导体和电介质中的静电场及复习讲义

柱形高斯面，底面与导体表面平行， 下底面在导体内。由高斯定理有：
σ
E
△S
E ds E ds E ds E ds
上底
下底
侧面
ES S 0
所以：E 0
注意：式中的 E 是表面附近的总电场，虽然其大小只与导体
表面该处的电荷面密度有关，但它是由导体表面的电荷，以及
其他电荷共同产生的。
R 40r 2
Q
4 0 R
所以，
真空中导体球的电容为C
Q V
4 0 R
如果我们将地球视为一个导体，其电容值仅为：
4×3.14×8.85×10 -12×6400 ×103≈7 ×10-4F=700
μF
（2）电容器 (孤立导体的情况一般是不存在的) A+
+
若空间中 A、B 两导体相距足够近，
+ +
总带有等量异号的电荷，则称这两块导体组成
空间S中，
对于一个金属
电场为零
导体包围的空间 S ，当
空间外有电荷 Q 时，由
于有导体包围，空间内的
Q
+
电场等于零，避免了空间
外电荷对内部的影响；
－
－－ －
－
++ + +
+ ++
另一方面，如果该空间内
有电荷 q ，由于静电感应，导体内、
外表面将出现等量异号的感应电荷， 但一旦将导体接地，外表面的电荷 将消失，从而避免了空间内电荷对 外部的影响。这就是静电屏蔽原理。
q
V壳
R2 E4 dl
R2 4 0r 2 4 0 R2
设金属球的电势为V球 ，则：
V球
R1 r0
E2
dl
R2
0
dl
R1
R2 E4 dl
R2
R1
R1 qdr q
r0 4 0r 2 4 0 R2
q r0
q (1 1 ) q
4 0 r0 R1 4 0 R2
q 11 1
第七章 静电场中的导体和电介质
§7－1 静电场中的导体
§7－2 电容器 电容器的并联和串联 §7－3 电介质的极化
§7－4 电介质中的电场 电位移
§7－5 电场的能量
有电介质时的高斯定理
教学要求：
1.掌握导体静电平衡条件，能用该条件分析带电导 体在静电场中的电荷分布；求解有导体存在时场强 与电势的分布问题； 2. 了解电介质的极化机理，了解电位移矢量的物 理意义及有电介质时的高斯定理； 3. 理解电容的定义，能计算简单形状电容器的电 容； 4. 理解带电体相互作用能，计算简单对称情况下 的电场能量。
C=Q/
V
Q
电容用符号 C 表示，单位为法拉，符号为 F ：
1F=1C / 1V
一般来讲，法拉这个单位太大，通常用微法（μF） 或皮法（p F）为单位： 1F=106 μF=1012 p F
电容的量纲为 I 2L -2M -1T4
例：真空中半径为 R 的金属球带电 Q 时，其电势 V 为：
V
Qdr
沿电力线作积分
b a E dl U ab 0
这与导体
是等势体相矛盾，故内表面不会有净电荷。
2）导体空腔内有其它电荷时，内表面上 会有等量异号的净电荷。（证明同上，略）
q q
2、导体表面电荷面密度与场强的关系
设金属表面的电荷面密度为 σ ，
表面附近的场强为 E ，为求两者
间的关系，做一个底面为△S的圆
0，E 表面表面。E
0
由上可得：处于静电平衡的导体是等势体，其表面是等势面。
二、静电平衡后导体上的电荷分布
1、导体内部的电荷分布
（a）实心导体的情况 —— 导体内部无净电荷，一
切净电荷都分布在导体的外表面上。
证明：在导体中作任意高斯面 S
E
ds
1
S
0
q(内） （E为导体中的总电场）
但导体静电平衡的条件是 E 0
作过 r 处
的高斯面S1
S1
E2
ds
q
0
得
E2
q
4 0r 2
在金属球壳内（R1< r < R2时）：电场 E3 0
在金属球壳外（ r > R2时）： 作过 r 处的高斯面 S 2
S 2
E4
ds
Q1
Q2
0
q
q
0
得
q
E4 4 0r 2
（3）设金属球壳的电势为V壳 ，则：
qdr
(2) 电位移矢量 D 是一个辅助物理量，真正有物理意义
几 的是电场强度矢量 E，引入 D 的好处是在高斯定理的表 点 达式中，不出现很难求解的极化电荷； 说 (3) 与电力线的概念一样，我们可以引入电位移线来描述 明：D 矢量场，同时计算通过任意曲面的电位移通量，不过要
注意，D 线与 E 线是不同的；见书P186 图7-22
其中：
r叫此电介质的相对介电常数。 r
0
电介质的介电常数： 0 rຫໍສະໝຸດ 对于真空： r 1E0
+－
+－
+－
+－
+－
+－
+－
+－
+－
+－
+－
+－
二、电介质的微观机理
按电荷分布的特点，电介质可以分为两类 ：无极 分子和有极分子。
无极分子包括 H2、He、N2和CH4（甲烷）等。没有外 电场时，分子的正、负电荷中心是重合的。以甲烷为例：
D
2r
，
( R1
r
R2 )
R1
R2
r
E1
D
0 r1
， 2 0 r1r
( R1
r
R)
E2
D
0 r2
， (R r 2 0 r2r
R2 )
§ 7- 4 电容器 电容器的并联和串 联
一、电容器
（1）孤立导体的电容：
孤立导体：一个导体，周围没有其他导体。
孤立导体：当孤立导体带有电荷 Q 时，导体有电势 V
dS
q0
4r 2 q0
4 0 r r 2 S
4 0 r r 2
0 r
于是
q0
0 r
1（q
0
0
q）
由此得：
q
（1
1
r
）q0
例2 同轴电缆R1，R2，其间充满电介质 r1，r2 ，分界的半径R。
求：电缆各区域的电场强度.
解：内外电缆线密度 ,在介质中做底面半径为r 长为l 的圆柱面，
有
SD dS D 2rl l
E
－ 0－
起正电荷 q ，-q 、q 称为感应电荷。
A
感应电荷要建 立起附加电场 E ，导体中的
总则自电由场电为子E将0继续E定 向，移如动果E，0感应E电 荷0增加，，
附加电场加强，直到E0 E 0
，称
－ － － － －
-q
导体达到了静电平衡。
+
+
－
+
E +++
+
q
2、导体静电平衡的条件
E内
( )
4 0 r0 R1 R2
EV
电势曲线 电场曲线
0
r0
R1 R2
r
容易看出：电势的变化是连续的，而电场的变化是不连续的
例2见讲稿
§7－2 电介质的极化
一、电介质的极化
1、电介质：就是绝缘体。
特点：（1）内部没有可以自由移动的电荷；
影响，
（2）放入电场中的电介质，要受到电场的
2、电介质对电场的影响: E 同时E也0 影r响电场。
S
所以SE
ds
0
即： q(内） 0
(b) 空心导体的情况
1）导体空腔内没有其它电荷时，内表面上不会有净电
荷；
证明：取如图高斯面 S :
E
ds
1
S
0
q(内) 0，说明内表面S中
a
电荷的代数和为0 ，那么，会不会有等量异号 S b
电荷分布内表面两端，如 a , b 处的情况呢？
设a , b 处分别有 q和 q，应有电力线相连，
+－
－－－q
－ －
－
四、有导体存在时静电场的分析和计算
例1 一个不带电的金属球壳的内、外半径分别为 R 1 和 R 2 ，今在中心处放一电量为 q 的金属球（半径为r0），
则金属球壳的内、外表面带电量各为多少？空间各点处
场强如何分布？金属球壳和金属球的电势各为多少？
解 ：（1）根据导体静电平衡条件，设导体
(4) 电位移的单位是“库仑 每平方米”，符号为：C/m 2 ，（这也就是电荷面密度的单位），其量纲是 I L 2T 。
例1 一金属球体，半径为R，带有电荷q0，埋在均匀“无限大” 的电介质中（介电常数为ε），求： （1）球外任意一点 P的场强；（2）(不讲)与金属球接触处的电介质表面上的
极化电荷。
E ds
1
S
0
q(内)
＋σ0 －σ’ ＋σ’ －σ 0
E0
E
其中 :q（内）是曲面内所有电荷的代数和。
E E0 E
d
E
ds
S
q0内
定义电介质的介电常数与电场 强度的乘积为电位移矢量,
即：D E
则有介质时 的高斯定理：
D ds
S
q0（内）
(1) 引入电位移通量后，有介质时的高斯定理可以表述 为：“在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移 通量等于该面所包围的自由电荷的代数和”。