§2.3 极限运算的基本法则及其运用(微积分课件-西南政法 陈勇兵)
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极限的运算
极限的运算一 极限的四则运算法则定理：若()A x f =lim ，()B x g =lim ，则有 （１）()()[]()()x g x f B A x g x f lim lim lim ±=±=± （２）()()[]()()x g x f AB x g x f lim lim lim ⋅==⋅ （３）()()()()x g x f B A x g x f lim lim lim==，（0≠B ） 注意：法则(1)和法则(2)可以推广到有限个函数的情况。
另外，法则(2)还有三个推论。
推论：（１）()()x f k x kf lim lim =， (k 为常数)（２）()[]()[]n x f nx f lim lim =，（n 为正整数） （３）()[]()[]nnx f x f 11lim lim =，（n 为正整数）例１()235lim 22+-→x x x -=→225lim x x +→x x 3lim 22lim 2→x＝-→22lim 5x x +→x x 2lim 3２＝-→22)lim (5x x +⨯23２＝26252+-⨯＝16观察这个例子可以发现函数2352+-x x 在2→x 时的极限正好等于它在2=x 这一点的函数值，因此，我们可以得到这样一条规律：若()x f 是多项式，则()()00lim x f x f x x =→。
例２3512222lim +--+→x x x x x ＝()()35122222lim lim +--+→→x x x x x x ＝3252122222+⨯--+⨯＝39-＝3- 例３222123lim x x x x -+-→＝()()2222123lim lim x x xx x -+-→→＝０从以上三个例子可以看出极限四则运算法则的运用是比较简单的，但是如果我们拿到的极限不满足极限四则运算法则的条件，就不能用极限的四则运算法则来求极限了。
大学 高等数学 极限运算法则 知识课件PPT
定理 2 . 若
则有
说明: 定理 2 可推广到有限个函数相乘的情形 .
推论 1 .
( C 为常数 )
推论 2 .
( n 为正整数 )
为无穷小
(详见P44)
定理 3 . 若
且 B≠0 , 则有
证: 因
有
其中
设
无穷小
有界
因此
由极限与无穷小关系定理 , 得
为无穷小,
定理4: 若
且
则
例1. 设 n 次多项式
试证
证:
x = 3 时分母为 0 !
例2. 设有分式函数
其中
都是
多项式 ,
试证:
证:
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
例3.
若
例4 . 求
解: x = 1 时
分母 = 0 , 分子≠0 ,
但因
例5 . 求
解:
时,
分子
分子分母同除以
则
分母
“ 抓大头”
原式
一般有如下结果：
为非负常数 )
第一章
一、 极限的四则运算法则
二、 复合函数的极限运算法则
ห้องสมุดไป่ตู้第五节
极限运算法则
一、 极限的四则运算法则
则有
证: 因
则有
(其中
为无穷小)
于是
由上节定理 2可知
也是无穷小,
再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
定理 1 . 若
说明: 定理 1 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
( 如P46 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
三、 复合函数的极限运算法则
则有
说明: 定理 2 可推广到有限个函数相乘的情形 .
推论 1 .
( C 为常数 )
推论 2 .
( n 为正整数 )
为无穷小
(详见P44)
定理 3 . 若
且 B≠0 , 则有
证: 因
有
其中
设
无穷小
有界
因此
由极限与无穷小关系定理 , 得
为无穷小,
定理4: 若
且
则
例1. 设 n 次多项式
试证
证:
x = 3 时分母为 0 !
例2. 设有分式函数
其中
都是
多项式 ,
试证:
证:
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
例3.
若
例4 . 求
解: x = 1 时
分母 = 0 , 分子≠0 ,
但因
例5 . 求
解:
时,
分子
分子分母同除以
则
分母
“ 抓大头”
原式
一般有如下结果：
为非负常数 )
第一章
一、 极限的四则运算法则
二、 复合函数的极限运算法则
ห้องสมุดไป่ตู้第五节
极限运算法则
一、 极限的四则运算法则
则有
证: 因
则有
(其中
为无穷小)
于是
由上节定理 2可知
也是无穷小,
再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 .
定理 1 . 若
说明: 定理 1 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
( 如P46 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
三、 复合函数的极限运算法则
极限的运算法则 ppt课件
又 li(m 4x 1 )30, x 1
limx22x3 0 0. x1 4x1 3
由无穷小与无穷大的关系,得
lx i1m x24x2 x13.
例3 求lx i1m x2x22x13. 解 x1时,分子 ,分母的极限. 都 ( 0 是 型 )零
0
先约去不为因 零x子 的 1后无 再穷 求 .小 极
在某个过程中，若 f (x)有极限，g(x) 无极限，那么f(x)g(x)是否有极限？为
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f(x)g(x)有极限， f(x)有极限，
由极限运算法则可知：
g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) 必有极限，
与已知矛盾，故假设错误．
一、填空题:
x 2
x 2 x 2
2 232530,
lx im 2x2x33x15lilxmi(m2xx233lxxim 215)
23 1 3
7 3
.
x2
小结: 1 . 设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n , 则有
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx 0 时 ,
B ,
B B B 1 B 1 B
2
22
B(B)1B2, 2
故1 B(B)
B22
,
有界，
(3)成立 .
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则数 lim c(fx [)]clim f(x).
高等数学第一章第五节极限运算法则课件.ppt
u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
第四部分极限的运算法则教学课件
xa
其中a 为 x0 , x0 0, x0 0, , - , ；并且当a 为 x0, x0 -, x0时，此过程进行到一定程度以后恒有
x = j (t ) x0 )。
例13 求极限
y= 1
(1)
limln
x
1 x2
x2
lim lny = .
y00
(2) lime x y = - x lim e y = 1.
=
x 0
x0
l i(mx-1 ) l i(mx2 )
x0
x0
=(01)12
1 =2
注 只要极限运算与四则运算交换顺序后 的算式有意义 <包括出现 >,就可交换顺序.
sin
例2
求 lim
n
1 n。 1
n
解
原式=
l i ms i nπ
n
n
lim1 1
=
0 01
=0。
n n
例3
求 limx2 。 x1 x2 1
x0
y 0
(3) limtan(1)= limtan(1)
n
2n
x 2 x
y= 1
2 x lim tan y = . y 2
= lim 2 n
n2
=lim1(11) = 1 .
n2
n2
例10 求 lim sin x .
x x
解 当x 时，1 为无穷小，
x
而sin x是有界函数，
limsinx =0. x x
y = sin x x
例11
设 f(x )= x 1 2 x 1 ,,
x 0 ,求 lif m (x ). x 0 x 0
高数极限运算法则课件
极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。
高等数学(第2版)课件：极限运算
(4) 若 lim 1，则称 与 是等价无穷小，记作 ~ .
无穷小与基无本穷大信息
定理1.3.2 设 ~ ', ~ ',且lim ' 存在，则 '
lim
lim(
'
' '
')
lim
'
lim
' '
lim
'
lim
' '
.
注: 1、在求无穷小之比的极限时，分子和分母可以用等价无穷小替代.
x
x
("1 "型)
注：1、"1 "型.
2、推广：lim (1 ( x)
) 1 ( x)
(x)
e
1
lim (1 z) z e.
z 0
3、应用公式求"1 "型函数的极限的方法：凑幂法.
例2
lim(1 t
)1 t
t
lim t
1 (1 1)t
t
一、无穷小 定义1.3.1
无穷小与基无本穷大信息
如 : n : 1 , qn (| q | 1); n
定理1.3.1 在自变量同一变化过程中,
(1) 若 f (x) 是无穷小，且 f (x) 0, 则 1 是无穷大; f (x)
(2) 若 f (x) 是无穷大，则 1 是无穷小. f (x)
如 : x : lim x , lim 1 0.
x
x x
无穷小与基无本穷大信息
例
:
求极限
lim
x1
x0 x
t0
t ln(1 t)
例：
sin x
无穷小与基无本穷大信息
定理1.3.2 设 ~ ', ~ ',且lim ' 存在，则 '
lim
lim(
'
' '
')
lim
'
lim
' '
lim
'
lim
' '
.
注: 1、在求无穷小之比的极限时，分子和分母可以用等价无穷小替代.
x
x
("1 "型)
注：1、"1 "型.
2、推广：lim (1 ( x)
) 1 ( x)
(x)
e
1
lim (1 z) z e.
z 0
3、应用公式求"1 "型函数的极限的方法：凑幂法.
例2
lim(1 t
)1 t
t
lim t
1 (1 1)t
t
一、无穷小 定义1.3.1
无穷小与基无本穷大信息
如 : n : 1 , qn (| q | 1); n
定理1.3.1 在自变量同一变化过程中,
(1) 若 f (x) 是无穷小，且 f (x) 0, 则 1 是无穷大; f (x)
(2) 若 f (x) 是无穷大，则 1 是无穷小. f (x)
如 : x : lim x , lim 1 0.
x
x x
无穷小与基无本穷大信息
例
:
求极限
lim
x1
x0 x
t0
t ln(1 t)
例：
sin x