2012年高中数学联赛甘肃预赛试题与答案 (含填空题详解)
全国高中数学联赛甘肃省预赛试题及参考答案
全国高中数学联赛甘肃省预赛试题一.填空题(本题满分56分,每小题7分)1.已知集合{|(2)(6)3,,07}A x x x x Z x =--≥∈≤≤，则A 的非空子集的个数为.2. 若()()sin2f g x x =，()tan (0)2xg x x π=<<，则2f ⎛= ⎝⎭.3. 若底边长为2的正四棱锥恰内切一半径为12的球，则此正四棱锥的体积是 . 4. 在平面直角坐标系中，已知点(1,2)A 和(4,1)B . 圆2225x y +=上的动点(,)P x y 与,A B 形成三角形，则三角形ABP 的面积的最大值为 .5.将正整数1,2,3,4,5,6,7任意分成两组，使每组至少有一个数，则第一组数的和与第二 组数的和相等的概率是 ．6. 数列满足410=a ，及对于自然数n ，n n n a a a +=+21，则∑=+2011011n na 的整数部分是 ．7. 四次多项式)(x f 的四个实根构成公差为2的等差数列，则()f x '的所有根中最大根与最小根之差是 .8.设][x 表示不超过实数的最大整数，则在平面上，由满足50][][22=+y x 的点所形成的图形的面积是 ．二.解答题 (本题满分64分, 第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)9. 已知正项数列{}n a 满足：（1）12012a =；（2）23,a a 是整数；（3）数列2{}n na n -是公比不大于10的等比数列. 求数列{}n a 的通项公式.10. 已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上， 若12PF F ∆的面积是，求12F PF ∠.11. 设1a ,2a ,…, n a 为正数，且121n a a a +++=，求证：()2222212121111()()()n nn a a a a a a n+++++++≥．12.设11n ≥是一正整数，由不大于n 的连续10个正整数的和组成集合A ，由不大于n 的连续11个正整数的和组成集合B 。
2012年数学高考试题(甘肃卷)(文史类)
【答案】B
【解析1】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞6次即可.
【解析2】以AB为 轴，以AD为 轴，建立直角坐标系 。
由已知条件知， ， ，所以直线EF的方程为 ，整理得 。
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】椭圆的焦距为4，所以 。因为准线为 ，所以椭圆的焦点在 轴上，且 ，所以 ， ，所以椭圆的方程为 ，选C.
（6）已知数列 的前 项和为 ， ， ，,则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析1】因为 ，所以由 得， ，整理得 ，所以 ，所以数列 是以 为首项，公比 的等比数列，所以
【解析】双曲线的方程为 ，所以 ，因为 ，所以点P在双曲线的右支上，则有 ,所以解得 ， ，所以根据余弦定理得 ,选C.
（11）已知 ， ， ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析1】 ， ， ， ，所以 .
【解析2】Mathematica9.0
In[1]:=
【解析2】画出可行域，易得可行域的三个顶点坐标为 ， ， 。
代入目标函数计算：
，
，
，
显然，当 ， 时，目标函数 取得最小值 。
【解析3】Mathematica9.0
In[1]:=
Out[1]=
【解析4】Excle2013
1.如图1，区域B4:C4，输入目标函数系数；区域B6:C8，输入约束条件系数；区域E6:E8输入约束条件常数（约束条件中的常数需移项到不等式的右侧）。
【解析2】Mathematica9.0
2012年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛
（ ２ ） 设ｂ ＝ ÷ （ ｎ∈ Ｎ ＋ ， ｃ 为非零常
数） ． 若 数列 ｛ ６ ｝ 是等 差数 列 ， 记
ｃ ＝ ｎ
，
ｓ ＝ｃ ，＋ｃ ：
・＋ ｃ ．
求５ ．
１ ０ ． （ １ ４ 分） 设 是抛 物线 Ｙ ＝ （ ｐ＞ ０ ）
＋１ ）＝ ） ， （ Ｙ ）－ ｆ （ Ｙ ）一 ＋ ２
＝ ＥＦ ＝
，
瓣
一
４ ２
， ’ ’
ｘ ｙ＋１ ）＝ ， ， ） ）－ ｆ （ ） 一Ｙ＋ ２．
２． ２ ．
故 ） Ｙ ） － ｆ （ Ｙ ） 一 ＋ ２ ＝ ｙ ） ） － ｆ （ ）一 Ｙ＋ ２，
（ ２ ） 设Ａ Ｂ 的 中点 为 Ｐ ， 求１ Ｐ ｌ 的 最
小值．
４ ． 设／ （ ）＝ｆ ｘ － １ ） ’
一
（
，
３ 其 中 ， ＋Ｃ＝１．证 明 ：
１ １ ． （ １ ８分 ） 设 ｎ 、 ｂ 、 ｃ为 正 实数 ， 且 ０＋ｂ
［ ］ 表示不超过实数 的最大整数． 若
３ ０
中 等 数 学
２ ０ １ ２年全 国高中数学联赛甘肃赛 区预赛
中图 分 类 号 ：Ｇ ４ ２ ４ ． ７ ９ 文 献 标识 码 ：Ａ 文章 编 号 ：１ ０ ０ ５— ６ ４ １ ６ （ ２ ０ １ ３） ０ ３— ０ ０ ３ ０— ０ ３
填 空题 （ 每小 题 ７分 ， 共５ ６分 ） １ ． 空 间 四点 、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ两 两 间 的距 离 均
１ ０≤ Ｏ Ｐ・ ＯＢ≤２．
则点 Ｑ（ ＋Ｙ ， ｙ ＿ ） 构 成 的 图形 的 面 积 为 ３ ． 设 有非 空集 合 ｛ １ ， ２ ， …， ７｝ ， 且 当 口∈ Ａ时 ， 必有 ８一 口∈Ａ ． 则这 样 的集 合 Ａ的 个 数是 ．
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A卷word版)
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案及详细评分标准(A 卷word 版)一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１． 设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅的值是 ．解:方法1:设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002()(),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,),(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- ２． 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan tan A B的值是 . 解:由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb ac A A B ca b ac b c a B B A b c a c b +-⋅+-=====+-+-⋅. ３．设,,[0,1]x y z ∈，则M=.解:不妨设01,x y z≤≤≤≤则M=所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M = 4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是 . 解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.2AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()2AF BF AF BF +≥+-22().2AF BF MN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MNAB的最大值为1.5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．解:如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==6. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解:由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x 取得最大值1)(2).a +因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞７．满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ．解:由正弦函数的凸性,有当(0,)6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sin sin sin sin sin .134********πππππ<<<<<< 故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.８．某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）解:用k P 表示第k 周用A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14kP ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为34，公比为13-的等比数列。
(完整word版)20.2012年全国高中数学联赛模拟卷(十)答案
2012年全国高中数学联赛模拟卷(十)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（共8题，每题8分，64分）1.用区间表示函数1()ln(1)3xf x x -=-+的定义域为 。
( 3.1)-- 2.在△ABC 中。
若1sin cos 3A A +=-，则cos2A =。
93.在数列{}n a 中，1*112,22()n n n a a a n N ++=-=∈,则使10n a >成立的最小正整数n 的值是 。
提示：3，*1112,1()22n n n n a a a n N ++=-=∈ 4.已知()f x 是R 上的奇函数，对任意x R ∈，均有(2)()f x f x +=，且(0,1)x ∈时，2()f x x =，则3()(1)2f f -+= 。
提示：14,(12)(1),(1)0f f f -+=-=5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，△PAB 为等 边三角形，O 为AB 边的中点，且PO ⊥平面ABCD ,则二面角P AC D --的余弦值为。
6.若正整数m 使得对任意一组满足12341a a a a =的正数1234,,,a a a a 都有123412341111m m m m a a a a a a a a +++≥+++成立，则正整数m 的最小值为 。
提示：3，用排序不等式，右边＝234134124123a a a a a a a a a a a a +++不妨设1234a a a a ≥≥≥，列出三组必定成立 7.函数22*()sin cos ,()kk f x x x k N =+∈的最小值为 。
提示：112k -，观察，归纳，证明。
8.将方程33[]40x x -⨯-=（[]x 表示不超过x 的最大整数）的实数解从小到大排列成12,,,k x x x L ，则33312k x x x +++=L 。
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
2012年全国高中数学联赛试题
2012年全国高中数学联赛试题考试时间：2012年10月14日上午8:00-9:20一． 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
把答案填在试卷相应题号的横上。
1. 设P 是函数y =x +2x (x >0)的图像上任意一点，过点P 分别向直线y =x 和y 轴作垂线，垂足分别为A ,B ，则PA �����⃗⋅PB �����⃗的值是______________。
2. 设△ABA 的内角A ,B ,A 的对边分别为a ,b ,c ，且满足a cos B −b cos A =35c ，则tan A tan B 的值是_________________。
3. 设x ,y ,z ∈[0,1]，则M =�|x −y |+�|y −z |+�|z −x |的最大值是____________。
4. 抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ,B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MM ||AB |的最大值是___________。
5. 设同底的两个正三棱锥P −ABA 和Q −ABA 内接于同一个球。
若正三棱锥P −ABA 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q −ABA 的侧面与底面所成角的正切值是_____________。
6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=x 2。
若对任意的x ∈[a ,a +2]，不等式f (x +a )≥2f (x )恒成立，则实数a 的取值范围是_______________。
7. 满足14<sin πn <13的所有正整数n 的和是________________。
8. 某情报站有A ,B ,A ,D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
设第1周使用A 种密码，那么第7周也使用A 种密码的概率是______________。
2012年高中数学竞赛试题及解答
2012年高中数学竞赛答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .2.已知正整数1210,,, a a a 满足:3,1102>≤<≤ji a i j a ,则10a 的最小可能值是 .3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= .4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 .5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x .6．方程1233213+⋅-+=m n n m 的非负整数解(),=m n .7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答）8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++ n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 .E1C D 1A二、解答题9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ．求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证： （1）43xy yz zx ++≥； （2）2x y z ++≥．ODCBA12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n - 的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：（a ） 1,21n A A ∈-∈；（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．参考答案：1 2、92 3、11 4、(){},04-∞ 526、()()3,0,2,27、258、40259．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①…………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以 221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得 2OB OC ⋅=． ③…………………（5分）所以 144s i n 2A B C D O B C S S O B O C B O C ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=， 故()AB h x ⋅212x -=，所以 21()2x h x x-=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得221(1)22x +≥，解得（结合1x >） 11x <+．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x++-==++++++．当713a <≤时，02≤，此时3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． …………………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t -=+在(0,内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分）11．证 （1）记t =33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分） 于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+，所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而 43x y y zz x ++≥． …………………（10分） （2）又因为2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分）12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ⊆- ，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m = 不满足（b ），故3A >．又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ），故4A >． 而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =．…………………（6分） （2）首先证明(1)()2,3,4,f n f n n +≤+= ． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆- ，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ． 令{}1122,21n n B A ++=-- ，由于12221n n +->-，故()2B f n =+． 又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆- ，且B 满足（a ），（b ）．从而(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明：(2)()1,3,4,f n f n n n ≤++= ． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆- 满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ．令{}222(21),2(21),,2(21),21n n n n n B A =---- ，由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<- ， 所以{}21,2,,21n B ⊆- ，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k n k n k n k n +-=-+-=- ，2212(21)(21)n n n n -=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分） 由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②，③可得≤++≤+++f f f(100)(50)501(25)25151≤+++≤+++f f(12)12377(6)6192≤+++=．…………………（16分）(3)3199108f。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
an 1 a 1 n ， n 1 n 1 n 1 an 1 an 1 1 1 进一步得： n n 1 n 1 n n n 1 n n 1
当 n 2, n N 时，
an 1 a 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 3 2 1 1 n n n n n n 1 1 n 又 a2 6 ，当 n 2 时， an 1 n 1 2n 1 ，即当 n 3 时， an n 2n 1 .
从而有： 由 a2 6 代入及 1 1 a2 1 1 a1 1 1 a1 1 ，亦合上式. 故对任意 n N ， an n 2n 1 …………………….8 分
a2 6 符合上式
(Ⅱ) 由 bn
n 2n 1 an 1 6 15 , b2 , b3 知 b1 ，又由于数列 bn 是等差数列，所以 nc nc 1 c 2c 3 c 12 1 15 1 2b2 b1 b3 ， ，得 c ，从而 bn 2n ， 2 c 1 c 3 c 2 bn 2n n 进一步得： cn n n n 1 , 2 2 2 2 3 n 1 n 2 3 4 n 1 n S n 1 1 2 n 2 n 1 2Sn 2 0 1 2 n 3 n 2 ① ② 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 n n2 两式相减得： S n 3 2 n 2 n 1 4 n 1 …………………….14 分 2 2 2 2 2
an b c 为非零常数， 若数列 bn 是等差数列， 记 cn n , Sn c1 c2 cn , 求 Sn . n N ， 2n nc a an 1 解：(Ⅰ) 由已知 n 1 n n N n 1 an 1 n 1 an n 1 an 1 an 1
2012全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第1页(共6页) - 1 -
3. 设有非空集合 A 1, 2,3, 4,5, 6, 7 , 且当 a A, 时，必有 8 a A, 这样的集合 A 的个数是 _____________；
4. 设 f ( x )
x [ x], x 0 ， 其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数， 若 f ( x) kx k ( k 0) 有 f ( x 1), x 0
_________；
7.
设 函 数
f :RR ， 满 足
f (0) 1
且 对 任 意
x, y R 都 有
f ( xy 1) f ( x) f ( y ) f ( y ) x 2 ，则 f ( x) =____________________________；
8. 实数 x 、 y 、 z 满足 x y z 1 ，则 xy yz 的最大值为
二、解答题
2、2
6、
3、15
7、 x 1
4、 ( , ]
8、
1 1 4 3
1 2
1006
2 2
说明：以下评分标准仅供参考，其他正确答案请参照以下给分点平行给分
9、 （14 分）已知数列 an 满足
(Ⅰ) 求数列 an 的通项公式； (Ⅱ) 设 bn
an 1 an 1 n n N , 且 a2 6 . an 1 an 1
提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了 51 个问题.试求 m ， n 的值．
2012 全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第 6 页(共 6 页)
- 6 -
2012 全国高中数学联赛甘肃省预赛预赛参考答案 (满分 120 分) 一、 填空题（每小题 7 分，共 56 分）
2 1、 2 5、36
（18 分）设 a, b, c 为正实数，且 a b c 1 ，求证： 11、 证明：由排序不等式，有
a
2
b c 1 a b2 c2 ≥ . bc ac ab 2
a 2 b 2 c 2 ≥ ab bc ca a 2 b 2 c 2 ≥ ac ba cb
2 2 2
___.
2012 全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第 2 页(共 6 页)
- 2 -
二、解答题( 本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分，第 11、12 题每题 18 分)
9. 已知数列 an 满足
得分
评卷人
an 1 an 1 n n N , 且 a2 6 . an 1 an 1
得分
评卷人
11. 设 a, b, c 为正实数，且 a b c 1 ，求证：
a
2
b c 1 a b2 c2 ≥ ． bc ac ab 2
2012 全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第 5 页(共 6 页) - 5 -
得分
评卷人
12. 某校数学兴趣小组由 m 位同学组成，学校专门安排 n 位老师作为指导 教师. 在该小组的一次活动中， 每两位同学之间相互为对方提出一个问题, 每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每位指导教师也向全组
两式相加，有
…………………….6 分
2 a 2 b 2 c 2 ≥ a b c b c a c a b …………………….9 分
a b c ，有 bc ca ab b c a 2 a 2 b2 c2 ≥ a b c b c a c a b …………………….12 分 bc ca ab
2p 2 x1
；由 y 2 px 知 l2 的斜率为 k2
2p 2 x2
-1-
设 A,B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) 则 l1 : y y1
2p 2 x1
( x x1 ) ； l2 : y y2
2p 2 x2
( x x2 ) ， 两式相减得
一、填空题( 本题满分 56 分,每小题 7 分)
得分 评卷人
本题共有 8 小题，请将正确答案直接写在横线上。
1. 空间四点 A ， B ， C ， D 两两间的距离均为 1 ，点 P 与点 Q 分别在线段 AB 与 CD 上运动， 则点 P 与点 Q 间的最小距离为____________；
0 OPOA 1 2. 向量 OA (1, 0) , OB (1,1) , O 为坐标原点，动点 P ( x, y ) 满足 , 则点 OP OB 0 2 Q( x y, y ) 构成的图形的面积为___________；
y1 y2
又 y1 y2
2p 2
x1 x2 x1 x2
x
2p ( x1 x2 ) 2
2 p ( x1 x2 ) ，从而
1
p 1 1 x 即 x1 x2 2 2 2 x1 x2
2 2 2 2
设过 A, B 的直线为 y kx m 代入 y 2 px 得 k x (2km 2 p ) x m 0
得分
评卷人
10. M 是抛物线 y 2 px( p 0) 的准线上任意点，过 M 点作抛物线的
2
切线 l1 、 l2 ， 切点分别为 A 、 B （ A 在 x 轴上方）. （1）证明：直线 AB 过定点； （2）设 AB 的中点为 P ，求 MP 的最小值.
2012 全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷第 4 页(共 6 页) - 4 -
二Ｏ一二年全国高中数学联赛甘肃预赛试卷
(2012 年 6 月 24 日上午 9:00-11:30)
二 题号 一 9 得分 评卷人 复核人 考生注意: 1、本试卷共两大题(12 道小题),全卷满分 120 分. 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3、解题书写不要超出装订线. 4、不能使用计算器. 10 11 12 总成绩
m2 m2 p 2 m p ，从而 ，则以图可知直线 AB 过焦点…………………….8 分 2 2 k k 4 k 2 2p （2） k 1 k2 1 l1 l2 4 x1 x2
则 x1 x2 则 MP
1 1 AB , ( MP) min ( AB) min p …………………….14 分 2 2
2
上式两端同乘
≥ a b c 1 …………………….15 分
从而有 a b c
2 2
2
分 bc ac ab 2
12、 （18 分）某校数学兴趣小组由 m 位同学组成，学校专门安排 n 位老师作为指导教师.在该小组的一次 活动中，每两位同学之间相互为对方提出一个问题,每位同学又向每位指导教师各提出一个问题，并且每 位指导教师也向全组提出一个问题，以上所有问题互不相同，这样共提出了 51 个问题.试求 m,n 的值. 解：则有 m(m－1)+mn+n=51． …………………….6 分 化简得 m +(n－1)m+n－51=0 故Δ=(n－1) －4(n－51)=n －6n+205=(n－3) +196 ∵ m∈ N ,∴ Δ必为完全平方数…………………….9 分 设 (n－3) +196=k (k 为自然数)，则(n－3+k)(n－3－k)=－196…………………….12 分 其中 n－3+k 与 n－3－k 具有相同的奇偶性，且 n－3+k≥n－3－k
(Ⅰ) 求数列 an 的通项公式； (Ⅱ) 设 bn
cn an n N ， c 为非零常数，若数列 bn 是等差数列，记 nc