2020年北京市海淀区中考数学二模试卷(解析版)
2020年北京市海淀区中考数学二模试卷
一．选择题（共8小题）
1．下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（）
A．B．
C．D．
2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x＝0B．x＝2C．x≠0D．x≠2
3．如图，在△ABC中，AB＝3cm，通过测量，并计算△ABC的面积，所得面积与下列数值最接近的是（）
A．1.5cm2B．2cm2C．2.5cm2D．3cm2
4．图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（）
A．区域①处B．区域②处C．区域③处D．区域④处
5．如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，则∠B的度数为（）
A．70°B．60°C．50°D．40°
6．如果a2﹣a﹣2＝0，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（）A．1B．2C．3D．4
7．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（）
A．B．2C．2D．3
8．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（）
A．y＝﹣x+1B．y＝x2﹣2x C．y＝﹣D．y＝x2+
二．填空题（共8小题）
9．单项式3x2y的系数为．
10．如图，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，则∠ACB∠ADB．（填“＞”，“＝”
或“＜”）
11．如表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果：
投篮次数n4882124176230287328
投中次数m335983118159195223
投中频率0.690.720.670.670.690.680.68根据如表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为．（结果精确到0.01）12．函数y＝kx+1（k≠0）的图象上有两点P1（﹣1，y1），P2（1，y2），若y1＜y2，写出一个符合题意的k的值．
13．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点C（3，2），将△ABC关于直线x＝4对称，得到△A1B1C1，则点C的对应点C1的坐标为；再将△A1B1C1向上平移一个单位长度，得到△A2B2C2，则点C1的对应点C2的坐标为．
15．小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km，小明每小时骑行12km，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时．设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D （4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：
①点A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；
③点C，E不可能同时在W上．
所有正确结论的序号是．
三．解答题（共12小题）
17．计算：（）﹣1+（2020﹣π）0+|﹣1|﹣2cos30°．
18．解不等式2（x﹣1）＜4﹣x，并在数轴上表示出它的解集．
19．下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l外取一点A，作射线AP与直线l交于点B，
②以A为圆心，AB为半径画弧与直线l交于点C，连接AC，
③以A为圆心，AP为半径画弧与线段AC交于点Q，
则直线PQ即为所求．
根据小王设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，（）（填推理的依据）．
∵AP＝，
∴∠APQ＝∠AQP．
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，
∴∠APQ＝∠ABC．
∴PQ∥BC（）（填推理的依据）．
即PQ∥l．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+n＝0．
（1）如果此方程有两个相等的实数根，求n的值；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求另外一个实数根．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD，过点A作AG∥DC，过点C作CG∥DA，AG与CG相交于点G．
（1）求证：四边形ADCG是菱形；
（2）若AB＝10，tan∠CAG＝，求BC的长．
22．坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系．
图1反映了2014﹣2019年我国生活垃圾清运量的情况．图2反映了2019年我国G市生活垃圾分类的情况．
根据以上材料回答下列问题：
（1）图2中，n的值为；
（2）2014﹣2019年，我国生活垃圾清运量的中位数是；
（3）据统计，2019年G市清运的生活垃圾中可回收垃圾约为0.02亿吨，所创造的经济总价值约为40亿元．若2019年我国生活垃圾清运量中，可回收垃圾的占比与G市的占比相同，根据G市的数据估计2019年我国可回收垃圾所创造的经济总价值是多少．23．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于点E，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D．
（1）求证：∠DBC＝∠OCA；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的长．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝kx（k≠0）交于点P（1，p）．M是函数y＝（x＞0）图象上一点，过M作x轴的平行线交直线y＝kx（k≠0）于点N．
（1）求k和p的值；
（2）设点M的横坐标为m．
①求点N的坐标；（用含m的代数式表示）
②若△OMN的面积大于，结合图象直接写出m的取值范围．
25．如图1，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD＝90°，AC﹣AB＝1．为了研究图中线段之间的数量关系，设AB＝x，AD＝y．
（1）由题意可得＝，（在括号内填入图1中相应的线段）y关于x的函数表达式为y＝；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，根据（1）中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质：；
②估计AB+AD的最小值为．（结果精确到0.1）
26．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F．
（1）求点B的坐标及该函数的表达式；
（2）若二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：AD＝AE；
（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．
①求证：AE∥CF；
②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数
为°．
28．在平面内，对于给定的△ABC，如果存在一个半圆或优弧与△ABC的两边相切，且该弧上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的弧为△ABC的内切弧．当内切弧的半径最大时，称该内切弧为△ABC的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径）在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），B（0，6）．
（1）如图1，在弧G1，弧G2，弧G3中，是△OAB的内切弧的是；
（2）如图2，若弧G为△OAB的内切弧，且弧G与边AB，OB相切，求弧G的半径的最大值；
（3）如图3，动点M（m，3），连接OM，AM．
①直接写出△OAM的完美内切弧的半径的最大值；
②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T．点P为弧T上的一个动点，过点P作
x轴的垂线，分别交x轴和直线AB于点D，E，点F为线段PE的中点，直接写出线段DF长度的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（）
A．B．
C．D．
【分析】从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可以圆柱的侧面展开图的是长方形．【解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．
故选：A．
2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）
A．x＝0B．x＝2C．x≠0D．x≠2
【分析】直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．
【解答】解：若代数式有意义，则x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＝3cm，通过测量，并计算△ABC的面积，所得面积与下列数值最接近的是（）
A．1.5cm2B．2cm2C．2.5cm2D．3cm2
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，
通过测量，CD＝2cm，
∴S△ABC＝AB?CD＝＝3（cm2），
故选：D．
4．图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（）
A．区域①处B．区域②处C．区域③处D．区域④处
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
这个正方形应该添加区域②处，
故选：B．
5．如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，则∠B的度数为（）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【分析】由EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，可推出∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝70°，根据三角形内角和定理得出∠B的度数．
【解答】解：∵EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，
∴∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠EDB﹣∠BED＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：D．
6．如果a2﹣a﹣2＝0，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（）A．1B．2C．3D．4
【分析】由已知条件求得a2﹣a的值，再化简原式，把代数式转化成a2﹣a的形式，后整体代入求值便可．
【解答】解：原式＝a2﹣2a+1+a2﹣4＝2a2﹣2a﹣3＝2（a2﹣a）﹣3，
∵a2﹣a﹣2＝0，
∴a2﹣a＝2，
∴原式＝2×2﹣3＝1．
故选：A．
7．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（）
A．B．2C．2D．3
【分析】过O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴AB＝OA＝4，
∴OC＝AB＝2，
故选：C．
8．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列
函数的图象中不存在“同号点”的是（）
A．y＝﹣x+1B．y＝x2﹣2x C．y＝﹣D．y＝x2+
【分析】根据“同号点”的定义可知，“同号点”的横纵坐标乘积大于零即可，所以可以在每个函数两边同时乘以x，这样每个函数的左边就变成了xy，接着我们讨论函数等号右边的式子是否大于零就可以了．
【解答】解：∵y＝﹣x+1，∴xy＝x（﹣x+1），显然x＝时，xy＝＞0，∴A选项存在“同号点”，故A排除．
∵y＝x2﹣2x，∴xy＝x（x2﹣2x），显然x＝3时，xy＝9＞0，∴B选项也存在“同号点”，故B排除．
∵y＝﹣，∴xy＝﹣2＜0，∴C选项一定不会存在“同号点”，故答案C符合题意．∵y＝x2+，∴xy＝x3+1，显然x＝1时，xy＝2＞0，∴D选项存在“同号点”，故D排除．故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．单项式3x2y的系数为3．
【分析】把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数．【解答】解：3x2y＝3?x2y，其中数字因式为3，
则单项式的系数为3．
故答案为：3．
10．如图，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，则∠ACB＜∠ADB．（填“＞”，“＝”
或“＜”）
【分析】延长AD交⊙O于E，连接BE，如图，根据三角形外角性质得∠ADB＞∠E，根据圆周角定理得∠ACB＝∠E，于是∠ACB＜∠ADB．
【解答】解：∠ACB＜∠ADB．理由如下：
延长AD交⊙O于E，连接BE，如图，
∵∠ADB＞∠E，
而∠ACB＝∠E，
∴∠ACB＜∠ADB．
故答案为＜．
11．如表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果：
投篮次数n4882124176230287328
投中次数m335983118159195223
投中频率0.690.720.670.670.690.680.68根据如表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为0.68．（结果精确到0.01）【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
【解答】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.68附近，
∴这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为0.68，
故答案为：0.68．
12．函数y＝kx+1（k≠0）的图象上有两点P1（﹣1，y1），P2（1，y2），若y1＜y2，写出一个符合题意的k的值k＝1（答案不唯一）．
【分析】由﹣1＜1且y1＜y2可得出y值随x值的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k＞0，任取一个大于0的值即可．
【解答】解：∵﹣1＜1，且y1＜y2，
∴y值随x值的增大而增大，
∴k＞0．
故答案为：k＝1（答案不唯一）．
13．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为2．
【分析】由BD⊥BC，推出∠CDB＝90°，所以∠ABD＝∠ABC﹣∠CDB＝120°﹣90°＝30°，由AB＝BC，∠ABC＝120°，推出∠A＝∠C＝30°，所以∠A＝∠ABD，DB＝AD＝1，
在Rt△CBD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半．CD＝2AD＝2．
【解答】解：∵BD⊥BC，
∴∠CDB＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CDB＝120°﹣90°＝30°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴DB＝AD＝1，
在Rt△CBD中，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝2．
故答案为2．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点C（3，2），将△ABC关于直线x＝4对称，得到△A1B1C1，则点C的对应点C1的坐标为（5，2）；再将△A1B1C1向上平移一个单位长度，得到△A2B2C2，则点C1的对应点C2的坐标为（5，3）．
【分析】根据轴对称，平移的性质画出三角形即可．
【解答】解：如图△A1B1C1，△A2B2C2，即为所求．C1（5，2），C2（5，3）．
故答案为（5，2），（5，3）．
15．小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行．他们按设计好的同一条线路同时出发，小华每小时骑行18km，小明每小时骑行12km，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时．设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为．【分析】根据“完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时”列出方程即可．
【解答】解：设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为，
故答案为：．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D （4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：
①点A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；
③点C，E不可能同时在W上．
所有正确结论的序号是①②．
【分析】由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，m），然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行分析判定即可．
【解答】解：由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为
（2，m），
①∵点A（2，0），
∴点A在对称轴上，
∵m≠0，
∴点A一定不在W上；故①正确；
②∵B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），
∴三点不在一条直线上，且B、D关于直线x＝2对称，
∴点B，C，D可以同时在W上；故②正确；
③∵E（7，0），
∴E关于对称轴的对称点为（﹣3，0），
∵C（﹣2，4），
∴三点不在一条直线上，
∴点C，E可能同时在W上，故③错误；
故正确结论的序号是①②，
故答案为①②．
三．解答题（共12小题）
17．计算：（）﹣1+（2020﹣π）0+|﹣1|﹣2cos30°．
【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、去绝对值符号、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得．
【解答】解：原式＝2+1+﹣1﹣2×
＝2+1+﹣1﹣
＝2．
18．解不等式2（x﹣1）＜4﹣x，并在数轴上表示出它的解集．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤，可得答案．
【解答】解：去括号，得2x﹣2＜4﹣x，
移项，得2x+x＜4+2，
合并同类项，得3x＜6，
系数化为1，得x＜2．
解集在数轴上表示如图：
19．下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l外取一点A，作射线AP与直线l交于点B，
②以A为圆心，AB为半径画弧与直线l交于点C，连接AC，
③以A为圆心，AP为半径画弧与线段AC交于点Q，
则直线PQ即为所求．
根据小王设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，（等边对等角）（填推理的依据）．
∵AP＝PQ，
∴∠APQ＝∠AQP．
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，
∴∠APQ＝∠ABC．
∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）（填推理的依据）．
即PQ∥l．
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；
（2）分别根据等腰三角形的性质和平行线的判定求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，直线PQ即为所求．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP．
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠APQ+∠AQP+∠A＝180°，
∴∠APQ＝∠ABC．
∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行），
即PQ∥l．
故答案为：等边对等角；AQ；同位角相等，两直线平行．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+n＝0．
（1）如果此方程有两个相等的实数根，求n的值；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求另外一个实数根．
【分析】（1）由于方程有两个相等的实数根，利用判别式可以列出关于n的方程即可求解；
（2）把x＝0代入方程得到x2﹣2x＝0，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵方程有两个相等的实数根，
∴（﹣2）2﹣4n＝0，
解得：n＝1；
（2）当此方程有一个实数根为0时，代入方程得，n＝0，
∴原方程可化为x2﹣2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2，
故另外一个实数根为2．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD，过点A作AG∥DC，过点C作CG∥DA，AG与CG相交于点G．
（1）求证：四边形ADCG是菱形；
（2）若AB＝10，tan∠CAG＝，求BC的长．
【分析】（1）根据直角三角形的性质和菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACG，设BC＝3x，AC＝4x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AG∥DC，CG∥DA，
∴四边形ADCG是平行四边形，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，
∴AD＝CD＝AB，
∴四边形ADCG是菱形；
（2）解：∵CG∥DA，
∴∠BAC＝∠ACG，
∴tan∠CAG＝tan∠BAC＝＝，
∴设BC＝3x，AC＝4x，
∴AB＝5x＝10，
∴x＝2，
∴BC＝3x＝6．
22．坚持节约资源和保护环境是我国的基本国策，国家要求加强生活垃圾分类回收与再生资源回收有效衔接，提高全社会资源产出率，构建全社会的资源循环利用体系．
图1反映了2014﹣2019年我国生活垃圾清运量的情况．图2反映了2019年我国G市生活垃圾分类的情况．