y -=.有点P 的直角坐标方程2213y x +=，可设点P的坐标为(cos )P θθ因此点P 到直线l 的距离可表示为cos sin 1|)1|4d πθθθ==--=+-当cos()14πθ+=-，d（10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想. 【试题解析】（1）2(2)()()|2||2|4(22)2(2)x x f x f x x x x x x - <-⎧⎪+-=++-+= -⎨⎪ >⎩≤≤由()6f x ≥，则(,3][3,)x ∈-∞-+∞. （5分）（2）5(3)(4)(1)|2||3|21(32)5(2)x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=-- -⎨⎪- >⎩≤≤由(4)(1)f x f x kx m --+>+的解集为(,)-∞+∞可知 0k =，即5k m +<-. （10分）。
[2019届高三数学(文)二模试卷有解析] 2019高考
《[2019届高三数学（文）二模试卷有解析] 2019高考》摘要：{} B {,} {,} {0,,} 设是虚数单位则复数模是 0 B 3 己知是等差数列{ }前项和则 0 B8 36 函数若实数满足则 B 6 8 5 如图正三棱柱B—B侧棱长底面边长b只蚂蚁从出发沿每侧面爬到路线则蚂蚁爬行短路程是 B 6 函数图象致形状是7“勾股圆方图”是我国古代数学赵爽设计幅用证明勾股定理图案如图所示“勾股圆方图”四相直角三角形与正方形拼成正方形，则从图随机取则落阴影部分概率是 B 8了计算设计如图所示程序框图则空白框应填入 B 9若函数 R上值是3则实数 6 B 5 3 0 直线是抛物线 (,)处切线是圆上动则到直线距离值等 0 B 如图是某几何体三视图根据图数据（单位) 得该几何...09届高三数学（）二模试卷有析数学试题（）卷（选择题共60分）、选择题题共题每题5分满分60分每题给出四选项只有项是合题目要若集合 { } , {0}则等 {} B {,} {,} {0,,} 设是虚数单位则复数模是 0 B 3 己知是等差数列{ }前项和则 0 B8 36 函数若实数满足则 B 6 8 5 如图正三棱柱B—B侧棱长底面边长b只蚂蚁从出发沿每侧面爬到路线则蚂蚁爬行短路程是B 6 函数图象致形状是7“勾股圆方图”是我国古代数学赵爽设计幅用证明勾股定理图案如图所示“勾股圆方图”四相直角三角形与正方形拼成正方形若直角三角形较锐角满足则从图随机取则落阴影部分概率是 B 8了计算设计如图所示程序框图则空白框应填入 B 9若函数 R上值是3则实数 6 B 5 3 0 直线是抛物线 (,)处切线是圆上动则到直线距离值等 0 B 如图是某几何体三视图根据图数据（单位) 得该几何体表面积是 B 将函数图象向左平移单位得到函数图象且函数满足则下列命题正确是函数图象两条相邻对称轴距离 B函数图象关( )对称函数图象关直线对称函数区单调递减函数二、填空题题共题每题5分满分0分3向量与向量 (,)夹角余弦值是若双曲线条渐近线方程是 ,则双曲线离心率 5设实数满足不等式则函数值6△BB B 3, 0△B外心若其则轨迹所对应图形面积是三、答题题满分60分答应写出说明、证明程或演算步骤7(题满分分）已知等比数列{ }满足 (){ }通项公式及前项和； ()设 ,数列{ }前项和； 8(题满分分）如图三棱柱B—B∠B 丄平面BB 是线段BB上动足线段B()证明丄； ()若B , ,且直线、所成角余弦值 ,试指出线段BB上位置并三棱锥B体积9(题满分分）我们知道地球上水有限爱护地球、节约用水是我们每人义与责任某市政府了对水使用进行科学管理节约水计划确定庭年用水量标准对全市庭日常用水量情况进行抽样调査获得了庭某年用水量(单位立方米）统计结如下表所示()分别出值； ()若以各组区值代表该组取值试估计全市庭年用水量；(Ⅲ)从样年用水量[50,60](单位立方米）5庭任选3作进步跟踪研究年用水里多庭被选概率（5庭年用水量都相等）0(题满分分〉如图椭圆 (>b>0)左、右顶分别、B,离心率长轴与短轴长和0 ()椭圆标准方程； ()椭圆上任取（与、B两不重合）直线交轴直线B交轴证明定值(题满分分）设函数其函数图表处切线与函数图象B（处切线相垂直()值； ()若上恒成立实数取值围请考生（)、(3)题任选题作答如多做则按所做题计分(题满分0分)选修坐标系与参数方程平面直角坐标系直线参数方程参数）以原0极以轴非半轴极轴迮立极坐标系两坐标系取相长单位圆方程被圆截得弦长 ()实数值； ()设圆与直线交、B若坐标（ )且>0, 值 3(题满分0分)选修5不等式选讲已知 ()不等式⑴； ()若不等式 (>0,>0)对任都成立证明科数学试题参考答案、选择题（题共题每题5分共60分每题给出四选项只有选项是合要题 3 5 6 7 8 9 0 答案 B B B 析题主要考集合运算 , 故选析题主要考复数计算及模长义故选B 3析题主要考等差数列性质故选B 析由分段函数结构知,其定义域是所以 ()当 , 就是 ()当 , 就是 ,不成立故选 5析正三棱柱侧面展开图如图所示矩形矩形长宽则其对角线长短路程因蚂蚁爬行短路程故选 6析取则排除B 取则排除显然是零 ,排除故选或根据函数定义域及函数极值判定极值是单减且故选 7析题主要考几何概型与数学化设正方形边长5,由知对边等3邻边等数学试题（）答案（共8页）页所以正方形边长面积等, 故选 8析题主要考程序框图循环结构根据结条件根据框图故选B 9析因所以函数上值是故选 0析题主要考导数几何义及直线与圆位置关系 ,所以圆心（,0）到距离是所以值是故选析题主要考三视图问题由三视图可以看出该几何体是长方体以顶挖八分球体故选析题主要考三角函数图象与性质因函数值是所以周期是所以取又因所以取是函数图象向左平移单位得到四选项、B、选项错误故选二、填空题题共题每题5分共0分把答案填写题横线上． 3 5 6 3析题主要考平面向量运算析题主要考双曲线渐近线方程根据双曲线方程可知其渐近线方程数学试题（）答案（共8页）页而已知是条渐近线方程则有 5析题主要考简单线性规划问题不等式表示区域如图阴影部分所示目标函数是与直线平行直线系当直线向上平移增且达到值由得 ,从而 6析题主要是考三角形及平面向量运算几何义由余弦定理得 ,所以因由题知轨迹对应图形是边长菱形, 是这菱形面积是三、答题题共6题共70分答应写出说明、证明程或演算步骤． 7．(题满分分) 析（Ⅰ）由题可知得即……………3分所以通项公式……………分前项和………6分数学试题（）答案（共8页）3页（Ⅱ）………9分所以数列前项和………分 8．(题满分分) 析（Ⅰ）因所以平面而平面 ,所以平面平面………分因线段且而, ………5分（Ⅱ）即又所以故所以三棱柱直线所成角余弦则所以………7分所以因所以是线段靠近三等分………9分因所以………分 9．(题满分分) 析（Ⅰ）用水量频数是50频率是则……………分数学试题（）答案（共8页）页用水量频率是则用水量频率是则……………分（Ⅱ）估计全市庭年用水量……………7分（Ⅲ）设B代表年用水量从多到少5庭从任选3总基事件BBBB, B, B,共0,其包含有BBB共6 …………0分所以即年用水量多庭被选概率是……………分 0 (题满分分) 析（Ⅰ）由题可知得故椭圆标准方程……………5分（Ⅱ）法设直线交轴直线交轴则即易知向故……………7分因所以得直线方程令则；直线方程令则所以定值……………分数学试题（）答案（共8页）5页法左、右顶分别、则有由（Ⅰ）知设直线、斜率分别则…………7分直线方程令得；直线方程令得所以……………分法3 左、右顶分别、则……………7分如题图所示……………分 (题满分分) 析（Ⅰ）由得是所以……… 分因函数图象处切线与函数图象处切线相垂直所以即……… 5分（Ⅱ）设函数（）则由题设可知≥0即令 0得－（）若－＜≤0则＜0 数学试题（）答案（共8页）6页＞0即单调递减单调递增所以取值而∴当≥－≥ 即恒成立……… 8分②若则∴ (－,+∞)单调递增而0∴当≥－≥0 即恒成立……… 0分③若则∴当≥－不能恒成立综上所述取值围是………分请考生（）、（3）题任选题作答,如多做,则按所做题计分．(题满分0分)选修坐标系与参数方程析（Ⅰ）由得即………分直线普通方程被圆截得弦长所以圆心到距离即得………5分（Ⅱ）法当将参数方程代入圆直角坐标方程得即由故可设是上述方程两实根所以故由上式及几何义得………0分法当易知直线上又数学试题（）答案（共8页）7页所以圆外立消得不妨设所以 3．(题满分0分)选修5不等式选讲析（Ⅰ）就是（）当得()当得不成立………分（3）当得综上可知不等式集是………5分（Ⅱ）因所以………7分因所以得所以………0分。
(完整版)2019年高考文科数学全国2卷含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷） 文科数学1.设集合{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，则=⋂B A ( ) A. ),1(+∞- B. )2,(-∞ C. )2,1(- D. φ2. 设(2)z i i =+，则z = ( ) A. 12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3. 已知向量(2,3)=a ， (3,2)=b ，则-=a b （ ）B. 2C. D. 504. 生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ）A.23 B. 35C. 25D. 155. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高. 乙：丙的成绩比我和甲的都高. 丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6. 设()f x 为奇函数，且当0≥x 时，()1=-xf x e ，则当0<x 时，()=f x （ ） A. 1--x e B. 1-+x e C. 1---x e D . 1--+x e7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面8. 若123,44x x ππ==是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω=A ．2B. 32C. 1D.129.若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ） A.2 B.3 C.4 D.810. 曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A. 10x y π---= B. 2210x y π---= C. 2210x y π+-+= D. 10x y π+-+=11. 已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ）A.15D.512.设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，0为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若PQ OF =,则C 的离心率为:A.2B.3C.2D.5 二、填空题13. 若变量,x y 满足约束条件23603020x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩则3z x y =-的最大值是 .14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .15. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin cos 0b A a B +=，则B = . 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)三、解答题17.如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，点E 在棱1AA 上，1BE EC ⊥. （1）证明：BE ⊥平面11EB C（2）若1AE AE =,3AB =,求四棱锥11E BB C C -的体积.18.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，162,2231+==a a a . (1)求{}n a 的通项公式：(2)设n n a b 2log =，求数列{}n b 的前n 项和.19. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组[)0.20,0-[)0,0.20[)0.20,0.40 [)0.40,0.60 [)0.60,0.80企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01） 748.602≈.20. 已知12,F F 是椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点.（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF ∆的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.21. 已知函数()(1)ln 1=---f x x x x .证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0=f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.四、选做题（2选1）22.在极坐标系中，O 为极点，点00(,)M ρθ0(0)ρ>在曲线:=4sin C ρθ上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知 ()|||2|()f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集： （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 得取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷 ）文科数学答 案1. 答案：C 解析：{}1-|>=x x A ，{}2|<=x x B ，∴）（2,1-=⋂B A .2. 答案：D 解析：因为(2)12z i i i =+=-+，所以12z i =--. 3. 答案：A 解答：由题意知(1,1)-=-a b ，所以2-=a b .4. 答案：B 解答：计测量过的3只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A 、B 则3只兔子的种类有(1,2,3)(1,2,)A (1,2,)B (1,3,)A (1,3,)B (1,,)A B ()()()()2,3,2,3,2,,3,,A B A B A B ,则恰好有两只测量过的有6种，所以其概率为35.5.答案：A 解答：根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果. 6. 答案：D 解答：当0<x 时，0->x ，()1--=-xf x e ，又()f x 为奇函数，有()()1-=--=-+xf x f x e .7. 答案：B解析:根据面面平行的判定定理易得答案. 8.答案：A 解答：由题意可知32442T πππ=-=即T=π,所以=2ω. 9.答案：D 解析：抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±， ∴p p22=，∴8=p . 10. 答案：C 解析：因为2cos sin y x x '=-，所以曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线斜率为2-， 故曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为2210x y π+-+=. 11. 答案：B 解答：(0,)2πα∈，22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+⇒=，则12sin cos tan 2ααα=⇒=，所以cos α==，所以sin α==. 12. 答案：A解析：设F 点坐标为)0,2c （，则以OF 为直径的圆的方程为2222)2⎪⎭⎫⎝⎛=+-c y c x （-----①，圆的方程222a y x =+-----②，则①-②，化简得到c a x 2=，代入②式，求得caby ±=，则设P 点坐标为),2c ab c a （，Q 点坐标为),2c ab c a -（，故cab PQ 2=，又OF PQ =,则,2c cab=化简得到2222b a c ab +==，b a =∴，故2222==+==aaa b a a c e .故选A. 二、填空题 13. 答案：9 解答：根据不等式组约束条件可知目标函数3z x y =-在()3,0处取得最大值为9. 14.答案：0.98 解答：平均正点率的估计值0.97100.98200.99100.9840⨯+⨯+⨯==.15.答案：34π 解析：根据正弦定理可得sin sin sin cos 0B A A B +=,即()sin sin cos 0A B B +=，显然sin 0A ≠，所以sin cos 0B B +=，故34B π=.16.答案：1 解析：由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解. 三、解答题 17.答案： （1）看解析 （2）看解析 解答：（1）证明：因为11B C C ⊥面11A B BA ，BE ⊥面11A B BA∴11B C BE ⊥ 又1111C E B C C ⋂=，∴BE ⊥平面11EB C ；（2）设12AA a =则 229BE a =+，22118+a C E =，22194C B a =+ 因为22211=C B BE C E + ∴3a =，∴11111h 3E BB C C BB C C V S -=1363=183=⨯⨯⨯ 18.答案： （1）122-=n n a ； （2）2n解答：(1)已知162,2231+==a a a ，故162121+=q a q a ，求得4=q 或2-=q ，又0>q ，故4=q ，则12111242---=⋅==n n n n q a a .(2)把n a 代入n b ，求得12-=n b n ，故数列{}n b 的前n 项和为22)]12(1[n nn =-+.19. 答案： 详见解析 解答:（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是14721100100+=， 这类企业中产值负增长的企业比例是2100. （2）这类企业产值增长率的平均数是()0.1020.10240.30530.50140.7071000.30-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=⎡⎤⎣⎦这类企业产值增长率的方差是()()()()()222220.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296⎡⎤--⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯÷=⎣⎦所以这类企业产值增长率的标准差是28.6020.172040.17100==⨯=≈. 20. 答案： 详见解析 解答:（1）若2POF ∆为等边三角形，则P 的坐标为,22c ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，代入方程22221x y a b +=，可得22223144c c a b+=，解得24e =±1e =. （2）由题意可得122PF PF a +=，因为12PF PF ⊥，所以222124PF PF c +=， 所以()22121224PF PF PF PF c +-⋅=，所以222122444PF PF a c b ⋅=-=，所以2122PF PF b ⋅=，所以122121162PF F S PF PF b ∆=⋅==，解得4b =. 因为()212124PF PF PF PF +≥⋅，即()21224a PF PF ≥⋅，即212a PF PF ≥⋅，所以232a ≥，所以a ≥21. 答案：见解析解答：（1）1()ln (0)'=->f x x x x ，设1()ln =-g x x x ，211()0'=+>g x x x则()g x 在(0,)+∞上递增，(1)10=-<g ，11(2)ln 2ln 022=->=g ， 所以存在唯一0(1,2)∈x ，使得00()()0'==f x g x ，当00<<x x 时，0()()0<=g x g x ，当0>x x 时，0()()0>=g x g x ，所以()f x 在0(0,)x 上递减，在0(,)+∞x 上递增，所以()f x 存在唯一的极值点.（2）由（1）知存在唯一0(1,2)∈x ，使得0()0'=f x ，即001ln =x x ， 00000000011()(1)ln 1(1)1()0=---=---=-+<f x x x x x x x x x ， 22221113()(1)(2)110=----=->f e e e e，2222()2(1)130=---=->f e e e e ， 所以函数()f x 在0(0,)x 上，0(,)+∞x 上分别有一个零点.设12()()0==f x f x ，(1)20=-<f ，则1021<<<x x x ，有1111111(1)ln 10ln 1+---=⇒=-x x x x x x ， 2222221(1)ln 10ln 1+---=⇒=-x x x x x x ， 设1()ln 1+=--x h x x x ，当0,1<≠x x 时，恒有1()()0+=h x h x， 则12()()0+=h x h x 时，有121=x x .22.答案：（1）0ρ=l 的极坐标方程：sin()26πρθ+=；（2）P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 解析：（1）当03πθ=时，00=4sin 4sin 3πρθ==以O 为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有M ，(4,0)A，OM k =，则直线l的斜率3k =-，由点斜式可得直线l：(4)3y x =--，化成极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）∵l OM ⊥∴2OPA π∠=，则P 点的轨迹为以OA 为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，化成极坐标方程为=4cos ρθ，又P 在线段OM 上，由4sin 4cos ρθρθ=⎧⎨=⎩可得4πθ=，∴P 点轨迹的极坐标方程为=4cos ρθ(,)42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 23.答案（1）看解析（2）看解析解答：（1）当1a =时，22242(2),()12(1)22(12),242(1).x x x f x x x x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-+--=-<<⎨⎪-+-≤⎩所以不等式()0f x <等价于224202x x x ⎧-+<⎨≥⎩或22012x x -<⎧⎨<<⎩或224201x x x ⎧-+-<⎨≤⎩解得不等式的解集为{}2x x <。
广东省广州市2019届高三普通高中毕业班综合测试(二)数学试题(文)(解析版)
广东省广州市2019届高三普通高中毕业班综合测试（二）数学试题（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,则=（）A. {0,1,3,5}B. {0,2,4,6}C. {1,3,5}D. {2,4}『答案』D『解析』因为,所以,故选D.2.已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.『答案』B『解析』，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，所以的取值范围是，故选B.3.某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（）A. 96B. 72C. 48D. 36『答案』B『解析』由题意得选B.4.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 24『答案』B『解析』运行第一次，，，；运行第二次，，，；运行第三次，，；运行第四次，，不满足，停止运行，所以输出的的值是，故选B．5.从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为（）A. B. C. D.『答案』A『解析』采用间接法，至少有1名女生的对立事件是没有女生，所以，故选A.6.函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（）A. B.C. D.『答案』B『解析』由图可知：，所以，，所以，，由图可知，图象过点，所以，所以，所以，因为，令，可得，所以函数解析式为：，故选B.7.设等比数列的前n项和为，则下列等式中一定成立的是（）A. B.C. D.『答案』D『解析』对于选项A，当时，不成立；对于选项B，当时，不成立；对于选项C，当时，不成立；对于选项D，当公比时，成立；当公比时，，，..，所以，故选D.8.已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.『答案』B『解析』双曲线的渐近线方程为：，由其渐近线方程为，可得，即，所以，可得，故选B.9.一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（）A. B. C. D.『答案』D『解析』设圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的母线长为，所以圆锥的体积为，所以，因为圆锥的侧面积，设，所以，所以当时，，，此时单调递增，当时，，，此时单调递减，所以当，取得最小值，即圆锥的侧面积取得最小值，所以，所以圆锥的母线与底面所成角的正切值为，故选D.10.设，且1是一元二次方程的一个实根，则的取值范围为（）A. B. C. D.『答案』C『解析』又因为1是一元二次方程的一个实根，所以有，且，所以，所以，所以排除A、B两项，当时，，所以，此时，当时，，此时，当时，，所以，此时，所以，故选C.11.在三棱锥中..，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.『答案』B『解析』因为，由余弦定理可求得，再由正弦定理可求得的外接圆的半径，因为，所以P在底面上的射影为的外心D，且，设其外接球的半径为，则有，解得，所以其表面积为，故选B.12.已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.『答案』C『解析』若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在上有解，即在上有解，令，则，所以当时，，当时，，所以函数上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，所以的值域为，所以的取值范围是，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=__________『答案』.『解析』因为，所以，所以.故填.14.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.『答案』『解析』设此等差数列{a n}，公差为d，则（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，故答案为：．15.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.『答案』『解析』，由题意得，在上恒成立，即在上恒成立，因为的最大值为，所以的取值范围是，故答案是：.16.己知点P在直线上，点Q在直线，的中点为，且，则的取值范围是____．『答案』.『解析』设，则，两式相加可得,由于的中点为,所以.设，则代入上式可得.因为，所以，解之得.故填.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17.中角，，的对边分别为，，，己如.（1）求的值：（2）若，，求的面积.解：（1）因为，所以．化简得．即．因在中，，则．从而．由正弦定理，得．所以．（2）由（1）知，且，所以．因为，所以．即．所以．所以．所以△的面积为．18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，且，.（1）求证：：（2）求点到平面的距离.（1）证明：取的中点，连结，，，因为底面为菱形，，所以．因为为的中点，所以．在△中，，为的中点，所以．因为，所以平面．因为平面，所以．（2）解：解法1：在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．在△中，，，，因为，所以．『6-7分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．』由（1）有，且，平面，平面，所以平面．在△中，由（1）证得，且，所以．因为，所以．在△中，，，所以．设点到平面的距离为，因为，即．所以．所以点到平面的距离为．解法2：因为，平面，平面，所以平面．所以点到平面的距离等于点到平面的距离．过点作于点．由（1）证得平面，且，所以平面．因为平面，所以．因为，平面，平面，所以平面．在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．在△中，，，，因为，所以．『9-10分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．』在△中，根据等面积关系得．所以．所以点到平面的距离为．19.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1)根据上表中的样本数据及其散点图： (i )求;(ii )计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度． (2)若y 关于x 的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。
【精品解析】湖北省部分重点中学2019届高三第二次联考数学(文科)试题(附解析)
湖北省部分重点中学2019届高三第二次联考高三数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则以下正确的结论是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式得到集合，然后对每个选项分别进行判断即可得到正确的结论．【详解】由题意得，．所以，．故选B．【点睛】本题考查集合的交集和并集运算，解题的关键是通过解不等式得到集合，考查计算能力，属于基础题．2.已知复数满足为虚数单位），则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，则：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查复数的模的求解，复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. （2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，8【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，选C.考点：茎叶图4. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，，故选B．考点：圆锥的体积公式．5.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义求出和，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．【详解】∵角终边过点，∴，∴．故选D．【点睛】解答本题的关键是根据三角函数的定义求出和，容易出现的问题是运用公式时符号出现错误，属于简单题．6.设双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意得双曲线的渐近线方程为，于是可得，故，从而双曲线方程为，然后再根据双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同得到，进而可得所求方程．【详解】由题意得双曲线的渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线方程为，∴，故，∴双曲线方程为，∴双曲线的右焦点坐标为．又抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，∴，∴双曲线的方程为．故选B．【点睛】已知双曲线的标准方程求渐近线方程时，只需把标准方程中等号右边的1换为零，再求出y与x间的关系即可．解答本题的关键是根据题中的关系得到方程中的待定系数，考查对双曲线基本性质的理解和运用，属于基础题．7.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图、侧视图、俯视图都是直角三角形，则该三棱锥最长的棱长为（）A. 7B.C. 3D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图画出三棱锥的直观图，再根据题中的数据求出三棱锥的所有的棱长后可得结论．【详解】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥，其中底面三角形是直角三角形，两直角边分别为，底面，且．结合图形可得最长的棱为．故选B．【点睛】解答类似问题的关键是根据三视图得到几何体的直观图，解题时要综合三个视图进行考虑，熟记常见几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题．8.已知函数，若函数是奇函数，则曲线在点处的切线方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数是奇函数可求得，所以，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而得到切线的方程．【详解】由题意得，∴函数为奇函数，∴，∴．∴，∴，∴，又，∴所求切线方程为，即．故选B．【点睛】本题考查导数的几何意义，解答本题的关键是求出函数的解析式，解题时注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别，其中“曲线在点P处的切线”说明点P在曲线上且点P为切点，此时可根据导函数的函数值及直线的点斜式方程求出切线方程即可．9.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的是（）A. 是奇函数B. 的周期是C. 的图像关于直线对称D. 的图像关于点对称【答案】D【解析】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，可得函数是偶函数且周期为，所以选项A、B错误，又，所以选项D正确，故选D. 10.在长方体中，，为底面矩形两条对角线的交点，若异面直线与所成的角为，则长方体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，取的中点，由题意得异面直线与所成的角为，结合题中的数据求出长方体的高，然后可求出长方体的体积．【详解】如图，取的中点，连，则有∥，且，所以即为异面直线与所成的角，所以．在直角三角形中，，故在直角三角形中，，所以长方体的体积为．故选A．【点睛】本题考查长方体体积的求法，解题的关键是求出长方体的高，在求高的过程中，通过异面直线所成角的定义作出两直线所成的角，再通过解三角形的知识求解，考查转化和计算能力，属于基础题．11.已知边长为2的等边中，向量满足，，则下列式子错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，在等边中，，然后对给出的四个选项分别进行验证后可得错误的结论．【详解】画出图形如图所示，由题意可得．对于A，由于，所以A正确．对于B，由题意得，所以B正确．对于C，由图形可得，所以C不正确．对于D，由选项C可得，所以，所以D正确．故选C．【点睛】用定义进行向量的数量积运算时一定要结合图形进行求解，容易出现的问题是把向量的夹角判断错误，考查数形结合在解题中的应用及计算能力，属于中档题．12.已知的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设三角形的三边分别为，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到的值，于是可得最小角的余弦值．【详解】由题意，设的三边长分别为，对应的三角分别为，由正弦定理得，所以．又根据余弦定理的推论得．所以，解得，所以，即最小角的余弦值为．故选A．【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】根据被开方式为非负数得到对数不等式，解对数不等式可得定义域．【详解】要使函数有意义，需满足，即，解得，所以函数的定义域为．故答案为．【点睛】本题考查函数定义域的求法，解题的关键是正确解对数不等式，属于容易题．14.已知满足约束条件，则的最大值为__________．【答案】10【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，由得，平移直线，根据的几何意义求出最优解，进而得到所求的最大值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．由，解得，故点A的坐标为，所以．故答案为．【点睛】用线性规划求目标函数的最值体现了数形结合在数学中的应用，解题时要先判断出目标函数中的几何意义，然后再结合图形求解，常见的类型有截距型、斜率型和距离型三种，其中解题的关键是正确画出不等式组表示的可行域．15.已知函数，若关于的方程有两个不相同的实数根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意得方程有两个不同的实数根，从而得到函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，画出函数的图象后结合图象求解即可．【详解】由题意得方程有两个不同的实数根，从而函数的图象与函数的图象有两个不同的交点．画出函数的图象，如图所示．结合图象可得，要使函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，则需满足，所以实数的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查根据方程根的个数求参数的取值范围，解题时注意将问题转化为两函数图象公共点个数的问题求解，解题的关键是画出函数的图象，然后再借助图象求解，体现了数形结合的应用．16.已知为原点，过点的直线与圆相交于两点，若的面积为2，则直线的方程为__________．【答案】x=1或5x+12y+13=0【解析】【分析】分直线的斜率存在与不存在两种情况，求出弦长和圆心到直线的距离，再结合三角形的面积可求出直线的方程．【详解】①当直线的斜率不存在时，直线方程为，则圆心到直线的距离为1，所以,故，所以直线满足题意．②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离，故，因为，所以，整理得，解得或．当时，则，解得；当时，则，此方程无解．故直线方程为，即．综上可得所求直线方程为或．故答案为或．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系及圆的弦长的求法，解题时容易出现的错误是忽视过点P的直线斜率不存在的情况，另外本题中由于涉及到大量的计算，所以在解题中要注意计算的合理性和准确性．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的前项和，满足，记.（1）求；（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（3）求数列的通项公式.【答案】(1)；（2）见解析；（3） .【解析】【分析】（1）由可求出，然后根据得到，进而可得，于是可得．（2）根据等比数列的定义进行证明即可得到答案．（3）先求出数列的通项公式，然后根据可得数列的通项公式．【详解】（1）令，则，故．∵，∴，∴，∴．∴，∴．（2）数列是等比数列．证明如下：∵，∴，又，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．（3）由（2）知，又，∴．【点睛】（1）证明数列为等比数列时，不要忘了说明数列中不存在零项，为解决这一问题，只需验证数列的首项不为零即可．（2）数列的有关运算时一般需要化为数列的基本量（首项和公差或首项和公比）的问题来处理，解题时注意通项公式和前n项和公式的灵活利用．18.如图，在四棱锥中，已知是等边三角形，平面，，，点为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】（1）取BC的中点Q，连MQ与DQ，可证得四边形为平行四边形，故，根据线面平行的判定定理可得结论成立．（2）取AB的中点N，连接AN，根据条件可得到平面，且四边形为直角梯形，即确定了三棱锥的高和底面，然后利用可得所求体积．【详解】（1）证明：取PC的中点Q，连接MQ与DQ，∵为的中位线，∴，且．又，∴,且．∴四边形为平行四边形，∴．又平面，平面，∴平面．（2）取AB的中点N，连接AN，∵为等边三角形，∴．∵平面，平面，∴平面平面．又平面平面，∴平面．∵∴四边形为直角梯形，∵，∴．【点睛】在证明空间中的线面关系时，要注意证明过程的完整性，对于判定、性质定理中的关键词语，在解题过程中要用符号加以表示，这是解题中容易出现的问题．另外，求三棱锥的体积时往往要结合等积法求解，即转化为便于求体积的三棱锥的体积求解．19.2018年11月21日，意大利奢侈品牌“﹠”在广告中涉嫌辱华，中国明星纷纷站出来抵制该品牌，随后京东、天猫、唯品会等中国电商平台全线下架了该品牌商品，当天有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图；并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为“一般关注”，对这100名网友进一步统计得到列联表的部分数据如下表.（1）在答题卡上补全列联表中数据；并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？（2）现已从“强烈关注”的网友中按性别分层抽样选取了5人，再从这5人中选取2人，求这2人中至少有1名女性的概率.参考公式及数据：，【答案】（1）没有的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关；（2） .【解析】【分析】（1）根据题意得到列联表，然后根据题中数据求出的值，最后根据临界值表中的数据得到结论．（2）由题意得到所选的5人中的男性、女性的个数，然后通过列举法得到所有的基本事件个数及至少有一名女性包含的事件的个数，最后根据古典概型概率公式求解即可．【详解】（1）由题意得列联表如下：由表中数据可得，所以没有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关．(2)从“强烈关注”的网友所选的5人中，男性人数为人，分别记为，女性人数为人，分别记为．从这5人中任选2人的所有结果为：，共10种，且它们是等可能的，其中至少有一名女性网友的结果为：，共7种，所以所求概率为．即这2人中至少有1名女性的概率．【点睛】解题时注意临界值表中数据的意义及其用法：①查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的k值与求得的K2相比较．②表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性p，所以其有关联的可能性为1－p．20.已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求实数的取值范围.【答案】(1) ；（2）.【解析】【分析】（1）根据离心率得到，由的面积的最大值为得到，再结合椭圆中求出参数的值后可得方程．（2）将直线方程代入椭圆方程消去y得到关于x的二次方程，结合根据系数的关系求出线段的中点的坐标，由得，进而有，并由此得到，最后根据基本不等式得到所求范围．【详解】（1）由题意得，解得．∴椭圆的方程为．（2）由消去y整理得，且．设，线段的中点为，则．∴，∴．∵在轴上存在点，使得，∴，∴，即，∴．∵，∴，当且仅当且，即时等号成立．∴，故．∴实数的取值范围为．【点睛】（1）在解决圆锥曲线的有关问题时要注意平面几何图形性质的运用，如在本题中根据得到，即将等腰三角形的问题转化为垂直问题．（2）解决最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式，然后再结合基本不等式或函数的知识求出这个式子的最值或范围即可．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，注意变形、换元等方法的利用．21.设函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，进而得到函数的单调性，然后可得函数的极值．（2）通过对参数的讨论得到函数的单调性，进而得到函数的最大值，然后将恒成立问题转化为，解不等式可得所求范围．【详解】（1）当时，，∴．由得．当变化时，的变化情况如下表：由表知，当时，函数取得极大值，且极大值为，无极小值．（2）由题意得．①当时，则，∴函数在上单调递增，又，∴对任意，不恒成立．②当时，则当时，单调递增；当时，单调递减．∴当时，函数取得极大值，也为最大值，且．∵不等式对任意恒成立，∴，解得．综上可得实数的取值范围为．【点睛】（1）用导数研究函数的性质时，单调性是解题的工具，由单调性可得函数的极值、最值，进而得到函数的大体图象，为解决问题提供了直观性．（2）解决函数中的恒成立问题时，可转化为函数的最值问题求解，解题时首先得到函数的最值，再结合题意求解即可．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，以极点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；（2）若过点且倾斜角为的直线，点为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离.【答案】（1）；(2) .【解析】【分析】（1）根据极坐标和直角坐标间的互化公式求解即可得到结论．（2）转化为直角坐标求解，设点的坐标，然后根据点到直线的距离求解，再结合二次函数得到所求最小值．【详解】（1）由得，把代入上式得，∴曲线的直角坐标方程为．设点的直角坐标为，则，∴点的直角坐标为．（2）由题意得直线的方程为，即．设点，则点到直线的距离为，故当时，有最小值，且．∴点到直线的最小距离为．【点睛】解答本题的关键是根据极坐标和直角坐标间的互化公式求解，在解决与极坐标或参数方程有关的问题时，常用的方法是转化为直角坐标求解，考查转化和计算能力，属于基础题．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集包含集合，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）-1【解析】【详解】（1）当时，，所以不等式即为，等价于或或，即或或，解得或或，∴，∴原不等式的解集为．（2）∵不等式的解集包含集合，∴当时，不等式恒成立，即对恒成立，∴对恒成立，∴对恒成立．又当时，∴．∴实数的取值范围为．【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时，常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号，转化为不等式组求解．解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解，然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理．- 21 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019届高三优生精品卷（二）数学（文科）试卷本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．满足{2018}A ⊆ {2018,2019,20的集合A 的个数为A . 1B . 2C . 3D . 42．复数2i1i--在复平面内对应的点位于 A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为6的奇函数，且满足(1)1f =，(2)3f =，则(8)(5)f f -=A . 4-B . 2-C . 2D . 44．漳州某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、丁4名志愿者，随机安排2人到A 展区，另2人到B 展区维持秩序，则甲、乙两人同时被安排到A 展区的概率为 A .112B .16C .13D .125．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若57S =，1021S =，则=15S A . 35B . 42C . 49D . 636．已知实数y x ,满足20,270,1,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥则y x 32+的最大值为A . 1B . 11C . 13D . 177．为了得到函数1sin cos 22+-=x x y 的图象，只需将函数2)cos (sin x x y +=的图象A . 向右平移2π个单位长度 B . 向右平移4π个单位长度 C . 向左平移2π个单位长度 D . 向左平移4π个单位长度8．执行如图所示的程序框图，若输入64=x ，则输出的结果为 A . 2 B . 3 C . 4 D . 59．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则这个几何体的体积可能是A . 383π2+B . 38π2+C . 8π2+D . 8π8+10．函数x x x y sin 11ln +⎪⎭⎫⎝⎛+-=的图象大致为11．在直三棱柱ABC C B A -111中，311=B A ，411=C B ，511=C A ，21=AA ，则其外接球与内切球的表面积之比为 A .429B .219 C .229 D . 2912．已知直线012:=+--k y kx l 与椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 交于A 、B 两点，与圆1)1()2(:222=-+-y x C 交于C 、D 两点．若存在]1,2[--∈k ，使得=，则椭圆1C 的离心率的取值范围是 A . ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0B . ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21C . ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 D . ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知a ()1,3=-，b ()1,t =，若()2-⊥a b a ，则a 与b 的夹角为 ． 14．已知双曲线的渐近线方程为043=±y x ，焦点坐标为()5,0±，则双曲线的方程为____. 15．已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，()322f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______________.16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AB DB AC 41==，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列记第n 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为n S ，现给出有关数列}{n S 的四个命题：①数列}{n S 是等比数列； ②数列}{n S 是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有2018>n S ； ④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有2018<n S ． 其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.三．解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）在ABC △中，60C =︒，2BC AC ==（1）求证：ABC △是直角三角形；（2）若点D 在BC 边上，且sin BAD ∠=CD ．18．（12分）如图1所示，在梯形BCDE 中，DE //BC ，且12DE BC =，90C ∠=︒，分别延长两腰交于点A ，点F 为线段CD 上的一点，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2所示．（1）求证：1A F BE ⊥；（2）若6BC =，8AC =，四棱锥1A BCDE -的体积为求四棱锥1A BCDE -的表面积.19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：记x 表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y 表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的维修服务次数. （1）若n =10，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求“维修次数不大于n ”的频率不小于0.8，求n 的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？20．(12分)已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，且)0,(q Q ，)1,41(-M ，)4,(n N 三点中恰有两点在抛物线C 上，另一点是抛物线C 的焦点．（1）求证：Q 、M 、N 三点共线；（2）若直线l 过抛物线C 的焦点且与抛物线C 交于A 、B 两点，点A 到x 轴的距离为1d ，点B 到y 轴的距离为2d ，求4212d d +的最小值．21．（12分）已知函数()2ln f x x x ax =+-.（1）若0a >，求函数()f x 的极值点；（2）若3a ≥，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <， 求证：()()12f x f x -3ln 24≥-.（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分。
22．[选修44-：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 下，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin ,cos ααt y t x （t 为参数，且0t ≥，2π0<<α）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为θρcos 2r =，常数0>r ，曲线2C 与曲线1C ，3C 的异于O 的交点分别为A ，B ．（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程； （2）若||||OB OA +的最大值为6，求r 的值．23．[选修45-：不等式选讲]（10分） 设函数)0(|||12|)(>-++=a a x x x f ． （1）当2=a 时,求不等式8)(>x f 的解集； （2）若R x ∃∈，使得3()2f x ≤成立，求实数a 的取值范围．文科数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．C 2．A 3．D 4． B 5． C 6． C 7．D 8．C 9．B 10．A 11．A 12．C 二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共20分。
13．π4 14．191622=-y x 15．740x y --= 16．②④ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（1）在ABC △中，60C =︒，BC =AC =，由余弦定理，得2222cos 9AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅= ···································· 2分 所以3AB =， ·················································································································· 3分所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥， ······························································ 5分所以90A =︒，所以ABC △是直角三角形． ······························································· 6分（2）设BAD α∠=，则sin α=90DAC α∠=︒-，090α︒<<︒，所以sin sin(90)cos DAC αα∠=︒-==，······················································ 8分 在ACD △中，180180(90)6030ADC DAC C αα∠=︒-∠-=︒-︒--︒=+︒，sin sin(30)ADC α∠=+︒sin cos30cos sin30αα=︒+︒17214=+⨯=， ························································ 10分由正弦定理得，sin sin CD ACDAC ADC=∠∠，所以sin sin 3AC DAC CD ADC ⋅∠==∠ ··············································································· 12分 18．（1）证明：因为∠C ＝90°，即AC ⊥BC ，且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC ，则DE ⊥DC ，DE ⊥DA 1，·······················又因为DC ∩DA 1＝D ，所以DE ⊥平面A 1DC . ············································ 3分 因为A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F . ························································ 4分 又因为A 1F ⊥CD ，CD ∩DE ＝D ，所以A 1F ⊥平面BCDE ， ······································· 5分 又因为BE ⊂平面BCDE ，所以A 1F ⊥BE ． ··················································································································· 6分 （2）解：由已知DE ∥BC ，且DE ＝12BC ，得D ，E 分别为AC ，AB 的中点，在Rt △ABC 中，10AB =，则A 1E ＝EB ＝5，A 1D ＝DC ＝4，则梯形BCDE 的面积S 1＝12×(6＋3)×4＝18， ···································································· 7分 四棱锥A 1—BCDE 的体积为V ＝13×18×A 1F ＝123，即A 1F ＝23， ······························ 8分 在Rt △A 1DF 中，2DF ==，即F 是CD 的中点，所以A 1C ＝A 1D ＝4，因为DE ∥BC ，DE ⊥平面A 1DC ，所以BC ⊥平面A 1DC ，所以BC ⊥A 1C ，所以1A B ==在等腰△A 1BE 中，底边A 1B = ·································· 10分 所以四棱锥A 1—BCDE 的表面积为 S ＝S 1＋1A DE S △＋1A DC S △＋1A BC S △＋1A BE S △＝18＋12×3×4＋12×4×23＋12×6×4＋12×213×23＝36＋43＋239． ···················· 12分19．解：（1）2001050,10,25010500(10),10,x x y x x ⨯+⎧=⎨⨯+->⎩≤即502000,10,5002500,10,x x y x x +⎧=⎨->⎩≤N x ∈． ·········································································· 4分（2）因为 “维修次数不大于10”的频率1020300.60.8100++=<=， ············· 5分“维修次数不大于11”的频率=102030300.90.8100+++=≥， ······························· 6分所以若要求“维修次数不大于n ”的频率不小于0.8，则n 的最小值为11． ·········· 7分 （3）若每台都购买10次维修服务，则有下表：此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1001035003030003025002024501024001y 2730（元） ············ 9分此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1001032503027503027002026501026002y 2750（元） ········· 11分因为21y y <，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务． ····························· 12分20．（1）证明：由条件，可知)1,41(-M ，)4,(n N 在抛物线C 上，)0,(q Q 是抛物线C 的焦点．所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⋅=-,2,24,412)1(22p q pn p 解得⎪⎩⎪⎨⎧===,4,1,2n q p ··········································································· 3分所以)0,1(Q ，)1,41(-M ，)4,4(N ， 所以3414101=---=QMk ，341404=--=QN k ，所以QN QM k k =， ······························ 5分 所以Q 、M 、N 三点共线． ··························································································· 6分（2）解：由条件可知0≠l k ，可设1:+=my x l ，代入2:4C y x =，得0442=--my y ，······································································ 7分016162>+=∆m ，解得R m ∈．设),(11y x A ，),(22y x B ，则124y y =-， ···································································· 8分所以4212d d+44242121816y y x y =+=+==≥， ··························· 10分 当且仅当442116y y =，即12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩4212min ()8d d += ··············· 12分 21．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，()221'x ax f x x-+=， ·································· 1分①若0a <≤，则280a ∆=-≤，所以当0x >时，()221'0x ax f x x-+=≥， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 无极值点． ········································································································ 3分②若a >0∆>，由()'0f x =得1x =，2x =.当x 的值变化时，()'f x ，()f x 的值的变化情况如下：所以()f x有极大值点1x =，极小值点2x =． ················· 6分（2）由（1）及条件可知104a x <==12=， ········································ 7分且122a x x +=,1212x x =,即2112x x =,1112a x x =+， ·············································· 8分 所以()()12f x f x -22111222ln ln x x ax x x ax =+---+2112112ln ln 24x x x =+-+, ········································································································································· 10分记()2212ln ln 24g x x x x =+-+,10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 因为当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()321'22g x x x x =--()2232102x x--=<，所以()g x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减， ················································································ 11分因为1102x <≤， 所以()113()ln 224g x g =-≥，即()()123ln 24f x f x --≥. ·································· 12分 22．解：（1）由cos ,1sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩得1)1(22=-+y x ，即0222=-+y y x ，所以0sin 22=-θρρ，所以曲线1C 的极坐标方程为θρsin 2=． ····································································· 3分 曲线2C 的极坐标方程为αθ=． ····················································································· 5分 （2）由条件，有αsin 2||=OA ，αcos 2||r OB =， ·················································· 6分所以||||OB OA+2sin 2cos )r αααβ=+=+，其中tan 0r β=>，π(0,)2β∈． ··················································································· 8分 因为)2,0(πα∈，所以π(,)2αβββ+∈+， 所以当π2αβ+=时，2max 12|)||(|r OB OA +=+． ············································ 9分 因为||||OB OA +的最大值为6，所以6122=+r ，又0>r ，所以22=r ． ······························································································ 10分23．解：（1）当2a =时，()8f x >⇔|21||2|8x x ++->⇔2,318,x x ⎧⎨->⎩≥或12,238,x x ⎧-<<⎪⎨⎪+>⎩或1,2318x x ⎧-⎪⎨⎪-+>⎩≤ ·························································· 3分 3x ⇔>或x ∈∅或73x <- 3x ⇔>或73x <-， 所以原不等式解集为7(,)(3,)3-∞-+∞． ··································································· 5分 （2）因为R x ∃∈，使得3()2f x ≤成立，所以min 3()2f x ≤， ································ 6分 因为31,,1()1,,2131,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪+-⎪⎪=++-<<⎨⎪⎪--+-⎪⎩≥≤所以()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增， ································ 8分 所以min 11()()22f x f a =-=+，所以1322a +≤，所以1a ≤，又0a >，所以实数a 的取值范围(0,1]．····································································· 10分。