压杆的临界应力
材料力学10压杆稳定_1欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F
F
2 1
0.7
压杆两端固定可轴向移动：
0.5
6
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l
2
说明： 1）欧拉公式的适用范围：线弹性（ ≤ p）
2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下（即各个方向上 的 相等），I 应取最小值 3） l 称为压杆的相当长度
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
hb3 1 Iy 90 403 48 108 m 4 12 12
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π 2 EI y l
2
23.8 kN
11
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。
工程力学28-压杆的临界应力
——重点
（1） P cr S时： cr 临界a应力总b图
cr
a b
s
a s b
s
s p称为中柔度杆，用经验公式求其临界应力。
（2） S 时： cr S
S 称为小柔度杆，其临界应力为屈服极限。
目录
4
总结：
•压杆柔度
l μ的四种取值情况
i
i
I A
•临界柔度
P
2E P
9-
与长度、截面性质、约束条件有关
目录
4
2
2.欧拉公式的适用范围 着眼点——临界应力在线弹性内（小于比例极限）
cr
2E 2
P
2E P
P
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用欧拉公式求临界力。
3 目录
3.经验公式、临界应力总图
直线型经验公式
32. 压杆的临界应力
1.临界应力和柔度
（1）临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力
Fcr cr A （2）细长压杆的临界应力：
cr
Fcr A
2EI (E 2
即： cr
（3）柔度：
l i
2E 2
i I — 惯性半径
A
— —杆的柔度（或长细比）
P 比例极限
•临界应力
s
a s b
s 屈服极限
P
(大柔度杆) cr
2E 2
欧拉公式
S P (中柔度杆)cr a b直线公式
s (小柔度杆) cr s 强度问题
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
S
P
2、抛物线型经验公式
在工程实际中，对于中、小柔度压杆的临界应力计 算，也有建议采用抛物线型经验公式的，此公式为
cr a1 b12
式中 a1 、b1 与是与材料
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
定计算中的一个重要综合参数。
• 如果压杆在不同的纵向平面内具有不同的柔度值， 由于压杆失稳首先发生在柔度最大的纵向平面内。 因此，压杆的临界应力应按柔度的最大值计算。
二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是在材料符合胡克定律条件下，即在线弹
性范围内，推导出来的。因此只有当cr p 时欧拉
公式才适用，即
临界应力形式 的欧拉公式
临界应力形式 的欧拉公式
cr
2E 2
式中柔度 是一个无量纲的量，它综合反映了压杆
的长度 l 、杆端的约束以及截面尺寸对临界应力 cr
的影响。对于一定材料的压杆，其临界应力仅与柔
度 有关， 值越大，则压杆越细长，临界应力 cr 值也越小，压杆越容易失稳。所以柔度 是压杆稳
cr
2E 2
p
或
P
E
P
大柔度杆或细长杆：对于结构钢的 p 2108 Pa、 E 21011Pa，则由上式可算得欧拉公式的适用
范围为 100；同理对于铸铁，欧拉公式的适用 范围为 80 。这类杆称为大柔度杆或细长杆。
三、经验公式
若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再
cr a1 b12
cr
2E 2
压杆临界力的计算公式
压杆临界力的计算公式1.欧拉公式：欧拉公式是压杆稳定性分析中最常用的一种方法。
根据欧拉公式，压杆的临界力可以通过以下公式计算：Pcr = ((π^2)EI) / ((KL)^2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度。
欧拉公式适用于较细长的压杆，在其它条件相同的情况下，杆的截面越大，临界力就越大；杆的长度越长，临界力就越小。
同时，欧拉公式适用于直线变形的杆，不能用于弯曲变形。
2.莱昂哈德公式：莱昂哈德公式是考虑了杆的端部支座的影响，在欧拉公式的基础上进行修正的公式。
该公式计算压杆的临界力如下：Pcr = ((KLEI) / (r + ((2L)/π)) ^ 2)其中，Pcr表示压杆的临界力，E表示材料的弹性模量，I表示压杆的截面面积惯性矩，K表示杆的端部支座的系数，L表示杆的长度，r表示杆的端部支座的半径。
3. Adomian分解法：Adomian分解法是一种近似求解非线性微分方程的方法，在压杆临界力的计算中也有应用。
该方法通过将非线性方程分解为无穷级数的形式，然后将其逐级近似求解。
Adomian分解法的具体步骤如下：-(1)将压杆的平衡方程进行分解：Mx''(x)+f(x)=0，其中，M表示压杆的弯矩，f(x)表示外力。
-(2)将平衡方程表示为无穷级数的形式：x''(x)=∑An(x)。
-(3)通过逐级近似求解无穷级数，得到压杆临界力。
Adomian分解法的优点是可以处理非线性问题，但是在具体应用中需要取不同级数的项进行求解，并选择适当的近似方法。
4.极限平衡法：极限平衡法是一种通过平衡条件来确定压杆临界力的方法，它适用于复杂的压杆分析问题。
该方法的基本思想是，在压杆失稳之前，杆的初始形状必须满足平衡条件。
具体步骤如下：-(1)假设杆的初始形状（如弯曲、扭转等）。
-(2)根据平衡条件计算外力和内力。
怎样推导压杆的临界力和临界应力公式
怎样推导压杆的临界力和临界应力公式压杆（也称为压杆杆件或柱件）是一种承受压力的结构元素，常见于建筑、机械以及其他工程领域。
为了确定压杆在受力时的安全性，需要推导出压杆的临界力和临界应力公式。
首先，需要理解压杆在受力时的基本概念。
假设有一根长度为L、截面积为A的无限细长压杆，其两端受到等大反向的压力P。
压杆在受到压力时会发生弯曲，压杆的形状会发生改变。
当压力达到一定临界值时，压杆将完全失去稳定，从而发生屈曲（即压杆产生弯曲形变）。
临界力和临界应力是指当压力达到一定临界值时，压杆发生屈曲的压力和应力。
推导过程如下：1. 经典欧拉公式（Euler公式）欧拉公式是分析以柱轴为边界的理想无限长压杆屈曲的基本公式。
该公式基于以下假设：-压杆是均质、各向同性的杆件；-杆件的材料性质可用弹性线性理论描述；-压杆长度远大于其最小截面尺寸，即L>>d(d为压杆的最小截面尺寸)。
欧拉公式表达式如下：Pcr = (π²EI) / L²其中，Pcr为压杆的临界力，E为杨氏模量，I为压杆截面的惯性矩，L为压杆长度。
2. 完整欧拉公式（Timoshenko-Bazant公式）欧拉公式只适用于边界条件为完全铰接（即不受弯曲力矩）的压杆。
然而，在实际情况中，压杆的边界条件一般为受到端部弯曲力矩的约束。
在这种情况下，完整欧拉公式（Timoshenko-Bazant公式）需要被使用。
完整欧拉公式修正了边界条件的影响，并考虑到了剪切变形和截面的非对称性。
完整欧拉公式的表达式如下：Pcr = (π²EI) / [L²(1 + αL / r)^²]其中，α为修正系数，考虑了压杆的边界条件，r为截面回转半径。
3.临界应力临界应力的定义是在压杆屈曲时，杆件中最大的应力值。
根据杆件截面受到均匀分布的压力P，应力σ可以表示为：σ=P/A将欧拉公式（或完整欧拉公式）中的临界力Pcr代入上述表达式可得到临界应力的表达式。
第十章压杆稳定 第4节 临界应力的经验公式
查表得 a = 461 MPa、b = 2.568 MPa 临界应力 临界力
cr a bz 461 2.567 64.7 294.9 MPa
Fcr cr A 162.7 kN
3）由于连杆在 x-y、x-z 两个平面内的柔度 z = 64.7、y = 57.4 比 较接近，故该连杆横截面的设计较为合理。
iy
Iy A
14100 5.05 mm 552
y
y l2
iy
0.5 580 57.4 11.6
因为λz = 64.7 >λy ，故连杆将在 x-y 平面内失稳。
2）计算临界力 由优质碳钢 s = 306 MPa，查表得
p 100
s 60
由于 s < z < p ，连杆属于中长杆，故采用直线公式计算临界力
此时，立柱为中柔度杆，应用直线公式计算临界力
由表 10-2 查得 a = 304 MPa，b = 1.12 MPa 临界应力 临界力
cr a b 304 1.12 75 220 MPa
Fcr cr A 220 48.541 1068 kN
[例2] 图示连杆，已知材料为优质碳钢，弹性模量 E = 210 GPa，屈服 极限 s = 306 MPa。试确定该连杆的临界力Fcr ，并说明横截面的设计 是否合理。 解： 由于连杆在两
个方向上的约束情
况不同，故应分别 计算连杆在两个纵 向对称平面内的柔 度，柔度大的那个 平面为失稳平面。
1）计算柔度 在 x-y 平面（弯曲中性轴为 z 轴）： 两端铰支
z = 1
l1 = 750 mm
A 24 12 2 6 22 552 mm2
压杆的临界应力
一、欧拉临界应力公式及使用范围
1.临界应力：临界压力除以压杆横截面面积得到的压应力， 称为临界应力，用slj (scr)表示；
s = —— slj=
—P—lj
=
p2EI
———
A (l)2 A
p2E slj= ———
(l/i)2
lj
p2E
l2
式中， ① i I —横截面对微弯中性轴的惯性半径； A
例4：图示结构，CF为铸铁圆杆，直径
d1=10cm，[s]=120MPa , E=120GPa。 BE为A3钢圆杆, 直径d2=5cm，
[s]=160MPa, E=200GPa, 如横梁视为刚
性，a＝2m，求许可荷载F。
A
解：1、结构为一次超静定求杆内力
MA 0:
2FNB4FNC6F0
E F
D BC
lp
p2200109
200106
100
用柔度表示的临界压力：
p 2E Fcr l2 • A
l≥lp——细长杆(大柔度杆)，
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适用。在工程 上，一般采用经验公式。在我国的设计手册和规范中给
出的是直线公式和抛物线公式。
二、中柔度杆临界应力的经验公式
1.ss>scr>sp时采用经验公式：
①直线公式：
scrabl
1)∵scr<ss，∴
ss abl
，得到：l0
a
ss
b
2) lp≥l≥l0—中粗杆(中柔度杆)；
3)对于A3钢： l0a bss 31 0. 12 4240 60
4）对于式中的系数a,b，下表给出了一些常用材料的数值。
工程力学第3节 欧拉公式及经验公式
Fcr 2 EI cr A ( l ) 2 A
令
i
I A
2 2 2 Ei E cr 2 l 2 ( l ) ( )
cr a1 b12
2 cr 2E
P
例11-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固 定、一端自由，如图所示，直径均为 d 100mm，皆 P 200 MPa， 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， a 304 MPa， S 235 MPa， b 1.12 MPa。试求各杆 的临界载荷。
cr a b S
a S S b
注意：仅当压杆的柔度 S时，才能用上式求解！ 例：对于 Q235 钢： S 235MPa ，a 304 MPa ，
b 1.12 MPa
a S 304 235 63 S 1.12 b
综述 （1）
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力 （2）S
cr 2E p
2
P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
cr a b
中柔度杆的 在 60 ~ 100 之间。实验指出，这种压 杆的破坏性质接近于大柔度杆，也有较明显的失稳 现象。
三、经验公式 若压杆的柔度 P，则这种压杆的临界力不能再 按欧拉公式计算。对于此类压杆，工程中通常采用 以实验结果为依据的经验公式来计算其临界应力。 1、直线型经验公式
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a
1和b
是与材料有关的常数，可从有关的手册中查到。
1
2、scr=sS时，不存在失稳问题，应考虑强度问题强度破
坏，采用强度公式：
scr s s
三、临界应力总图
例1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的细 长杆结构，各自的截面形状如图，求三根杆的临界应力 之比以及临界力之比。
解：
s cr a :s cr b :s cr c
②柔度(细长比)： l L
i
2.欧拉公式应用范围：
①线弹性状态下的大柔度杆：slj≤sp，即
p 2E l2
≤s
p
说明： 在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程，
在推导该方程时, 应用了胡克定律。因此，欧拉公式也 只有在满足胡克定律时才能适用。
∴
l≥
p 2E sp
lp
3.注意 对于A3钢，E=200GPa，sp=200MPa：
A
E BC
[FNC ] 245kN
F2
[Nc ] 1.36
180kN
a
a
F D a
10-5 提高压杆稳定性的措施
一、从材料方面考虑 1.细长压杆：提高弹性模量E
2.中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度ss
二、从柔度方面考虑 1.采用合理的截面形状： （1）各方向约束相同时：
1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I—采用空心截面； （2）压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等， 可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。
p2E
l
2 1
p2E : l22
p2E
:
l
2 3
i12 :i2 2 :i32
I1 : I2 : I3 A1 A2 A3
p d4
64
p d4
: 64
p d 4
2
:
64
p d2
4
d 2
2
4
pd2 pd2
p d2
2
4
44
4
1:1:5
Fcra:Fcrb:Fcrc s cra A1:s crb A2:s crc A3
表 10-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木
a(MPa) 304 461 578 9807 332.2 373 28.7
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
②抛物线公式： s cr a1 b1l2
lp
p 2 200109
200106 100
用柔度表示的临界压力：
Fcr
p 2E l2
A
l≥lp——细长杆(大柔度杆)，
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适用。在工程
上，一般采用经验公式。在我国的设计手册和规范中给
出的是直线公式和抛物线公式。
二、中柔度杆临界应力的经验公式
1.ss>scr>sp时采用经验公式：
①直线公式：
s cr a bl
1)∵scr<ss，∴ s s a bl
，得到：l0
a
ss
b
2) lp≥l≥l0—中粗杆(中柔度杆)；
3)对于A3钢：
l0
a ss
b
304 240 1.12
60
4）对于式中的系数a,b，下表给出了一些常用材料的数值。
E F
D BC
a
a
a
F
FNB
F
变形条件： BE
1 2
BC
A BC
D
FNc
由：
N 代入 EA
FNB 2
1
FNC 2
200109 3.14 0.052 2 120109 3.14 0.12
4
4
FNC 4.8FNB
E
代入第一式后求解得：
FNB 0.283 F , FNC 1.36 F
例3 ：托架，AB杆是圆管，外径D=50mm，内径d=40mm，两端为
球铰，材料为A3钢，E=206GPa,lp=100。若规定[nst]=3,试确 定许可荷载F。
解：一、分析受力 取CBD横梁研究
mc 0 NAB sin300 1500Q2000 0
1500 C 30o
§10-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及使用范围
1.临界应力：临界压力除以压杆横截面面积得到的压应力， 称为临界应力，用slj (scr)表示；
s = —— slj=
—pPA—2lEj I=
———
(l)2 A
p2E slj= ———
(l/i)2
lj
p2E
l2
式中， ① i I —横截面对微弯中性轴的惯性半径； A
1:2:20
例2：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。求可以用经验 公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算临界应力时的最小杆长。
F
解：l s
a ss
b
304 235 61.6
1.12
由
l
l
i
ls
得：
l
0.04
l
ls
i
61.6
4 0.7
0.88 m
例4：图示结构，CF为铸铁圆杆，直径
d1=10cm，[s]=120MPa , E=120GPa。 BE为A3钢圆杆, 直径d2=5cm，
[s]=160MPa, E=200GPa, 如横梁视为刚
性，a＝2m，求许可荷载F。
A
解：1、结构为一次超静定求杆内力
MA 0:
2FNB 4FNC 6F 0
目录
§10-4 压杆的稳定性计算
一、稳定性条件：
Fm a x
Fcr [nst ]
式中 Fmax
Fcr
[nst ]
------压杆所受最大工作载荷 ------压杆的临界压力 ------压杆的规定稳定安全系数
稳定性条件也可以表示成：
nst
Fcr Fm ax
[nst ]
式中 nst 为压杆实际的工作稳定安全系数。
F 500
BD
F
3 8
N
AB
二、计算l并求临界荷载
A C
F
B
NAB
三、根据稳定条件求许可荷载
由：
Fcr FN max
[nst ]
FN max
Fcr [nst ]
121 .54 3
40.5KN
从而求得：
3
3
F 8 FN max 8 40.5 15.2KN
A
BC
2、求杆许可荷载：
a
a
（1）以BE杆为标准：
[FNB ]
[s ]A
160106
3.14 0.052 4
314kN
F D a
F1
FNB
0.283
1110kN
2）按压杆FC计算： [FNC ] [s w ]A
l
l
i
1 2 0.1
80
4
0.26
[s w ] 0.26[s y ]