高中数学立体几何专项练习
高三立体几何专题练习(含答案)
立体几何专题练习卷一、填空题（本大题满分56分，每小题4分） 1．正方体DC B A ABCD 111-的棱长为a ，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的大小是__________．2．已知某铅球的表面积是2484cm π，则该铅球的体积是___________2cm ．3．若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为4arccos5，则该圆锥的体积为___________．4．在长方体1111ABCD A B C D -中，若12,1,3AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成的角θ可用反三角函数值表示为θ=____________．5．若取地球的半径为6371米，球面上两点A 位于东经O12127'，北纬O 318'，B 位于东经O12127'，北纬O 255'，则A B 、两点的球面距离为_____________千米(结果精确到1千米)．6．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2cm ，则此圆锥的体积为__________3cm ．7．若圆锥的底面半径和高都是2，则圆锥的侧面积是_____________． 8．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A B C 、、为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC ∠=____________.9．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为__________cm. （精确到0.1cm ）10．如图，用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45︒，容器的高为10cm ．制作该容器需要铁皮面积为__________cm2．（衔接部分忽略不计，结果保留整第9题数）11．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是__________ .12．如右下图，ABC ∆中， 90=∠C ，30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为__________ ．13．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥， 则该圆锥与圆柱等底等高。
高三数学立体几何专项练习题及答案
高三数学立体几何专项练习题及答案一、选择题1. 下列哪个几何体的所有面都是三角形？A. 正方体B. 圆柱体C. 正六面体D. 球体答案：C2. 一个有8个面的多面体，其中6个面是正方形，另外2个面是等边三角形，它的名字是？A. 正八面体B. 正十二面体C. 正二十面体D. 正二十四面体答案：C3. 空间中任意一点到四个角落连线的垂直距离相等的四棱锥称为？A. 正四棱锥B. 圆锥台C. 四棱锥D. 无法确定答案：C4. 任意多面体的面数与顶点数、棱数的关系是？A. 面数 + 顶点数 = 棱数 + 2B. 面数 + 棱数 = 顶点数 + 2C. 顶点数 + 棱数 = 面数 + 2D. 顶点数 + 面数 = 棱数 + 2答案：A5. 求下列多面体的棱数：（1）正六面体（2）正八面体（3）正十二面体答案：（1）正六面体的棱数为 12（2）正八面体的棱数为 24（3）正十二面体的棱数为 30二、填空题1. 下列说法正确的是：一棱锥没有底面时，它的底面是一个______。
答案：点2. 铅垂线是指从一个多面体的一个顶点到与它相对的棱上所作的垂线，它与该棱垂足的连线相交于该多面体的______上。
答案：中点3. 对正八面体，下列说法不正确的是：_____条对角线与_____两两垂直。
答案：六，相邻面三、计算题1. 一个棱锥的底面是一个边长为6cm的正三角形，其高为8cm。
求棱锥体积。
解答：底面积 S = (1/2) ×底边长 ×高 = (1/2) × 6 × 8 = 24 cm²棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 24 × 8 = 64 cm³所以，棱锥的体积为64 cm³。
2. 一个正四棱锥的底面是一个边长为10cm的正方形，其高为12cm。
求四棱锥的体积。
解答：底面积 S = 边长² = 10² = 100 cm²四棱锥体积 V = (1/3) × S ×高 = (1/3) × 100 × 12 = 400 cm³所以，四棱锥的体积为400 cm³。
高中数学立体几何经典题型练习题集(附有答案)
高中数学立体几何经典题型练习题集学校：______姓名：_____班级：______考号：______一．单选题1．正三棱锥的底边长和高都是2，则此正三棱锥的斜高长度为（）A．B．C．D．2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G分别为C1D1，AA1，BB1的中点，则空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影面积为（）A．1B．C．D．3．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱4、如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．5、如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O 所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（）A．1B．2C．3D．46、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点，则下列结论中：①FG⊥BD；②B1D⊥面EFG；③面EFG∥面ACC1A1；④EF∥面CDD1C1．正确结论的序号是（）A．①和②B．③和④C．①和③D．②和④7、三棱锥P-ABC，PC⊥面ABC，△PAC是等腰三角形，PA=4，AB⊥BC，CH⊥PB，垂足为H，D是PA的中点，则△CDH的面积最大时，CB的长是（）A．B．C．D．8、正方体的直观图如图所示，则其展开图是（）A．B．C．D．二．填空题（共__小题）9、如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的中点，并且AC⊥BD，AC=m，BD=n，则四边形EFGH的面积为______．10、如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，给出下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°；⑤直线PD 与平面PAB所成角的余弦值为．其中正确的有______（把所有正确的序号都填上）．11．如图所示，三棱锥M，PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，则此三棱锥P-ABC中直角三角形有______个．12、如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1，有下述结论（1）AC1⊥BC；（2）=1；（3）二面角F-AC1-C的大小为90°；（4）三棱锥D-ACF的体积为．正确的有______．13．各棱长为a的正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为______．14．一四棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：4，则此截面把一条侧棱分成的两段之比为______．15、如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，给出下列五个结论①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③异面直线AE，BF所成的角为60°④A1点到面BEF的距离为定值⑤三棱柱A-BEF的体积为定值其中正确的结论有：______（写出所有正确结论的编号）三．简答题（共__小题）16、如图，立体图形A-BCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE：AB=AF：AC=AG：AD，求证：△EFG∽△BCD．17、如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC 的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D-ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．参考答案一．单选题（共__小题）1．正三棱锥的底边长和高都是2，则此正三棱锥的斜高长度为（）A．B．C．D．答案：D解析：解：在正三棱锥中，顶点P在底面的射影为底面正三角形的中心O，延长A0到E，则E为BC的中点，连结PE，则PE为正三棱锥的斜高．∵正三棱锥的底边长和高都是2，∴AB=PO=2，即AE=，OE=，∴斜高PE==，故选：D．2、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G分别为C1D1，AA1，BB1的中点，则空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影面积为（）A．1B．C．D．答案：B解析：解：过E点做EH垂直CD于H，连接EH，易得H即为E在平面ABCD上的射影，连接AH，BH，如下图所示则AH，BH，AB分别为FE，EG，FB在平面ABCD上的射影，又由G在平面ABCD上的射影为B，故△ABH即为空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影∵S△ABH=S ABCD=故选B3．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱答案：C解析：解：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱．故A和B错在有可能是斜棱柱，D错在上下底面有可能不是正方形，底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面．故选C．4、如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．答案：A解析：解：设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，则PO是等腰△PBD的高，故△PBD的面积为f（x）=BD×PO，在三角形PAO中，PO==，∴f（x）=××=，画出其图象，如图所示，对照选项，A正确．故选A．5、如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：D解析：证明：∵AB是圆O的直径∴∠ACB=90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形又∵PA⊥圆O所在平面，∴△PAC，△PAB是直角三角形．且BC在这个平面内∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，∴BC⊥平面PAC，∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是，4．故选D．6、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点，则下列结论中：①FG⊥BD；②B1D⊥面EFG；③面EFG∥面ACC1A1；④EF∥面CDD1C1．正确结论的序号是（）A．①和②B．③和④C．①和③D．②和④答案：D解析：解：如图连接A1C1、A1B、BC1、BD、B1D，因为E、F、G分别是棱A1B1、BB1、B1C1的中点对于①因为FG∥BC1，△BDC1是正三角形，FG⊥BD，不正确．对于②因为平面A1C1B∥平面EFG，并且B1D⊥平面A1C1B，所以B1D⊥面EFG，正确．③面EFG∥面ACC1A1；显然不正确．④EF∥平面CDD1C1内的D1C，所以EF∥面CDD1C1．正确．故选D7、三棱锥P-ABC，PC⊥面ABC，△PAC是等腰三角形，PA=4，AB⊥BC，CH⊥PB，垂足为H，D是PA的中点，则△CDH的面积最大时，CB的长是（）A．B．C．D．答案：D解析：解：三棱锥P-ABC中，PC⊥面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB；又AB⊥BC，BC∩PC=C，∴AB⊥平面PBC；又CH⊂平面PBC，∴AB⊥CH，又CH⊥PB，PB∩AB=B，∴CH⊥平面PAB，又DH⊂平面PAB，∴CH⊥DH；又△PAC是等腰直角三角形，且PA=4，D是PA的中点，∴CD=PA=2，设CH=a，DH=b，则a2+b2=CD2=4，∴4=a2+b2≥2ab，即ab≤1，当且仅当a=b=时，“=”成立，此时△CDH的面积最大；在Rt△PBC，设BC=x，则PB===，∴PC•BC=PB•CH，即2•x=•；解得x=，∴CB的长是．故选：D．8、正方体的直观图如图所示，则其展开图是（）A．B．C．D．答案：D解析：解：根据题意，可得对于A，展开图中的上下两边的正方形的对边中点连线应该呈左右方向显现，故A的图形不符合题意；对于B，展开图中最右边的“日”字形正方形的对边中点连线应该是上下方向呈现，且应该在含有圆形的正方形的左边放置，故B的图形不符合题意；对于C，展开图中最右边的正方形应该与含有圆形的正方形相邻，故C的图形不符合题意；对于D，沿如图的红线将正方体的侧面剪裁，展开可得如D项图的形状，故D的图形符合题意故选：D二．填空题（共__小题）9、如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的中点，并且AC⊥BD，AC=m，BD=n，则四边形EFGH的面积为______．答案：解析：解：由ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的中点，并且AC⊥BD，可得四边形EFGH为矩形，且此矩形的长和宽分别为和，故四边形EFGH的面积为=，故答案为：．10、如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，给出下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°；⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为．其中正确的有______（把所有正确的序号都填上）．答案：①④⑤解析：解：对于①、由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB=A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；对于②、又平面PAB⊥平面ABC，所以平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；对于③、由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；对于④、在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，∴④正确；对于⑤、由于DE∥AB，∴D到平面PAB的距离即为E到平面PAB的距离，即E到直线PA的距离，即EA，EA=AB，在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴PD=2AB，∴直线PD与平面PAB所成角的正弦值为=，∴直线PD与平面PAB所成角的余弦值为=，∴⑤正确．故答案为：①④⑤．11．如图所示，三棱锥M，PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，则此三棱锥P-ABC中直角三角形有______个．答案：4解析：解：由已知PA⊥底面ABC，∠ABC=90°，所以CB⊥PA，CB⊥AB，又PA∩AB=A，所以CB⊥平面PAB，所以CB⊥PB，所以此三棱锥P-ABC中直角三角形有△ABC，△ABP，△ACP，△PBC共有4个．故答案为：4．12、如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1上，F为BB1中点，且FD⊥AC1，有下述结论（1）AC1⊥BC；（2）=1；（3）二面角F-AC1-C的大小为90°；（4）三棱锥D-ACF的体积为．正确的有______．答案：（2）（3）（4）解析：解：（1）连接AB1，则∠B1C1A即为BC和AC1所成的角，在三角形AB1C1中，B1C1=2，AB1=2，AC1=2，cos∠B1C1A==，故（1）错；（2）连接AF，C1F，则易得AF=FC1=，又FD⊥AC1，则AD=DC1，故（2）正确；（3）连接CD，则CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则∠CDF为二面角F-AC1-C的平面角，CD=，CF=，DF===，即CD2+DF2=CF2，故二面角F-AC1-C的大小为90°，故（3）正确；（4）由于CD⊥AC1，且FD⊥AC1，则AD⊥平面CDF，则V D-ACF=V A-DCF=•AD•S△DCF=×××=．故（4）正确．故答案为：（2）（3）（4）13．各棱长为a的正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为______．答案：解析：解：∵正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，所以球心在上下底面中心的连线的中点上，AB=a，OA=R，在△OEA中，OE=，AE=，∵AO2=OE2+AE2，∴，∴球的表面积为4πR2=，故答案为．14．一四棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：4，则此截面把一条侧棱分成的两段之比为______．答案：1：1解析：解：根据题意，设截得小棱锥的侧棱长为l，原棱锥的侧棱长为L，∵截面与底面相似，且截面面积与底面面积之比为1：4，∴相似比为：==，∴截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是l：（L-l）=1：1．故答案为：1：1．15、如图所示正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，给出下列五个结论①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③异面直线AE，BF所成的角为60°④A1点到面BEF的距离为定值⑤三棱柱A-BEF的体积为定值其中正确的结论有：______（写出所有正确结论的编号）答案：①②④⑤解析：解：①AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值，故不正确．④A1点到面DD1B1B距离是定值，所以A1点到面BEF的距离为定值，正确；⑤三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确．故答案为：①②④⑤．三．简答题（共__小题）16、如图，立体图形A-BCD的四个面分别为△ABC、△ACD、△ADB和△BCD，E、F、G分别是线段AB、AC、AD上的点，且满足AE：AB=AF：AC=AG：AD，求证：△EFG∽△BCD．答案：证明：在△ABD中，∵AE：AB=AG：AD，∴EG∥BD．同理，GF∥DC，EF∥BC．又∠GEF与∠DBC方向相同．∴∠GEF=∠DBC．同理，∠EGF=∠BDC．∴△EFG∽△BCD．17、如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D-ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．答案：解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=．设G为CD的中点，则CG=，AG=．∴，，．三棱锥D-ABC的表面积为．（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．（3）存在这样的点N，当CN=时，MN∥平面DEF．连CM，设CM∩DE=O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM．∴当CF=CN时，MN∥OF．∴CN=．。
新教材高二数学立体几何专项训练
立体几何高考试题专项训练1、（2020北京卷）如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．2、（2020山东卷）如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．3、（2019全国理Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．4、（2020全国理Ⅰ）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE AD=．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PO DO=．（1）证明：PA⊥平面PBC；（2）求二面角B PC E--的余弦值．5、（2020全国Ⅲ）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．6、（2020浙江卷）如图，三棱台DEF —ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ． （I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．7、（2020天津卷）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点． （Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．（2020全国Ⅱ）如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F . （1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.。
高中数学立体几何测试题(10套)
∴ BD ∥平面 PMN ，
位置关系为
平行
。
∴ O 到平面 PMN 的距离即为 BD 到平面 PMN 的距离。
11 、a,b 为异面直线，且 a,b 所成角为 40 °，直线 c 与 a,b 均异面，且所成角均为
∵ BD ⊥ AC ， MN ∥ BD
∵ PA⊥面 ABCD
θ，若这样的 c 共有四条，则 θ的范围为 (70 °， 90° ) 。
D
C
A
B
D1 A1
C1 B1
17 、 已知异面直线 a， b 的公垂线段 AB 的中点为 O，平面 满足 a∥ ， b∥ ， 且 O ， M 、 N 是 a， b 上的任意两点， MN ∩ ＝ P，求证： P 是 MN 的中
点
A aM
O
P
BN b
.
立几面测试 001
参考答 案
一、 1- 8 ACDDBDBA
2、已知 m， n 为异面直线， m∥平面 ， n∥平面 ， ∩ =l ，则 l（ ） （ A）与 m， n 都相交 （ B）与 m，n 中至少一条相交 （ C）与 m， n 都不相交 （ D ）与 m， n 中一条相交
3、已知 a， b 是两条相交直线， a∥ ，则 b 与 的位置关系是 （ ）
A 、 b∥
PAM
∵ AB=2 ， BM=1 ， CM=1
∴ AM= 5 ，
P
A H
O
.
B
F M
B
D N C
立几面测试 003
一、选择题
1．异面直线是指
(A) 在空间内不能相交的两条直线
(B) 分别位于两个不同平面的两条直线
(C) 某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
高中数学立体几何专项练习题及答案
高中数学立体几何专项练习题及答案一、选择题1. 下面哪个选项不是描述柱体的特点？A. 体积恒定B. 底面形状不限C. 侧面是矩形D. 顶面和底面平行答案：A2. 如果一个四面体的一个顶点的对边垂直于底面，那么这个四面体是什么类型？A. 正方形四面体B. 倒立四面体C. 锥体D. 正方锥体答案：C3. 以下哪个选项正确描述了一个正方体的特点？A. 全部面都是正方形B. 12 条棱长度相同C. 8 个顶点D. 6 个面都是正方形答案：D4. 若长方体的高度是 6cm，底面积是 5cm²，底面对角线长为 a cm，那么 a 的值为多少？A. √11B. √29C. √31D. √41答案：C二、填空题1. 一个正方体的棱长为 4cm，它的体积是多少？答案：64cm³2. 一个球的表面积是100π cm²，那么它的半径是多少？答案：5cm3. 一个圆柱体的底面半径为 3cm，高度为 8cm，它的体积是多少？答案：72π cm³4. 一个圆锥的底面半径为 6cm，高度为 10cm，它的体积是多少？答案：120π cm³三、计算题1. 一个四棱锥的底面是边长为 5cm 的正方形，高度为 8cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面积：5cm * 5cm = 25cm²再计算体积：25cm² * 8cm / 3 = 200cm³2. 一个圆柱体的底面直径为 12cm，高度为 15cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面半径：12cm / 2 = 6cm再计算底面积：π * 6cm * 6cm = 36π cm²最后计算体积：36π cm² * 15cm = 540π cm³3. 一个球的直径为 8cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算半径：8cm / 2 = 4cm再计算体积：4/3 * π * 4cm * 4cm * 4cm = 268.08π cm³4. 一个圆锥的底面半径为 10cm，高度为 20cm，它的体积是多少？答案：单位为 cm³，计算过程如下：首先计算底面积：π * 10cm * 10cm = 100π cm²最后计算体积：100π cm² * 20cm / 3 = 2000π cm³四、解答题1. 若一个长方体的长度、宽度、高度分别为 a、b、c，它的表面积为多少？答案：单位为 cm²，计算过程如下：首先计算侧面积：2 * (a * b + a * c + b * c)再计算底面积：a * b最后计算表面积：2 * (a * b + a * c + b * c) + a * b2. 一个四棱锥的底面为边长为 a 的正三角形，高度为 h，求这个四棱锥的体积。
高中立体几何专题训练
2023届高考数学一轮复习立体几何专练1.如图,ABC △和BCD △都是边长为2的正三角形,且它们所在平面互相垂直.DE ⊥平面BCD ,且AE =.(1)设P 是DE 的中点,求证://AP 平面BCD .(2)求二面角B AE C --的正弦值.2.如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC △的面积为（1）求A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值.3.如图，在三棱台111ABC A B C -中，底面ABC △是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 为等腰梯形，且1111A C AA ==，D 为11A C 的中点.（1）证明：AC BD ⊥；（2）记二面角1A AC B --的大小为θ，π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线1AA 与平面11BB C C 所成角的正弦值的取值范围.4.如图，在棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，点N 为AD 的中点，且14,2AA AB ==.(1)设M 是线段1BD 上一点，且1BMMD λ=.试问：是否存在点M ，使得直线1//AA 平面MNC ？若存在，请证明1//AA 平面MNC ，并求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)求二面角1N CD D --的余弦值.5.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形,1π2,,,3AB AA BAD AC BD O AO ==∠=⋂=⊥平面111,A BD A B A D =.(1)证明:1B C P 平面1A BD ;(2)求二面角1B AA D --的余弦值.6.如图，在四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，AP AB =，M 为线段PC 上一点.(1)若平面MAB⋂平面PCD l=，证明：//l CD；(2)若二面角D AM B--的平面角为2π3，求三棱锥P AMD-的体积.7.如图，在多面体ABCDEF中，四边形BCEF是矩形，//,AD BC BC CD⊥，1,2,2BC CD AD FA FB CM ME======.(1)证明：FA CD⊥；(2)求直线AF与平面MBD所成角的正弦值.8.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是边长为1的菱形，60BCD∠=︒，E为AD的中点，PE⊥平面ABCD，F为PC上的一点，且12PF FC=uu u r uu u r.(1)证明：//PA平面BEF；(2)若二面角P BE F--的平面角为30°，求四棱锥P ABCD-的体积.9.如图，在平面五边形ABCDE中ADE△是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，其中//,,1,⊥==.将ADEAD BC AD DC BC CD△沿AD折起，使得点E到达点M的位置，且使BM=.(1)求证：平面MAD⊥平面ABCD；(2)设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值.10.如图,四棱锥P ABCD△是边长为2的等边-的底面为矩形,平面PCD⊥平面ABCD,PCD三角形,BC=,点E为CD的中点,点M为PE上一点(与点,P E不重合).(1)证明:AM BD⊥.(2)当AM为何值时,直线AM与平面BDM所成的角最大?答案以及解析1.答案：(1)见解析解析：(1)证明：取BC 的中点O ,连接,,AO DO AD .ABC ∴△是正三角形,OA BC ∴⊥.∵平面ABC ⊥平面BCD ,平面ABC I 平面BCD BC =,OA ∴⊥平面BCD .OD ⊂Q 平面BCD ,AO OD ∴⊥.在Rt AOD △中,2sin 60AO DO ===o ,AD ∴==.又AE =,ADE ∴△为等腰三角形.P Q 是DE 的中点,AP DE ∴⊥.DE ⊥Q 平面BCD ,//,//,AO DE AP AO AP OD ∴∴⊥∴.OD ⊂Q 平面,BCD AP ⊄平面BCD ,//AP ∴平面BCD .(2)由(1)知,,////OA DP AP OD ,∴四边形APDO 为平行四边形,PD OA ∴==,DE ∴=.以点O 为坐标原点,以,,OD OC OA uuu r uuu r uu r的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系O xyz -,则(0,1,0)A B-,(0,1,0), C E,(0,1,BA AE AC∴===-uu r uu u r uuu r.设平面ABE的法向量为(,,)x y z=m,则0,0,BAAE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu ruu u rmm即0,0.y⎧=⎪+=令y=,则1,1x z==-,1)∴=-m.设平面ACE的法向量为(,,)a b c=n,则0,0,AEAC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u ruuu rnn即0,0.b+==⎪⎩令1a=-,则1b c==,(∴=-n.1cos,||||5⋅∴==m nm nm n.sin,∴=m n∴二面角B AE C--的正弦值为265.2.答案：（1（2解析：（1）设点A到平面1A BC的距离为h，因为直三棱柱111ABC A B C-的体积为4，所以11111114333A A BC ABC ABC ABC V S AA V --=⨯==△，又1A BC △的面积为11114333A A BC A BC V S h -==⨯=△，所以h =，即点A 到平面1A BC.（2）取1A B 的中点E ，连接AE ，则1AE A B ⊥，因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC 平面111ABB A A B =，所以AE ⊥平面1A BC ，所以AE BC ⊥，又1AA ⊥平面ABC ，所以1AA BC ⊥，因为1AA AE A = ，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以BC AB ⊥.以B 为坐标原点，分别以BC，BA，1BB的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，由（1）知，AE =12AA AB ==，1A B =，因为1A BC △的面积为112A B BC =⨯⨯，所以2BC =，所以(0,2,0)A ，(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，1(0,2,2)A ，(1,1,1)D ，(0,1,1)E ，则(1,1,1)BD = ，(0,2,0)BA =，设平面ABD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BD BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x y z y ++=⎧⎨=⎩令1x =，得(1,0,1)=-n ，又平面BDC 的一个法向量为(0,1,1)AE =-，所以1cos ,2||||AE AE AE ⋅〈〉==-⋅nn n ，设二面角A BD C --的平面角为θ，则sin θ==，所以二面角A BD C --的正弦值为32.3.答案：（1）见解析（2）7⎣⎦解析：（1）如图，取AC 的中点M ，连接DM ，BM ，在等腰梯形11ACC A 中，D ，M 分别为11A C ，AC 的中点，AC DM ∴⊥.在正三角形ABC 中，M 为AC 的中点，AC BM ∴⊥.DM BM M ⋂= ，DM ，BM ⊂平面BDM ，AC ∴⊥平面BDM .又BD ⊂平面BDM ，AC BD ∴⊥.（2）DM AC ⊥ ，BM AC ⊥，DMB ∴∠为二面角1A AC B --的平面角，即DMB θ∠=.AC ⊥ 平面BDM ，∴在平面BDM 内作Mz BM ⊥，以M 为坐标原点，以MA ，MB ，Mz的方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则(1,0,0)A，B，(1,0,0)C-，22Dθθ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，11222Cθθ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，112Aθθ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，则CB=，1133222CCθθ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.设平面11BB C C的法向量为(,,)x y z=n，则有10,0,CBCC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn即0,1cos0,222xx y zθθ⎧+=⎪⎨+⋅+⋅=⎪⎩令x=1y=，1cossinzθθ-=，则1cossinθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭n.设直线1AA与平面11BB C C所成角为α，又1133222AAθθ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，1sin cos,AAα∴===n.π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11cos,22θ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，sin713α∴∈⎣⎦.4.答案：(1)存在，2λ=.(2)余弦值为17.解析：(1)取11A D的中点P，连接CP交1BD于点M，点M即为所求.证明：连接PN，因为N是AD的中点，P是11A D的中点，所以1//PN AA，又PN⊂平面MNC，1AA⊂/平面MNC，所以直线1//AA平面MNC.因为11//,//A D AD AD BC ，所以1// PD BC .所以112BM CBMD PD λ===.(2)连接AC .由(1)知1//AA PN .又1AA ⊥平面ABCD ，所以PN ⊥平面ABCD .因为60ADC ABC ∠=∠=︒，四边形ABCD 是菱形，所以ADC △为正三角形，所以NC AD ⊥.以N 为坐标原点，NC ，ND ，NP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系N xyz -.又14,2AA AB ==，所以1NC ND ==，所以点1(0,0,0),(0,1,0),(0,1,4)N C D D ，则111(0,1,4),1,4),(0,0,4)ND D C DD ==--=uuur uuu r uuu u r.设平面1ND C 的法向量()111,,x y z =m ，则110,0,ND D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m uuur uuu r即1111140,40,y z y z +=⎧⎪--=令11z =，得(0,4,1)=-m .设平面1CDD 的法向量()222,,x y z =n ，则110,0,DD D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uuu u ruuu r即222240,40,z y z =⎧⎪--=令21x =，得=n ，所以cos ,||||17⋅〈〉===⋅m n m n m n ，由图易得二面角1N CD D --为锐角，所以二面角1N CD D --的余弦值为25117.5.答案：(1)见解析(2)17-解析：(1)连接1AB 交1A B 于点 Q ,连接OQ ,易知 Q 为1AB 的中点,O 为AC 的中点,∴在1AB C V 中,112OQ B C P,OQ ⊂Q 平面11,A BD B C ⊂/平面1A BD ,1B C ∴P 平面1A BD .(2)连接1,A O AO ⊥Q 平面11,A BD AO A O ∴⊥,11A B A D =Q 且O 为BD 的中点,1A O BD ∴⊥,,AO BD ⊂Q 平面ABCD 且AO BD O ⋂=,1A O ∴⊥平面ABCD .如图,以O 为坐标原点,1,,OA OB OA 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系O xyz -.易得1(0,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D A -,1((AA AB ∴==uuu r uu u r,设平面1A AB 的法向量为(,,)x y z =n ,则10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uuu r uu ur 0,0,z y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩令1x =,得y z ==,∴=n .同理可得平面1A AD的一个法向量为(1,=m ,1cos ,||||7⋅∴〈〉==m n m n m n ,结合图形知,二面角1B AA D --为钝二面角,∴二面角1B AA D --的余弦值为17-.6.答案：(1)见解析.(2)见解析.解析：(1)因为底面ABCD 是正方形，所以//CD AB .又因为AB ⊂/平面,PCD CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD .又平面PCD ⋂平面MAB l =，所以//AB l .又因为//CD AB ，所以//CD l .(2)由题易知AD ，AB ，AP 两两垂直.以A 为坐标原点，AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,0,2)A B C D P ，设(01)PM PC λλ=≤≤uuu ruu u r，则(2,2,22)M λλλ-+，则(2,2,22),(0,2,0),(2,0,0)AM AB AD λλλ=-+==uuu r uu u r uuu r.设平面AMB 的法向量为()111,,x y z =m ，则00AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m uuu ruu u r，即111122(22)020x y z y λλλ++-+=⎧⎨=⎩，令11x =，则1,0,1λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭m .设平面AMD 的法向量为()222,,x y z =n ，则00AM AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uuu ruuu r，即222222(22)020x y z x λλλ++-+=⎧⎨=⎩，令21y =，则0,1,1λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭n ，因为二面角D AM B --的平面角为2π3，是钝角，所以222||111|cos ,|||||211λλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-⎝⎭〈〉==⎛⎫+ ⎪-⎝⎭m n m n m n ，解得12λ=，则(1,1,1)M ，所以M 为线段PC 的中点，点M 到平面PAD 的距离为1，所以112221323P AMD M APD V V --==⨯⨯⨯⨯=.7.答案：(1)证明过程见解析.(2)解析：(1)如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OF ，则1OA OD BC CD ====.因为//,BC AD BC CD ⊥，所以CD AD ⊥，所以四边形OBCD 是正方形，OB BC ⊥.因为四边形BCEF 是矩形，所以BC BF ⊥.因为OB BF B ⋂=，所以BC ⊥平面OBF ，又OF ⊂平面OBF ，所以BC OF ⊥，所以AD OF ⊥.因为,,FA FB OA OB OF OF ===，所以OAF OBF ≅△△.因为OA OF ⊥，所以OB OF ⊥，所以CD OF ⊥.又,CD AD OF AD O ⊥⋂=，所以CD ⊥平面ADEF ，又AF ⊂平面ADEF ，所以CD AF ⊥.(2)以O 为坐标原点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,0,A B C D E F ---.所以(1,1,0),(1,0,(0,1,BD FA EC =--==uu u r uu r uu u r，由2CM ME =，得1130,,333EM EC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r uu u r ，所以1231,,33M ⎛- ⎝⎭，所以21,,33BM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r .设平面MBD 的法向量(,,)x y z =m ，则00BD BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m uu u r uuu r ，所以0223033x y x y z --=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令3x =，则3332x y z =⎧⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,⎛=- ⎝⎭m .设直线AF 与平面MBD 所成的角为θ，则3||2sin |cos ,|53||||2FA FA FA θ⋅=〈〉==m m m uu r uu r uu r.直线AF 与平面MBD所成角的正弦值为10.8.答案：(1)见解析.(2)体积为14.解析：(1)证明：如图，连接AC 交BE 于G ，连接FG .因为底面ABCD 是菱形，所以//,AD BC AD BC =.又E 为AD 的中点，所以12AE BC =，所以12AG AE GC BC ==.因为12PF FC =uu u r uu u r ，即12PF FC =，所以AG PF GC FC=，所以//PA FG .又FG ⊂平面BEF ，PA ⊂/平面BEF ，所以//PA 平面BEF .(2)在ABE △中，1||1,||,602AB AE BAE ==∠=︒，所以由余弦定理得2221113||||||2||||cos 601214224BE AE AB AE AB =+-⋅⋅-⨯⨯︒=+⨯=，即2BE =，所以222||||||AB AE BE =+，所以AE BE ⊥.如图，以E 为坐标原点，EA 所在直线为x 轴，EB 所在直线为y 轴，EP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.令||(0)PE a a =>，则13(0,0,0),,0,0,,(0,,)22E A B P a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以10,,0,,0,22EB PA a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu r .因为,,AE PE AE BE PE BE E ⊥⊥⋂=，所以AE ⊥平面PBE ，所以平面PBE 的一个法向量为(1,0,0)=m .设平面BEF 的法向量为(,,)x y z =n ，由EB ⊥n uur，可得0y =.因为,//FG PA FG ⊥n uu u r ，所以PA ⊥n uu r，即有1002x y az +⨯-=，令1z =，则2x a =，所以(2,0,1)a =n .由二面角P BE F --的平面角为30°，得||cos30||||⋅=︒=m n m n=，解得a 负值舍去)，所以||PE =，所以1111||||||||13334P ABCD ABCD V S PE AD BE PE -=⨯=⨯⨯=⨯⨯四棱锥菱形.9.答案：(1)见解析.(2)正弦值为5.解析：如图，取AD 的中点N ，连接MN ，BN .因为MAD △是等边三角形，所以MN AD ⊥，且sin 60MN AM =︒=，在直角梯形ABCD 中，因为1,//,DN BC DN BC AD DC ==⊥，所以四边形BCDN 是矩形，所以BN AD ⊥，且BN CD ==所以2226BN MN BM +==，即BN MN ⊥，又AD MN N ⋂=，所以BN ⊥平面MAD .因为BN ⊂平面ABCD ，所以平面MAD ⊥平面ABCD .(2)由(1)知NA ，NB ，NM 两两互相垂直，以N 为坐标原点，直线NA 为x 轴、NB 为y 轴、NM 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意，(0,0,0),(1,0,0),(1,(0,0,(1,0,0),N A B C M D DB --=uu u r，由P 是棱CM 的靠近点C的三等分点得，11233(1,0,0)(1,,33333BP BC CM ⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭uu r uu u r uuu r ，设平面PBD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BP DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uu r uu u r即2330,3330,x y x ⎧--+=⎪⎨⎪+=⎩令1y =，则1x z ==-，故平面BDP的一个法向量为(1)=-n .而平面MAD的一个法向量为NB =uu u r，设平面PBD 与平面MAD 所成的二面角的平面角为θ，则|||cos ||cos ,|5||||NB NB NB θ⋅=〈〉===n n n uu u ruu u r uu u r ，所以sin θ=，所以平面PBD 与平面MAD.10.答案：(1)见解析(2)30°解析：(1)证明：如图,连接AE ,交BD 于点F 因为四边形ABCD 为矩形,2,CD BC ==,点E 为CD 的中点,所以tan 2DE DAE AD ∠==,tan 2BC BDC CD ∠==,所以tan tan DAE BDC ∠=∠,则DAE BDC ∠=∠.因为90DAE AED ∠+∠=o ,所以90BDC AED ∠+∠=︒,所以90DFE ∠=︒,则BD AE ⊥.因为PCD V 是边长为2的等边三角形,点E 为CD 的中点,所以PE CD ⊥.因为平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD I 平面ABCD CD =,所以PE ⊥平面ABCD .又BD ⊂平面ABCD ,所以PE BD ⊥.因为PE AE E =I ,所以BD ⊥平面APE .因为AM ⊂平面APE ,所以BD AM ⊥.(2)取AB 的中点H ,连接EH ,则EH CD ⊥.以E 为坐标原点,,,EH EC EP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系,由已知条件可知,1,0),(0,1,0),A D B --,PE =设(0,0,)(0M m m <<,则(),(2,0),(0,1,)AM m BD DM m ==-=uuu r uu u r uuu u r.设平面BDM 的一个法向量为(,,)x y z =n ,则0,0,BD DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uuu u r n n即20,0.y y mz ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩令1z =,则,y m x =-=,所以,,1)m =-n .设直线AM 与平面BDM 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||AM AM AM θ⋅====uuur uuur uuur n nn 12≤=,当且仅当2233m m=,即1m =时,等号成立.uuu r.所以直线AM与平面BDM所成的角的最大值为30°,此时||2==AM AM。
高中数学立体几何小题100题(含答案与解析)
立体几何小题100例一、选择题1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．42．5【答案】D 【解析】试题分析：因为点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，所以，点P 在连接1111,A D B C 中点的连线上．为使当点P 运动时，PE 最小，须PE 所在平面平行于平面11AA D D ,2244()52PE =+=选D考点：1．平行关系；2．垂直关系；3．几何体的特征．2．如图在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,217BD cm CD cm ==，则这个二面角的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】B 【解析】试题分析：设所求二面角的大小为θ，则,BD AC θ<>=，因为CD DB BA AC =++，所以22222()222CD DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅CA DB而依题意可知,BD AB AC AB ⊥⊥，所以20,20DB BA BA AC ⋅=⋅=所以2222||||||||2CD DB BA AC BD AC =++-⋅即222417468286cos θ⨯=++-⨯⨯所以1cos 2θ=，而[0,]θπ∈，所以60θ=︒，故选B. 考点：1.二面角的平面角；2.空间向量在解决空间角中的应用.3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这 个几何体的体积是（ ）112222侧视图俯视图主视图A ．343cmB ．383cmC ．33cmD ．34cm【答案】B ． 【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为一四棱锥，∴体积382231312=⨯⨯==Sh V ． 考点：空间几何体的体积计算．4．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：设AC 与BD 交于点O ,连接OP .易证得BD ⊥面11ACC A ,从而可得BD OP ⊥.设正方体边长为1,在1Rt ACC ∆中126cos 33C AC ∠==.在AOP ∆中 22OA =,设(),03AP x x =≤≤,由余弦定理可得2222226231222362OP x x x x ⎛⎫=+-⋅⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以223162OP x x =-+.所以()22231262f x x x =-+.故选A. 考点：1线面垂直,线线垂直;2函数图象.5．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1， ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个命题：（1）平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）当且仅当x=12时，四边形MENF 的面积最小；（3）四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数； （4）四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题．．．的序号为（ ） A ．（1）（4） B ．（2） C ．（3） D ．（3）（4） 【答案】C 【解析】试题分析：（1）由于AC EF //，B B AC BD AC '⊥⊥,，则D D B B ''⊥平面AC ，则D D B B EF ''⊥平面，又因为EMFN EF 平面⊂，则平面MENF ⊥平面BDD B ''；（2）由于四边形MENF 为菱形，MN EF S MENF ⋅=21，2=EF ，要使四边形MENF 的面积最小，只需MN 最小，则当且仅当21=x 时，四边形MENF 的面积最小；（3）因为1)21(2+-=x MF ，1)21(4)(2+-=x x f ，)(x f 在]1,0[上不是单调函数；（4）NE C F EC M F MENF C V V V '-'--'+=，ME C S '∆=41121=⋅'E C ，F 到平面ME C '的距离为1，1214131=⋅='-ME C F V ，又41121=⋅'⋅='∆E C S NE C ，1214131=⋅='-NE C F V ，61)(=x h 为常函数.故选（3）考点：1.面面垂直的判定定理；2.建立函数模型.6．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A）4 （B ）4 （C ）4 （D ）34【答案】D. 【解析】试题分析：连接B A 1；11//CC AA ,AB A 1∠∴是异面直线AB 与1CC 所成的角或其补角；在1ADA Rt ∆中，设11=AA ，则21,231==D A AD ；在1BDA Rt ∆中，2121=B A ；在1ABA ∆中，431122111cos 1=⨯⨯-+=∠AB A ；即面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为34. 考点：异面直线所成的角.7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积.8．如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．11DC D P ⊥B ．平面11D A P ⊥平面1A APC ．1APD ∠的最大值为90 D ．1AP PD +22+ 【答案】C 【解析】试题分析：111DC D A ⊥ ，11DC B A ⊥，1111A B A D A = ，⊥∴1DC 平面11BCD A ，⊂P D 1平面11BCD A 因此P D DC 11⊥，A 正确；由于⊥11A D 平面11ABB A ，⊂11A D 平面P A D 11，故平面⊥P A D 11平面AP A 1 故B 正确，当2201<<P A 时，1APD ∠为钝角，C 错；将面B AA 1与面11BCD A 沿B A 1展成平面图形，正视图 侧视图俯视图线段1AD 即为1PD AP +的最小值，利用余弦定理解221+=AD ，故D 正确，故答案为C ．考点：棱柱的结构特征． 9．下列命题中，错误的是（ ）A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两条直线不一定平行C ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行于平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 【答案】B 【解析】试题分析: 由直线与平面的位置关系右知A 正确;平行于同一个平面的两条直线可以相交、平行或异面，故B 错，所以选B.考点:直线、平面平行与垂直的判定与性质.10．已知如图所示的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点P 、Q 分别在棱BB 1、DD 1上，且=，过点A 、P 、Q作截面截去该正方体的含点A 1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（ ）【答案】A【解析】试题分析：当P 、B 1重合时，主视图为选项B ；当P 到B 点的距离比B 1近时，主视图为选项C ；当P 到B 点的距离比B 1远时，主视图为选项D ，因此答案为A. 考点：组合体的三视图11．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为 （ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC ，它是一个正四棱锥P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4． 设其外接球的球心为O ，O 点必在高线PE 上，外接球半径为R ， 则在直角三角形BOE 中，BO 2=OE 2+BE 2=（PE-EO ）2+BE 2， 即R 2=（4-R ）2+（32）2，解得：R=174，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力12．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）【答案】C 【解析】 试题分析：因为37411>，所以1A E 延长交11D C 于F ，过F 作FM 垂直DC 于.M 在矩形1AA FM 中分析反射情况：由于35105AM =>，第二次反射点为1E 在线段AM 上，此时153E M =,第三次反射点为2E 在线段FM 上，此时24E M =,第四次反射点为3E 在线段1AF 上,由图可知，选C.考点：空间想象能力13．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由图可得该几何体为三棱柱,因为正视图,侧视图,俯视图的内切圆半径最小的是正视图(直角三角形)所对应的内切圆,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r , 则2286862r r r -+-+⇒=,故选B. 考点：三视图 内切圆 球 三棱柱14．已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 A ．14 B ．24 C ．34 D ．12【答案】B. 【解析】试题分析：如图作BE β⊥于E ，连结AE ，过A 作AG ∥CD ，作EG AG ⊥于G ，连结BG ，则.BG AG ⊥设2AB a =．在ABE ∆中，60,90,2,.BAE AEB AB a AE a ∠=︒∠=︒=∴=在Rt AEG ∆中，29045,90,cos 45.2GAE CAG AGE AG a a ∠=︒-∠=︒∠=︒∴=︒=在Rt ABG∆中，222cos 24AG BAG AB a ∠===∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24，故选B ．βαElBDACG考点：1.三垂线定理及其逆定理；2. 空间角（异面直线所成角）的计算．15．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．21S S =且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠ 【答案】D 【解析】试题分析：三棱锥ABC D -在平面xoy 上的投影为ABC ∆，所以21=S ，设D 在平面yoz 、zox 平面上的投影分别为2D 、1D ，则ABC D -在平面yoz 、zox 上的投影分别为2OCD ∆、1OAD ∆，因为)2,1,0(1D ，)2,0,1(2D ，所以212=-S S ，故选D.考点：三棱锥的性质，空间中的投影，难度中等.16．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，12BF =，将此正 方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（ ） A ．13B 523 D ．23【答案】B【解析】试题分析：解：因为90,DPE DPF ∠=∠=所以,DP PE DP PF ⊥⊥又因为PE ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,且PE PF P =,所以DP ⊥平面PEF在PEF ∆中，22223151,,1222PE PF EF EB BF ⎛⎫===+=+= ⎪⎝⎭所以222351222cos 33212EPF ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,225sin 133EPF ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭ 所以11355sin 122234PEF S PE PF EPF ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 115523346PEF P DEF D PEF V V DP S ∆--==⋅⋅=⨯⨯=三棱锥三棱锥 所以应选B.考点：1、直线与平面垂直的判定；2、正弦定理与余弦定理；3、棱锥的体积.17．高为的四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离．解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S ，A ，B ，C ，D 均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为：=故选A点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力．18．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )A ．2aB ．5aC ．aD ．3a【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式2222cos EF d m n mn θ=++± ，对于本题中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故()222222cos 602CD a a a a a a =++-⋅⋅⋅=．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．19．长方体的表面积是24，所有棱长的和是24，则对角线的长是（ ）．Ａ．14 B ．4 C ．32 D ．23【答案】B【解析】试题分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积，十二条棱长度之和，然后可得对角线的长度．考点：长方体的结构特征，面积和棱长的关系.20．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ , 由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF 与面MPQ 不垂直，所以选项C 是正确的；因为//EF l ，M 是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l 是唯一的，故选项D 不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．21．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D【解析】试题分析：由于',A G DE FG DE ⊥⊥．所以DE ⊥平面'A FG ．经过点'A 作平面ABC 的垂线垂足在AF上．所以A 选项正确．由A 可知B 选项正确．当平面'A DE 垂直于平面BCDE 时，三棱锥EFD A -'的体积最大，所以C 正确．因为BD EF ，设2AC a =．所以'EF A E a ==，当'2A F a =时，32'(')2a A G GF A G GF a <+==．所以异面直线E A '与BD 可能垂直．所以D 选项不正确．考点：1．线面位置关系．2．面面的位置关系．3．体积公式．4．异面直线所成的角．5．空间想象力．22．已知棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上,且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF 面MPQ=l ，则下列结论中不成立的是( )A ．//l 面ABCDB ．l ⊥ACC ．面MEF 与面MPQ 不垂直D ．当x 变化时，l 不是定直线【答案】D【解析】试题分析：解：连结1111,,,AC BD AC B D ,,AC BD 交于点O 1111,AC B D 交于点1O由正方体的性质知，11111111////,,BD B D AC AC AC BD AC B D ⊥⊥，因为,E F 是,AD AB 的中点，所以//EF BD因为11A P A Q =,所以11//PQ B D所以//PQ EF ,所以//PQ 平面MEF ,//EF 平面MPQ ,由MEF 面MPQ=l ，EF ⊂ 平面MEF ，所以//EF l ，而EF ⊂平面ABCD ,l ⊂/平面ABCD , 所以，//l 面ABCD ，所以选项A 正确；由AC BD ⊥，//EF BD 得EF AC ⊥而//EF l ，所以l ⊥AC ，所以选项B 正确；连111,,MB MD O M ,则11//,O M AC 而1111,//,//AC A B AC BD BD EF A B MF ⊥⊥，所以，11,O M EF O M MF ⊥⊥,所以1O M ⊥平面MEF ，过直线l 与平面MEF 垂直的平面只能有一个，所以面MEF与面MPQ不垂直，所以选项C是正确的；EF l，M是定点，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线l是唯一的，故选因为//项D不正确．考点：1、直线平面的位置关系；2、直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直的判定及性质．23．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（）A．B．C．D．3【答案】A【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为，选A．24．如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.则棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值是（）A. 2:1B. 1:1C. 1:2D. 1:3【答案】C。
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立体几何简答题练习
1、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ。
求证:PQ∥平面BCE.（用两种方法证明）
2、如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别在PA、BD上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF∥平面PBC.
3、如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
的棱BC，CC
1
，C
1
D
1
，AA
1
的中点。
求证：（1）EG∥平面BB
1D
1 D；
（2）平面BDF∥平面B
1D
1 H．
4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ；
(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。
5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。
（1）求证：SB ∥平面ACM ；
（2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ； （3）求二面角D-AC-M 的余弦值。
6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD=
2
2
AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC;
(3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3
1
?说明理由.
7、如图,在四棱柱ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中,底面ABCD是等腰梯形,∠
DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点。
(1)求证:C
1M∥平面A
1
ADD
1
;
(2)若CD
1垂直于平面ABCD且CD
1
=3,求平面C
1
D
1
M和平面ABCD所成的角(锐角)
的余弦值。
8、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：BC⊥DE．
9、三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．
（Ⅰ）求证：MN||平面BCC1B1；
（Ⅰ）求证：平面AMN⊥平面A1B1C．
10、如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，AB=PB，E，F分别是PA，AC的中点．求证：
（1）EF∥平面PBC；
（2）平面BEF⊥平面PAB．
11、如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别是AB，PC的中点，且PA=AD
（1）求证：MN∥平面PAD
（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．
12、如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．
（1）求证：B1C1∥平面A1DE；
（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．
8、如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.△PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD 边的中点，
求证：平面PBG⊥平面PAD；
9、如图所示,在四棱柱P-ABCD中,底面ABCD是边长为a菱形,且∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD。
（1）若G为AD边的中点，求证:BG⊥平面PAD;
（2）求证：AD⊥PB;
（3）若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD,
并证明你的结论.
10、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，DA⊥平面ABC，AE⊥BD于E，AF ⊥CD于点F．求证：BD⊥平面AEF．。