高考数学填空压轴题专题复习

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2024年新高考新结构数学选填压轴好题汇编(解析版)

2024年新高考新结构数学选填压轴好题汇编01一、单选题1.(2024·广东·高三统考阶段练习)在各棱长都为2的正四棱锥V -ABCD 中，侧棱VA 在平面VBC 上的射影长度为()A.263B.233C.3D.2【答案】B【解析】把正四棱锥V -ABCD 放入正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则V 是上底面的中心，取A 1B 1的中点E ，C 1D 1的中点F ，连接EF ，BE ，CF ，过A 作AG ⊥BE ，垂足为G ，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BC ⊥平面ABB 1A 1，AG ⊂平面ABB 1A 1，所以BC ⊥AG ，又BC ∩BE =B ，BC ,BE ⊂平面EFCB ，所以AG ⊥平面EFCB ，所以侧棱VA 在平面VBC 上的射影为VG ，由已知得，AA 1=2，EB =AA 21+AB 22=3，所以S △ABE =12×2×2=12×3⋅AG ，所以AG =223，所以VG =VA 2-AG 2=22-2232=233．故选：B ．2.(2024·广东·高三校联考开学考试)已知a =14，b =3e -1，c =2ln2-ln3，则()A.a 0，故f x 在0,1 上为增函数，故f x >f 0 =1，e x >x +1，其中0<x <1，故e 13>13+1，即3e -1>13，故b >13；而13-2ln2+ln3=13-ln 43=133-ln 6427 =13ln 27×e 364>13ln 27×364>0，故13>2ln2-ln3=c ，故b >c ；又g x =1-xx>0，故g x 在0,1 上为增函数，故g x <g 1 =0，ln x +1-x <0，其中0<x <1，故ln 34+1-34<0，即则14<-ln 34=ln 43，故a <c ；故b >c >a .故选：B .3.(2024·广东·高三校联考开学考试)已知函数f x =2sin 2ωx +3sin2ωx ω>0 在0,π 上恰有两个零点，则ω的取值范围是()A.23,1B.1,53C.23,1D.1,53【答案】B【解析】由题意可得f (x )=2sin 2ωx +3sin2ωx =3sin2ωx -cos2ωx +1=2sin 2ωx -π6 +1.令2sin 2ωx -π6 +1=0，解得sin 2ωx -π6 =-12，因为0<x <π，所以-π6<2ωx -π6<2ωπ-π6.因为f (x )在(0,π)上恰有两个零点，所以11π6<2ωπ-π6≤19π6，解得1<ω≤53.故选：B .4.(2024·广东湛江·统考一模)已知ab >0，a 2+ab +2b 2=1，则a 2+2b 2的最小值为()A.8-227B.223C.34D.7-228【答案】A【解析】因为ab >0，得：a 2+2b 2≥22a 2b 2=22ab (当且仅当a =2b 时成立)，即得：ab ≤a 2+2b 222=24(a 2+2b 2)，则1=a 2+ab +2b 2≤a 2+2b 2+24(a 2+2b 2)=4+24(a 2+2b 2)，得：a 2+2b 2≥14+24=8-227，所以a 2+2b 2的最小值为8-227，故选：A .5.(2024·广东湛江·统考一模)在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B 和C 是正确选项，A 和D 是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件M =“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N =“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X =“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y =“甲、乙两人均未选择B 选项”，则()A.事件M 与事件N 相互独立B.事件X 与事件Y 相互独立C.事件M 与事件Y 相互独立D.事件N 与事件Y 相互独立【答案】C【解析】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，所以P M =C 14⋅C 13⋅C 12C 24⋅C 24=23，P N =C 24C 22C 24⋅C 24=16，P X =C 24C 24⋅C 24=16，P Y =C 23⋅C 23C 24⋅C 24=14，因为事件M 与事件N 互斥，所以P MN =0，又P M ⋅P N =19，所以事件M 与事件N 不相互独立，故A 错误；P XY =C 23C 24⋅C 24=112≠P X P Y =124，故B 错误；由P MY =C 13⋅C 12C 24⋅C 24=16=P M P Y ，则事件M 与事件Y 相互独立，故C 正确；因为事件N 与事件Y 互斥，所以P NY =0，又P Y ⋅P N =124，所以事件N 与事件Y 不相互独立，故D 错误.故选：C ．6.(2024·广东梅州·统考一模)如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB =2，点P 是面ABB 1A 1上的动点，若点P 到点D 1的距离是点P 到直线AB 的距离的2倍，则动点P 的轨迹是( )的一部分A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】C【解析】由题意知，以D 为原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图空间直角坐标系，则A (1,0,0),B (1,1,0),D 1(0,0,2)，设P 1,m ,n (m ,n >0)，所以PD 1=(-1,-m ,2-n )，因为P 到D 1的距离是P 到AB 的距离的2倍，所以PD 1=2n ，即-1 2+-m 2+2-n 2=4n 2，整理，得9n +23219-3m 219=1，所以点P 的轨迹为双曲线.故选：C7.(2024·广东深圳·统考一模)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 2的直线与双曲线E 的右支交于A ,B 两点，若AB =AF 1 ，且双曲线E 的离心率为2，则cos ∠BAF 1=()A.-378B.-34C.18D.-18【答案】D【解析】因为双曲线E 的离心率为2，所以c =2a ，因为AB =AF 1 ，所以BF 2 =AB -AF 2 =AF 1 -AF 2 =2a ，由双曲线的定义可得BF 1 -BF 2 =BF 1 -2a =2a ，所以BF 1 =4a =2BF 2 ，在△BF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠BF 2F 1=BF 22+F 1F 2 2-BF 1 22BF 2 ⋅F 1F 2 =4a 2+8a 2-16a 22×2a ×22a=-24，在△AF 1F 2中，cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =24，设AF 2 =m ，则AF 1 =m +2a ，由AF 1 2=F 1F 2 2+AF 2 2-2F 1F 2 AF 2 cos ∠F 1F 2A 得(2a +m )2=(22a )2+m 2-2⋅22a ⋅m ⋅24，解得m =23a ，所以AF 1 =8a3，所以cos ∠BAF 1=AF 12+AB 2-BF 122AF 1 ⋅AB=64a 29+64a 29-16a 22×8a 3×8a 3=-18.故选：D8.(2024·广东深圳·统考一模)已知数列a n 满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +2,n =2k -1-a n,n =2k(k ∈N ∗)，若S n 为数列a n 的前n 项和，则S 50=()A.624B.625C.626D.650【答案】C【解析】数列a n 中，a 1=a 2=1，a n +2=a n +2,n =2k -1-a n ,n =2k(k ∈N ∗)，当n =2k -1,k ∈N ∗时，a n +2-a n =2，即数列a n 的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，则a 1+a 3+a 5+⋯+a 49=25×1+25×242×2=625，当n =2k ,k ∈N ∗时，an +2a n=-1，即数列a n 的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为-1，则a 2+a 4+a 6+⋯+a 50=1×[1-(-1)25]1-(-1)=1，所以S 50=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 49)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 50)=626.故选：C9.(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知实数a ,b 分别满足e a =1.02，ln b +1 =0.02，且c =151，则()A.a 1，则fx =1x -2x +1 -2x -1 x +1 2=x -1 2x x +12，则当x >1时，f x >0，故f x 在0,+∞ 上单调递增，故f 1.02 =ln1.02-21.02-1 1.02+1=ln1.02-2101>f 1 =0，即a =ln1.02>2101>2102=151=c ，即a >c ，由ln b +1 =0.02，则b =e 0.02-1，令g x=e x -ln 1+x -1，x >0，则g x =e x -1x +1，令h x =e x -1x +1，则当x >0时，h x =e x +1x +12>0恒成立，故g x 在0,+∞ 上单调递增，又g 0 =e 0-11=0，故g x >0恒成立，故g x 在0,+∞ 上单调递增，故g 0.02 =e 0.02-ln 1+0.02 -1>g 0 =0，即e 0.02-1>ln1.02，即b >a ，故c <a b >0 的焦距为2c ，直线y =b a x+b2与椭圆C 交于点P ,Q，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22C.105,1 D.0,13【答案】C【解析】联立方程y =b a x +b 2x 2a2+y 2b2=1，消去y ，整理得8x 2+4ax -3a 2=0，则Δ=4a 2-4×8×-3a 2 =112a 2>0，设P ,Q 的横坐标分别为x 1,x 2，则x 1+x 2=-a 2，x 1⋅x 2=-3a 28，所以PQ =1+b a 2⋅x 1-x 2 =1+b a2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=a 2+b 2a2⋅a 24+3a 22=72a 2+b 2，由PQ ≤7c ，得72a 2+b 2≤7c ，整理得a 2+b 2≤4c 2，即a 2+a 2-c 2≤4c 2，即c 2a2≥25，又0<e <1，则e =c a ≥105，故105≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为105,1 .故选：C ．11.(2024·湖北武汉·统考模拟预测)如图，在函数f x =sin ωx +φ 的部分图象中，若TA =AB ，则点A 的纵坐标为()A.2-22B.3-12C.3-2D.2-3【答案】B【解析】由题意ωx +φ=3π2，则x =3π2ω-φω，所以T 3π2ω-φω,0 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，因为TA =AB，所以x2+3π2ω-φω2=x1y22=y1，解得x2=2x1-3π2ω+φωy2=2y1，所以2y1=y2=f x2=f2x1-3π2ω+φω=sin2ωx1-3π2+2φ=cos2ωx1+2φ=1-2sin2ωx1+φ=1-2y21，所以2y21+2y1-1=0，又由图可知y1>0，所以y1=3-1 2.故选：B.12.(2024·湖北武汉·统考模拟预测)在三棱锥P-ABC中，AB=22，PC=1，PA+PB=4，CA-CB=2，且PC⊥AB，则二面角P-AB-C的余弦值的最小值为()A.23B.34C.12D.105【答案】A【解析】因为PA+PB=4=2a，所以a=2，点P的轨迹方程为x24+y22=1(椭球)，又因为CA-CB=2，所以点C的轨迹方程为x2-y2=1，(双曲线的一支)过点P作PH⊥AB,AB⊥PC，而PH∩PC=P,PF,PC⊂面PHC，所以AB⊥面PHC，设O为AB中点，则二面角P-AB-C为∠PHC，所以不妨设OH=2cosθ,θ∈0,π2,PH=2sinθ,CH=4cos2θ-1，所以cos∠PHC=2sin2θ+4cos2θ-1-122sinθ4cos2θ-1=2cos2θ22sinθ4cos2θ-1=22⋅1-sin2θsinθ3-4sin2θ，所以cos 2∠PHC =12⋅1-sin 2θ 2sin 2θ3-4sin 2θ，令1-sin 2θ=t ,0<t <1，所以cos 2∠PHC =12⋅1-sin 2θ 2sin 2θ3-4sin 2θ =12⋅t 21-t 4t -1 ≥12⋅t 21-t +4t -122=29，等号成立当且仅当t =25=1-sin 2θ，所以当且仅当sin θ=155,cos θ=105时，cos ∠PHC min =23.故选：A .13.(2024·山东日照·统考一模)已知函数f x =2sin x -2cos x ，则()A.f π4+x=f π4-x B.f x 不是周期函数C.f x 在区间0,π2上存在极值D.f x 在区间0,π 内有且只有一个零点【答案】D【解析】对于A ，sin π4+x =sin π2-π4+x =cos π4-x ,cos π4+x =cos π2-π4+x =sin π4-x，所以f π4+x =2sin π4+x -2cos π4+x =-2sin π4-x -2cos π4-x =-f π4-x ，故A 错误；对于B ，f 2π+x =2sin 2π+x-2cos 2π+x=2sin x -2cos x =f x ，所以f x 是以2π为周期的函数，故B 错误；对于C ，由复合函数单调性可知y =2sin x ,y =2cos x 在区间0,π2上分别单调递增、单调递减，所以f x 在区间0,π2上单调递增，所以不存在极值，故C 错误；对于D ，令f x =2sin x -2cos x =0,x ∈0,π ，得2sin x =2cos x ，所以sin x =cos x ，即该方程有唯一解(函数f x在0,π 内有唯一零点)x =π4，故D 正确.故选：D .14.(2024·山东日照·统考一模)过双曲线x 24-y 212=1的右支上一点P ，分别向⊙C 1:(x +4)2+y 2=3和⊙C 2:(x-4)2+y 2=1作切线，切点分别为M ，N ，则PM +PN ⋅NM的最小值为()A.28B.29C.30D.32【答案】C【解析】由双曲线方程x 24-y 212=1可知：a =2,b =23,c =a 2+b 2=4，可知双曲线方程的左、右焦点分别为F 1-4,0 ，F 24,0 ，圆C 1:x +4 2+y 2=3的圆心为C 1-4,0 (即F 1)，半径为r 1=3；圆C 2:x -4 2+y 2=1的圆心为C 24,0 (即F 2)，半径为r 2=1．连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则MF 1⊥PM ,NF 2⊥PN ，可得PM +PN ⋅NM =PM +PN ⋅PM -PN =PM 2-PN 2=PF 1 2-r 21 -PF 2 2-r 22 =PF 1 2-3 -PF 2 2-1 =PF 1 2-PF 2 2-2=PF 1 -PF 2 ⋅PF 1 +PF 2 -2=2a PF 1 +PF 2 -2≥2a ⋅2c -2=2×2×2×4-2=30，当且仅当P 为双曲线的右顶点时，取得等号，即PM +PN ⋅NM的最小值为30.故选：C .15.(2024·福建福州·统考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，记g x =f x ．若g x -2 的图象关于点2,0 对称，且g 2x -g (-2x -1)=g (1-2x )，则下列结论一定成立的是()A.f x =f 2-xB.g x =g x +2C.2024n =1g (n )=0D.2024n =1f (n )=0【答案】C【解析】因为g x -2 的图象关于点2,0 对称，所以g x 的图象关于原点对称，即函数g x 为奇函数，则g 0 =0，又g 2x -g (-2x -1)=g (1-2x )，所以g 2x +g (2x +1)=-g (2x -1)，所以g t -1 +g (t )+g (t +1)=0，所以g t +g t +1 +g t +2 =0，所以g t -1 =g t +2 ，所以g t =g t +3 ，即g x =g x +3 ，所以3是g x 的一个周期.因为2024n =1g (n )=2024n =0g (n )=20253×[g (0)+g (1)+g (2)]=0，故C 正确；取符合题意的函数f x =cos 2π3x ，则g (x )=f x =-2π3sin 2π3x所以g 0 =0，又g (0+2)=-2π3sin 4π3=3π3=g (0)，故2不是g x 的一个周期，所以g x ≠g x +2 ，故B 不正确；因为f 1 =cos 2π3=-12不是函数f x 的最值，所以函数f x 的图象不关于直线x =1对称，所以f x ≠f 2-x ，故A 不正确；因为2024n =1f (n )=2024n =1cos2π3n =-1≠0，故D 不正确；故选：C .16.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)已知直线BC 垂直单位圆O 所在的平面，且直线BC 交单位圆于点A ，AB =BC =1，P 为单位圆上除A 外的任意一点，l 为过点P 的单位圆O 的切线，则()A.有且仅有一点P 使二面角B -l -C 取得最小值B.有且仅有两点P 使二面角B -l -C 取得最小值C.有且仅有一点P 使二面角B -l -C 取得最大值D.有且仅有两点P 使二面角B -l -C 取得最大值【答案】D【解析】过A 作AM ⊥l 于M ，连接MB 、MC ，如图所示，因为直线BC 垂直单位圆O 所在的平面，直线l 在平面内，且直线BC 交单位圆于点A ，所以AC ⊥l ，AM ,AC ⊂平面AMC ，AM ∩AC =A ，所以l ⊥平面AMC ，MC ,MB ⊂平面AMC ，所以l ⊥MC ，l ⊥MB ，所以∠BMC 是二面角B -l -C 的平面角，设∠BMC =θ，∠AMC =α，∠AMB =β，AM =t ，则θ=α-β，由已知得t ∈0,2 ，AB =BC =1，tan α=2t ，tan β=1t ，tan θ=tan α-β =tan α-tan β1+tan α⋅tan β=2t -1t 1+2t ⋅1t =t t 2+2，令f t =t t 2+2，则ft =1⋅t 2+2 -t 2t t 2+2 2=2+t 2-t t 2+22，当t ∈0,2 时，f t >0，f t 单调递增，当t ∈2,2 时，f t <0，f t 单调递减，f 2 =13>f 0 =0所以t ∈0,2 ，当t =2时，f t 取最大值，没有最小值，即当t =2时tan θ取最大值，从而θ取最大值，由对称性知当t =2时，对应P 点有且仅有两个点，所以有且仅有两点P 使二面角B -l -C 取得最大值．故选：D ．17.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)设F 1,F 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点，以F 1为圆心且过F 2的圆与x 轴交于另一点P ，与y 轴交于点Q ，线段QF 2与C 交于点A ．已知△APF 2与△QF 1F 2的面积之比为3:2，则该椭圆的离心率为()A.23B.13-3C.3-1D.3+14【答案】B【解析】由题意可得F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，F 1F 2=2c ，则以F 1为圆心且过F 2的圆的方程为x +c 2+y 2=4c 2，令x =0，则y P =±3c ，由对称性，不妨取点Q 在x 轴上方，即P 0,3c ，则l QF 2:y -3c =3c -00-cx ，即y =-3x +3c ，有S △QF 1F 2=12×2c ×3c =3c 2，则S △APF 2=32×3c 2=332c 2，又S △APF 2=12y A ×4c =2cy A ，即有332c 2=2cy A ，即y A =334c ，代入l QF 2:y =-3x +3c ，有334c =-3x A +3c ，即x A =14c ，即A 14c ,334c在椭圆上，故14c2a 2+334c2b 2=1，化简得b 2c 2+27a 2c 2=16a 2b 2，由b 2=a 2-c 2，即有a 2-c 2 c 2+27a 2c 2=16a 2a 2-c 2 ，整理得c 4-44a 2c 2+16a 4=0，即e 4-44e 2+16=0，有e 2=44-442-4×162=22-613或e 2=44+442-4×162=22+613，由22+613>1，故舍去，即e 2=22-613，则e =22-613=13-3 2=13-3.故选：B .18.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)设a =sin0.2,b =0.16,c =12ln 32，则()A.a >c >bB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】D【解析】设f x =sin x -x -x 2 ,x ∈0,0.2 ,f x =cos x -1+2x ，设g x =f x ,g x =-sin x +2>0，所以g x ≥g 0 =0，所以函数f x 在0,0.2 上单调递增，所以f 0.2 =sin0.2-0.2-0.22 =sin0.2-0.16>f 0 =0，即a >b .根据已知得c =12ln 32=12ln 1.20.8=12ln 1+0.21-0.2，可设h x =12ln 1+x -ln 1-x -sin x ,x ∈ 0,0.2 ，则h x =1211+x +11-x -cos x =11-x 2-cos x >0，所以函数h x 在0,0.2 上单调递增，所以h 0.2 >h 0 =0，即c >a .综上，c >a >b .故选：D .19.(2024·浙江湖州·湖州市第二中学校考模拟预测)对于无穷数列{a n }，给出如下三个性质：①a 1<0；②对于任意正整数n ,s ，都有a n +a s <a n +s ；③对于任意正整数n ，存在正整数t ，使得a n +t >a n 定义：同时满足性质①和②的数列为“s 数列”，同时满足性质①和③的数列为“t 数列”，则下列说法正确的是()A.若{a n }为“s 数列”，则{a n }为“t 数列”B.若a n =-12n，则{a n }为“t 数列”C.若a n =2n -3，则{a n }为“s 数列” D.若等比数列{a n }为“t 数列”则{a n }为“s 数列”【答案】C【解析】设a n =-2n -3，此时满足a 1=-2-3=-5<0，也满足∀n ,s ∈N ∗，a n +s =-2(n +s )-3,a n +a s =-2n -3-2s -3=-2(n +s )-6，即∀n ,s ∈N ∗，a n +s >a n +a s ，{a n }为“s 数列”，因为a n +t =-2(n +t )-3=-2n -2t -3=a n -2t <a n ，所以A 错误；若a n =-12 n ，则a n =-12 -1=-12<0，满足①，a n +1=-12 n +1，令-12 n +1>-12n，若n 为奇数，此时-12 n <0，存在t ∈N ∗，且为奇数时，此时满足-12 n +t >0>-12 n，若n 为偶数，此时-12 n >0，则此时不存在t ∈N ∗，使得-12 n +t >-12n，所以B 错误；若a n =2n -3，则a n =2-3=-1<0，满足①，∀n ,s ∈N ∗，a n +s =2(n +s )-3,a n +a s =2n -3+2s -3=2(n +s )-6，因为2(n +s )-3>2(n +s )-6，所以∀n ,s ∈N ∗，a n +s >a n +a s ，满足②，所以C 正确；不妨设a n =(-2)n ，满足a 1=-2<0，且∀n ∈N ∗，a n =(-2)n ，当n 为奇数，取t =1，使得a n +1=(-2)n +1>a n ；当n 为偶数，取t =2，使得a n +2=(-2)n +2>a n ，所以a n 为“t 数列”，但此时不满足∀n ,s ∈N ∗，a n +s >a n +a s ，不妨取n =1,s =2，则a 1=-2,a 2=4,a 3=-8，而a 1+2=-8<-2+4=a 1+a 2，则a n 为“s 数列”，所以D 错误.故选：C .20.(2024·江苏·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，有f x -f x >0，则“x <2”是“e x f x +1 >e 4f 2x -3 ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件【答案】A【解析】因为fx -f x >0，则f x -f x e x>0，令g x =f xex ，则g x >0，所以g x 在R 上单调递增.e xf x +1 >e 4f 2x -3 ⇔f x +1 e x +1>f 2x -3e 2x -3⇔g x +1 >g 2x -3⇔x +1>2x -3⇔x <4，所以“x <2”是“e x f x +1 >e x f 2x -3 ”的充分不必要条件，故选：A .21.(2024·江苏·统考模拟预测)离心率为2的双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与抛物线E :y 2=2px (p >0)有相同的焦点F ，过F 的直线与C 的右支相交于A ,B 两点.过E 上的一点M 作其准线l 的垂线，垂足为N ，若MN =3OF (O 为坐标原点)，且△MNF 的面积为122，则△ABF 1(F 1为C 的左焦点)内切圆圆心的横坐标为()A.14B.24C.22D.12【答案】D【解析】MN =3OF =3⋅p 2,x M +p 2=3p 2,∴x M =p .y 2M =2p 2,y M =2p ,S △MNF =12⋅3p 2⋅2p =122,p =4,F 2,0 ，双曲线中c =2,e =ca =2,∴a =1,b 2=3，双曲线：x 2-y 23=1.设直线AB :x =ty +2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,AF =m ,BF =n ，△ABF 1内切圆圆心为I ，所以m =x 1-22+y 21=x 21-4x 1+4+3x 2-3=2x 1-12=2x 1-1 =2x 1-1，同理n =2x 2-1，从而AB =m +n =2x 1+x 2 -2，由双曲线定义知AF 1 =m +2a =2x 1-1+2=2x 1+1，同理BF 1 =2x 2+1；接下来我们证明如下引理：三个不共线的点C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,E x 5,y 5 构成的三角形的内心坐标为GDE x 3+CE x 4+CD x 5DE +CE +CD,DE y 3+CE y 4+CD y 5DE +CE +CD，先来证明G 是三角形CDE 的内心当且仅当DE GC +CE GD +CD GE =0，若DE GC +CE GD +CD GE =0，则DE GC +CE GC +CD +CD GC +CE =0，则CG =CE CD DE +CE +CD CD CD +CECE，而由平行四边形法则可知CD CD +CECE与∠DCE 的角平分线共线，所以CG 经过三角形CDE 的内心，同理DG 经过三角形CDE 的内心，EG 经过三角形CDE 的内心，所以点G 是三角形CDE 的内心，由于上述每一步都是等价变形，反正亦然，所以G 是三角形CDE 的内心当且仅当DE GC +CE GD +CD GE =0，不妨设三角形CDE 的内心G x ,y ，则由DE GC +CE GD +CD GE =0得DE x 3-x +CE x 4-x +CD x 5-x =0，所以解得x =DE x 3+CE x 4+CD x 5DE +CE +CD ，同理y =DE y 3+CE y 4+CD y 5DE +CE +CD，从而GDE x 3+CE x 4+CD x 5DE +CE +CD,DE y 3+CE y 4+CD y 5DE +CE +CD，引理得证；由上述引理，即由内心坐标公式有x I =2x 2+1 x 1+2x 1+1 x 2-22x 1+x 2 -22x 2+1+2x 2+1+2x 1+x 2 -2=4x 1x 2-3x 1+x 2 +44x 1+x 2，联立x 2-y 23=1与AB :x =ty +2，整理并化简得3t 2-1 y 2+12ty +9=0，Δ=144t 2+363t 2-1 =36t 2+1 >0,y 1+y 2=-12t 3t 2-1,y 1y 2=93t 2-1，所以x 1+x 2=t y 1+y 2 +4=t ⋅-12t 3t 2-1+4=-43t 2-1，x 1x 2=ty 1+2 ty 2+2 =t 2y 1y 2+2t y 1+y 2 +4=t 2⋅93t 2-1+2t ⋅-12t 3t 2-1+4=-3t 2-43t 2-1，所以x I =4x 1x 2-3x 1+x 2 +44x 1+x 2=-12t 2-163t 2-1+123t 2-1+4-163t 2-1=12，△ABF 1内切圆圆心在直线x =12上.故选：D .22.(2024·云南昆明·统考模拟预测)已知函数f x =x -1 e x +a 在区间-1,1 上单调递增，则a 的最小值为()A.e -1B.e -2C.eD.e 2【答案】A【解析】由题意得f x ≥0在-1,1 上恒成立，f x =e x +a +x -1 e x =xe x +a ，故xe x +a ≥0，即a ≥-xe x ，令g x =-xe x ，x ∈-1,1 ，则g x =-e x -xe x =-x +1 e x <0在x ∈-1,1 上恒成立，故g x =-xe x 在x ∈-1,1 上单调递减，故g x >g -1 =e -1，故a ≥e -1，故a 的最小值为e -1.故选：A23.(2024·湖南·高三校联考开学考试)已知函数f x =x -a exx +1的定义域为0,4 ，若f x 是单调函数，且f x 有零点，则a 的取值范围是()A.0,4B.0,3C.0,2D.0,e【答案】B【解析】因为f x 有零点，所以方程f x =0有解，即x -a =0在0,4 上有解，所以a ∈0,4 ．又由f x =x -a exx +1可得：fx =x 2+1-a x +1x +12e x．因为f x 是单调函数，所以函数g x =x 2+1-a x +1≥0在0,4 上恒成立或g x =x 2+1-a x +1≤0在0,4 上恒成立．因为g 0 =1>0，所以g x =x 2+1-a x +1≤0在0,4 上不可能恒成立．即函数g x =x 2+1-a x +1≥0在0,4 上恒成立，即x +1x+1-a ≥0在0,4 上恒成立．因为x +1x+1-a ≥3-a (当且仅当x =1时，等号成立)，故须使3-a ≥0，解得a ≤3．综上，a 的取值范围是0,3 ．故选：B .24.(2024·山东·高三山东省实验中学校考开学考试)双曲线M :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右顶点分别为A ,B ，曲线M 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则当mn +9mn 取到最小值时，双曲线离心率为()A.3 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】设A (-a ,0),B (a ,0),C (x ,y ),D (x ,-y )，则m =k AC =y x +a ，n =k BD =-y x -a ，所以mn =-y 2x 2-a2，将曲线方程x 2-a 2a 2=y 2b 2代入得mn =-b 2a2，又由均值定理得mn +9mn =mn +9mn ≥2mn ×9mn =6，当且仅当mn =9mn ，即mn =b 2a 2=3时等号成立，所以离心率e =1+b 2a2=2，故选：D .二、多选题25.(2024·广东·高三统考阶段练习)若过点(a ,b )可作曲线f (x )=x 2ln x 的n 条切线(n ∈N )，则()A.若a ≤0，则n ≤2B.若0<a <e -32，且b =a 2ln a ，则n =2C.若n =3，则a 2ln a <b <2ae -32+12e -3D.过e -32,-6 ，仅可作y =f (x )的一条切线【答案】ABD【解析】设切点x 0,x 20ln x 0 ，则f x 0 =2x 0ln x 0+x 0，切线为y -x 20ln x 0=2x 0ln x 0+x 0 x -x 0 ，代入(a ,b )整理得2x 0ln x 0+x 0 a -x 20ln x 0-x 20-b =0，令g (x )=(2x ln x +x )a -x 2ln x -x 2-b ，g (x )=(2ln x +3)a -2x ln x -3x =(2ln x +3)⋅(a -x )，令g(x )=0得x 1=a ,x 2=e -32．当a ≤0时，x ∈0,e-32，g (x )>0，所以g (x )在0,e -32上单调递增，x ∈e -32,+∞ ，g(x )<0，所以在e -32,+∞ 上单调递减，g e-32=-2a ⋅e-32+12⋅e -3-b ，在0,+∞ 两侧均有可能为负，同时极大值可能为正，所以g (x )至多有2个零点，故A 正确；当a ∈0,e -32时，x ∈(0,a )和x ∈e -32,+∞ 时，g(x )<0，所以g (x )在(0,a ),e -32,+∞ 上单调递减，x ∈a ,e-32，g(x )>0，所以g (x )在a ,e -32上单调递增，g (a )=a 2ln a -b ，g e-32=-2ae-32+12⋅e -3-b ，当b =a 2ln a 时，g (a )=0，所以g e -32>0，结合图象，值域为-∞,-2ae -32+12⋅e -3-b，所以n =2，B 正确；若n =3，则g (a )<0<g e -32，即a 2ln a e -32时，g e -32 <0<g (a )，即-2ae -32+12e -30时，g (x )有1个零点，即b <0，D 正确．故选：ABD .26.(2024·广东·高三校联考开学考试)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=4，E 是棱BB 1上的一点，点F 在棱DD 1上，则下列结论正确的是()A.若A 1，C ，E ，F 四点共面，则BE =DFB.存在点E ，使得BD ⎳平面A 1CEC.若A 1，C ，E ，F 四点共面，则四棱锥C 1-A 1ECF 的体积为定值D.若E 为BB 1的中点，则三棱锥E -A 1CC 1的外接球的表面积是32π【答案】BCD【解析】对A ，由A 1,C ,E ,F 四点共面，得CF ⎳A 1E ，则DF =B 1E ，若E 不是棱BB 1的中点，则BE ≠DF ，故A 错误.对B ，当E 是棱BB 1的中点时，取A 1C 的中点G ，连接GE ,B 1D ，则G 为B 1D 的中点.因为E 为BB 1的中点，则GE ⎳BD .因为GE ⊂平面A 1CE ,BD ⊄平面A 1CE ，所以BD ⎳平面A 1CE ，则B 正确.根据长方体性质知BB 1⎳CC 1，且CC 1⊂平面A 1CC 1，BB 1⊄平面A 1CC 1，所以BB 1⎳平面A 1CC 1，同理可得DD 1⎳平面A 1CC 1，则点E ，F 到平面A 1CC 1的距离为定值，又因为△A 1CC 1的面积为定值，所以三棱锥E -A 1CC 1和三棱锥F -A 1CC 1的体积都为定值，则四棱锥C 1-A 1ECF 的体积为定值，故C 正确.取棱CC 1的中点O 1，由题中数据可得CE =C 1E =22,CC 1=4，则CE 2+C 1E 2=CC 12，所以△CC 1E 为等腰直角三角形，所以O 1是△CC 1E 外接圆的圆心，△CC 1E 外接圆的半径r =2.设三棱锥E -A 1CC 1的外按球的球心为O ，半径为R ，设OO 1=d ，则R 2=d 2+r 2=O 1B 21+A 1B 1-d 2=8+(2-d )2，即d 2+4=8+(2-d )2，解得d =2，则R 2=8，此时O 点位于DD 1中点，从而三棱锥E -A 1CC 1的外接球的表面积是4πR 2=32π，故D 正确.故选：BCD .27.(2024·广东·高三校联考开学考试)已知函数f x 的定义域为R ，且f x -1 +f x +1 =0，f 1-x =f x +5 ，若f 52=1，则()A.f x 是周期为4的周期函数B.f x 的图像关于直线x =1对称C.f x 是偶函数D.f 12 +2f 32 +3f 52 +⋯+30f 592=-31【答案】ABD【解析】对A ，因为f (x -1)+f (x +1)=0，所以f (x +1)+f (x +3)=0，所以f (x -1)=f (x +3)，即f (x )=f (x +4)，所以f (x )是周期为4的周期函数，则A 正确.对B ，因为f (1-x )=f (x +5)，所以f (1-x )=f (x +1)，所以f (x )的图象关于直线x =1对称，则B 正确.对C ，因为f 52 =1，所以f -32 =1.令x =32，得f 12 +f 52 =0，则f 12=-1.因为f (x )的图象关于直线x =1对称，所以f 32 =f 12 =-1，则f 32 ≠f -32，从而f (x )不是偶函数，则C 错误.对D ，由f (x )的对称性与周期性可得f 12 =f 32 =-1,f 52 =f 72=1，则f 12 +2f 32 +3f 52 +⋯+30f 592 =7(-1-2+3+4)-29-30=-31，故D 正确.故选：ABD .28.(2024·广东湛江·统考一模)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB =2BB 1=4，BC =3，M ,N 分别为BB 1和CC 1的中点，P 为棱B 1C 1上的一点，且PC ⊥PM ，则下列选项中正确的有()A.三棱柱ABC -A 1B 1C 1存在内切球B.直线MN 被三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球截得的线段长为13C.点P 在棱B 1C 1上的位置唯一确定D.四面体ACMP 的外接球的表面积为26π【答案】ABD【解析】对于A ，取棱AA 1中点Q ，连接MQ ,NQ ，若三棱柱ABC -A 1B 1C 1存在内切球，则三棱柱ABC -A 1B 1C 1内切球球心即为△MNQ 的内切圆圆心，∵△MNQ 的内切圆半径即为△ABC 的内切圆半径，又AB ⊥BC ，AB =4，BC =3，∴AC =5，∴△ABC 的内切圆半径r =2S △ABCAB +BC +AC=2×12×4×34+3+5=1，即△MNQ 的内切圆半径为1，又平面ABC 、平面A 1B 1C 1到平面MNQ 的距离均为1，∴三棱柱ABC -A 1B 1C 1存在内切球，内切球半径为1，A 正确；对于B ，取AC 中点G ，NQ 中点O ，MN 中点H ，连接BG ,OG ,OH ,B 1C ,OB 1，∵AB ⊥BC ，∴G 为△ABC 的外接圆圆心，又OG ⎳AA 1⎳BB 1，BB 1⊥平面ABC ，∴O 为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的球心；∵BB 1⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴BB 1⊥AB ，又AB ⊥BC ，BB 1∩BC =B ，BB 1,BC ⊂平面BCC 1B 1，∴AB ⊥平面BCC 1B 1，∵OH ⎳MQ ⎳AB ，∴OH ⊥平面BCC 1B 1，∴H 为四边形BCC 1B 1的外接圆圆心，∵四边形BCC 1B 1为矩形，∴直线MN 被三棱柱ABC -A 1B 1C 1截得的线段长即为矩形BCC 1B 1的外接圆直径，∵B 1C =BC 2+BB 21=9+4=13，∴直线MN 被三棱柱ABC -A 1B 1C 1截得的线段长为13，B 正确；对于C ，在平面中作出矩形BCC 1B 1，设C 1P =m 0≤m ≤3 ，则B 1P =3-m ，∴PC 2=4+m 2，MP 2=1+3-m 2，MC 2=32+12=10，又PC ⊥PM ，∴PC 2+PM 2=MC 2，即4+m 2+1+3-m 2=10，解得：m =1或m =2，∴P 为棱B1C 1的三等分点，不是唯一确定的，C 错误；对于D ，取MC 中点S ，∵PC ⊥PM ，∴S 为△PCM 的外接圆圆心，且BS =12MC =1232+12=102，则四面体ACMP 的外接球球心O 在过S 且垂直于平面PCM 的直线上，∵AB ⊥平面PCM ，∴O S ⊥平面PCM ，设O S =a ，四面体ACMP 的外接球半径为R ，∴R 2=102 2+a 2=102 2+4-a 2，解得：a =2，R 2=132，∴四面体ACMP 的外接球表面积为4πR 2=26π，D 正确.故选：ABD .29.(2024·广东梅州·统考一模)如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n n =2,3,⋅⋅⋅,9 的不同路线条数记为r n ，从1移动到9的事件中，跳过数字n n =2,3,⋅⋅⋅,8 的概率记为p n ，则下列结论正确的是()A.r 6=8B.r n +1>r nC.p 5=934D.p 7>p 8【答案】ABD【解析】画出树状图，结合图形结合树状图可知：r 2=1,r 3=2,r 4=3,r 5=5,r 6=8,r 7=13,r 8=21,r 9=34，对于选项A ：可知r 6=8，故A 正确；对于选项B ：均有r n +1>r n ，故B 正确；对于选项C ：因为r 9=34，过数字5的路线有5条，所以p 5=1-r 5r 9=2934，故C 错误；对于选项D ：因为p 7=1-r 7r 9=2134,p 8=1-r 8r 9=1334，所以p 7>p 8，故D 正确；故选：ABD .30.(2024·广东梅州·统考一模)已知函数f x =e sin x -e cos x ，则下列说法正确的是()A.f x 的图象关于直线x =π4对称 B.f x 的图象关于点π4,0中心对称C.f x 是一个周期函数 D.f x 在区间0,π 内有且只有一个零点【答案】BCD【解析】AB 选项，f x 的定义域为R ，f π2-x =e sin π2-x -e cos π2-x =e cos x -e sin x =-f x ，所以f x 关于点π4,0 中心对称，A 选项错误，B 选项正确.C 选项，f x +2π =esin x +2π-ecos x +2π=e sin x -e cos x =f x ，所以f x 是周期函数，C 选项正确.D 选项，令f x =e sin x -e cos x =0得e sin x =e cos x ，所以sin x =cos x ，在区间0,π 上，解得x =π4，所以f x 在区间0,π 内有且只有一个零点，所以D 选项正确.故选：BCD31.(2024·广东深圳·统考一模)如图，八面体Ω的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B ,C ,D ,E 在同一个平面内．若点M 在四边形BCDE 内(包含边界)运动，N 为AE 的中点，则()A.当M 为DE 的中点时，异面直线MN 与CF 所成角为π3B.当MN ∥平面ACD 时，点M 的轨迹长度为22C.当MA ⊥ME 时，点M 到BC 的距离可能为3D.存在一个体积为103的圆柱体可整体放入Ω内【答案】ACD 【解析】因为BCDE 为正方形，连接BD 与CE ，相交于点O ，连接OA ，则OD ，OE ，OA 两两垂直，故以OD ,OE ,OA 为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，D (22,0,0)，B (-22,0,0)，E (0,22,0)，C (0,-22,0)，A (0,0,22)，F (0,0,-22)，N 为AE 的中点，则N (0,2,2).当M 为DE 的中点时，M (2,2,0)，MN =-2,0,2 ，CF =0,22,-22 ，设异面直线MN 与CF 所成角为θ，cos θ=cos MN ,CF =MN ⋅CFMN CF=0+0-4 2×4=12，θ∈0,π2 ，故θ=π3，A 正确；设P 为DE 的中点，N 为AE 的中点，则PN ∥AD ，AD ⊂平面ACD ，PN ⊄平面ACD ，则PN ∥平面ACD ，又MN ∥平面ACD ，又MN ∩PN =N ，设Q ∈BC ，故平面MNP ∥平面ACD ，平面ACD ∩平面BCDE =CD ，平面MNP ∩平面BCDE =PQ ，则PQ ∥CD ，则Q 为BC 的中点，点M 在四边形BCDE 内(包含边界)运动，则M ∈PQ ，点M 的轨迹是过点O 与CD 平行的线段PQ ，长度为4，B 不正确；当MA ⊥ME 时，设M (x ,y ,0)，MA =(-x ,-y ,22)，ME =(-x ,22-y ,0)，MA ⋅ME=x 2+y (y -22)=0，得x 2+y 2-22y =0，即x 2+(y -2)2=2，即点M 的轨迹以OE 中点K 为圆心，半径为2的圆在四边BCDE 内(包含边界)的一段弧(如下图)，K 到BC 的距离为3，弧上的点到BC 的距离最小值为3-2，因为3-2<3，所以存在点M 到BC 的距离为3，C 正确；由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥A -BCDE 内接最大圆柱的体积，设圆柱底面半径为r ，高为h ，P 为DE 的中点，Q 为BC 的中点, PQ =4，AO =22，根据△AGH 相似△AOP ，得GH OP =AG AO ，即r 2=22-h22，h =2(2-r )，则圆柱体积V =πr 2h =2πr 2(2-r )，设V (r )=2π(2r 2-r 3)(0<r <2)，求导得V (r )=2π(4r -3r 2)，令V (r )=0得，r =43或r =0，因为0<r <2，所以r =0舍去，即r =43，当0<r <43时，V (r )>0，当43<r <2时，V (r )<0，即r =43时V 有极大值也是最大值，V 有最大值32227，32227-53=962-13527=962×2-135227=18432-1822527>0，故32227>53所以存在一个体积为10π3的圆柱体可整体放入Ω内，D 正确.故选：ACD .32.(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知函数f x =A tan ωx +φ (ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则()A.ω⋅φ⋅A =π6B.f x 的图象过点11π6,233C.函数y =f x 的图象关于直线x =5π3对称D.若函数y =f x +λf x 在区间-5π6,π6 上不单调，则实数λ的取值范围是-1,1【答案】BCD【解析】A ：设该函数的最小正周期为T ，则有T =πω=π6--5π6 ⇒ω=1，即f x =A tan x +φ ，由函数的图象可知：π6+φ=π2⇒φ=π3，即f x =A tan x +π3，由图象可知：f 0 =A tan π3=23⇒A =2，所以ω⋅φ⋅A =2π3，因此本选项不正确；B ：f 11π6 =2tan 11π6+π3 =2tan 13π6=2tan π6=2×33=233，所以本选项正确；C ：因为f 5π3-x =2tan 5π3-x +π3=2tan x ，f 5π3+x =2tan 5π3+x +π3=2tan x ，所以f 5π3-x =f 5π3+x ，所以函数y =f x 的图象关于直线x =5π3对称，因此本选项正确；D ：y =f x +λf x =2tan x +π3 +2λtan x +π3当x ∈-π3,π6 时，y =f x +λf x =2tan x +π3 +2λtan x +π3 =2tan x +π3 +2λtan x +π3 =2+2λ tan x +π3 ，当x ∈-5π6,-π3，y =f x +λf x =2tan x +π3 +2λtan x +π3 =-2tan x +π3 +2λtan x +π3=-2+2λ tan x +π3，当函数y =f x +λf x 在区间-5π6,π6上不单调时，则有2+2λ -2+2λ ≤0⇒-1≤λ≤1，故选：BCD33.(2024·湖南长沙·长郡中学校考一模)小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有1∼10的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进n 步的概率为p n ，则下列说法正确的是()A.p 2=14B.p n =12p n -1+12p n -2n ≥3 C.p n =1-12p n -1n ≥2 D.小华一共前进3步的概率最大【答案】BC【解析】根据题意，小郡前进1步的概率和前进2步的概率都是12，所以P 1=12，P 2=12×12+12=34，故选项A错误；当n≥3时，其前进几步是由两部分组成：先前进n-1步，再前进1步，其概率为12p n-1，或者先前进n-2步，再前进2步，其概率为12p n-2，所以p n=12p n-1+12p n-2n≥3，故选项B正确；因为p n=12p n-1+12p n-2n≥3，所以2p n+p n-1=2p n-1+p n-2n≥3，而2p2+p1=2×34+12=2，所以2p n+p n-1=2n≥2，即p n=1-12p n-1n≥2，故选项C正确；因为当n≥2时，p n=1-12p n-1，所以p n-23=-12p n-1-23，又p1-23=12-23=-16，所以数列p n-23是首项为-16，公比为-12的等比数列.所以P n-23=-16×-12n-1，所以P n=23-16×-12n-1.当n为奇数时，n-1为偶数，则P n=23-16×12n-1，此时数列p n 单调递增，所以P n<23；当n为偶数时，n-1为奇数，则P n=23+16×12n-1，此时数列p n 单调递减，所以P n≤P2=3 4；综上，当n=2时，概率最大，即小华一共前进2步的概率最大，故选项D错误.故选：BC34.(2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考一模)在三棱锥A-BCD中，AD=BC=4，AB=BD=DC=CA=6，M为BC的中点，N为BD上一点，球O为三棱锥A-BCD的外接球，则下列说法正确的是()A.球O的表面积为11πB.点A到平面BCD的距离为14C.若MN⊥AB，则DN=6NBD.过点M作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为2【答案】BCD【解析】由AD=BC=4，AB=BD=DC=CA=6，可将三棱锥A-BCD补形成如图所示的长方体，设BF=x,BE=y,AE=z，则x2+y2=16z2+y2=36x2+z2=36，解得x=22y=22z=27，即AE=27，EB=BF=22，所以球O的半径为272+222+2222=11，所以球O的表面积为44π，故A错误.由题得长方体为正四棱柱，AB=AC=BD=CD，M为BC的中点，故AM⊥BC,DM⊥BC,又AM∩DM=M,AM,DM⊂平面AMD，则BC⊥平面AMD，又BC⊂平面BCD，故平面BCD⊥平面AMD，平面BCD∩平面AMD=MD，过点A作MD的垂线，交MD于H，则AH⊥平面BCD,故AH为点A到平面BCD的距离.在△AMD中，AM=MD=42，AD=4，故cos ∠ADH =16+32-322×4×42=122,sin ∠ADH =722，则AH =4×722=14，故B 正确.以E 为原点，EB ，EC ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A 0,0,27 ,D 22,22,27 ，B 22,0,0 ，M 2,2,0 ，AB =22,0,-27 ，BD =0,22,27 .设BN =λBD=0,22λ,27λ ，所以MN =MB +BN=2,-2,0 +0,22λ,27λ =2,22λ-2,27λ ，因为MN ⊥AB ，所以MN ⋅AB=22×2-27×27λ=0，解得λ=17，所以DN =6NB ，故C 正确.当且仅当OM 与截面垂直时，截面面积最小，由A 解析知：最小的半径为11-7=2，故D 正确.故选：BCD35.(2024·湖北武汉·统考模拟预测)已知函数f x =a e x +1 ln 1+x 1-x-e x+1恰有三个零点，设其由小到大分别为x 1,x 2,x 3，则()A.实数a 的取值范围是0,1eB.x 1+x 2+x 3=0C.函数g x =f x +kf -x 可能有四个零点D.f ′x 3 f ′x 1=e x3【答案】BCD【解析】对于B ，f x =0⇔a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1=0，设h x =a ln 1+x 1-x +1-e xe x +1，则它的定义域为-1,1 ，它关于原点对称，且h -x =a ln 1-x 1+x +1-e -x e -x +1=-a ln 1+x 1-x +1-e xe x +1=-h x ，所以h x 是奇函数，由题意h x =0有三个根x 1,x 2,x 3，则x 1+x 2+x 3=0，故B 正确；对于C ，由f x +kf -x =0⇒a e x +1 ln 1+x 1-x -e x +1+a e -x +1 ln 1-x 1+x -e -x +1 =0，所以a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1+k a ln 1+x 1-x e x -1-e x e x1+e x=0，所以a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1=k e x a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1，即a ln 1+x 1-x +1-e x e x +1 1-k e x=0已经有3个实根x 1,x 2,x 3，当k >0时，令1-kex =0，则x =ln k ，只需保证ln k ≠x 1,x 2,x 3可使得方程有4个实根，故C 正确；由B 可知，x 1=-x 3，而f x 3 f x 1=e x 3⇔f x 3 =e x3f -x 3 ，又f x =ae x ln 1+x 1-x +a e x +1 21-x 2-e x ,e x 3f-x 3 =a ln 1-x 31+x 3+a e x 3+1 21-x 23-1，所以f x 3 =ae x 3ln 1+x 31-x 3+a e x 3+1 21-x 23-ex3。

导数的综合运用：同构、构造函数选择填空压轴题(解析版)

2024届高考数学专题：同构、构造函数选择填空压轴题一、单选题1.若对∀x ∈12e ,12，不等式(ax -4)ln x <2ln a -ax ln2恒成立，则实数a 的取值范围是()A.(0,4e ]B.(4e ,+∞)C.[4e ,+∞)D.(4e ,+∞)【答案】C【分析】不等式(ax -4)ln x <2ln a -ax ln2变形为ln (2x )2x <ln (ax 2)ax 2，令f x =ln xx ，利用导数研究函数单调性，解不等式求实数a 的取值范围.【详解】由已知得：a >0，由ax -4 ln x <2ln a -ax ln2，得ax ln 2x <2ln a +2ln x 即ax ln (2x )2<ln (ax 2)，可得ln (2x )2x <ln (ax 2)ax 2．令f x =ln xx，x ∈0,+∞ ，则f (2x )<f (ax 2)，求导得f (x )=1-ln x x2，f(x )>0，解得0<x <e ；f (x )<0，解得x >e ，∴f (x )在(0,e )上单调递增，在(e ,+∞)上单调递减，且当0<x <1时f (x )<0；当x >1时，f (x )>0，函数图像如图所示．∵x ∈12е,12，∴2x ∈1е,1，∴f (2x )<0，由f (2x )<f (ax 2)及f x =ln x x 的图像可知，2x <ax 2恒成立，即a >2x成立，而2x ∈(4,4e )，∴a ≥4е，实数a 的取值范围是[4e ,+∞).故选：C ．2.对任意x ∈0,+∞ ，k e kx +1 -1+1xln x >0恒成立，则实数k 的可能取值为()A.-1B.13C.1eD.2e【答案】D【分析】将恒成立的不等式化为e kx +1 ln e kx >x +1 ln x ，构造函数f x =x +1 ln x ，利用导数可求得f x 单调性，从而得到e kx >x ，分离变量可得k >ln x x ；令h x =ln xx，利用导数可求得h x 最大值，由此可得k 的范围，从而确定k 可能的取值.【详解】当x >0时，由k e kx +1 -1+1xln x >0得：kx e kx +1 >x +1 ln x ，∴e kx +1 ln e kx >x +1 ln x ，令f x =x +1 ln x ，则f x =ln x +1+1x，令g x =f x ，则g x =1x -1x 2=x -1x 2，∴当x ∈0,1 时，g x <0；当x ∈1,+∞ 时，g x >0；∴f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，∴f x ≥f 1 =2>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，由e kx +1 ln e kx >x +1 ln x 得：f e kx >f x ，∴e kx >x ，即k >ln xx；令h x =ln x x ，则h x =1-ln xx 2，∴当x ∈0,e 时，h x >0；当x ∈e ,+∞ 时，h x <0；∴h x 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴h x ≤h e =1e，∴当x >0时，k >ln x x 恒成立，则k >1e，∴实数k 的可能取值为2e，ABC 错误，D 正确.故选：D .【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，解题关键是能够对于恒成立的不等式进行同构变化，将其转化为同一函数的两个函数值之间的大小关系的问题，从而利用函数的单调性来进行求解.3.已知对任意的x ∈0,+∞ ，不等式kx e kx +1 -x +1 ln x >0恒成立，则实数k 的取值范围是()A.e ,+∞B.1e ,eC.1e,+∞D.1e2,1e【答案】C【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、常变量分离法进行求解即可.【详解】因为kx e kx +1 >(x +1)ln x ，所以e kx +1 ln e kx >(x +1)ln x ①，令f (x )=(x +1)ln x ，则f (x )=1x +1+ln x ，设g (x )=f (x )=1x+1+ln x ，所以g (x )=-1x 2+1x =x -1x2，当0<x <1时，g(x )<0，当x >1时，g (x )>0，所以f (x )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f x ≥f 1 =2，所以f (x )在(0,+∞)单调递增，因为①式可化为f e kx >f (x )，所以e kx >x ，所以k >ln xx，令h (x )=ln x x ，则h (x )=1-ln xx 2，当x ∈(0,e )时，h (x )>0，当x ∈(e ,+∞)时，h (x )<0，所以h (x )在(0,e )单调递增，在(e ,+∞)单调递减，所以h (x )max =h (e )=1e ，所以k >1e，故选：C .4.设实数a >0，对任意的x ∈1e3,+∞，不等式e 2ax -ln x 2a ≥1a -e 2ax ax 恒成立，则实数a 的取值范围是()A.1e ,+∞B.12e,+∞ C.0,1eD.1e2,+∞【答案】B【分析】将e 2ax-ln x 2a ≥1a -e 2ax ax化简为e 2ax 2ax +2 ≥x ln x +2 ，再构造函数f x =x ln x +2 ，求导分析单调性可得e 2ax ≥x 在区间1e3,+∞上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可.【详解】因为e 2ax-ln x 2a ≥1a -e 2ax ax恒成立即2axe 2ax -x ln x ≥2x -2e 2ax ，可得e 2ax 2ax +2 ≥x ln x +2 ，令f x =x ln x +2 ，则f e 2ax ≥f x 恒成立.又f x =ln x +3，故当x ∈1e 3,+∞时，fx >0，故f x =x ln x +2 在区间1e3,+∞上为增函数.又f e 2ax ≥f x 恒成立，则e 2ax ≥x 在区间1e3,+∞上恒成立，即2ax ≥ln x ，2a ≥ln xx .构造g x =ln x x ,x ∈1e 3,+∞，则g x =1-ln xx2，令g x =0有x =e ，故当x ∈1e3,e时g x >0，g x 为增函数；当x ∈e ,+∞ 时g x <0，g x 为减函数.故g x ≤g e =1e ，故2a ≥1e ，即a ≥12e.故选：B 【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：若f (x )在区间D 上有最值，则(1)恒成立：∀x ∈D ,f x >0⇔f x min >0；∀x ∈D ,f x <0⇔f x max <0；(2)能成立：∃x ∈D ,f x >0⇔f x max >0；∃x ∈D ,f x <0⇔f x min <0.若能分离常数，即将问题转化为：a >f x (或a <f x )，则(1)恒成立：a >f x ⇔a >f x max ；a <f x ⇔a <f x min ；(2)能成立：a >f x ⇔a >f x min ；a <f x ⇔a <f x max .5.已知函数f x =ln x +ax 2，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2，则实数a 的取值范围是()A.14,+∞B.12,+∞C.14,+∞ D.12,+∞ 【答案】D【分析】构造函数g (x )=f (x )-2x =ln x +ax 2-2x (x >0)，则转化得到g x 在(0,+∞)上单调递增，将题目转化为g (x )=1x+2ax -2≥0在(0,+∞)上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.【详解】由题意,不妨设x 1>x 2>0,因为对任意两个不等的正实数x 1,x 2,都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2,所以f x 1 -f x 2 >2x 1-2x 2,即f x 1 -2x 1>f x 2 -2x 2,构造函数g(x)=f(x)-2x=ln x+ax2-2x(x>0),则g x1>g x2,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g (x)=1x+2ax-2≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≥1x-12x2在(0,+∞)上恒成立,设m(x)=1x-12x2(x>0),则m (x)=-1x2+1x3=1-xx3，所以当x∈(0,1)时,m (x)>0,m(x)单调递增，x∈(1,+∞)时,m (x)<0,m(x)单调递减，所以m(x)max=m(1)=1-12=12，所以a≥1 2 .故选：D.6.已知f x 是定义在R上的函数f x 的导函数，且f x +xf x <0，则a=2f2 ,b=ef e ,c=3f3 的大小关系为()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c【答案】A【分析】构建g x =xf x ，求导，利用导数判断g x 的单调性，进而利用单调性比较大小.【详解】构建g x =xf x ，则g x =f x +xf x ，因为f x +xf x <0对于x∈R恒成立，所以g x <0，故g x 在R上单调递减，由于a=2f2 =g2 ,b=ef e =g e ,c=3f3 =g3 ，且2<e<3，所以g2 >g e >g3 ，即a>b>c.故选：A.【点睛】结论点睛：1.f x +xf x 的形式，常构建xf x ；f x -xf x 的形式，常构建f x x；2.f x +f x 的形式，常构建e x⋅f x ；f x -f x 的形式，常构建f x e x.7.若函数f x =e x2-2ln x-2a ln x+ax2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.-∞,-eB.-∞,-eC.-e,0D.-e,0【答案】A【分析】将问题转化为函数y=-a与y=e x2-2ln xx2-2ln x图象有两个不同的交点，根据换元法将函数y=e x2-2ln x x2-2ln x 转化为g t =e tt，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.【详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f x =e x2-2ln x-2a ln x+ax2=e x2-2ln x+a x2-2ln x，设h(x)=x2-2ln x(x>0)，则h (x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x，令h (x)>0⇒x>1，令h (x)<0⇒0<x<1，所以函数h (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且h (1)=1，所以h (x )min =h (1)=1，所以h (x )≥1，函数f (x )有两个不同的零点等价于方程f (x )=0有两个不同的解，则e x 2-2ln x+a x 2-2ln x =0⇒-a =e x 2-2ln x x 2-2ln x，等价于函数y =-a 与y =e x 2-2ln xx 2-2ln x 图象有两个不同的交点.令x 2-2ln x =t ，g t =e t t ,t >1，则函数y =-a 与g t =e tt ,t >1图象有一个交点，则g t =te t -et t 2=e t t -1 t2>0，所以函数g (t )在(1,+∞)上单调递增，所以g t >g 1 =e ，且t 趋向于正无穷时，g t =e tt趋向于正无穷，所以-a >e ，解得a <-e.故选：A .【点睛】方法点睛：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．对于不适合分离参数的等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.8.函数f x 是定义在0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f x ，且满足f x +2xf x >0，若不等式ax ⋅f ax ln x ≥f ln x ⋅ln xax在x ∈1,+∞ 上恒成立，则实数a 的取值范围是()A.0,1eB.1e ,+∞C.0,eD.1e,+∞【答案】B【分析】根据题目条件可构造函数g x =x 2f x ，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成g ax≥g ln x ，即a ≥ln x x 在x ∈1,+∞ 上恒成立，求出函数ln xx在1,+∞ 上的最大值即可得a 的取值范围.【详解】设g x =x 2f x ，x >0，g x =x 2f x +2xf x =x 2fx +2x f x >0所以函数g x 在0,+∞ 上为增函数．由f x 的定义域为0,+∞ 可知ax >0，得a >0，将不等式ax ⋅f ax ln x ≥f ln x ⋅ln xax整理得a 2x 2⋅f ax ≥f ln x ⋅ln 2x ，即g ax ≥g ln x ，可得ax ≥ln x 在x ∈1,+∞ 上恒成立，即a ≥ln xx在x ∈1,+∞ 上恒成立；令φx =ln xx ，其中x >1，所以a ≥φx maxφ x =1-ln xx2，令φ x =0，得x =e ．当x ∈1,e 时，φ x >0，所以φx 在1,e 上单调递增；当x ∈e ,+∞ 时，φ x <0，所以φx 在e ,+∞ 上单调递减；所以φx max =φe =1e ，即a ≥1e故选：B ．9.已知函数f (x )=xe x -a ln x +x -x a +1，若f (x )>0在定义域上恒成立，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,e )B.0,eC.(-∞,1)D.0,1【答案】B【分析】构造函数g x =x +e x ，从而原不等式可转化为g x +ln x >g a ln x +ln x ，根据g x 的单调性可得x -a ln x >0，根据a 不同取值分类讨论求解即可.【详解】由f x >0得xe x +x >a ln x +x a +1，所以xe x +x +ln x >a ln x +ln x +x a +1，即e x +ln x +x +ln x >a ln x +ln x +x a +1，构造函数g x =x +e x ，则不等式转化为g x +ln x >g a ln x +ln x ，又易知g x 在R 上单调递增，故不等式等价于x +ln x >a ln x +ln x ，即x -a ln x >0.设h x =x -a ln x ，若a <0，h e1a=e1a-a lne 1a =e 1a-1<0，不符合题意；若a =0，则当x >0时，h x =x >0，符合题意；若a >0，则h x =1-ax,h x 在0,a 上单调递减，在a ,+∞ 上单调递增，所以h (x )min =h a ，要使h x >0恒成立，只需h a =a 1-ln a >0，所以0<a <e.综上可知a 的取值范围是0,e .故选：B .10.已知函数f (x )=xe x +e x ,g (x )=x ln x +x ，若f x 1 =g x 2 >0，则x 2x 1可取()A.-1 B.-1eC.1D.e【答案】A【分析】探讨函数g x 在1e 2,+∞上单调性，由已知可得x 2=e x 1(x 1>-1)，再构造函数并求出其最小值即可判断作答.【详解】依题意，由g x 2 =x 2(ln x 2+1)>0得x 2>1e，令g x =2+ln x >0，函数g x 在1e 2,+∞上单调递增，由f x 1 =e x 1x 1+1 >0得x 1>-1，则f x =e x ln e x +1 =g (e x )，由f x 1 =g x 2 >0得：g (e x 1)=g (x 2)，又e x 1>1e ,x 2>1e，于是得x 2=e x 1(x 1>-1)，x 2x 1=ex1x 1，令h (x )=e x x (x >-1)，求导得h(x )=e x (x -1)x 2，当-1<x <0,0<x <1时，h (x )<0，当x >1时，h (x )>0，即函数h (x )在(-1,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，当x >0时，h (x )min =h (1)=e ，且x →+∞，h (x )→+∞，h (-1)=-1e ，且x →0-，h (x )→-∞，故h (x )∈-∞,-1e∪[e ,+∞)即x 2x 1∈-∞,-1e ∪[e ,+∞)，显然选项A 符合要求，选项B ，C ，D 都不符合要求.故选：A 一、填空题11.设实数m >0，若对∀x ∈0,+∞ ,不等式e mx -ln xm≥0恒成立，则m 的取值范围为．【答案】m ≥1e【分析】构造函数f x =xe x 判定其单调性得mx ≥ln x ，分离参数根据恒成立求y =ln xx max即可.【详解】由e mx -ln xm≥0⇔mxe mx ≥x ln x =ln x ⋅e ln x ，构造函数f x =xe x x >0 ⇒f x =x +1 e x >0，∴f x 在0,+∞ 为增函数，则mx ⋅e mx ≥ln x ⋅e ln x ⇔mx ≥ln x 即对∀x ∈0,+∞ ,不等式mx ≥ln x 恒成立，则∀x ∈0,+∞ ,m ≥ln xx max，构造函数g x =ln x x ⇒g x =1-ln xx 2,令g x >0，得0<x <e ；令g x <0，得x >e ；∴g x =ln xx在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴g x max =g e =1e ，即m ≥1e .故答案为：m ≥1e .12.已知函数f (x )=e x +1-a ln x ，若f (x )≥a (ln a -1)对x >0恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】0,e 2【分析】对不等式进行合理变形同构得e x +1-ln a +x +1-ln a ≥x +ln x ，构造函数利用函数的单调性计算即可.【详解】易知a >0，由e x +1-a ln x ≥a (ln a -1)可得e x +1a+1-ln a ≥ln x ，即e x +1-ln a +1-ln a ≥ln x ，则有e x +1-ln a +x +1-ln a ≥x +ln x ，设h (x )=e x +x ，易知h x 在R 上单调递增，故h (x +1-ln a )≥h (ln x )，所以x +1-ln a ≥ln x ，即x -ln x ≥ln a -1，设g (x )=x -ln x ⇒g x =x -1x，令g x >0⇒x >1，g x <0⇒0<x <1，故g x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以g x ≥g 1 =1，则有1≥ln a -1，解之得a ∈0,e 2 ．故答案为：0,e 2 .13.已知a >1，若对于任意的x ∈13,+∞，不等式13x -2x +ln3x ≤1ae2x +ln a 恒成立，则a 的最小值为.【答案】32e【分析】根据题意可得13x +ln3x ≤1ae2x +ln ae 2x ，再构造f (x )=1x +ln x (x ≥1)，利用导数研究该函数的单调性，从而利用函数的单调性，可得3x ≤ae 2x ，然后再参变量分离，将恒成立问题转为变量的最值，最后利用导数求出变量式的最值，从而得解．【详解】因为ln a +2x =ln a +ln e 2x =ln ae 2x ，所以13x -2x +ln3x ≤1ae 2x +ln a 可化为13x +ln3x ≤1ae2x +ln ae 2x ，设f (x )=1x +ln x (x ≥1)，则f (x )=-1x 2+1x =x -1x 2≥0，∴f (x )在1,+∞ 上单调递增，因为a >1，x ∈13,+∞，所以3x ≥1，e 2x ≥e 23>1，ae 2x >1，所以13x +ln3x ≤1ae 2x +ln ae 2x 可化为f (3x )≤f (ae 2x )，所以3x ≤ae 2x ，∴a ≥3x e2x 在x ∈13,+∞ 上恒成立，∴a ≥3x e2xmax ，x ∈13,+∞ ，设g (x )=3x e 2x ，x ∈13,+∞ ，则g(x )=3(1-2x )e 2x，令g (x )>0，得13≤x <12；g (x )<0，得x >12，所以g (x )在13,12上单调递增，在12,+∞ 上单调递减，所以g x max =g 12 =32e ，所以a ≥32e ，即a 的最小值为32e ．故答案为：32e．【点睛】关键点睛：本题的关键是将式子同构成13x +ln3x ≤1ae 2x +ln ae 2x ，再构造函数.14.若不等式ae 3x +2x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，则实数a 的最小值为．【答案】13e【分析】将不等式变形为e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，构造函数g x =e x +x ，求导得单调性，进而问题进一步转化为ln a ≥ln x -3x 成立，构造h x =ln x -3x ，即可由导数求最值求解.【详解】因为ae 3x +2x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，不等式可变形为:ae 3x +3x +ln a ≥ln x +x ，即e ln a e 3x +3x +ln a ≥ln x +e ln x ，即e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，记g x =e x +x ，则g x =e x +1>0，所以g x 在R 上单调递增，则e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 可写为g 3x +ln a ≥g ln x ，根据g x 单调性可知，只需3x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立即可，即ln a ≥ln x -3x 成立，记h x =ln x -3x ，即只需ln a ≥h x max ，因为h x =1x -3=1-3x x ，故在x ∈0,13 上，h x >0，h x 单调递增，在x ∈13,+∞ 上，h x <0，h x 单调递减，所以h x max =h 13 =ln 13-1=ln 13e，所以只需ln a ≥ln 13e 即可，解得a ≥13e.故答案为:13e【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式恒成立或者存在类问题：1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.15.已知函数f x =ln x +ax 2，若对任意两个不相等的正实数x 1,x 2，都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2，则实数a 的取值范围是【答案】12,+∞ 【分析】设x 2>x 1>0，令g x =f x -2x ，将问题转化为g x 在0,+∞ 上单调递增，即g x ≥0在0,+∞ 上恒成立，采用分离变量的方式可得2a ≥-1x 2+2x ，结合二次函数性质可确定2a ≥1，由此可得结果.【详解】不妨设x 2>x 1>0，由f x 1 -f x 2x 1-x 2>2得：f x 1 -2x 1<f x 2 -2x 2，令g x =f x -2x ，则g x 在0,+∞ 上单调递增，∴g x =1x +2ax -2≥0在0,+∞ 上恒成立，∴2a ≥-1x 2+2x ，当1x =1，即x =1时，y =-1x2+2x 取得最大值1，∴2a ≥1，解得：a ≥12，∴实数a 的取值范围为12,+∞ .故答案为：12,+∞ .16.已知函数f x =12x 2-a ln x +1，当-2≤a <0，对任意x 1,x 2∈1,2 ，不等式f x 1 -f x 2 ≤m1x 1-1x 2恒成立，则m 的取值范围为．【答案】12，+∞【分析】构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，求m 的取值范围即可.【详解】因为-2≤a <0，函数f x 在1,2 上单调递增，不妨设1≤x 1≤x 2≤2，则f x 1 -f x 2 ≤m1x 1-1x 2，可化为f x 2 +m x 2≤f x 1 +mx 1，设h x =f x +mx=12x2-a ln x+1+mx，则h x1≥h x2，所以h x 为1,2上的减函数，即h x =x-ax-mx2≤0在1,2上恒成立，等价于m≥x3-ax在1,2上恒成立，设g x =x3-ax，所以m≥g(x)max，因-2≤a<0，所以g x =3x2-a>0，所以函数g x 在1,2上是增函数，所以g(x)max=g2 =8-2a≤12(当且仅当a=-2时等号成立)．所以m≥12.故答案为：12，+∞．17.已知实数x，y满足e x=xy2ln x+ln y，则xy的取值范围为.【答案】[e,+∞)【分析】把e x=xy2ln x+ln y化为xe x=x2y⋅ln(x2y)，构造函数f(x)=xe x(x>0)，可得xy=e xx，再求出函数g(x)=e xx(x>0)的值域即可得答案.【详解】依题意有x>0,y>0，设f(x)=xe x(x>0)，则f (x)=(x+1)e x>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，由e x=xy2ln x+ln y，得xe x=x2y⋅ln(x2y)，即有f(x)=f(ln(x2y))，因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以有x=ln(x2y)，即x2y=e x，所以xy=e x x，设g(x)=e xx(x>0)，则g (x)=(x-1)e xx2，令g (x)=0，得x=1，x∈(0,1)时，g (x)<0，g(x)单调递减，x∈(1,+∞)时，g (x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min=g(1)=e，所以x∈(0,+∞)时，g(x)∈[e,+∞)，所以xy的取值范围为[e,+∞).故答案为：[e,+∞)18.已知x0是方程e3x-ln x+2x=0的一个根，则ln x0x0=.【答案】3【分析】依题意得e3x0+3x0=x0+ln x0，构造函数f(x)=e x+x，则有f(3x0)=f(ln x0)，得出f(x)的单调性即可求解.【详解】因为x0是方程e3x-ln x+2x=0的一个根，则x0>0，所以e3x0-ln x0+2x0=0，即e3x0+3x0=x0+ln x0，令f(x)=e x+x，则f (x)=e x+1>0，所以f(x)在R单调递增，又e3x0+3x0=x0+ln x0，即f(3x0)=f(ln x0)，所以3x0=ln x0，所以ln x0x0=3.故答案为：319.已知函数f x =e ax-2ln x-x2+ax，若f x >0恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】2e,+∞ 【分析】根据f x >0恒成立，可得到含有x ，a 的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”转化为求函数的最大值或最小值，最后得出a 的范围.【详解】已知函数f x =e ax -2ln x -x 2+ax ，若f x >0恒成立，则实数a 的取值范围为令g x =e x +x ，g x =e x +1>0，所以g x 单调递增，因为f x =e ax -2ln x -x 2+ax >0x >0 ，所以e ax +ax >ln x 2+e ln x 2，可得g ax >g ln x 2 ，所以ax >ln x 2，所以a >ln x 2xx >0 恒成立，即求ln x 2x max x >0 ，令F x =ln x 2x x >0 ，F x =ln x 2 x -x ln x 2x 2=21-ln x x 2，当x ∈0,e 时，F x >0，F x 单调递增，当x ∈e ,+∞ 时，F x <0，F x 单调递减，所以F x ≤F e =2e ，可得a <2e .故答案为：2e ,+∞ .【点睛】对于“恒成立问题”，关键点为：对于任意的x ，使得f x >a 恒成立，可得出f x min >a ；对于任意的x ，使得f x <a 恒成立，可得出f x max <a .20.若ln x +ln2a -1-2a x -e x ≤0，则实数a 的取值范围为．【答案】0<a ≤e 2【分析】利用同构法，构造函数f (x )=ln x +x ，将问题转化为f (2ax )≤f (e x)，从而得到2a ≤e x x恒成立问题，再构造g (x )=e x x，利用导数求得其最小值，由此得解.【详解】因为ln x +ln2a -1-2a x -e x ≤0，a >0,x >0⇔ln (2ax )-x +2ax -e x ≤0,⇔ln (2ax )+2ax ≤x +e x =ln e x +e x ，令f (x )=ln x +x ,x >0，则原式等价于f (2ax )≤f (e x )，f (x )=1x +1=1+x x>0恒成立，所以f (x )在定义域内单调递增，所以2ax ≤e x ⇒2a ≤e x x，令g (x )=e x x (x >0),g (x )=e x (x -1)x 2，则x >1时，g (x )>0，g (x )在(1,+∞)单调递增，0<x <1时，g (x )<0，g (x )在(0,1)单调递减，所以g (x )min =g (1)=e ，则2a ≤e ,a ≤e 2.又a 为正数，故答案为：0<a ≤e 2.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21.已知a <0，不等式xe x +a ln x x a ≥0对∀x ∈1,+∞ 恒成立，则实数a 的最小值为.【答案】-e 【分析】将不等式等价变形为xe x ≥-a ln x ⋅e -a ln x ，构造函数f x =xe x ，进而问题转化成x ≥-a ln x ，构造g (x )=x ln x ，利用导数求解单调性进而得最值.【详解】xe x ≥-a ln x x a =-a ln x ⋅e -a ln x ，构造函数f x =xe x ，f x =x +1 e x >0x >0 ，故f x 在0，+∞ 上单调递增，故f x ≥f -a ln x 等价于x ≥-a ln x ，即a ≥-x ln x 任意的实数x >1恒成立．令g (x )=x ln x ，x >1则g (x )=ln x -1ln 2x ，故g (x )在(1,e )上单调递减，在(e ,+∞)上单调递增，g (x )min =e ，得a ≥-x ln x max=-e ．故答案为：-e【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别22.关于x 的不等式a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0在0,+∞ 上恒成立，则a 的最小值是.【答案】22e【分析】不等式转化为e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥ln x +x =e ln x +ln x ，构造函数f x =e x +x ，判断函数单调递增得到2x +1+ln a ≥ln x ，转化为2x +1-ln x +ln a ≥0，构造函数g x =2x +1-ln x +ln a ，根据函数的单调性计算最小值即得到答案.【详解】a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0，即e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥ln x +x =e ln x +ln x ，设f x =e x +x ，f x =e x +1>0恒成立，故f x 单调递增.原不等式转化为f 2x +1+2ln a ≥f ln x ，即2x +1+2ln a ≥ln x ，即2x +1-ln x +2ln a ≥0在(0,+∞)上恒成立.设g x =2x +1-ln x +2ln a ，g x =2x -1x ，当x ∈12,+∞ 时，g x >0，函数单调递增；当x ∈0,12 时，g x <0，函数单调递减；故g x min =g 12=2+ln2+2ln a ≥0，即2ln a ≥-2-ln2=-ln2e 2，解得a ≥22e.所以a 的最小值是22e.故答案为：22e.【点睛】方法点睛：将不等式a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0化为e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥e ln x +ln x ，这种方法就是同构法，同构即结构形式相同，对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．。

高考数学选择填空压轴题45道(附答案)

,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的最大值为（）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考

专题16 平面向量(选填压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习

专题16 平面向量（选填压轴题）目录①向量模问题（定值，最值，范围） (1)②向量数量积（定值，最值，范围） (12)③向量夹角（定值，最值，范围） (21)④向量的其它问题 (27)①向量模问题（定值，最值，范围）A ．314B ．132【答案】C【详解】在ABC V 中，由BAC ∠=4．（2023春·江西赣州·高二统考期中）已知O 为坐标原点，0PA PC ⋅=，则O P 的最大值为（）A ．2B ．31+C ．2【答案】D【详解】因为2O C ≤，所以点C 在圆22:4O x y +=的内部或圆周上，又动点P 满足0PA PC ⋅=，当点C 在圆O 内时，延长AC 交圆则,,M A M P O N A D A M A =⊥<当点C 在圆O 上时，,M N 两点重合，所以AM AN ≤，当且仅当点C 在圆则O P O M M P O M A M ≤+=+因为O M A M O N M N A +≤++222||||||4ON AN OA +==，所以(,)c x y =的终点在以32⎛ ⎝所以1|2|22a c a c -=-，几何意义为由儿何意义可知22a c -=设OC c = ，则,C A a c C B =- 所以C 点在以AB 为直径的圆上运动，由2352c a c =⋅- ，得23()4c a - 因此O C 的终点C 在以点D 直线l ，于是c tb - 是圆D 上的点与直线所以min2c tbEF DE -==-=12．（2023·上海·高三专题练习）已知非零平面向量则b的最小值是【答案】5【详解】AC a = ，AD b =，AB c = )()0a c a ⋅-=r r r ，即CD CB ⋅=uu u r uu r 的中点O ，则有1122OC BD ==2b c +r r，根据三角形的三边关系可知不妨设(1,0),,e OE a OA b OB====，由π,6a e =知，点A 在直线3(3y x x =>由题意π,456b b e e --= ，可知4,5b e b e --记(4,0)C ，(5,0)D ，则π,6BC BD =，②向量数量积（定值，最值，范围）1．（2023春·山东青岛·高一校考期中）如图，在边长为2的等边ABC V 中，点E 为中线B DA ．316-B ．-【答案】B【详解】由已知，2BA = ，所以cos BA BC BA BC ⋅=∠由ABC ABD ACD S S S =+V V V ，所以1sin2bc 所以2()4bc b c bc =+≥，则16bc ≥π1A ．32-【答案】CA．-2B．【答案】B=【详解】由题意，A B A D ===，所以22BC DC BD∠=∠，即AC 所以ACB ACD7．（2023春·江苏徐州·高一统考期中）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．中，点O为正八边形的中心，点P是其内部任意一点，则A．(22,422)-+-C．(2,4)【答案】A【详解】正八边形ABCDEFGHGF=，设OF x=，由余弦定理得，2△中，222OFG+-x x11．（2023春·山东淄博·高一统考期末）圆C ，D ，且2OC OD ⋅= ，则【答案】846+/468+【详解】因为点,C D 在圆O由三角函数定义知(2cos C 则(22cos ,22CA θ=--于是(22cos CA CB θ⋅=- 同理442sin (DA DB θ-⋅=设a MA =，b MB = ，c 若对任意实数x ，y 都有|则B ，C 在以M A 为直径的圆上，过b MB =在OD 上的射影最长为()b c a b AC DE ⋅-=⋅=⋅【答案】2【详解】设AG ADAE mAB λ⎧=⎪⎪=⎨，由向量共线的充要条件不妨设③向量夹角（定值，最值，范围）12OQ BQ BO BC BC μ=-=-= (cos 1OC OA OC OQ AOC OC OA ⋅⋅∠==④向量的其它问题1．（2023·北京西城·统考二模）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点P 从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处．则点P 到达点(33,33)Q 所跳跃次数的最小值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B【详解】每次跳跃的路径对应的向量为()()()()()()()()111122223,4,4,3,5,0,0,5,3,4,4,3,5,0,0,5a b c d a b c d =====--=--=-=-u r u r u r u r u u r u r u r u u r，因为求跳跃次数的最小值，则只取()()()()11113,4,4,3,5,0,0,5a b c d ====u r u r u r u r，设对应的跳跃次数分别为a b c d ,,,，其中,,,a b c d ∈N ，可得()()1111345,43533,33OQ aa bb cc dd a b c a b d =+++=++++=u u u r u r u r u r u r故选：B．3．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）在4．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知2a b λ+ 与3a b λ+的夹角是锐角，则【答案】()(,61,-∞-- ()(6．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）的中点，直线A E 和直线C【答案】2【详解】记BA BG BA= ，BH =因为1BG BH ==，则平行四边形因为A 、E 、F 三点共线，则使得AF AE λ= ，即BF BA λ-= 因为E 为B C 的中点，所以，BF。

高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案

5.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，正确；
对于，函数在，上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6；错误；
对于，在区间，上为增函数且其周期为4，函数在，上为增函数，
又由为函数图象的一条对称轴，则函数在，上为减函数，正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.

2023-2024学年高考数学专项复习——压轴题(附答案)

决胜3．已知函数，曲线在处的切线方程为.()2e xf x ax =-()y f x =()()1,1f 1y bx =+(1)求的值：,a b (2)求在上的最值；()f x []0,1(3)证明：当时，.0x >()e 1e ln 0x x x x +--≥4．已知函数，.()()ln 1f x x x a x =-++R a ∈(1)若，求函数的单调区间；1a =()f x (2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；x ()2f x a≤[)2,+∞a (3)若实数满足且，证明.b 21a b <-+1b >()212ln f x b <-5．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点2222:1(0)x y E a b a b +=>>22()2,1M E 的动直线与椭圆相交于两点.()0,1P l ,A B (1)求椭圆的方程；E (2)求面积的最大值；AOB (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，xOy P Q QA PAQB PB=求出点的坐标；若不存在，请说明理由.Q 6．已知函数，.()21ln 2f x a x x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()()()2R g x f x ax a =-∈(1)当时，0a =（i ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()22f ,（ii ）求的单调区间及在区间上的最值；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若对，恒成立，求a 的取值范围.()1,x ∀∈+∞()0g x <(1)求抛物线的表达式和的值；,t k (2)如图1，连接AC ，AP ，PC ，若△APC 是以(3)如图2，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，过点的最大值．12CQ PQ +(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l 的方程；22y x =(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐218y x =标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线的焦点F 的直线依次交抛物线及准()20y ax a =>线l 于点，若求a 的值；、、A B C 24BC BF AF ==，(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一AB AC CB AC AB 段的比例中项，即满足：，后人把这个数称为“黄金分割”，把CB 512AC BC AB AC -==512-点C 称为线段的黄金分割点.如图4所示，抛物线的焦点，准线l 与y 轴AB 214y x=(0,1)F 交于点，E 为线段的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点.当(0,1)H -HF 时，求出的面积值.2MH MF=HME 10．已知双曲线的一条渐近线方程的倾斜角为，焦距为4．2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>60︒(1)求双曲线的标准方程；C (2)A 为双曲线的右顶点，为双曲线上异于点A 的两点，且．C ,M N C AM AN ⊥①证明：直线过定点；MN ②若在双曲线的同一支上，求的面积的最小值．,M N AMN(1)试用解析几何的方法证明：(2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？13．对于数集（为给定的正整数），其中，如果{}121,,,,n X x x x =-2n ≥120n x x x <<<< 对任意，都存在，使得，则称X 具有性质P ．,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=(1)若，且集合具有性质P ，求x 的值；102x <<11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(2)若X 具有性质P ，求证：；且若成立，则；1X ∈1n x >11x =(3)若X 具有性质P ，且，求数列的通项公式．2023n x =12,,,n x x x 14．已知，是的导函数，其中．()2e xf x ax =-()f x '()f x R a ∈(1)讨论函数的单调性；()f x '(2)设，与x 轴负半轴的交点为点P ，在点P()()()2e 11x g x f x x ax =+-+-()y g x =()y g x =处的切线方程为．()y h x =①求证：对于任意的实数x ，都有；()()g x h x ≥②若关于x 的方程有两个实数根，且，证明：()()0g x t t =>12,x x 12x x <．()2112e 11e t x x --≤+-15．在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心xOy 1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-的轨迹为曲线K ，P 是曲线K 上一点．(1)求曲线K 的方程；(2)过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B 、C 两点，若且直线OP 与直线交//l OP 1x =于Q 点．求的值；||||AB ACOP OQ ⋅⋅(3)若点D 、E 在y 轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值．PDE △()2211x y -+=PDE △16．已知椭圆C ：，四点中恰有三()222210x y a b a b +=>>()()1234331,1,0,1,1,,1,22P P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-证明：l 过定点．18．给定正整数k ，m ，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称2m k ≤≤{}n a 为数列．记数列的项数的最小值为．{}n a (,)k m -(,)k m -(,)G k m 条件①：的每一项都属于集合；{}n a {}1,2,,k 条件②：从集合中任取m 个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．{}1,2,,k {}n a 注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列{}n a 1i 2i 5i 125i i i <<<…称为的一个子列．325,,,i i i a a a ⋯{}n a (1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！(33)-，数列；1:1,2,3,1,2,3,1,2,3A 数列．2:1,2,3,2,1,3,1A (2)求的值；(),2G k (3)求证．234(,)2k k G k k +-≥答案：1．(1)极大值为，无极小值2e (2)证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号结合极值的定义即可得解；（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->证明即可或者转换不等式为，通过构造函数可得证.()min0F x >()112ln 012x x x +->>【详解】（1）的定义域为，，()f x (0,)+∞()2(1ln )f x x '=-+当时，，当时，，10e x <<()0f x '>1e x >()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故在处取得极大值，()f x 1e x =12e e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的极大值为，无极小值；()f x 2e （2）设，()21()()()2ln 12F x f x g x x x x x x =+=+->解法一：则，()2ln 1F x x x '=--令，，()()2ln 11h x x x x =-->22()1x h x x x -'=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增，12x <<()0h x '<()h x 2x >()0h x '>()h x 又，，，(2)1ln 40h =-<(1)0h =(4)32ln 40h =->所以存在，使得，即．0(2,4)x ∈0()0h x =002ln 10x x --=当时，，即，单调递减，01x x <<()0h x <()0F x '<()F x 当时，，即，单调递增，0x x >()0h x >()0F x '>()F x 所以当时，在处取得极小值，即为最小值，1x >()F x 0x x =故，22000000(11()()12ln )222F x F x x x x x x ≥=+-=-+设，因为，2000122()p x x x =-+0(2,4)x ∈由二次函数的性质得函数在上单调递减，2000122()p x x x =-+(2,4)故，0()(4)0p x p >=所以当时，，即．1x >()0F x >()()0f x g x +>解法二：要证，即证，()0F x >()1()12ln 012p x x x x =+->>因为，所以当时，，单调递减，()124()122x p x x x x -'=-=>()1,4x ∈()0p x '<()p x 当时，，单调递增，()4,x ∞∈+()0p x '>()p x 所以，所以，即.()()4212ln 434ln 20p x p ≥=+-=->()0F x >()()0f x g x +>方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.2．(1)0(2)证明详见解析(3)2a ≤【分析】（1）利用导数求得的最小值.()g x （2）根据（1）的结论得到，利用放缩法以及裂项求和法证得不等式成立.2211ln 1n n ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭（3）由不等式分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取ln (2)10xx x x a x -+--≥a a 值范围.【详解】（1）依题意，，()21ln (,0)2f x x x x t t x =-+∈>R 所以，()()()()ln 1ln 10g x f x x x x x x '==-+=-->，所以在区间上单调递减；()111x g x x x -'=-=()g x ()0,1()()0,g x g x '<在区间上单调递增，()1,+∞()()0,g x g x '>所以当时取得最小值为.1x =()g x ()11ln110g =--=（2）要证明：对任意正整数，都有，(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即证明，22221111ln 1111ln e234n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 即证明，222111ln 1ln 1ln 1123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由（1）得，即()()()10f xg x g '=≥=ln 10,ln 1x x x x --≥≤-令，所以， *211,2,N x n n n =+≥∈222111ln 111n n n ⎛⎫+≤+-= ⎪⎝⎭所以222222111111ln 1ln 1ln 12323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≤+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()111111111122312231n n n n <+++=-+-++-⨯⨯-- 111n=-<所以对任意正整数，都有.(2)n n ≥222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （3）若不等式恒成立，此时，ln (2)10xx x x a x -+--≥0x >则恒成立，ln 21x x x x x a x -+-≤令，()ln 21xx x x x h x x -+-=令，()()()e 10,e 10x x u x x x u x '=--≥=-≥所以在区间上单调递增，()u x[)0,∞+所以，当时等号成立，()0e 010,e 10,e 1x x u x x x ≥--=--≥≥+0x =所以，()ln e ln 21ln 1ln 212x x x x x x x x x x h x x x -+-+-+-=≥=当时等号成立，所以.ln 0,1x x x ==2a ≤利用导数求函数的最值的步骤：求导：对函数进行求导，得到它的导函数.导函数()f x ()f x '表示了原函数在不同点处的斜率或变化率.找出导数为零的点：解方程，找到使得导()0f x '=数为零的点,这些点被称为临界点，可能是函数的极值点（包括最大值和最小值），检查每个临界点以及区间的端点，并确认它们是否对应于函数的最值.3．(1)，1a =e 2b =-(2)；()max e 1f x =-()min 1f x =(3)证明见解析【分析】（1）利用切点和斜率列方程组，由此求得.,a b （2）利用多次求导的方法求得在区间上的单调性，由此求得在上的最值.()f x []0,1()f x []0,1（3）先证明时，，再结合（2）转化为，从0x >()()e 21f x x ≥-+()21e ln e x x x x x+--≥+而证得不等式成立.【详解】（1），()e 2x f x ax'=-∴，解得：，；()()1e 21e 1f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=+'⎪⎩1a =e 2b =-（2）由（1）得：，()2e xf x x =-，令，则，()e 2x f x x '=-()e 2x h x x=-()e 2x h x '=-是增函数，令解得.()h x ()0h x '=ln 2x =∴，也即在上单调递减，()h x ()f x '()0,ln2()()0,h x h x '<在上单调递增，()ln2,+∞()()0,h x h x '>∴，∴在递增，()()ln 2ln222ln20h f ==->'()f x []0,1∴；；()()max 1e 1f x f ==-()()min 01f x f ==（3）∵，由（2）得过，()01f =()f x ()1,e 1-且在处的切线方程是，()y f x =1x =()e 21y x =-+故可猜测且时，的图象恒在切线的上方，0x >1x ≠()f x ()e 21y x =-+下面证明时，，设，，0x >()()e 21f x x ≥-+()()()e 21g x f x x =---()0x >∴，∴令，()()e 2e 2x g x x =---'()()()e 2e 2x x x g m x '--==-，()e 2x m x '=-由（2）得：在递减，在递增，()g x '()0,ln2()ln2,+∞∵，，，∴，()03e 0g '=->()10g '=0ln21<<()ln20g '<∴存在，使得，()00,1x ∈()0g x '=∴时，，时，，()()00,1,x x ∈⋃+∞()0g x '>()0,l x x ∈()0g x '<故在递增，在递减，在递增.()g x ()00,x ()0,1x ()1,+∞又，∴当且仅当时取“”，()()010g g ==()0g x ≥1x ==()()2e e 210x g x x x =----≥故，，由（2）得：，故，()e e 21x x xx+--≥0x >e 1x x ≥+()ln 1x x ≥+∴，当且仅当时取“=”，∴，1ln x x -≥1x =()e e 21ln 1x x x x x+--≥≥+即，∴，()21ln 1e e x x x x+--≥+()21e ln e x x x x x+--≥+即成立，当且仅当时“=”成立.()1ln 10e e x x x x +---≥1x =求解切线的有关的问题，关键点就是把握住切点和斜率.利用导数研究函数的单调性，如果一次求导无法求得函数的单调性时，可以考虑利用多次求导来进行求解.利用导数证明不等式恒成立，如果无法一步到位的证明，可以先证明一个中间不等式，然后再证得原不等式成立.4．(1)单调增区间为，单调减区间为；()0,1()1,+∞(2)(],2ln 2-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解；（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出函数的最小ln 1x x a x ≤-ln (),21x xg x x x =≥-()g x 值即可得解；（3）由，得，则，要证21a b <-+21a b -<-2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+，即证，即证，构造函数()212ln f x b<-222e112ln bb b --+<-22212ln 0eb b b +-<，证明即可.()()()12ln e x h x x x x =>-()1h x <-【详解】（1）当时，，1a =()ln 1,0f x x x x x =-++>，由，得，由，得，()ln f x x '=-()0f x '>01x <<()0f x '<1x >故的单调增区间为，单调减区间为；()f x ()0,1()1,+∞（2），()ln 2,1x xf x a a x ≤∴≤- 令，ln (),21x x g x x x =≥-则，21ln ()(1)x xg x x --'=-令，则，()ln 1t x x x =-+11()1xt x x x -'=-=由，得，由，得，()0t x '>01x <<()0t x '<1x >故在递增，在递减，，()t x ()0,1()1,+∞max ()(1)0t x t ==，所以，()0t x ∴≤ln 1≤-x x 在上单调递增，，()0,()g x g x '≥∴[)2,+∞()min ()2g x g ∴=，(2)2ln 2a g ∴≤=的取值范围；a ∴(],2ln 2-∞（3），221,1b a b a <-+∴-<- 又，在上递增，11()(e )e a a f x f a --≤=+1e a y a -=+ R a ∈所以，2112()(e )e e 1a a b f x f a b ---≤=+<-+下面证明：，222e 112ln b b b --+<-即证，22212ln 0ebb b +-<令，则，21x b =>12ln 0e x x x +-<即，(2ln )e 1xx x -⋅<-令，则，()()()12ln e xh x x x x =>-()22ln 1e xh x x x x '⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭令，则，()2()2ln 11x x x x x ϕ=-+->()()2221122()101x x x x x x ϕ---=--=<>∴函数在上单调递减，()x ϕ()1,+∞，()(1)0x ϕϕ∴<=在递减，()()0,h x h x '∴<(1,)+∞，()()1e 1h x h ∴<=-<-所以.()212ln f x b <-方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f xg x >()()f xg x <（或），进而构造辅助函数；()()0f xg x ->()()0f xg x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.5．(1)22142x y +=(2)2(3)存在，.()0,2Q 【分析】（1）由离心率及过点列方程组求解.()2,1M,a b （2）设直线为与椭圆方程联立，将表达为的函数，由基本不l 1y kx =+1212AOB S x x =⋅- k 等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得()0,2Q B y B '三点共线得到成立.,,Q A B 'QA PAQB PB=【详解】（1）根据题意，得，解得，椭圆C 的方程为.2222222211c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=（2）依题意，设，直线的斜率显然存在，()()1122,,,A x y B x y l 故设直线为，联立，消去，得，l 1y kx =+221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2212420k x kx ++-=因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，l ()0,1P 0∆>12122242,1212k x x x x k k +=-=-++故，()2221212221224212111214414222122AOBk S x x x x x x k k k k ⋅+⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯-=⨯-⨯= ⎪ ⎪+⎝-+-⎝++⎭⎭- 令，所以，当且仅当，即时取得214,1t k t =+≥22222211AOB t S t t t=×=×£++1t =0k =等号，综上可知：面积的最大值为.AOB 2（3）当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,C D Q 则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；||||1||||QC PC QD PD ==QC QD =Q y Q ()00,y 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，l x ,M N Q 则有，即，解得或，||||||||QM PM QN PN =00221212y y --=++01y =02y =所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；P Q Q ()0,2当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，l x x l 1y kx =+由（2）知，12122242,1212k x x x x k k --+==++又因为点关于轴的对称点的坐标为，B y B '()22,x y -又，，11111211QA y kx k k x x x --===-22222211QB y kx k k x x x '--===-+--.方法点睛：直线与椭圆0Ax By C ++=时，取得最大值2222220a A b B C +-=MON S 6．(1)（i ）；（322ln 220x y +--=(2)11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故曲线在点处的切线方程为，()y f x =()()22f ,()()32ln 222y x --+=--即；322ln 220x y +--=（ii ），，()21ln 2f x x x =-+()0,x ∈+∞，()211x f x x x x -'=-+=令，解得，令，解得，()0f x ¢>()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞当时，，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()max 112f x f ==-又，，221111ln 1e 2e e 2e f ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭()2211e e ln e e 122f =-+=-+其中，()222211111e 1e 1e 20e 2e 222ef f ⎛⎫⎛⎫-=----+=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，()()2min 1e e 12f x f ==-+故的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x ()0,1()1,+∞在区间上的最大值为，最小值为；()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-21e 12-+（2），()21ln 22xg x a x x a ⎭-+⎛=⎪-⎫ ⎝对，恒成立，()1,x ∀∈+∞21ln 202a x x ax ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭变形为对恒成立，ln 122x a xa x<--⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,x ∀∈+∞令，则，()(),1,ln x h x x x ∈=+∞()21ln xh x x -'=当时，，单调递增，()1,e x ∈()0h x '>()ln xh x x =当时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0h x '<()ln xh x x =其中，，当时，恒成立，()10h =()ln e 1e e e h ==1x >()ln 0x h x x =>故画出的图象如下：()ln x h x x =其中恒过点122y xa a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭--(2,1A 又，故在()210111h -'==()ln x h x x =又在上，()2,1A 1y x =-()对于2111644y x x =-+-∴点，即()0,6C -6OC =∵2114,14P m m m ⎛-+- ⎝∴点，3,64N m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴，22111316624444PN m m m m m⎛⎫=-+---=-+ ⎪⎝⎭∵轴，PN x ⊥∴，//PN OC ∴，PNQ OCB ∠=∠∴，Rt Rt PQN BOC ∴，PN NQ PQ BC OC OB ==∵，8,6,10OB OC BC ===∴，34,55QN PN PQ PN==∵轴，NE y ⊥∴轴，//NE x ∴，CNE CBO ∴，5544CN EN m ==∴，2215111316922444216CQ PQ m m m m ⎛⎫+=-+=--+⎪⎝⎭当时，取得最大值.132m =12CQ PQ+16916关键点点睛：熟练的掌握三角形相似的判断及性质是解决本题的关键.8．(1)详见解析；(2)①具有性质；理由见解析；②P 1346【分析】（1）当时，先求得集合，由题中所给新定义直接判断即可；10n =A （2）当时，先求得集合， 1010n =A ①根据，任取，其中，可得，{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈0120212020x ≤-≤利用性质的定义加以验证，即可说明集合具有性质；P T P ②设集合有个元素，由（1）可知，任给，，则与中必有个S k x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利1010S T 1010用性质的定义列不等式，由此求得的最大值．P k【详解】（1）当时，，10n ={}1,2,,19,20A = 不具有性质，{}{}|910,11,12,,19,20B x A x =∈>= P 因为对任意不大于的正整数，10m 都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立，110b ＝210b m =+12||b b m -=集合具有性质，{}*|31,N C x A x k k =∈=-∈P 因为可取，对于该集合中任一元素，110m =<，（），都有.112231,31c k c k =-=-*12,N k k ∈121231c c k k -=-≠（2）当时，集合，1010n ={}()*1,2,3,,2019,2020,1010N A m m =≤∈ ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质．S P {}2021|T x x S =-∈P 首先因为，任取，其中．{}2021|T x x S =-∈02021t x T =-∈0x S ∈因为，所以．S A ⊆{}01,2,3,,2020x ∈ 从而，即，所以．0120212020x ≤-≤t A ∈T A ⊆由具有性质，可知存在不大于的正整数，S P 1010m 使得对中的任意一对元素，都有．s 12,s s 12s s m -≠对于上述正整数，从集合中任取一对元素，m {}2021|T x x S =-∈112021t x -＝，其中，则有．222021t x =-12,x x S ∈1212t t s s m --≠＝所以，集合具有性质P ；{}2021|T x x S =-∈②设集合有个元素，由（1）可知，若集合具有性质，S k S P 那么集合一定具有性质．{}2021|T x x S =-∈P 任给，，则与中必有一个不超过．x S ∈12020x ≤≤x 2021x -1010所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过．S T 1010不妨设中有个元素不超过．S 2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭12,,,t b b b 1010由集合具有性质，可知存在正整数．S P 1010m ≤使得对中任意两个元素，都有．S 12,s s 12s s m -≠所以一定有．12,,,t b m b m b m S +++∉ 又，故．100010002000i b m +≤+=121,,,b m b m b m A +++∈ 即集合中至少有个元素不在子集中，A t S 因此，所以，得．20202k k k t +≤+≤20202k k +≤1346k ≤当时，取，{}1,2,,672,673,,1347,,2019,2020S = 673m =则易知对集合中的任意两个元素，都有，即集合具有性质．S 12,y y 12673y y -≠S P 而此时集合S 中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为．1346S 1346解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.9．(1)，10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭18y =-(2)或()42,4()42,4-(3)14a =(4)或51-35-【分析】（1）根据焦点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作轴于D ，过点A 作轴于E ，证明，推BD y ⊥AE y ⊥FDB FHC ∽出，则，点B 的纵坐标为，从而求出，证明16FD a =112OD OF DF a =-=112a 36BD a =，即可求出点A 的坐标为，再把点A 的坐标代入抛物线解析式AEF BDF ∽123,24a ⎛⎫ ⎪⎝+⎭-中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作于N ，则，MN l ⊥MN MF=先证明是等腰直角三角形，得到，设点M 的坐标为，则MNH △NH MN=21,4m m ⎛⎫⎪⎝⎭过点B 作轴于D ，过点BD y ⊥由题意得点F 的坐标为F ⎛ ⎝1FH =当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点∵在中，Rt MNH △sin MHN ∠∴，∴是等腰直角三角形，45MHN ︒=MNH △双曲线方程联立，利用韦达定理及题目条件可得，后由题意可得AM AN ⋅= ()()222131t t m -+=-所过定点坐标；②结合①及图形可得都在左支上，则可得，后由图象可得,M N 213m <，后通过令，结合单调性229113m S m +=-223113m λλ⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭()423313f x x x x ⎛⎫=-≤< ⎪⎝⎭可得答案.【详解】（1）设双曲线的焦距为，C 2c 由题意有解得．2223,24,,ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2a b c ===故双曲线的标准方程为；C 2213y x -=（2）①证明：设直线的方程为，点的坐标分别为，MN my x t =+,M N ()()1122,,,x y x y 由（1）可知点A 的坐标为，()1,0联立方程消去后整理为，2213y x my x t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x ()222316330m y mty t --+-=可得，2121222633,3131mt t y y y y m m -+==--，()212122262223131m t tx x m y y t t m m +=+-=-=--，()()()()222222222121212122223363313131m t m t m t x x my t my t m y y mt y y t t m m m -+=--=-++=-+=----由，()()11111,,1,AM x y AN x y =-=-有()()()1212121212111AM AN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++，()()()()22222222222222222132331313131313131t t t t t t m t t t m m m m m m -----++-=--++===------由，可得，有或，AM AN ⊥0AM AN ⋅=1t =-2t =当时，直线的方程为，过点，不合题意，舍去；1t =-MN 1my x =-()1,0当时，直线的方程为，过点，符合题意，2t =MN 2my x =+()2,0-②由①，设所过定点为121224,31x x x x m +==-若在双曲线的同一支上，可知,M N 有12240,31x x x m +=<-关键点睛：求直线所过定点常采取先猜后证或类似于本题处理方式，设出直线方程，通过题一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为一方面：同理设双曲线方程为()22221y m x a b +-=，()2222221b x a k x m a b -+=化简并整理得()(2222222112ba k x a mk x a m ---+一方面：同理设抛物线方程为(22x p y =，()212x p k x n =+化简并整理得，由韦达定理可得12220pk x x pn --=2,2x x pk x x pn +=⋅=-（2）构造，故转化为等价于“对任()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++()()()123g x g x g x +>意，，恒成立”，换元后得到（），分，和1x 2x 3R x ∈()()11k g x q t t -==+3t ≥1k >1k =三种情况，求出实数k 的取值范围.1k <【详解】（1）由条件①知，当时，有，即在R 上单调递增．12x x <()()12f x f x <()f x 再结合条件②，可知存在唯一的，使得，从而有．0R x ∈()013f x =()093x x f x x --=又上式对成立，所以，R x ∀∈()00093x x f x x --=所以，即．0001393x x x --=0009313x x x ++=设，因为，所以单调递增．()93x x x xϕ=++()9ln 93ln 310x x x ϕ'=++>()x ϕ又，所以．()113ϕ=01x =所以；()931x x f x =++（2）构造函数，()()()()()13131931x x xx f x k k g x f x +--==+++由题意“对任意的，，，1x 2x 3R x ∈均存在以，，为三边长的三角形”()()()11113x f x k f x +-()()()22213x f x k f x +-()()()33313x f x k f x +-等价于“对任意，，恒成立”．()()()123g x g x g x +>1x 2x 3R x ∈又，令，()111313x x k g x -=+++1131231333x x x x t ⋅=++≥+=当且仅当时，即时取等号，91x=0x =则（），()()11k g x q t t -==+3t ≥当时，，因为且，1k >()21,3k g x +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()122423k g x g x +<+≤()3213k g x +<≤所以，解得，223k +≤4k ≤即；14k <≤当时，，满足条件；1k =()()()1231g x g x g x ===当时，，因为且，1k <()2,13k g x +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()122423k g x g x ++<≤()3213k g x +<≤所以，即．2413k +≤112k -≤<综上，实数k 的取值范围是．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.13．(1)14x =(2)证明过程见解析(3)，()112023k n k x --=1k n≤≤【分析】（1）由题意转化为对于，都存在，使得，其中(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ，选取，，通过分析求出；,,,a b c d X ∈()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==- 14x =（2）取，，推理出中有1个为，则另一个为1，即，()()11,,m a b x x == (),n c d =,c d 1-1X ∈再假设，其中，则，推导出矛盾，得到；1k x =1k n <<101n x x <<<11x =（3）由（2）可得，设，，则有，记11x =()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-，问题转化为X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，得到,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B ，共个数，由对称性可知也有个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -()0,B +∞ ()1n -结合三角形数阵得到，得到数列为首项为1的等比123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 12,,,n x x x 数列，设出公比为，结合求出公比，求出通项公式.q 2023n x =【详解】（1）对任意，都存在，使得，,a b X ∈,c d X ∈0ac bd +=即对于，都存在，使得，其中，(),m a b =(),n c d =0m n ⋅= ,,,a b c d X ∈因为集合具有性质P ，11,,,12x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭选取，，()1,,2m a b x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()(),1,n c d d ==-则有，12x d -+=假设，则有，解得，这与矛盾，d x =102x x -+=0x =102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =-12x --=12x =-102x <<假设，则有，解得，这与矛盾，1d =12x -+=12x =102x <<假设，则有，解得，满足，12d =14x -+=14x =102x <<故；14x =（2）取，，()()11,,m a b x x == (),n c d =则，()10c d x +=因为，所以，即异号，120n x x x <<<< 0c d +=,c d 显然中有1个为，则另一个为1，即，,c d 1-1X ∈假设，其中，则，1k x =1k n <<101n x x <<<选取，，则有，()()1,,n m a b x x ==(),n s t =10n sx tx +=则异号，从而之中恰有一个为，,s t ,s t 1-若，则，矛盾，1s =-11n x tx t x =>≥若，则，矛盾，1t =-1n n x sx s x =<≤故假设不成立，所以；11x =（3）若X 具有性质P ，且，20231n x =>由（2）可得，11x =设，，则有，()11,m s t =()22,n s t =1212s t t s =-记，则X 具有性质P ，当且仅当集合关于原点对称，,,s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭B 注意到是集合中唯一的负数，1-X 故，共个数，(){}234,0,,,,n B x x x x -∞=---- ()1n -由对称性可知也有个数，()0,B +∞ ()1n -由于，已经有个数，123421n n n n n nn n n n x x x x x x x x x x x x ----<<<<<< ()1n -对于以下三角形数阵：123421n n n n n n n n n n x x x x x xx x x x x x ----<<<<<< 1111123421n n n n n n n n x x x x xx x x x x --------<<<<< ……3321x x x x <21x x 注意到，123211111n n n x x x x x x x x x x -->>>>> 所以有，123212321n n n n n n x x x x x x x x x x -----===== 从而数列为首项为1的等比数列，设公比为，12,,,n x x x q 由于，故，解得，2023n x =112023n nx q x -==()112023n q -=故数列的通项公式为，.12,,,n x x x ()112023k n k x --=1k n ≤≤集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数或数列相结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.14．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）求出的导数，结合解不等式可得答案；()e 2x f x ax'=-（2）①，利用导数的几何意义求得的表达式，由此构造函数，()y h x =()()()F x g x h x =-利用导数判断其单调性，求其最小值即可证明结论；②设的根为，求得其表达式，()h x t=1x '并利用函数单调性推出，设曲线在点处的切线方程为，设11x x '≤()y g x =()0,0()y t x =的根为，推出，从而，即可证明结论.()t x t=2x '22x x '≥2121x x x x ''-≤-【详解】（1）由题意得，令，则，()e 2x f x ax'=-()e 2x g x ax=-()e 2x g x a'=-当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0g x '>()f x 'R 当时，，得，，得，0a >()0g x '>ln 2x a >()0g x '<ln 2x a <所以函数在上单调递减，在上单调递增．()f x '(),ln 2a -∞()ln 2,a +∞（2）①证明：由（1）可知，令，有或，()()()1e 1x g x x =+-()0g x ==1x -0x =故曲线与x 轴负半轴的唯一交点P 为．()y g x =()1,0-曲线在点处的切线方程为，()1,0P -()y h x =则，令，则，()()()11h x g x '=-+()()()F x g x h x =-()()()()11F x g x g x '=--+所以，．()()()()11e 2e x F x g x g x '''=-=+-()10F '-=当时，若，，1x <-(],2x ∈-∞-()0F x '<若，令，则，()2,1x --()1()e 2e x m x x =+-()()e 30xm x x '=+>故在时单调递增，．()F x '()2,1x ∈--()()10F x F ''<-=故，在上单调递减，()0F x '<()F x (),1-∞-当时，由知在时单调递增，1x >-()()e 30x m x x '=+>()F x '()1,x ∈-+∞，在上单调递增，()()10F x F ''>-=()F x ()1,-+∞设曲线在点处的切线方程为()y g x =()0,0令()()()()(1e x T x g x t x x =-=+当时，2x ≤-()()2e x T x x =+-'()()2e xn x x =+-设，∴()()1122,,,B x y C x y 1x 又1211,22AB x AC x =+=+依题意，即，则，0bc <02x >()()220220004482x y c x x b =+---因为，所以，2002y x =0022x b c x -=-所以，()()00000242248122424S b c x x x x x -⋅=-++≥-⋅+=-=-当且仅当，即时上式取等号，00422x x -=-04x =所以面积的最小值为8．PDE △方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．16．(1)2214x y +=(2)证明见解析(3)存在，7,,777⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C 上．把的坐标代入椭圆234,,P P P 23,P P C ，求出，即可求出椭圆C 的方程；22,a b （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利():1l y kx t t =+≠用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l 过定点；21t k =--()2,1-（3）利用点差法求出直线PQ 的斜率，从而可得直线PQ 的方程，与抛物线方程联14PQ k t =立，由，及点G 在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD 的方程为，0∆>2t 1x my =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m 的取值范围，进而可求得直线11DA TB k k =的斜率k 的取值范围．2l【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C 上，34331,,1,22P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又的横坐标为1，4P ∴椭圆必不过，()11,1P ∴三点在椭圆C 上．()234330,1,1,,1,22P P P ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把代入椭圆C ，()3231,20,1,P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎨=⎩∴椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）证明：①当斜率不存在时，设,，:l x m =()(),,,A A A m y B m y -∵直线与直线的斜率的和为，2P A 2P B 1-∴，221121A A P A P B y y k k m m m ----+=+==-解得m ＝2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设,，，:l y kx t =+1t ≠()()1122,,,A x y B x y 联立，消去y 整理得，22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩()222148440k x ktx t +++-=则，，122814kt x x k -+=+21224414t x x k -=+则()()()()222112************111111P A P B x y x y x kx t x kx t y y k k x x x x x x -+-+-++---+=+==,()()()()()()12121222222448218114141144411142t k k kx x t tk t k t k k t t x t x x x +-+=--⋅+-⋅-++===--+-+又，∴，此时，1t ≠21t k =--()()222222644144464161664k t k t k t k ∆=-+-=-+=-故存在k ，使得成立，0∆>∴直线l 的方程为，即21y kx k =--()12y k x +=-∴l 过定点．()2,1-（3）∵点P ，Q 在椭圆上，所以，，2214P P x y +=2214Q Q x y +=两式相减可得，()()()()04PQ P Q P Q P Q y xy x x x y y +-++-=又是线段PQ 的中点，()1,G t -∴，2,2P Q P Q x x x x t+=-=∴直线PQ 的斜率，()144P Q P QP Q P QPQ x x k ty y x y y x +==-=--+∴直线PQ 的方程为，与抛物线方程联立消去x 可得，()114y x t t =++()22164410y ty t -++=由题可知，∴，()2161210t ∆=->2112t >又G 在椭圆内部，可知，∴，故，2114t +<234t <213124t <<设，，由图可知，，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223434,,,44y y T y D y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2134,y y y y >>∴，()2121216,441y y t y y t +==+当直线TD 的斜率为0时，此时直线TD 与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线TD 的方程为，与抛物线方程联立，消去x 可得，()10x my m =+≠2440y my --=∴，34344,4y y m y y +==-由，可知，即，11//ATB D 11DA TB k k =3142222234214444y y y y y y y y --=--∴，即，1342y y y y +=+1243y y y y -=-∴，()()221212343444y y y y y y y y +-=+-∵，()()()()()222212124161641161210,128y y y y t t t +-=-+=-∈∴，解得，即，()()223434416160,128y y y y m +-=+∈27m <()7,7m ∈-∴直线TD 即的斜率．2l 771,77,k m ⎛⎫⎛⎫=∈-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+∞⎝⎭⎭ 思路点睛：处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为），k （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，k (),0F x y =k ,x y （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，()00,x y k 此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，k ,x y ()00,x y ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式k ()k ⋅子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.k 17．(1)1y =-(2)2ln23-+【分析】（1）由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到1m =()f x ()f x 和，代入切线方程中即可求解；()1f '()1f （2）得到函数的解析式，对进行求导，利用根的判别式以及韦达定理对()g x ()g x 进行化简，利用换元法，令，，可得，12122()()y x x b x x =--+12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+根据，求出的范围，构造函数，对进行求导，利用导数得到322m ≥t 2(1)()ln 1t h t tt -=-+()h t 的单调性和最值，进而即可求解．()h t 【详解】（1）已知(为常数），函数定义域为，()ln f x x mx =-m (0,)+∞当时，函数，1m =()ln f x x x =-可得，此时，又，11()1x f x x x -'=-=()=01f '()11=f -所以曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f (1)0(1)y x --=⨯-1y =-（2）因为，函数定义域为，22()2()2ln 2g x f x x x mx x =+=-+(0,)+∞可得，222(1)()22x mx g x m x x x -+=-+='此时的两根，即为方程的两根，()0g x '=1x 2x 210x mx -+=因为，所以，由韦达定理得，，322m ≥240m ∆=->12x x m +=121=x x 又，所以1212lnx x b x x =-121212121212ln 22()()()()xx y x x b x x x x x x x x =--=--++-，11211211222212()ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x --=-=⨯-++令，，所以，12x t x =01t <<2(1)ln 1t y t t -=-+因为，整理得，2212()x x m +=22212122x x x x m ++=因为，则，121=x x 2221212122x x x x m x x ++=等式两边同时除以，得，12x x 212212=x x m x x ++可得，因为，212t m t ++=322m ≥所以，，152t t +≥()()2252=2210t t x x -+--≥解得或，则，12t ≤2t ≥102t <≤不妨设，函数定义域为，2(1)()ln 1t h t t t -=-+10,2⎛⎤⎥⎝⎦可得，22(1)()0(1)t h t t t -'=-<+所以函数在定义域上单调递减，()h t 此时，min 12()()ln223h t h ==-+故的最小值为．12122()()y x x b x x =--+2ln23-+利用导数求解在曲线上某点处的切线方程，关键点有两点，第一是切线的斜率，第二是切点。

高考数学选填压轴题练习与答案

高考数学选填压轴题练习与答案一．选择题（共25小题）1．数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），若b n=a n cos2nπ3，且数列{b n}的前n项和为S n，则S11＝（）A．64B．80C．﹣64D．﹣80【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），则a n+1n+1=a nn+1，可得数列{a nn}是首项为1、公差为1的等差数列，即有a nn=n，即为a n＝n2，则b n=a n cos2nπ3=n2cos2nπ3，则S11=−12（12+22+42+52+72+82+102+112）+（32+62+92）=−12（12+22﹣32﹣32+42+52﹣62﹣62﹣72+82﹣92﹣92+102+112）=−12×（5+23+41+59）＝﹣64．故选：C．2．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），f（π6+x）＝﹣f（π6−x），f（π2+x）＝f（π2−x），下列四个结论：①φ=π4；②ω=92+3k（k∈N）；③f（−π2）＝0；④直线x=−π3是f（x）图象的一条对称轴．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），f（x）图象的一条对称轴是直线x=π2，所以f（π2+x）＝f（π2−x），由f （x ）的一个零点为π6，所以f （π6+x ）＝﹣f （π6−x ），整理得T 4+k ⋅T 2=π2−π6=π3，所以T =4π3(1+2k)，故ω=2πT=32+3k （k ∈Z ），故②错误；当k ＝1时，f （x ）＝sin （92x +φ），把（π6，0）代入关系式，得到sin （3π4+φ）＝0，由于0＜φ＜π2，所以φ=π4，故①正确；对于f （−π3）＝sin （92⋅π3+π4）≠±1，故④错误； f （−π2）＝sin[92⋅(−π2)+π4]＝sin （﹣2π）＝0，故③正确．故选：B ．3．已知四面体ABCD 的四个顶点都在以AB 为直径的球R 面上，且BC ＝CD ＝DB ＝2，若四面体ABCD 的体积是4√23，则这个球面的面积是（）A ．16πB ．323πC ．4πD ．763π【解答】解：由题意，几何体的直观图如图，四面体ABCD 的体积是4√23，可得O 到平面BCD 的距离为h ，13×√34×22×2ℎ=4√23，解得h =2√63，所以外接球的半径为R ＝OB ＝OD ＝OC ＝OA =(2√63)(23√32=2，所以外接球的表面积为：4π×22＝16π．故选：A ．4．已知函数f （x ）={log 2x ，x ＞114x +1，x ≤1，g （x ）＝f （x ）﹣kx ，若函数g （x ）有两个零点，则k 的取值范围是（） A ．（0，14]B ．（0，1eln2） C ．[0，1e）D ．[14，1eln2）【解答】解：函数f （x ）={log 2x ，x ＞114x +1，x ≤1，作出f （x ）的图象与y ＝kx 图象有两个交点，（如图）设y ＝kx 与y ＝log 2x 的切点为（x 0，y 0），可得{y 0=kx 0y 0=log 2x 01k =x 0ln2，解得x 0＝e ，∴相切时的斜率k =1eln2．故得f （x ）的图象与y ＝kx 图象有两个交点时，14≤k ＜1eln2．故选：D ．5．已知F 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点，椭圆E 上一点P （2，1）关于原点的对称点为Q ，若△PQF 的周长为4√2+2√5．则离心率e ＝（）A．√32B．√22C．√33D．√23【解答】解：∵P与Q关于原点对称，则Q（﹣2，﹣1），∴|PQ|＝2√12+22=2√5，又三角形PQF的周长为|QP|+|PF|+|QF|＝4√2+2√5，∴|PF|+|QF|＝4√2，设椭圆的右焦点为M，则由椭圆的性质可得|PF|＝|QM|，∴|QM|+|QF|＝2a＝4√2，得a＝2√2，将点P代入椭圆方程可得：48+1b2=1，解得b=√2，∴c=√a2−b2=√6．则离心率e=ca =√62√2=√32．故选：A．6．对于函数y＝f（x）与y＝g（x），若存在x0，使f（x0）＝g（﹣x0），则称M（x0，f（x0）），N（﹣x0，g（﹣x0））是函数f（x）与g（x）图象的一对“隐对称点”．已知函数f（x）＝m（x+1），g(x)=lnxx，函数f（x）与g（x）的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）【解答】解：∵f（x）＝m（x+1）恒过定点（﹣1，0），f（x）关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝﹣m（x﹣1）依题意可得，y＝﹣m（x﹣1）与g（x）=lnxx有2个交点，由g(x)=lnxx ，得g′（x）=1−lnxx2，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，而y＝﹣m（x﹣1）恒过定点（1，0），作出函数g（x）=lnxx的图象如图，当直线y＝﹣m（x﹣1）与g(x)=lnxx切于（1，0）时，由导数的几何意义可得，﹣m=1−ln112=1，则要使y ＝﹣m （x ﹣1）与g （x ）=lnx x有2个交点，则﹣m ＞0且﹣m ≠1，∴实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．故选：D ．7．已知函数f （x ）={|xlnx|，x ＞0|x(x +1)|，x ⩽0，关于x 的方程f 2（x ）+tf （x ）+1＝0（t ∈R ）有8个不同的实数根，则t 的取值范围是（） A ．（−1e −e ，+∞） B ．（−2e ，−12）∪（﹣∞，−1e −e ）C ．（﹣∞，−174）D ．（2，+∞）∪（﹣∞，−174）【解答】解：当x ＞0时，f （x ）＝|xlnx |，令F （x ）＝xlnx ，F ′（x ）＝lnx +1，令F ′（x ）＝lnx +1＝0，解得x =1e，F （1e）=−1e，f （1e）=1e，故当x ＞0时，函数f （x ）在（0，1e ）上单调递增，在（1e ，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当x ＜0时，可得函数f （x ）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，−12）上单调递增，在（−12，0）上单调递减．又f （−12）=14，f （1e ）=1e ，故刻画出函数f （x ）的大致图象如图：令m ＝f （x ），则已知方程可化为m 2+tm +1＝0．观察图象可知，当m ＞1e 时，只有2个交点；当m =1e 时，有3个交点；当14＜m ＜1e 时，有4个交点；当0＜m ＜14时，有6个交点．要想满足题意，则只需使得方程m 2+tm +1＝0在（14，1e ）上存在两个不同实数根，或在（1e ，+∞）和（0，14）上各有1个根，方程m 2+tm +1＝0的两根之积为1，令g （m ）＝m 2+tm +1，由题意，{g(14)＜0g(4)＜0，解得t ＜−174，即t 的取值范围是（﹣∞，−174）．故选：C ．8．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体棱上一点，若满足|PB |+|PC 1|＝d 的点P 的个数为4．则d 的取值范围为（） A ．（√2，2）B ．（√2，2√2）C ．[2，1+√3）D ．（1+√3，2√2）【解答】解：点P 分别在BB 1，BC ，CC 1，B 1C 1上运动时，m 的取值范围是[√2，2]，当点P 分别在C 1D 1，AB 上运动时，m 的取值范围是[√2，1+√3]，当点P 分别在棱A 1B 1，CD 上运动时，m 的取值范围是[2，2√2]，当P 分别在棱A 1D 1，DD 1，AD ，AA 1上运动时，m 的取值范围是[√4+2√2，2√2]，由结合图形可知，点P 在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与m 的值是一一对应的，当|PB |+|PC 1|＝d 的点P 的个数为4，则d 的取值范围为[2，1+√3），故选：C ．9．已知不相等的两个正实数x ，y 满足x 2﹣y ＝4（log 2y ﹣log 4x ），则下列不等式中不可能成立的是（）A．x＜y＜1B．y＜x＜1C．1＜x＜y D．1＜y＜x【解答】解：由已知x2﹣y＝4（log2y﹣log4x），因为2log4x＝log2x，所以原式可变形为x2+2log2x＝y+4log2y，令f（x）＝x2+2log2x，g（x）＝x+4log2x，函数f（x）与g（x）均为（0，+∞）上的增函数，且f（x）＝g（y），且f（1）＝g（1），当x＞1时，f（x）＞1，g（y）＞1，y＞1，当x＜1时，f（x）＜1，g（y）＜1，y＜1，要比较x与y的大小，只需比较g（x）与g（y）的大小，g（x）﹣g（y）＝g（x）﹣f（x）＝x+4log2x﹣x2﹣2log2x＝x﹣x2+2log2x，设h（x）＝x﹣x2+2log2x（x＞0），则h'（x）=1−2x+2xln2，故h'（x）在（0，+∞）上单调递减，又h'（1）=−1+2ln2＞0，h'（2）=−3+1ln2＜0，则存在x0∈（1，2）使得h'（x）＝0，所以当x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＜0，又因为h（1）＝0，h（x0）＞h（1）＝0，h（4）＝﹣12+4＝﹣8＜0，所以当x＜1时，h（x）＜0，当x＞1时，h（x）正负不确定，故当x＜1，y＜1时，h（x）＜0，所以g（x）＜g（y）＜g（1），故x＜y＜1，当x＞1，y＞1时，h（x）正负不定，所以g（x）与g（y）的正负不定，所以x＞y＞1，x＝y＞1，y＞x＞1均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可能．故选：B．10．正实数a，b，c满足a+2﹣a＝2，b+3b＝3，c+log4c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【解答】解：c+log4c＝4⇒log4c＝4﹣c，即c 为函数y ＝log 4x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标； b +3b ＝3⇒1+3b ＝4﹣b ，即b 为函数y ＝1+3x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标； a +2﹣a ＝2⇒2+12a =4−a ，即a 为函数y =2+12x 与y ＝4﹣x 的图象交点的横坐标；在同一坐标系中画出图象，可得b ＜a ＜c ．故选：A ．11．《九章算术》是我国古代数学经典名著，堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．已知某鳖臑A ﹣BCD 的外接球半径为1，则该鳖臑A ﹣BCD 的体积最大值为（） A ．49√3B ．427√3C ．94√3D ．316√3【解答】解：四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图：某鳖臑A ﹣BCD 的外接球半径为1，可知CD ＝2，设AB ＝a ，BC ＝b ，AD ＝c ，所以a 2+b 2+c 2＝4，可得4＝a 2+b 2+c 2≥3√(abc)23，所以abc ≤√4333=8√39．当且仅当a ＝b ＝c =2√33时，取等号．该鳖臑A ﹣BCD 的体积：13×12abc ≤16×8√39=4√327．故选：B ．12．已知抛物线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（3，1），圆Q过A，B，C三点，当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线l方程为（）A．x﹣3y＝0B．3x﹣y+1＝0C．√3x﹣y﹣1＝0D．x−√3y＝0【解答】解：y＝x2+mx﹣2与x轴交于A，B，设两点A（x1，0），B（x2，0），设圆Q的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，取y＝0，可得x2+Dx+F＝0．则方程x2+Dx+F＝0与方程x2+mx﹣2＝0等价，则D＝m，F＝﹣2，则圆的方程为x2+y2+mx+Ey﹣2＝0．∵圆Q过C（3，1），∴10+3m+E﹣2＝0，即E＝﹣8﹣3m，得圆Q的方程为x2+y2+mx﹣（8+3m）y﹣2＝0，即x2+y2﹣8y﹣2+m（x﹣3y）＝0，由圆系方程可知，圆x2+y2﹣8y﹣2+m（x﹣3y）＝0经过圆x2+y2﹣8y﹣2＝0与直线x﹣3y＝0的交点，则圆Q被直线x﹣3y＝0所截弦长为定值．故选：A．+alnx+e2≥ax恒成立（e为自然对数的底数），则正实数a的取值范围是13．对任意x＞0，若不等式e xx（）A．（0，e]B．（0，e2]C．[2e ，e]D．[2e，e2]【解答】解：不等式e xx +alnx+e2≥ax可化为e xx−a（x﹣lnx）+e2≥0，即e xx−aln e xx+e2≥0；设t=e xx，其中x＞0；由e x≥ex知t≥e，所以f（t）＝t﹣alnt+e2（t≥e），只需证明f（t）的最小值f（t）min≥0即可；对函数f（t）求导数，得f′（t）＝1−at =t−at（t≥e），①当0＜a≤e时，f′（t）≥0恒成立，f（t）是[e，+∞）上的单调增函数，所以f（t）的最小值是f（t）min＝f（e）＝e﹣alne+e2≥0，解得a≤e2+e；又0＜a≤e，所以a的取值范围是（0，e]．②当a＞e时，f（t）在[e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以f（t）的最小值是f（t）min＝f（a）＝a﹣alna+e2≥0；设g（a）＝a﹣alna+e2，其中a＞e，则g′（a）＝1﹣lna﹣1＝﹣lna＜0，所以g（a）在（e，+∞）上是单调减函数；g（e2）＝e2﹣e2lne2+e2＝0，所以g（a）≥0时，a≤e2；由a＞e知，a的取值范围是（e，e2]；综上知，正实数a的取值范围是（0，e2]．故选：B．14．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是其右支上第一象限内的一点，直线PO，PF2分别交该双曲线左、右支于另两点A，B，若|PF1|＝2|PF2|，且∠AF2B＝60°，则该双曲线的离心率是（）A．√3B．√2C．2√33D．√52【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，由|PF1|＝2|PF2|，可得|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，结合双曲线性质可以得到|PO|＝|AO|，而|F1O|＝|F2O|，结合四边形对角线平分，可得四边形PF1AF2为平行四边形，结合∠AF2B＝60°，得∠F1AF2＝60°，对三角形F1AF2，用余弦定理，得到|AF1|2+|AF2|2﹣|F1F2|2＝2|AF1|•|AF2|•cos∠F1PF2，由|PF1|＝2|PF2|，可得|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，代入上式子中，得到3a2＝c2，∴e=ca=√3，故选：A．15．如图，双曲线F：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，则F的离心率为（）A．3√34B．√3C．65D．5√36【解答】解：如图，不妨设|AB|＝1，|CD|＝4，则|BD|＝1+2a，|AC|＝4+2a，在△ABD中，由余弦定理得1+4c2﹣2•1•2c•cos60°＝（1+2a）2，①在△ACD中，由余弦定理得16+4c2﹣2•4•2c•cos120°＝（4+2a）2，②②﹣①得，15+10c＝12a+15，则e=ca =65．故选：C．16．已知定义R在上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f（x）＝f（﹣x）﹣2sin x．且当x≥0时，f'（x）+cos x＞0，则不等式f（x+π2）＞f（x）+sin x﹣cos x的解集为（）A．（﹣∞，π2）B．（π2，+∞）C．（﹣∞，﹣π4）D．（﹣π4，+∞）【解答】解:令g(x)＝f(x)+sin x,则g(﹣x)＝f(﹣x)+sin(﹣x)＝f(﹣x)﹣sin x,又f(x)＝f(﹣x)﹣2sin x,∴f(x)+sin x＝f(﹣x)﹣sin x,故g(﹣x)＝g(x),∴g(x)为定义在R上的偶函数；当x≥0时,g′(x)＝f′(x)+cos x＞0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,又∵g(x)为偶函数,故g(x)在(﹣∞,0]上单调递减,由f(x+π2)+cosx=f(x+π2)+sin(x+π2)＞f(x)+sinx得g(x+π2)＞g(x),∴|x+π2|＞|x|,解得x＞−π4,∴不等式的解集为(−π4,+∞)．故选：D．17．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0），过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A，B两点，A，B两点分别在一、四象限，若|AF||BF|=513，则双曲线C的离心率为（）A．1312B．√133C．√135D．√13【解答】解：由题意知：双曲线的右焦点F（c，0），渐近线方程为y=±bax，即bx±ay＝0，如下图所示：由点到直线距离公式可知：|F A |=√a 2+b 2=b ，又∵c 2＝a 2+b 2，∴|OA |＝a ，∵|AF||BF|=513，∴|BF |=135b ，设∠AOF ＝α，由双曲线对称性可知∠AOB ＝2α，而tan α=ba ，tan2α=|AB||OA|=18b 5a，由正切二倍角公式可知：tan2α=2tanα1−tan 2α=2×b a 1−(b a)2=2ab a 2−b 2，即2ab a 2−b2=18b 5a，化简可得：4a 2＝9b 2，由双曲线离心率公式可知：e =c a=√1+b 2a2=√1+49=√133．故选：B ．18．数学中一般用min {a ，b }表示a ，b 中的较小值．关于函数f(x)=min{sinx +√3cosx ，sinx −√3cosx}有如下四个命题：①f （x ）的最小正周期为π； ②f （x ）的图象关于直线x =3π2对称；③f （x ）的值域为[﹣2，2]；④f （x ）在区间(−π6，π4)上单调递增．其中是真命题的是（） A ．②④B ．①②C ．①③D ．③④【解答】解：令g(x)=sinx +√3cosx =2sin(x +π3)，ℎ(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)，则f （x ）＝min {g （x ），h （x ）}={g(x)，g(x)⩽ℎ(x)ℎ(x)，g(x)＞ℎ(x)={2sin(x +π3)，π2+2kπ⩽x ⩽3π2+2kπ2sin(x −π3)，−π2+2kπ＜x ＜π2+2kπ，(k ∈Z)，如图所示：由图知：则f （x ）的最小正周期为2π，故①错误； f （x ）的图象关于直线x =3π2对称，故②正确；f （x ）的值域为[﹣2，1]，故③错误；f （x ）在区间(−π6，π4)上单调递增，故④正确．故选：A ．19．四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，体积为163，若P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2，则四棱锥P ﹣ABCD的外接球体积的最小值是（） A ．160√53π B ．256πC ．125πD ．20√53π【解答】解：底面为矩形的四棱锥P ﹣ABCD 的体积为163，若P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝2，可得底面面积为：8，设AB ＝a ，BC ＝b ，则ab ＝8，四棱锥的外接球就是扩展的长方体的外接球，PC 就是外接球的直径，可得：2R =√a 2+b 2+22≥√4+2ab =√4+2×8=2√5，当且仅当a ＝b ＝2√2，取等号，R ≥√5．外接球的体积的最小值为：4π3×（√5）3=20√5π3．故选：D ．20．已知函数f （x ）={|log 2x|(x ＞0)2x 2+4x +1(x ≤0)，若函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，且满足：x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1+x 2﹣x 3x 4的值是（） A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣1【解答】解：作出f （x ）的函数图象如图所示：因为函数F （x ）＝f （x ）﹣b 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，即y ＝f （x ）与y ＝b 有四个不同的交点，由图象知 x 1+x 2＝﹣2×42×2=−2，由﹣log 2x 3＝log 2x 4，得：log 2x 3+log 2x 4＝0，得：x 3x 4＝1， ∴x 1+x 2﹣x 3x 4＝﹣3，故选：B ．21．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A ．512√6729π B ．16√23π C ．32√627π D ．128√281π【解答】解：由题意可得每个三角形面积为S =12×4×2√3=4√3，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为√16−(4√33)2=4√63，故四面体的体积为13×4√3×4√63=16√23，∵该六面体的体积是正四面体的2倍， ∴六面体的体积是32√23，由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设丸子的半径为R ，则32√23=6×13×4√3×R ，解得R =4√69，∴丸子的体积的最大值为V max =4π3R 3=4π3×(4√69)3=512√6729π．故选：A ．22．已知函数f （x ）＝e x ﹣aln （ax ﹣a ）+a （a ＞0），若关于x 的不等式f （x ）＞0恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．（0，e 2]B ．（0，e 2）C ．[1，e 2]D ．（1，e 2）【解答】解：∵f （x ）＝e x ﹣aln （ax ﹣a ）+a ＞0（a ＞0）恒成立， ∴e xa ＞ln(x −1)+lna −1， ∴e x ﹣lna+x ﹣lna ＞ln （x ﹣1）+x ﹣1， ∴e x﹣lna+x ﹣lna ＞e ln（x ﹣1）+ln （x ﹣1）．令g （x ）＝e x +x ，易得g （x ）在（1，+∞）上单调递增， ∴x ﹣lna ＞ln （x ﹣1），∴﹣lna ＞ln （x ﹣1）﹣x ． ∵ln （x ﹣1）﹣x ≤x ﹣2﹣x ＝﹣2， ∴﹣lna ＞﹣2，∴0＜a ＜e 2， ∴实数a 的取值范围为（0，e 2）．故选：B ．23．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c cos A +a cos C ＝2，AC 边上的高为√3，则∠ABC 的最大值为（） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3【解答】解：因为c cos A +a cos C ＝2，所以由余弦定理可得c •b 2+c 2−a 22bc+a •a 2+b 2−c 22ab=2，整理可得b ＝2，因为AC 边上的高为√3，所以12×2×√3=12acsinB ，所以ac =2√3sinB，因为cos B =a 2+c 2−b 22ac≥2ac−b 22ac=1−2ac，当且仅当a ＝c 时取等号，所以cos B ≥1−√33sinB ，即3cos B +√3sin B ≥3，所以2√3sin （B +π3）≥3，所以sin （B +π3）≥√32，因为B ∈（0，π），所以B +π3∈（π3，4π3），所以B +π3∈（π3，2π3]，所以B ∈（0，π3]，则∠ABC 的最大值为π3．故选：B ．24．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线x ＝3与抛物线C 交于A ，B 两点，|AF |＝4，圆E 为△F AB 的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM →⋅ON →的取值范围是（） A ．[−6325，9]B ．[﹣3，21]C ．[6325，21]D ．[3，27]【解答】解：抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （p2，0），准线方程为x =−p2，设A （3，√6p ），所以|AF |＝3+p2=4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，A （3，2√3），B （3，﹣2√3），F （1，0），所以直线AF 的方程为y =√3（x ﹣1），设圆心坐标为（x 0，0），所以（x 0﹣1）2＝（3﹣x 0）2+12，解得x 0＝5，即E （5，0）， ∴圆的方程为（x ﹣5）2+y 2＝16，不妨设y M ＞0，设直线OM 的方程为y ＝kx ，则k ＞0，根据√1+k2=4，解得k =43，由{y =43x(x −5)2+y 2=16，解得M （95，125），设N （4cos θ+5，4sin θ），所以OM →•ON →=365cos θ+485sin θ+9=125（3cos θ+4sin θ）+9，因为3cos θ+4sin θ＝5sin （θ+φ）∈[﹣5，5]，所以OM →•ON →∈[﹣3，21]．故选：B ．25．已知双曲线x 24−y 25=1的右焦点为F ，点M 在双曲线上且在第一象限，若线段MF 的中点在以原点O为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线MF 的斜率是（） A ．−√35B ．−5√117C ．5√117D ．√35【解答】解：如图所示，设线段MF 的中点为H ，连接OH ，设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|=12|MF|=12（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．设∠HFO＝α，在△OHF中，tanα=√32−(12)212=√35，∴直线MF的斜率是−√35．故选：A．二．多选题（共7小题）26．下列结论正确的是（）A．存在这样的四面体ABCD，四个面都是直角三角形B．存在这样的四面体ABCD，∠BAC＝∠CAD＝∠DAB＝∠BCD＝90°C．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°D．存在不共面的四点A、B、C、D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°【解答】解：对于A，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四面体A1﹣ABC的四个面都是直角三角形，所以选项A正确；对于B ，三个直角均以A 为顶点，那么△BCD 为锐角三角形，故选项B 错误；对于C ，存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°，如图所示，故选项C 正确；对于D ，若∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90°，则A ，B ，C ，D 四点共面，故选项D 错误．故选：AC ．27．已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （a ∈R ），则下列说法正确的是（） A ．若a ＝﹣1，则f （x ）是（0，12）上的减函数B ．若0＜a ＜1，则f （x ）有两个零点C ．若a ＝1，则f （x ）≥0D ．若a ＞1，则曲线y ＝f （x ）上存在相异两点M ，N 处的切线平行【解答】解：函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣lnx （a ∈R ），对于A ，当a ＝﹣1，f （x ）＝x 2+x ﹣lnx （x ＞0），f ′（x ）＝2x +1−1x在（0，+∞）上单调递增，又f ′（12）＝0，故当x ∈（0，12）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）是（0，12）上的减函数，故A 正确；对于B ，若f （x ）＝0，则x 2﹣ax ﹣lnx ＝0，故a ＝x −lnx x（x ＞0），令g （x ）＝x −lnx x（x ＞0），则g ′（x ）＝1−1−lnx x 2=x 2+lnx−1x 2，再令h （x ）＝x 2+lnx ﹣1（x ＞0），显然，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，又h （1）＝0，所以，当x ∈（0，1）时，h （x ）＜0，即g ′（x ）＜0，则g （x ）在（0，1）上单调递减，当x ∈（1，+∞）时，h （x ）＞0，即g ′（x ）＞0，则g （x ）在（1，+∞）上单调递增，故g （x ）min ＝g （1）＝1，要使f （x ）有零点，则a ≥1，故B 错误；对于C ，当a ＝1时，f （x ）＝x 2﹣x ﹣lnx （x ＞0），f ′（x ）＝2x ﹣1−1x 在（0，+∞）上单调递增，又f ′（1）＝0，故当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，则f （x ）是在（0，1）上单调递减；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，则f （x ）在（1，+∞）上单调递增，故f （x ）≥f （1）＝0，故C 正确；对于D ，由于f ′（x ）＝2x ﹣a −1x （x ＞0），若曲线y ＝f （x ）上存在相异两点M （x 1，f （x 1）），N （x 2，f （x 2））处的切线平行，则f ′（x 1）＝f ′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），即2x 1﹣a −1x 1=2x 2﹣a −1x 2，即2x 1−1x 1=2x 2−1x 2，也就是f ′（x ）＝2x ﹣a −1x =0有两异根，即a ＝2x −1x （x ＞0）有两个交点．令t （x ）＝2x −1x （x ＞0），则t （x ）在（0，+∞）上单调递增，当t →0+时，t （x ）→﹣∞；当t →+∞时，t （x ）→+∞，故y ＝a 与t （x ）＝2x −1x （x ＞0）只有一个交点，故D 错误．综上所述，AC 正确，故选：AC ．28．已知无穷等差数列{a n }的公差d ∈N *，且5，17，23是{a n }中的三项，则下列结论正确的是（） A ．d 的最大值是6 B ．2a 2≤a 8C ．a n 一定是奇数D ．137一定是数列{a n }中的项【解答】解：∵无穷等差数列{a n }的公差d ∈N *，且5，17，23是{a n }中的三项， ∴设{17−5=12=md 23−17=6=nd ，解得d =6m−n ，∴d 的最大值为6，故A 正确； ∵a 1≤5，d ∈N *，∴2a 2﹣a 8＝a 1﹣5d ≤0，故B 正确；∵d =6m−n ，∴当m ﹣n ＝2时，d ＝3，数列可能为5，8，11，14，17，20，23，…，故C 错误； ∵137＝23+19×6，∴137一定是等差数列{a n }中的项，故D 正确．故选：ABD ．29．已知函数f （x ）＝（sin x +cos x ）|sin x ﹣cos x |，下列说法正确的是（） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[−π2，π2]上是增函数 C ．若|f （x 1）|+|f （x 2）|＝2，则x 1+x 2=kπ2（k ∈Z ）D ．函数g （x ）＝f （x ）+1在区间[0，2π]上有且仅有1个零点【解答】解：f （x ）＝（sin x +cos x ）|sin x ﹣cos x |={cos 2x −sin 2x ，sinx ＜cosx sin 2x −cos 2x ，sinx ≥cosx ={cos2x ，sinx ＜cosx−cos2x ，sinx ≥cosx ．其图象如图：由图可知，f （x ）是周期为2π的周期函数，故A 正确； f （x ）在区间[−π2，π2]上不是单调函数，故B 错误；若|f （x 1）|+|f （x 2）|＝2，由|f （x 1）|≤1，|f （x 2）|≤1，则只有|f （x 1）|＝|f （x 2）|＝1，即x 1，x 2只能是函数的最值点的横坐标，可得x 1+x 2=kπ2（k ∈Z ），故C 正确；函数g （x ）＝f （x ）+1的图象是把y ＝f （x ）的图象向上平移1个单位得到的，则在区间[0，2π]上有且仅有2个零点，故D 错误． ∴说法正确的是AC ．故选：AC ．30．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 1作倾斜角为π3的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M 、点P ，且|PM |＝|MF 1|，下列判断正确的是（）A．E的渐近线方程为y＝±√2x B．|MF2|=12|PF1|C．E的离心率等于2+√3D．∠F1PF2=π6【解答】解：如右图，由|PM|＝|MF1|，可得M为PF1的中点，又O为F1F2的中点，可得OM∥PF2，∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝60°，∠F1PF2＝30°，|MF2|=12|PF1|，故B正确，D正确；设|F1F2|＝2c，则|PF1|=2ccos60°=4c，|PF2|＝2c tan60°＝2√3c，则2a＝|PF1|﹣|PF2|＝（4﹣2√3）c，可得e=ca =(4−2√3)c=2+√3，ba=√c2a2−1=√6+4√3，则双曲线的渐近线方程为y＝±bax即为y＝±√6+4√3x．故C正确，A错误．故选：BCD．31．已知函数f（x）＝e x﹣cos x，x∈R，下列判断正确的是（）A．f（x）在（﹣2π，−32π）单调递增B．f（x）在（﹣π，0）有2个极值点C．f（x）在（﹣2π，−π2）仅有1个极小值D．当﹣4π≤x≤﹣2π时，f（x）≤1【解答】解：函数f（x）＝e x﹣cos x，则f′（x）＝e x+sin x，对于A，当x∈（﹣2π，−32π）时，f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，故A正确；对于B，函数f′（x）＝e x+sin x的零点，即为方程f′（x）＝0的根，作出函数y＝﹣sin x与函数y＝e x的大致图象，如图所示：由图象可知，当x∈（﹣π，0）时，函数y＝﹣sin x与函数y＝e x有两个交点，则方程f′（x）＝0有两个实根，所以f（x）在（﹣π，0）有2个极值点，故B正确；对于C，由图象可得，函数y＝﹣sin x与函数y＝e x在（﹣2π，−π2）上只有一个交点，则方程f′（x）＝0只有一个实数根x0，且在（﹣2π，x0）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（x0，−π2）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）在x＝x0处取得极大值，故C错误；对于D，当x＝﹣3π时，f（x）＝e﹣3π+1＞1，故D错误．故选：AB．32．随着高三毕业日期的逐渐临近，有n（n≥2）个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（）A．当n＝4时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为38B．当n＝5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为340C．甲和乙恰好互换了卡片的概率为1n−1−1nD．记n个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为a n，则a n+2＝（n+1）（a n+a n+1）n∈N*【解答】解：考虑n+1个同学时的情况，若n+1个同学都拿到其他同学的卡片，则第n+2个同学可以与其中任何一个交换卡片，若n+1个同学只有一个拿到自己的卡片，则第n+2个同学必须与该同学交换卡片，∴a n+2＝（n+1）a n+1+（n+1）a n，故D正确；a n+2﹣（n+2）a n+1＝﹣[a n+1﹣（n+1）a n]，∵a1＝0，a2＝1，∴a n﹣na n﹣1＝（﹣1）n，∴a n=n!⋅∑n i=2(−1)ii!，代入数据可得a4＝9，∴当n＝4时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为a44!=38，故A正确；当n＝5时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为5a45!=38，故B错误；甲和乙恰好互换了卡片的概率为(n−2)!n!=1n−1−1n，故C正确．故选：ACD．三．填空题（共18小题）33．已知矩形ABCD中，AB=2，BC=√3，E是CD边的中点．现以AE为折痕将△ADE折起，当三棱锥D﹣ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为16π3．【解答】解：由题意，当平面ADE⊥平面ABE时，三棱锥D﹣ABE的高最大值，此时体积最大．∵△ADE是直角三角形，∴三棱锥D﹣ABE换成B﹣ADE∴底面△ADE外接圆半径r=12AE＝1，垂直面△ABE是边长为2等边三角形，可得AE边上的高h=√3；设球心与圆心距离为d，球半径为R，R2＝r2+d2……①√3−d=R⋯⋯②由①②解得R=√3；三棱锥外接球的表面积S＝4πR2=16π3；故答案为：16π3．34．由正三棱锥S﹣ABC截得的三棱台ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，若AB＝6，三棱台ABC ﹣A1B1C1的高为2，且球心O在平面ABC与平面A1B1C1之间（不在两平面上），则AB1的取值范围为(2√6，6)．【解答】解：该三棱台的横截面如图所示，因为△ABC为正三角形，且AB＝6，=2√3，则AH=√3又GH＝2，球心O在GH上，A，A1都在球面上，故OA＝OA1，设OH＝h，A1G＝m，则由△A1GO和△AOH均为直角三角形，所以m2+（2﹣h）2＝h2+12，解得m2＝8+4h，由图可知，h∈（0，2），m∈(0，2√3)，综上可得，m∈(2√2，2√3)，又A1B1=√3A1G，所以A1B1∈(2√6，6)，即AB1的取值范围为(2√6，6)．故答案为：(2√6，6)．35．设数列a1，a2，a3，a4各项互不相同，且a i∈{1，2，3，4}（i＝1，2，3，4）．若下列四个关系①a1＝1；②a2≠1；③a3＝2；④a4≠4中恰有一个正确，则（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值是18．【解答】解：若①正确，则②一定正确，因此不符合题意；若②正确，此时令a4＝4，a3＝1，a1＝3，a2＝2，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为18；若③正确，此时a4＝4，a2＝1，a1＝3，a3＝2，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为7；若④正确，此时a4＝2，a3＝3，a1＝4，a2＝1，则有（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为9．综上可得，（10a1+a2）﹣（10a3+a4）的最大值为18．故答案为：1836．设抛物线C1：y＝x2﹣2x+2和C2：y＝﹣x2+ax+b在它们的一个交点处的切线互相垂直，则C2过定点（1，3）．2【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2，∴y'＝2x﹣2，∵y＝﹣x2+ax+b，∴y'＝﹣2x+a，设交点为（x0，y0），∵它们在一个交点处切线互相垂直，∴（2x0﹣2）（﹣2x0+a）＝﹣1，即4x02﹣（2a+4）x0+2a﹣1＝0，①由交点分别代入二次函数式，整理得，2x02﹣（2+a）x0+2﹣b＝0，即4x02﹣（4+2a）x0+4﹣2b＝0，②由①②整理得2a﹣1﹣4+2b＝0，即a+b=52，所以C2：y＝﹣x2+ax+52−a，令x＝1，可得y=32，则C2过定点（1，32），故答案为：（1，32），37．在三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，AD＝9，则三棱锥A﹣BCD外接球O的表面积为84π．【解答】解：如图所示：取BC的中点E，连接AE，DE，取AD的中点F，连接EF，因为AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝6，所以AE⊥BC，DE⊥BC，且三角形ABC和三角形BCD都是正三角形，所以AE＝DE＝3√3，即三角形ADE为等腰三角形，所以EF⊥AD，且EF平分∠AED，不妨设三角形BCD的外接圆圆心为O′，且O′在DE上，所以EO′=13ED=√3，设外接球的球心为O，半径为R，则OA＝OD＝R，利用面面垂直可证得平面AED⊥平面BCD，又平面AED∩平面BCD＝ED，则球心O必在三角形AED中，又OA＝OD＝R，所以O在∠AED的角平分线EF上，连接OO′，则OO′⊥平面BCD，即OO′⊥ED，在三角形AED中，由余弦定理可得：cos∠AED=AE2+ED2−AD22AE⋅ED =−12，所以∠AED＝120°，所以∠FED=12∠AED＝60°，在Rt△EOO′中，tan∠FED=OO′EO′=√3=√3，所以OO′＝3，在Rt△OO′D中，OD＝R，O′D＝2√3，所以R2＝OO′2+O′D2＝21，所以球O的表面积为S＝4πR2＝84π，故答案为：84π．38．如图，在三棱锥A﹣BCD中，BC＝CD＝BD＝2√2，AB＝AC＝AD＝2a，若该三棱锥的侧面积是底面积的√3倍，则该三棱锥外接球的表面积为12π．【解答】解：取BC边的中点E，连结AE，如图所示，△BCD外接圆的圆心为F，三棱锥A﹣BCD外接球的球心为O，因为AB＝AC且点E为BC的中点，所以AE=√4a2−2，=3√2×√4a2−2=6√2a2−1，由此可知该三棱锥的侧面积S侧底面△BCD的面积为2√3，所以6√2a2−1=√3×2√3，解得a＝1，设三棱锥A﹣BCD外接球半径为R，OF＝x，因为AB＝AC＝AD＝2，所以点A在底面BCD上的射影为点F，因为AB＜BC，故三棱锥外接球球心O在直线AF的延长线上，BF为△BCD外接圆的半径，所以BF=2√6，3)2=4①，在Rt△ABF中，由勾股定理可得(R−x)2+(2√63)=R2②，在Rt△OBF中，由勾股定理可得x2+(2√63，由①②解得R=√3，x=√33所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π．故答案为：12π．39．在△ABC 中，点M ，N 是线段BC 上的两点，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|＝1，MA →⋅MN →=12，则MA →⋅NA →= 12 ，|NA →|的取值范围是（12，1] ．【解答】解：根据题意，画出大致图形如下：结合题意及图形，可知MA →•MN →+MA →•NA →=MA →•（MN →+NA →） =MA →•MA →＝|MA →|2 ＝1，∵MA →⋅MN →=12， ∴MA →⋅NA →=1−12=12，又∵12=MA →⋅NA →=|MA →|•|NA →|•cos ＜MA →，NA →＞=|NA →|•cos ＜MA →，NA →＞， ∴|NA →|=12cos ＜MA →，NA →＞，由题意可知点N 在线段BC 上，假设点N 与点B 重合，则12=MA →⋅MN →=MA →•MB →=|MA →|•|MB →|•cos ＜MA →，MB →＞=cos ＜MA →，MB →＞，即cos ∠BMA =12，∴∠BMA =π3或2π3，∴∠BAM =π3或π6，即cos ＜MA →，NA →＞=12或√32，假设点N 与点C 重合，则12=MA →⋅MN →=MA →•MC →=|MA →|•|MC →|•cos ＜MA →，MC →＞=cos ＜MA →，MC →＞，此时cos ＜MA →，NA →＞=12或√32，综合可得，12≤cos ＜MA →，NA →＞＜1， ∴1≤2cos ＜MA →，NA →＞＜2， ∴12＜12cos ＜MA →，NA →＞≤1，即12＜|NA →|≤1，故答案为：12；（12，1]．40．已知一圆锥纸盒母线长为6，其轴截面为正三角形，在纸盒内放置一个棱长为a 的正方体，若正方体可在纸盒内任意转动，则a 的最大值为 2 ．【解答】解：由于正方体可在圆锥内任意转动，故当正方体棱长a 最大时，正方体外接球为圆锥内切球，设圆心为P ，半径为r ，轴截面上球与圆锥母线切点为Q ，SO ⊥AB ，SO 平分AB ，由△SAB 为正三角形，SA ＝SB ＝AB ＝6，OA ＝OB ＝3，因为PB 为∠SAB 的角平分线，所以∠PBA ＝30°，PO ＝OB tan30°=√3=r ，由正方体外接球直径与正方体之间的关系可得，2R =√3a ，又正方体外接球为圆锥内切球，所以√3a =2r =2√3，故a ＝2，所以a 的最大值为2．故答案为：2．41．若数列{a n}满足递推公式a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），且a1＝a2，a2020＝2021，则a1+a3+a5+…+a2019＝2021．【解答】解：∵a1＝a2，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），且a2020＝2021，∴a1+a3+a5+…+a2019＝a2+a3+a5+…+a2019＝a4+a5+…+a2019＝…＝a2018+a2019＝a2020＝2021，故答案为：2021．42．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC中，角A ＝60°，以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1、O2、O3，若三角形O1O2O3的面积为√32，则三角形ABC的周长最小值为3√2．【解答】解：由题意知△O1O2O3为等边三角形，设边长为m，则S△O1O2O3=12m2sin60°=√34m2=√32，解得|O1O2|＝m=√2；设BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图所示：在△O1AO2中，∠O1AB＝∠O1BA＝30°，由∠BAC ＝60°，所以∠O 1AO 2＝120°，在等腰△BO 1A 中，ABO 1A=sin120°sin30°，解得O 1A =√3，同理得O 3A =√3，在△O 1AO 2中，由余弦定理得O 1O 32=O 1A 2+O 3A 2﹣2O 1A •O 3A •cos120°，即2=c 23+b 23−2•bc 3•（−12），即b 2+c 2+bc ＝6，在△ABC 中，由余弦定理知， a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ， ∴a =√(b 2+c 2+bc)−2bc =√6−2bc ，又∵（b +c ）2＝b 2+c 2+bc +bc ＝6+bc ， ∴b +c =√6+bc ，∴△ABC 的周长为a +b +c =√6−2bc +√6+bc ，又∵b 2+c 2≥2bc ， ∴b 2+c 2+bc ＝6≥3bc ， ∴bc ≤2．令f （x ）=√6−2x +√6+x （0＜x ≤2），则f ′（x ）=√6−2x2√6+x ，当f ′（x ）＜0时，有√6−2x2√6+x0，解得x ＞3，∴f （x ）在（0，2]上单调递减， ∴当x ＝2时取得最小值，f （2）＝3√2． ∴a +b +c ≥3√2，即△ABC 的周长最小值为3√2．故答案为：3√2．43．设函数f （x ）的定义域为D ，若存在x 0∈D ，使得f （x 0+1）＝f （x 0）+f （1），则称x 0为函数f （x ）的“可拆点”．若函数f(x)=log 2a1+x 2在（0，+∞）上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为 [3−√5，2) ．【解答】解：由已知可得函数f （x ）有“可拆点”，则log 2（a1+x 2）+log 2（a2）＝log 2（a1+(1+x)2）成立，即a1+(1+x)2=a1+x2⋅a2，整理可得：（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a＝0，从而问题转化为方程（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a＝0在区间（0，+∞）上有解，设h（x）＝（2﹣a）x2﹣2ax+2﹣2a，由已知可得a＞0，则当a＞2且x＞0时，h（x）＜0，方程h（x）＝0无解，不满足题意，当a＝2时，方程h（x）＝0的根为−12，不满足题意，当0＜a＜2时，函数h（x）的图象的对称轴为x=a2−a＞0，要使方程h（x）＝0在区间（0，+∞）上有解，只需△＝4a2﹣4（2﹣a）（2﹣2a）≥0，解得3−√5≤a≤3+√5，所以3−√5≤a＜2，故实数a的取值范围为：[3−√5，2）．故答案为：[3−√5，2）．44．在棱长为√2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在平面BCC1B1内，作PQ⊥平面ACD1，垂足为Q．当点P在△EFB1内（包含边界）运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于√312．【解答】解：连结BD交AC于点O，连结OD1，B1D交于点H，设G为CD1的中点，因为AC⊥BD，AC⊥BB1，BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D，因为B1D⊂平面BB1D，所以B1D⊥AC，同理可证B1D⊥AD1，又AC∩AD1＝A，AC，AD1⊂平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，即点B1在平面ACD1的投影为H，且D1H＝2HO，同理，点E，F在面ACD1的投影分别为O，G，所以△EFB1在平面ACD1的投影为△OGH，又AC=√2AB=2，所以HC=HG=13D1C=13AC⋅√32=√33，所以点Q的轨迹所组成的图形的面积S=12CH⋅HG⋅sin120°=√312．故答案为：√312．45．已知F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线左支于点M，且∠F1MF2＝60°，则该双曲线的渐近线方程为y＝±（1+√33）x．【解答】解：设切点为A，过F1作F1B⊥MF2，垂足为B，由题意可得|OA|＝a，|OF2|＝c，|AF2|=√c2−a2=b，由OA为△BF1F2的中位线，可得|BF1|＝2a，|BF2|＝2b，又∠F1MF2＝60°，可得|MF1|=|BF1|sin60°=√3，|MB|=√3|MF2|＝|MB|+|BF2|=√32b，又|MF2|﹣|MF1|=√3+2b√3=2a，所以b＝（1+√33）a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±（1+√33）x．故答案为：y＝±（1+√33）x．46．已知函数f（x）＝xe x，g（x）=xe x，h（x）＝xlnx，现有以下四个命题：①f（x）﹣g（x）是奇函数；②函数f（x）的图象与函数g（x）的图象关于原点中心对称；③对任意x∈R，恒有f（x）≥g（x）；④函数f（x）与函数h（x）的最小值相同其中正确命题的序号是③④．【解答】解：函数f（x）＝xe x，g（x）=xe x，h（x）＝xlnx，对于①，令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x•e x﹣x•e﹣x，由于F（﹣x）＝F（x）故函数F（x）为偶函数，故①错误；对于②，函数f（﹣x）＝﹣x•e﹣x≠﹣f（x），所以函数f（x）不为奇函数，函数g（﹣x）=−xe−x=−x⋅e x≠−g(x)，所以函数g（x）不为奇函数，故②错误；对于③，当x＝0时，f（x）＝g（x）＝0，当x＞0时，e2x＞1，得到e x＞1e x，两边同乘以x得到x⋅e x＞xe x，即f（x）＞g（x），当x＜0时，e2x＜1，整理得e x＜1e x ，两边同乘以x得到x⋅e x＞xe x，即f（x）＞g（x），故③正确；对于④，f′（x）＝（1+x）•e x，令f′（x）＜0，得到x＜﹣1，f′（x）＞0，得到x＞﹣1，所以函数f（x）的最小值为f（﹣1）=−e−1=−1e．h′（x）＝1+lnx（x＞0），令h ′（x ）＜0，解得0＜x ＜1e ，令h ′（x ）＞0，解得x ＞1e ，所以函数h （x ）的最小值为h （1e ）=1e ⋅ln 1e =−1e =f(−1)，故④正确；故选：③④．47．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin A +2sin B ＝2cos A sin C ，a +b ＝3√2，△ABC 的面积是√3，则边长c ＝ √14 ．【解答】解：∵sin A +2sin B ＝2cos A sin C ， ∴sin A +2sin （A +C ）＝2cos A sin C ，即sin A +2sin A cos C +2cos A sin C ＝2cos A sin C ，即sin A +2sin A cos C ＝0， ∵sin A ≠0，∴cos C =−12，则C ＝120°， ∵△ABC 的面积是S =12ab ×√32=√3，∴ab ＝4，则c 2＝a 2+b 2﹣2ab ×（−12）＝（a +b ）2﹣ab ＝18﹣4＝14，则c =√14，故答案为：√14．48．抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为A ，如果在直线x +y +4＝0上存在点M ，使得∠FMA ＝90°，则实数p 的取值范围是 [4√2，+∞）．【解答】解：由题意可得F （p2，0），A （−p2，0），∵M 在直线x +y +4＝0上，设点M （x ，﹣x ﹣4）， ∴AM →=（x +p2，﹣x ﹣4），FM →=（x −p2，﹣x ﹣4），又∠FMA ＝90°，∴AM →•FM →=（x +p 2）（x −p2）+（﹣x ﹣4）2＝0，即2x 2+8x +16−p24=0，∴△＝82﹣4×2×（16−p24）＝2p2﹣64≥0，解得p ≤﹣4√2或p ≥4√2，又p ＞0，∴p 的取值范围是[4√2，+∞）．故答案为：[4√2，+∞）． 49．已知F 1，F 2是双曲线C 1：x 2a2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与椭圆C 2：x 225+y 29=1的公共焦点，点P ，Q 分别是曲线C 1，C 2在第一、第三象限的交点，四边形PF 1QF 2的面积为6√6，设双曲线C 1与椭圆C 2的离心率依次为e 1，e 2，则e 1+e 2＝2√10+45．【解答】解：由题意可得a 2+b 2＝16，根据双曲线C 1与椭圆C 2的对称性可得△PF 1F 2的面积为3√6，设P （x 0，y 0），（x 0，y 0＞0），则{12⋅8⋅y 0=3√6x 0225+y 029=1，解得x 0=5√104，y 0=3√64，代入双曲线的方程结合b 2＝16﹣a 2，可得a 4﹣35a 2+250＝0，结合0＜a ＜c ＝4，解得a =√10，双曲线的离心率为e 1=c a=√10=2√105，而椭圆的离心率e 2=45， ∴e 1+e 2=2√10+45．故答案为：2√10+45．50．一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式为V =π3(3R −ℎ)ℎ2，其中R 为球的半径，h 为球缺的高．若一球与一棱长为。

高考数学复习压轴题型专题讲解与练习40 导数压轴选择填空(解析版)

高考数学复习压轴题型专题讲解与练习专题40 导数压轴选择填空1．若对任意x ＞0，恒有()112axa e x lnx x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为_____.【答案】2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意可得()()22ln 11axaxeex lnx +≥+，构造函数()()1ln ,0f t t t t =+>，求得导数和单调性，原题转化为()()2ax f e f x ≥，结合单调性转化后分离参数，二次构造函数后转化为求解函数的最值，结合不等式恒成立思想可得所求范围. 【详解】解：由不等式()112ax a e x lnx x ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，可得()()22ln 11ax ax e e x lnx +≥+，设()()1ln ,0f t t t t =+>，则()1ln t f t t t+'=+，设()22,11(1)()t t h t t x tx f h =''-=-=，当0＜t ＜1时，()0h t '<；当t ＞1时，()0h t '>，故()f t '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因此()()120f t f ''≥=>，因此()f t 在()0,∞+上单调递增，由()()2ax f e f x ≥得e ax ≥x 2，即2lnx a x ≥，设()2lnxg x x=，()222lnx g x x -'=，当x ＞e 时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当0＜x ＜e 时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，从而()g x 的最大值为()2g e e =，故2a e≥. 故答案为:2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.2．已知函数()ln ,()(1)f x x b g x a x =-=+，其中,a b 为实数，若对任意的(0,)x ∈+∞，有()()f x g x ≤，则+a b 的最小值为_________．【答案】1- 【分析】对任意的(0,)x ∈+∞，都有ln (1)x b a x -≤+，可构造函数()()1ln ,(0,)h x a x x b x =+-+∈+∞，求导并讨论()h x 的单调性，易知当1a ≤-时，()h x 不恒大于或等于0，即1a ≤-不符合题意；当1a >-时，可求出min 1()1h x h a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则min ()0h x ≥，可得到11ln01b a +-≥+，进而得到ln(1)1a b a a +≥-+-，求出ln(1)1a a -+-的最小值，进而可求出+a b 的最小值.【详解】对任意的(0,)x ∈+∞，有()()f x g x ≤，即ln (1)x b a x -≤+，即()1ln 0a x x b +-+≥．设()()1ln ,(0,)h x a x x b x =+-+∈+∞，则1()1h x a x'=+-． ①当1a ≤-时，()0h x '<，函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，易知x →+∞时，()1ln a x x b +-+→-∞，即()h x 不恒大于或等于0，所以1a ≤-不符合题意；②当1a >-时，令()0h x '=，解得11x a=+，则10,1x a ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0h x '<，1,1x a ⎛⎫∈+∞⎪+⎝⎭时，()0h x '>，所以函数()h x 在10,1a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，在1,1a ⎛⎫+∞⎪+⎝⎭上单调递增，所以min 11()1ln11h x h b a a ⎛⎫==+- ⎪++⎝⎭，所以11ln01b a+-≥+，即ln(1)1b a ≥-+-，所以ln(1)1a b a a +≥-+-．记()ln(1)(1)H x x x x =+->-，则1()111x H x x x '=-=-++，则()H x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H ≤=，所以1(0)ln()a H a a +=-≤，则ln(1)11a a -+-≥-，所以1a b +≥-，即+a b 的最小值为1-．故答案为：1-.3．关于x 的方程221(5)2ln 0m x x m x-+-+=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是___________．【答案】(3,5) 【分析】通过参数分离，将m 表示成关于x 的式子，构造函数，再利用导数求出函数在定义域上的极值，从而得解. 【详解】由221(5)2ln 0m x x m x -+-+=，得222152ln 1x xxm x +-=+，令()222221152ln 2ln 5511x x x x x f x x x +---==+++，函数()f x 的定义域为()0,∞+，则()()()()()223322222411624ln +84ln +=11x x x x x x x x x x f x x x +---'=++，当01x <<时，()0f x <′，所以()f x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()0f x >′，所以()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以，()()min 13f x f ==，当x →+∞时，()5f x →，故实数m 的取值范围是()3,5. 故答案为：()3,5.4．若,x y 是实数，e 是自然对数的底数，23ln(21)3x y e y x x ++--++，则2x y +=______．【答案】83- 【分析】令()1x f x e x =--，结合导数可求()0f x 即1xe x +；令()ln 1g x x x =-+同理结合导数可求出()0g x ，即ln 1x x -，从而可得2ln(21)21(211)33x y e y x x y y x x ++--++++--+-=+，再结合23ln(21)3x y e y x x ++--++，可得20211x y y x ++=⎧⎨-+=⎩，即可求出,x y 的值，从而求出2x y +的值.【详解】解：令()1x f x e x =--，则()1x f x e =-'．当0x <时，()0,()f x f x '<单调递减；当0x >时，()0,()f x f x '>单调递增．故min ()(0)0f x f ==，所以()0f x ，即1xe x +（当且仅当0x =时等号成立）．令()ln 1g x x x =-+，则1()1g x x'=-．当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；当1x >时，()0,()g x g x '<单调递减．故max ()(1)0g x g ==，所以()0g x ，即ln 1x x -（当且仅当1x =时等号成立）．所以2ln(21)21(211)33x y e y x x y y x x ++--++++--+-=+，又23ln(21)3x y e y x x ++--++，所以20211x y y x ++=⎧⎨-+=⎩，解得2343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以823x y +=-．故答案为: 83-. 5．已知关于x 的方程()22ln ln 2x me e x x m +--=++恰有两个实数解，则实数m 的取值范围是______. 【答案】m e =- 【分析】由题意转化条件为()()2ln 2ln 2x mex m x e x x +-+=+--+恰有两解，设()()2ln 2ln 2f x x e x x =+--+，求导后求得函数()f x 的单调性和极值，令t x m =+，()t g t e t =-，求导后确定函数()g t 的单调性和极值，根据两函数的单调性和极值情况即可确定m 的值. 【详解】由题意可得()()2ln 2ln 2x mex m x e x x +-+=+--+恰有两解，设()()2ln 2ln 2f x x e x x =+--+，则()2ln 22ln 21x e x x e f x x x x--+-'=+-=，令()2ln 2h x x x e =-+-，则()221x h x x x-+'=-=，所以函数()h x 在()0,2单调递增，在()2,+∞上单调递减，又()130h e =-<，10he =>， ()0h e =，所以函数()h x存在两个零点(1x ∈，2x e =，所以函数()f x 在()10,x ，(),e +∞单调递减，在()1,x e 上单调递增，且()1f e =，令t x m =+，()t g t e t =-，则()1tg t e '=-，可得()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以()()01g t g ≥=即()1x me x m +-+≥，则要使()()2ln 2ln 2x mex m x e x x +-+=+--+恰有两根，则要使()()x m f x e x m +=-+在()10,x ，()1,x +∞上各有一个根，故()()x mf x e x m +=-+在()1,x +∞上的根为x e =，此时0x m +=即m e =-.故答案为：m e =-.6．已知m 为整数，若对任意()3,x ∈+∞，不等式()ln 31m x x e-≤恒成立，则m 的最大值为______. 【答案】1 【分析】构造()()ln 3x f x x-=，然后对()f x 求导，结合导数研究函数的单调性，再结合函数的性质可求. 【详解】解：令()()ln 3x f x x -=，则()()2ln 33xx x f x x---'=，令()()ln 33x t x x x =---，则()()231033t x x x -'=-<--，所以()t x 在()3,+∞上单调递减，又()70t >，()80t <，故存在()07,8x ∈使得()()0000ln 303x t x x x =--=-，当()03,x x ∈时，()0t x >，即()0f x '>，()f x 单调递增，当()0,x x ∈+∞时，()0t x <，即()0f x '<，()f x 单调递减，()()()00max 00ln 3111,354x f x f x x x -⎛⎫===∈ ⎪-⎝⎭，故114m e ≥，则4m e ≤，即m 的最大值为1. 故答案为：17．函数()()32()321xf x x a x a e =-+⋅-的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是_________.【答案】[)(]1,00,1-⋃ 【分析】先分析得当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<，记()3232g x x a x a =-+，利用导数分析()g x 的单调性，结合函数的特殊值，且函数图象经过三个象限，分类讨论求解a 的取值范围即可. 【详解】当0x >时，10x e ->；当0x <时，10x e -<；且()00=f ，记()3232g x x a x a =-+，则()22'33g x x a =-，①当0a =时，0g x恒成立，所以()g x 在R 上单调递增，又()00g =，所以当0x >时，()0g x >，()0f x >；当0x <时，()0g x <，()0f x >. 所以()f x 的图象经过第一、二两个象限，不符合题意； ②当0a >时，令0g x，得x a =±.当(),x a ∈-∞-和(),+∞a 时，0g x ，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，0g x，()g x 单调递减.因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数y g x 的极大值为()3220g a a a -=+>，则该函数的极小值为()()32 22210g a a a a a =-+=-≥，解得11a -≤≤，此时，01a <≤；③当0a <时，令()'0g x =，得x a =±. 当(),x a ∈-∞和(),a -+∞时，0g x，()g x 单调递增；当(),x a a ∈-时，()'0g x <，()g x 单调递减.因为函数()()()1xf xg x e =⋅-的图象经过三个象限，函数y g x 的极小值()3220g a a a -=+<，则该函数的极大值为()()3222210g a a a a a -=+=-≤， 0a <，解得10a -≤<.综上所述，实数a 的取值范围是[)(]1,00,1-⋃. 故答案为：[)(]1,00,1-⋃.8．已知周期为6的函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当[]1,4x ∈时，()ln xf x x=，则当a e ≤（e 为自然对数的底数），关于x 的不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为______．【答案】7 【分析】根据抽象函数满足的关系式和周期可知()f x 关于4x =、1x =对称，结合导数可求得()f x 在[]1,4上的单调性，并得到()()()()1,2,3,4f f f f 的值及函数的图象；由a 的范围可将不等式化为()0f x a <<，可确定在[]1,4的整数解个数，结合周期性和对称性可得[]1,15上的其他整数解，进而得到结果. 【详解】由()()44f x f x +=-得：()f x 关于4x =对称，又f x 是周期为6的周期函数，f x 关于1x =对称，当[]1,4x ∈时，()21ln xf x x -'=， ∴当[)1,x e ∈时，0fx；当(],4x e ∈时，0fx ；f x 在[)1,e 上单调递增，在(],4e 上单调递减，()()max 1f x f e e ∴==，且()10f =，()114ln 4ln 242f ==，()12ln 22f =，()13ln 33f =，由此可得()f x 图象如下图所示：a e ≤11ln 2ln 323a <≤，()()20f x af x ∴-<等价于()0f x a <<，∴当[]1,4x ∈时，整数解为：2x =和4x =；∴当(]4,15x ∈时，整数解为：6x =、8x =、10x =、12x =和14x =；综上所述：不等式()()20f x af x -<在区间[]1,15上的整数解的个数为7个.故答案为：7.9．已知函数()2e 2ln xf x k x kx x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值集合是________．【答案】2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】由已知可知2x =是0f x唯一的根，进而可转化为2e xk x-=在0x >时没有变号零点，构造函数()()2e 0xg x x x=>，结合导数及函数的性质可求．【详解】解：函数定义域0,，()()()2243e 2e 2e 2x x x kx x x x kf x k x x x+--'=-+=，由题意可得，2x =是0f x 唯一的根，故20x e kx +=在0,上没有变号零点，即2e xk x -=在0x >时没有变号零点，令()2e xg x x =，0x >，则()()3e 2x x g x x -'=，当2x >时，0g x ，函数单调递增，当02x <<时，0g x，函数单调递减，故当2x =时，()g x 取得最小值()2e 24g =，故2e 4k -≤即2e 4k ≥-．故答案为：2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．10．函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，()'f x 为其导函数，若()()(2)x xf x f x e x '+=-且(3)0f =，则不等式()0f x <的解集为__________.【答案】(0,3) 【分析】构造函数()()F x xf x =，由题知 ()(2)x e F x x '=-得到()F x '在(0,)+∞的最小值为0，得到()()F x xf x =在(0,)+∞单增，在(0,)+∞上，()0f x <等价于()0xf x <，利用()()F x xf x =单调性可解.【详解】构造函数()()F x xf x =，在(0,)+∞上，()0f x <等价于()()0F x xf x =<，()()(2)x xf x f x e x '+=-,)2)((x e x F x ∴=-',(0())2x x e x F '=->得2x > ，()F x 在(2,)+∞上单增，在(0)2，上单减，在(02]，上，()()00x F F <=恒成立，又(3)0f =，则(3)=0F又在(2,)+∞上，()0f x <等价于()()0F x xf x =<，即()(3)F x F <，则23x <<∴ 不等式()0f x <的解集为(0,3)故答案为：(0,3)11．已知函数()ln ,11,12x x f x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()1F x f f x m =++有两个零点12,x x ，则12x x 的取值范围______.【答案】(-∞ 【分析】先运用分段函数的解析式，得出()()()1F x f f x m =++的解析式，再利用导数求得函数的单调性区间,即可求得12x x 的取值范围.【详解】当1≥x 时,()ln 0f x x =≥, ()11f x ∴+≥, [()1]ln(()1)f f x f x ∴+=+, 当131()1()1[()1]ln(()1)222x x f x f x f f x f x <=->+>+=+，，，, 综上可知：()()()1ln(()1)0F x f f x m f x m =++=++=,则()1m f x e -+=，()1m f x e -=-有两个根1x ，2x ,(不妨设)12x x <,当1≥x 时,2ln 1mx e -=-，当1x <时,1112m x e --=-, 令112m t e -=->,则2ln x t =，2tx e =，112x t -=，122x t =-，12(22)t x x e t ∴=-，12t >,设()(22)t g t e t =-，12t >, 所以()2t g t te '=-, 1,()02t g t '⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭，，函数()g t 单调递减, 1()2g t g ⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭()g x ∴的值域为(-∞, 12x x ∴取值范围为(-∞,故答案为：(-∞.12．已知定义在R 上函数()f x 满足()()2sin f x f x x =-+，且当0x ≥时，()cos f x x '恒成立，则不等式()sin sin 33f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫>-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为____________.【答案】6x x π⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【分析】根据所求不等式的形式，结合()()2sin f x f x x =-+，构造函数()()sin g x f x x =-，结合判断该函数的单调性和奇偶性，利用()g x 的单调性和奇偶性进行求解即可. 【详解】因为()()2sin f x f x x =-+，所以()()()sin sin f x f x x x =----，令()()sin g x f x x =-，则函数()g x 为偶函数，因为()()cos g x f x x ''=-，且当0x ≥时，()cos f x x '≥，所以当0x ≥，时，()0g x '≥，故函数()g x 在区间[)0,+∞上单调递增，在区间(),0-∞上单递减，因为()sin sin ()sin sin 3333f x f x x x f x x f x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()sin 333f x x f x g x g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⇔->-⇔>-⇔>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得6x π>.故答案为：6x x π⎧⎫>⎨⎬⎩⎭13．存在0, 0k b >>使2ln kx k b x -+≥对任意的0x >恒成立，则bk的最小值为________. 【答案】1 【分析】将问题转化为直线()2y k x b =-+恒在ln y x =上方来求解，利用导数与切线的知识将bk转化为只含k 的表达式，并利用导数求得这个表达式的最小值. 【详解】存在0, 0k b >>使2ln kx k b x -+≥对任意的0x >恒成立，则等价于等价于存在0k >，0b >，()2y k x b =-+在ln y x =的上方. 直线()2y k x b =-+过定点()2,b ，即定点在直线2x =上，设直线()2y k x b =-+与ln y x =相切于点()00,x y ，()''1ln y x x==，所以01k x =，由0000ln 22y b x b k x x --==--得1ln12b kk k-=-，化简得21ln b k k =--，故1ln 2b kk k k=--.构造函数()()1ln 20kg k k k k=-->，则()'22211ln ln k k g k k k k-=-=，所以当01k <<时，()'0g k <，函数()g k 递减，当1k >时，()'0g k >，函数()g k 递增，所以()()min 1211g k g ==-=.所以b k的最小值为1. 故答案为：114．已知函数()x f x e =，若函数2()(2)()2|2|()ag x x f x a x f x =--+-有6个零点，则实数a 的取值范围为________.【答案】2,121e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭【分析】函数零点等价与()()22222x x x a x e F x e a -+--=的零点，设()2xx e t -=，求导根据单调性画出图像，()222,02,0t at a t K t t at a t ⎧+-≥=⎨--<⎩，有4个零点且满足12340e t t t t -<<<<<，计算得到答案.【详解】22()(2)()2|2|(2)2|2|()x x a ag x x f x a x x a x f x e e=--+-=--+-，函数零点等价与()()22222x x x a x e F x e a -+--=的零点，设()2x x e t -=，则()'1xt x e =-，故函数y t =在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且当1x =时，t e =-，画出()2xy t x e ==-的图像，如图所示：()222,02,0t at a t K t t at a t ⎧+-≥=⎨--<⎩，原函数有6个零点，则只需()K t 有4个零点且满足12340e t t t t -<<<<<，故2122440440a a a a ⎧∆=+>⎨∆=+>⎩，解得0a >或1a <-；且3434200t t a t t a +=->⎧⎨=->⎩，解得0a <，且对称轴满足0e t a -<=<，()0K e ->，解得2021e a e -<<-. 综上所述：2,121e a e ⎛⎫∈-- ⎪-⎝⎭. 故答案为：2,121e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭. 15．已知函数()y f x =为R 上的奇函数，满足()2f x '>-.则不等式()()()2132ln 312f x x x x -<-+-的解集为________.【答案】()0,1 【分析】构造函数()()()()2132ln 312g x f x x x x =-----，利用导数判断出函数()y g x =的单调性，再将所求不等式变形为()()1g x g <，利用函数()y g x =的单调性即可得解. 【详解】设()()()()2132ln 312g x f x x x x =-----，则()()14ln 46g x f x x x x ''=-+-+，设()4ln 46h x x x x =-+，则()4ln h x x '=.当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减；当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增.所以，函数()y h x =在1x =处取得极小值，也是最小值，即()()min 12h x h ==，()12f x '->-，()2h x ≥，()()10f x h x '∴-+>，即()0g x '>，所以，函数()y g x =在()0,∞+上为增函数，函数()y f x =为R 上的奇函数，则()00f =，()()10330g f =-+=，则不等式()()()2132ln 312f x x x x -<-+-等价于()()1g x g <，又0x ，解得01x <<.因此，不等式()()()2132ln 312f x x x x -<-+-的解集为()0,1.故答案为：()0,1.16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．当0x >时，()2f x x '<，则不等式()()22141f x f x >+-的解集是_________．【答案】11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】令()()2g x f x x =-，则()g x 是R 上的偶函数，由()()20g x f x x ''=-<，知()g x 在()0,∞+上递减，于是在(),0-∞上递增，由2(2)(1)41f x f x >+-，得出(2)(1)g x g >，进而列出不等式求解即可.【详解】解：令()()2g x f x x =-，则()g x 是R 上的偶函数，由()()20g x f x x ''=-<，知()g x 在()0,∞+上递减，于是在(),0-∞上递增．由2(2)(1)41f x f x >+-得()()()222211f x x f >--，即(2)(1)g x g >，于是有21x <，解得1122x -<<．故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.17．已知关于x 的方程2ln (1)0x x a x 在(0,)+∞上有且只有一个实数根，则a 的取值范围是______.【答案】0a ≤或12a ≥ 【分析】利用换元法，把方程根的问题转化为两个函数的交点问题，设出函数，求解导数，判断单调性，结合函数图象可求范围. 【详解】令2t x =，则(0,)t ∈+∞ ,则问题等价于关于t (1)0t a t --=在(0,)+∞上有且只有一个实数根，即函数()f t t =与函数()(1)g t a t =-在(0,)+∞上有且只有一个交点；因为()f t t '+=()f t t =在210,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,此时函数()f t 在(1,(1))f 即()1,0处的切线斜率为1(1)2f '==.在平面直角坐标系内画出函数()f t t =的大致图象如图所示,因为直线()(1)g t a t =-过定点(1,0), 由图可知a 的取值范围为0a 或12a时，函数()f t t =与函数()(1)g t a t =-在(0,)+∞上有且只有一个交点. 故答案为：0a或12a.18．已知函数()2()(ln 1)1f x ax x ax x =----，若()0f x <恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(12)，【分析】首先利用导数判断出21ln 1x x +>+，由此化简不等式()0f x <，分离常数a 得到2ln 11x x a x x ++<<，由此分别利用基本不等式和导数求得21x x+的最小值与ln 1x x +的最大值，由此求得a 的取值范围. 【详解】()f x 定义域为()0,∞+，构造函数()()2ln 0g x x x x =->，())2'111212x g x x x xx+--=-==，由于0x >，令()'0g x =解得x =，所以x ⎛∈ ⎝⎭时，()'0g x <，()g x 递减，x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 递增，所以()g x 在()0,∞+上的极小值也即是最小值为111ln 20222g =-=+>⎝⎭，所以()2ln 0g x x x =->，也即当0x >时，22ln 1ln 1x x x x >⇒+>+.所以由()2()(ln 1)10f x ax x ax x =----<，得2ln 11x ax x +<<+，可得2ln 11x x a x x++<<，其中221222x x xx x x+==. 令ln 1()x h x x +=，'221(ln 1)ln ()x x h x x x-+==-.可得函数()h x 的增区间为(0,1).减区间为(1,)+∞，可得()(1)1h x h =. 即ln 11x x+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2)故答案为：(12)，19．若关于x 的不等式2121ln n mx e x-≥+在1[,)2+∞上恒成立，则n m的最大值为__________．【答案】1e【分析】分类讨论，0m <时不合题意；0m >时求导，求出函数的单调区间，得到()21ln mx f x x=+在1[,)2+∞上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值122n m e e-≥，化简得n m e ≥，构造nm放缩函数对自变量n 再研究，可解, 【详解】令2()1ln mx f x x=+；当0m <时，1(1)02n f m e -=<<，不合题意；当0m >时，()()()22ln 11ln mx x f x x +'=+，令()0f x '<，得10x e -<<或112e x e --<<，所以()f x 在区间1(0)e -,和112(,)e e --上单调递减.因为1121(,)2e e --∈，且()f x 在区间12(,)e -+∞上单调递增，所以()f x 在12x e -=处取极小值2m e ，即最小值为2me. 若12x ∀≥，12()n f x e -≥，则122n me e-≥，即n m e ≥. 当0n ≤时，0nm≤，当0n >时，则n n n m e ≤.设()()0n n g n n e =>，则1()nng n e -'=. 当01n <<时，()0g n '>；当1n >时，()0g n '<，所以()g n 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)g n g ≤，即1n n e e≤，所以n m 的最大值为1e . 故答案为：1e21 / 2220．设(,)P x y 为椭圆2211612x y +=在第一象限上的点，则346x y x y +--的最小值为________. 【答案】4【分析】利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值．【详解】解：设点(4cos P α，)α，其中02πα<<， ∴33443(6)18()()464646x y x y x y x y x y x y -+-++=-+=-+------ 4184184()44646x y x y =--+=-++----，由4cos x α=，y α=，02πα<<，可设41844644cos z x y α=+=---11cos α=-，导数为2sin (1cos )z αα'=-- 由0z '=，可得23323sin sin αααααα-+--+22sin )(36cos 3cos sin cos )0αααααααα=---+++=，sin 0αα-=或2236cos 3cos sin cos 0αααααα--+++=，由3)2cos225)2sin(2)336πππααααα-+++=-+++223)4sin ()(2sin()0333πππααα=-+++=+>，(0)2πα<<，22 / 22sin 0αα-=，即tan α=3πα=，由03πα<<可得函数z 递减；由32ππα<<，可得函数z 递增，可得3πα=时，函数z取得最小值，且为18112=-，则346xyx y +--的最小值为4．故答案为：4．。

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高考数学填空题的解题策略特点：形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等.解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.（一）数学填空题的解题方法1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.3、数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.4、等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.5、构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法.6、分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.（二）减少填空题失分的检验方法1、回顾检验2、赋值检验.若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误.3、逆代检验.若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错.4、估算检验.当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.5、作图检验.当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错.6、变法检验.一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误．．．．．.7、极端检验.当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误.切记：解填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，“一知半解”最后：填空题的结果书写要规范是指以下几个方面：①对于计算填空题，结果往往要化为最简形式，特殊角的三角函数要写出函数值，近似计算要达到精确度要求．如：12不能写成24或写出sin30°等；②所填结果要完整，如多选型填空题，不能漏填；有条件限制的求反函数，不能缺少定义域；求三角函数的定义域、单调区间等，不能缺k ∈Z ，如：集合{x |x ＝k π， k ∈Z }不能写成{x |x ＝k π}等. ③要符合现行数学习惯书写格式，如分数书写常用分数线，而不用斜线形式；求不等式的解集、求函数定义域、值域，结果写成集合或区间形式．等（2008江苏）13．若AB=2, AC=2BC ，则ABC S ∆的最大值 ▲ ．【解析】解法一：本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式得ABC S ∆=21sin 1cos 2AB BC B x B =-，根据余弦定理得 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244x x-=，代入上式得ABC S ∆=()2221281241416x x x x --⎛⎫--=⎪⎝⎭由三角形三边关系有解得222222x <<，故当2x =ABC S ∆最大值22 解法二：坐标法，以A为原点， AB为横轴，建立直角坐标系则23≥()()()0,0,2,0,,A B C x y ()222222x y x y +=-+即：()2248x y -+=【答案】214.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．【解析】方法一分离参数法：本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值， ()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时， ()331f x ax x =-+≥0可化为， 2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时， ()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -， ()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4方法二整体法：()()2'31f x ax =-，[]20,11x a ∈∴≤时， 210ax -<恒成立，即()f x 单调减函数。

由()1310,2f a a =-+≥≥，矛盾。

当1a ≥时，令2110ax x a-=⇒=±最小值为1f a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或()1f -，由题意知()10,10.f a f ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≥⎩所以4,4.a a ≥⎧⎨≤⎩即4a =。

【答案】4（2009江苏）13．如图，在平面直角坐标系xoy 中， 1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点， F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ .[解析] 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。

以及直线的方程。

直线12A B 的方程为：1x ya b+=-；直线1B F 的方程为：1x y c b+=-。

二者联立解得：2()(,)ac b a c T a c a c+--，则()(,)2()ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上， 2222222()1,1030,1030()4()c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--，解得：275e =-14．设{}n a 是公比为q 的等比数列， ||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = ▲ .学科网[解析] 考查等价转化能力和分析问题的能力。

等比数列的通项。

{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为32q =-， 6q = -9（2010江苏）在锐角三角形ABC ， A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， b a +a b =6cosC ，则tanC tanA +tanCtanB =__▲简析：据正、余弦定理，由已知等式，角化边得3c 2=2a 2+2b 2 ①，边化角得sin 2A+sin 2BsinAsinB=6cosC ②因为tanC tanA +tanC tanB = tanC(cosA sinA + cosB sinB )=tanC ·sin(A+B)sinAsinB =sin 2CsinAsinBcosC ③至此， ③式还有多种变形，此不赘举，仅以下法解本题。

将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长)2梯形的面积,则S 的最小值是_______▲_______（2011江苏）13、设1271a a a =≤≤≤，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列， 642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________解析：由题意：231212121112a a a q a a q a a q =≤≤≤+≤≤+≤，222221,12a q a a q a ∴≤≤++≤≤+3223q a ≥+≥，而212221,1,,1,2a a a a a ≥=∴++的最小值分别为1， 2， 3；min q ∴=。

14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________解析：当0m ≤时，集合A 是以（2， 0）为圆心，以m 为半径的圆，集合B 是在两条平行线之间，22(102m m m --=+> ，因为,φ≠⋂B A 此时无解；当0m >时，集合A 是以（2， 0）为圆心，以和m 为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间，必有 m112m ≤≤.又因为2m 1,122m m ≤∴≤≤ （2019苏北四市二检）１３、平面直角坐标系中，已知点A （１，－２）， B （４，０），Ｐ（ａ，１），Ｎ（ａ＋１，１），当四边形PABN 的周长最小时，过三点A 、P 、N 的圆的圆心坐标是 9(3,)8-【解析】求PABN 周长最小，因为AB,PN 长已经知道，只需求AP+NB 长的最小值， AP+NB=根号[（a-1)^2+3^2AP]+根号[(a-3)^2+1^2],AP 可以看成点（a ， 0）到（1,3）间距离， NB 可以看成（a,0)到（3,1）间距离，求出（1,3）关于x 轴对称点，三点共线可以求出a=5/2时周长最小，然后P,N 点坐标可以求出，过APN 的三点的圆圆心坐标就是AP,AN 的中垂线交点，很容易求出圆心（3， -9/8)１４、已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且22284,a b c ++=则实数ｂ的取值范围是【解析】a=b-d c=b+d a²+b²+c²=84 (b-d)²+b²+(b+d)²=84 b²-2bd+d²+b²+b²+2bd+d²=843b²+2d²=84 d=0时b 最大 3b²=84 b²=28由于a,b,c 为三角形三边，所以a+b>c ，即b-d+b>b+d ， b>2d 。