高考数学填空选择压轴题试题汇编

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2023年新高考数学选填压轴题汇编(一)(解析版)

2023年新高考数学选填压轴题好题汇编(一)一、单选题1.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为4π3时，该裹蒸粽的高的最小值为( )A.4B.6C.8D.10【答案】A 【解析】要使正四面体的高最小，当且仅当球与正四面体相内切，设正四面体的棱长为a ，高为h ，内切球的半径为r ，则4π3r 3=4π3，解得r =1，如图正四面体S -ABC 中，令D 为BC 的中点，O 1为底面三角形的中心，则SO 1⊥底面ABC所以V S -ABC =13S △ABC h =13⋅4S △ABC ⋅r ，即h =4r =4.故选：A2.(2022·广东惠州·高三阶段练习)甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球.整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A 1､A 2表示由甲罐取出的球是红球､白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B ､C 表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”､“两球为一红一白”的事件，则下列结论中不正确的是( )A.P B A 1 =1021B.P C A 2 =47C.P B =1942D.P C =4384【答案】C【解析】在事件A 1发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则P B ∣A 1 =C 25C 27=1021，A 正确；在事件A 2发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则P C ∣A 2 =C 14C 13C 27=1221=47，B 正确；因P A 1 =58，P A 2 =38，P B ∣A 1 =1021，P B ∣A 2 =C 24C 27=621，则P B =P A 1 P B ∣A 1 +P A 2 P B ∣A 2 =58×1021+38×621=1742，C 不正确；因P C ∣A 2 =1221，P C ∣A 1 =C 15C 12C 27=1021，则P C =P A 1 P C ∣A 1 +P A 2 P C ∣A 2 =58×1021+38×1221=4384，D 正确.故选：C .3.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)已知直线ax -2by +14=0平分圆C ：x 2+y 2-4x -2y -11=0的面积，过圆外一点P a ，b 向圆做切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为( )A.4 B.5C.6D.7【答案】A【解析】圆C ：x 2+y 2-4x -2y -11=0化为标准方程为x -2 2+y -1 2=16，所以圆心C 2，1 ，半径r =4，因为直线ax -2by +14=0平分圆C ：x 2+y 2-4x -2y -11=0的面积，所以圆心C 2，1 在直线ax -2by +14=0上，故2a -2b +14=0，即b =a +7，在Rt △PQC 中，PQ2=PC 2-r 2=a -2 2+b -1 2-16=a -2 2+a +6 2-16=2a 2+8a +24=2a +2 2+16，当a =-2时，PQ 2最小为16，PQ 最小为4．故选：A ．4.(2022·广东广州·高三开学考试)设a =ln1.1，b =e 0.1-1，c =tan0.1，d =0.4π，则( )A.a <b <c <d B.a <c 43.2 10=54 10=2516 5>2416 5=32 5>e ，即4π 10>e ，故10ln 4π>1，即ln 4π>0.1，故d 0.1 -b 0.1 >d 0 -b 0 =0，即d >b .②设y =b x -c x =e x -1-tan x ，则y =e x-1cos 2x =e x cos 2x -1cos 2x，设f x =e x cos 2x -1，则f x =e x cos 2x -2sin x =e x -sin 2x -2sin x +1 .设g x =x -sin x ，则g x =1-cos x ≥0，故g x =x -sin x 为增函数，故g x ≥g 0 =0，即x ≥sin x .故f x ≥e x -x 2-2x +1 =e x -x +1 2+2 ，当x ∈0,0.1 时f x >0， f x =e x cos 2x -1为增函数，故f x ≥e 0cos 20-1=0，故当x ∈0,0.1 时y =b x -c x 为增函数，故b 0.1 -c 0.1 >b 0 -c 0 =0，故b >c .③设y =c x -a x =tan x -ln x +1 ，y =1cos 2x -1x +1=x +sin 2xx +1 cos 2x，易得当x ∈0,0.1 时y >0，故c 0.1 -a 0.1 >c 0 -a 0 =0，即c >a .综上d >b >c >a 故选：B5.(2022·广东广州·高三开学考试)若空间中经过定点O 的三个平面α，β，γ两两垂直，过另一定点A 作直线l 与这三个平面的夹角都相等，过定点A 作平面δ和这三个平面所夹的锐二面角都相等.记所作直线l 的条数为m ，所作平面δ的个数为n ，则m +n =( )A.4 B.8C.12D.16【答案】B【解析】将α，β，γ放入正方体OBCD -A 1B 1C 1D 1，根据对称性可知，对角线OC 1分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，对角线BD 1分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，因为平面BC 1⎳平面α，所以对角线BD 1分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，同理对角线B 1D ,A 1C 分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，过点A 分别作BD 1,B 1D ,A 1C ,OC 1的平行线，则所作四条平行线分别与三个平面α，β，γ所成角都相等，所以m =4.试卷第1页，共50页如下图，正方体的内接正四面体O -B 1CD 1的四个平面与α，β，γ所夹的锐二面角都相等，所以过A 分别作与正四面体O -B 1CD 1四个面平行的平面即可，所以n =4.故选：B .6.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知a =e 0.05，b =ln1.12+1，c = 1.1，则( )A.a >b >c B.c >b >a C.b >a >cD.a >c >b【答案】D【解析】令f x =e x -x -1x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴f x >f 0 =0，即e x >x +1，∴e 0.1>1.1，∴e 0.05> 1.1，即a >c ；令g x =ln x -x +1，则g x =1x -1=1-xx，∴当x ∈0,1 时，g x >0；当x ∈1,+∞ 时，g x <0；∴g x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，∴g x ≤g 1 =0，∴ln x ≤x -1(当且仅当x =1时取等号)，∴ln x ≤x -1，即ln x 2+1≤x (当且仅当x =1时取等号)，∴ln1.12+1< 1.1，即b <c ；综上所述：a >c >b .故选：D .7.(2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于Q ，若OQ=14OF 2 ，则双曲线的离心率范围为( )A.1,2 B.1,4 C.2,2 D.2,4【答案】B【解析】设双曲线的半焦距为c c >0 ，离心率为e ，由OQ =14OF 2 ，则QF 1 =54c ，QF 2 =34c ，因为PQ 是∠F 1PF 2的平分线，所以PF 1 :PF 2 =5:3,又因为PF 1 -PF 2 =2a ，所以PF 1 =5a ,PF 2 =3a ，所以5a +3a >2c 2a <2c，解得1<ca<4，即1<e <4，所以双曲线的离心率取值范围为(1,4).故选：B 8.(2022·广东·高三阶段练习)设a =4-ln4e2，b =ln22，c =1e ，则( )A.a <c e 时,f x <0,函数单调递减,当0<x <e 时,f x >0,函数单调递增,故当x =e 时,函数取得最大值f e =1e,因为a =22-ln2 e 2=ln e 22e 22=f e 22 ,b =ln22=ln44=f 4 ,c =1e =f e ,∵e <e 22<4,当x >e 时,fx <0,函数单调递减,可得f 4 <f e 22<f e ,即b <a <c .故选:C9.(2022·广东·高三阶段练习)定义在R 上的函数f x 满足f (-x )+f (x )=0,f (x )=f (2-x )；且当x ∈[0,1]时，f (x )=x 3-x 2+x ．则方程7f (x )-x +2=0所有的根之和为( )A.14 B.12C.10D.8【答案】A【解析】由f (-x )+f (x )=0,f (x )=f (2-x )可得f x 为奇函数，且关于x =1对称.又由题意f (-x )=-f (x )，故f x =f 2-x =-f 2+x ，所以f x 关于2,0 对称，且f x =-f 2+x =f 4+x ，故f x 的周期为4.又当x ∈[0,1]时，f (x )=x 3-x 2+x ，此时f x =3x 2-2x +1=3x -13 2+23>0，故f (x )=x 3-x 2+x 在x ∈[0,1]为增函数.综上可画出y =f (x )的函数部分图象.又方程7f (x )-x +2=0的根即y =f (x )与y =17x -2 的交点，易得在区间-5,2 ,2,9 上均有3个交点，且关于2,0 对称，加上2,0 共7个交点，其根之和为3×2×2+2=14故选：A 10.(2022·广东·高三开学考试)设a =12e，b =ln 2，c =4-ln4e 2，则( )A.a 0，得0<x <e ；令f (x )<0，得x >e ．所以f (x )在(0,e )上单调递增，在(e ,+∞)上单调递减，而a =12e =f (e )，b =ln212=ln22=f (2)=ln44=f (4)，试卷第1页，共50页c =4-ln4e 2=2-ln2e 22=ln e22e 22=f e 22 ，因为0<e <2<e <e 22<4，所以a <b <c ．故选：A ．11.(2022·广东·高三开学考试)已知f (x )=2x 2，数列a n 满足a 1=2，且对一切n ∈N *，有a n +1=f a n ，则( )A.a n 是等差数列 B.a n 是等比数列C.log 2a n 是等比数列 D.log 2a n +1 是等比数列【答案】D【解析】由题意知a n +1=2a 2n ，所以log 2a n +1=1+2log 2a n ，所以log 2a n +1+1=2log 2a n +1 ，n ∈N *，所以log 2a n +1 是等比数列，且log 2a n +1=2n ,所以log 2a n =2n -1，选项A ，B ，C 错误，选项D 正确.故选：D ．12.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知a =log 1.10.9，b =0.91.1，c =1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a 1.10=1，故a <b <c .故选：A .13.(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e -x +1)有唯一零点，则a =()A.-12B.13C.12D.1【答案】C【解析】因为f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e -x +1)=x -1 2+a (e x -1+e -x +1)-1，设t =x -1，则f x =g t =t 2+a e t +e -t -1，因为g t =g -t ，所以函数g t 为偶函数，若函数f (x )有唯一零点，则函数g t 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当t =0时，g t =0才满足题意，即x =1是函数f (x )的唯一零点，所以2a -1=0，解得a =12.故选：C .14.(2022·广东·高三阶段练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a =b =a ⋅b=2，且b -c ⋅3b -c =0，则c -a最小值为( )A.22+1B.33-3C.7-1D.23-2【答案】D【解析】因为a=b =a ⋅b =2，所以cos a ,b =a ⋅ba ⋅b=12，又a ,b ∈0,π ，所以a ,b =π3，如图所示：不妨设A 1,3 ,B 2,0 ,C x ,y ，则a =OA =1,3 ,b =OB =2,0 ,c =OC=x ,y ，所以b -c =2-x ,-y ,3b -c=6-x ,-y ，因为b -c ⋅3b -c=0，所以2-x 6-x +y 2=0，即x -4 2+y 2=4，表示点C 在以M 4,0 为圆心，以2为半径的圆上，所以c -a最小值为AM -r =1-4 2+3 2-2=23-2，故选：D15.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知f (x )是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R 都有f (x +2)=f (2-x )+4f (2)，若函数y =f (x +1)的图象关于点(-1,0)对称，且f (1)=3，则f (2021)=( )A.6 B.3 C.0 D.-3【答案】D【解析】令x =0，得f (2)=f (2)+4f (2)，即f (2)=0，所以f (x +2)=f (2-x )，因为函数y =f (x +1)的图象关于点(-1,0)对称，所以函数y =f (x )的图象关于点(0,0)对称，即f (-x )=-f (x )，所以f (x +2)=f (2-x )=-f (x -2)，即f (x +4)=-f (x )，可得f (x +8)=f (x )，则f (2021)=f (253×8-3)=f (-3)=-f (1)=-3，故选：D .16.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)对于定义在R 上的函数f x ，若存在正常数a 、b ，使得f x +a≤f x +b 对一切x ∈R 均成立，则称f x 是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①f x =e x ；②f x =x ；③f x =sin x 2；④f x =x ⋅sin x .是“控制增长函数”的有( )个A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】对于①，f x +a ≤f x +b 可化为e x +a ≤e x +b ，即e x ≤be a -1对一切x ∈R 恒成立，由函数y =f x 的定义域为R 可知，不存在满足条件的正常数a 、b ，所以，函数f x =e x 不是“控制增长函数”；对于②，若函数f x =x为“控制增长函数”，则f x +a ≤f x +b 可化为x +a≤x +b ，∴x +a ≤x +b 2+2b x 对一切x ∈R 恒成立，又x +a ≤x +a ，若x +a ≤x +b 2+2b x 成立，则x ≥a -b 22a，显然，当a <b 2时，不等式恒成立，试卷第1页，共50页所以，函数f x =x 为“控制增长函数”；对于③，∵-1≤sin x 2 ≤1，∴f x +a -f x ≤2，当b ≥2且a 为任意正实数时，f x +a ≤f x +b 恒成立，所以，函数f x =sin x 2 是“控制增长函数”；对于④，若函数f x =x ⋅sin x 是“控制增长函数”，则x +a ⋅sin x +a ≤x sin x +b 恒成立，∵x +a ⋅sin x +a ≤x +a ，若x +a ≤x sin x +b ≤x +b ，即a ≤b ，所以，函数f x =x ⋅sin x 是“控制增长函数”.因此，是“控制增长函数”的序号是②③④.故选：C17.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD 为正方形，EF ⎳底面ABCD ，四边形ABFE ，CDEF为两个全等的等腰梯形，EF =12AB =2,AE =23，则该刍甍的外接球的体积为( )A.642π3B.32πC.643π3D.642π【答案】A【解析】取AD ，BC 中点N ，M ，正方形ABCD 中心O ，EF 中点O 2，连接EN ,MN ,FM ,OO 2，如图，依题意，OO 2⊥平面ABCD ，EF ⎳AB ⎳MN ，点O 是MN 的中点，MN =AB =4，等腰△AED 中，AD ⊥EN ，EN =AE 2-AN 2=22，同理FM =22，因此，等腰梯形EFMN 的高OO 2=EN 2-MN -EF 22=7，由几何体的结构特征知，刍甍的外接球球心O 1在直线OO 2上，连O 1E ,O 1A ,OA ，正方形ABCD 外接圆半径OA =22，则有O 1A 2=OA 2+OO 21O 1E 2=O 2E 2+O 2O 21 ，而O 1A =O 1E ,O 2E =12EF =1，当点O 1在线段O 2O 的延长线(含点O )时，视OO 1为非负数，若点O 1在线段O 2O (不含点O )上，视OO 1为负数，即有O 2O 1=O 2O +OO 1=7+OO 1，即(22)2+OO 21=1+(7+OO 1)2，解得OO 1=0，因此刍甍的外接球球心为O ，半径为OA =22，所以刍甍的外接球的体积为4π3×(22)3=642π3.故选：A18.(2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试)若3x -3y >5-x -5-y ，则( )A.1x >1yB.x 3>y 3C.x >yD.ln x 2+1 >ln y 2+1【答案】B【解析】由3x -3y >5-x -5-y 得3x -5-x >3y -5-y ，设f (x )=3x -5-x ，易知f (x )是增函数，所以由3x -5-x >3y -5-y 得x >y ，当x <0时，C 不存在，错误，A 错误，0>x >y ，则0<x 2<y 2，0<x 2+1<y 2+1，从而ln (x 2+1)<ln (y 2+1)，D 错误．由不等式性质，B 正确．故选：B ．二、多选题19.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，抛物线C 上的点M 1,m 到点F 的距离是2，P 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，A ，B 是抛物线C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，则( )A.m =±2B.若直线AB 过点F ，则OA ⋅OB=-3C.若直线AB 过点F ，则PA PB =FAFB D.若直线AB 过点P ，则AF +BF >2PF 【答案】BCD 【解析】由题意得1+p2=2，则p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x ，将M 1,m 代入抛物线的方程，得m 2=4，解得m =±2，所以A 不正确；设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，易知直线AB 的斜率不为零，当直线AB 过点F 1,0 时，可设直线AB 的方程为x =ty +1，与抛物线方程联立，得y 2=4xx =ty +1 ，化简得：y 2-4ty -4=0，则y 1y 2=-4，y 1+y 2=4t ，所以x 1x 2=y 21y 2216=1，所以OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=1-4=-3，所以B 正确；易知P -1,0 ，则由选项B 得k PA +k PB =y 1x 1+1+y 2x 2+1=y 1ty 2+2 +y 2ty 1+2 x 1+1 x 2+1 =2ty 1y 2+2y 2+y 1 x 1+1 x 2+1 =-8t +8t x 1+1 x 2+1=0，所以直线PF 平分∠APB ，所以PA PB =FAFB，选项C 正确；因为直线AB 过点P -1,0 ，且斜率不为零，所以设直线AB 的方程为x =ty -1，与抛物线方程联立，易得y 1y 2=4，所以x 1x 2=1．因为x 1>0，x 2>0，且x 1≠x 2，所以AF +BF =x 1+1+x 2+1>2x 1x 2+2=4，又PF =2，所以AF +BF >2PF ，所以D 正确．故选：BCD ．20.(2022·广东·广州市真光中学高三开学考试)若函数f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈(0,1]时，f x =ln x ，则( )A.f x 为偶函数B.f e =1C.f 4-1e =-1D.当x ∈[1,2)时，f (x )=-ln (2-x )【答案】ACD试卷第1页，共50页【解析】对A ，因为函数f 2x +2 为偶函数，故f 2x +2 =f -2x +2 ，故f x 关于x =2对称.又f x +1 为奇函数，关于原点对称，故f x 关于1,0 对称.综上，f x 关于x =2与1,0 对称. 关于x =2对称有f x =f 4-x ，关于1,0 对称有f 4-x =-f x -2 ，f x =-f 2-x ，故-f x -2 =-f 2-x ，即f x =f -x ，所以f x 为偶函数，故A 正确；对B ，由A ，因为e ∈2,3 ，f e =-f 2-e =-f e -2 =-ln e -2 ，故B 错误；对C ，由A ，f 4-1e =f 1e =ln 1e=-1，故C 正确；对D ，当x ∈[1,2)时，2-x ∈0,1 ，故f x =-f 2-x =-ln 2-x ，故D 正确；故选：ACD21.(2022·广东惠州·高三阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则( )A.M ，N ，B ，D 1四点共面B.异面直线PD 1与MN 所成角的余弦值为1010C.平面BMN 截正方体所得截面为等腰梯形D.三棱锥P -MNB 的体积为13【答案】BCD【解析】对于A ，易知MN 与BD 1为异面直线，所以M ，N ，B ，D 1不可能四点共面，故A 错误；对于B ，连接CD 1，CP ，易得MN ⎳CD 1，所以∠PD 1C 为异面直线PD 1与MN 所成角，设AB =2，则CD 1=22，D 1P =5，PC =3，所以cos ∠PD 1C =(22)2+(5)2-322×22×5=1010，所以异面直线PD 1与MN 所成角的余弦值为1010，故B 正确；对于C ，连接A 1B ，A 1M ，易得A 1B ⎳MN ，所以平面BMN 截正方体所得截面为梯形MNBA 1，故C 正确；对于D ，易得D 1P ⎳BN ，因为D 1P ⊄平面MNB ，MN ⊂平面MNB ，所以D 1P ⎳平面MNB ，所以V P -MNB =V D 1-MNB =V B -MND 1=13×12×1×1×2=13，故D 正确.故选：BCD22.(2022·广东·鹤山市鹤华中学高三开学考试)已知椭圆C ：x 216+y 29=1的左，右焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆C上的动点(P 不在x 轴上)，则( )A.椭圆C 的焦点在x 轴上B.△PF 1F 2的周长为8+27C.|PF 1|的取值范围为94，4 D.tan ∠F 1PF 2的最大值为37【答案】ABD【解析】对于A ，由椭圆的方程可知，椭圆焦点在x 轴上，故A 正确；对于B ，因为c =16-9=7，而△PF 1F 2的周长为2a +2c =8+27，故B 正确；对于C ，因为P 不在x 轴上，所以a -c <PF 1 <a +c ，所以PF 1 的取值范围为4-7,4+7 ，故C 不正确；对于D ，设椭圆的上顶点为B ，则0≤∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2<π2，所以tan ∠F 1PF 2的最大值为tan ∠F 1BF 2.设∠OBF 2=α，则tan α=73，且∠F 1BF 2=2α，而tan2α=2tan α1-tan 2α=37，所以tan ∠F 1PF 2的最大值为37，故D 正确.故选：ABD .23.(2022·广东广州·高三开学考试)若f x =sin x +cos x ，则下列说法正确的有( )A.f x 的最小正周期是πB.方程x =-π2是f x 的一条对称轴C.f x 的值域为1,2D.∃a ，b >0，对∀x ∈R 都满足f x +a +f a -x =2b ，(a ，b 是实常数)【答案】BC【解析】对A ,因为f x =sin x +cos x ，所以f x +π2 =sin x +π2 +cos x +π2=cos x +sin x =f x ，故π2是f x 的一个周期，故最小正周期是π是错误的，对B ，因为f x -π =sin x -π +cos x -π =sin x +cos x =f x ，故x =-π2是f x 的一条对称轴是正确的，对C ,当x ∈0,π2 时，f x =sin x +cos x =sin x +cos x =2sin x +π4 ，由x ∈0,π2 ，则x +π4∈π4,3π4 ，故sin x +π4 ∈22,1 ,因此f (x )∈1,2 ，由A 知π2是f x 的周期，故f x 的值域为1,2 ，C 正确，对D ,因为当x ∈0,π2 时，f x =sin x +cos x =sin x +cos x =2sin x +π4 ，且π2是f x 的周期，故画出f (x )的图象如图：由图可知，f (x )没有对称中心，故不存在a ,b ，使得f x +a +f a -x =2b ，故D 错误.故选：BC24.(2022·广东广州·高三开学考试)已知抛物线y 2=2px 上的四点A 2,2 ，B ，C ，P ，直线AB ，AC 是圆M :x -22+y 2=1的两条切线，直线PQ 、PR 与圆M 分别切于点Q 、R ，则下列说法正确的有( )A.当劣弧QR 的弧长最短时，cos ∠QPR =-13B.当劣弧QR 的弧长最短时，cos ∠QPR =13C.直线BC 的方程为x +2y +1=0D.直线BC 的方程为3x +6y +4=0试卷第1页，共50页【答案】BD【解析】由已知得抛物线y 2=2px 过点A 2,2 ，即22=2p ×2，所以p =1，即抛物线为y 2=2x ，对于AB 选项，如图所示，设点P y 202,y 0当劣弧QR 的弧长最短时，∠QMR 最小，又∠QMR +∠QOR =π，所以∠QPR 最大，即cos ∠QPR 最小，又cos ∠QPR =cos2∠QPM =1-2sin 2∠QPM =1-2⋅MQ 2PM 2，又圆M :x -2 2+y 2=1，所以圆心M 2,0 ，半径r =QM =1，cos ∠QPR =1-2PM2，又PM 2=y 202-22+y 20=14y 20-2 2+3，所以当y 20=2时，PM 2取最小值为3，此时cos ∠QPR 最小为1-23=13，所以A 选项错误，B 选项正确；对于CD 选项，设过点A 作圆M 切线的方程为y -2=k x -2 ，即kx -y -2k +2=0，所以d =2k -0-2k +21+k2=r =1，解得k =±3，则直线AB 的方程为：y -2=3x -2 ，即y =3x -23+2，直线AC 的方程为：y -2=-3x -2 ，即y =-3x +23+2，联立直线AB 与抛物线y =3x -23+2y 2=2x ，得y 2-233y +433-4=0，故2y B =433-4，y B =233-2，B 83-433,233-2 ，同理可得C 83+433,-233-2 ，所以k BC =233-2 --233-2 83-433 -83+433=-12，直线BC 的方程为y -233-2 =-12x -83-433，即3x +6y +4=0，所以C 选项错误，D 选项正确；故选：BD .25.(2022·广东广州·高三开学考试)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ，y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x ⋅f y ，则下列说法正确的有( )A.f 0 =1 B.f x 必为奇函数C.f x +f 0 ≥0D.若f 1 =12，则2023n =1f n =12 【答案】BCD【解析】对于A ，令x =y =0，则由f x +y +f x -y =2f x ⋅f y 可得2f 0 =2f 20 ，故f (0)=0或f 0 =1，故A 错误；对于B ,当f (0)=0时，令y =0，则f x +f x =2f x ⋅f 0 =0，则f (x )=0 ，故f (x )=0，函数f x 既是奇函数又是偶函数；令x =0，则f y +f -y =2f 0 ⋅f y ，则f y -f -y =2f 0 ⋅f y ，当f 0 =1时，f y -f -y =2f y ，则f -y =-f y ,y ∈R 为奇函数，综合以上可知f x 必为奇函数，B 正确；对于C ，令x =y ，则f 2x +f 0 =2f 2x ，故f 2x +f 0 ≥0。

2024年新高考新结构数学选填压轴好题汇编(解析版)

2024年新高考新结构数学选填压轴好题汇编01一、单选题1.(2024·广东·高三统考阶段练习)在各棱长都为2的正四棱锥V -ABCD 中，侧棱VA 在平面VBC 上的射影长度为()A.263B.233C.3D.2【答案】B【解析】把正四棱锥V -ABCD 放入正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则V 是上底面的中心，取A 1B 1的中点E ，C 1D 1的中点F ，连接EF ，BE ，CF ，过A 作AG ⊥BE ，垂足为G ，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BC ⊥平面ABB 1A 1，AG ⊂平面ABB 1A 1，所以BC ⊥AG ，又BC ∩BE =B ，BC ,BE ⊂平面EFCB ，所以AG ⊥平面EFCB ，所以侧棱VA 在平面VBC 上的射影为VG ，由已知得，AA 1=2，EB =AA 21+AB 22=3，所以S △ABE =12×2×2=12×3⋅AG ，所以AG =223，所以VG =VA 2-AG 2=22-2232=233．故选：B ．2.(2024·广东·高三校联考开学考试)已知a =14，b =3e -1，c =2ln2-ln3，则()A.a 0，故f x 在0,1 上为增函数，故f x >f 0 =1，e x >x +1，其中0<x <1，故e 13>13+1，即3e -1>13，故b >13；而13-2ln2+ln3=13-ln 43=133-ln 6427 =13ln 27×e 364>13ln 27×364>0，故13>2ln2-ln3=c ，故b >c ；又g x =1-xx>0，故g x 在0,1 上为增函数，故g x <g 1 =0，ln x +1-x <0，其中0<x <1，故ln 34+1-34<0，即则14<-ln 34=ln 43，故a <c ；故b >c >a .故选：B .3.(2024·广东·高三校联考开学考试)已知函数f x =2sin 2ωx +3sin2ωx ω>0 在0,π 上恰有两个零点，则ω的取值范围是()A.23,1B.1,53C.23,1D.1,53【答案】B【解析】由题意可得f (x )=2sin 2ωx +3sin2ωx =3sin2ωx -cos2ωx +1=2sin 2ωx -π6 +1.令2sin 2ωx -π6 +1=0，解得sin 2ωx -π6 =-12，因为0<x <π，所以-π6<2ωx -π6<2ωπ-π6.因为f (x )在(0,π)上恰有两个零点，所以11π6<2ωπ-π6≤19π6，解得1<ω≤53.故选：B .4.(2024·广东湛江·统考一模)已知ab >0，a 2+ab +2b 2=1，则a 2+2b 2的最小值为()A.8-227B.223C.34D.7-228【答案】A【解析】因为ab >0，得：a 2+2b 2≥22a 2b 2=22ab (当且仅当a =2b 时成立)，即得：ab ≤a 2+2b 222=24(a 2+2b 2)，则1=a 2+ab +2b 2≤a 2+2b 2+24(a 2+2b 2)=4+24(a 2+2b 2)，得：a 2+2b 2≥14+24=8-227，所以a 2+2b 2的最小值为8-227，故选：A .5.(2024·广东湛江·统考一模)在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B 和C 是正确选项，A 和D 是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件M =“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N =“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X =“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y =“甲、乙两人均未选择B 选项”，则()A.事件M 与事件N 相互独立B.事件X 与事件Y 相互独立C.事件M 与事件Y 相互独立D.事件N 与事件Y 相互独立【答案】C【解析】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，所以P M =C 14⋅C 13⋅C 12C 24⋅C 24=23，P N =C 24C 22C 24⋅C 24=16，P X =C 24C 24⋅C 24=16，P Y =C 23⋅C 23C 24⋅C 24=14，因为事件M 与事件N 互斥，所以P MN =0，又P M ⋅P N =19，所以事件M 与事件N 不相互独立，故A 错误；P XY =C 23C 24⋅C 24=112≠P X P Y =124，故B 错误；由P MY =C 13⋅C 12C 24⋅C 24=16=P M P Y ，则事件M 与事件Y 相互独立，故C 正确；因为事件N 与事件Y 互斥，所以P NY =0，又P Y ⋅P N =124，所以事件N 与事件Y 不相互独立，故D 错误.故选：C ．6.(2024·广东梅州·统考一模)如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =2，点P 是面ABB 1A 1上的动点，若点P 到点D 1的距离是点P 到直线AB 的距离的2倍，则动点P 的轨迹是( )的一部分A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】C【解析】由题意知，以D 为原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图空间直角坐标系，则A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,2)，设P 1,m ,n (m ,n >0)，所以PD 1=(-1,-m ,2-n )，因为P 到D 1的距离是P 到AB 的距离的2倍，所以PD 1=2n ，即-1 2+-m 2+2-n 2=4n 2，整理，得9n +23219-3m 219=1，所以点P 的轨迹为双曲线.故选：C7.(2024·广东深圳·统考一模)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 2的直线与双曲线E 的右支交于A ,B 两点，若AB =AF 1 ，且双曲线E 的离心率为2，则cos ∠BAF 1=()A.-378B.-34C.18D.-18【答案】D【解析】因为双曲线E 的离心率为2，所以c =2a ，因为AB =AF 1 ，所以BF 2 =AB -AF 2 =AF 1 -AF 2 =2a ，由双曲线的定义可得BF 1 -BF 2 =BF 1 -2a =2a ，所以BF 1 =4a =2BF 2 ，在△BF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠BF 2F 1=BF 22+F 1F 2 2-BF 1 22BF 2 ⋅F 1F 2 =4a 2+8a 2-16a 22×2a ×22a=-24，在△AF 1F 2中，cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =24，设AF 2 =m ，则AF 1 =m +2a ，由AF 1 2=F 1F 2 2+AF 2 2-2F 1F 2 AF 2 cos ∠F 1F 2A 得(2a +m )2=(22a )2+m 2-2⋅22a ⋅m ⋅24，解得m =23a ，所以AF 1 =8a3，所以cos ∠BAF 1=AF 12+AB 2-BF 122AF 1 ⋅AB=64a 29+64a 29-16a 22×8a 3×8a 3=-18.故选：D8.(2024·广东深圳·统考一模)已知数列a n 满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +2,n =2k -1-a n,n =2k(k ∈N ∗)，若S n 为数列a n 的前n 项和，则S 50=()A.624B.625C.626D.650【答案】C【解析】数列a n 中，a 1=a 2=1，a n +2=a n +2,n =2k -1-a n ,n =2k(k ∈N ∗)，当n =2k -1,k ∈N ∗时，a n +2-a n =2，即数列a n 的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，则a 1+a 3+a 5+⋯+a 49=25×1+25×242×2=625，当n =2k ,k ∈N ∗时，an +2a n=-1，即数列a n 的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为-1，则a 2+a 4+a 6+⋯+a 50=1×[1-(-1)25]1-(-1)=1，所以S 50=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 49)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 50)=626.故选：C9.(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知实数a ,b 分别满足e a =1.02，ln b +1 =0.02，且c =151，则()A.a 1，则fx =1x -2x +1 -2x -1 x +1 2=x -1 2x x +12，则当x >1时，f x >0，故f x 在0,+∞ 上单调递增，故f 1.02 =ln1.02-21.02-1 1.02+1=ln1.02-2101>f 1 =0，即a =ln1.02>2101>2102=151=c ，即a >c ，由ln b +1 =0.02，则b =e 0.02-1，令g x=e x -ln 1+x -1，x >0，则g x =e x -1x +1，令h x =e x -1x +1，则当x >0时，h x =e x +1x +12>0恒成立，故g x 在0,+∞ 上单调递增，又g 0 =e 0-11=0，故g x >0恒成立，故g x 在0,+∞ 上单调递增，故g 0.02 =e 0.02-ln 1+0.02 -1>g 0 =0，即e 0.02-1>ln1.02，即b >a ，故c <a b >0 的焦距为2c ，直线y =b a x+b2与椭圆C 交于点P ,Q，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22C.105,1 D.0,13【答案】C【解析】联立方程y =b a x +b 2x 2a2+y 2b2=1，消去y ，整理得8x 2+4ax -3a 2=0，则Δ=4a 2-4×8×-3a 2 =112a 2>0，设P ,Q 的横坐标分别为x 1,x 2，则x 1+x 2=-a 2，x 1⋅x 2=-3a 28，所以PQ =1+b a 2⋅x 1-x 2 =1+b a2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=a 2+b 2a2⋅a 24+3a 22=72a 2+b 2，由PQ ≤7c ，得72a 2+b 2≤7c ，整理得a 2+b 2≤4c 2，即a 2+a 2-c 2≤4c 2，即c 2a2≥25，又0<e <1，则e =c a ≥105，故105≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为105,1 .故选：C ．11.(2024·湖北武汉·统考模拟预测)如图，在函数f x =sin ωx +φ 的部分图象中，若TA =AB ，则点A 的纵坐标为()A.2-22B.3-12C.3-2D.2-3【答案】B【解析】由题意ωx +φ=3π2，则x =3π2ω-φω，所以T 3π2ω-φω,0 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，因为TA =AB，所以x2+3π2ω-φω2=x1y22=y1，解得x2=2x1-3π2ω+φωy2=2y1，所以2y1=y2=f x2=f2x1-3π2ω+φω=sin2ωx1-3π2+2φ=cos2ωx1+2φ=1-2sin2ωx1+φ=1-2y21，所以2y21+2y1-1=0，又由图可知y1>0，所以y1=3-1 2.故选：B.12.(2024·湖北武汉·统考模拟预测)在三棱锥P-ABC中，AB=22，PC=1，PA+PB=4，CA-CB=2，且PC⊥AB，则二面角P-AB-C的余弦值的最小值为()A.23B.34C.12D.105【答案】A【解析】因为PA+PB=4=2a，所以a=2，点P的轨迹方程为x24+y22=1(椭球)，又因为CA-CB=2，所以点C的轨迹方程为x2-y2=1，(双曲线的一支)过点P作PH⊥AB,AB⊥PC，而PH∩PC=P,PF,PC⊂面PHC，所以AB⊥面PHC，设O为AB中点，则二面角P-AB-C为∠PHC，所以不妨设OH=2cosθ,θ∈0,π2,PH=2sinθ,CH=4cos2θ-1，所以cos∠PHC=2sin2θ+4cos2θ-1-122sinθ4cos2θ-1=2cos2θ22sinθ4cos2θ-1=22⋅1-sin2θsinθ3-4sin2θ，所以cos 2∠PHC =12⋅1-sin 2θ 2sin 2θ3-4sin 2θ，令1-sin 2θ=t ,0<t <1，所以cos 2∠PHC =12⋅1-sin 2θ 2sin 2θ3-4sin 2θ =12⋅t 21-t 4t -1 ≥12⋅t 21-t +4t -122=29，等号成立当且仅当t =25=1-sin 2θ，所以当且仅当sin θ=155,cos θ=105时，cos ∠PHC min =23.故选：A .13.(2024·山东日照·统考一模)已知函数f x =2sin x -2cos x ，则()A.f π4+x=f π4-x B.f x 不是周期函数C.f x 在区间0,π2上存在极值D.f x 在区间0,π 内有且只有一个零点【答案】D【解析】对于A ，sin π4+x =sin π2-π4+x =cos π4-x ,cos π4+x =cos π2-π4+x =sin π4-x，所以f π4+x =2sin π4+x -2cos π4+x =-2sin π4-x -2cos π4-x =-f π4-x ，故A 错误；对于B ，f 2π+x =2sin 2π+x-2cos 2π+x=2sin x -2cos x =f x ，所以f x 是以2π为周期的函数，故B 错误；对于C ，由复合函数单调性可知y =2sin x ,y =2cos x 在区间0,π2上分别单调递增、单调递减，所以f x 在区间0,π2上单调递增，所以不存在极值，故C 错误；对于D ，令f x =2sin x -2cos x =0,x ∈0,π ，得2sin x =2cos x ，所以sin x =cos x ，即该方程有唯一解(函数f x在0,π 内有唯一零点)x =π4，故D 正确.故选：D .14.(2024·山东日照·统考一模)过双曲线x 24-y 212=1的右支上一点P ，分别向⊙C 1:(x +4)2+y 2=3和⊙C 2:(x-4)2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则PM +PN ⋅NM的最小值为()A.28B.29C.30D.32【答案】C【解析】由双曲线方程x 24-y 212=1可知：a =2,b =23,c =a 2+b 2=4，可知双曲线方程的左、右焦点分别为F 1-4,0 ，F 24,0 ，圆C 1:x +4 2+y 2=3的圆心为C 1-4,0 (即F 1)，半径为r 1=3；圆C 2:x -4 2+y 2=1的圆心为C 24,0 (即F 2)，半径为r 2=1．连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则MF 1⊥PM ,NF 2⊥PN ，可得PM +PN ⋅NM =PM +PN ⋅PM -PN =PM 2-PN 2=PF 1 2-r 21 -PF 2 2-r 22 =PF 1 2-3 -PF 2 2-1 =PF 1 2-PF 2 2-2=PF 1 -PF 2 ⋅PF 1 +PF 2 -2=2a PF 1 +PF 2 -2≥2a ⋅2c -2=2×2×2×4-2=30，当且仅当P 为双曲线的右顶点时，取得等号，即PM +PN ⋅NM的最小值为30.故选：C .15.(2024·福建福州·统考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，记g x =f x ．若g x -2 的图象关于点2,0 对称，且g 2x -g (-2x -1)=g (1-2x )，则下列结论一定成立的是()A.f x =f 2-xB.g x =g x +2C.2024n =1g (n )=0D.2024n =1f (n )=0【答案】C【解析】因为g x -2 的图象关于点2,0 对称，所以g x 的图象关于原点对称，即函数g x 为奇函数，则g 0 =0，又g 2x -g (-2x -1)=g (1-2x )，所以g 2x +g (2x +1)=-g (2x -1)，所以g t -1 +g (t )+g (t +1)=0，所以g t +g t +1 +g t +2 =0，所以g t -1 =g t +2 ，所以g t =g t +3 ，即g x =g x +3 ，所以3是g x 的一个周期.因为2024n =1g (n )=2024n =0g (n )=20253×[g (0)+g (1)+g (2)]=0，故C 正确；取符合题意的函数f x =cos 2π3x ，则g (x )=f x =-2π3sin 2π3x所以g 0 =0，又g (0+2)=-2π3sin 4π3=3π3=g (0)，故2不是g x 的一个周期，所以g x ≠g x +2 ，故B 不正确；因为f 1 =cos 2π3=-12不是函数f x 的最值，所以函数f x 的图象不关于直线x =1对称，所以f x ≠f 2-x ，故A 不正确；因为2024n =1f (n )=2024n =1cos2π3n =-1≠0，故D 不正确；故选：C .16.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)已知直线BC 垂直单位圆O 所在的平面，且直线BC 交单位圆于点A ，AB =BC =1，P 为单位圆上除A 外的任意一点，l 为过点P 的单位圆O 的切线，则()A.有且仅有一点P 使二面角B -l -C 取得最小值B.有且仅有两点P 使二面角B -l -C 取得最小值C.有且仅有一点P 使二面角B -l -C 取得最大值D.有且仅有两点P 使二面角B -l -C 取得最大值【答案】D【解析】过A 作AM ⊥l 于M ，连接MB 、MC ，如图所示，因为直线BC 垂直单位圆O 所在的平面，直线l 在平面内，且直线BC 交单位圆于点A ，所以AC ⊥l ，AM ,AC ⊂平面AMC ，AM ∩AC =A ，所以l ⊥平面AMC ，MC ,MB ⊂平面AMC ，所以l ⊥MC ，l ⊥MB ，所以∠BMC 是二面角B -l -C 的平面角，设∠BMC =θ，∠AMC =α，∠AMB =β，AM =t ，则θ=α-β，由已知得t ∈0,2 ，AB =BC =1，tan α=2t ，tan β=1t ，tan θ=tan α-β =tan α-tan β1+tan α⋅tan β=2t -1t 1+2t ⋅1t =t t 2+2，令f t =t t 2+2，则ft =1⋅t 2+2 -t 2t t 2+2 2=2+t 2-t t 2+22，当t ∈0,2 时，f t >0，f t 单调递增，当t ∈2,2 时，f t <0，f t 单调递减，f 2 =13>f 0 =0所以t ∈0,2 ，当t =2时，f t 取最大值，没有最小值，即当t =2时tan θ取最大值，从而θ取最大值，由对称性知当t =2时，对应P 点有且仅有两个点，所以有且仅有两点P 使二面角B -l -C 取得最大值．故选：D ．17.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)设F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点，以F 1为圆心且过F 2的圆与x 轴交于另一点P ，与y 轴交于点Q ，线段QF 2与C 交于点A ．已知△APF 2与△QF 1F 2的面积之比为3:2，则该椭圆的离心率为()A.23B.13-3C.3-1D.3+14【答案】B【解析】由题意可得F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，F 1F 2=2c ，则以F 1为圆心且过F 2的圆的方程为x +c 2+y 2=4c 2，令x =0，则y P =±3c ，由对称性，不妨取点Q 在x 轴上方，即P 0,3c ，则l QF 2:y -3c =3c -00-cx ，即y =-3x +3c ，有S △QF 1F 2=12×2c ×3c =3c 2，则S △APF 2=32×3c 2=332c 2，又S △APF 2=12y A ×4c =2cy A ，即有332c 2=2cy A ，即y A =334c ，代入l QF 2:y =-3x +3c ，有334c =-3x A +3c ，即x A =14c ，即A 14c ,334c在椭圆上，故14c2a 2+334c2b 2=1，化简得b 2c 2+27a 2c 2=16a 2b 2，由b 2=a 2-c 2，即有a 2-c 2 c 2+27a 2c 2=16a 2a 2-c 2 ，整理得c 4-44a 2c 2+16a 4=0，即e 4-44e 2+16=0，有e 2=44-442-4×162=22-613或e 2=44+442-4×162=22+613，由22+613>1，故舍去，即e 2=22-613，则e =22-613=13-3 2=13-3.故选：B .18.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)设a =sin0.2,b =0.16,c =12ln 32，则()A.a >c >bB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】D【解析】设f x =sin x -x -x 2 ,x ∈0,0.2 ,f x =cos x -1+2x ，设g x =f x ,g x =-sin x +2>0，所以g x ≥g 0 =0，所以函数f x 在0,0.2 上单调递增，所以f 0.2 =sin0.2-0.2-0.22 =sin0.2-0.16>f 0 =0，即a >b .根据已知得c =12ln 32=12ln 1.20.8=12ln 1+0.21-0.2，可设h x =12ln 1+x -ln 1-x -sin x ,x ∈ 0,0.2 ，则h x =1211+x +11-x -cos x =11-x 2-cos x >0，所以函数h x 在0,0.2 上单调递增，所以h 0.2 >h 0 =0，即c >a .综上，c >a >b .故选：D .19.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)对于无穷数列{a n }，给出如下三个性质：①a 1<0；②对于任意正整数n ,s ，都有a n +a s <a n +s ；③对于任意正整数n ，存在正整数t ，使得a n +t >a n 定义：同时满足性质①和②的数列为“s 数列”，同时满足性质①和③的数列为“t 数列”，则下列说法正确的是()A.若{a n }为“s 数列”，则{a n }为“t 数列”B.若a n =-12n，则{a n }为“t 数列”C.若a n =2n -3，则{a n }为“s 数列” D.若等比数列{a n }为“t 数列”则{a n }为“s 数列”【答案】C【解析】设a n =-2n -3，此时满足a 1=-2-3=-5<0，也满足∀n ,s ∈N ∗，a n +s =-2(n +s )-3,a n +a s =-2n -3-2s -3=-2(n +s )-6，即∀n ,s ∈N ∗，a n +s >a n +a s ，{a n }为“s 数列”，因为a n +t =-2(n +t )-3=-2n -2t -3=a n -2t <a n ，所以A 错误；若a n =-12 n ，则a n =-12 -1=-12<0，满足①，a n +1=-12 n +1，令-12 n +1>-12n，若n 为奇数，此时-12 n <0，存在t ∈N ∗，且为奇数时，此时满足-12 n +t >0>-12 n，若n 为偶数，此时-12 n >0，则此时不存在t ∈N ∗，使得-12 n +t >-12n，所以B 错误；若a n =2n -3，则a n =2-3=-1<0，满足①，∀n ,s ∈N ∗，a n +s =2(n +s )-3,a n +a s =2n -3+2s -3=2(n +s )-6，因为2(n +s )-3>2(n +s )-6，所以∀n ,s ∈N ∗，a n +s >a n +a s ，满足②，所以C 正确；不妨设a n =(-2)n ，满足a 1=-2<0，且∀n ∈N ∗，a n =(-2)n ，当n 为奇数，取t =1，使得a n +1=(-2)n +1>a n ；当n 为偶数，取t =2，使得a n +2=(-2)n +2>a n ，所以a n 为“t 数列”，但此时不满足∀n ,s ∈N ∗，a n +s >a n +a s ，不妨取n =1,s =2，则a 1=-2,a 2=4,a 3=-8，而a 1+2=-8<-2+4=a 1+a 2，则a n 为“s 数列”，所以D 错误.故选：C .20.(2024·江苏·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，有f x -f x >0，则“x <2”是“e x f x +1 >e 4f 2x -3 ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件【答案】A【解析】因为fx -f x >0，则f x -f x e x>0，令g x =f xex ，则g x >0，所以g x 在R 上单调递增.e xf x +1 >e 4f 2x -3 ⇔f x +1 e x +1>f 2x -3e 2x -3⇔g x +1 >g 2x -3⇔x +1>2x -3⇔x <4，所以“x <2”是“e x f x +1 >e x f 2x -3 ”的充分不必要条件，故选：A .21.(2024·江苏·统考模拟预测)离心率为2的双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与抛物线E :y 2=2px (p >0)有相同的焦点F ，过F 的直线与C 的右支相交于A ,B 两点.过E 上的一点M 作其准线l 的垂线，垂足为N ，若MN =3OF (O 为坐标原点)，且△MNF 的面积为122，则△ABF 1(F 1为C 的左焦点)内切圆圆心的横坐标为()A.14B.24C.22D.12【答案】D【解析】MN =3OF =3⋅p 2,x M +p 2=3p 2,∴x M =p .y 2M =2p 2,y M =2p ,S △MNF =12⋅3p 2⋅2p =122,p =4,F 2,0 ，双曲线中c =2,e =ca =2,∴a =1,b 2=3，双曲线：x 2-y 23=1.设直线AB :x =ty +2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,AF =m ,BF =n ，△ABF 1内切圆圆心为I ，所以m =x 1-22+y 21=x 21-4x 1+4+3x 2-3=2x 1-12=2x 1-1 =2x 1-1，同理n =2x 2-1，从而AB =m +n =2x 1+x 2 -2，由双曲线定义知AF 1 =m +2a =2x 1-1+2=2x 1+1，同理BF 1 =2x 2+1；接下来我们证明如下引理：三个不共线的点C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,E x 5,y 5 构成的三角形的内心坐标为GDE x 3+CE x 4+CD x 5DE +CE +CD,DE y 3+CE y 4+CD y 5DE +CE +CD，先来证明G 是三角形CDE 的内心当且仅当DE GC +CE GD +CD GE =0，若DE GC +CE GD +CD GE =0，则DE GC +CE GC +CD +CD GC +CE =0，则CG =CE CD DE +CE +CD CD CD +CECE，而由平行四边形法则可知CD CD +CECE与∠DCE 的角平分线共线，所以CG 经过三角形CDE 的内心，同理DG 经过三角形CDE 的内心，EG 经过三角形CDE 的内心，所以点G 是三角形CDE 的内心，由于上述每一步都是等价变形，反正亦然，所以G 是三角形CDE 的内心当且仅当DE GC +CE GD +CD GE =0，不妨设三角形CDE 的内心G x ,y ，则由DE GC +CE GD +CD GE =0得DE x 3-x +CE x 4-x +CD x 5-x =0，所以解得x =DE x 3+CE x 4+CD x 5DE +CE +CD ，同理y =DE y 3+CE y 4+CD y 5DE +CE +CD，从而GDE x 3+CE x 4+CD x 5DE +CE +CD,DE y 3+CE y 4+CD y 5DE +CE +CD，引理得证；由上述引理，即由内心坐标公式有x I =2x 2+1 x 1+2x 1+1 x 2-22x 1+x 2 -22x 2+1+2x 2+1+2x 1+x 2 -2=4x 1x 2-3x 1+x 2 +44x 1+x 2，联立x 2-y 23=1与AB :x =ty +2，整理并化简得3t 2-1 y 2+12ty +9=0，Δ=144t 2+363t 2-1 =36t 2+1 >0,y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1，所以x 1+x 2=t y 1+y 2 +4=t ⋅-12t 3t 2-1+4=-43t 2-1，x 1x 2=ty 1+2 ty 2+2 =t 2y 1y 2+2t y 1+y 2 +4=t 2⋅93t 2-1+2t ⋅-12t 3t 2-1+4=-3t 2-43t 2-1，所以x I =4x 1x 2-3x 1+x 2 +44x 1+x 2=-12t 2-163t 2-1+123t 2-1+4-163t 2-1=12，△ABF 1内切圆圆心在直线x =12上.故选：D .22.(2024·云南昆明·统考模拟预测)已知函数f x =x -1 e x +a 在区间-1,1 上单调递增，则a 的最小值为()A.e -1B.e -2C.eD.e 2【答案】A【解析】由题意得f x ≥0在-1,1 上恒成立，f x =e x +a +x -1 e x =xe x +a ，故xe x +a ≥0，即a ≥-xe x ，令g x =-xe x ，x ∈-1,1 ，则g x =-e x -xe x =-x +1 e x <0在x ∈-1,1 上恒成立，故g x =-xe x 在x ∈-1,1 上单调递减，故g x >g -1 =e -1，故a ≥e -1，故a 的最小值为e -1.故选：A23.(2024·湖南·高三校联考开学考试)已知函数f x =x -a exx +1的定义域为0,4 ，若f x 是单调函数，且f x 有零点，则a 的取值范围是()A.0,4B.0,3C.0,2D.0,e【答案】B【解析】因为f x 有零点，所以方程f x =0有解，即x -a =0在0,4 上有解，所以a ∈0,4 ．又由f x =x -a exx +1可得：fx =x 2+1-a x +1x +12e x．因为f x 是单调函数，所以函数g x =x 2+1-a x +1≥0在0,4 上恒成立或g x =x 2+1-a x +1≤0在0,4 上恒成立．因为g 0 =1>0，所以g x =x 2+1-a x +1≤0在0,4 上不可能恒成立．即函数g x =x 2+1-a x +1≥0在0,4 上恒成立，即x +1x+1-a ≥0在0,4 上恒成立．因为x +1x+1-a ≥3-a (当且仅当x =1时，等号成立)，故须使3-a ≥0，解得a ≤3．综上，a 的取值范围是0,3 ．故选：B .24.(2024·山东·高三山东省实验中学校考开学考试)双曲线M :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右顶点分别为A ,B ，曲线M 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则当mn +9mn 取到最小值时，双曲线离心率为()A.3 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】设A (-a ,0),B (a ,0),C (x ,y ),D (x ,-y )，则m =k AC =y x +a ，n =k BD =-y x -a ，所以mn =-y 2x 2-a2，将曲线方程x 2-a 2a 2=y 2b 2代入得mn =-b 2a2，又由均值定理得mn +9mn =mn +9mn ≥2mn ×9mn =6，当且仅当mn =9mn ，即mn =b 2a 2=3时等号成立，所以离心率e =1+b 2a2=2，故选：D .二、多选题25.(2024·广东·高三统考阶段练习)若过点(a ,b )可作曲线f (x )=x 2ln x 的n 条切线(n ∈N )，则()A.若a ≤0，则n ≤2B.若0<a <e -32，且b =a 2ln a ，则n =2C.若n =3，则a 2ln a <b <2ae -32+12e -3D.过e -32,-6 ，仅可作y =f (x )的一条切线【答案】ABD【解析】设切点x 0,x 20ln x 0 ，则f x 0 =2x 0ln x 0+x 0，切线为y -x 20ln x 0=2x 0ln x 0+x 0 x -x 0 ，代入(a ,b )整理得2x 0ln x 0+x 0 a -x 20ln x 0-x 20-b =0，令g (x )=(2x ln x +x )a -x 2ln x -x 2-b ，g (x )=(2ln x +3)a -2x ln x -3x =(2ln x +3)⋅(a -x )，令g(x )=0得x 1=a ,x 2=e -32．当a ≤0时，x ∈0,e-32，g (x )>0，所以g (x )在0,e -32上单调递增，x ∈e -32,+∞ ，g(x )<0，所以在e -32,+∞ 上单调递减，g e-32=-2a ⋅e-32+12⋅e -3-b ，在0,+∞ 两侧均有可能为负，同时极大值可能为正，所以g (x )至多有2个零点，故A 正确；当a ∈0,e -32时，x ∈(0,a )和x ∈e -32,+∞ 时，g(x )<0，所以g (x )在(0,a ),e -32,+∞ 上单调递减，x ∈a ,e-32，g(x )>0，所以g (x )在a ,e -32上单调递增，g (a )=a 2ln a -b ，g e-32=-2ae-32+12⋅e -3-b ，当b =a 2ln a 时，g (a )=0，所以g e -32>0，结合图象，值域为-∞,-2ae -32+12⋅e -3-b，所以n =2，B 正确；若n =3，则g (a )<0<g e -32，即a 2ln a e -32时，g e -32 <0<g (a )，即-2ae -32+12e -30时，g (x )有1个零点，即b <0，D 正确．故选：ABD .26.(2024·广东·高三校联考开学考试)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=4，E 是棱BB 1上的一点，点F 在棱DD 1上，则下列结论正确的是()A.若A 1，C ，E ，F 四点共面，则BE =DFB.存在点E ，使得BD ⎳平面A 1CEC.若A 1，C ，E ，F 四点共面，则四棱锥C 1-A 1ECF 的体积为定值D.若E 为BB 1的中点，则三棱锥E -A 1CC 1的外接球的表面积是32π【答案】BCD【解析】对A ，由A 1,C ,E ,F 四点共面，得CF ⎳A 1E ，则DF =B 1E ，若E 不是棱BB 1的中点，则BE ≠DF ，故A 错误.对B ，当E 是棱BB 1的中点时，取A 1C 的中点G ，连接GE ,B 1D ，则G 为B 1D 的中点.因为E 为BB 1的中点，则GE ⎳BD .因为GE ⊂平面A 1CE ,BD ⊄平面A 1CE ，所以BD ⎳平面A 1CE ，则B 正确.根据长方体性质知BB 1⎳CC 1，且CC 1⊂平面A 1CC 1，BB 1⊄平面A 1CC 1，所以BB 1⎳平面A 1CC 1，同理可得DD 1⎳平面A 1CC 1，则点E ，F 到平面A 1CC 1的距离为定值，又因为△A 1CC 1的面积为定值，所以三棱锥E -A 1CC 1和三棱锥F -A 1CC 1的体积都为定值，则四棱锥C 1-A 1ECF 的体积为定值，故C 正确.取棱CC 1的中点O 1，由题中数据可得CE =C 1E =22,CC 1=4，则CE 2+C 1E 2=CC 12，所以△CC 1E 为等腰直角三角形，所以O 1是△CC 1E 外接圆的圆心，△CC 1E 外接圆的半径r =2.设三棱锥E -A 1CC 1的外按球的球心为O ，半径为R ，设OO 1=d ，则R 2=d 2+r 2=O 1B 21+A 1B 1-d 2=8+(2-d )2，即d 2+4=8+(2-d )2，解得d =2，则R 2=8，此时O 点位于DD 1中点，从而三棱锥E -A 1CC 1的外接球的表面积是4πR 2=32π，故D 正确.故选：BCD .27.(2024·广东·高三校联考开学考试)已知函数f x 的定义域为R ，且f x -1 +f x +1 =0，f 1-x =f x +5 ，若f 52=1，则()A.f x 是周期为4的周期函数B.f x 的图像关于直线x =1对称C.f x 是偶函数D.f 12 +2f 32 +3f 52 +⋯+30f 592=-31【答案】ABD【解析】对A ，因为f (x -1)+f (x +1)=0，所以f (x +1)+f (x +3)=0，所以f (x -1)=f (x +3)，即f (x )=f (x +4)，所以f (x )是周期为4的周期函数，则A 正确.对B ，因为f (1-x )=f (x +5)，所以f (1-x )=f (x +1)，所以f (x )的图象关于直线x =1对称，则B 正确.对C ，因为f 52 =1，所以f -32 =1.令x =32，得f 12 +f 52 =0，则f 12=-1.因为f (x )的图象关于直线x =1对称，所以f 32 =f 12 =-1，则f 32 ≠f -32，从而f (x )不是偶函数，则C 错误.对D ，由f (x )的对称性与周期性可得f 12 =f 32 =-1,f 52 =f 72=1，则f 12 +2f 32 +3f 52 +⋯+30f 592 =7(-1-2+3+4)-29-30=-31，故D 正确.故选：ABD .28.(2024·广东湛江·统考一模)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB =2BB 1=4，BC =3，M ,N 分别为BB 1和CC 1的中点，P 为棱B 1C 1上的一点，且PC ⊥PM ，则下列选项中正确的有()A.三棱柱ABC -A 1B 1C 1存在内切球B.直线MN 被三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球截得的线段长为13C.点P 在棱B 1C 1上的位置唯一确定D.四面体ACMP 的外接球的表面积为26π【答案】ABD【解析】对于A ，取棱AA 1中点Q ，连接MQ ,NQ ，若三棱柱ABC -A 1B 1C 1存在内切球，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1内切球球心即为△MNQ 的内切圆圆心，∵△MNQ 的内切圆半径即为△ABC 的内切圆半径，又AB ⊥BC ，AB =4，BC =3，∴AC =5，∴△ABC 的内切圆半径r =2S △ABCAB +BC +AC=2×12×4×34+3+5=1，即△MNQ 的内切圆半径为1，又平面ABC 、平面A 1B 1C 1到平面MNQ 的距离均为1，∴三棱柱ABC -A 1B 1C 1存在内切球，内切球半径为1，A 正确；对于B ，取AC 中点G ，NQ 中点O ，MN 中点H ，连接BG ,OG ,OH ,B 1C ,OB 1，∵AB ⊥BC ，∴G 为△ABC 的外接圆圆心，又OG ⎳AA 1⎳BB 1，BB 1⊥平面ABC ，∴O 为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的球心；∵BB 1⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴BB 1⊥AB ，又AB ⊥BC ，BB 1∩BC =B ，BB 1,BC ⊂平面BCC 1B 1，∴AB ⊥平面BCC 1B 1，∵OH ⎳MQ ⎳AB ，∴OH ⊥平面BCC 1B 1，∴H 为四边形BCC 1B 1的外接圆圆心，∵四边形BCC 1B 1为矩形，∴直线MN 被三棱柱ABC -A 1B 1C 1截得的线段长即为矩形BCC 1B 1的外接圆直径，∵B 1C =BC 2+BB 21=9+4=13，∴直线MN 被三棱柱ABC -A 1B 1C 1截得的线段长为13，B 正确；对于C ，在平面中作出矩形BCC 1B 1，设C 1P =m 0≤m ≤3 ，则B 1P =3-m ，∴PC 2=4+m 2，MP 2=1+3-m 2，MC 2=32+12=10，又PC ⊥PM ，∴PC 2+PM 2=MC 2，即4+m 2+1+3-m 2=10，解得：m =1或m =2，∴P 为棱B1C 1的三等分点，不是唯一确定的，C 错误；对于D ，取MC 中点S ，∵PC ⊥PM ，∴S 为△PCM 的外接圆圆心，且BS =12MC =1232+12=102，则四面体ACMP 的外接球球心O 在过S 且垂直于平面PCM 的直线上，∵AB ⊥平面PCM ，∴O S ⊥平面PCM ，设O S =a ，四面体ACMP 的外接球半径为R ，∴R 2=102 2+a 2=102 2+4-a 2，解得：a =2，R 2=132，∴四面体ACMP 的外接球表面积为4πR 2=26π，D 正确.故选：ABD .29.(2024·广东梅州·统考一模)如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n n =2,3,⋅⋅⋅,9 的不同路线条数记为r n ，从1移动到9的事件中，跳过数字n n =2,3,⋅⋅⋅,8 的概率记为p n ，则下列结论正确的是()A.r 6=8B.r n +1>r nC.p 5=934D.p 7>p 8【答案】ABD【解析】画出树状图，结合图形结合树状图可知：r 2=1,r 3=2,r 4=3,r 5=5,r 6=8,r 7=13,r 8=21,r 9=34，对于选项A ：可知r 6=8，故A 正确；对于选项B ：均有r n +1>r n ，故B 正确；对于选项C ：因为r 9=34，过数字5的路线有5条，所以p 5=1-r 5r 9=2934，故C 错误；对于选项D ：因为p 7=1-r 7r 9=2134,p 8=1-r 8r 9=1334，所以p 7>p 8，故D 正确；故选：ABD .30.(2024·广东梅州·统考一模)已知函数f x =e sin x -e cos x ，则下列说法正确的是()A.f x 的图象关于直线x =π4对称 B.f x 的图象关于点π4,0中心对称C.f x 是一个周期函数 D.f x 在区间0,π 内有且只有一个零点【答案】BCD【解析】AB 选项，f x 的定义域为R ，f π2-x =e sin π2-x -e cos π2-x =e cos x -e sin x =-f x ，所以f x 关于点π4,0 中心对称，A 选项错误，B 选项正确.C 选项，f x +2π =esin x +2π-ecos x +2π=e sin x -e cos x =f x ，所以f x 是周期函数，C 选项正确.D 选项，令f x =e sin x -e cos x =0得e sin x =e cos x ，所以sin x =cos x ，在区间0,π 上，解得x =π4，所以f x 在区间0,π 内有且只有一个零点，所以D 选项正确.故选：BCD31.(2024·广东深圳·统考一模)如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B ,C ,D ,E 在同一个平面内．若点M 在四边形BCDE 内(包含边界)运动，N 为AE 的中点，则()A.当M 为DE 的中点时，异面直线MN 与CF 所成角为π3B.当MN ∥平面ACD 时，点M 的轨迹长度为22C.当MA ⊥ME 时，点M 到BC 的距离可能为3D.存在一个体积为103的圆柱体可整体放入Ω内【答案】ACD 【解析】因为BCDE 为正方形，连接BD 与CE ，相交于点O ，连接OA ，则OD ，OE ，OA 两两垂直，故以OD ,OE ,OA 为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，D (22,0,0)，B (-22,0,0)，E (0,22,0)，C (0,-22,0)，A (0,0,22)，F (0,0,-22)，N 为AE 的中点，则N (0,2,2).当M 为DE 的中点时，M (2,2,0)，MN =-2,0,2 ，CF =0,22,-22 ，设异面直线MN 与CF 所成角为θ，cos θ=cos MN ,CF =MN ⋅CFMN CF=0+0-4 2×4=12，θ∈0,π2 ，故θ=π3，A 正确；设P 为DE 的中点，N 为AE 的中点，则PN ∥AD ，AD ⊂平面ACD ，PN ⊄平面ACD ，则PN ∥平面ACD ，又MN ∥平面ACD ，又MN ∩PN =N ，设Q ∈BC ，故平面MNP ∥平面ACD ，平面ACD ∩平面BCDE =CD ，平面MNP ∩平面BCDE =PQ ，则PQ ∥CD ，则Q 为BC 的中点，点M 在四边形BCDE 内(包含边界)运动，则M ∈PQ ，点M 的轨迹是过点O 与CD 平行的线段PQ ，长度为4，B 不正确；当MA ⊥ME 时，设M (x ,y ,0)，MA =(-x ,-y ,22)，ME =(-x ,22-y ,0)，MA ⋅ME=x 2+y (y -22)=0，得x 2+y 2-22y =0，即x 2+(y -2)2=2，即点M 的轨迹以OE 中点K 为圆心，半径为2的圆在四边BCDE 内(包含边界)的一段弧(如下图)，K 到BC 的距离为3，弧上的点到BC 的距离最小值为3-2，因为3-2<3，所以存在点M 到BC 的距离为3，C 正确；由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥A -BCDE 内接最大圆柱的体积，设圆柱底面半径为r ，高为h ，P 为DE 的中点，Q 为BC 的中点, PQ =4，AO =22，根据△AGH 相似△AOP ，得GH OP =AG AO ，即r 2=22-h22，h =2(2-r )，则圆柱体积V =πr 2h =2πr 2(2-r )，设V (r )=2π(2r 2-r 3)(0<r <2)，求导得V (r )=2π(4r -3r 2)，令V (r )=0得，r =43或r =0，因为0<r <2，所以r =0舍去，即r =43，当0<r <43时，V (r )>0，当43<r <2时，V (r )<0，即r =43时V 有极大值也是最大值，V 有最大值32227，32227-53=962-13527=962×2-135227=18432-1822527>0，故32227>53所以存在一个体积为10π3的圆柱体可整体放入Ω内，D 正确.故选：ACD .32.(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知函数f x =A tan ωx +φ (ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则()A.ω⋅φ⋅A =π6B.f x 的图象过点11π6,233C.函数y =f x 的图象关于直线x =5π3对称D.若函数y =f x +λf x 在区间-5π6,π6 上不单调，则实数λ的取值范围是-1,1【答案】BCD【解析】A ：设该函数的最小正周期为T ，则有T =πω=π6--5π6 ⇒ω=1，即f x =A tan x +φ ，由函数的图象可知：π6+φ=π2⇒φ=π3，即f x =A tan x +π3，由图象可知：f 0 =A tan π3=23⇒A =2，所以ω⋅φ⋅A =2π3，因此本选项不正确；B ：f 11π6 =2tan 11π6+π3 =2tan 13π6=2tan π6=2×33=233，所以本选项正确；C ：因为f 5π3-x =2tan 5π3-x +π3=2tan x ，f 5π3+x =2tan 5π3+x +π3=2tan x ，所以f 5π3-x =f 5π3+x ，所以函数y =f x 的图象关于直线x =5π3对称，因此本选项正确；D ：y =f x +λf x =2tan x +π3 +2λtan x +π3当x ∈-π3,π6 时，y =f x +λf x =2tan x +π3 +2λtan x +π3 =2tan x +π3 +2λtan x +π3 =2+2λ tan x +π3 ，当x ∈-5π6,-π3，y =f x +λf x =2tan x +π3 +2λtan x +π3 =-2tan x +π3 +2λtan x +π3=-2+2λ tan x +π3，当函数y =f x +λf x 在区间-5π6,π6上不单调时，则有2+2λ -2+2λ ≤0⇒-1≤λ≤1，故选：BCD33.(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1∼10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进n 步的概率为p n ，则下列说法正确的是()A.p 2=14B.p n =12p n -1+12p n -2n ≥3 C.p n =1-12p n -1n ≥2 D.小华一共前进3步的概率最大【答案】BC【解析】根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是12，所以P 1=12，P 2=12×12+12=34，故选项A错误；当n≥3时，其前进几步是由两部分组成：先前进n-1步，再前进1步，其概率为12p n-1，或者先前进n-2步，再前进2步，其概率为12p n-2，所以p n=12p n-1+12p n-2n≥3，故选项B正确；因为p n=12p n-1+12p n-2n≥3，所以2p n+p n-1=2p n-1+p n-2n≥3，而2p2+p1=2×34+12=2，所以2p n+p n-1=2n≥2，即p n=1-12p n-1n≥2，故选项C正确；因为当n≥2时，p n=1-12p n-1，所以p n-23=-12p n-1-23，又p1-23=12-23=-16，所以数列p n-23是首项为-16，公比为-12的等比数列.所以P n-23=-16×-12n-1，所以P n=23-16×-12n-1.当n为奇数时，n-1为偶数，则P n=23-16×12n-1，此时数列p n 单调递增，所以P n<23；当n为偶数时，n-1为奇数，则P n=23+16×12n-1，此时数列p n 单调递减，所以P n≤P2=3 4；综上，当n=2时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误.故选：BC34.(2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考一模)在三棱锥A-BCD中，AD=BC=4，AB=BD=DC=CA=6，M为BC的中点，N为BD上一点，球O为三棱锥A-BCD的外接球，则下列说法正确的是()A.球O的表面积为11πB.点A到平面BCD的距离为14C.若MN⊥AB，则DN=6NBD.过点M作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2【答案】BCD【解析】由AD=BC=4，AB=BD=DC=CA=6，可将三棱锥A-BCD补形成如图所示的长方体，设BF=x,BE=y,AE=z，则x2+y2=16z2+y2=36x2+z2=36，解得x=22y=22z=27，即AE=27，EB=BF=22，所以球O的半径为272+222+2222=11，所以球O的表面积为44π，故A错误.由题得长方体为正四棱柱，AB=AC=BD=CD，M为BC的中点，故AM⊥BC,DM⊥BC,又AM∩DM=M,AM,DM⊂平面AMD，则BC⊥平面AMD，又BC⊂平面BCD，故平面BCD⊥平面AMD，平面BCD∩平面AMD=MD，过点A作MD的垂线，交MD于H，则AH⊥平面BCD,故AH为点A到平面BCD的距离.在△AMD中，AM=MD=42，AD=4，故cos ∠ADH =16+32-322×4×42=122,sin ∠ADH =722，则AH =4×722=14，故B 正确.以E 为原点，EB ，EC ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A 0,0,27 ,D 22,22,27 ，B 22,0,0 ，M 2,2,0 ，AB =22,0,-27 ，BD =0,22,27 .设BN =λBD=0,22λ,27λ ，所以MN =MB +BN=2,-2,0 +0,22λ,27λ =2,22λ-2,27λ ，因为MN ⊥AB ，所以MN ⋅AB=22×2-27×27λ=0，解得λ=17，所以DN =6NB ，故C 正确.当且仅当OM 与截面垂直时，截面面积最小，由A 解析知：最小的半径为11-7=2，故D 正确.故选：BCD35.(2024·湖北武汉·统考模拟预测)已知函数f x =a e x +1 ln 1+x 1-x-e x+1恰有三个零点，设其由小到大分别为x 1,x 2,x 3，则()A.实数a 的取值范围是0,1eB.x 1+x 2+x 3=0C.函数g x =f x +kf -x 可能有四个零点D.f ′x 3 f ′x 1=e x3【答案】BCD【解析】对于B ，f x =0⇔a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1=0，设h x =a ln 1+x 1-x +1-e xe x +1，则它的定义域为-1,1 ，它关于原点对称，且h -x =a ln 1-x 1+x +1-e -x e -x +1=-a ln 1+x 1-x +1-e xe x +1=-h x ，所以h x 是奇函数，由题意h x =0有三个根x 1,x 2,x 3，则x 1+x 2+x 3=0，故B 正确；对于C ，由f x +kf -x =0⇒a e x +1 ln 1+x 1-x -e x +1+a e -x +1 ln 1-x 1+x -e -x +1 =0，所以a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1+k a ln 1+x 1-x e x -1-e x e x1+e x=0，所以a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1=k e x a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1，即a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1 1-k e x=0已经有3个实根x 1,x 2,x 3，当k >0时，令1-kex =0，则x =ln k ，只需保证ln k ≠x 1,x 2,x 3可使得方程有4个实根，故C 正确；由B 可知，x 1=-x 3，而f x 3 f x 1=e x 3⇔f x 3 =e x3f -x 3 ，又f x =ae x ln 1+x 1-x +a e x +1 21-x 2-e x ,e x 3f-x 3 =a ln 1-x 31+x 3+a e x 3+1 21-x 23-1，所以f x 3 =ae x 3ln 1+x 31-x 3+a e x 3+1 21-x 23-ex3。

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编

2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编09一、单选题1(2024·广东梅州·二模)已知点F 为双曲线C ：x 23-y 2=1的右焦点，点N 在x 轴上(非双曲线顶点)，若对于在双曲线C 上(除顶点外)任一点P ，∠FPN 恒是锐角，则点N 的横坐标的取值范围为()A.2,143B.2,173C.3,143D.3,173【答案】C【解析】由题意可得c =a 2+b 2=2，所以F (2,0)，设N (x 0，0)，P (x ,y )，则PF =(2-x ,-y )，PN =(x 0-x ，-y )，由∠FPN 恒是锐角，得PF ⋅PN=(2-x )(x 0-x )+y 2>0，又x 23-y 2=1，∴y 2=x 23-1，∴不等式可化为：(2-x )(x 0-x )+x 23-1>0，整理得：4x 23-(x 0+2)x +(2x 0-1)>0，∴只需Δ=(x 0+2)2-163(2x 0-1)<0，解得2<x 0<143．故选：C ．2(2024·广东·二模)已知球O 与圆台O 1O 2的上、下底面和侧面均相切，且球O 与圆台O 1O 2的体积之比为12，则球O 与圆台O 1O 2的表面积之比为()A.16B.14C.13D.12【答案】D【解析】由题意，作出圆台的轴截面ABCD ，设圆台的上、下底面半径分别为r 1、r 2，球的半径OO 1=r ，则AE =r 1,BE =r 2，过A 作AD ⊥BC 于点H ，由AH 2+BH 2=AB 2，得2r 2+r 2-r 1 2=r 1+r 2 2，化简得r 2=r 1r 2，由球的体积公式V 球=43πr 3，圆台的体积公式V 圆台=132r ⋅πr 21+πr 22+πr 21⋅πr 22 =23πr r 21+r 22+r 1r 2 ，已知球O 与圆台O 1O 2的体积之比为12，则2r 2r 21+r 22+r 1r 2=12，化简得4r 2=r 21+r 22+r 1r 2，则4r 1r 2=r 21+r 22+r 1r 2，得3r 1r 2=r 21+r 22，又球的表面积S 球=4πr 2，圆台的表面积S 圆台=πr 1+r 2 2+r 21+r 22 ，所以S 球S 圆台=4r 22r 21+r 22+r 1r 2 =2r 2r 21+r 22+r 1r 2=2×14=12，故选：D ．3(2024·广东·二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O :x 2+y 2=1，若等腰直角△ABC 的直角边AC 为圆O 的一条弦，且圆心O 在△ABC 外，点B 在圆O 外，则四边形OABC 的面积的最大值为()A.52+1 B.2+1C.62+1 D.3+1【答案】A【解析】如图所示，设∠OAC =∠OCA =α，则∠AOC =π-2α，故S AOC =12OA ⋅OC sin ∠AOC =12sin π-2α =12sin2α，由余弦定理得AC 2=OA 2+OC 2-2OA ⋅OC cos ∠AOC =1+1-2cos π-2α =2+2cos2α，故等腰直角三角形△ABC 的面积为12AC ⋅BC =12AC 2=1+cos2α，故四边形OABC 的面积为12sin2α+cos2α+1=52sin 2α+φ +1，其中tan φ=2，0<φ<π2，其中α∈0,π2，故2α+φ∈φ,π+φ ⊇π2,π，则当2α+φ=π2时，52sin 2α+φ +1取得最大值，最大值为52+1．故选：A4(2024·湖南益阳·模拟预测)已知f x 的定义域为0,+∞ ,f x 是f x 的导函数，且x 2f x +2xf x =ln x ，2ef e =1，则f 13,f sin 14 ,f tan 12的大小关系是()A.f 13 <f sin 14 <f tan 12 B.f sin 14 <f 13 <f tan12C.f tan 12 <f 13 <f sin 14D.f sin 14 <f tan 12 <f 13【答案】C【解析】因为x 2f (x )+2xf (x )=ln x ，即[x 2f (x )] =ln x ，构造函数g (x )=x 2f (x )，则g (x )=ln x ，f (x )=g (x )x2．将f (x )=g (x )x2代入x 2f (x )+2xf (x )=ln x ，得f (x )=x ln x -2g (x )x 3．再构造函数h (x )=x ln x -2g (x )，则h (x )=ln x +1-2g (x )=1-ln x ，易知，当x ∈(0,e )时，h (x )>0，函数h (x )单调递增；当x ∈(e ,+∞)时，h (x )<0，函数h (x )单调递减，所以h (x )max =h (e )=e -2g (e )=e -2e 2f (e )，由于2ef (e )=1，所以h (e )=0，所以h (x )≤0，所以当x ∈(0,e )时，f (x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0，函数f (x )单调递减，所以f (x )在(0,+∞)单调递减．又根据单位圆可得三角不等式sin 13<13<tan 13，又sin 14<sin 13，tan 13<tan 12，所以f tan 13<f 13 <f sin 13 ，故f tan 12 <f 13 <f sin 14 ．故选：C ．5(2024·湖南益阳·模拟预测)如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为r A ，另一种金属晶体的原子半径为r B ，则r A 和r B 的关系是()A.2r B =3r AB.2r B =6r AC.2r B =3-1 r AD.2r B =6-2 r A【答案】D【解析】由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体P -ABC ，设正四面体的棱长为a a >0 ，高为h h >0 ，外接球球心为O ，D 为正三角形ABC 的中心，则必有PD ⊥平面ABC 且P ，O ，D 三点共线，在正三角形ABC 中，易求得DB =32a ×23=33a ，在△PDB 中，由PB 2=PD 2+DB 2，可得h =PD =a 2-33a 2=63a ，在△OBD 中，由OB 2=OD 2+DB 2，得R 2=(h -R )2+33a2，解得R =64a ，由题意得a =2rA64a =r A +r B，所以64×2r A =r A +r B ，所以2r B =6-2 r A ．故选：D ．6(2024·湖北武汉·模拟预测)若函数f x =3cos ωx +φ ω<0，-π2<φ<π2的最小正周期为π，在区间-π6,π6 上单调递减，且在区间0,π6上存在零点，则φ的取值范围是()A.π6,π2B.-π2,-π3C.π3,π2D.0,π3 【答案】B【解析】由函数f (x )的最小正周期为π，得2π|ω|=π，而ω<0，解得ω=-2，则f (x )=3cos (-2x +φ)=3cos (2x -φ)，由2k π≤2x -φ≤2k π+π,k ∈Z ，得2k π+φ≤2x ≤2k π+π+φ,k ∈Z ，又f (x )在-π6,π6上单调递减，因此2k π+φ≤-π3，且π3≤2k π+π+φ,k ∈Z ，解得-2π3-2k π≤φ≤-π3-2k π,k ∈Z ①，由余弦函数的零点，得2x -φ=n π+π2,n ∈Z ，即2x =n π+π2+φ,n ∈Z ，而f (x )在0,π6 上存在零点，则0<n π+π2+φ<π3,n ∈Z ，于是-n π-π2<φ<-n π-π6,n ∈Z ②，又-π2<φ<π2，联立①②解得-π2<φ≤-π3，所以φ的取值范围是-π2,-π3．故选：B7(2024·湖北武汉·模拟预测)如果a <x 0)，求导得f (x )=x -14=14x，则14n(n ∈N ∗)可视为函数f (x )=43x 34(x >0)在x =n 处的切线斜率，设A (n ,f (n )),B (n +1,f (n +1))，则直线AB 的斜率k AB =f (n +1)-f (n )n +1-n=f (n +1)-f (n )，由导数的几何意义有f (n +1)<k AB <f (n )，因此14n +1<43(n +1)34-n 34 <14n，而43234-134 +334-234 +434-334 +⋯+8234-8134 <141+142+143+⋯+1481=T ，即有T >438234-1 >438134-1 =43×26=34+23，又T =1+142+143+⋯+1481<1+438134-1 =35+23，因此34+23<T <35+23，所以[T ]=35．故选：B8(2024·山东·二模)已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位后所得的函数图象与曲线y =f (x )关于x =π3对称，则ω的最小值为()A.23B.13C.1D.12【答案】A【解析】函数f (x )=sin ωx +π6 ，f (x )的图象向左平移π3个单位后所得函数g (x )=sin ωx +π3 +π6=sin ωx +πω3+π6，函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =π3对称，则f (x )=g 2π3-x ，于是sin ωx +π6=sin ω2π3-x +πω3+π6 对任意实数x 恒成立，即sin ωx +π6 =sin -ωx +πω+π6 =sin π-ωx -πω+5π6 =sin ωx -πω+5π6 对任意实数x 恒成立，因此-πω+5π6=π6+2k π,k ∈Z ，解得ω=-2k +23,k ∈Z ，而ω>0，则k ∈Z ,k ≤0，所以当k =0时，ω取得最小值23．故选：A9(2024·山东·二模)已知f x 为定义在R 上的奇函数，设f x 为f x 的导函数，若f x =f 2-x +4x -4，则f 2023 =()A.1B.-2023C.2D.2023【答案】C【解析】因为f x =f 2-x +4x -4，所以两边求导，得f (x )=-f (2-x )+4，即f (x )+f (2-x )=4①因为f x 为定义在R 上的奇函数，则f (-x )=-f (x )，所以两边求导，得f (x )=f (-x )，所以f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2-x )=f (x -2)，结合①式可得，f (x )+f (x -2)=4，所以f (x -2)+f (x -4)=4，两式相减得，f (x )=f (x -4)，所以f (x )是周期为4的偶函数，所以f (2023)=f (-1)=f (1)．由①式，令x =1，得f (1)=2，所以f (2023)=f (1)=2．故选：C ．10(2024·河南信阳·模拟预测)棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 为BD 1上的动点，O 为底面ABCD 的中心，则OP 的最小值为()A.33B.63C.66D.32【答案】C【解析】由题意可得OP 的最小值为点O 到线段BD 1的距离，在平面D 1DB 内过点O 作OP ⊥BD 1于点P ，由题意可得DD 1=1，DB =2，BD 1=3，DD 1⊥平面ABCD ，因为DB ⊂平面ABCD ，则DD 1⊥DB ，因为△OPB ∽△D 1DB ，故OP DD 1=OB BD 1，即OP =OB ⋅DD 1BD 1=22×13=66．故选：C ．11(2024·河南信阳·模拟预测)若直线y =ax +b 与曲线y =e x 相切，则a +b 的取值范围为()A.(-∞,e ]B.[2,e ]C.[e ,+∞)D.[2,+∞)【答案】A【解析】对于y =e x ，有y =e x ，令切点为m ,e m ，则切线方程为y =e m x -m +e m ，即y =e m x +1-m e m ，即有a +b =e m +1-m e m =2-m e m ，令f x =2-x e x ，则f x =1-x e x ，当x <1时，f x >0，当x >1时，f x <0，故f x 在-∞,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，故f x ≤f 1 =2-1 e 1=e ，又当x 趋向于正无穷大时，f x 趋向于负无穷，故f x ∈(-∞,e ]，即a +b ∈(-∞,e ]．故选：A ．12(2024·福建福州·模拟预测)函数f x =2sin ωx 3sin ωx +cos ωx (ω>0)在0,π3上单调递增，且对任意的实数a ，f x 在(a ,a +π)上不单调，则ω的取值范围为()A.1,52B.1,54C.12,52D.12,54【答案】D【解析】因为f (x )=2sin ωx (3sin ωx +cos ωx )=23sin 2ωx +2sin ωx cos ωx=sin2ωx -3cos2ωx +3=2sin 2ωx -π3 +3，又因为x ∈0,π3 ，且ω>0，则2ωx -π3∈-π3,2ωπ3-π3 ，若f (x )在0,π3上单调递增，所以2ωπ3-π3≤π2，所以0<ω≤54，因为对任意的实数a ，f (x )在(a ,a +π)上不单调，所以f (x )的周期T =2π2ω<2π，所以ω>12，所以12<ω≤54．故选：D ．13(2024·浙江嘉兴·二模)6位学生在游乐场游玩A ,B ,C 三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A 项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有()A.180种B.210种C.240种D.360种【答案】C【解析】若A 有2人游玩，则有C 26C 34C 11A 22+C 24C 22A 22A 22=15×8+6 =210种；若A 有4人游玩，则有C 46A 22=15×2=30种；所以共有240种，故选：C ．14(2024·浙江嘉兴·二模)已知定义在0,+∞ 上的函数f x 满足xf x =1-x f x ，且f 1 >0，则()A.f 12<f 1 <f 2 B.f 2 <f 1 <f 12C.f 12<f 2 <f 1D.f 2 <f 12<f 1 【答案】D【解析】由xfx =1-x f x 变形得f x -xf x f x=x ，从而有f x -xf x f 2x=x f x ，x f x =x f x ，所以xf x=k ⋅e x ，因为f 1 >0，所以k =1f 1 e1>0，则f x =xk ⋅e x ，则fx =ke x -kx ⋅e x k 2e x =ke x 1-x k 2e x，故当0<x <1时，f x >0，当x >1时，f x <0，所以f x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 单调递减，所以f 12<f 1 ，f 2 <f 1 ，又f 12 -f 2 =12k e -2ke 2=e 32-42ke2，而e 3>2.73≈19.7>16，所以e 32>4，所以f 2 <f 12<f 1 ．故选：D ．15(2024·浙江宁波·二模)在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4,A 1B 1=2,AA 1=3，若球O 与上底面A 1B 1C 1D 1以及棱AB ,BC ,CD ,DA 均相切，则球O 的表面积为()A.9π B.16π C.25πD.36π【答案】C【解析】设棱台上下底面的中心为N ,M ，连接D 1B 1,DB ，则D 1B 1=22,DB =42，所以棱台的高MN =B 1B 2-MB -NB 1 2=3 2-22-2 2=1，设球半径为R ，根据正四棱台的结构特征可知：球O 与上底面A 1B 1C 1D 1相切于N ，与棱AB ,BC ,CD,DA 均相切于各边中点处，设BC 中点为E ，连接OE ,OM ,ME ，所以OE 2=OM 2+ME 2⇒R 2=R -1 2+22，解得R =52，所以球O 的表面积为4πR 2=25π，故选：C16(2024·浙江宁波·二模)已知集合P =x ,y |x 4+ax -2024=0 且xy =2024 ，若P 中的点均在直线y =2024x 的同一侧，则实数a 的取值范围为()A.-∞,-2023 ∪2023,+∞ B.2023,+∞ C.-∞,-2024 ∪2024,+∞ D.2024,+∞【答案】A【解析】依题意集合P 即为关于x 、y 的方程组x 4+ax -2024=0xy =2024 的解集，显然x ≠0，所以a =-x 3+2024xy =2024x，即y =-x 3+2024x y =2024x y =a，令f x =-x 3+2024x ，由y =2024x y =2024x，解得x =1y =1 或x =-1y =-1 ，即函数y =2024x 与y =2024x的交点坐标为1,1 和-1,-1 ，又f -x =-x 3+2024x =--x 3+2024x =-f x ，所以f x 为奇函数，因为y =-x 3与y =2024x 在0,+∞ 上单调递减，所以f x =-x 3+2024x 在0,+∞ 上单调递减，则f x =-x 3+2024x在-∞,0 上单调递减，依题意y =a 与y =-x 3+2024x 、y =2024x的交点在直线y =2024x 的同侧，只需a >f 1 或a <f -1 ，即a >2023或a <-2023，所以实数a 的取值范围为-∞,-2023 ∪2023,+∞ ．故选：A17(2024·浙江杭州·二模)在△ABC 中，已知sin A sin B =n sin C ,cos A cos B=n cos C ．若tan A +π4 =-3，则n =()A.无解B.2C.3D.4【答案】A 【解析】由tan A +π4 =1+tan A1-tan A=-3，即tan A =2，则cos A ≠0，由sin A sin B =n sin C ,cos A cos B =n cos C ，知cos C ≠0，则tan A tan B=tan C ，则tan A =tan B ⋅tan C =2，又tan A =tan π-B -C =-tan B +C =-tan B +tan C1-tan B ⋅tan C=tan B +tan C ，故tan B +tan C =2，设tan B =t ，则tan C =2-t ，有t 2-t =2，即t 2-2t +2=0，Δ=4-8=-4<0，即该方程无解，故不存在这样三角形，即n 无解．故选：A ．18(2024·浙江杭州·二模)设集合M ={-1,1}，N ={x |x >0且x ≠1}，函数f x =a x +λa -x (a >0且a ≠1)，则()A.∀λ∈M ,∃a ∈N ,f x 为增函数B.∃λ∈M ,∀a ∈N ,f x 为减函数C.∀λ∈M ,∃a ∈N ,f x 为奇函数D.∃λ∈M ,∀a ∈N ,f x 为偶函数【答案】D【解析】当λ=1时，f x =a x +a -x ，a >1时，f (x )在(-∞,0)上不是增函数，故A 不正确；当λ=-1时，f x =a x -a -x ，a >1时，f (x )在(0,+∞)上为增函数，B 不正确；当λ=1时，f x =a x +a -x ，f (-x )=a x +a -x =f (x )，f (x )为偶函数，故C 不正确；当λ=1时，f x =a x +a -x ，f (-x )=a x +a -x =f (x )，f (x )为偶函数，故D 正确；故选：D ．19(2024·浙江台州·二模)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点M ,N 分别在双曲线C 的左、右两支上，且满足∠MF 2N =π3，NF 2=2MF 1 ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.73C.3D.52【答案】B【解析】如图，设NF 1与MF 2的交点为P ，MF 1 =x ，因为NF 2 =2MF 1 ，所以NF 2 =2MF 1 =2x ，所以，由双曲线的定义可知：MF 2 =MF 1 +2a =2a +x ，NF 1 =2a +NF 2 =2x +2a ，因为NF 2 =2MF 1 ，所以NF 2⎳MF 1，所以△NF 2P ∽△F 1MP ，∠F 1MF 2=∠MF 2N =π3，所以PF 2 =23MF 2 =232a +x ，PN =23NF 1 =232a +2x ，所以，在△PNF 2中，∠PF 2N =∠MF 2N =π3，所以，由余弦定理有：cos ∠PF 2N =PF 2 2+F 2N 2-PN 22PF 2 ⋅F 2N=cos π3=12，代入PF 2 =232a +x ，PN =232a +2x ，NF 2 =2x ，整理得3x 2-10ax =0，解得x =103a ，x =0(舍)，所以，MF 1 =x =103a ，MF 2 =2a +x =163a ，F 1F 2 =2c ，所以，在△F 1MF 2中，由余弦定理有：cos ∠F 1MF 2=F 1M 2+F 2M 2-F 1F 2 22F 1M ⋅F 2M =12，代入数据整理得：7a =3c ，所以，双曲线的离心率为：e =c a =73．故选：B20(2024·江苏扬州·模拟预测)已知菱形ABCD 的边长为2,∠ABC =60°，动点P 在BC 边上(包括端点)，则AD ⋅AP的取值范围是()A.0,1 B.-1,2C.-2,2D.-1,1【答案】C【解析】如图，作Cy ⊥CB ，以C 为原点，建立平面直角坐标系，易知C (0,0)，A (1,3)，D (-1,3)，设P (x ,0)，且x ∈0,2 ，故AD =(-2,0)，AP=x -1,-3 ，故AD ⋅AP=-2(1-x )=2-2x ，而-2x ∈-4,0 ，2-2x ∈-2,2 ．故选：C21(2024·江苏扬州·模拟预测)设方程2x +x +3=0和方程log 2x +x +3=0的根分别为p ,q ，设函数f x =x +p x +q ，则()A.f 2 =f 0 <f 3B.f 0 =f 3 >f 2C.f 3 <f 2 =f 0D.f 0 <f 3 <f 2【答案】B【解析】由2x +x +3=0得2x =-x -3，由log 2x +x +3=0得log 2x =-x -3，所以令y =2x ,y =log 2x ,y =-x -3，这3个函数图象情况如下图所示：设y =2x ,y =-x -3交于点B ，y =log 2x ,y =-x -3交于点C ，由于y =2x ,y =log 2x 的图象关于直线y =x 对称，而y =-x -3,y =x 的交点为A -32,-32 ，所以p +q 2=-32，注意到函数f x =x +p x +q =x 2+p +q x +pq 的对称轴为直线x =-p +q 2，即x =32，且二次函数f x 的图象是开口向上的抛物线方程，从而f 0 =f 3 >f 2 ．故选：B ．22(2024·河北邢台·一模)如图，正四棱台容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的高为12cm ，AB =10cm ，A 1B 1=2cm ，容器中水的高度为6cm ．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没)，水位上升了3cm ，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为()A.31πcmB.32πcm C.33πcm D.34πcm 【答案】A【解析】正四棱台容器ABCD -A 1B 1C 1D 1的高为12cm ，AB =10cm ，A 1B 1=2cm ，正四棱台容器内水的高度为6cm ，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为122+10 =6，其体积为V 1=1362+102+62×102 ×6=392cm 3；放入铁球后，水位高为9cm ，沿A 1B 1作个纵截面，从A 1,B 1分别向底面引垂线，如图，其中EF 是底面边长10cm ，B 1H 是容器的高为12cm ，GH 是水的高为9cm ，由截面图中比例线段的性质GN HF =B 1G B 1H=14，可得GN =1，此时水面边长为4cm ，此时水的体积为V 2=1342+102+42×102 ×9=468cm 3，放入的57个球的体积为468-392=76cm 3，设小铁球的半径为r ，则57×43πr 3=76，解得r =31πcm ．故选：A 23(2024·河北邢台·一模)倾斜角为θ的直线l 经过抛物线C ：y 2=16x 的焦点F ，且与C 相交于A ,B 两点．若θ∈π6,π4，则AF BF 的取值范围为()A.128,256 B.64,256 C.64,1963 D.1963,128 【答案】A【解析】首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，如图，对于一个抛物线y 2=2px ，倾斜角为θ的直线l 经过抛物线C ：y 2=2px 的焦点F ，且与C 相交于A ,B 两点．作准线的垂线AA ,BB ，过F 作FM ⊥AA ，则AF =AA =MA +AM =p +AF cos θ，解得AF =p 1-cos θ，同理可得BF =p1+cos θ，如图，不妨设A 在第一象限，由焦半径公式得AF =81-cos θ，AF =81+cos θ，则AF BF =81-cos θ×81+cos θ=64sin 2θ，而θ∈π6,π4 ，可得sin 2θ∈14,12 ，故64sin 2θ∈128,256 ，故A 正确，故选：A 二、多选题24(2024·广东梅州·二模)已知数列a n 的通项公式为a n =3n ，n ∈N *，在a n 中依次选取若干项(至少3项)a k 1，a k 2，a k 3，⋅⋅⋅，a k n，⋅⋅⋅，使a k n成为一个等比数列，则下列说法正确的是()A.若取k 1=1，k 2=3，则k 3=9B.满足题意的k n 也必是一个等比数列C.在a n 的前100项中，a k n的可能项数最多是6D.如果把a n 中满足等比的项一直取下去，a k n总是无穷数列【答案】AB【解析】因为数列a n 的通项公式为a n =3n ，对于A ，取k 1=1，k 2=3，则a k 1=a 1=3，a k 2=a 3=9，由于a k n为等比数列，则a k 3=27，则有3k 3=27，即k 3=9，故A 正确；对于B ，数列{a n }的通项公式为a n =3n ，则a k n=3k n ，若a k n为等比数列，即3k 1，3k 2，3k 3，⋯，3k n ，⋯是等比数列，则k 1，k 2，k 3，⋯，k n ，⋯，是等比数列，故满足题意的{k n }也必是一个等比数列，故B 正确；对于C ，在a n 的前100项中，可以取k 1=1，k 2=2，k 3=4，k 4=8，k 5=16，k 6=32，k 7=64，可以使a k n成为一个等比数列，此时a k n为7项，故C 错误；对于D ，取k 1=4，k 2=6，则a k 1=12,a k 2=18，则a k 3=27,a k 4=812，a k 4=812不是数列a n 的项，所以把a n 中满足等比的项一直取下去，a k n不总是无穷数列，故D 错误．故选：AB ．25(2024·广东梅州·二模)如图，平面ABN ⊥α，AB =MN =2，M 为线段AB 的中点，直线MN 与平面α的所成角大小为30°，点P 为平面α内的动点，则()A.以N 为球心，半径为2的球面在平面α上的截痕长为2πB.若P 到点M 和点N 的距离相等，则点P 的轨迹是一条直线C.若P 到直线MN 的距离为1，则∠APB 的最大值为π2D.满足∠MNP =45°的点P 的轨迹是椭圆【答案】BC【解析】对于A ，由于MN 与平面α的所成角大小为30°，所以点N 到平面α的距离d =MN sin30°=1，故半径为R =2的球面在平面α上截面圆的半径为r =R 2-d 2=3，故截痕长为2πr =23π，A 错误，对于B ，由于平面ABN ⊥α，所以以AB 为y ，在平面α内过M 作x ⊥AB ，平面ABN 内作z ⊥AB ，建立如图所示的空间直角坐标系，则M 0,0,0 ,B 0,1,0 ,A 0,-1,0 ,N 0,3,1 ，设P x ,y ,0 ，则PM =PN ⇒x 2+y 2=x 2+y -3 2+1，化简得y =23，故P 到点M 和点N 的距离相等，则点P 的轨迹是一条直线，B 正确，MN =0,3,1 ,MP =x ,y ,0 ，所以P 到直线MN 的距离为MP 2-MP ⋅MNMN2=x 2+y 2-3y 22=1，化简可得x 2+y 24=1，所以点P 的轨迹是平面α内的椭圆x 2+y 24=1上一点，如图，当P 在短轴的端点时，此时∠APB 最大，由于BM =MP =1，故∠BPM =π4，因此∠APB =2∠BPM =π2，C 正确，对于D ，NM =0,-3,-1 ,NP =x ,y -3,-1 ，MP=x ,y ,0 ，若∠MNP =45°，则cos ∠MNP =cos NM ,NP =NM ⋅NPNM ⋅NP =-3y +42x 2+y -3 2+1=22，化简得y -2324-x 22=1且y <433，故满足∠MNP =45°的点P 的轨迹是双曲线的一部分，D 错误，故选：BC26(2024·广东·二模)设O 为坐标原点，抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为F 1，过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点，过点A ,B 分别作l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则下列说法正确的有()A.A 1F 1 ⋅B 1F 1 =FF 1 2B.A 1B 1 ≤2FF 1C.OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1D.OA +OB ≥OA 1 +OB 1【答案】ACD【解析】由已知F (1,0)，F 1(-1,0)，设过点F 的直线方程为：x =my +1，设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则A 1(-1,y 1)，B 1(-1,y 2)，由y 2=4x x =my +1，得y 2-4my -4=0，所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，x 1+x 2=m y 1+y 2 +2=4m 2+2,x 1x 2=y 1y 2216=1，A 1F 1 ⋅B 1F 1 =-y 1y 2=4,FF 1 2=22=4，所以A 1F 1 ⋅B 1F 1 =FF 1 2，故A 正确，A 1B 1 =y 1-y 2 =y 1+y 22-4y 1y 2=16m 2+16≥4=2FF 1 ，故B 错误，OA2⋅OB 2=x 21+y 21 x 22+y 22 =x 21x 22+x 21y 22+x 22y 21+y 21y 22=17+x 22y 21+x 21y 22=17+4x 22x 1+4x 21x 2=17+4x 1x 2x 1+x 2 =25+16m2，O 1A2⋅O 1B 2=1+y 21 1+y 22 =1+y 22+y 21+y 21y 22=17+y 21+y 22=17+y 1+y 2 2-2y 1y 2=25+16m 2，故OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1 ，C 正确，OA +OB2-OA 1 +OB 1 2=OA 2+OB 2-OA 1 2-OB 1 2+2OA ⋅OB -2OA 1 ⋅OB 1 ，由选项C 可知OA ⋅OB =OA 1 ⋅OB 1 ，所以OA +OB 2-OA 1 +OB 1 2=OA 2+OB 2-OA 1 2-OB 1 2=x 21+y 21 +x 22+y 22 -1+y 21 -1+y 22 =x 21+x 22 -2=x 1+x 2 2-2x 1x 2-2=4m 2+2 2-4≥0，故OA +OB ≥OA 1 +OB 1 ，D 正确；故选：ACD27(2024·湖南益阳·模拟预测)如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆OP 与横杆PQ 组成，P ,Q 为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆PQ 始终保持水平．如图2所示，以点O 为原点，水平方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系．若点O 距水平地面的高度为1米，转动杆OP 的长度为1．6米，横杆PQ 的长度为2米，OP 绕点O 在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角θ∈30°,90° ()A.则点P 运动的轨迹方程为x 2+(y +1)2=6425(其中x ∈0,435,y ∈45,85)B.则点Q 运动的轨迹方程为(x -2)2+y 2=6425(其中x ∈2,10+435 ,y ∈45,85)C.若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，则横杆PQ 距水平地面的高度为135米D.若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，则点Q 运动轨迹的长度为135米【答案】BC【解析】对于A ：点P 的轨迹显然是以O 为原点，OP 为半径的圆，故点P 运动轨迹方程为x 2+y 2=6425(其中x ∈0,435 ,y ∈45,85)，故A 错误；对于B ：设Q x ,y ,P x 0,y 0 ，因为PQ 平行于x 轴，所以x =x 0+2y =y 0，所以x 0=x -2y 0=y ，又因为P 在加圆x 2+y 2=6425上，所以点Q 的运动轨迹是以(2,0)为圆心，1．6为半径的圆，所以点Q 的轨迹方程为x -2 2+y 2=6425(其中x ∈2,10+435 ,y ∈45,85)，故B 正确；对于C ：若OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，横杆PQ 达到最高点，此时横杆PQ 距水平地面的高度为1+1.6=135，故C 正确；对于D ：因为OP 绕点O 从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，故Q 绕点2,0 转动的角度与点P 绕点0,0 转动的角度一样为90°-30°=π3，所以点Q 运动轨迹的长度即为圆(其中)的弧长，等于1.6×π3=8π15，故D 错误．故选：BC ．28(2024·湖南益阳·模拟预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，已知sin A :sin B :sin C =2:3:4，则下列结论中正确的是()A.a +b :b +c :c +a =5：6：7B.△ABC 为钝角三角形C.若a +b +c =18．则△ABC 的面积是615D.若△ABC 的外接圆半径是R ，内切圆半径为r ，则5R =16r 【答案】BD【解析】因为sin A :sin B :sin C =2:3:4，由正弦定理a sin A=b sin B =csin C =2R ，可得a :b :c =2:3:4，设a =2x x >0 ，b =3x ，c =4x ，则(a +b ):(b +c ):(c +a )=5x :7x :6x =5:7:6，故A 错误；由题意可知，C 为最大角，因为cos C =a 2+b 2-c 22ab =4x 2+9x 2-16x 212x 2=-14<0，故C 为钝角，故B 正确；若a +b +c =18，则a =4，b =6，c =8，又cos C =-14，所以sin C =1-cos 2C =154，所以△ABC 的面积S △ABC =12ab sin C =12×4×6×154=315，故C 错误；由正弦定理得，2R =c sin C =4x 154=16x 15，即R =8x15，由面积公式可得12(a +b +c )r =12ab sin C ，即12×9x ⋅r =12×2x ×3x ×154，所以r =156x ，所以R r =165，故5R =16r ，故D 正确．故选：BD ．29(2024·湖北武汉·模拟预测)已知各项都是正数的数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =a n 2+12a n，则下列结论正确的是()A.当m >n m ，n ∈N * 时，a m >a nB.S n +S n +2<2S n +1C.数列S 2n 是等差数列D.S n -1S n≥ln n 【答案】BCD【解析】对A ，由题意可知a 1=a 12+12a 1⇒a 21=1，所以a 1=1，则a 1+a 2=a 22+12a 2⇒a 22+2a 2-1=0，所以a 2=2-1<a 1，故A 错误；对C ，由S n =a n 2+12a n ⇒S n =S n -S n -12+12S n -S n -1⇒S 2n -S 2n -1=1n ≥2 ，故C 正确；对C ，所以S 2n =1+n -1 =n ⇒S n =n ，则S n +S n +2=n +n +2<2n +n +22=2S n +1，故B 正确；对D ，易知S n -1S n =n -1n，令f x =x -1x -2ln x x ≥1 ，则f x =1+1x2-2x =1x -1 2≥0，则f x 单调递增，所以f x ≥f 1 =0⇒n -1n≥ln n ，即S n -1S n ≥ln n ，故D 正确．故选：BCD 30(2024·湖北武汉·模拟预测)如图，已知椭圆x 24+y 2=1的左、右顶点分别是A 1,A 2，上顶点为B 1，点C 是椭圆上任意一异于顶点的点，连接A 1C 交直线x =2于点P ，连接A 2C 交OP 于点M (O 是坐标原点)，则下列结论正确的是()A.k A 1C ⋅k A 2C 为定值B.2k A 1C =k OPC.当四边形OA 2CB 1的面积最大时，直线OC 的斜率为1D.点M 的纵坐标没有最大值【答案】ABD【解析】依题意，A 1(-2,0),A 2(2,0)，设C (2cos θ,sin θ),0<θ<2π,θ∉π2,π,3π2，对于A ，k A 1C ⋅k A 2C =sin θ2cos θ+2⋅sin θ2cos θ-2=-14，A 正确；对于B ，直线A 1C 的方程为y =sin θ2cos θ+2(x +2)，它与直线x =2的交点P 2,2sin θcos θ+1，因此k OP =sin θcos θ+1=2k A 1C ，B 正确；对于C ，不妨令0<θ<π2，四边形OA 2CB 1的面积S =S △OA 2C +S △OB 1C=sin θ+cos θ=2sin θ+π4 ≤2，当且仅当θ=π4时取等号，此时点C 2,22 ，直线OC 的斜率为12，C 错误；对于D ，当点C 无限接近点B 1时，点M 的纵坐标无限接近最大值，但取不到最大值，因此没有最大值，D 正确．故选：ABD31(2024·山东·二模)将正四棱锥P -ABCD 和正四棱锥Q -ABCD 的底面重合组成八面体Ω,AB =PA =2,QA =10，则()A.PQ ⊥平面ABCDB.PA ⎳QCC.Ω的体积为42D.二面角P -AB -Q 的余弦值为-13【答案】AC【解析】令正方形ABCD 的中心为O ，连接PO ,QO ，对于A ，由正四棱锥P -ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ，同理QO ⊥平面ABCD ，则P ,O ,Q 共线，因此PQ ⊥平面ABCD ，A 正确；对于B ，连接AC ，显然O 是AC 的中点，AO =12AC =2，PO =PA 2-AO 2=2，QO =QA 2-AO 2=22，O 不是PQ 的中点，因此四边形APCQ 不是平行四边形，PA ,QC 不平行，B 错误；对于C ，Ω的体积V =V P -ABCD +V Q -ABCD =13S ABCD ⋅(PO +QO )=13×4×32=42，C 正确；对于D ，取AB 中点M ，连接PM ,QM ，则PM ⊥AB ,QM ⊥AB ，∠PMQ 是二面角P -AB -Q 的平面角，而PM =PA 2-AM 2=3,QM =QA 2-AM 2=3，则cos ∠PMQ =(3)2+32-(32)22×3×3=-33，D 错误．故选：AC32(2024·山东·二模)已知抛物线E :y 2=2px (p >0)焦点为F ，过点M 2,0 (不与点F 重合)的直线交E 于P ,Q 两点，O 为坐标原点，直线PF ,QF 分别交E 于A ,B 两点，∠POQ =90°，则()A.p =1B.直线AB 过定点14,0C.FP ⋅FQ 的最小值为254D.PA +QB 的最小值为254【答案】ACD【解析】设直线PQ :x =my +2与抛物线联立可得：y 2-2pmy -4p =0，设P y 212p ,y 1 ,Q y 222p ,y 2，则y 1y 2=-4p ，因为∠AOB =90°∠AOB =90°，所以OP ⋅OQ =y 1y 2 24p 2+y 1y 2=4-4p =0，解p =1，故A 正确；由A 可知，F 12,0 ，设直线PF :x =m 1y +12，与抛物线联立可得，y 2-2m 1y -1=0，设A x A ,y A ,B x B ,y B ，所以y A =-1y 1，同理可得y B =-1y 2，所以y A y B =1y 1y 2=-14，直线AB :2x -y A +y B y +y A y B =0，即2x -18 -y A +y B y =0，所以直线AB 过定点18,0 ，故B 错误；FP ⋅FQ =y 212+12 y 222+12=y 21y 224+y 21+y 224+14≥y 21y 22+2y 1y 2 +14=254，故C 正确；PA =y 21+1+1y 21+12,QB =y 22+1+1y 22+12，所以PA +QB =y 21+y 22+1y 21+1y 22+42=1716y 21+y 22 +42≥1716×2y 1y 2 +42=254，故D 正确．故选：ACD ．33(2024·福建福州·模拟预测)定义在R 上的函数f x 的值域为-∞,0 ，且f 2x +f x +y f x -y =0，则()A.f 0 =-1B.f 4 +f 1 2=0C.f x f -x =1D.f x +f -x ≤-2【答案】ACD【解析】令x =y =0，则有f 0 +f 0 2=0，解得f 0 =0或f 0 =-1，因为函数f x 的值域为-∞,0 ，所以f 0 =-1，A 正确；令x =1,y =0，则有f 2 +f 1 2=0，即f 2 =-f 1 2令x =2,y =0，则有f 4 +f 2 2=0，即f 4 +f 1 4=0，B 不正确；令x =0，则有f 0 +f y f -y =0，所以f y f -y =1，即f x f -x =1，C 正确；因为f x <0，所以-f x >0，-f -x >0，所以-f x +-f -x ≥2f x f -x =2，当且仅当f x =f -x 时，取到等号，所以f x +f -x ≤-2，D 正确．故选：ACD34(2024·福建福州·模拟预测)投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量X n =1,第n 次投出正面,-1,第n 次投出反面, (n =1,2,3)．记A 表示事件“X 1+X 2=0”，B 表示事件“X 2=1”，C 表示事件“X 1+X 2+X 3=-1”，则()A.B 和C 互为对立事件B.事件A 和C 不互斥C.事件A 和B 相互独立D.事件B 和C 相互独立【答案】BC【解析】根据题意，A 表示事件“X 1+X 2=0”，即前两次抛掷中，一次正面，一次反面，则P A =C 12122=12，B 表示事件“X 2=1”，即第二次抛掷中，正面向上，则P B =12，C 表示事件“X 1+X 2+X 3=-1”，即前三次抛掷中，一次正面，两次反面，P C =C 13×12×122=38，依次分析选项：对于A ，事件B 、C 可能同时发生，则事件B 、C 不是对立事件，A 错误；对于B ，事件A 、C 可能同时发生，则事件A 和C 不互斥，B 正确；对于C ，事件AB ，即前两次抛掷中，第一次反面，第二次正面，P (AB )=12×12=14，由于P A P B =P (AB )，则事件A 和B 相互独立，C 正确；对于D ，事件BC ，即三次抛掷中，第一次和第三次反面，第二次正面，P (BC )=12×12×12=18，P B P C ≠P (BC )，事件B 、C 不是相互独立事件，D 错误．故选：BC ．35(2024·浙江嘉兴·二模)已知角α的顶点与原点重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点A a ,b ab ≠0,a ≠b ，定义：Ti α =a +ba -b．对于函数f x =Ti x ，则()A.函数f x 的图象关于点π4,0 对称B.函数f x 在区间π4,π2上单调递增C.将函数f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到一个偶函数的图象D.方程f x =12在区间0,π 上有两个不同的实数解【答案】AB【解析】根据题意，tan x =b a ，∴f x =a +b a -b =1+ba 1-b a=1+tan x 1-tan x =tan π4+tan x 1-tan π4⋅tan x =tan x +π4 ，对于A ，由正切函数的性质得x +π4=k π2，k ∈Z ，解得x =-π4+k π2，所以函数f x 的对称中心为-π4+k π2,0，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，x ∈π4,π2 ，∴x +π4∈π2,3π4 ，由正切函数的性质可知f x 在π4,π2上单调递增，故B 正确；对于C ，将f x 的图象向左平移π4个单位可得y =tan x +π4+π4 =tan x +π2=1tan x，为奇函数，故C 错误；对于D ，∵x ∈0,π ，∴x +π4∈π4,3π4，令α=x +π4，由正切函数y =tan α的性质可知在π4,π2 上单调递增，且y ≥1，在π2,π上单调递增，且y ≤0，所以方程f x =tan x +π4 =12在区间0,π 上无实数解，故D 错误．故选：AB ．36(2024·浙江嘉兴·二模)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图，已知抛物线Ω:y 2=2px (p >0)的准线为l ,O 为坐标原点，在x 轴上方有两束平行于x 轴的入射光线l 1和l 2，分别经Ω上的点A x 1,y 1 和点B x 2,y 2 反射后，再经Ω上相应的点C 和点D 反射，最后沿直线l 3和l 4射出，且l 1与l 2之间的距离等于l 3与l 4之间的距离．则下列说法中正确的是()A.若直线l 3与准线l 相交于点P ，则A ,O ,P 三点共线B.若直线l 3与准线l 相交于点P ，则PF 平分∠APCC.y 1y 2=p 2D.若直线l 1的方程为y =2p ，则cos ∠AFB =725【答案】ACD【解析】对于选项A ，因为直线AC 经过焦点，设C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，直线AC :x =ty +p 2，与抛物线y 2=2px 联立得y 2-2pty -p 2=0，∴y 1+y 3=2pt ,y 1y 3=-p 2，由题意得P -p 2,y 3 ,A y 212p ,y 1,k OP =-2y 3p ，k AO =2p y 1=2p -p 2y3=-2y 3p ，所以k OP =k AO ，即A ､O ､P 三点共线，故A 正确；对于选项B ，假设∠APF =∠CPF ，又∠CFP =∠CPF ，所以∠APF =∠CFP ，所以AP ⎳CF ，这与AP 和CF 相交于A 点矛盾，故B 错误；对于选项C ，l 1与l 2距离等于l 3与l 4距离，又结合A 选项，则y 1-y 2=y 3-y 4=-p 2y 1+p 2y 2=p 2⋅y 1-y 2y 1y 2，所以y 1y 2=p 2，故C 正确；对于选项D ，由题意可得，A 2p ,2p ,B p 8,p 2,F p 2,0 ,FA =3p 2,2p ,FB =-3p 8,p2，FA ⋅FB =3p 2⋅-3p 8 +2p ⋅p 2=7p 216，FA ⋅FB =3p 2 2+(2p )2⋅-3p 8 2+p 2 2=25p 216，∴cos ∠AFB =FA ⋅FB FA ⋅FB =725，故D 正确．故选：ACD ．37(2024·浙江宁波·二模)若平面向量a ,b ,c 满足a =1,b =1,c =3且a ⋅c =b ⋅c，则()A.a +b +c的最小值为2B.a +b +c的最大值为5C.a -b +c的最小值为2 D.a -b +c的最大值为13【答案】BD【解析】当向量a ,b 方向相同，与c 方向相反时，满足a ⋅c =b ⋅c，此时a +b +c 有最小值c -a+b =1，A 选项错误；当向量a ,b ,c 方向相同时，满足a ⋅c =b ⋅c，此时a +b +c 有最大值a +b +c=5，B 选项正确；a ⋅c =b ⋅c ，有a -b ⋅c =0，即a -b ⊥c ，则a -b +c =a -b 2+c 2，向量a ,b 方向相同时，a -b 的最小值为0，a -b +c 的最小值为3，C 选项错误；向量a ,b 方向相反时，a -b 的最大值为2，a -b +c 的最大值为13，D 选项正确．故选：BD38(2024·浙江宁波·二模)已知函数f x =sin ωx +φ (ω>0)，()A.若ω=2,φ=π2，则f x 是最小正周期为π的偶函数B.若ω=2,x 0为f x 的一个零点，则x 0+π4必为f x 的一个极大值点C.若φ=-π4,x =π2是f x 的一条对称轴，则ω的最小值为32D.若φ=-π4,f x 在0,π6上单调，则ω的最大值为92【答案】ACD【解析】若ω=2,φ=π2，则f x =sin2x+π2=cos2x，所以f x 是最小正周期为2π2=π的偶函数，A正确；若ω=2，则f x 是最小正周期为2π2=π，若x0为f x 的一个零点，则x0+π4为f x 的一个极大值点或极小值点，B错误；若φ=-π4,x=π2是f x 的一条对称轴，则fπ2=sinπ2ω-π4=±1，所以π2ω-π4=π2+kπ,k∈Z，即ω=32+2k,k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值为32，C正确；若φ=-π4, 则f x =sinωx-π4(ω>0)，由正弦函数的单调性，令-π2+2kπ≤ωx-π4≤π2+2kπ，解得-π4ω+2kπω≤x≤3π4ω+2kπω，又f x 在0,π6上单调，所以当k=0时，0,π6⊆-π4ω,3π4ω，即π6≤3π4ω，解得ω≤92，则ω的最大值为92，D正确．故选：ACD．39(2024·浙江宁波·二模)指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知U为全集且元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数1S x ,1S x =1,x∈S0,x∈∁U S若A,B,C⊆U，则()注：x∈M f(x)表示M中所有元素x所对应的函数值f x 之和(其中M是f x 定义域的子集)．A.x∈A 1A(x)<x∈U 1A(x)B.1A∩B(x)≤1A(x)≤1A∪B(x)C.x∈U 1A∪B(x)=x∈U1A(x)+1B(x)-1A(x)1B(x)D.x∈U1-1A(x)1-1B(x)1-1C(x)=x∈U 1U(x)-x∈U 1A∪B∪C(x)【答案】BCD【解析】对于A，由于A⊆U，所以x∈U 1A(x)=x∈A 1A(x)+x∈∁u A 1A(x)=x∈A 1A(x),故x∈A 1A(x)=x∈U 1A(x)，故A错误，对于B，若x∈A∩B，则1A∩B(x)=1,1A(x)=1,1A∪B(x)=1，此时满足1A∩B(x)≤1A(x)≤1A∪B(x)，若x∈A且x∉B时，1A∩B(x)=0,1A(x)=1,1A∪B(x)=1，若x∈B且x∉A时，1A∩B(x)=0,1A(x)=0,1A∪B(x)=1，若x∉A且x∉B时，1A∩B(x)=0,1A(x)=0,1A∪B(x)=0，综上可得1A ∩B (x )≤1A (x )≤1A ∪B (x )，故B 正确，对于C ，x ∈U1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x ) =x ∈A ∩∁U B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈B ∩∁U A1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈A ∩B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈∁U A ∪B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )=x ∈A ∩∁U B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈B ∩∁U A1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈A ∩B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )+x ∈∁U A ∪B=x ∈A ∪B1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )而x ∈U1A ∪B (x )=x ∈A ∪B1A ∪B (x )+x ∈∁U A ∪B1A ∪B(x )=x ∈A ∪B1A ∪B (x )，由于1A ∪B x =1,x ∈A ∪B0,x ∈∁U A ∪B，所以1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x )=1A ∪B (x )故x ∈U1A ∪B (x )=x ∈U1A (x )+1B (x )-1A (x )1B (x ) ，C 正确，x ∈U1U (x )-x ∈U1A ∪B ∪C (x )=x ∈∁U A ∪B ∪C1U(x )，当x ∈A ∪B ∪C 时，此时1A (x ),1B (x ),I C (x )中至少一个为1，所以1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =0，当x ∉A ∪B ∪C 时，此时1A (x ),1B (x ),I C (x )均为0，所以1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =1，故x ∈U1-1A (x ) 1-1B (x ) 1-1C (x ) =x ∈∁U A ∪B ∪C1-1A (x )1-1B (x ) 1-1C (x ) =x ∈∁U A ∪B ∪C1U(x )，故D 正确，故选：BCD40(2024·浙江杭州·二模)已知函数f x 对任意实数x 均满足2f x +f x 2-1 =1，则()A.f -x =f xB.f 2 =1C.f -1 =13 D.函数f x 在区间2,3 上不单调【答案】ACD【解析】对于A ，令x 等价于-x ，则2f -x +f x 2-1 =1，所以f -x =f x =1-f x 2-1 2，故A 正确；对于B ，令x =1，则2f 1 +f 0 =1，令x =0，则2f 0 +f 1 =1，解得：f 0 =f 1 =13，令x =2，2f 2 +f 1 =1，则f 2 =13，故B 错误；对于C ，由A 知，f -x =f x ，所以f -1 =f 1 =13，故C 正确；对于D ，令x =x 2-1，所以x 2-x -1=0，解得：x =1±52，令x =1+52，则2f 1+52+f 1+52 =1，所以f 1+52 =13，因为1+52∈2,3 ，f 1+52 =f 2 =13，所以函数f x 在区间2,3 上不单调，故D 正确．故选：ACD ．。

高考数学选择填空压轴题45道(附答案)

,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的最大值为（）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
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2024年新高考数学选填压轴题汇编(一)(解析版)

2024年新高考数学选填压轴题汇编(一)一、多选题1(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体()A.一定不是正方体B.外接球的表面积为6πC.长、宽、高的值均属于区间1,2D.体积的取值范围为5027,2【答案】ABD【解析】设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，则可得2ab +ac +bc =104a +b +c =16，即ab +ac +bc =5a +b +c =4 ，又因为a +b +c 2=a 2+b 2+c 2 +2ab +ac +bc =16，所以a 2+b 2+c 2=6，由不等式可得，a 2+b 2+c 2≥ab +ac +bc ，当且仅当a =b =c 时，等号成立，而a 2+b 2+c 2>ab +ac +bc ，取不到等号，所以得不到a =b =c ，即该长方体一定不是正方体，故A 正确；设长方体外接球的半径为R ，则2R =a 2+b 2+c 2=6，即R =62，则外接球的表面积为4π622=6π，故B 正确；由a +b +c =4可得，c =4-a +b ，代入ab +ac +bc =5可得，ab +4-a +b a +b =5，即ab =5-4-a +b a +b ，因为a ,b >0，由基本不等式可得ab ≤a +b24，即5-4-a +b a +b ≤a +b24，设a +b =t ，则t >0，则5-4-t t ≤t 24，化简可得3t 2-16t +20≤0，即3t -10 t -2 ≤0，所以2≤t ≤103，即2≤a +b ≤103，又因为a +b =4-c ，则23≤c ≤2，同理可得a ,b ∈23,2 ，故C 错误；设长方体的体积为V ，则V =abc =5-4-a +b a +b 4-a +b ，且a +b =t ，2≤t ≤103，即V =5-4-t t 4-t ，其中t ∈2,103，化简可得，V =4-t 5-4t +t 2 ，t ∈2,103，且V =-5-4t +t 2 +4-t -4+2t =-3t -7 t -3 ，t ∈2,103，令V =0，则t =73或3，当t ∈2,73时，V <0，即V 单调递减，当t ∈73,3时，V >0，即V 单调递增，当t ∈3,103时，V <0，即V 单调递减，所以，当t =73时，V 有极小值，且V 73 =4-73 5-4×73+499 =5027，当t =3时，V 有极大值，且V 3 =4-3 5-4×3+9 =2，又因为V 2 =4-2 5-4×2+4 =2,V 103 =4-103 5-4×103+1009 =5027，所以V ∈5027,2 ，故D 正确；故选：ABD2(2023·广东·高三校联考阶段练习)对于数列a n ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有a n ≤M ，则称数列a n 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列a n 是无界的.记数列a n 的前n 项和为S n ，下列结论正确的是()A.若a n =1n，则数列a n 是无界的 B.若a n =12nsin n ，则数列S n 是有界的C.若a n =-1 n ，则数列S n 是有界的 D.若a n =2+1n2，则数列S n 是有界的【答案】BC【解析】对于A ，∵a n =1n=1n≤1恒成立，∴存在正数M =1，使得a n ≤M 恒成立，∴数列a n 是有界的，A 错误；对于B ，∵-1≤sin n ≤1，∴-12n≤a n =12n⋅sin n ≤12n，∴S n =a 1+a 2+⋯+a n <12+122+⋯+12n=121-12 n1-12=1-12n<1，S n =a 1+a 2+⋯+a n >-12+12 2+⋯+12 n=-1+12 n>-1，所以存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴则数列S n 是有界的，B 正确；对于C ，因为a n =-1 n ，所以当n 为偶数时，S n =0；当n 为奇数时，S n =-1；∴S n ≤1，∴存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是有界的，C 正确；对于D ，1n 2=44n 2<42n -1 2n +1=412n -1-12n +1 ，∴S n =2n +1+122+132+⋅⋅⋅1n2≤2n +41-13+13-15+⋅⋅⋅+12n -1-12n +1 =2n +41-12n +1 =2n +8n 2n +1=2n -22n +1+2 ；∵y =x -22x +1在0,+∞ 上单调递增，∴n -22n +1∈13,+∞，∴不存在正数M ，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是无界的，D 错误.故选：BC .3(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，P 为棱BC 上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点P ，使AC 1⊥平面D 1EPB.存在点P ，使PE =PD 1C.四面体EPC 1D 1的体积为定值D.二面角P -D 1E -C 1的余弦值取值范围是55,23【答案】BC【解析】(向量法)为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，CP =20≤a ≤2 ，则P a ,2,2 ，E 2,1,0 ，A 2,0,0 ,C 10,2,2 ，AC 1 =-2,2,-2 ，D 1E ⋅AC 1 =-2≠0，故AC 1与D 1E 不垂直，故A 错误.由PE =PD 1知a 2+22+22=a -2 2+12+22,a =14∈0,2 ，故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.又D 1E =2,1,0 ，D 1P =a ,2,2 ，设平面D 1EP 的法向量n 1 =x ,y ,z ，由D 1E ⋅n 1=0D 1P ⋅n 1 =0,2x +y =0ax +2y +2z =0 ，令x =2则y =-4，z =4-a ，∴n 1=2,-4,4-a ，又平面D 1EC 1的法向量n 2=0,0,1 ，∴cos n 1 ,n 2 =4-a 22+-4 2+4-a 2=11+204-a2，又0≤a ≤2，∴4≤4-a 2≤16，∴cos n 1 ,n 2 ∈66,23.故D 错误.(几何法)记棱A 1D 1,D 1D ,DC ,CB ,BB 1中点分别为F ,G ,J ,I ,H ，易知AC 1⊥平面EFGJIH ，而EF ⊂平面EFGJIH则AC 1⊥EF ，若AC 1⊥平面D 1EP ，D 1E ⊂平面D 1EP ，则AC 1⊥D 1E ，由EF ∩D 1E =E ,EF ,D 1E ⊂平面D 1EF ，所以AC 1⊥平面D 1EF ，与已知矛盾，故AC 1不垂直于平面D 1EP .故A 错误.连接EB ,D 1C ，易知BC ⊥EB ，BC ⊥D 1C ，设正方体棱长为2，知EB =5，D 1C =22，记BP =m 0≤m ≤2 ，则EP =m 2+5，D 1P =2-m2+8，由m 2+5=2-m 2+8，得m =74∈0,2 .故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.过点P 作PM ⊥B 1C 1于点M ，易知PM ⊥D 1E ，过点M 作MN ⊥D 1E 于点N ，知D 1E ⊥平面PMN ，所以PN ⊥D 1E ，则二面角P -D 1E -C 1的平面角为∠PNM ，现在△PNM 中求解cos ∠PNM .设正方体棱长为2，NM =x ，则NP =x 2+4，∴cos ∠PNM =NMNP=xx 2+4，只需求x 取值范围即可：记BP =m 0≤m ≤2 ，则B 1M =BP =m ，分析易知M 在C 1时x 取到最大值，此时x =C 1N 1，M 在B 1时x 取到最小值，此时x =B 1N 2，又C 1N 1C 1D 1=D 1A 1D 1E 即C 1N 1=2⋅25=455，B 1N 2D 1A 1=B 1E D 1E 即B 1N 2=2⋅15=255，所以255≤x ≤455即45≤x 2≤165，∴cos ∠PNM =x x 2+4=1-4x 2+4∈66，23 .故D 错误.故选：BC4(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =xe x ，g x =x ln x .若存在x 1∈R ，x 2∈0,+∞ ，使得f x 1 =g x 2 =t 成立，则下列结论中正确的是()A.当t >0时，x 1x 2=tB.当t >0时，e ln t ≤x 1x 2C.不存在t ，使得f x 1 =g x 2 成立D.f x >g x +mx 恒成立，则m ≤2【答案】AB【解析】选项A ，∵f x 1 =g x 2 =t ∴t =x 1e x 1=x 2ln x 2=ln x 2e ln x 2>0，则x 1>0,x 2>0,ln x 2>0，且t =f (x 1)=f (ln x 2)>0，由f x =xe x ，得f x =e x x +1 ，当x >0时，f x >0，则f x 在0,+∞ 上递增，所以当t >0时，f x =t 有唯一解，故x 1=ln x 2，∴x 1x 2=x 2ln x 2=t ，故A 正确；选项B ，由A 正确，得ln t x 1x 2=ln tt(t >0)，设φt =ln t t ，则φ t =1-ln tt 2，令φ t =0，解得t =e易知φt 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴φt ≤φe =1e ，∴ln t x 1x 2≤1e ，∴e ln t ≤x 1x 2，故B 正确；选项C ，由f x =e x x +1 ，g x =ln x +1=0，得f -1 =g 1e=0，又验证知f -1 =g 1e =-1e ，故存在t =-1e ，使得f -1 =g 1e=0，C 错误；选项D ，由x >0，f x >g x +mx 恒成立，即e x -ln x >m 恒成立，令r x =e x -ln x ，则r x =e x -1x ，由r x 在0,+∞ 上递增，又r 12=e -2<0，r 1 =e -1>0，∴存在x 0∈12,1 ，使r x 0 =0，∴r x 在0,x 0 上递减，在x 0,+∞ 上递增(其中x 0满足e x 0=1x 0，即x 0=-ln x 0).∴r x ≥r x 0 =e x 0-ln x 0=1x 0+x 0>2，要使m <e x -ln x 恒成立，∴m <r (x 0)，存在2<m <r (x 0)满足题意，故D 错误.故选：AB .5(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f 1+x =-f 1-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 2+x -2，则()A.f x 是以4为周期的周期函数B.f 2021 +f 2022 =-2C.函数y =f x -log 2x +1 有3个零点D.当x ∈3,4 时，f x =x 2-9x +18【答案】ACD【解析】依题意，f x 为偶函数，且f 1+x =-f 1-x ⇒f x 关于1,0 对称，则f x +4 =f 1+x +3 =-f 1-x +3 =-f -2-x=-f -2+x =-f 2+x =-f 1+1+x =f 1-1+x =f -x =f x ，所以f x 是周期为4的周期函数，A 正确.因为f x 的周期为4，则f 2021 =f 1 =0，f 2022 =f 2 =-f 0 =2，所以f 2021 +f 2022 =2，B 错误；作函数y =log 2x +1 和y =f x 的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C 正确；当x ∈3,4 时，4-x ∈0,1 ，则f x =f -x =f 4-x =4-x 2+4-x -2=x 2-9x +18，D 正确.故选：ACD6(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)如图,正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC的中点将△ADE,ΔCDF,△BEF分别沿DE、DF、EF折起,使A、B、C重合于点P.则下列结论正确的是A.PD⊥EFB.平面PDE⊥平面PDFC.二面角P-EF-D的余弦值为13D.点P在平面DEF上的投影是ΔDEF的外心【答案】ABC【解析】对于A选项，作出图形，取EF中点H，连接PH，DH，又原图知ΔBEF和ΔDEF为等腰三角形，故PH⊥EF,DH⊥EF，所以EF⊥平面PDH，所以PD⊥EF，故A正确；根据折起前后，可知PE,PF,PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE⊥平面PDF，故B正确；根据A选项可知∠PHD为二面角P-EF-D的平面角，设正方形边长为2，因此PE=PF=1，PH=22，DH=22-22=322，PD=DF2-PF2=2，由余弦定理得：cos∠PHD=PH2+HD2-PD22PH⋅HD =13，故C正确；由于PE=PF≠PD，故点P在平面DEF上的投影不是ΔDEF的外心，即D错误；故答案为ABC.7(2023·广东·高三校联考阶段练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则()A.直线D1D与EF所成的角为30°B.直线A1G与平面AEF平行C.若正方体棱长为1，三棱锥A1-AEF的体积是112D.点B 1和B 到平面AEF 的距离之比是3:1【答案】BCD【解析】对于选项A ，由图可知CC 1与DD 1显然平行，所以∠EFC =45°即为所求，故选项A 不正确；对于选项B ，取B 1C 1的中点M ，连接A 1M 、GM ，如图所示，易知A 1M ⎳AE ，且A 1M ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以A 1M ⎳平面AEF ．又易知GM ⎳EF ，GM ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GM ⎳平面AEF ．又A 1M ∩GM =M ，A 1M 、GM ⊂面A 1MG ，所以平面A 1MG ⎳平面AEF ．又A 1G ⊂平面A 1MG ，所以A 1G ⎳平面AEF ，故选项B 正确；对于选项C ，由选项B 知，A 1G ⎳平面AEF ，所以A 1和G 到平面AEF 的距离相等，所以V A 1-AEF =V G -AEF =V A -FEG =13×12×12×1×1=112．故选项C 正确；对于选项D ，平面AEF 过BC 的中点E ，即平面AEF 将线段BC 平分，所以C 与B 到平面AEF 的距离相等，连接B 1C 交EF 于点H ，如图所示，显然B 1H :HC =3:1，所以B 1与B 到平面AEF 的距离之比为3:1，故选项D 正确.故选：BCD ．8(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知数列a n 满足a 1=1,a 2=3，S n 是前n 项和，若n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ，(n ∈N *且n ≥2)，若不等式a n <n -2t 2-a +1 t +a 2-a +2 对于任意的n ∈N *,t ∈1,2 恒成立，则实数a 的值可能为()A.-4 B.0C.2D.5【答案】AD【解析】由n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ,n ≥2，则na n +1-1=n +1 a n ,n ≥2,得a n +1-1n =n +1n a n ,n ≥2;a 2-11=2=21a 1，所以a n +1n +1-a n n =1n n +1=1n -1n +1,n ≥1，则a n n -a n -1n -1=1n -1-1n ，a n -1n -1-a n -2n -2=1n -2-1n -1，⋯，a 22-a 11=1-12，上述式子累加可得a n n -a 1=1-1n ，所以a n n =2-1n<2．所以-2t 2-a +1 t +a 2-a +2≥2对于任意的t ∈1,2 恒成立，整理得2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立．方法一：对选项A ，当a =-4时，不等式为2t +5 t -4 ≤0，其解集-52,4包含1,2 ，故选项A 正确；对选项B ，当a =0时，不等式为2t +1 t ≤0，其解集-12,0不包含1,2 ，故选项B 错误；对选项C ，当a =2时，不等式为2t -1 t +2 ≤0，其解集-2,12不包含1,2 ，故选项C 错误；对选项D ，当a =5时，不等式为2t -4 t +5 ≤0，其解集-5,2 包含1,2 ，故选项D 正确．方法二：令f t =2t -a -1 t +a ，若2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立，只需f 1 ≤0f 2 ≤0，即3-a 1+a ≤05-a 2+a ≤0 ，解得a ≥5或a ≤-2．故选：AD ．9(2023·广东·高三统考阶段练习)已知函数f x =sin n x +cos n x x ∈N * ，则()A.对任意正奇数n ，f x 为奇函数B.对任意正整数n ，f x 的图像都关于直线x =π4对称C.当n =3时，f x 在0,π2上的最小值22D.当n =4时，f x 的单调递增区间是-π4+k π,k π k ∈Z 【答案】BC【解析】取n =1，则f x =sin x +cos x ，从而f 0 =1≠0，此时f x 不是奇函数，则A 错误；因为f π2-x =sin n π2-x +cos n π2-x =cos n x +sin n x =f x ，所以f x 的图象关于直线x =π4对称，则B 正确；当n =3时，f x =3sin 2x cos x -3cos 2x sin x =3sin x cos x sin x -cos x ，当x ∈0,π4时，fx <0；当x ∈π4,π2 时，f x >0.所以f x 在0,π4 上单调递减，在π4,π2 上单调递增，所以f x 的最小值为f π4 =22 3+22 3=22，故C 正确；当n =4时，f x =sin 4x +cos 4x =sin 2x +cos 2x 2-2sin 2x cos 2x =1-12sin 22x=1-1-cos4x 4=14cos4x +34，则f x 的递增区间为-π4+k π2,k π2k ∈Z ，则D 错误.故选：BC .10(2023·广东·高三统考阶段练习)若实数a ，b 满足2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是()A.0<a<b<1B.b<a<0C.1<a<bD.a=b【答案】ABD【解析】设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x，则f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x都为增函数，作出两函数的图象，两个函数图象有2个交点，分别为(0,1),(1,5)，对于A，作直线y=m(1<m<5)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为a,b，且0<a<b<1，此时f(a)=g(b)=m，即2a+3a=3b+2b能成立，故A正确；对于B，作直线y=n(n<0)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为b,a，且b<a<0，此时f(a)=g(b) =n，即2a+3a=3b+2b能成立，故B正确；对于C，a=2,f(a)=f(2)=10，因为2=a<b，所以f(b)=3b+2b>32+4=13，所以此时2a+3a=3b+2b 不可能成立，故C不正确；对于D，a=b=0或a=b=1，2a+3a=3b+2b成立，所以D正确．故选：ABD．11(2023·广东·高三统考阶段练习)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 为DD 1的中点，N 为ABCD 所在平面上一动点，N 1为A 1B 1C 1D 1所在平面上一动点，且NN 1⊥平面ABCD ，则下列命题正确的是()A.若MN 与平面ABCD 所成的角为π4，则点N 的轨迹为圆B.若三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为定值，则点N 的轨迹为椭圆C.若点N 到直线BB 1与直线DC 的距离相等，则点N 的轨迹为抛物线D.若D 1N 与AB 所成的角为π3，则点N 的轨迹为双曲线【答案】ACD【解析】A ：连接DN ，因为MD ⊥平面ABCD ，所以∠MND 是MN 与平面ABCD 所成的角，即∠MND =π4，因为M 为DD 1的中点，所以MD =12DD 1=2，在直角三角形MND 中，tan ∠MND =MD DN ⇒1=2DN⇒DN =2，因此点N 的轨迹为以D 为圆心半径为2的圆，所以本选项命题是真命题；B ：过N 做EN ⊥AD ，设三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为S ，所以S =2×12×4⋅NE +(AD +DN +AN )⋅4=4(4+DN +AN +NE )=定值，显然有N 到A 、D 、直线AD 的距离之和为定值，这与椭圆的定义不符合，故本选项命题是假命题；C ：连接BN ，因为BB 1⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥BN ，即点N 到直线BB 1与NB 相等，所以点N 的轨迹为点N 到点B 与直线DC 的距离相等的轨迹，即抛物线，所以本选项命题是真命题；D ：以D 为空间坐标系的原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 、y 、z ，D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,4,0)、N (x ,y ,0)、D 1(0,0,4)，则有AB =(0,4,0)、D 1N =(x ,y ,-4)，因为D 1N 与AB 所成的角为π3，所以cos π3=AB ⋅D 1N AB ⋅D 1N ⇒12=4y 4⋅x 2+y 2+16⇒3y 2-x 2=16，所以点N 的轨迹为双曲线，故本选项命题是真命题,故选：ACD12(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)已知函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，若不等式f (2-ax )<f x 2+3 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值可能是()A.-4B.-12C.2D.32【答案】BC【解析】由函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，令t =x -1，则x =t +1，可得g (t )=e t +e -t +t 2-1，可得g (-t )=e -t +e t +(-t )2-1=e t +e -t +t 2-1=g (t )，所以g t 为偶函数，即函数f x 的图象关于x =1对称，又由g (t )=e t -e -t +2t ，令φ(t )=g (t )=e t -e -t +2t ，可得φ (t )=e t +e -t +2>0，所以φ(t )为单调递增函数，且φ(0)=0，当t >0时，g (t )>0，g t 单调递增，即x >1时，f x 单调递增；当t <0时，g (t )<0，g t 单调递减，即x <1时，f x 单调递减，由不等式f (2-ax )<f x 2+3 ，可得2-ax -1 <x 2+3-1 ，即1-ax <x 2+2所以不等式1-ax <x 2+2恒成立，即-x 2-2<ax -1<x 2+2恒成立，所以x 2+ax +1>0x 2-ax +3>0 的解集为R ，所以a 2-4<0且(-a )2-12<0，解得-2<a <2，结合选项，可得BC 适合.故选：BC .13(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，若函数g x =f x -1也有三个不同的零点t 1,t 2,t 3t 1<t 2<t 3 ，则下列等式或不等式一定成立的有()A.b 2<3cB.t 3>x 3C.x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3D.x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=1【答案】BC【解析】f x =3x 2+2bx +c ，因为原函数有三个不同的零点，则f x =0有两个不同的实根，即3x 2+2bx +c =0，则Δ=4b 2-12c >0，即b 2>3c ，所以A 错误；因为三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，所以x 3+bx 2+cx +d =x -x 1 x -x 2 x -x 3 =x 3-x 1+x 2+x 3 x 2+x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3 x -x 1x 2x 3=0，所以x 1+x 2+x 3=-b ,x 1x 2x 3=-d ，同理t 1+t 2+t 3=-b ,t 1t 2t 3=1-d ，所以x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3,x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=-1，故C 正确，D 错误；由f x 的图象与直线y =1的交点可知t 3>x 3，B 正确．故选：BC ．14(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知直线l 过抛物线E :y 2=4x 的焦点F ，与抛物线相交于A x 1,y 1 、B x 2,y 2 两点，分别过A ,B 作抛物线的准线l 1的垂线，垂足分别为A 1,B 1，以线段A 1B 1为直径作圆M ,O 为坐标原点，下列正确的判断有()A.x 1+x 2≥2B.△AOB 为钝角三角形C.点F 在圆M 外部D.直线A 1F 平分∠OFA【答案】ABD 【解析】如图所示：对选项A ，由抛物线的焦半径公式可知AB =x 1+x 2+2≥2p =4，所以x 1+x 2≥2，故A 正确；对于选项B ，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=y 1y 2216+y 1y 2，令直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 得y 2-4my -4=0，所以y 1y 2=-4，所以OA ⋅OB=-3<0，所以△AOB 是钝角三角形，故B 正确；对选项C ，D ，由AA 1 =AF 可知∠AA 1F =∠AFA 1，又AA 1∥OF ，所以∠AA 1F =∠OFA 1=∠AFA 1，所以直线FA 1平分角∠AFO ，同理可得FB 平分角∠BFO ，所以A 1F ⊥B 1F ，即∠A 1FB 1=90°，所以圆M 经过点F ，故C 错误，D 正确．故选：ABD15(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知圆O :x 2+y 2=4和圆C :(x -3)2+(y -3)2=4,P ,Q 分别是圆O ，圆C 上的动点，则下列说法错误的是()A.圆O 与圆C 相交B.PQ 的取值范围是32-4,32+4C.x -y =2是圆O 与圆C 的一条公切线D.过点Q 作圆O 的两条切线，切点分别为M ,N ，则存在点Q ，使得∠MQN =90°【答案】AC【解析】对于A 选项，由题意可得，圆O 的圆心为O 0,0 ，半径r 1=2，圆C 的圆心C 3,3 ，半径r 2=2，因为两圆圆心距OC =32>2+2=r 1+r 2，所以两圆外离，故A 错误；对于B 选项，PQ 的最大值等于OC +r 1+r 2=32+4，最小值为OC -r 1-r 2=32-4，故B 正确；对于C 选项，显然直线x -y =2与直线OC 平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC :y =x ，设外公切线为y =x +t ，则两平行线间的距离为2，即t2=2，故y =x ±22，故C 错误；对于D 选项，易知当∠MQN =90°时，四边形OMQN 为正方形，故当QO =22时，∠MQN =90°，故D 正确.故选：AC ．16(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x =3sin ωx +cos ωx (0<ω<3)满足f x +π2 =-f x ，其图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数y =g x 的图象，且y =g x 在-π6,π6上单调递减，则()A.ω=1 B.函数f x 的图象关于5π12,0 对称C.s 可以等于5D.s 的最小值为2【答案】BCD【解析】对于A ，因为f x +π2 =-f x ，f x =3sin ωx +cos ωx =2sin ωx +π6，所以2sin ωx +π2ω+π6 =-2sin ωx +π6 ,π2ω=2k +1 π,k ∈Z ，则ω=4k +2,k ∈Z ，又0<ω<3，故ω=2，故A 错误；对于B ，由选项A 得f x =2sin 2x +π6，所以f 5π12=2sin 5π6+π6 =2sinπ=0，故5π12,0 是f x 的一个对称中心，故B 正确；对于C ，f x 的图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数g x =2sin 2x -s +π6的图象，则g x =2sin 2x +π6-2s ，因为g x 在-π6,π6上单调递减，所以2×-π6 +π6-2s ≥2k π+π22×π6+π6-2s ≤2k π+3π2k ∈Z ，解得-k π-π2≤s ≤-k π-π3k ∈Z ，当k =-2时，3π2≤s ≤5π3，因为s ∈N *，所以s =5，故C 正确；对于D ，因为s ∈N *，所以-k π-π3>0，则k <-13，又k ∈Z ，故k ≤-1，当k =-1时，π2≤s ≤2π3，可知s min =2，故D 正确.故选：BCD .17(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为0,+∞ ，其导函数为f x ，且f x +f x =x ln x ，f 1e =-1e，则()A.f 1e⋅e 1e-1>f 1B.f e ⋅e e -1>f 1C.f x 在0,+∞ 上是增函数D.f x 存在最小值【答案】ABC【解析】设F x =e x -1f x ，则F x =e x -1f x +f x =e x -1x ln x ，当x >1时，F x >0，当0<x <1时，F x <0，F x =e x -1f x 在1,+∞ 上单调递增，在0,1 上单调递减，A 选项，因为1e <1，所以F 1e >F 1 ，即e 1e-1f 1e>f 1 ，A 正确；B 选项，因为e >1，所以F e >F 1 ，即e e -1f e >f 1 ，B 正确；C 选项，f x =F x e x -1，则fx =F x -F x e x -1，令g x =F x -F x ，则g x =e x -1x ln x -e x -1x ln x =e x -11+ln x ，当x >1e 时，g x >0，当0<x <1e时，g x <0，故g x =F x -F x 在0,1e 上单调递减，在1e ,+∞ 单调递增，又g 1e =F 1e -F 1e =e 1e -1⋅1e ln 1e -e 1e -1f 1e =-e 1e -1⋅1e +e 1e-1⋅1e =0，故g x =F x -F x ≥0恒成立，所以fx =F x -F x ex -1≥0在0,+∞ 上恒成立，故f x 在0,+∞ 上是增函数，C 正确；D 选项，由C 选项可知，函数f x 在0,+∞ 上单调递增，故无最小值.故选：ABC18(2023·广东惠州·高三统考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718 ,x >1 ，则下列说法正确的是()A.函数f x 在-13,13上单调递减B.若函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，则p ∈0,23C.对任意实数k ，y =f x 的图象与直线y =kx 最多有6个交点D.方程f x =m m >0 有4个解，分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4>-143【答案】BD【解析】因为定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，即f -x -2 +f x +2 =0，所以函数为奇函数，因为f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718,x >1 ，故作出函数的图象，如图所示.选项A ：由图可知，当x ∈-13,0 时，函数单调递减，当x ∈0,13时，函数单调递减，但当x ∈-13,13，并不是随着x 增加而减少，故选项A 错误；选项B ：因为函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，所以由图象可知，00h (0)=1>0h (1)=14>0且对称轴为x =58∈0,1 ，所以方程3x 2-154x +1=0在0,1 上有两个不相等的实数根，2°设m (x )=74x -log 13x 2-718 ，x ∈1,+∞ ，因为函数m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 上单调递增，且m (1)=74-2<0，m (2)=72-log 131118 >0，所以m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 在只有一个零点，所以直线y =74x 与函数y =f (x )图象在x ∈1,+∞ 有1个交点，所以当x ∈0,+∞ 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，因为函数y =74x 与函数y =f (x )均为奇函数，所以当x ∈-∞,0 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，又当x =0时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有1个交点，所以此时直线y =74x 与函数y =f (x )图象有7个交点，故选项C 错误；选项D ：当m >0时，则根据图象可得f (x )=m 的4个解所在大致范围为x 1<0，0<x 2<13，13<x 3<1，x 4>1，因为f (x )=m 有4个解，所以23<m <1，所以23<log 13x 42-718 <1，解得139<x 4<21323+79，所以6<9x 4-7<181323，由二次函数的对称性可知，3x 2-2x +1=m 的解x 2、x 3满足x 2+x 3=23，因为函数y =f (x )为奇函数，且当x >1时解析式为y =log 13x 2-718，所以当x <-1时解析式为y =-log 13-x 2-718，所以log 13x 42-718=-log 13-x 12-718 ，所以有-x 12-718 x 42-718 =1，即x 1=-369x 4-7-79，所以x 1+x 4=x 4+-369x 4-7-79=9x 4-79-369x 4-7，设9x 4-7=t ，6<t <181323，又因为函数y =t 9-36t 在6,1813 23单调递增，所以x 1+x 4=t 9-36t >69-366=23-6=-163，所以x 1+x 2+x 3+x 4>-163+23=-143，所以选项D 正确，故选：BD .19(2023·广东揭阳·高三校考阶段练习)若定义在-1,1 上的函数f x 满足f x +f y =f x +y 1+xy，且当x >0时，f x <0，则下列结论正确的是( )．A.若x 1，x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，则f x 1 +f x 2 >0B.若f 12 =-12，则f 4041 =-2C.若f 2-x +g x =4，则g x 的图像关于点2,4 对称D.若α∈0,π4，则f sin2α >2f sin α 【答案】BC【解析】令y =-x ，则f x +f -x =f 0 =0，∴f x 为奇函数，把y 用-y 代替，得到f x -f y =f x -y1-xy，设-1<y <x <1，1-x 1+y >0，∴0<x -y1-xy<1．又∵当x >0时，f x <0，∴f x <f y ，∴f x 在-1,1 上单调递减．∵x 1,x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，当x >0时，f x <0，则当x 1>0时，则x 2>x 1>0，f x 1 +f x 2 <0，当x 1<0时，则x 2>-x 1>0，f x 1 +f x 2 =f x 2 -f -x 1 <0．综上，f x 1 +f x 2 <0，∴A 错误．令x =y =12，得2f 12 =f 45 ，∴f 45 =-1，令x =y =45，得2f 45 =f 4041 ，∴f 4041 =-2，∴B 正确．由f 2-x +g x =4，得f 2-x =4-g x ，得f x =4-g 2-x ，又∵f -x =4-g 2+x ，f x 为奇函数，∴f x +f -x =0，则g 2-x +g 2+x =8，则g x 的图像关于点2,4 对称，∴C 正确．f sin2α =f 2sin α⋅cos α =f2tan α1+tan 2α=2f tan α ，假设f sin2α >2f sin α ，可得f tan α >f sin α ，即tan α<sin α，当α∈0,π4时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D 错误．故选：BC .20(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)已知函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点构成一个公差为π2的等差数列，把f x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位得到函数g x 的图象，则()A.g x 在π4,π2上单调递增 B.π4,0 是g x 的一个对称中心C.g x 是奇函数 D.g x 在区间π6,2π3上的值域为0,2 【答案】AB【解析】因为f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 ，所以f x =232sin2ωx +12cos2ωx =2sin 2ωx +π6 ，因为函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，∴12⋅2π2ω=π2，∴ω=1，所以f (x )=2sin 2x +π6 ，把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位，得到g (x )=2sin 2x -π3 +π6 =2sin 2x -π2 =-2cos2x ，即g (x )=-2cos2x ，所以g (x )为偶函数，故C 错误；对于A ：当x ∈π4,π2 时2x ∈π2,π ，因为y =cos x 在π2,π 上单调递减，所以g x 在π4,π2上单调递增，故A正确；对于B：gπ4=-2cos2×π4=-2cosπ2=0，故π4,0是g x 的一个对称中心，故B正确；对于D：因为x∈π6,2π3，所以2x∈π3,4π3，所以cos2x∈-1,12，所以g x ∈-1,2，故D错误；故选：AB21(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)对于函数f(x)=xln x，下列说法正确的是()A.f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减B.若方程f(|x|)=k有4个不等的实根，则k>eC.当0<x1<x2<1时，x1ln x2<x2ln x1D.设g(x)=x2+a，若对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，则a≥e 【答案】BD【解析】函数f(x)=xln x的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，f(x)=ln x-1(ln x)2，当0<x<1或1<x<e时，f (x)<0，当x>e时，f (x)>0，f(x)在(0,1)，(1,e)上都单调递减，在(e,+∞)上单调递增，A不正确；当x∈(1,+∞)时，f(x)的图象在x轴上方，且在x=e时，f(x)min=e，f(x)在(0,1)上的图象在x轴下方，显然f(|x|)是偶函数，在方程f(|x|)=k中，k<0或k=e时，方程有两个不等实根，0≤k<e时，方程无实根，k>e时，方程有4个不等的实根，B正确；因0<x1<x2<1，则有f(x2)<f(x1)<0，即x2ln x2<x1ln x1<0，于是得x2ln x1<x1ln x2，C不正确；当x∈R时，g(x)的值域为[a,+∞)，当x∈(1,+∞)时，f(x)的值域为[e,+∞)，因对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，从而得[a,+∞)⊆[e,+∞)，即得a≥e，D正确.故选：BD二、单选题22(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】圆(x-5)2+(y-1)2=2的圆心(5，1)，过(5，1)与y=x垂直的直线方程为x+y-6=0，它与y=x的交点N(3，3)，N到(5，1)距离是22，圆的半径为2，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为2×30°=60°．故选C．23(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三点重合于点A ，若三棱锥A -EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为()A.2πB.3πC.6πD.8π【答案】C【解析】根据题意可得A D ⊥A E ,A D ⊥A F ,A E ⊥A F ，且A E =1,A F =1,A D =2，所以三棱锥D -A EF 可补成一个长方体，则三棱锥D -A EF 的外接球即为长方体的外接球，如图所示，设长方体的外接球的半径为R ，可得2R =12+12+22=6，所以R =62，所以外接球的表面积为S =4πR 2=4π⋅622=6π，故选：C24(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =2sin ωx +π3+a -1 sin ωx (a >0，ω>0)在0,π 上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，又φx =f x -23，且有φx max =0，则实数ω的取值范围是()A.1<ω≤53B.1≤ω<53C.56<ω<32D.56<ω≤32【答案】A【解析】由题意可得f x =sin ωx +3cos ωx +a -1 sin ωx ，=a sin ωx +3cos ωx =a 2+3sin ωx +φ ，其中φ满足tan φ=3a，又φx max =0，即f x max =23，所以a 2+3=23，又a >0，解得a =3，所以f x =23sin ωx +π6，又0<x <π，所以π6<ωx +π6<ωπ+π6，因为f x 在上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，即sin ωx 0+π6 =-12，所以7π6<ωx +π6≤11π6，解得1<ω≤53，故选：A 25(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)在△ABC 中，角B ,C 的边长分别为b ,c ，点O 为△ABC 的外心，若b 2+c 2=2b ，则BC ⋅AO的取值范围是()A.-14,0 B.0,2C.-14,+∞ D.-14,2【答案】D【解析】取BC 的中点D ，则OD ⊥BC ，所以BC ·AO =BC ·AD +DO =BC ·AD +BC ·DO =BC ·AD=AC -AB ⋅12AC +AB =12AC 2-AB 2=12b 2-c 2 =12b 2-2b -b 2 =b 2-b =b -122-14.因为c 2=2b -b 2>0，则b b -2 <0，即0<b <2.所以-14≤BC ⋅AO <2，故选：D .26(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知等腰直角△ABC 中，∠C 为直角，边AC =6，P ，Q 分别为AC ，AB 上的动点(P 与C 不重合)，将△APQ 沿PQ 折起，使点A 到达点A 的位置，且平面A PQ ⊥平面BCPQ ．若点A ，B ，C ，P ，Q 均在球O 的球面上，则球O 体积的最小值为()A.8π3B.4π3C.82π3D.42π3【答案】C【解析】显然P 不与A 重合，由点A ，B ，C ，P ，Q 均在球D 的球面上，得B ，C ，P ，Q 共圆，则∠C +∠PQB =π，又△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，即有PQ ⊥AB ，将△APQ 翻折后，PQ ⊥A Q ，PQ ⊥BQ ，又平面A PQ ⊥平面BCPQ ，平面A PQ ∩平面BCPQ =PQ ，A Q ⊂平面A PQ ，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q ⊥平面BCPQ ，BQ ⊥平面A PQ ，显然A P ，BP 的中点D ，E 分别为△A PQ ，四边形BCPQ 外接圆圆心，则DO ⊥平面A PQ ，EO ⊥平面BCPQ ，因此DO ⎳BQ ，EO ⎳A Q ，取PQ 的中点F ，连接DF ，EF ，则有EF ⎳BQ ⎳DO ，DF ⎳A Q ⎳EO ，四边形EFDO 为矩形，设A Q =x 且0<x <23，DO =EF =12BQ =23-x 2，A P =2x ，设球O 的半径R ，有R 2=DO 2+A P 2 2=34x 2-3x +3=34x -2332+2，当x =233时，R 3min=22，所以球O 体积的最小值为4πR 33=82π3．故选：C ．27(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a n S n =22n -1-2n -1，设b n =log 2S n +1 ，将数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，则c 2023=()A.4048B.2023C.2022D.4046【答案】B【解析】令数列a n 的公比为q ，∵a n >0，∴a 1>0，q >0，因为a n S n =22n -1-2n -1，所以当n =1时，a 21=21-20=1，即a 1=1或a 1=-1(舍去)，当n =2时，a 2S 2=23-21=6，即q 1+q =6，解得q =2或q =-3(舍去)，所以a n =2n -1，S n =1×1-2n 1-2=2n -1，即b n =log 2S n +1 =n ，因为数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，所以n =k 2，k ∈N *，此时b k 2=k 2=k ，即c n =n ，∴c 2023=2023．故选：B28(2023·广东·高三统考阶段练习)已知AB ⊥AC ，|AB |=t ，|AC |=1t．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP =AB |AB |+2AC|AC |，则PB ⋅PC 的最大值为()A.13 B.5-22C.5-26D.10+22【答案】B【解析】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P (x ，y )则B (t ,0),C 0,1t (t >0)，可得AB AB=(1,0)，2AC |AC |=(0,2)，所以AP =(1,2)，即P (1,2)，故PB =(t -1,-2)，PC =-1,1t-2 ，所以PB ⋅PC =1-t +4-2t =5-t +2t ≤5-22，当且仅当t =2t即t =2时等号成立．故选：B ．29(2023·广东·高三统考阶段练习)已知-π2<α-β<π2，sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，则sin β+π3=A.33B.63C.36D.66【答案】A【解析】由sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，将两个等式两边平方相加，得5+4sin α-β =3，sin α-β =-12，∵-π2<α-β<π2，∴α-β=-π6，即α=β-π6，代入sin α+2cos β=1，得3sin β+π3 =1，即sin β+π3 =33.故选A30(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设函数f (x )=log 2(1-x ),-1≤x <k ,x 3-3x +1,k ≤x ≤3 的值域为A ，若A ⊆[-1,1]，则f (x )的零点个数最多是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】令g (x )=log 2(1-x )，则g (x )=log 2(1-x )在(-∞,1)上单调递减；令h (x )=x 3-3x +1，则h (x )=3x 2-3．由h (x )>0，得x >1或x <-1；由h (x )<0，得-1<x <1，所以h (x )在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，于是，h (x )的极大值为h (-1)=3，极小值为h (1)=-1．在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的图象，如下图：显然f (-1)=g (-1)=1；由g (x )=-1，得x =12；由f (x )的解析式，得-1<k ≤1．(1)若-1<k <0，当k ≤x <0时，f (x )>f (0)=1，不符合题意；(2)若12<k ≤1，当12<x <k 时，f (x )<f 12=-1，不符合题意；(3)若0≤k ≤12，①当-1≤x <k 时，-1<f (x )≤1；②当k ≤x ≤3时，f (1)≤f (x )≤max {f (k ),f (3)}≤1，即-1≤f (x )≤1．由①②，0≤k ≤12时符合题意．此时，结合图象可知，当k =0时，f (x )在[-1,k )上没有零点，在[k ,3]上有2个零点；当0<k ≤12时，f (x )在[-1,k )上有1个零点，在[k ,3]上有1个或2个零点，综上，f (x )最多有3个零点．故选：C ．31(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设a =511,b =ln 2111,c =sin 511，则()A.c <a <bB.c f 0 =0，因此得当x ∈0,π2 时，x >sin x ，故511>sin 511，即a >c ；b -a =ln 2111-511=ln 1+2×511 -511，设g (x )=ln (1+2x )-x 0<x <12 ，则b -a =g 511，因为g (x )=21+2x -1=1-2x1+2x，当0<x <12时，g (x )>0．所以g (x )在0,12 上单调递增，所以g 511>g (0)=0，即b >a ，所以b >a>c ．故选：A32(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 ，12≤λ≤2 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.0,22B.22,53C.23,53D.53,1 【答案】B【解析】设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，运用椭圆的定义和勾股定理，求得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=21m -12 2+12，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围．设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由椭圆的定义可得，|PF 1|+|PF 2|=2a ，可设|PF 2|=t ，可得|PF 1|=λt ，即有(λ+1)t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，即为(λ2+1)t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由12≤λ≤2，可得32≤m ≤3，即13≤1m ≤23，则当m =2时，取得最小值12；当m =32或3时，取得最大值59，即有12≤e 2≤59，解得：22≤e ≤53，所以椭圆离心率的取值范围为22,53.故选：B .33(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设a =ln1.1,b =e 0.1-1,c =tan0.1，则()A.a 0时f x >0，当x <0时f x <0，即函数f x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 0 =0，即e x ≥x +1，当且仅当x =0时取等号，令x =0.1，可得b =e 0.1-1>0.1，令h (x )=tan x -x ，x ∈0,π2 ，则在x ∈0,π2 时，h (x )=1cos 2x -1>0，∴h (x )=tan x -x 在x ∈0,π2 上单调递增，∴h (x )>h (0)=0，∴x ∈0,π2时，tan x >x ．∴c =tan0.1>0.1，令g x =ln x -x +1，则g x =1x -1=1-xx，所以当0<x <1时g x >0，当x >1时g x <0，即函数g x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，所以g x max =g 1 =0，即ln x ≤x -1，当且仅当x =1时取等号，所以当x =1.1，可得a =ln1.1<1.1-1=0.1，所以a 最小，设t x =e x -1-tan x x ∈0,0.1 ，则t (x )=e x -1cos 2x>0，∴t (x )在0,0.1 上单调递增，∴t (0)<t (0.1)，∴t (0.1)=e 0.1-1-tan0.1>e 0-1-tan0=0，∴b =e 0.1-1>tan0.1=c ，综上可得b >c >a ；故选：C34(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)符号x 表示不超过实数x 的最大整数，如 2.3 =2，-1.9 =-2.已知数列a n 满足a 1=1，a 2=5，a n +2+4a n =5a n +1.若b n =log 2a n +1 ，S n 为数列8100b n b n +1的前n 项和，则S 2025 =()A.2023B.2024C.2025D.2026【答案】B【解析】因为a n +2+4a n =5a n +1，则a n +2-a n +1=4a n +1-a n ，且a 2-a 1=4，所以，数列a n +1-a n 是首项为4，公比也为4的等比数列，所以，a n +1-a n =4×4n -1=4n ，①由a n +2+4a n =5a n +1可得a n +2-4a n +1=a n +1-4a n ，且a 2-4a 1=1，所以，数列a n +1-4a n 为常数列，且a n +1-4a n =1，②由①②可得a n =4n -13，因为4n +1-13-4n=4⋅4n -1-3⋅4n 3=4n -13>0，4n +1-13-2⋅4n =4⋅4n -1-6⋅4n 3=-2⋅4n +13<0，则4n <a n +1=4n +1-13<2⋅4n ，。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(三)(解析版)

2023年新高考地区数学选填压轴题汇编(三)一、单选题1.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知双曲线C 1：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与抛物线C 2：y 2=2px p >0 有公共焦点F ，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线C 2相交于点B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线C 1的离心率为e ，则e 2=( )A.3+12B.5+12C.5+13D.5+23【答案】B 【解析】根据题意，作图如下：因为双曲线C 1和抛物线C 2共焦点，故可得a 2+b 2=p 24，又F c ,0 到y =b a x 的距离d =bca 2+b 2=b ，即AF =b ，又A 为BF 中点，则BF =2b ，设点B x ,y ，则2b =x +p 2，解得x =2b -p 2；由a 2+b 2=p 24可得OA =a ，则由等面积可知：12×BF ×OA =12×OF ×y ，解得y =4abp，则B 2b -p 2,4abp ，则x A =b ,y A =2ab p ，又点A 在渐近线y =b a x 上，即b 2a =2abp，即2a 2=pb ，又p 2=4a 2+4b 2，联立得a 4-a 2b 2-b 4=0，即b 2a 2-a 2b 2+1=0，解得b 2a2=5-12，故e 2=1+b 2a2=5+12.故选：B .2.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对任意的x 1，x 2∈0，+∞) ，且x 1≠x 2，都有x 1f x 1 -x 2f x 2x 1-x 2<0成立，则不等式mf m -2m -1 f 2m -1 >0的解集为( )A.13，1 B.(-∞，1)C.1,∞D.-∞,13∪1,+∞ 【答案】D【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数∴g x =xf x 为定义在R 上的偶函数又∵x 1f x 1 -x 2f x 2 x 1-x 2<0∴g x =xf x 在0，+∞) 上递减，则g x 在-∞,0 上递增mf m -2m -1 f 2m -1 >0即mf m >2m -1 f 2m -1则m <2m -1 解得：m ∈-∞,13∪1,+∞ ．故选：D ．3.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯+-1 n -1x 2n -12n -1 !+⋯，(其中x ∈R ，n ∈N *，n !=1×2×3×⋯×n ⋅0!=1)，现用上述公式求1-12!+14!-16!+⋯+-1 n -112n -2 !+⋯的值，下列选项中与该值最接近的是( )A.sin30∘ B.sin33∘ C.sin36∘ D.sin39∘【答案】B【解析】(sin x )=cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯+-1 n -1x 2n -22n -2 !+⋯所以cos1=1-12!+14!-16!+⋯+(-1)n -11(2n -2)!+⋯=sin π2-1=sin 90∘-180∘π ，由于90∘-180∘π 与33∘最接近，故选：B 4.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )A.288B.336C.576D.1680【答案】B【解析】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有4×3×2=24种,第二步,排黑车,若白车选AF ,则黑车有BE ,BG ,BH ,CE ,CH ,DE ,DG 共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2×7=14种，根据分步计数原理,共有24×14=336种,故选：B5.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=xe x -2a (ln x +x )有两个零点，则a 的最小整数值为( )A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】f (x )=xe x -2a (ln x +x )=e x +ln x -2a (ln x +x )，设t =x +ln x (x >0)，t =1+1x>0，即函数在0,+∞ 上单调递增，易得t ∈R ，于是问题等价于函数g t =e t -2at 在R 上有两个零点，g t =e t -2a ，若a ≤0，则g t >0，函数g t 在R 上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；若a >0，则x ∈-∞,ln2a 时，g t <0，g t 单调递减，x ∈ln2a ,+∞ 时，g t >0，g t 单调递增.因为函数g t 在R 上有两个零点，所以g t min =g ln2a =2a 1-ln2a <0⇒a >e2，而g 0 =1>0，限定t >1 ，记φt =e t -t ，φ t =e t -1>0，即φt 在1,+∞ 上单调递增，于是φt =e t -t >φ1 =试卷第1页，共3页e -1>0⇒e t>t ，则t >2时，e t2>t 2⇒e t>t 24，此时g t >t 24-2at =t 4t -8a ，因为a >e 2，所以8a>4e >1，于是t >8a 时，g t >0.综上：当a >e2时，有两个交点，a 的最小整数值为2.故选：C .6.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，在0,π3单调递减，且在该区间上没有零点，则ω的取值范围为( )A.32,2 B.1,32C.32,52D.0,32【答案】D【解析】因为函数为偶函数，且在0,π3 单调递减，所以φ=π2+k πk ∈Z ，而0<φ<π，则φ=π2，于是f (x )=A cos ωx (ω>0)，函数在0,π3 单调递减，且在该区间上没有零点，所以0<π3ω≤π2⇒ω∈0,32 .故选：D .7.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)直线x -y +1=0经过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若FC=2AC ，则该椭圆的离心率是( )A.10-22B.3-12C.22-2D.2-1【答案】A【解析】由题意可知，点F -c ,0 在直线x -y +1=0上，即1-c =0，可得c =1，直线x -y +1=0交y 轴于点C 0,1 ，设点A m ,n ，FC=1,1 ，AC =-m ,1-n ，由FC =2AC 可得-2m =121-n =1 ，解得m =-12n =12，椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为E 1,0 ，则AE =1+12 2+0-12 2=102，又AF =-1+12 2+0-12 2=22，∴2a =AE +AF =10+22，因此，该椭圆的离心率为e =2c 2a =210+22=410+2=410-2 8=10-22.故选：A .8.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知△OAB ，OA =1，OB =2，OA ⋅OB=-1，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 满足OE =12ED ，则EO ⋅EA的值为( )A.-328B.-121C.-29D.-221【答案】D【解析】由题意，作出图形，如图，∵OA =1，OB =2，OA ⋅OB=-1∴OA ⋅OB =1×2cos ∠AOB =2cos ∠AOB =-1，∴cos ∠AOB =-12，由∠AOB ∈0,π 可得∠AOB =2π3，∴AB =OA 2+OB 2-2⋅OA ⋅OB ⋅cos ∠AOB =7，又S △AOB =12⋅OA ⋅OB ⋅sin ∠AOB =12⋅OD ⋅AB =32，则OD =37，∴EO ⋅EA =-OE ⋅ED +DA =-2OE 2=-29⋅OD 2=-29×37=-221.故选：D ．9.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)若函数f x =e x -2x 图象在点x 0,f x 0 处的切线方程为y =kx +b ，则k -b 的最小值为( )A.-2 B.-2+1eC.-1eD.-2-1e【答案】D【解析】由f x =e x -2x 求导得：f (x )=e x -2，于是得f (x 0)=e x 0-2，函数f (x )=e x -2x 图象在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y -(e x 0-2x 0)=(e x 0-2)(x -x 0)，整理得：y =(e x 0-2)x +(1-x 0)e x 0，从而得k =e x 0-2,b =(1-x 0)e x 0，k -b =x 0e x 0-2，令g (x )=xe x -2，则g (x )=(x +1)e x ，当x <-1时，g (x )<0，当x >-1时，g (x )>0，于是得g (x )在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,+∞)上单调递增，则g (x )min =g (-1)=-2-1e，所以k -b 的最小值为-2-1e.故选：D10.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知定义域是R 的函数f x 满足：∀x ∈R ，f 4+x +f -x =0，f 1+x 为偶函数，f 1 =1，则f 2023 =( )A.1 B.-1C.2D.-3【答案】B【解析】因为f 1+x 为偶函数，所以f x 的图象关于直线x =1对称，所以f 2-x =f x ，又由f 4+x +f -x =0，得f 4+x =-f -x ，所以f 8+x =-f -4-x =-f 6+x ，所以f x +2 =-f x ，所以f x +4 =f x ，故f x 的周期为4，所以f 2023 =f 3 =-f 1 =-1．故选:B ．11.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109∘28 ，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF -A B C D E F 的三个顶点试卷第1页，共3页A ,C ,E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M -ABF ,O -BCD ,N -DEF ，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则( )A.tan θ=33tan54∘44 B.sin θ=33tan54∘44 C.cos θ=33tan54∘44D.tan θ=3tan54∘44 【答案】C【解析】先证明一个结论：如图，△ABC 在平面α内的射影为△ABC ，C -AB -C 的平面角为θ,θ∈0,π2 ，则cos θ=S △ABCS △ABC.证明：如图，在平面β内作CE ⊥AB ，垂足为E ，连接EC ，因为△ABC 在平面α内的射影为△ABC ，故CC ⊥α，因为AB ⊂α，故CC ⊥AB ，因为CE ∩AB =E ，故AB ⊥平面ECC .因为EC ⊂平面ECC ，故C E ⊥AB ，所以∠CEC 为二面角的平面角，所以∠CEC =θ.在直角三角形CEC 中，cos ∠CEC =cos θ=ECEC=S △ABCS △ABC .由题设中的第二图可得：cos θ=S △DBCS △DBO.设正六边形的边长为a ，则S △DBC =12a 2×32=34a 2，如图，在△DBO 中，取BD 的中点为W ，连接OW ，则OW ⊥BD ，且BD =3a ，∠BOD =109°28 ，故OW =32a ×1tan54°44，故S △DBO =12×3a ×32a ×1tan54°44 =34a 2×1tan54°44 ，故cos θ=33tan54°44 .故选：C .12.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知2021ln a =a +m ，2021ln b =b +m ，其中a ≠b ，若ab <λ恒成立，则实数λ的取值范围为( )A.2021e 2,+∞ B.20212,+∞C.20212,+∞D.2021e 2,+∞【答案】C【解析】令f (x )=ln x -12021x ，则f (x )=1x -12021=2021-x2021x，∴当x ∈(0,2021)时，f (x )>0，当x ∈(2021,+∞)时，f (x )<0，∵f (2021)>0，∴设0<a <20211)，两式相减，得2021ln b a =b -a ，则2021ln t =a (t -1)，∴a =2021ln t t -1，b =at =2021t ln tt -1，∴ab =20212⋅t (ln t )2(t -1)2，令g (t )=t (ln t )2-(t -1)2，∴g (t )=(ln t )2+2ln t -2t +2，令h (t )=(ln t )2+2ln t -2t +2，则h (t )=2t(ln t +1-t )，令m (t )=ln t +1-t ，则m (t )=1t-1<0，∴函数m (t )在(1,+∞)上单调递减，∴m (t )<m (1)=0,即h (t )<0,∴h (t )<h 1 =0，∴g (t )<0，∴函数g (t )在(1,+∞)上单调递减，∴g (t )<g 1 =0，∴t (ln t )2-(t -1)2<0，∴t (ln t )2(t -1)2<1，∴ab <20212，∴实数λ的取值范围为20212,+∞ ，故选：C ．13.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)己知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A =AB ，F 1B ⋅F 2B=0，则C 的离心率为( )A.2B.5C.3+1D.5+1【答案】A 【解析】如下图示，因为F 1A =AB ，F 1B⋅F 2B =0，O 是F 1F 2中点，所以A 是F 1B 中点且F 1B ⊥F 2B ，则OA ⊥F 1B ，OF 1=OB =c ，因为直线OA 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1的渐近线，所以k OA =-b a ，k F 1B =a b ，直线F 1B 的方程为y =ab (x +c )，联立y =a b (x +c )y =b ax，解得B a 2c b 2-a 2,abc b 2-a 2 ，则|OB |2=a 4c 2b 2-a 2 2+试卷第1页，共3页a 2b 2c 2b 2-a 22=c 2，整理得b 2=3a 2，因为c 2-a 2=b 2，所以4a 2=c 2，e =ca=2.故选：A14.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知函数f x =cos 2ωx 2+32sin ωx -12ω>0,x ∈R .若函数f x 在区间π,2π 内没有零点，则ω的取值范围是A.0,512 B.0,512 ∪56,1112 C.0,56D.0,512 ∪56,1112【答案】D【解析】 (1)ωπ+π6,2ωπ+π6 ⊆(2k π,2k π+π),k ∈Z ，则{ωx +π6≥2k π2ωπ+π6≤2k π+π ，则{ω≥2k -16ω≤k +512，取k =0 ，∵ω>0, ∴0<k ≤512；(2)ωπ+π6,2ωπ+π6 ⊆(2k π+π,2k π+2π),k ∈Z ，则{ωπ+π6≥2k π+π2ωπ+π6≤2k π+2π ，解得：{ω≥2k +56ω≤k +1112，取k=0 ，∴56≤k ≤1112；综上可知：k 的取值范围是0,512 ∪56,1112，选D .15.(2022·湖南·高三开学考试)已知a =2,b =513,c =(2+e )1e ，则a ,b ,c 的大小关系为( )A.b <c <aB.c 0)，则fx =x x +2-ln 2+xx 2，令g x =x x +2-ln 2+x ,(x >0)，则g x =-x(x +2)2<0，所以g x 在0,+∞ 上单调递减，g x <g 0 =0，所以f x <0恒成立，所以f x 在0,+∞ 上单调递减，因为2<e <3，所以f 2 >f e >f 3 ，即12ln 2+2 >1e ln 2+e >13ln 2+3 ，所以ln (2+2)12>ln (2+e )1e>ln (2+3)13，所以412>(2+e )1e>513，即b <c <a .故选：A .16.(2022·湖北·高三开学考试)已知a ,b ,c 均为不等于1的正实数，且ln c =a ln b ,ln a =b ln c ，则a ,b ,c 的大小关系是( )A.c >a >b B.b >c >aC.a >b >cD.a >c >b【答案】D【解析】∵ln c =a ln b ,ln a =b ln c 且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln c与ln b同号，ln c与ln a同号，从而ln a、ln b、ln c同号.①若a、b、c∈0,1，则ln a、ln b、ln c均为负数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b；②若a、b、c∈1,+∞，则ln a、ln b、ln c均为正数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b.综上所述，a>c>b.故选：D.17.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)设f x 是定义在R上的连续的函数f x 的导函数，f x -f x +2e x<0(e为自然对数的底数)，且f2 =4e2，则不等式f x >2xe x的解集为( )A.-2,0∪2,+∞B.e,+∞C.2,+∞D.-∞,-2∪2,+∞【答案】C【解析】设g x =f xe x-2x，则g x =f x -f xe x-2=f x -f x -2e xe x，∵f x -f x +2e x<0，∴g x >0，函数g x 在R上单调递增，又f2 =4e2，∴g2 =f2e2-4=0,由f x >2xe x，可得f xe x-2x>0，即g x >0=g2 ，又函数g x 在R上单调递增，所以x>2，即不等式f x >2xe x的解集为2,+∞.故选：C．18.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知实数α，β满足αeα-3=1，βlnβ-1=e4，其中e是自然对数的底数，则αβ的值为( )A.e3B.2e3C.2e4D.e4【答案】D【解析】因为αeα-3=1，所以αeα=e3，所以α+lnα=3．因为βlnβ-1=e4，所以lnβ+ln lnβ-1=4．联立α+lnα-3=0lnβ-1+ln lnβ-1-3=0 ，所以α与lnβ-1是关于x的方程x+ln x-3=0的两根．构造函数f x =x+ln x-3，该函数的定义域为0,+∞，且该函数为增函数，由于fα =f lnβ-1=0，所以α=lnβ-1，又α+lnα-3=0，所以lnβ-1+lnα-3=0，即lnαβ=4，解得αβ=e4．故选：D．19.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知F c,0(其中c>0)是双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的焦点.圆x2+y2-2cx+b2=0与双曲线的一条渐近线l交于A、B两点.已知l的倾斜角为30°.则tan∠AFB=( )A.-2B.-3C.-22D.-23试卷第1页，共3页【答案】C 【解析】如图所示：x 2+y 2-2cx +b 2=0，化为x -c 2+y 2=c 2-b 2=a 2，因为渐近线l 的倾斜角为30°，所以tan30∘=b a =33，圆心F c ,0 到直线y =bax 的距离为：d =bca1+b a2=b ，又AF =BF =a ，所以cos 12∠AFB =b a =33,sin 12∠AFB =63，则tan 12∠AFB =2，所以tan ∠AFB =2tan 12∠AFB1-tan 212∠AFB=2×21-2 2=-22，故选：C20.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)设函数f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x +3，则满足f x +f 3-2x <6的x 的取值范围是( )A.3,+∞ B.1,+∞ C.-∞,3 D.-∞,1【答案】B【解析】假设g x =sin x +e x -e -x -x ,x ∈R ，所以g -x =sin -x +e -x -e x +x ，所以g x +g -x =0，所以g x 为奇函数，而f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x -1 +3是g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以f x 的对称中心为1,3 ，所以6=f x +f 2-x ，由f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x +4求导得f x =cos x -1 +e x -1+e 1-x -1=e x -1+1ex -1+cos x -1 -1因为e x -1+1e x -1≥2e x -1⋅1e x -1=2，当且仅当e x -1=1e x -1即x =1，取等号，所以f x ≥0,所以f x 在R 上单调递增，因为f x +f 3-2x <6=f x +f 2-x 得f 3-2x <f 2-x 所以3-2x <2-x ，解得x >1，故选：B 二、多选题21.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f x =log 2x ,(0<x <2)x 2-8x +13,x ≥2，若f x =a 有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是( )A.0<a <1B.x 1+2x 2∈22,92C.x 1+x 2+x 3+x 4∈10,212D.2x 1+x 2∈22,3【答案】ACD【解析】在同一坐标系中作出函数y =f x ,y =a 的图象，如图所示：由图象知：若f x =a 有四个不同的实数解，则0<a <1，故A 正确；因为log 2x 1 =log 2x 2 ，即-log 2x 1=log 2x 2，则1x 1=x 2，所以x 1+2x 2=1x 2+2x 2,1<x 2<2，因为y =1x 2+2x 2在1,2 上递增，所以1x 2+2x 2∈3,92，故B 错误；因为x 1+x 2=1x 2+x 2,1<x 2<2，y =1x 2+x 2在1,2 上递增，所以1x 2+x 2∈2,52，而x 3+x 4=8，所以x 1+x 2+x 3+x 4∈10,212 ，故C 正确；因为2x 1+x 2=2x 2+x 2,1<x 2<2，y =1x 2+2x 2在1,2 上递减，在2,2 上递增，则2x 2+x 2∈[22,3)，故D 正确；故选：ACD22.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则( )A.当P 在平面BCC 1B 1上运动时，四棱锥P -AA 1D 1D 的体积不变B.当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是π3，π2C.使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+42D.若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ⎳平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是5【答案】ABC【解析】A 选项，底面正方形AA 1D 1D 的面积不变，P 到平面AA 1D 1D 的距离为正方体棱长，故四棱锥P -AA 1D 1D 的体积不变，A 选项正确；B 选项，D 1P 与A 1C 1所成角即D 1P 与A C 所成角，当P 在端点A ，C 时，所成角最小，为π3，当P 在AC 中点时，所成角最大，为π2，故B 选项正确；C 选项，由于P 在正方体表面，P 的轨迹为对角线AB 1，AD 1，以及以A 1为圆心2为半径的14圆弧如图，试卷第1页，共3页故P 的轨迹长度为π+42，C 正确；D 选项，FP 所在的平面为如图所示正六边形，故FP 的最小值为6，D 选项错误.故选：ABC .23.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =12z ，则( )A.1x +1y =1zB.6z <3x <4yC.xy <4z 2D.x +y >4z【答案】ABD【解析】设3x =4y =12z =t ，t >1，则x =log 3t ，y =log 4t ，z =log 12t ，所以1x +1y =1log 3t +1log 4t =log t 3+log t 4=log t 12=1z，A 正确；因为6z3x =2log 12t log 3t =2log t 3log t 12=log 129<1，则6z <3x ，因为3x4y =3log 3t 4log 4t =3log t 44log t 3=log t 64log t 81=log 8164<1，则3x <4y ，所以6z <3x <4y ，B 正确；因为x +y -4z =log 3t +log 4t -4log 12t =1log t 3+1log t 4-4log t 12=log t 3+log t 4log t 3log t 4-4log t 3+log t 4=log t 3-log t 42log t 3log t 4log t 3+log t 4 >0，则x +y >4z ，D 正确.因为1z =1x +1y =x +y xy ，则xy z =x +y >4z ，所以xy >4z 2，C 错误.故选：ABD .24.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如[-2.1]=-3，[2.1]=2.则下列说法正确的是( )A.函数y =x -[x ]在区间[k ,k +1)(k ∈Z )上单调递增B.若函数f (x )=sin xe x -e -x，则y =[f (x )]的值域为{0}C.若函数f (x )=|1+sin2x -1-sin2x |，则y =[f (x )]的值域为{0,1}D.x ∈R ，x ≥[x ]+1【答案】AC【解析】对于A ，x ∈[k ,k +1)，k ∈Z ，有[x ]=k ，则函数y =x -[x ]=x -k 在[k ,k +1)上单调递增，A 正确；对于B ，f 3π2=sin 3π2e 3π2-e -3π2=-1e 3π2-e-3π2∈(-1,0)，则f 3π2=-1，B 不正确；对于C ，f (x )=(1+sin2x -1-sin2x )2=2-21-sin 22x =2-2|cos2x |，当0≤|cos2x |≤12时，1≤2-2|cos2x |≤2，1≤f (x )≤2，有[f (x )]=1，当12<|cos2x |≤1时，0≤2-2|cos2x |<1，0≤f (x )<1，有[f (x )]=0，y =[f (x )]的值域为{0,1}，C 正确；对于D ，当x =2时，[x ]+1=3，有2<[2]+1，D 不正确.故选：AC25.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f (x )是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令x n =f (x n -1)(n =1，2，3，⋯)，若存在正整数k 使得x k =x 0，且当0<j <k 时，x j ≠x 0，则称x 0是f (x )的一个周期为k 的周期点.若f (x )=2x ，x <122(1-x )，x ≥12，下列各值是f (x )周期为1的周期点的有( )A.0 B.13 C.23D.1【答案】AC【解析】A ：x 0=0时，x 1=f 0 =0，周期为1，故A 正确；B ：x 0=13时，x 1=f 13 =23，x 2=f 23 =23，x 3=⋯=x n =23，所以13不是f x 的周期点.故B 错误；C ：x 0=23时，x 1=x 2=⋯=x n =23，周期为1，故C 正确；D ：x 0=1时，x 1=f 1 =0，∴1不是f x 周期为1的周期点，故D 错误.故选：AC .26.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)在数列a n 中，对于任意的n ∈N *都有a n >0，且a 2n +1-a n +1=a n ，则下列结论正确的是( )A.对于任意的n ≥2，都有a n >1B.对于任意的a 1>0，数列a n 不可能为常数列C.若0<a 1<2，则数列a n 为递增数列D.若a 1>2，则当n ≥2时，2<a n <a 1【答案】ACD 【解析】A ：由a n +1=a n a n +1+1，对∀n ∈N *有a n >0，则a n +1=an a n +1+1>1，即任意n ≥2都有a n >1，正确；B ：由a n +1(a n +1-1)=a n ，若a n 为常数列且a n >0，则a n =2满足a 1>0，错误；C ：由an a n +1=a n +1-1且n ∈N *，当1<a n +1<2时0<an a n +1<1，此时a 1=a 2(a 2-1)∈(0,2)且a 1<a 2，数列a n 递增；当a n +1>2时an a n +1>1，此时a 1=a 2(a 2-1)>a 2>2，数列a n 递减；所以0<a 1<2时数列a n 为递增数列，正确；试卷第1页，共3页D：由C分析知：a1>2时a n+1>2且数列a n递减，即n≥2时2<a n<a1，正确.故选：ACD27.(2022·山东·模拟预测)已知点P在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动，点Q是CD的中点，点P满足PQ⊥AC1，下列结论正确的是( )A.点P的轨迹的周长为32B.点P的轨迹的周长为62C.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为43D.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为23【答案】BD【解析】取BC的中点为E，取BB1的中点为F，取A1B1的中点为G，取A1D1的中点为H，取DD1的中点为M，分别连接QE,EF,FG,GH,HM,MQ，由AC1⊥QE,AC1⊥EF，且QE∩EF=E，所以AC1⊥平面EFGHMQ，由题意可得P的轨迹为正六边形EFGHMQ，其中|QE|=|EF|=2，所以点P的轨迹的周长为62，所以A不正确，B正确；当点P在线段HG上运动时，此时点P到平面BCQ的距离取得最大值，此时V P-BCQ有最大值，最大值为V max=13×12×2×1×2=23，所以C不正确，D正确．故选：BD28.(2022·山东·模拟预测)正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲线而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号而获得广泛应用已知某个声音信号的波形可表示为f(x)=2sin x+sin2x，则下列叙述不正确的是( )A.f(x)在[0,2π)内有5个零点B.f(x)的最大值为3C.(2π,0)是f(x)的一个对称中心D.当x∈0,π2时，f(x)单调递增【答案】ABD【解析】对于A，由f(x)=2sin x+sin2x=2sin x(1+cos x)，令f(x)=0，则sin x=0或cos x=-1，易知f(x)在[0,2π)上有2个零点，A错误．对于B，因为2sin x≤2,sin2x≤1，由于等号不能同时成立，所以f(x)<3，B错误．对于C，易知f(x)为奇函数，函数关于原点对称，又周期为2π，故(2π,0)是f(x)的一个对称中心．对于D，f (x)=2cos x+2cos2x=2(2cos x-1)(cos x+1)，因为cos x+1≥0，所以2cos x-1>0时，即：x∈2kπ-π3,2kπ+π3(k∈Z)时，f(x)单调递增，x∈2kπ+π3,2kπ+5π3(k∈Z)时，f(x)单调递减，故D错误．故选：ABD29.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=e x,x≥0-x2-4x,x<0，方程f2(x)-t⋅f(x)=0有四个实数根x1,x2,x3,x4，且满足x1<x2<x3<x4，下列说法正确的是( )A.x1x4∈(-6ln2,0]B.x1+x2+x3+x4的取值范围为[-8,-8+2ln2)C.t的取值范围为[1,4)D.x2x3的最大值为4【答案】BC【解析】f2(x)-t⋅f(x)=0⇒f(x)[f(x)-t]=0⇒f(x)=0或f(x)=t，作出y=f(x)的图象，当f(x)=0时，x1=-4，有一个实根；当t=1时，有三个实数根，∴共四个实根，满足题意；当t=4时，f(x)=t只有两个实数根，所以共三个实根，不满足题意，此时与y=e x的交点坐标为(2ln2,4).要使原方程有四个实根，等价于f(x)=t有三个实根，等价于y=f(x)与y=t图像有三个交点，故t∈[1,4)，x4∈[0,2ln2)，所以x1x4∈(-8ln2,0]，故A错误，C正确；又因为x2+x3=-4，所以x1+x2+x3+x4=-8+x4的取值范围为[-8,-8+2ln2))，B正确；因为x2+x3=-4,x2<x3<0，所以x2x3=-x2⋅-x3<-x2+x322=4，故D错误．故选：BC.30.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C：y=x2上两个不同点A,B横坐标分别为x1，x2，以A,B为切点的切线交于P点.则关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有( )A.若AB过抛物线的焦点，则P点一定在抛物线的准线上B.若阿基米德三角形PAB为正三角形，则其面积为334C.若阿基米德三角形PAB为直角三角形，则其面积有最小值14D.一般情况下，阿基米德三角形PAB的面积S=|x1-x2|24【答案】ABC【解析】由题意可知：直线AB一定存在斜率，所以设直线AB的方程为：y=kx+m，由题意可知：点A(x1,x21),B(x2,x22)，不妨设x1<0<x2，由y=x2⇒y =2x，所以直线切线PA,PB的方程分别为：y-x21=2x1(x-x1),y-x22=2x2(x-x2)，两方程联立得：y-x21=2x1(x-x1) y-x22=2x2(x-x2)，解得：x=x1+x22 y=x1x2，所以P点坐标为：x1+x22,x1x2，试卷第1页，共3页直线AB 的方程与抛物线方程联立得：y =kx +m y =x 2⇒x 2-kx -m =0⇒x 1+x 2=k ,x 1x 2=-m .A ：抛物线C ：y =x 2的焦点坐标为0,14 ，准线方程为 y =-14，因为AB 过抛物线的焦点，所以m =14，而x 1x 2=-m =-14，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有|PA |=|PB |，即x 1+x 22-x 1 2+(x 1x 2-x 21)2=x 1+x 22-x 2 2+(x 1x 2-x 22)2，因为 x 1≠x 2，所以化简得：x 1=-x 2，此时A (x 1,x 21),B (-x 1,x 21)， P 点坐标为：(0,-x 21)，因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有|PA |=|AB |，所以(0-x 1)2+(-x 21-x 21)2=-2x 1⇒x 1=-32，因此正三角形PAB 的边长为3，所以正三角形PAB 的面积为12×3×3⋅sin60°=12×3×3×32=334，故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA ⊥PB 时，所以k PA ⋅k PB =-1⇒x 1+x 22-x 1x 1x 2-x 21⋅x 1+x 22-x 2x 1x 2-x 22=-1⇒x 1x 2=-14，直线AB 的方程为：y =kx +14所以P 点坐标为：k 2,-14 ，点 P 到直线AB 的距离为：k 2⋅k +-14 ×(-1)+14 k 2+(-1)2=12k 2+1，|AB |=(x 1-x 2)2+(x 21-x 22)2=(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=[(x 1+x 2)2-4x 1x 2][1+(x 1+x 2)2]，因为x 1+x 2=k ,x 1x 2=-14，所以 AB =(k 2+1)(1+k 2)=1+k 2，因此直角PAB 的面积为：12×12⋅k 2+1⋅(k 2+1)=14(k 2+1)3≥14，当且仅当k =0时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确；D ：因为x 1+x 2=k ,x 1x 2=-m ，所以|AB |=(x 1-x 2)2+(x 21-x 22)2=(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=x 1-x 2 k 2+1，点P 到直线AB 的距离为：x 1+x 22⋅k +(-1)⋅x 1⋅x 2+m k 2+(-1)2=x 1+x 22⋅(x 1+x 2)+(-1)⋅x 1⋅x 2-(x 1x 2)k 2+(-1)2=12⋅(x 1-x 2)2k 2+1,所以阿基米德三角形PAB 的面积S =12⋅x 1-x 2 ⋅k 2+1⋅12⋅(x 1-x 2)2k 2+1=x 1-x 2 34，故本选项说法不正确.故选：ABC31.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知函数f (x )=x ln x ，若0<x 1<x 2，则下列结论正确的是( )A.x 2f x 1 <x 1f x 2B.x 1+f x 1 <x 2+f x 2C.f x 1 -f x 2 x 1-x 2<0D.当ln x >-1时，x 1f x 1 +x 2f x 2 >2x 2f x 1 【答案】AD【解析】对于A 选项，因为令g x =f (x )x=ln x ，在0,+∞ 上是增函数，所以当0<x 1<x 2时，g x 1 <g x 2 ，所以f (x 1)x 1<f (x 2)x 2，即x 2f x 1 <x 1f x 2 ．故A 选项正确；对于B 选项，因为令g x =f x +x =x ln x +x ，所以g ′x =ln x +2，所以x ∈e -2,+∞ 时，g ′x >0,g x 单调递增，x ∈0,e -2 时，g ′x <0,g x 单调递减．所以x 1+f x 1 与x 2+f x 2 无法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令f ′x =ln x +1，所以x ∈0,1e时，f ′x <0,f x 在0,1e 单调递减，x ∈1e ,+∞ 时，f ′x >0,f x 在1e ,+∞ 单调递增，所以当0<x 1<x 2<1e 时，f x 1 >f x 2 ，故f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立，当1e <x 1<x 2时，f x 1 <f x 2 ，f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0．故C 选项错误；对于D 选项，由C 选项知，当ln x >-1时，f x 单调递增，又因为A 正确，x 2f x 1 <x 1f x 2 成立，所以x 1⋅f x 1 +x 2⋅f x 2 -2x 2f x 1 >x 1⋅f x 1 +x 2⋅f x 2 -x 2f x 1 -x 1f x 2 =x 1f x 1 -f x 2 +x 2f x 2 -f x 1 =x 1-x 2 f x 1 -f x 2 >0,故D 选项正确.故选：AD ．32.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知a ，b 为正实数，且ab =32a +b -42，则2a +b 的取值可以为( )A.1 B.4C.9D.32【答案】BD【解析】因为a ，b 为正实数，ab =32a +b -42，所以32a +b -42=ab =2ab 2≤2a +b22，当且仅当2a =b 时等号成立，即32a +b -42≤2a +b22，所以2a +b -622a +b +16≥0，所以2a +b ≥42或2a +b ≤22，因为a ，b 为正实数，ab =32a +b -42，所以32a +b -42>0，所以2a +b ≥42或423<2a +b ≤22．所以2a +b ≥32或329<2a +b ≤8．故选：BD ．33.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)下列不等式正确的是( )A.log 23<log 49B.log 23<lg15C.log 812>log 1215D.log 812>log 636【答案】CD【解析】选项A ：log 23=log 2232=log 49，故不正确；设f x =log 2x 3x (x ≥1)，因为x ≥1，所以f x =ln 3x ln 2x=3ln 2x 3x -2ln 3x2x ln 22x=试卷第1页，共3页ln 2x -ln 3xx ln 22x <0，所以f x 在[1,+∞)上单调递减，所以选项B ：f 1 =log 23>log 1015=lg15=f 5 ，故不正确；选项C ：f 4 =log 812>f 5 =log 1015>log 1215，故正确；选项D ：f 4 =log 812>f 18 =log 3654=log 636，故正确，故选:CD ．34.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f (x )=x ln (1+x )，则( )A.f (x )在(0,+∞)单调递增B.f (x )有两个零点C.曲线y =f (x )在点-12,f -12处切线的斜率为-1-ln2D.f (x )是偶函数【答案】AC【解析】由f (x )=x ln (1+x )知函数的定义域为(-1,+∞)，f (x )=ln (1+x )+x1+x，当x ∈(0,+∞)时，ln (1+x )>0,x1+x>0，∴f (x )>0，故f (x )在(0,+∞)单调递增，A 正确；由f (0)=0，当-1<x <0时，ln (1+x )<0,f (x )=x ln (1+x )>0，当ln (1+x )>0,f (x )>0，所以f (x )只有0一个零点，B 错误；令x =-12，f -12 =ln 12-1=-ln2-1，故曲线y =f (x )在点-12,f -12 处切线的斜率为-1-ln2，C 正确；由函数的定义域为(-1,+∞)，不关于原点对称知，f (x )不是偶函数，D 错误.故选：AC35.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f x =x ln x ,x >00,x =012f x +1 ,x <0，则下列说法正确的有( )A.当x ∈-3,-2 时，f x =18x +3 ln x +3B.若不等式f x -mx -m <0至少有3个正整数解，则m >ln3C.过点A -e -2,0 作函数y =f x x >0 图象的切线有且只有一条D.设实数a >0，若对任意的x ≥e ，不等式f x ≥a x e ax 恒成立，则a 的最大值是e【答案】ACD【解析】对于A ：当x ∈-3,-2 ，∴x +3∈0,1 ，f x +3 =x +3 ln x +3 ，∵f x =18f x +3 ，∴f x =18x +3 ln x +3 ，A 正确；对于B ：f x <mx +m ，画出y 1=f x 与y 2=mx +m 的图象，根据函数的图象，要想至少有3个正整数解，要满足f 3 <3m +m ，∴m >34ln3，故B 错；对于C ：设切点T x 0,y 0 则k AT =f x 0 ，∴x 0ln x 0x 0+1e2=ln x 0+1，即e 2x 0+ln x 0+1=0，设h x =e 2x +ln x +1，当x >0时，h x >0，∴h x 是单调递增函数，∴h x =0最多只有一个根，又h 1e 2 =e 2⋅1e 2+ln 1e2+1=0，∴x 0=1e 2，由f x 0 =-1得切线方程是x +y +1e2=0，故C 正确；对于D .：由题意e ln x ⋅ln x ≥a xe ax .设g x =x ⋅e x x >0 ，则g x =x +1 e x >0，于是g x 在0,+∞ 上是增函数.因为a x >0，ln x >0，所以ax≤ln x ，即a ≤x ln x 对任意的x ≥e 恒成立，因此只需a ≤x ln x min .设f x =x ln x x ≥e ，f x =ln x +1>0x ≥e ，所以f x 在e ,+∞ 上为增函数，所以f x min =f (e )=e ，所以a ≤e ，即a 的最大值是e ，选项D 正确；故选：ACD .36.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，O 为坐标原点，一条平行于x 轴的光线l 1从点M (5,2)射入，经过C 上的点A 反射后，再经C 上另一点B 反射后，沿直线l 2射出，经过点N ．下列说法正确的是( )A.若p =2，则|AB |=4 B.若p =2，则MB 平分∠ABN C.若p =4，则|AB |=8D.若p =4，延长AO 交直线x =-2于点D ，则D ，B ，N 三点共线【答案】ABD【解析】若p =2，则抛物线C :y 2=4x ，A (1,2)，C 的焦点为F (1,0)，直线AF 的方程为：x =1，可得B (1,-2)，|AB |=4，选项A 正确；p =2时，因为|AM |=5-1=4=|AB |，所以∠A MB =∠ABM ，又AM ∥BN ，所以∠A MB =∠MB N ，所以MB 平分∠ABN ，选项B 正确；若p =4，则抛物线C :y 2=8x ，A 12，2 ，C 的焦点为F (2,0)，直线AF 的方程为y =-43(x -2)，联立抛物线方程求解可得B (8,-8)，所以|AB |=252，选项C 不正确；若p =4，则抛物线C :y 2=8x ，A 12，2，延长AO 交直线x =-2于点D ，则D (-2,-8)，由C 选项可知B试卷第1页，共3页(8,-8)，所以D，B，N三点共线，故D正确.故选：ABD．37.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知a>1，x1，x2，x3为函数f(x)=a x-x2的零点，x1<x2<x3，下列结论中正确的是( )A.x1>-1B.x1+x2<0C.若2x2=x1+x3，则x3x2=2+1 D.a的取值范围是1,e2e【答案】ACD【解析】∵a>1,f-1=a-1-1=1a-1<0,f0 =a0-0=1>0 ，∴-1<x1<0 ，故A正确；当0≤x≤1 时，1≤a x≤a,0≤x2≤1 ，f x 必无零点，故x2>1 ，∴x1+x2>0 ，故B错误；当2x2=x1+x3 时，即a x1=x21a x2=x22a x3=x23，两边取对数得x1=2log a-x1x2=2log a x2x3=2log a x3，4log a x2=2log a-x1+2log a x3 ，x22=-x1x3 ，联立方程x22=-x1x32x2=x1+x3解得x23-2x2x3-x22=0 ，由于x2>0,x3>0 ，x3x2=2+1 ，故C正确；考虑f x 在第一象限有两个零点：即方程a x=x2 有两个不同的解，两边取自然对数得x ln a=2ln x 有两个不同的解，设函数g x =x ln a-2ln x ，g x =ln a-2x=ln a x-2ln ax ，则x=x0=2ln a 时，g x =0 ，当x>x0 时，g x >0 ，当x<x0 时，g x <0 ，所以g min x =g x0=2-2ln2ln a，要使得g x 有两个零点，则必须g x0<0，即ln2ln a>1 ，解得a<e2e ，故D正确；故选：ACD.38.(2022·湖北·高三开学考试)关于函数f x =ae x+sin x,x∈-π,π，下列结论中正确的有( )A.当a=-1时，f x 的图象与x轴相切B.若f x 在-π,π上有且只有一个零点，则满足条件的a的值有3个C.存在a ，使得f x 存在三个极值点D.当a =1时，f x 存在唯一极小值点x 0，且-1<f x 0 <0【答案】BCD【解析】对于A ，f (x )=-e x +sin x ，f (x )=-e x +cos x =0，即e x =cos x ，由函数y =e x 、y =cos x 的图像可知方程有两个根：x 1∈-π2,0 ，x 2=0，f (x 2)=-1,f (x 1)=sin x 1-e x 1<0，即斜率为0的切线其切点不在x 轴上，故A 错误；对于B ，f (x )=0⇔a =-sin x e x ，令g (x )=-sin xex ，g (x )=sin x -cos x ex ，x ∈-π,-3π4 、x ∈π4,π ,g (x )>0,g (x )单调递增，x ∈-3π4,π4 ,g (x )单调递减，g (-π)=0,g -3π4 =22e 3π4,g π4 =-22e π4,g (π)=0，结合图像可知满足f (x )=0⇔a =-sin xex 在-π,π 上有且只有一个零点的a 的值有3个：0，22e3π4，-22e π4，故B 正确；对于C ，f (x )=ae x +cos x =0⇔a =-cos xex =h (x )，h (x )=2sin x +π4ex ，可知x ∈-π,-π4 ,h (x )<0,h (x )单调递减，x ∈-π4,3π4 ,h (x )>0,h (x )单调递增， x ∈3π4,π ,h (x )<0,h (x )单调递减，h (-π)=e π,h -π4 =-2e π42,h 3π4 =22e 3π4,h (π)=1e π，故a ∈1e π,22e 3π4时，a =-cos xe x =h (x )有三个实数根，f x 存在三个极值点，故C 正确；对于D ,f (x )=e x +cos x =0⇔e x =-cos x ,由图像可知此方程有唯一实根x 0，因为e 3π2>2，所以1e 3π2<12,1e 3π4<22，f -3π4 =1e3π4-22<0，x 0∈-3π4,-π2 ，f (x 0)=e x 0+sin x 0=sin x 0-cos x 0=2sin x 0-π4，可知-1<f (x 0)<0，故D 正确.故选：BCD .39.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知函数f x =x x -1,x <15ln x x ,x ≥1，下列选项正确的是( )A.函数f x 的单调减区间为-∞,1 、e ,+∞B.函数f x 的值域为-∞,1C.若关于x 的方程f 2x -a f x =0有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是5e ,+∞ D.若关于x 的方程f 2x -a f x =0有5个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是1,5e 【答案】ACD试卷第1页，共3页【解析】对于A 选项，当x <1时，f x =x x -1，则f x =-1x -12<0，当x ≥1时，f x =5ln xx ，则f x =51-ln x x2，由f x <0可得x >e ，所以，函数f x 的单调减区间为-∞,1 、e ,+∞ ，A 对；对于B 选项，当x <1时，f x =1+1x -1<1，当x ≥1时，0≤f x =5ln x x ≤f e =5e，因此，函数f x 的值域为-∞,5e，B 错；对于CD 选项，作出函数f x 的图像如下图所示：若a ≤0，由f 2x -a f x =0可得f x =0，则方程f x =0只有两个不等的实根；若a >0，由f 2x -a f x =0可得f x =0或f x =a 或f x =-a ，由图可知，方程f x =0有2个不等的实根，方程f x =-a 只有一个实根，若关于x 的方程f 2x -a f x =0有3个不相等的实数根，则a >5e，C 对；若关于x 的方程f 2x -a f x =0有5个不相等的实数根，则1≤a <5e，D 对.故选：ACD .40.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f (x )=sin 4x +π3 +cos 4x -π6，则下列结论正确的是( )A.f (x )的最大值为2B.f (x )在-π8,π12上单调递增C.f (x )在[0,π]上有4个零点D.把f (x )的图象向右平移π12个单位长度，得到的图象关于直线x =-π8对称【答案】ACD【解析】因为f (x )=sin π2+4x -π6+cos 4x -π6 =2cos 4x -π6，所以A 正确；当x ∈-π8,π12 时，4x -π6∈-2π3,π6 ，函数f (x )=2cos 4x -π6 在-π8,π12上先增后减，无单调性，故B 不正确；令2cos 4x -π6 =0，得4x -π6=π2+k π,k ∈Z ，故x =π6+k π4,k ∈Z ，因为x ∈[0,π]，所以k =0,1,2,3，故C 正确；把f (x )=2cos 4x -π6 的图象向右平移π12个单位长度，得到y =2cos 4x -π12 -π6=。

2023年新高考数学选填压轴题好题汇编(二)

2023年新高考数学选填压轴题好题汇编(二)一、单选题1.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知a,b∈R，函数f(x)=x,x<013x3-12(a+1)x2+ax,x≥0 ，若函数y=f(x)-ax-b恰有三个零点，则()A.a<-1,b<0B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>02.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1-m2=2.5lg E2-lg E1.其中星等为m i的星的亮度为E i i=1,2.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是( )(当x 较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2)A.1.22B.1.24C.1.26D.1.283.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知函数f x =2sin2x-π3，若方程f x =23在(0，π)的解为x1，x2(x1<x2)，则sin x1-x2=( )A.-223B.223C.13D.-134.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A，B分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m.两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A，B两点在水平方向的距离约为( )A.23mB.25mC.27mD.29m5.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知a=4ln5π,b=5ln4π,c=5lnπ4，则a,b,c的大小关系是( )A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.c<b<a6.(2022·湖北·高三开学考试)已知直线l是曲线y=ln x与曲线y=x2+x的一条公切线，直线l与曲线y=x2 +x相切于点a,a2+a，则a满足的关系式为( )A.a2+1-ln2a+1=0 B.a2+1+ln2a+1=0C.a2-1-ln2a+1=0 D.a2-1+ln2a+1=07.(2022·湖北·高三开学考试)在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠PAB，AC=2AB=4，PA=PB=2，BC =23，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A.22πB.26πC.64π3D.68π38.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知函数f x =x 2-23ax 3(a >0)的定义域为R ，若对于任意的x 1∈3,+∞ ，都存在x 2∈1,+∞ ，使得f x 1 ⋅f x 2 =1，则a 的取值范围是( )A.0,13B.32,+∞C.13,12D.12,329.(2022·湖北·高三阶段练习)已知四面体D -ABC 中，AC =BC =AD =BD =1，则D -ABC 体积的最大值为( )A.4227B.328C.2327D.31810.(2022·湖北·高三阶段练习)恰有一个实数x 使得x 3-ax -1=0成立，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,32B.-∞,3322C.322D.-∞,32211.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与Γ交于A ，B 两点.若AF 2 =3F 2B ，AB =2AF 1 ，则Γ的离心率为( )A.15B.55C.105D.15512.(2022·湖北武汉·高三开学考试)若x +y -1=e x +2ln y 2，其中x >2，y >2，则下列结论一定成立的是( )A.2x >yB.2e x2>yC.x >yD.2e x >y13.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知a =e 0.2-1,b =ln1.2,c =tan0.2，其中e =2.71828⋯为自然对数的底数，则( )A.c >a >bB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c14.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知正实数C 满足：对于任意θ，均存在i ,j ∈Z ,0≤i ≤j ≤255，使得cos 2θ-ij≤C ，记C 的最小值为λ，则( )A.12000<λ<11000B.11000<λ<1500C.1500<λ<1200D.1200<λ<110015.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠(球)的表面上有四个点A ，B ，C ，P ，且球心O 在PC 上，AC =BC =4，AC ⊥BC ，tan ∠PAB =tan ∠PBA =62，则该鞠(球)的表面积为( )A.9π B.18πC.36πD.64π试卷第12页，共61页二、多选题16.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知函数f x =x 2π+cos x -π4x ∈R ，则下列说法正确的有( )A.直线y =0为曲线y =f (x )的一条切线B.f (x )的极值点个数为3C.f (x )的零点个数为4D.若f (x 1)=f (x 2)(x 1≠x 2)，则x 1+x 2=017.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f 1+x=-f 1-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 2+x -2，则( )A.f x 是以4为周期的周期函数 B.f 2021 +f 2022 =-2C.函数y =f x -log 2x +1 有3个零点D.当x ∈3,4 时，f x =x 2-9x +1818.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是圆O ：x 2+y 2=1上两点，则下列结论正确的是( )A.若AB =1，则∠AOB =π3B.若点O 到直线AB 的距离为12，则AB =32C.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为22D.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为419.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知定义在R 上的偶函数f x ，其导函数为f 'x ，当x ≥0时，f 'x +sin2x <0.则( )A.函数g x =f x -cos 2x 的图象关于y 轴对称B.函数g x =f x -cos 2x 在区间0,+∞ 上单调递减C.不等式f x -f x +π2 <cos2x 的解集为-∞,-π4D.不等式f x -f x +π2 <cos2x 的解集为-π4,+∞ 20.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知椭圆C ：x 2a +y 22=1(a >2)的离心率为33，过点P (1，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP =λPB.动点Q 满足AQ =-λQB ，则下列结论正确的是( )A.a =3B.动点Q 的轨迹方程为2x +3y -6=0C.线段OQ (O 为坐标原点)长度的最小值为31313D.线段OQ (O 为坐标原点)长度的最小值为6131321.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知函数f (x )满足∀x ∈R ，有f (x )=f (6-x )，且f (x +2)=f (x -2)，当x ∈[-1,1]时，f (x )=ln 1+x 2-x ，则下列说法正确的是( )A.f (2021)=0B.x ∈(2020,2022)时，f (x )单调递增C.f (x )关于点(1010,0)对称D.x∈(-1,11)时，方程f(x)=sinπ2x的所有根的和为3022.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知函数f x =e x+1e2x+k.则( )A.当k=0时，f x 是R上的减函数B.当k=1时，f x 的最大值为1+22C.f x 可能有两个极值点D.若存在实数a，b，使得g x =f x+a+b为奇函数，则k=-123.(2022·湖北·高三开学考试)已知双曲线C:x2-y224=1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则下列结论正确的是( )A.双曲线C的渐近线方程为y=±26xB.△PF1F2内切圆的半径为2C.PF1+ PF2=12D.点P到x轴的距离为24524.(2022·湖北·高三开学考试)已知函数f x =x-ax-bx-c的三个零点a，b，c满足a<b<c，a+b+c=9ab+bc+ca=24,则( )A.0<a<1B.2<b<4C.4<c<5D.b-4c-4的最小值是-9 425.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r(0<r<2)，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是( )A.当r=1时，V=73π3 B.V存在最大值C.当r在区间0,2内变化时，V逐渐减小 D.当r在区间0,2内变化时，V先增大后减小26.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A,B两点(其中A在B的上方)，O为坐标原点，过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA,OB,l于点P,Q,N.则( )A.若AF=2FB，则直线AB的斜率为22B.PM=NQC.若P,Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为22D.若P,Q不是线段MN的三等分点，则一定有PQ>OQ27.(2022·湖北·高三阶段练习)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方体的中心，M为DD1的中点，F为侧面正方形AA1D1D内一动点，且满足B1F⎳平面BC1M，则( )A.若P为正方体表面上一点，则满足△OPA的面积为22的点有12个B.动点F的轨迹是一条线段试卷第12页，共61页C.三棱锥F -BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D.若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为263,2228.(2022·湖北·高三阶段练习)[多选题]已知抛物线x 2=12y 的焦点为F ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )A.点F 的坐标为18,0B.若直线MN 过点F ，则x 1x 2=-116C.若MF =λNF ，则MN 的最小值为12D.若MF +NF =32，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为5829.(2022·湖北·高三阶段练习)画法几何的创始人--法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为22，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线l :bx +ay -a 2-b 2=0，则( )A.直线l 与蒙日圆相切B.C 的蒙日圆的方程为x 2+y 2=2a 2C.记点A 到直线l 的距离为d ，则d -AF 2 的最小值为43-62 b3D.若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为8b 230.(2022·湖北武汉·高三开学考试)设函数f x =sin ωx +π3(ω>0)，若f x 在[0，2π]有且仅有5个零点，则( )A.f x 在(0，2π)有且仅有3个极大值点B.f x 在(0，2π)有且仅有2个极小值点C.f x 在0，π10单调递增D.ω的取值范围是73，17631.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知数列a n 满足：a 1=1，a n =123a n -1+5a 2n -1+4 n ≥2 ，下列说法正确的是( )A.∀n ∈N ∗，a n ,a n +1,a n +2成等差数列B.a n +1=3a n -a n -1n ≥2C.2n -1≤a n ≤3n -1n ∈N *D.∀n ∈N *，a n ,a n +1,a n +2一定不成等比数列32.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)如图，ABCD 是边长为5的正方形，半圆面APD ⊥平面ABCD ．点P 为半圆弧AD上一动点(点P 与点A ，D 不重合)．下列说法正确的是( )A.三棱锥P -ABD 的四个面都是直角三角形B.三棱锥P 一ABD 体积的最大值为1254C.异面直线PA 与BC 的距离为定值D.当直线PB 与平面ABCD 所成角最大时，平面PAB 截四棱锥P -ABCD 外接球的截面面积为253-2 π433.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a ,b >0)的虚轴长为2，F 1,F 2为其左右焦点，P ,Q ,R 是双曲线上的三点，过P 作C 的切线交其渐近线于A ,B 两点.已知△PF 1F 2的内心I 到y 轴的距离为1.下列说法正确的是( )A.△ABF 2外心M 的轨迹是一条直线B.当a 变化时，△AOB 外心的轨迹方程为x 2+a 2y 2=(a 2+1)24C.当P 变化时，存在Q ,R 使得△PQR 的垂心在C 的渐近线上D.若X ,Y ,Z 分别是PQ ,QR ,PR 中点，则△XYZ 的外接圆过定点34.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知函数f x =x +1 e x,x <0x +12e x,x ≥0，下列选项正确的是( )A.函数f (x )在(-2，1)上单调递增B.函数f (x )的值域为-1e 2,+∞ C.若关于x 的方程f x 2-a f x =0有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是1e 2,4eD.不等式f x -ax -a >0在-1,+∞ 恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是3e 2,2e三、填空题35.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知函数f x =ax 2-2x +ln x 有两个不同的极值点x 1,x 2,且不等式f x 1 +f x 2 <x 1+x 2+t 恒成立,则t 的取值范围是__________．36.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且f (x +1)=f (1-x )，当x ∈0，1 时，f x =x ，若函数y =f (x )-log a (x +1)(a >0且a ≠1)有且仅有6个零点，则a 的取值范围是______．37.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)若直线l ：y =kx +b 为曲线f x =e x 与曲线g x =e 2⋅ln x 的公切线(其中e 为自然对数的底数，e ≈2.71828⋯)，则实数b =___________.38.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)在四棱锥P -ABCD 中，已知底面ABCD 是边长为43的正方形，其顶点P 到底面ABCD 的距离为3，该四棱锥的外接球O 的半径为5，若球心O 在四棱锥P -ABCD 内，则顶点P 的轨迹长度为___________.39.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知函数f x =e x sin x -ax 在-π,0 上单调递增，则实数a 的取值范围________.40.(2022·湖北·高三开学考试)记数列a n 的前n 项和为S n ，若a n =2n3n -49，则使得S n 取得最小值时n 的值为________.41.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)设a =15,b =2ln sin 110+cos 110 ,c =65ln 65，则a ,b ,c 的大小关系是___________.试卷第12页，共61页42.(2022·湖北·高三阶段练习)有一个棱长为6的正四面体，其中有一半径为64的球自由运动，正四面体内未被球扫过的体积为43.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则该正三棱锥体积的最大值为___________.44.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)如图，经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆x 2+y 2-4x +2y -20=0相交于A ，C ，B ，D 四点，M 为弦AB 的中点，有下列结论：①弦AC 长度的最小值为45；②线段BO 长度的最大值为10-5；③点M 的轨迹是一个圆；④四边形ABCD 面积的取值范围为205,45 ．其中所有正确结论的序号为______．45.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知函数f x =4e ln x -x 2x -e ln x+mx 存在4个零点，则实数m 的取值范围是__________．46.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 上任意一点P x 0,y 0 的切线方程为x 0x a 2+y 0y b 2=1．若已知△ABC 内接于椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，且坐标原点O 为△ABC 的重心，过A ，B ，C 分别作椭圆E 的切线，切线分别相交于点D ，E ，F ，则S△DEF S △ABC =______．47.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1､F 2，过F 1作圆O :x 2+y 2=a 2的切线l 切圆O 于点B 并与双曲线的右支交于点C ，若BC =CF 2 ，则双曲线的离心率为___________.四、双空题48.(2022·湖北·高三开学考试)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的准线l 与x 轴的交点为H ，抛物线C 的焦点为F ，过点H 的直线与抛物线C 交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点，BF =4AF ，则x2x 1=________；若AB 的中点到准线l 的距离为254，则p =_________.49.(2022·湖北·高三阶段练习)已知2a +4a 2+1 b +b 2+1 =1，则2a +b +b 2-4a 24a 2+1-b 2+1的最大值为_______，此时a +b =__________.50.(2022·湖北·高三阶段练习)如图，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3是全等的等腰直角三角形(OB 1=2，B i i =1,2,3 处为直角顶点)，且O ，A 1，A 2，A 3四点共线.若点P 1，P 2，P 3分别是边A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3上的动点(包含端点)，则OB 1 ⋅OP 3 =________，OB 2 ⋅OP 2的取值范围为_______.试卷第12页，共61页2023年新高考数学选填压轴题好题汇编(二)一、单选题1.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知a ,b ∈R ，函数f (x )=x ,x <013x 3-12(a +1)x 2+ax ,x ≥0，若函数y =f (x )-ax -b 恰有三个零点，则()A.a <-1,b <0B.a <-1,b >0C.a >-1,b <0D.a >-1,b >0【答案】C【解析】当x <0时，y =f (x )-ax -b =x -ax -b =(1-a )x -b =0，得x =b1-a；y =f (x )-ax -b 最多一个零点；当x ≥0时，y =f (x )-ax -b =13x 3-12(a +1)x 2+ax -ax -b =13x 3-12(a +1)x 2-b ，y ′=x 2-(a +1)x ，当a +1≤0，即a ≤-1时，y ′≥0，y =f (x )-ax -b 在[0，+∞)上递增，y =f (x )-ax -b 最多一个零点．不合题意；当a +1>0，即a >-1时，令y ′>0得x ∈[a +1，+∞)，函数递增，令y ′<0得x ∈[0，a +1)，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y =f (x )-ax -b 恰有3个零点⇔函数y =f (x )-ax -b 在(-∞,0)上有一个零点，在[0，+∞)上有2个零点，如图：∴b1-a <0且-b >013(a +1)3-12(a +1)(a +1)2-b <0，解得b <0，1-a >0，0>b >-16(a +1)3,∴a >-1．故选C ．2.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus )在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M .R .Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=2.5lg E 2-lg E 1 .其中星等为m i 的星的亮度为E i i =1,2 .已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是( )(当x 较小时，10x ≈1+2.3x +2.7x 2)A.1.22 B.1.24C.1.26D.1.28【答案】C【解析】若“天津四”的亮度是E ，则“心宿二”的亮度是rE ，∴1.25-1=2.5⋅(lg rE -lg E )，即lg rE E =lg r =110，∴r =100.1≈1+2.3×0.1+2.7×(0.1)2=1.257.故选：C .3.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知函数f x =2sin 2x -π3 ，若方程f x =23在(0，π)的解为x 1，x 2(x 1<x 2)，则sin x 1-x 2 =( )A.-223B.223C.13D.-13【答案】A【解析】因为x ∈0,π ，所以2x -π3∈-π3,5π3 ，又因为x 1,x 2是sin 2x -π3 =13的两根，结合图象可知x 1+x 22=5π12，所以x 2=5π6-x 1，所以sin x 1-x 2 =sin 2x 1-5π6 =-cos 2x 1-π3 ，又因为x 1<x 2,x 2=5π6-x 1，所以0<x 1<5π12，所以2x 1-π3∈-π3,π2 ，所以cos 2x 1-π3 =223，所以sin x 1-x 2 =-223.故选：A .4.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)2022年北京冬奥会成功举办，更加激发全国人民对冰雪运动的爱好，某地为响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场.该滑雪场中某滑道的示意图如图所示，点A ，B 分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m .两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图象的一部分.综合滑行的安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面所成的夹角约为44°.若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A ，B 两点在水平方向的距离约为( )A.23m B.25mC.27mD.29m【答案】D【解析】以滑道的最陡处为原点O 建立平面直角坐标系，由题意可知，O 为AB 的中点，设三次函数的解析式为f x =ax 3+bx 2+cx ，其中a ≠0，设点A -x 0,10 ，则B x 0,-10 ，f x =3ax 2+2bx +c ，在滑道最陡处，x =0，则f x 的对称轴为直线x =0，则-b3a=0，可得b =0，则f x =3ax 2+c ,f x =ax 3+cx ，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为α，则f 0 =c =tan α+π2 =sin α+π2cos α+π2 =-cos αsin α=-1tan α，所以fx=ax 3-x tan α,f x =3ax 2-1tan α，由图可知f (x 0)=3ax 02-1tan α=0f (x 0)=ax 03-x 0tan α=-10可得2x 0=30tan α,，因为α≈44∘，则2x 0=30tan α≈28.97≈29m .故选：D .5.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知a =4ln5π,b =5ln4π,c =5lnπ4，则a ,b ,c 的大小关系是( )A.c <a <bB.a f4 >f5 ，即lnππ>ln44>ln55，可得4lnπ>πln4，5ln4>4ln5，所以lnπ4>ln4π，5πln4>4πln5，所以5lnπ4>5ln4π，5ln4π>4ln5π，即c>b，b>a.所以a<b<c.故选：B.6.(2022·湖北·高三开学考试)已知直线l是曲线y=ln x与曲线y=x2+x的一条公切线，直线l与曲线y=x2 +x相切于点a,a2+a，则a满足的关系式为( )A.a2+1-ln2a+1=0 B.a2+1+ln2a+1=0C.a2-1-ln2a+1=0 D.a2-1+ln2a+1=0【答案】C【解析】记y=f(x)=ln x得f (x)=1x,记g(x)=x2+x得g x =2x+1，设直线l与曲线f x =ln x相切于点b,ln b，由于l是公切线，故可得f b =g (a)g(a)-f(b)a-b=g a ，即1b=2a+1a2+a-ln ba-b=g (a)=2a+1化简得a2-1-ln2a+1=0，故选：C7.(2022·湖北·高三开学考试)在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠PAB，AC=2AB=4，PA=PB=2，BC =23，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为( )A.22πB.26πC.64π3D.68π3【答案】A【解析】PA2+PB2=AB2⇒PA⊥PB，且∠PAB=45∘，∴∠PAC=∠PAB=45∘，在△PAC中，根据余弦定理得，PC2=AC2+AP2-2AC⋅AP⋅cos∠PAC=16+2-2×4×2×22=10，∴PB2+PC2=2+10=12=BC2，∴PB⊥PC，又PA∩PC=P，PA,PC⊂平面PAC，∴PB⊥平面PAC，故可将三棱锥B -APC 补为直三棱柱BA 1C 1-PAC ，则直三棱柱BA 1C 1-PAC 的外接球即为三棱锥P -ABC 的外接球，设△PAC 外接圆圆心为O 2，△A 1BC 1的外接圆圆心为O 1，则直三棱柱的外接球球心为O 1O 2中点O ，OA 即为外接球的半径.在△PAC 中，根据正弦定理可得2O 2A =PC sin ∠PAC =1022=25，∴O 2A =5，∴OA 2=OO 22+O 2A 2=O 1O 22 2+O 2A 2=22 2+5=112，∴外接球表面积为：4π⋅OA 2=4π×112=22π．故选：A ．8.(2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习)已知函数f x =x 2-23ax 3(a >0)的定义域为R ，若对于任意的x 1∈3,+∞ ，都存在x 2∈1,+∞ ，使得f x 1 ⋅f x 2 =1，则a 的取值范围是( )A.0,13B.32,+∞C.13,12D.12,32【答案】D【解析】因为f x =x 2-23ax 3，所以f x =2x -2ax 2=2x (1-ax )，f (1)=1-2a3，f (3)=9-18a ，令f x =0，可得x =0或x =1a，当0<a ≤1时，x ∈1,1a ，则f (x )>0，x ∈1a ,+∞ ，则f (x )<0，所以函数f (x )在1,1a 上单调递增，函数f (x )在1a,+∞ 上单调递减，当a >1时，x ∈(1,+∞)时，f (x )<0，所以函数f (x )在(1,+∞)上为减函数，设g (x )=1f (x )，因为对于任意的x 1∈3,+∞ ，都存在x 2∈1,+∞ ，使得f x 1 ⋅f x 2 =1，所以对于任意的x 1∈3,+∞ ，都存在x 2∈1,+∞ ，使得f x 2 =g x 1 ，所以函数g (x )在(3,+∞)上的值域包含与函数f (x )在(1,+∞)上值域，当a ≥1时，9-18a <0，1a≤1函数f (x )在(1,+∞)上为减函数，函数f (x )在(1,+∞)上的值域为-∞,1-2a3 ，函数f (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,9-18a ，所以函数g (x )在(3,+∞)上的值域为19-18a ,0，由已知19-18a ,0 ⊆-∞,1-2a3 ，所以1-2a 3≥0，又a ≥1，所以1≤a ≤32，(注：由此可排除A ，B ，C )当0<a ≤13时，1-2a 3≥0，9-18a >0，1a≥3函数f (x )在1,1a 上单调递增，函数f (x )在1a,+∞ 上单调递减，函数f (x )在(1,+∞)上的值域为-∞,1a 2 ，函数f (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,1a2 ，试卷第12页，共61页所以函数g (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,0 ∪(a 2,+∞)，与已知矛盾，当13<a <12时，1-2a 3≥0，9-18a >0，2<1a<3因为函数f (x )在1,1a 上单调递增，函数f (x )在1a,+∞ 上单调递减，所以函数f (x )在(1,+∞)上的值域为-∞,1a2 ，函数f (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,9-18a ，所以函数g (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,0 ∪19-18a,+∞ ，与已知矛盾，当a =12时，1-2a 3>0，9-18a =0，1a=2x ∈1,2 ，则f (x )>0，x ∈2,+∞ ，则f (x )<0，所以函数f (x )在1,2 上单调递增，函数f (x )在2,+∞ 上单调递减，所以函数f (x )在(1,+∞)上的值域为-∞,4 ，函数f (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,0 ，所以函数g (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,0 ，-∞,0 ⊆-∞,4 ，满足要求当12<a <1时，1-2a 3>0，9-18a <0，1<1a<2函数f (x )在1,1a 上单调递增，函数f (x )在1a,+∞ 上单调递增所以函数f (x )在(1,+∞)上的值域为-∞,1a 2 ，函数f (x )在(3,+∞)上的值域为-∞,9-18a ，所以函数g (x )在(3,+∞)上的值域为19-18a ,0 ，19-18a ,0 ⊆-∞,1a2 ，满足要求，综上所述，12≤a ≤32，故选：D .9.(2022·湖北·高三阶段练习)已知四面体D -ABC 中，AC =BC =AD =BD =1，则D -ABC 体积的最大值为( )A.4227B.328C.2327D.318【答案】C【解析】设M 为CD 的中点，连接AM ,BM ,设四面体A -BCD 的高为h ，则h ≤AM ,由于AC =BC =AD =BD =1，故△ACD ≌△BCD ,则∠ACD =∠BCD ,设∠ACD =∠BCD =α,α∈0,π2，则AM =BM =BC sin α=sin α,CD =2CM =2BC cos α=2cos α,所以V D -ABC =V A -DBC =13S △BCD ⋅h ≤16CD ⋅BM ⋅AM=13cos αsin 2α=1322cos 2α⋅sin 2α⋅sin 2α≤1322cos 2α+sin 2α+sin 2α3 3=2327，当且仅当平面ACD 与平面BCD 垂直且sin α=2cos α即α=arctan2时取等号，故选：C10.(2022·湖北·高三阶段练习)恰有一个实数x 使得x 3-ax -1=0成立，则实数a 的取值范围为( )A.-∞,32B.-∞,3322C.322D.-∞,322【答案】B【解析】当x =0时，-1=0不成立，所以x =0不是方程的根，故对原方程转化为a =x 2-1x ，故转化为y =a 与f (x )=x 2-1x仅有一个交点，构造f (x )=x 2-1x ，f (x )=2x +1x 2=2x 3+1x 2，当1-32<x <0或x >0时，f (x )>0，当x <1-32时，f x<0，故函数f (x )在-∞,1-32单调递减，在1-32,0和0,+∞单调递增，又f 1-32=3322，当x →-∞时，f (x )→+∞，x →+∞时，f (x )→+∞，且x →0-时，f (x )→+∞，x →0+时，f (x )→-∞，故要使得y =a 与f (x )仅有一个交点，即a 的取值范围是-∞,3322故选：B ．11.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与Γ交于A ，B 两点.若AF 2 =3F 2B ，AB =2AF 1 ，则Γ的离心率为( )A.15B.55C.105D.155【答案】C【解析】设F 2B =m ,则AF 2 =3m ,AB =2AF 1 =4m .由椭圆的定义可知BF 1 +BF 2 =2a =5m ,所以m =25a ,所以AF 2 =65a ,AF 1 =45a .在△ABF 1中,cos A =AB 2+AF 12-BF 122AB ×AF 1=8a 5 2+4a 5 2-8a 5 228a 5×4a 51=14.所以在△AF 1F 2中,F 1F 22=AF 1 2+AF 2 2-2AF 1 AF 2 cos A ,即4c 2=4a 5 2+4a 5 2-24a 5 2×14整理可得：e 2=c 2a 2=25,所以e =105故选：C 12.(2022·湖北武汉·高三开学考试)若x +y -1=e x +2ln y2，其中x >2，y >2，则下列结论一定成立的是( )A.2x >y B.2e x2>yC.x >yD.2e x >y【答案】D试卷第12页，共61页【解析】因为x +y -1=e x +2ln y2，其中x >2，y >2，所以e x -x =y -1-2ln y 2=2y 2-1-2ln y 2=y 2-1-ln y 2+y 2-ln y2，其中x >2，y >2，令y =x -1-ln x ，y =1-1x =x -1x，故x ∈0,1 时，y =x -1x <0，y =x -1-ln x 单调递减，x ∈1,+∞ 时，y =x -1x>0，y =x -1-ln x 单调递增，所以y =x -1-ln x ≥0，即x -1≥ln x ，当且仅当x =1时等号成立，所以y 2-1>ln y2,y >2，所以e x -x >y 2-lny2故令f x =e x -x ,x >2，则e x -x >y 2-ln y 2等价于f x >f ln y2，因为f x =e x -1>0,x >2，故函数f x =e x -x 在2,+∞ 单调递增，所以f x >f ln y 2 等价于x >ln y 2，即x =ln e x >lny2所以e x >y2，即2e x >y .故选：D13.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知a =e 0.2-1,b =ln1.2,c =tan0.2，其中e =2.71828⋯为自然对数的底数，则( )A.c >a >b B.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c【答案】B【解析】令f (x )=e x -1-tan x =cos x e x -cos x -sin x cos x ，0<x <π4，令g (x )=cos x e x -cos x -sin x ，g (x )=(-sin x +cos x )e x+sin x -cos x =(e x -1)⋅(cos x -sin x )，当0<x <π4时，g (x )>0，g (x )单调递增，又g (0)=1-1=0，所以g (x )>0，又cos x >0，所以f (x )>0，在0,π4成立，所以f (0.2)>0即a >c ，令h (x )=ln (x +1)-x ，h (x )=1x +1-1=-x x +1，h (x )在x ∈0,π2为减函数，所以h (x )<h (0)=0，即ln (x +1)<x ，令m (x )=x -tan x ，m (x )=1-1cos 2x ，m (x )在x ∈0,π2 为减函数，所以m (x )<m (0)=0，即x <tan x ，所以ln (x +1)<x <tan x ，x ∈0,π2成立，令x =0.2，则上式变为ln (0.2+1)<0.2<tan0.2，所以b <0.2<c 所以b <c ，所以b <c <a .故答案为：B .14.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)已知正实数C 满足：对于任意θ，均存在i ,j ∈Z ,0≤i ≤j ≤255，使得cos 2θ-ij≤C ，记C 的最小值为λ，则( )A.12000<λ<11000B.11000<λ<1500C.1500<λ<1200D.1200<λ<1100【答案】B【解析】题设等价于对于任意x ∈0,1 ，均存在i ,j ∈Z ,0≤i ≤j ≤255，使得x -i j≤C ，将i j在数轴上表示如下：当x 与上述数轴上的点重合时，易得存在i ,j ∈Z ,0≤i ≤j ≤255使得x -i j =0，又C 为正实数，则x -i j≤C 成立；当x 与上述数轴上的点不重合时，假设在相邻的两个点i 1j 1,i 2j 2之间，则x -i 1j 1 ≤12i 2j 2-i 1j 1，当且仅当x 在相邻的两个点i 1j 1,i 2j 2中点时取等，要使对于任意x ∈0,1 ，均存在i ,j ∈Z ,0≤i ≤j ≤255，使得x -i j ≤C ，则有C ≥12i 2j 2-i 1j 1，又数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为1255-0=1-254255=1255，此时x 在相邻的两个点0,1255或254255,1中点，则C ≥12×1255=1510.以下说明数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为1255，易得数轴上k 255,k +1255k ∈Z ,0≤k ≤254 两点之间的距离为1255，当k =0或k =254，0,1255和254255,1为相邻的两点，之间的距离为1255；当1≤k ≤253时，则k 255<k254<k +1255，即k 255,k +1255之间必存在点k 254，可得相邻的两点之间的距离小于1255，综上可得数轴上所有相邻的两个点之间距离最大为1255.故λ=1510，故11000<λ<1500.故选：B .15.(2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试)蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠(球)的表面上有四个点A ，B ，C ，P ，且球心O 在PC 上，AC =BC =4，AC ⊥BC ，tan ∠PAB =tan ∠PBA =62，则该鞠(球)的表面积为( )A.9πB.18πC.36πD.64π【答案】C【解析】如图，取AB 的中点M ，连接MP ，由AC =BC =4，AC ⊥BC 得：AB =42，试卷第12页，共61页由tan ∠PAB =tan ∠PBA =62，得：MP =22×62=23，连接CM 并延长，交球O 于点H ，连接PH ，因为PC 球O 的直径，设球的半径为R ，则PH ⊥CH ，MH =12CH =12AB =22，则PH =PM 2-MH 2=12-8=2，所以2R 2=PC 2=CH 2+PH 2=42 2+4=36，解得：R =3，球的表面积为4πR 2=36π.故选：C 二、多选题16.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知函数f x =x 2π+cos x -π4x ∈R ，则下列说法正确的有( )A.直线y =0为曲线y =f (x )的一条切线B.f (x )的极值点个数为3C.f (x )的零点个数为4D.若f (x 1)=f (x 2)(x 1≠x 2)，则x 1+x 2=0【答案】AB 【解析】因为f x =x 2π+cos x -π4x ∈R ，所以f x =2x π-sin x x ∈R ，令f x =0，即2xπ=sin x ，令y 1=sin x ，y 2=2xπ，在同一坐标系中作出两函数的图像，由图像得：当x ∈π2,+∞和x ∈-π2,0 时，sin x <2x π，所以此时f x >0，所以f x 在-π2,0 和π2,+∞ 上单调递增；当x ∈-∞,-π2 和x ∈0，π2 时，sin x >2xπ，所以此时f x <0，所以f x 在-∞，-π2 和0,π2 上单调递减；且f 0 =1-π4，f π2 =π2 2π+cos π2-π4=0，f -π2 =-π2 2π+cos -π2 -π4=0，作出函数f x 的图象如下图所示：对于A 选项：根据函数的图象，知A 选项正确；对于B ：由图象得f x =0有3个不同的解，有3个极值点，故B 正确；对于C ：当x =π2或x =-π2时，f x =0，所以函数f x 有2个零点，故C 不正确；对于D ：因为f -x =-x 2π+cos -x -π4=x 2π+cos x -π4=f x ，所以函数f x 是偶函数，所以函数f x 关于y 轴对称，若f x 1 =f x 2 ，则当x 1=0≠x 2时，f 0 =f x 2 =1-π4，此时即x 1+x 2=x 2≠0，故D 不正确.故选：AB .17.(2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f 1+x=-f 1-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 2+x -2，则( )A.f x 是以4为周期的周期函数 B.f 2021 +f 2022 =-2C.函数y =f x -log 2x +1 有3个零点D.当x ∈3,4 时，f x =x 2-9x +18【答案】ACD【解析】依题意，f x 为偶函数，且f 1+x =-f 1-x ⇒f x 关于1,0 对称，则f x +4 =f 1+x +3 =-f 1-x +3 =-f -2-x=-f -2+x =-f 2+x =-f 1+1+x =f 1-1+x =f -x =f x ，所以f x 是周期为4的周期函数，A 正确.因为f x 的周期为4，则f 2021 =f 1 =0，f 2022 =f 2 =-f 0 =2，所以f 2021 +f 2022 =2，B 错误；作函数y =log 2x +1 和y =f x 的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C 正确；当x ∈3,4 时，4-x ∈0,1 ，则f x =f -x =f 4-x =4-x 2+4-x -2=x 2-9x +18，D 正确.故选：ACD18.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是圆O ：x 2+y 2=1上两点，则下列结论正确的是( )A.若AB =1，则∠AOB =π3B.若点O 到直线AB 的距离为12，则AB =32C.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为22D.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为4【答案】AD【解析】对于A ，若AB =1，则可知点O 到AB 的距离为32，从而可知∠AOB =π3，故A 正确；对于B ，若点O 到直线AB 的距离为12，则可知AB 2=32，从而得AB =3，故B 错误；试卷第12页，共61页对于C ，D ，x 1+y 1-12+x 2+y 2-12的值可转化为单位圆上的A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点到直线x +y -1=0的距离之和，又∠AOB =90∘，所以三角形AOB 是等腰直角三角形，设M 是AB 的中点，则OM ⊥AB ，且OM =22OA =22，则M 在以O 点为圆心，半径为22的圆上，A ,B 两点到直线x +y -1=0的距离之和为AB 的中点M 到直线x +y -1=0的距离的两倍.点O 0,0 到直线x +y -1=0的距离为12=22，所以点M 到直线x +y -1=0的距离的最大值为22+22=2，所以x 1+y 1-1 2+x 2+y 2-12的最大值为2 2.因此x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为4.从而可知C 错误，D 正确..故选：AD .19.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知定义在R 上的偶函数f x ，其导函数为f 'x ，当x ≥0时，f 'x +sin2x <0.则( )A.函数g x =f x -cos 2x 的图象关于y 轴对称B.函数g x =f x -cos 2x 在区间0,+∞ 上单调递减C.不等式f x -f x +π2 <cos2x 的解集为-∞,-π4D.不等式f x -f x +π2 <cos2x 的解集为-π4,+∞ 【答案】ABC【解析】对于选项A ，由g -x =f -x -cos 2-x =f x -cos 2x ，所以g x 为偶函数，所以函数g x =f x -cos 2x 的图象关于y 轴对称.故A 正确；对于选项B ，由g x =f x -cos 2x 为偶函数.当x ≥0时，g x =f x +sin2x <0，所以g x 在0,+∞ 上单调递减，故g x 在-∞,0 上单调递增.故B 正确；对于C 、D 选项，由f x -f x +π2 <cos2x ，得f x -f x +π2<cos 2x -sin 2x ，所以f x +π2 -sin 2x >f x -cos 2x ，即f x +π2 -cos 2x +π2 >f x -cos 2x ，所以g x +π2 >g x .所以x +π2 <x ，解得x <-π4.所以C 正确，D 错误，故选：ABC .20.(2022·湖南·长沙一中高三开学考试)已知椭圆C ：x 2a +y 22=1(a >2)的离心率为33，过点P (1，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP =λPB.动点Q 满足AQ =-λQB ，则下列结论正确的是( )A.a =3B.动点Q 的轨迹方程为2x +3y -6=0C.线段OQ (O 为坐标原点)长度的最小值为31313D.线段OQ (O 为坐标原点)长度的最小值为61313【答案】ABD【解析】对于A ：由椭圆C :x 2a +y 22=1(a >2)的离心率为33，得1-2a =33，所以a =3，故A 正确；对于B ：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,Q m ,n ,∴AP =1-x 1,1-y 1 ,PB=x 2-1,y 2-1 ,AQ =(m -x 1,n -y 1),QB =(x 2-m ,y 2-n )，由AP =λPB ,AQ =-λQB ，得1-x 1=λx 2-1 ,m -x 1=-λx 2-m ,∴x 1+λx 2=1+λ,x 1-λx 2=m 1-λ ,两式相乘得x 21-λ2x 22=m 1-λ2，同理可得y 21-λ2y 22=n 1-λ2,∴x 213+y 212-λ2x 223+y 222=1-λ2 m 3+n 2，由题意知λ>0且λ≠1，否则与AQ =-λQB矛盾，∴m 3+n 2=1,∴动点Q 的轨迹方程为x3+y 2=1，即直线2x +3y -6=0，故B 正确；对于C 、D ：所以线段OQ 长度的最小值即为原点到直线的距离，∴OQ min =64+9=61313，故C 错误，D 正确.故选：ABD .21.(2022·湖北·宜都二中高三开学考试)已知函数f (x )满足∀x ∈R ，有f (x )=f (6-x )，且f (x +2)=f (x -2)，当x ∈[-1,1]时，f (x )=ln 1+x 2-x ，则下列说法正确的是( )A.f (2021)=0B.x ∈(2020,2022)时，f (x )单调递增C.f (x )关于点(1010,0)对称D.x ∈(-1,11)时，方程f (x )=sin π2x的所有根的和为30【答案】CD【解析】由题设知：f (-x )=ln (1+x 2+x )=ln11+x 2-x=-ln (1+x 2-x )=-f (x )，故f (x )在x ∈[-1,1]上为奇函数且单调递减，又f (x +2)=f (4-x )=f (x -2)，即关于x =2k +1、(2k ,0)，k ∈Z 对称，且最小周期为4，A.f (2021)=f (505×4+1)=f (1)=ln (2-1)≠0，错误；B.x ∈(2020,2022)等价于x ∈(0,2)，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故f (x )不单调，错误；C.由上知：f (x )关于(2k ,0)对称且k ∈Z ，所以f (x )关于(1010,0)对称，正确；D.由题意，只需确定f (x )与y =sin πx2在x ∈(-1,11)的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于x =5对称，则x 1+x 6=x 2+x 5=x 3+x 4=10，∴所有根的和为30，正确.故选：CD试卷第12页，共61页。

高考数学选填压轴题练习与答案

高考数学选填压轴题练习与答案一．选择题（共25小题）1．数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），若b n=a n cos2nπ3，且数列{b n}的前n项和为S n，则S11＝（）A．64B．80C．﹣64D．﹣80【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），则a n+1n+1=a nn+1，可得数列{a nn}是首项为1、公差为1的等差数列，即有a nn=n，即为a n＝n2，则b n=a n cos2nπ3=n2cos2nπ3，则S11=−12（12+22+42+52+72+82+102+112）+（32+62+92）=−12（12+22﹣32﹣32+42+52﹣62﹣62﹣72+82﹣92﹣92+102+112）=−12×（5+23+41+59）＝﹣64．故选：C．2．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），f（π6+x）＝﹣f（π6−x），f（π2+x）＝f（π2−x），下列四个结论：①φ=π4；②ω=92+3k（k∈N）；③f（−π2）＝0；④直线x=−π3是f（x）图象的一条对称轴．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），f（x）图象的一条对称轴是直线x=π2，所以f（π2+x）＝f（π2−x），由f （x ）的一个零点为π6，所以f （π6+x ）＝﹣f （π6−x ），整理得T 4+k ⋅T 2=π2−π6=π3，所以T =4π3(1+2k)，故ω=2πT=32+3k （k ∈Z ），故②错误；当k ＝1时，f （x ）＝sin （92x +φ），把（π6，0）代入关系式，得到sin （3π4+φ）＝0，由于0＜φ＜π2，所以φ=π4，故①正确；对于f （−π3）＝sin （92⋅π3+π4）≠±1，故④错误； f （−π2）＝sin[92⋅(−π2)+π4]＝sin （﹣2π）＝0，故③正确．故选：B ．3．已知四面体ABCD 的四个顶点都在以AB 为直径的球R 面上，且BC ＝CD ＝DB ＝2，若四面体ABCD 的体积是4√23，则这个球面的面积是（）A ．16πB ．323πC ．4πD ．763π【解答】解：由题意，几何体的直观图如图，四面体ABCD 的体积是4√23，可得O 到平面BCD 的距离为h ，13×√34×22×2ℎ=4√23，解得h =2√63，所以外接球的半径为R ＝OB ＝OD ＝OC ＝OA =(2√63)(23√32=2，所以外接球的表面积为：4π×22＝16π．故选：A ．4．已知函数f （x ）={log 2x ，x ＞114x +1，x ≤1，g （x ）＝f （x ）﹣kx ，若函数g （x ）有两个零点，则k 的取值范围是（） A ．（0，14]B ．（0，1eln2） C ．[0，1e）D ．[14，1eln2）【解答】解：函数f （x ）={log 2x ，x ＞114x +1，x ≤1，作出f （x ）的图象与y ＝kx 图象有两个交点，（如图）设y ＝kx 与y ＝log 2x 的切点为（x 0，y 0），可得{y 0=kx 0y 0=log 2x 01k =x 0ln2，解得x 0＝e ，∴相切时的斜率k =1eln2．故得f （x ）的图象与y ＝kx 图象有两个交点时，14≤k ＜1eln2．故选：D ．5．已知F 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点，椭圆E 上一点P （2，1）关于原点的对称点为Q ，若△PQF 的周长为4√2+2√5．则离心率e ＝（）A．√32B．√22C．√33D．√23【解答】解：∵P与Q关于原点对称，则Q（﹣2，﹣1），∴|PQ|＝2√12+22=2√5，又三角形PQF的周长为|QP|+|PF|+|QF|＝4√2+2√5，∴|PF|+|QF|＝4√2，设椭圆的右焦点为M，则由椭圆的性质可得|PF|＝|QM|，∴|QM|+|QF|＝2a＝4√2，得a＝2√2，将点P代入椭圆方程可得：48+1b2=1，解得b=√2，∴c=√a2−b2=√6．则离心率e=ca =√62√2=√32．故选：A．6．对于函数y＝f（x）与y＝g（x），若存在x0，使f（x0）＝g（﹣x0），则称M（x0，f（x0）），N（﹣x0，g（﹣x0））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”．已知函数f（x）＝m（x+1），g(x)=lnxx，函数f（x）与g（x）的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）【解答】解：∵f（x）＝m（x+1）恒过定点（﹣1，0），f（x）关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝﹣m（x﹣1）依题意可得，y＝﹣m（x﹣1）与g（x）=lnxx有2个交点，由g(x)=lnxx ，得g′（x）=1−lnxx2，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，而y＝﹣m（x﹣1）恒过定点（1，0），作出函数g（x）=lnxx的图象如图，当直线y＝﹣m（x﹣1）与g(x)=lnxx切于（1，0）时，由导数的几何意义可得，﹣m=1−ln112=1，则要使y ＝﹣m （x ﹣1）与g （x ）=lnx x有2个交点，则﹣m ＞0且﹣m ≠1，∴实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．故选：D ．7．已知函数f （x ）={|xlnx|，x ＞0|x(x +1)|，x ⩽0，关于x 的方程f 2（x ）+tf （x ）+1＝0（t ∈R ）有8个不同的实数根，则t 的取值范围是（） A ．（−1e −e ，+∞） B ．（−2e ，−12）∪（﹣∞，−1e −e ）C ．（﹣∞，−174）D ．（2，+∞）∪（﹣∞，−174）【解答】解：当x ＞0时，f （x ）＝|xlnx |，令F （x ）＝xlnx ，F ′（x ）＝lnx +1，令F ′（x ）＝lnx +1＝0，解得x =1e，F （1e）=−1e，f （1e）=1e，故当x ＞0时，函数f （x ）在（0，1e ）上单调递增，在（1e ，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当x ＜0时，可得函数f （x ）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，−12）上单调递增，在（−12，0）上单调递减．又f （−12）=14，f （1e ）=1e ，故刻画出函数f （x ）的大致图象如图：令m ＝f （x ），则已知方程可化为m 2+tm +1＝0．观察图象可知，当m ＞1e 时，只有2个交点；当m =1e 时，有3个交点；当14＜m ＜1e 时，有4个交点；当0＜m ＜14时，有6个交点．要想满足题意，则只需使得方程m 2+tm +1＝0在（14，1e ）上存在两个不同实数根，或在（1e ，+∞）和（0，14）上各有1个根，方程m 2+tm +1＝0的两根之积为1，令g （m ）＝m 2+tm +1，由题意，{g(14)＜0g(4)＜0，解得t ＜−174，即t 的取值范围是（﹣∞，−174）．故选：C ．8．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体棱上一点，若满足|PB |+|PC 1|＝d 的点P 的个数为4．则d 的取值范围为（） A ．（√2，2）B ．（√2，2√2）C ．[2，1+√3）D ．（1+√3，2√2）【解答】解：点P 分别在BB 1，BC ，CC 1，B 1C 1上运动时，m 的取值范围是[√2，2]，当点P 分别在C 1D 1，AB 上运动时，m 的取值范围是[√2，1+√3]，当点P 分别在棱A 1B 1，CD 上运动时，m 的取值范围是[2，2√2]，当P 分别在棱A 1D 1，DD 1，AD ，AA 1上运动时，m 的取值范围是[√4+2√2，2√2]，由结合图形可知，点P 在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m 的值是一一对应的，当|PB |+|PC 1|＝d 的点P 的个数为4，则d 的取值范围为[2，1+√3），故选：C ．9．已知不相等的两个正实数x ，y 满足x 2﹣y ＝4（log 2y ﹣log 4x ），则下列不等式中不可能成立的是（）A．x＜y＜1B．y＜x＜1C．1＜x＜y D．1＜y＜x【解答】解：由已知x2﹣y＝4（log2y﹣log4x），因为2log4x＝log2x，所以原式可变形为x2+2log2x＝y+4log2y，令f（x）＝x2+2log2x，g（x）＝x+4log2x，函数f（x）与g（x）均为（0，+∞）上的增函数，且f（x）＝g（y），且f（1）＝g（1），当x＞1时，f（x）＞1，g（y）＞1，y＞1，当x＜1时，f（x）＜1，g（y）＜1，y＜1，要比较x与y的大小，只需比较g（x）与g（y）的大小，g（x）﹣g（y）＝g（x）﹣f（x）＝x+4log2x﹣x2﹣2log2x＝x﹣x2+2log2x，设h（x）＝x﹣x2+2log2x（x＞0），则h'（x）=1−2x+2xln2，故h'（x）在（0，+∞）上单调递减，又h'（1）=−1+2ln2＞0，h'（2）=−3+1ln2＜0，则存在x0∈（1，2）使得h'（x）＝0，所以当x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＜0，又因为h（1）＝0，h（x0）＞h（1）＝0，h（4）＝﹣12+4＝﹣8＜0，所以当x＜1时，h（x）＜0，当x＞1时，h（x）正负不确定，故当x＜1，y＜1时，h（x）＜0，所以g（x）＜g（y）＜g（1），故x＜y＜1，当x＞1，y＞1时，h（x）正负不定，所以g（x）与g（y）的正负不定，所以x＞y＞1，x＝y＞1，y＞x＞1均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可能．故选：B．10．正实数a，b，c满足a+2﹣a＝2，b+3b＝3，c+log4c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【解答】解：c+log4c＝4⇒log4c＝4﹣c，即c 为函数y ＝log 4x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标； b +3b ＝3⇒1+3b ＝4﹣b ，即b 为函数y ＝1+3x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标； a +2﹣a ＝2⇒2+12a =4−a ，即a 为函数y =2+12x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标；在同一坐标系中画出图象，可得b ＜a ＜c ．故选：A ．11．《九章算术》是我国古代数学经典名著，堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．已知某鳖臑A ﹣BCD 的外接球半径为1，则该鳖臑A ﹣BCD 的体积最大值为（） A ．49√3B ．427√3C ．94√3D ．316√3【解答】解：四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图：某鳖臑A ﹣BCD 的外接球半径为1，可知CD ＝2，设AB ＝a ，BC ＝b ，AD ＝c ，所以a 2+b 2+c 2＝4，可得4＝a 2+b 2+c 2≥3√(abc)23，所以abc ≤√4333=8√39．当且仅当a ＝b ＝c =2√33时，取等号．该鳖臑A ﹣BCD 的体积：13×12abc ≤16×8√39=4√327．故选：B ．12．已知抛物线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（3，1），圆Q过A，B，C三点，当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线l方程为（）A．x﹣3y＝0B．3x﹣y+1＝0C．√3x﹣y﹣1＝0D．x−√3y＝0【解答】解：y＝x2+mx﹣2与x轴交于A，B，设两点A（x1，0），B（x2，0），设圆Q的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，取y＝0，可得x2+Dx+F＝0．则方程x2+Dx+F＝0与方程x2+mx﹣2＝0等价，则D＝m，F＝﹣2，则圆的方程为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0．∵圆Q过C（3，1），∴10+3m+E﹣2＝0，即E＝﹣8﹣3m，得圆Q的方程为x2+y2+mx﹣（8+3m）y﹣2＝0，即x2+y2﹣8y﹣2+m（x﹣3y）＝0，由圆系方程可知，圆x2+y2﹣8y﹣2+m（x﹣3y）＝0经过圆x2+y2﹣8y﹣2＝0与直线x﹣3y＝0的交点，则圆Q被直线x﹣3y＝0所截弦长为定值．故选：A．+alnx+e2≥ax恒成立（e为自然对数的底数），则正实数a的取值范围是13．对任意x＞0，若不等式e xx（）A．（0，e]B．（0，e2]C．[2e ，e]D．[2e，e2]【解答】解：不等式e xx +alnx+e2≥ax可化为e xx−a（x﹣lnx）+e2≥0，即e xx−aln e xx+e2≥0；设t=e xx，其中x＞0；由e x≥ex知t≥e，所以f（t）＝t﹣alnt+e2（t≥e），只需证明f（t）的最小值f（t）min≥0即可；对函数f（t）求导数，得f′（t）＝1−at =t−at（t≥e），①当0＜a≤e时，f′（t）≥0恒成立，f（t）是[e，+∞）上的单调增函数，所以f（t）的最小值是f（t）min＝f（e）＝e﹣alne+e2≥0，解得a≤e2+e；又0＜a≤e，所以a的取值范围是（0，e]．②当a＞e时，f（t）在[e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以f（t）的最小值是f（t）min＝f（a）＝a﹣alna+e2≥0；设g（a）＝a﹣alna+e2，其中a＞e，则g′（a）＝1﹣lna﹣1＝﹣lna＜0，所以g（a）在（e，+∞）上是单调减函数；g（e2）＝e2﹣e2lne2+e2＝0，所以g（a）≥0时，a≤e2；由a＞e知，a的取值范围是（e，e2]；综上知，正实数a的取值范围是（0，e2]．故选：B．14．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是其右支上第一象限内的一点，直线PO，PF2分别交该双曲线左、右支于另两点A，B，若|PF1|＝2|PF2|，且∠AF2B＝60°，则该双曲线的离心率是（）A．√3B．√2C．2√33D．√52【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，由|PF1|＝2|PF2|，可得|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，结合双曲线性质可以得到|PO|＝|AO|，而|F1O|＝|F2O|，结合四边形对角线平分，可得四边形PF1AF2为平行四边形，结合∠AF2B＝60°，得∠F1AF2＝60°，对三角形F1AF2，用余弦定理，得到|AF1|2+|AF2|2﹣|F1F2|2＝2|AF1|•|AF2|•cos∠F1PF2，由|PF1|＝2|PF2|，可得|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，代入上式子中，得到3a2＝c2，∴e=ca=√3，故选：A．15．如图，双曲线F：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，则F的离心率为（）A．3√34B．√3C．65D．5√36【解答】解：如图，不妨设|AB|＝1，|CD|＝4，则|BD|＝1+2a，|AC|＝4+2a，在△ABD中，由余弦定理得1+4c2﹣2•1•2c•cos60°＝（1+2a）2，①在△ACD中，由余弦定理得16+4c2﹣2•4•2c•cos120°＝（4+2a）2，②②﹣①得，15+10c＝12a+15，则e=ca =65．故选：C．16．已知定义R在上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f（x）＝f（﹣x）﹣2sin x．且当x≥0时，f'（x）+cos x＞0，则不等式f（x+π2）＞f（x）+sin x﹣cos x的解集为（）A．（﹣∞，π2）B．（π2，+∞）C．（﹣∞，﹣π4）D．（﹣π4，+∞）【解答】解:令g(x)＝f(x)+sin x,则g(﹣x)＝f(﹣x)+sin(﹣x)＝f(﹣x)﹣sin x,又f(x)＝f(﹣x)﹣2sin x,∴f(x)+sin x＝f(﹣x)﹣sin x,故g(﹣x)＝g(x),∴g(x)为定义在R上的偶函数；当x≥0时,g′(x)＝f′(x)+cos x＞0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,又∵g(x)为偶函数,故g(x)在(﹣∞,0]上单调递减,由f(x+π2)+cosx=f(x+π2)+sin(x+π2)＞f(x)+sinx得g(x+π2)＞g(x),∴|x+π2|＞|x|,解得x＞−π4,∴不等式的解集为(−π4,+∞)．故选：D．17．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A，B两点，A，B两点分别在一、四象限，若|AF||BF|=513，则双曲线C的离心率为（）A．1312B．√133C．√135D．√13【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点F（c，0），渐近线方程为y=±bax，即bx±ay＝0，如下图所示：由点到直线距离公式可知：|F A |=√a 2+b 2=b ，又∵c 2＝a 2+b 2，∴|OA |＝a ，∵|AF||BF|=513，∴|BF |=135b ，设∠AOF ＝α，由双曲线对称性可知∠AOB ＝2α，而tan α=ba ，tan2α=|AB||OA|=18b 5a，由正切二倍角公式可知：tan2α=2tanα1−tan 2α=2×b a 1−(b a)2=2ab a 2−b 2，即2ab a 2−b2=18b 5a，化简可得：4a 2＝9b 2，由双曲线离心率公式可知：e =c a=√1+b 2a2=√1+49=√133．故选：B ．18．数学中一般用min {a ，b }表示a ，b 中的较小值．关于函数f(x)=min{sinx +√3cosx ，sinx −√3cosx}有如下四个命题：①f （x ）的最小正周期为π； ②f （x ）的图象关于直线x =3π2对称；③f （x ）的值域为[﹣2，2]；④f （x ）在区间(−π6，π4)上单调递增．其中是真命题的是（） A ．②④B ．①②C ．①③D ．③④【解答】解：令g(x)=sinx +√3cosx =2sin(x +π3)，ℎ(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)，则f （x ）＝min {g （x ），h （x ）}={g(x)，g(x)⩽ℎ(x)ℎ(x)，g(x)＞ℎ(x)={2sin(x +π3)，π2+2kπ⩽x ⩽3π2+2kπ2sin(x −π3)，−π2+2kπ＜x ＜π2+2kπ，(k ∈Z)，如图所示：由图知：则f （x ）的最小正周期为2π，故①错误； f （x ）的图象关于直线x =3π2对称，故②正确；f （x ）的值域为[﹣2，1]，故③错误；f （x ）在区间(−π6，π4)上单调递增，故④正确．故选：A ．19．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，体积为163，若P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2，则四棱锥P ﹣ABCD的外接球体积的最小值是（） A ．160√53π B ．256πC ．125πD ．20√53π【解答】解：底面为矩形的四棱锥P ﹣ABCD 的体积为163，若P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2，可得底面面积为：8，设AB ＝a ，BC ＝b ，则ab ＝8，四棱锥的外接球就是扩展的长方体的外接球，PC 就是外接球的直径，可得：2R =√a 2+b 2+22≥√4+2ab =√4+2×8=2√5，当且仅当a ＝b ＝2√2，取等号，R ≥√5．外接球的体积的最小值为：4π3×（√5）3=20√5π3．故选：D ．20．已知函数f （x ）={|log 2x|(x ＞0)2x 2+4x +1(x ≤0)，若函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且满足：x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1+x 2﹣x 3x 4的值是（） A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1【解答】解：作出f （x ）的函数图象如图所示：因为函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，即y ＝f （x ）与y ＝b 有四个不同的交点，由图象知 x 1+x 2＝﹣2×42×2=−2，由﹣log 2x 3＝log 2x 4，得：log 2x 3+log 2x 4＝0，得：x 3x 4＝1， ∴x 1+x 2﹣x 3x 4＝﹣3，故选：B ．21．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A ．512√6729π B ．16√23π C ．32√627π D ．128√281π【解答】解：由题意可得每个三角形面积为S =12×4×2√3=4√3，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为√16−(4√33)2=4√63，故四面体的体积为13×4√3×4√63=16√23，∵该六面体的体积是正四面体的2倍， ∴六面体的体积是32√23，由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设丸子的半径为R ，则32√23=6×13×4√3×R ，解得R =4√69，∴丸子的体积的最大值为V max =4π3R 3=4π3×(4√69)3=512√6729π．故选：A ．22．已知函数f （x ）＝e x ﹣aln （ax ﹣a ）+a （a ＞0），若关于x 的不等式f （x ）＞0恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．（0，e 2]B ．（0，e 2）C ．[1，e 2]D ．（1，e 2）【解答】解：∵f （x ）＝e x ﹣aln （ax ﹣a ）+a ＞0（a ＞0）恒成立， ∴e xa ＞ln(x −1)+lna −1， ∴e x ﹣lna+x ﹣lna ＞ln （x ﹣1）+x ﹣1， ∴e x﹣lna+x ﹣lna ＞e ln（x ﹣1）+ln （x ﹣1）．令g （x ）＝e x +x ，易得g （x ）在（1，+∞）上单调递增， ∴x ﹣lna ＞ln （x ﹣1），∴﹣lna ＞ln （x ﹣1）﹣x ． ∵ln （x ﹣1）﹣x ≤x ﹣2﹣x ＝﹣2， ∴﹣lna ＞﹣2，∴0＜a ＜e 2， ∴实数a 的取值范围为（0，e 2）．故选：B ．23．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c cos A +a cos C ＝2，AC 边上的高为√3，则∠ABC 的最大值为（） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3【解答】解：因为c cos A +a cos C ＝2，所以由余弦定理可得c •b 2+c 2−a 22bc+a •a 2+b 2−c 22ab=2，整理可得b ＝2，因为AC 边上的高为√3，所以12×2×√3=12acsinB ，所以ac =2√3sinB，因为cos B =a 2+c 2−b 22ac≥2ac−b 22ac=1−2ac，当且仅当a ＝c 时取等号，所以cos B ≥1−√33sinB ，即3cos B +√3sin B ≥3，所以2√3sin （B +π3）≥3，所以sin （B +π3）≥√32，因为B ∈（0，π），所以B +π3∈（π3，4π3），所以B +π3∈（π3，2π3]，所以B ∈（0，π3]，则∠ABC 的最大值为π3．故选：B ．24．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线x ＝3与抛物线C 交于A ，B 两点，|AF |＝4，圆E 为△F AB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM →⋅ON →的取值范围是（） A ．[−6325，9]B ．[﹣3，21]C ．[6325，21]D ．[3，27]【解答】解：抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （p2，0），准线方程为x =−p2，设A （3，√6p ），所以|AF |＝3+p2=4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，A （3，2√3），B （3，﹣2√3），F （1，0），所以直线AF 的方程为y =√3（x ﹣1），设圆心坐标为（x 0，0），所以（x 0﹣1）2＝（3﹣x 0）2+12，解得x 0＝5，即E （5，0）， ∴圆的方程为（x ﹣5）2+y 2＝16，不妨设y M ＞0，设直线OM 的方程为y ＝kx ，则k ＞0，根据√1+k2=4，解得k =43，由{y =43x(x −5)2+y 2=16，解得M （95，125），设N （4cos θ+5，4sin θ），所以OM →•ON →=365cos θ+485sin θ+9=125（3cos θ+4sin θ）+9，因为3cos θ+4sin θ＝5sin （θ+φ）∈[﹣5，5]，所以OM →•ON →∈[﹣3，21]．故选：B ．25．已知双曲线x 24−y 25=1的右焦点为F ，点M 在双曲线上且在第一象限，若线段MF 的中点在以原点O为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线MF 的斜率是（） A ．−√35B ．−5√117C ．5√117D ．√35【解答】解：如图所示，设线段MF 的中点为H ，连接OH ，设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|=12|MF|=12（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．设∠HFO＝α，在△OHF中，tanα=√32−(12)212=√35，∴直线MF的斜率是−√35．故选：A．二．多选题（共7小题）26．下列结论正确的是（）A．存在这样的四面体ABCD，四个面都是直角三角形B．存在这样的四面体ABCD，∠BAC＝∠CAD＝∠DAB＝∠BCD＝90°C．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°D．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°【解答】解：对于A，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四面体A1﹣ABC的四个面都是直角三角形，所以选项A正确；对于B ，三个直角均以A 为顶点，那么△BCD 为锐角三角形，故选项B 错误；对于C ，存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°，如图所示，故选项C 正确；对于D ，若∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°，则A ，B ，C ，D 四点共面，故选项D 错误．故选：AC ．27．已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （a ∈R ），则下列说法正确的是（） A ．若a ＝﹣1，则f （x ）是（0，12）上的减函数B ．若0＜a ＜1，则f （x ）有两个零点C ．若a ＝1，则f （x ）≥0D ．若a ＞1，则曲线y ＝f （x ）上存在相异两点M ，N 处的切线平行【解答】解：函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （a ∈R ），对于A ，当a ＝﹣1，f （x ）＝x 2+x ﹣lnx （x ＞0），f ′（x ）＝2x +1−1x在（0，+∞）上单调递增，又f ′（12）＝0，故当x ∈（0，12）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）是（0，12）上的减函数，故A 正确；对于B ，若f （x ）＝0，则x 2﹣ax ﹣lnx ＝0，故a ＝x −lnx x（x ＞0），令g （x ）＝x −lnx x（x ＞0），则g ′（x ）＝1−1−lnx x 2=x 2+lnx−1x 2，再令h （x ）＝x 2+lnx ﹣1（x ＞0），显然，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，又h （1）＝0，所以，当x ∈（0，1）时，h （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，则g （x ）在（0，1）上单调递减，当x ∈（1，+∞）时，h （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，则g （x ）在（1，+∞）上单调递增，故g （x ）min ＝g （1）＝1，要使f （x ）有零点，则a ≥1，故B 错误；对于C ，当a ＝1时，f （x ）＝x 2﹣x ﹣lnx （x ＞0），f ′（x ）＝2x ﹣1−1x 在（0，+∞）上单调递增，又f ′（1）＝0，故当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）是在（0，1）上单调递减；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，则f （x ）在（1，+∞）上单调递增，故f （x ）≥f （1）＝0，故C 正确；对于D ，由于f ′（x ）＝2x ﹣a −1x （x ＞0），若曲线y ＝f （x ）上存在相异两点M （x 1，f （x 1）），N （x 2，f （x 2））处的切线平行，则f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），即2x 1﹣a −1x 1=2x 2﹣a −1x 2，即2x 1−1x 1=2x 2−1x 2，也就是f ′（x ）＝2x ﹣a −1x =0有两异根，即a ＝2x −1x （x ＞0）有两个交点．令t （x ）＝2x −1x （x ＞0），则t （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t →0+时，t （x ）→﹣∞；当t →+∞时，t （x ）→+∞，故y ＝a 与t （x ）＝2x −1x （x ＞0）只有一个交点，故D 错误．综上所述，AC 正确，故选：AC ．28．已知无穷等差数列{a n }的公差d ∈N *，且5，17，23是{a n }中的三项，则下列结论正确的是（） A ．d 的最大值是6 B ．2a 2≤a 8C ．a n 一定是奇数D ．137一定是数列{a n }中的项【解答】解：∵无穷等差数列{a n }的公差d ∈N *，且5，17，23是{a n }中的三项， ∴设{17−5=12=md 23−17=6=nd ，解得d =6m−n ，∴d 的最大值为6，故A 正确； ∵a 1≤5，d ∈N *，∴2a 2﹣a 8＝a 1﹣5d ≤0，故B 正确；∵d =6m−n ，∴当m ﹣n ＝2时，d ＝3，数列可能为5，8，11，14，17，20，23，…，故C 错误； ∵137＝23+19×6，∴137一定是等差数列{a n }中的项，故D 正确．故选：ABD ．29．已知函数f （x ）＝（sin x +cos x ）|sin x ﹣cos x |，下列说法正确的是（） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[−π2，π2]上是增函数 C ．若|f （x 1）|+|f （x 2）|＝2，则x 1+x 2=kπ2（k ∈Z ）D ．函数g （x ）＝f （x ）+1在区间[0，2π]上有且仅有1个零点【解答】解：f （x ）＝（sin x +cos x ）|sin x ﹣cos x |={cos 2x −sin 2x ，sinx ＜cosx sin 2x −cos 2x ，sinx ≥cosx ={cos2x ，sinx ＜cosx−cos2x ，sinx ≥cosx ．其图象如图：由图可知，f （x ）是周期为2π的周期函数，故A 正确； f （x ）在区间[−π2，π2]上不是单调函数，故B 错误；若|f （x 1）|+|f （x 2）|＝2，由|f （x 1）|≤1，|f （x 2）|≤1，则只有|f （x 1）|＝|f （x 2）|＝1，即x 1，x 2只能是函数的最值点的横坐标，可得x 1+x 2=kπ2（k ∈Z ），故C 正确；函数g （x ）＝f （x ）+1的图象是把y ＝f （x ）的图象向上平移1个单位得到的，则在区间[0，2π]上有且仅有2个零点，故D 错误． ∴说法正确的是AC ．故选：AC ．30．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1作倾斜角为π3的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M 、点P ，且|PM |＝|MF 1|，下列判断正确的是（）A．E的渐近线方程为y＝±√2x B．|MF2|=12|PF1|C．E的离心率等于2+√3D．∠F1PF2=π6【解答】解：如右图，由|PM|＝|MF1|，可得M为PF1的中点，又O为F1F2的中点，可得OM∥PF2，∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝60°，∠F1PF2＝30°，|MF2|=12|PF1|，故B正确，D正确；设|F1F2|＝2c，则|PF1|=2ccos60°=4c，|PF2|＝2c tan60°＝2√3c，则2a＝|PF1|﹣|PF2|＝（4﹣2√3）c，可得e=ca =(4−2√3)c=2+√3，ba=√c2a2−1=√6+4√3，则双曲线的渐近线方程为y＝±bax即为y＝±√6+4√3x．故C正确，A错误．故选：BCD．31．已知函数f（x）＝e x﹣cos x，x∈R，下列判断正确的是（）A．f（x）在（﹣2π，−32π）单调递增B．f（x）在（﹣π，0）有2个极值点C．f（x）在（﹣2π，−π2）仅有1个极小值D．当﹣4π≤x≤﹣2π时，f（x）≤1【解答】解：函数f（x）＝e x﹣cos x，则f′（x）＝e x+sin x，对于A，当x∈（﹣2π，−32π）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，故A正确；对于B，函数f′（x）＝e x+sin x的零点，即为方程f′（x）＝0的根，作出函数y＝﹣sin x与函数y＝e x的大致图象，如图所示：由图象可知，当x∈（﹣π，0）时，函数y＝﹣sin x与函数y＝e x有两个交点，则方程f′（x）＝0有两个实根，所以f（x）在（﹣π，0）有2个极值点，故B正确；对于C，由图象可得，函数y＝﹣sin x与函数y＝e x在（﹣2π，−π2）上只有一个交点，则方程f′（x）＝0只有一个实数根x0，且在（﹣2π，x0）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（x0，−π2）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝x0处取得极大值，故C错误；对于D，当x＝﹣3π时，f（x）＝e﹣3π+1＞1，故D错误．故选：AB．32．随着高三毕业日期的逐渐临近，有n（n≥2）个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（）A．当n＝4时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为38B．当n＝5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为340C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为1n−1−1nD．记n个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为a n，则a n+2＝（n+1）（a n+a n+1）n∈N*【解答】解：考虑n+1个同学时的情况，若n+1个同学都拿到其他同学的卡片，则第n+2个同学可以与其中任何一个交换卡片，若n+1个同学只有一个拿到自己的卡片，则第n+2个同学必须与该同学交换卡片，∴a n+2＝（n+1）a n+1+（n+1）a n，故D正确；a n+2﹣（n+2）a n+1＝﹣[a n+1﹣（n+1）a n]，∵a1＝0，a2＝1，∴a n﹣na n﹣1＝（﹣1）n，∴a n=n!⋅∑n i=2(−1)ii!，代入数据可得a4＝9，∴当n＝4时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为a44!=38，故A正确；当n＝5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为5a45!=38，故B错误；甲和乙恰好互换了卡片的概率为(n−2)!n!=1n−1−1n，故C正确．故选：ACD．三．填空题（共18小题）33．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=√3，E是CD边的中点．现以AE为折痕将△ADE折起，当三棱锥D﹣ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为16π3．【解答】解：由题意，当平面ADE⊥平面ABE时，三棱锥D﹣ABE的高最大值，此时体积最大．∵△ADE是直角三角形，∴三棱锥D﹣ABE换成B﹣ADE∴底面△ADE外接圆半径r=12AE＝1，垂直面△ABE是边长为2等边三角形，可得AE边上的高h=√3；设球心与圆心距离为d，球半径为R，R2＝r2+d2……①√3−d=R⋯⋯②由①②解得R=√3；三棱锥外接球的表面积S＝4πR2=16π3；故答案为：16π3．34．由正三棱锥S﹣ABC截得的三棱台ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，若AB＝6，三棱台ABC ﹣A1B1C1的高为2，且球心O在平面ABC与平面A1B1C1之间（不在两平面上），则AB1的取值范围为(2√6，6)．【解答】解：该三棱台的横截面如图所示，因为△ABC为正三角形，且AB＝6，=2√3，则AH=√3又GH＝2，球心O在GH上，A，A1都在球面上，故OA＝OA1，设OH＝h，A1G＝m，则由△A1GO和△AOH均为直角三角形，所以m2+（2﹣h）2＝h2+12，解得m2＝8+4h，由图可知，h∈（0，2），m∈(0，2√3)，综上可得，m∈(2√2，2√3)，又A1B1=√3A1G，所以A1B1∈(2√6，6)，即AB1的取值范围为(2√6，6)．故答案为：(2√6，6)．35．设数列a1，a2，a3，a4各项互不相同，且a i∈{1，2，3，4}（i＝1，2，3，4）．若下列四个关系①a1＝1；②a2≠1；③a3＝2；④a4≠4中恰有一个正确，则（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值是18．【解答】解：若①正确，则②一定正确，因此不符合题意；若②正确，此时令a4＝4，a3＝1，a1＝3，a2＝2，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为18；若③正确，此时a4＝4，a2＝1，a1＝3，a3＝2，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为7；若④正确，此时a4＝2，a3＝3，a1＝4，a2＝1，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为9．综上可得，（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为18．故答案为：1836．设抛物线C1：y＝x2﹣2x+2和C2：y＝﹣x2+ax+b在它们的一个交点处的切线互相垂直，则C2过定点（1，3）．2【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2，∴y'＝2x﹣2，∵y＝﹣x2+ax+b，∴y'＝﹣2x+a，设交点为（x0，y0），∵它们在一个交点处切线互相垂直，∴（2x0﹣2）（﹣2x0+a）＝﹣1，即4x02﹣（2a+4）x0+2a﹣1＝0，①由交点分别代入二次函数式，整理得，2x02﹣（2+a）x0+2﹣b＝0，即4x02﹣（4+2a）x0+4﹣2b＝0，②由①②整理得2a﹣1﹣4+2b＝0，即a+b=52，所以C2：y＝﹣x2+ax+52−a，令x＝1，可得y=32，则C2过定点（1，32），故答案为：（1，32），37．在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，AD＝9，则三棱锥A﹣BCD外接球O的表面积为84π．【解答】解：如图所示：取BC的中点E，连接AE，DE，取AD的中点F，连接EF，因为AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，所以AE⊥BC，DE⊥BC，且三角形ABC和三角形BCD都是正三角形，所以AE＝DE＝3√3，即三角形ADE为等腰三角形，所以EF⊥AD，且EF平分∠AED，不妨设三角形BCD的外接圆圆心为O′，且O′在DE上，所以EO′=13ED=√3，设外接球的球心为O，半径为R，则OA＝OD＝R，利用面面垂直可证得平面AED⊥平面BCD，又平面AED∩平面BCD＝ED，则球心O必在三角形AED中，又OA＝OD＝R，所以O在∠AED的角平分线EF上，连接OO′，则OO′⊥平面BCD，即OO′⊥ED，在三角形AED中，由余弦定理可得：cos∠AED=AE2+ED2−AD22AE⋅ED =−12，所以∠AED＝120°，所以∠FED=12∠AED＝60°，在Rt△EOO′中，tan∠FED=OO′EO′=√3=√3，所以OO′＝3，在Rt△OO′D中，OD＝R，O′D＝2√3，所以R2＝OO′2+O′D2＝21，所以球O的表面积为S＝4πR2＝84π，故答案为：84π．38．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC＝CD＝BD＝2√2，AB＝AC＝AD＝2a，若该三棱锥的侧面积是底面积的√3倍，则该三棱锥外接球的表面积为12π．【解答】解：取BC边的中点E，连结AE，如图所示，△BCD外接圆的圆心为F，三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，因为AB＝AC且点E为BC的中点，所以AE=√4a2−2，=3√2×√4a2−2=6√2a2−1，由此可知该三棱锥的侧面积S侧底面△BCD的面积为2√3，所以6√2a2−1=√3×2√3，解得a＝1，设三棱锥A﹣BCD外接球半径为R，OF＝x，因为AB＝AC＝AD＝2，所以点A在底面BCD上的射影为点F，因为AB＜BC，故三棱锥外接球球心O在直线AF的延长线上，BF为△BCD外接圆的半径，所以BF=2√6，3)2=4①，在Rt△ABF中，由勾股定理可得(R−x)2+(2√63)=R2②，在Rt△OBF中，由勾股定理可得x2+(2√63，由①②解得R=√3，x=√33所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π．故答案为：12π．39．在△ABC 中，点M ，N 是线段BC 上的两点，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|＝1，MA →⋅MN →=12，则MA →⋅NA →= 12 ，|NA →|的取值范围是（12，1] ．【解答】解：根据题意，画出大致图形如下：结合题意及图形，可知MA →•MN →+MA →•NA →=MA →•（MN →+NA →） =MA →•MA →＝|MA →|2 ＝1，∵MA →⋅MN →=12， ∴MA →⋅NA →=1−12=12，又∵12=MA →⋅NA →=|MA →|•|NA →|•cos ＜MA →，NA →＞=|NA →|•cos ＜MA →，NA →＞， ∴|NA →|=12cos ＜MA →，NA →＞，由题意可知点N 在线段BC 上，假设点N 与点B 重合，则12=MA →⋅MN →=MA →•MB →=|MA →|•|MB →|•cos ＜MA →，MB →＞=cos ＜MA →，MB →＞，即cos ∠BMA =12，∴∠BMA =π3或2π3，∴∠BAM =π3或π6，即cos ＜MA →，NA →＞=12或√32，假设点N 与点C 重合，则12=MA →⋅MN →=MA →•MC →=|MA →|•|MC →|•cos ＜MA →，MC →＞=cos ＜MA →，MC →＞，此时cos ＜MA →，NA →＞=12或√32，综合可得，12≤cos ＜MA →，NA →＞＜1， ∴1≤2cos ＜MA →，NA →＞＜2， ∴12＜12cos ＜MA →，NA →＞≤1，即12＜|NA →|≤1，故答案为：12；（12，1]．40．已知一圆锥纸盒母线长为6，其轴截面为正三角形，在纸盒内放置一个棱长为a 的正方体，若正方体可在纸盒内任意转动，则a 的最大值为 2 ．【解答】解：由于正方体可在圆锥内任意转动，故当正方体棱长a 最大时，正方体外接球为圆锥内切球，设圆心为P ，半径为r ，轴截面上球与圆锥母线切点为Q ，SO ⊥AB ，SO 平分AB ，由△SAB 为正三角形，SA ＝SB ＝AB ＝6，OA ＝OB ＝3，因为PB 为∠SAB 的角平分线，所以∠PBA ＝30°，PO ＝OB tan30°=√3=r ，由正方体外接球直径与正方体之间的关系可得，2R =√3a ，又正方体外接球为圆锥内切球，所以√3a =2r =2√3，故a ＝2，所以a 的最大值为2．故答案为：2．41．若数列{a n}满足递推公式a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），且a1＝a2，a2020＝2021，则a1+a3+a5+…+a2019＝2021．【解答】解：∵a1＝a2，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），且a2020＝2021，∴a1+a3+a5+…+a2019＝a2+a3+a5+…+a2019＝a4+a5+…+a2019＝…＝a2018+a2019＝a2020＝2021，故答案为：2021．42．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC中，角A ＝60°，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1、O2、O3，若三角形O1O2O3的面积为√32，则三角形ABC的周长最小值为3√2．【解答】解：由题意知△O1O2O3为等边三角形，设边长为m，则S△O1O2O3=12m2sin60°=√34m2=√32，解得|O1O2|＝m=√2；设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图所示：在△O1AO2中，∠O1AB＝∠O1BA＝30°，由∠BAC ＝60°，所以∠O 1AO 2＝120°，在等腰△BO 1A 中，ABO 1A=sin120°sin30°，解得O 1A =√3，同理得O 3A =√3，在△O 1AO 2中，由余弦定理得O 1O 32=O 1A 2+O 3A 2﹣2O 1A •O 3A •cos120°，即2=c 23+b 23−2•bc 3•（−12），即b 2+c 2+bc ＝6，在△ABC 中，由余弦定理知， a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ， ∴a =√(b 2+c 2+bc)−2bc =√6−2bc ，又∵（b +c ）2＝b 2+c 2+bc +bc ＝6+bc ， ∴b +c =√6+bc ，∴△ABC 的周长为a +b +c =√6−2bc +√6+bc ，又∵b 2+c 2≥2bc ， ∴b 2+c 2+bc ＝6≥3bc ， ∴bc ≤2．令f （x ）=√6−2x +√6+x （0＜x ≤2），则f ′（x ）=√6−2x2√6+x ，当f ′（x ）＜0时，有√6−2x2√6+x0，解得x ＞3，∴f （x ）在（0，2]上单调递减， ∴当x ＝2时取得最小值，f （2）＝3√2． ∴a +b +c ≥3√2，即△ABC 的周长最小值为3√2．故答案为：3√2．43．设函数f （x ）的定义域为D ，若存在x 0∈D ，使得f （x 0+1）＝f （x 0）+f （1），则称x 0为函数f （x ）的“可拆点”．若函数f(x)=log 2a1+x 2在（0，+∞）上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为 [3−√5，2) ．【解答】解：由已知可得函数f （x ）有“可拆点”，则log 2（a1+x 2）+log 2（a2）＝log 2（a1+(1+x)2）成立，即a1+(1+x)2=a1+x2⋅a2，整理可得：（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a＝0，从而问题转化为方程（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a＝0在区间（0，+∞）上有解，设h（x）＝（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a，由已知可得a＞0，则当a＞2且x＞0时，h（x）＜0，方程h（x）＝0无解，不满足题意，当a＝2时，方程h（x）＝0的根为−12，不满足题意，当0＜a＜2时，函数h（x）的图象的对称轴为x=a2−a＞0，要使方程h（x）＝0在区间（0，+∞）上有解，只需△＝4a2﹣4（2﹣a）（2﹣2a）≥0，解得3−√5≤a≤3+√5，所以3−√5≤a＜2，故实数a的取值范围为：[3−√5，2）．故答案为：[3−√5，2）．44．在棱长为√2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在平面BCC1B1内，作PQ⊥平面ACD1，垂足为Q．当点P在△EFB1内（包含边界）运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于√312．【解答】解：连结BD交AC于点O，连结OD1，B1D交于点H，设G为CD1的中点，因为AC⊥BD，AC⊥BB1，BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D，因为B1D⊂平面BB1D，所以B1D⊥AC，同理可证B1D⊥AD1，又AC∩AD1＝A，AC，AD1⊂平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，即点B1在平面ACD1的投影为H，且D1H＝2HO，同理，点E，F在面ACD1的投影分别为O，G，所以△EFB1在平面ACD1的投影为△OGH，又AC=√2AB=2，所以HC=HG=13D1C=13AC⋅√32=√33，所以点Q的轨迹所组成的图形的面积S=12CH⋅HG⋅sin120°=√312．故答案为：√312．45．已知F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线左支于点M，且∠F1MF2＝60°，则该双曲线的渐近线方程为y＝±（1+√33）x．【解答】解：设切点为A，过F1作F1B⊥MF2，垂足为B，由题意可得|OA|＝a，|OF2|＝c，|AF2|=√c2−a2=b，由OA为△BF1F2的中位线，可得|BF1|＝2a，|BF2|＝2b，又∠F1MF2＝60°，可得|MF1|=|BF1|sin60°=√3，|MB|=√3|MF2|＝|MB|+|BF2|=√32b，又|MF2|﹣|MF1|=√3+2b√3=2a，所以b＝（1+√33）a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±（1+√33）x．故答案为：y＝±（1+√33）x．46．已知函数f（x）＝xe x，g（x）=xe x，h（x）＝xlnx，现有以下四个命题：①f（x）﹣g（x）是奇函数；②函数f（x）的图象与函数g（x）的图象关于原点中心对称；③对任意x∈R，恒有f（x）≥g（x）；④函数f（x）与函数h（x）的最小值相同其中正确命题的序号是③④．【解答】解：函数f（x）＝xe x，g（x）=xe x，h（x）＝xlnx，对于①，令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x•e x﹣x•e﹣x，由于F（﹣x）＝F（x）故函数F（x）为偶函数，故①错误；对于②，函数f（﹣x）＝﹣x•e﹣x≠﹣f（x），所以函数f（x）不为奇函数，函数g（﹣x）=−xe−x=−x⋅e x≠−g(x)，所以函数g（x）不为奇函数，故②错误；对于③，当x＝0时，f（x）＝g（x）＝0，当x＞0时，e2x＞1，得到e x＞1e x，两边同乘以x得到x⋅e x＞xe x，即f（x）＞g（x），当x＜0时，e2x＜1，整理得e x＜1e x ，两边同乘以x得到x⋅e x＞xe x，即f（x）＞g（x），故③正确；对于④，f′（x）＝（1+x）•e x，令f′（x）＜0，得到x＜﹣1，f′（x）＞0，得到x＞﹣1，所以函数f（x）的最小值为f（﹣1）=−e−1=−1e．h′（x）＝1+lnx（x＞0），令h ′（x ）＜0，解得0＜x ＜1e ，令h ′（x ）＞0，解得x ＞1e ，所以函数h （x ）的最小值为h （1e ）=1e ⋅ln 1e =−1e =f(−1)，故④正确；故选：③④．47．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin A +2sin B ＝2cos A sin C ，a +b ＝3√2，△ABC 的面积是√3，则边长c ＝ √14 ．【解答】解：∵sin A +2sin B ＝2cos A sin C ， ∴sin A +2sin （A +C ）＝2cos A sin C ，即sin A +2sin A cos C +2cos A sin C ＝2cos A sin C ，即sin A +2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，∴cos C =−12，则C ＝120°， ∵△ABC 的面积是S =12ab ×√32=√3，∴ab ＝4，则c 2＝a 2+b 2﹣2ab ×（−12）＝（a +b ）2﹣ab ＝18﹣4＝14，则c =√14，故答案为：√14．48．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为A ，如果在直线x +y +4＝0上存在点M ，使得∠FMA ＝90°，则实数p 的取值范围是 [4√2，+∞）．【解答】解：由题意可得F （p2，0），A （−p2，0），∵M 在直线x +y +4＝0上，设点M （x ，﹣x ﹣4）， ∴AM →=（x +p2，﹣x ﹣4），FM →=（x −p2，﹣x ﹣4），又∠FMA ＝90°，∴AM →•FM →=（x +p 2）（x −p2）+（﹣x ﹣4）2＝0，即2x 2+8x +16−p24=0，∴△＝82﹣4×2×（16−p24）＝2p2﹣64≥0，解得p ≤﹣4√2或p ≥4√2，又p ＞0，∴p 的取值范围是[4√2，+∞）．故答案为：[4√2，+∞）． 49．已知F 1，F 2是双曲线C 1：x 2a2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与椭圆C 2：x 225+y 29=1的公共焦点，点P ，Q 分别是曲线C 1，C 2在第一、第三象限的交点，四边形PF 1QF 2的面积为6√6，设双曲线C 1与椭圆C 2的离心率依次为e 1，e 2，则e 1+e 2＝2√10+45．【解答】解：由题意可得a 2+b 2＝16，根据双曲线C 1与椭圆C 2的对称性可得△PF 1F 2的面积为3√6，设P （x 0，y 0），（x 0，y 0＞0），则{12⋅8⋅y 0=3√6x 0225+y 029=1，解得x 0=5√104，y 0=3√64，代入双曲线的方程结合b 2＝16﹣a 2，可得a 4﹣35a 2+250＝0，结合0＜a ＜c ＝4，解得a =√10，双曲线的离心率为e 1=c a=√10=2√105，而椭圆的离心率e 2=45， ∴e 1+e 2=2√10+45．故答案为：2√10+45．50．一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式为V =π3(3R −ℎ)ℎ2，其中R 为球的半径，h 为球缺的高．若一球与一棱长为。

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高考数学填空选择压轴题试题汇编（理科）目录（120题）第一部分函数导数(47题)······································2/23第二部分解析几何(23题)······································9/29第三部分立体几何（11题）·····································12/31第四部分三角函数及解三角形（10题）··························14/32第五部分数列（10题）········································15/33第六部分概率统计（6题）·····································17/35第七部分向量（7题）·········································18/36第八部分排列组合（6题）······································19/37第九部分不等式（7题）········································20/38第十部分算法（2题）··········································21/40 第十一部分交叉部分（2题）·····································22/40第十二部分参考答案············································23/40【说明】：汇编试题来源河南五年高考真题5套；郑州市2011年2012年一模二模三模试题6套；2012年河南省各地市检测试题12套；2012年全国高考文科试题17套。

共计40套试题.试题为每套试卷选择题最后两题，填空最后一题。

第一部分函数导数1.【12年新课标】（12）设点P 在曲线12x y e = 上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为( )2.【11年新课标】(12)函数xy -=11的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( )3.【10年新课标】（11）()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10,621100,lg x x x x x f ，若c b a ,,均不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（）4.【09年新课标】（12）用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值。

设(){}()010,2m in ≥-+=x x x x f ,则()x f 的最大值为( )5.【11年郑州一模】12．若定义在R 上的偶函数()(2)()f x f x f x +=满足，且当[0,1],(),x f x x ∈=时则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个6.【11年郑州二模】7.【11年郑州二模】设()x f 是R 上的奇函数，且()01=-f ，当0>x时，()()()021'2<-+x xf x f x，则不等式()0>x f 的解集为________.8.【11年郑州三模】 9.【11年郑州三模】10.【12年郑州一模】定义在()1,1-上的函数()x f 满足：()().1⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 当()0,1-∈x 时，有()0>x f 。

若()0,21,11151f R f Q f f P =⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=，R Q P ,,的大小关系是（）11.【12年郑州二模】1.如图曲线2x y =和直线41,1,0===y x x 所围成的图形（阴影部分)的面积为（）12.【12年郑州二模】12. 已知集合{}{},4,3,2,1,3,2,1==N M 定义函数N M f →:。

若点()()()()()()ABC f C f B f A ∆,3,3,2,2,1,1的外接圆圆心为D 的外接圆圆心为D,且(),R DB DC DA ∈=+γγ则满足条件的函数()x f 有( )13.【12年郑州三模】已知()()1ln 23+-=-x x f x，实数()()()0,,<c f b f a f c b a 满足，且c b a <<<0，若实数0x 是函数()x f 的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）14.【12年北京】14.已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=xx g ，若同时满足条件： ①R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ； ②()4,-∞-∈∃x , )(x f 0)(<x g 。

则m 的取值范围是______15.【12福建】10.函数)(x f 在],[b a 上有定义，若对任意],[,21b a x x ∈，有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+，则称)(x f 在],[b a 上具有性质P 。