2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱锥台和球的体积学案新人教B版必修2

1.1.7 柱、锥、台和球的体积[学习目标] 1.了解柱、锥、台和球的体积计算公式.2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积.3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题.[知识链接]1.长宽高分别为a 、b 、c 的长方体的表面积S ＝2(ab ＋bc ＋ac )，体积V ＝abc .2.棱长为a 的正方体的表面积S ＝6a 2，体积V ＝a 3.3.底面半径为r ，母线长为l 的圆柱侧面积S 侧＝2πrl ，表面积S ＝2πrl ＋2πr 2. 4.底面半径为r ，母线长为l 的圆锥侧面积S 侧＝πrl ，表面积S ＝πr 2＋πrl . [预习导引] 1.祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.” (2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.(3)说明：祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想，是推导柱、锥、台体积公式的理论依据.2.柱、锥、台、球的体积其中S ′、S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高，r ′和r 分别表示上、下底面圆的半径，R 表示球的半径.要点一 柱体的体积例1 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8－2πB.8－πC.8－π2D.8－π4答案 B解析 这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.规律方法 1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.跟踪演练1 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 4解析 此几何体是两个长方体的组合，故V ＝2×1×1＋1×1×2＝4. 要点二 锥体的体积例2 如图三棱台ABC －A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1－ABC ，三棱锥B －A 1B 1C ，三棱锥C －A 1B 1C 1的体积之比.解 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB －A 1B 1C ＝V 台－VA 1－ABC －VC －A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.规律方法 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法.跟踪演练2 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，由题意知AA 1为三棱锥的高，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ，∵VA 1－ABD ＝VA －A 1BD ，∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a . 要点三 台体的体积例3 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面积是780 cm 2.求正四棱台的体积.解 如图所示，正四棱台ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高.设O 1、O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形，由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780，得EE 1＝13.在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5，OE ＝12AB ＝10，∴O 1O ＝E 1E 2－OE －O 1E 12＝12，V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3).故正四棱台的体积为2 800 cm 3.规律方法 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.跟踪演练3 本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm 和4 cm ，侧棱长为2 cm ，求该棱台的体积.”解 如图，正四棱台ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，上、下底面边长分别为2 cm 和4 cm ，则O 1B 1＝2cm ，OB ＝22cm ，过点B 1作B 1M ⊥OB 于点M ，那么B 1M 为正四棱台的高，在Rt△BMB 1中，BB 1＝2 cm ，MB ＝(22－2)＝2(cm).根据勾股定理MB 1＝BB 21－MB 2＝22－22＝2(cm).S 上＝22＝4(cm 2)， S 下＝42＝16(cm 2)，∴V 正四棱台＝13×2×(4＋4×16＋16)＝13×2×28＝283 2(cm 3). 要点四 球的体积例4 过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心O 的距离等于球的半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，求球的体积和表面积.解 如图，设过A 、B 、C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′、AO 、AO ′.∵AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ， ∴O ′为正三角形ABC 的中心， ∴AO ′＝33AB ＝3(cm). 设OA ＝R ，则OO ′＝12R ，∵OO ′⊥截面ABC ，∴OO ′⊥AO ′， ∴AO ′＝32R ＝3(cm)，∴R ＝2 cm ， ∴V 球＝43πR 3＝323π(cm 3)，S 球＝4πR 2＝16π(cm 2).即球的体积为323π cm 3，表面积为16π cm 2.规律方法 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.跟踪演练4 如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍答案 C解析 半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x ，则最大球的半径为3x ，其体积为43π×(3x )3，其余两个球的体积之和为43πx 3＋43π×(2x )3，∴43π×(3x )3÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤43πx 3＋43πx3＝3.1.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.48答案 D解析 设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x 、2x 、3x ，又对角线长为214，则x 2＋(2x )2＋(3x )2＝(214)2，解得x ＝2.∴三条棱长分别为2、4、6. ∴V 长方体＝2×4×6＝48.2.一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3C.32πD.323π 答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π.3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A.π B.2π C.4π D.8π答案 B解析 设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.4.如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1ACD 的体积是( )A.16B.13 C.12 D.1答案 A解析 三棱锥D 1ADC 的体积V ＝13S △ADC ×D 1D ＝13×12×AD ×DC ×D 1D ＝13×12＝16.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.答案 16π－16解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.1.计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面.例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面.2.在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、球的体积计算问题.。