高中数学必修2立体几何专题资料

专题一浅析中心投影与平行投影

中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础，弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图，平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．下表简单归纳了中心投影与平行投影，结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影．

例1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等？

解析：方法一：可在同一方向上画出与原长相等的影长，分别连结它们影子顶点与树的顶点，此时为平行投影.

方法二：可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子顶点与树的顶点相交于P，此时为中心投影，P为光源位置.

点评：这是一道平行投影和中心投影相结合的题目，答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到的是相交线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本作法，还应注意，若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影子不可能与原长相等.

例2 如图所示，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．

解析：在下底面ABCD上的投影为③，在右侧面B′BCC′上的投影为②，在后侧面D′DCC′上的投影为①.

答案：①②③

点评：画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．

专题二不规则几何体体积的求法

当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考．

一、等积转换法

当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，

可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．

例1在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P

分别是棱A1B1，A1D1，A1A上的点，且满足A1M = 1

2A1B1，

A1N=2ND1，A1P= 3

4A1A（如图1），试求三棱锥A1—MNP的体

积．

分析：若用公式V= 1

3Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积，

则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，

但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P—A1MN的体积，便能很容易的求出其高和底面△A1MN的面积，从而代入公式求解．

解：V A

1-MNP =V A1—MNP =

1

3·S△A1MN

·h =

1

3×

1

2·A1M1·A1N·A1P=

1

3×

1

2×

1

2a·

2

3a·

3

4a=

1

24a

3．

评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据．

二、分割法

分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．

例2如图2，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E,F分别为AB,AC的中点，平面EB1C1F

将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．

分析：截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF—A1B1C1；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．

解：设棱柱的底面积为S，高为h，其体积V=Sh．

则三角形AEF

的面积为1 4S

．

由于V AEF-A1B1C1=

1

3·h·(

s

4+S+

s

2)=

7

12Sh,

则剩余不规则几何体的体积为V ??′=V-V AEF-A1B1C1=Sh -

7

12Sh =

5

12Sh，

所以两部分的体积之比为V AEF-A1B1C1：V ??′=7：5.

评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算．

三、补形法

某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．

例3 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.

分析：由三视图画出直观图，补一个大小相同的几何体，构成一个圆柱即可求其体积.

解：由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V ＝3

4

×π×12×4＝3π.

评注：“对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助．

专题三 处理球的内切与外接问题

与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题

例1 已知正四面体的棱长为a ，外接球半径为R ,内接球半径为r ,则R 和r 的关系为_______．

解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．

正四面体的表面积S 表=4×

3 4

a 2

= 3 a 2． 体积V A -BCD = 13 ×3 4 a 2×AE = 3 12 a 2

AB 2-BE 2

= 3 12

a 2

a 2-13 a 2 = 2

12

a 3. ∵1

3 S 表·

r =V A -BCD , ∴r = 3V A -BCD S 表 =3×2

12 a 3

3 a 2= 6

12 a .

在Rt △BEO 中，BO 2 =BE 2+EO 2，即R 2=( 3 3 a )2+r 2，解得R = 6

4 a .

∴R=3r .

图1

点评：由正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为h 4 ( h

为正四面体的高)，且外接球的半径3h

4 ，从而可以通

过截面图中Rt △OBE 建立棱长与半径之间的关系。

二、球与棱柱的组合体问题

1.正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正

方体的中心.设正方体的棱长为a ，球半径为R .如图2，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得R =a

2

；

2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图3作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得R = 2

2

a ；

3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图4，以对角面AC 1作截面图得，圆O 为矩形AA 1C 1C 的外接圆，易得R =A 1O =

3

2

a .

例2 在球面上有四个点P ,A ,B ,C .如果PA ,PB ,PC 两两互相垂直，且PA =PB =PC =a ,那么这个球的表面积是______.

解：由已知可得PA ,PB ,PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，容易求得对角线的长为 3 a ,

∴S 表面积=4π（ 3

2

a ）2 =3πa 2.

点评：求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的． 三．构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题

正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。

例3 已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点在球O 1上，又知球O 2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O 1与球O 2的表面积之比与体积之比.

解：如图5，由题意得两球心O 1，O 2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱 AA 1和它们的球心作截面，设正三棱柱

图2

图3

图4

底面边长为a，则R2=

3

6a，正三棱柱的高为h=2R2=

3

3a.

在Rt△A1D1O中，由勾股定理得

R12 =（

3

3a）

2+R22 =（

3

3a）

2+（

3

6a）

2 =

5

12a

2，

∴R1=5

12a，

∴S1:S2=R12 :R22=5:1,V1:V2=5 5 :1.

点评：内切和外接等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。

专题四直线、平面平行的判定及其性质错解分析

同学们在学习直线、平面平行的判定及其性质时，经常遇到困难，下面就同学们在解题中容易出现的错误分析如下，供大家参考.

一、未理解平行的意义

例1给出下面说法：

（1）如果一条直线和一个平面平行，那么它就和这个平面内的任何直线平行；

（2）如果一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行；（3）平行于同一个平面的两条直线平行.

其中正确的个数是（）

A .0 B.1 C.2 D.3

错解：D

分析：对直线和平面平行的定义、判定和性质不理解，造成错误.

（1）正方体的上底面的一条棱平行于下底面，显然下底面存在直线与这条棱是异面直线；（2）存在平面同时经过这两条直线；

（3）平行于同一平面的两条直线可能平行、异面、相交.

正解：A

二、思维定势

例2已知直线a 、b，有a∥b，b∥平面α，a ?α.

求证：a∥平面α.

错解: 如图，在α内任取一点A，在α内过A点作直线c，使c∥b

.a b

因为a ∥b ，所以a ∥c .

又a ?α，c ?α，所以a ∥平面α.

分析:错解中“在α内任取一点A ，在α内过A 点作直线c ，使c ∥b ”这一作图不符合立体几何作图的要求,错因是想当然地把平面几何的有关知识迁移到立体几何中造成的.

正解: 如图，过b 作平面β交平面于直线c .

由b ∥平面α，b ?β，α∩β＝c ，得b ∥c . 又因为a ∥b ，所以a ∥c . 而a ?α，c ?α，所以a ∥平面α. 三、未平行的性质

例3 已知AB ，CD 为夹在两个平行平面α，β之间的异面线段，M ，N 分别为AB ，CD 的中点.

求证：MN ∥α，MN ∥.β.

错解：如图，因为α∥β，所以AC ∥BD 。 又M ，N 分别为AB ，CD 的中点， 所以MN ∥BD ，MN ∥AC 。

所以MN ∥α，MN ∥β。

分析：错解中“因为α∥.β，所以AC ∥BD ”这是错误的。假如AC ∥BD ，则A ，C ，D ，

B 四点共面，即AB 与CD 共面，与题设AB ，CD 为异面线段矛盾。这是未弄清平面平行的性质造成的错误。

正解：如图，过D 作DE ∥AB 交α于E 。

设DE 中点为P ，则在平行四边形ABDE 中，MP ∥AE 。 又在△DCE 中，NP ∥CE ，所以平面PMN ∥α，所以MN ∥α。

又α∥β，且MN ?β，所以MN ∥β。

四、证明理由不充分

例4 如图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM ＝FN 。

α

a

求证：MN ∥平面BCE 。

错解：过M 作ML ∥BC 交AB 于L ，连接NL ，则ML ∥BC ， NL ∥AF 。

所以平面MNL ∥平面BCE ， 所以MN ∥平面BCE 。

分析：在证明NL ∥AF 以及证明面面平行时理由不充分，这也是学生经常犯的错误。

正解：过M 作ML ∥BC 交AB 于L ，连接NL 。 则在△ABC 中，ML ∥BC ，则AM MC = AL

LB 。 由AC ＝FB 且AM ＝FN ，得MC =NB . 所以FN NB = AL

LB ，所以NL ∥AF 。

又AF ∥BE ，所以NL ∥BE 。 所以平面MNL ∥平面BCE ， 所以MN ∥平面BCE 。 五、循环论证

例5 已知a ，b 是两条异面直线。

求证：过直线a 且平行于直线b 的平面α必与过直线b 且平行于直线a 的平面β平行。

错解：如图，过a 作平面M 交平面β于a ′，则a ∥a ′。

因为a ，b 是两条异面直线，且a ′与b 都在平面β内， 所以a ′与b 必相交。

同理，过b 作平面N 交平面α于b ′，可得b ∥b ′且b ′于a 相交。 由a ∥a ′，b ∥b ′，且a ′与b 相交，b ′与a 相交，a 与b ′都在平面α内，a ′与b 都在平面β内，所以α∥β。

分析：错解中a ∥a ′，只有当α∥β时才能成立。而题目本身要求证明α∥β，这样就犯了循环论证的逻辑错误。

正解：如图，过b 作平面γ 交平面α于直线b ′。 因为b ∥α，所以b ∥b ′。

因为a ,b 是两条异面直线，b ∥b ′，所以a 与b ′不平行。 又a 与b ′都在平面α内，所以a 与必相交。 因为b ∥b ′，b β，所以b ′∥β。 又a ∥β，所以α∥β。

专题五 线面垂直方法的总结

学习了平面与直线垂直的定义、判定定理和性质定理，同学们可以体会线线垂直在证明线面垂直时的重要性，将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法.在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”，下简单分析常见的线面垂直证明方法. 一、应用勾股定理

如果一个三角形的边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2，则这个三角形是直角三角形，可以得到线线垂直的关系.

例1 如图所示，点P 是梯形ABCD 所在平面外一点，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，已知BD =2AD =8，AB =4 5 .设M 是PC 上的一点. 求证:BD ⊥平面P AD .

证明:∵PD ⊥平面ABCD , BD ?平面ABCD , ∴BD ⊥PD .

∵BD =8，AD =4，AB =4 5 ， ∴AD 2+BD 2=CD 2, ∴∠ADB =90°， ∴BD ⊥AD .

又∵PD ?平面P AD ,AD ?平面P AD , PD ∩ AD =D ,

b '?A

B

C

D

P

M

∴BD ⊥平面P AD .

二、应用等腰(等边)三角形三线合一性质

所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时也是高和角分线,可以很轻松地得到线线垂直,从而为证明线面垂直做了很好的准备工作.

例2 如图所示，已知P A 垂直于圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 的圆周上异于A ,B 的任意一点，且P A =AC ,点E 是线段PC 的中点. 求证：AE ⊥平面PBC .

证明：∵P A ⊥圆O 所在平面，BC 是圆O 的弦， ∴BC ⊥P A .

又∵AB 是圆O 的直径，∠ACB 是直径所对的圆周角， ∴BC ⊥AC .

∵P A ∩AC =A ,P A ?平面P AC ,AC ?平面P AC .

∴BC ⊥平面P AC ，AE ?平面P AC ，

∴AE ⊥BC . ∵P A =AC ，点E 是线段PC 的中点.

∴AE ⊥PC .

∵PC ∩BC =C ,PC ?平面PBC ,BC ?平面PBC . ∴AE ⊥平面PBC . 三、应用平面图形的几何性质

在立体几何问题的解决中,平面图形的性质产生了很重要的地位,在学习立体几何的过程中,平面几何的诸多知识点不能推广到三维空间,但要注意平面图形的性质，在解决立体几何的时候会发挥很重要的作用.

例3 如图所示,四边形ABCD 是菱形,点P 是菱形ABCD 所在平面外一点，∠BCD=60°， E 是CD 的中点,P A ⊥平面ABCD . 求证:BE ⊥平面P AB .

证明:∵P A ⊥平面ABCD ,BE ?平面ABCD ,

∴BE ⊥P A ,

∵底面ABCD 是菱形,∠BCD=60°， ∴∠ABD=60°. ∵E 是CD 的中点, ∴∠DBE=30°,

∴∠ABE =∠BCD +∠DBE =60°+30°=90°, ∴BE ⊥AB .

∵P A ∩ AB =A ,P A ?平面P AB ,AB ?平面P AB ,

∴BE ⊥平面P AB .

A C B

P E O g

A

C E

D P