2019-2020年九年级数学上册第2章一元二次方程2.1一元二次方程作业新版湘教版
北师版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 应用一元二次方程 第2课时 利用一元二次方程解决营销问题
(2)2018年丙类芯片的产量为3x＋400＝1600(万块)，设丙类芯片的产量 每年增加的数量为y万块，则1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400，解得y ＝3200，∴丙类芯片2020年的产量为1600＋2×3200＝8000(万块)，2018 年HW公司手机产量为 2800÷10%＝ 28000(万部)，由题意得400(1＋ m%)2＋2×400(1＋m%－1)2＋8000＝28000×(1＋10%)，设m%＝t，化 简得3t2＋2t－56＝0，解得t＝4或t＝－(舍去)，∴t＝4，即m%＝4， ∴m＝400.答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m的值为400
10．(教材P55习题1变式)某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元， 若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天要盈利1080元，则每件应 降价__2_或__1_4__元．
11．(宜宾中考)某产品每件的生产成本为50元，原定销售价为65元，经市场 预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%. 若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x， 根据题意可列方程是____6_5_×__(_1_－__1_0_%__)_×__(_1_＋__5_%__)－__5_0_(_1_－__x_)_2＝__6_5_－__5_0____．
2．某电商平台上的一家食品旗舰店将进货单价为15元/千克的饼干按16元/ 千克出售时，每天可销售100千克，按市场规律，饼干每千克提价1元，其 销售量就减少5千克，如果此店每天销售这种饼干要获取利润270元，并且 销售量较高，则把饼干的出售价定为每千克( D ) A．20元 B．15元 C．16元 D．18元
50%)3＝128×287 ＝432＜500，答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次
(必考题)初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个根，则x 1x 2的值是（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．2D ．3 2．一个菱形两条对角线的长是方程28120x x -+=的两个根，则该菱形的面积为（ ） A ．12B ．6或12C ．8D ．6 3．一元二次方程x 2+4x=3配方后化为（ ） A ．(x+2)2=3 B ．(x+2)2=7 C ．(x-2)2=7 D ．(x+2)2=-1 4．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x 元，则符合题意的方程是（ ） A ．(1612)(36040)1680x x +--=B ．(12)(36040)1680x x --=C ．(12)[36040(16)]1680x x ---=D ．(1612)[36040(16)]1680x x +---=5．关于x 的一元二次方程()22120x m x m +--=的根的情况是（ ）A ．无法确定B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．无实数根6．学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长30cm ，宽20cm 的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为cm x ，则x 满足的方程是（ ）A ．()()3022023020=++⨯x xB ．()()30203020++=⨯x xC ．()()30220223020--=⨯⨯x xD ．()()30220223020++=⨯⨯x x 7．我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程22350x x +-=即(2)35x x +=为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是2(2)x x ++．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24352⨯+，因此5x =．则在下面四个构图中，能正确说明方程23100x x --=解法的构图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，则4353x x x +-+的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x 个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．()1132x x +=B ．()1132x x -=C ．1(1)1322x ⨯+=D ．1(1)1322x x -= 10．若12,x x 是方程2420200x x --=的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于( )A ．2020B ．2019C ．2029D ．202811．受非洲猪瘟及其他因素影响，2020年9月份猪肉价格两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（ ）A ．23（1﹣x%）2＝60B ．23（1+x%）2＝60C ．23（1+x 2%）＝60D ．23（1+2x%）＝6012．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为x ，则列方程为（ ）A ．2000(1)2420x +=B ．2000(12)2420x +=C ．22000(1)2420x -=D ．22000(1)2420x +=二、填空题13．将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a 、b 为常数）的形式，则a 、b 的值分别是_______．14．已知关于x 的一元二次方程m 2x ﹣nx ﹣m ﹣3＝0，对于任意实数n 都有实数根，则m 的取值范围是_____．15．阅读理解：对于()321x n x n -++这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：()()()()3232222()()(1)()1x n x n x n x x n x x n x n x x n x n x n x n x nx -++=--+=---=+-=-+--一理解运用：如果()3210x n x n -++=，那么()2(10)x n x nx -+-=，即有0x n -=或210x nx +-=，因此，方程0x n -=和210x nx +-=的所有解就是方程()321x n x n -++=0 的解．解决问题：求方程31030x x -+=的解为___________． 16．已知关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_____．17．如果菱形的两对角线的长分别是关于x 的一元二次方程2240x mx ++=的两实数根，那么该菱形的面积是____．18．在实数范围内因式分解：231x x --=_______．19．如果一元二次方程()()636x x x -=-的两个根是等腰三角形的两条边的长，那么这个等腰三角形的周长为__________．20．经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 _________%．三、解答题21．解下列方程：（1）2（x ﹣2）2＝x 2﹣4．（2）2x 2﹣4x ﹣1＝0．22．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为15m 的住房墙，另外三边用27m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门．（1）所围矩形猪舍的长，宽分别为多少米时，猪舍面积为296m ？（2）能否围面积为2100m 的矩形猪舍，若能，求出长和宽；若不能，请说明理由． 23．已知一元二次方程2230x x --=的正实数根也是一元二次方程()2230x k x --+=的根，求k 的值．24．解下列方程：（1）（x ﹣1）2﹣x 2＝3（x ﹣3）；（2）2121124x x x x -+=---． 25．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝﹣1时，求另一个根x 2的值．26．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】直接根据根与系数的关系解答即可．【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1x 2=-3．故选B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 2．D解析：D【分析】利用因式分解法求得方程的两根，进而根据菱形面积=12对角线的积求解即可． 【详解】解：28120x x -+=，（x-6）（x-2）=0，∴x 1=6，x 2=2，∵菱形的两条对角线长分别为6，2，∴菱形面积为162=62⨯⨯， 故选：D ．【点睛】综合考查了菱形的性质及解一元二次方程；得到菱形的对角线长是解决本题的突破点；用到的知识点为：因式分解法解一元二次方程；菱形面积=12对角线的积． 3．B解析：B【分析】在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，化成完全平方的形式即可得出答案．【详解】解：x 2+4x=3，x 2+4x+4=7，（x+2）2=7，故选：B ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键；配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4．A解析：A【分析】根据总利润=每盒的利润×销售量，而每盒的利润=售价-进价，再结合“每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份”即可得出答案．【详解】解：每份盒饭涨价x 元后，利润为(16+x-12)元，销售量为(360-40x)盒，∴可得方程为(1612)(36040)1680x x +--=，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意，根据题意找到等量关系是解题的关键．5．B解析：B【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()22120x m x m +--=的二次项系数a=1，一次项系数b=2m-2，常数项c=-2m ，∴△=（2m-2）2-4（-2m ）=4m 2+1＞0，∴原方程有两个不相等的实数根；故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．D解析：D【分析】由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意，得()()30220223020++=⨯⨯x x ．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据题意，画出方程x 2-3x-10=0，即x （x-3）=10的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．【详解】解：方程x 2-3x-10=0，即x （x-3）=10的拼图如图所示；中间小正方形的边长为x-（x-3）=3，其面积为9，大正方形的面积：（x+x-3）2=4x （x-3）+9=4×10+9=49，其边长为7，因此，C 选项所表示的图形符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．8．D解析：D【分析】先求得x 2=x+1，再代入4353x x x +-+即可得出答案．【详解】解：∵x 2-x-1=0，∴x 2=x+1，∴4353x x x +-+=（x+1）2+x(x+1)-5x+3=x 2+2x+1+x²+x-5x+3=2x 2-2x+4=2(x+1)-2x+4=2x+2-2x+4=6，故选：D ．【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．9．B解析：B【分析】利用列方程解应用题，仔细阅读试题，找出等量关系为：站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数，列方程即可．【详解】设这段线路有x 个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有(x-1)张票，根据题意，列方程得()1132x x -=．故选择：B ．【点睛】本题考查列方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法，抓住等量关系站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数是解决问题的关键．10．D解析：D【分析】先根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出21142020x x -=，124x x +=，代入原式计算即可．【详解】解：∵1x ，2x 是方程2420200x x --=的两个实数根，∴211420200x x --=，即21142020x x -=，由根与系数之间关系可知124x x +=，∴211222x x x -+=21112422x x x x -++=2020+122()x x +=2020+8=2028．所以选项D 正确．故答案为：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数之间的关系，本题解题的关键是将211222x x x -+进行等量变形，并代入求解．11．B解析：B【分析】可先用x%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x%的方程．【详解】解：当猪肉第一次提价x%时，其售价为23+23x%=23（1+x%）；当猪肉第二次提价x%后，其售价为23（1+x%）+23（1+x%）x%=23（1+x%）2． ∴23（1+x%）2=60．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于60即可．12．D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为2420元列方程即可得到结论．【详解】设每天的增长率为x ，依题意，得：22000(1)2420x +=．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题13．-421【分析】将常数项移到方程的右边两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【详解】解：∵x2-8x-5=0∴x2-8x=5则x2-8x+16=5+16即（x-4）2=21∴a=解析：-4，21【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵x2-8x-5=0，∴x2-8x=5，则x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，∴a=-4，b=21，故答案为：-4，21．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．m＞0或m≤-3【分析】把方程有实数根转型为根的判别式大于等于零根据n的任意性构造不等式求解即可【详解】∵关于x的一元二次方程m﹣nx﹣m﹣3＝0对于任意实数n都有实数根∴△≥0且m≠0∴≥0∴≥0解析：m＞0或m≤-3．【分析】把方程有实数根，转型为根的判别式大于等于零，根据n的任意性，构造不等式求解即可．【详解】∵关于x的一元二次方程m2x﹣nx﹣m﹣3＝0，对于任意实数n都有实数根，∴△≥0，且m≠0，∴2()4(3)n m m-++≥0，∴22412n m m++≥0，∵对于任意实数n都有实数根，∴2412m m+≥0，∴30mm≥⎧⎨+≥⎩或30mm≤⎧⎨+≤⎩，∴m≥0或m≤-3，且m≠0，∴m＞0或m≤-3，故答案为：m＞0或m≤ -3．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式，并规范把问题转化为不等式组求解是解题的关键．15．【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式这样把原方程转化为x−3＝0或x2＋3x−1＝0然后解一次方程和一元二次方程即可【详解】解：∵x3−10x ＋3＝0∴x3−9x−x ＋3＝0x （x2−9）−解析：1233,x x x === 【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式，这样把原方程转化为x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，然后解一次方程和一元二次方程即可．【详解】解：∵x 3−10x ＋3＝0，∴x 3−9x−x ＋3＝0，x （x 2−9）−（x−3）＝0，（x−3）（x 2＋3x−1）＝0，∴x−3＝0或x 2＋3x−1＝0，∴1233,x x x ===．故答案为：1233,x x x ===． 【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．也考查了公式法解一元二次方程．16．且【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0即可得出关于a 的一元一次不等式组解之即可得出结论【详解】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根∴解得：a ＜3且a≠2解析：3a <且2a ≠【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴22024(2)10a a -≠⎧⎨=--⨯>⎩， 解得：a ＜3且a≠2．故答案为：a ＜3且a≠2【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a 的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零．17．12【分析】可根据韦达定理求出一元二次方程的两根之积接着通过菱形面积公式求解即可【详解】解：设的两根为则一元二次方程的两实数根为菱形的两对角线的长菱形的面积===12故答案为：12【点睛】本题主要考解析：12【分析】可根据韦达定理求出一元二次方程的两根之积，接着通过菱形面积公式求解即可．【详解】解：设2240x mx ++=的两根为12x x 、，则1224x x =，一元二次方程的两实数根12x x 、为菱形的两对角线的长，∴菱形的面积=1212x x =1242⨯=12． 故答案为：12．【点睛】本题主要考查一元二次方程的韦达定理，还涉及菱形的面积运算，属于基础题，熟练掌握韦达定理及菱形的面积公式是解决本题的关键．18．【分析】令x2-3x-1=0求出方程的两个根即可把多项式x2-3x-1因式分解【详解】解：令x2-3x-1=0∵a=1b=-3c=-1∴b2-4ac=(-3)2-4×1×（-1）=13＞0∴∴故答案解析：(-x x 【分析】令x 2-3x-1=0，求出方程的两个根，即可把多项式x 2-3x-1因式分解．【详解】解：令x 2-3x-1=0，∵a=1，b=-3，c=-1，∴b 2-4ac=(-3)2-4×1×（-1）=13＞0，∴x =∴231(x --=x x x故答案为：33()(22+--x x 【点睛】 此题主要考查了实数范围内分解因式，熟练掌握利用公式法解一元二次方程是解答本题的关键．19．15【分析】先解一元二次方程根据根的情况可知有两种方式用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长【详解】解：即∵336不能构成三角形∴这个等腰三角形的三边成为663周长为15故答案为：15【点睛】【分析】先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．【详解】解：()()636x x x -=-()(3)60x x --=，即123,6x x ==，∵3，3，6不能构成三角形，∴这个等腰三角形的三边成为6，6，3，周长为15．故答案为：15．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边关系．不要忽略了用三角形三边关系判断能否构成三角形．20．10％【分析】设平均每年下降的百分率是x 利用原有降尘量乘以（1-平均每年下降的百分率）2=现在降尘量列出方程解答即可【详解】设平均每年下降的百分率是x 解得x1=01=10x2=19（舍去）答：平均每解析：10％【分析】设平均每年下降的百分率是x ，利用原有降尘量乘以（1-平均每年下降的百分率）2=现在降尘量，列出方程解答即可．【详解】设平均每年下降的百分率是x ，250(1)40.5x -=，解得x 1=0.1=10%，x 2=1.9（舍去），答：平均每年下降的百分率是10%，故答案为：10%．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题，正确理解题意并掌握增长率问题计算公式是解题的关键．三、解答题21．（1）x 1＝2，x 2＝6 （2）x 1＝1+2x 2＝1﹣2【分析】（1）先移项得到2（x ﹣2）2﹣（x ﹣2）（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程即可．解：（1）原式移项得：2（x ﹣2）2﹣（x ﹣2）（x+2）＝0，因式分解得：（x ﹣2）（2x ﹣4﹣x ﹣2）＝0，所以x ﹣2＝0或2x ﹣4﹣x ﹣2＝0；所以x 1＝2，x 2＝6；（2）x 2﹣2x ＝12 ， x 2﹣2x+1＝12+1，即（x ﹣1）2＝32，∴x ﹣1＝±2，所以x 1＝1+2x 2＝1﹣2 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法中的因式分解法和配方法．此题比较简单，解题的关键是注意选择适当的解题方法，注意因式分解法与配方法的解题步骤．22．（1）长为12m 、宽为8m ；（2）不能，理由见解析【分析】（1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm ，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可．（2）根据题意列出方程x （27-2x+1）=100，根据方程的解的情况可得结果．【详解】解：（1）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm ，可以得出平行于墙的一边的长为（27-2x+1）m ，由题意得x （27-2x+1）=96，解得：x 1=6，x 2=8，当x=6时，27-2x+1=16＞15（舍去），当x=8时，27-2x+1=12．答：所围矩形猪舍的长为12m 、宽为8m ．（2）由题意得：x （27-2x+1）=100，化简得：-2x 2+28x-100=0，△=282-4×（-2）×（-100）=-16＜0，故方程无解，∴不能围成面积为2100m 的矩形猪舍．【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．23．6k【分析】解一元二次方程2230x x --=，把正实根代入一元二次方程()2230x k x --+=，解方程即可．【详解】解：2230x x --=，(1)(3)0x x +-=，10x +=或30x -=，解得，12-1=3x x =，，把2=3x 代入()2230x k x --+=得， ()93230k --+=，解得，6k =．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解法，解题关键是准确的解一元二次方程，把正实根代入得到关于k 的一元一次方程．24．（1）2x =；（2）12x x ==． 【分析】（1）先利用平方差公式将方程左边进行整理，再解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以()()22x x +-，整理得到一元二次方程，求解即可．【详解】解：（1）原方程可整理成12390x x --+=，移项、合并同类项可得：510x =，解得2x =； （2）原方程可整理成()()1211222x x x x x -+=--+-， 方程两边同时乘以()()22x x +-，可得：()()212214x x x x -+=+-+， 移项、合并同类项可得：2270x x -=-，∴()()2241427570b ac =-=--⨯⨯-=>，解一元二次方程可得x =经检验，x =∴12x x ==． 【点睛】本题考查解一元二次方程、解分式方程，掌握方程的求解方法是解题的关键．25．（1）m <1；（2）另一个根x 2的值是3．【分析】(1)根据题意可得根的判别式△>0,再代入可得4-4m>0，再解即可；(2) 根据根与系数的关系可得12b x x a+=-， 再代入可得答案． 【详解】解：（1）一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．△＝4﹣4m ＞0，∴m ＜1，（2）根据根与系数的关系可知：x 1+x 2＝2，因为x 1＝-1，所以x 2＝3．【点睛】本题考查根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．26．（1）3m <；（2）1211x x ==【分析】（1）根据分的判别式求解即可；（2）根据公式法计算即可；【详解】解：()1根据题意得： ()2()2421240m m ∆=-=-->-，解得3m <；()2当1m =时，原方程为2210x x --=，()22(41)28--∆=⨯-=，∴x =，解得1211x x ==；【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和公式法求解，准确计算是解题的关键．。
2019秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的应用第1课时 增长率问题与经济问题练习1(新版
2.5 一元二次方程的应用第1课时 增长率问题与经济问题双基演练1．某药品原来每盒售价96元，由于两次降价，现在每盒54元，•则平均每次降价的百分数为_______．2．某农场的粮食产量，若两年内从25万公斤，增加到30.25万公斤，则平均每年的增长率为_______．3．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为__________________，解得年利率是_________．4．某市2002年底人口为20万人，人均住房面积9m 2，计划2003年、2004年两年内平均每年增加人口为1万，为使到2004年底人均住房面积达到10m ，则该市两年内住房平均增长率必须达到_________．=3.317，精确到1%）5．某林场原有森林木材存量为a ，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x ，•••则经过一年木材存量达到________，经过两个木材存量达到__________．6．某商品连续两次降价10%后为m 元，则该商品原价为（ ）A ．1.12m 元B ．1.12m 元C ．0.81m 元 D ．0.81m 元 7．某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x ，根据题意，得（ ）A ．5000（1+x 2）=7200B ．5000（1+x ）+5000（1+x ）2=7200C ．5000（1+x ）2=7200D ．5000+5000（1+x ）+5000（1+x ）2=72008．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．•某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，•发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款________元．能力提升9．益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，•若每件商品售价a 元，则可卖出（350-10a ）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？10．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，•商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193．6万元，求这两个月的平均增长率．11．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?聚焦中考12．（河北省）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．23000(1)5000x +=B ．230005000x =C ．23000(1)5000x +=％D ．23000(1)3000(1)5000x x +++=13．(浙江省衢州市）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是( )A 、256)x 1(2892=-B 、289)x 1(2562=-C 、256)x 21(289=-D 、289)x 21(256=-14．（乌鲁木齐）．乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校．2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8058.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为 ．15．（贵阳市）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？16.（南京）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?答案:1．25% 2．10% 3．400（1+x ）2=484，10%4．11% 5．54a-x ，2516a-94x 6．C 7．C8．204 点拨：第一次购书付款72元，享受了九折优惠，实际定价为72÷0.9=•80元，省去了8元钱．依题意，第二次节省了26元．设第二次所购书的定价为x 元．（x-200）×0.8+200×0.9=x-26．解之得x=230．所以第二次购书实际付款为230-26=204元．9．解：依题意：（a-21）（350-10a ）=400，整理，得a 2-56a+775=0，解得a 1=25，a 2=31．因为21×（1+20%）=25.2，所以a 2=31不合题意，舍去．所以350-10a=350-10×25=100（件）．答：需要进货100件，每件商品应定价25元．10．解：设这两个月的平均增长率是x ，依题意列方程，得200（1-20%）（1+x ）2=193.6，（1+x ）2=1.21，1+x=±1.1，x=-1±1.1，所以x 1=0.1，x 2=-2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．11．设多种x 棵树，则（100+x ）（1000-2x ）=100×1000×（1+15.2%）•，•整理，•得：•x 2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0，解得x 1=20，x 2=38012．A 13。
湘教版九年级数学上册作业课件 第2章 一元二次方程 易错课堂(二) 一元二次方程
பைடு நூலகம்
1．关于x的方程(a－3)x|a|－1＋x－5＝0是一元二次方程，则a＝____－__3．
2．若方程(m－1)x2＋ m x＝1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取 值范围是_____m__≥__0_且__m__≠__1__．
易错点2 解方程时，将方程两边同除以一个可能为0的含未知数的代数式，而 失根 【例2】解方程(x＋2)2＝2(x＋2)(x－2) 【解】方程化简得，x2－4x－12＝0，将方程左边因式分解得，(x－6)(x＋2)＝ 0，∴x－6＝0或x＋2＝0，∴x1＝6，x2＝－2
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第2章 一元二次方程
易错课堂(二) 一元二次方程
易错点1 忽略一元二次方程，二次项系数不为0的条件 【例1】关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值是 多少？ 【易错分析】把x＝0代入原方程求出a的值，易忽略方程是一元二次方程故a－ 1≠0而出错． 【解】将x＝0代入原方程，得a2－1＝0，所以a＝±1，又由题意可知a－1≠0， 即a≠1，故a＝1应舍去，∴a＝－1
＋x)＋48(1＋x)2＝228，解得：x1＝12 ＝50%，x2＝－27 (不符合题意，舍去). 答：这两年中获奖人次的年平均年增长率为 50%
5．某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后 两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件
，若设这个百分数为x，则可列方程为( B)
4．关于 x 的方程 kx2＋(k＋2)x＋k4 ＝0 有两个不相等的实数根．
九年级上册数学《第2章一元二次方程》单元测试题含答案
第2章一元二次方程一、选择题1.下列方程为一元二次方程的是( )A. B. C. D.2.下列方程中没有实数根的是（）A. x2+x+2=0B. x2+3x+2=0C. 2015x2+11x﹣20=0D. x2﹣x﹣1=03.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（）A. x2-2x=5B. 2x2-4x=5C. x2+4x=5D. x2+2x=54.已知x=1是方程2x2﹣3x﹣m=0的一个根，则m的值为（）A. 1B. 5C. -1D. -55.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（）A. 50（1+x）2=175B. 50+50（1+x）2=175C. 50（1+x）+50（1+x）2=175D. 50+50（1+x）+50（1+x）2=1756.若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（）.A. a＜1B. a＞1C. a≤1D. a≥17.关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x+m2﹣1=0的一个解是0，则m的值为（）A. 0B. ±1C. 1D. -18.用配方法解一元二次方程x2-4x+3=0时可配方得（）A. （x-2）2=7B. （x-2）2=1C. （x+2）2=1D. （x+2）2=29.若x=3是关于x的方程x2﹣bx﹣3a=0的一个根，则a+b的值为（）A. 3B. -3C. 9D. -910.关于多项式﹣2x2+8x+5的说法正确的是（）A. 有最大值13B. 有最小值﹣3C. 有最大值37D. 有最小值1二、填空题11.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的二次项系数为________ ，一次项系数为________ ，常数项为________ ．12.某种冰箱经两次降价后从原来的每台2500元降为每台1600元，求平均每次降价的百分率为________．13.将一元二次方程x2+2x﹣4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式，则a=________，b=________．14.已知x1，x2为一元二次方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根，那么x12+x22=________．15.已知x=1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一个根，则分式的值为________．16.一元二次方程ax2+3x+4a﹣3b=0一根是1，则7﹣10a+6b的值为________ ．17.若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2﹣3，则b﹣a=________．18.为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2007年用于绿化的投资20万元，2009年用于绿化的投资是25万元，求这两年绿化投资的平均增长率，设这两年绿化投资的平均增长率为x，根据题意所列的方程为________19.如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是________ m？（可利用的围墙长度超过6m）．三、解答题20.解方程：（1）x2﹣4x﹣3=0（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）=0（3）（x﹣1）2=4（4）3x2+5（2x+3）=0．21.已知a、b、c都是整数，且a—2b=4，ab+c2—1=0，求a+b+c的值。
2020年北师大版九年级上册第2章一元二次方程达标测试卷 含答案
2020年北师大版九年级上册第2章达标测试卷题号一二三总分得分一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（）A．a≤B．a＞0C．a≠0D．a≤2．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（）A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5，13．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（）A．（x﹣3）2＝8B．（x﹣3）2＝10C．（x﹣6）2＝10D．（x﹣6）2＝8 4．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（）A．2020B．﹣2020C．2019D．﹣20195．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．（x﹣5）（x+2）＝0C．x2﹣x+1＝0D．x2＝16．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣3a）x+a＝0的两个实数根互为倒数，则a的值为（）A．﹣3B．0C．1D．﹣3 或07．已知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个解，若m＞n，则m的值应在（）A．0和1之间B．1和1.5之间C．1.5和2之间D．2和3之间8．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝1109．对于任何实数m、n，多项式m2+n2﹣6m﹣10n+36的值总是（）A．非负数B．0C．大于2D．不小于210．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p 与q的大小关系为（）A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．下列方程中，①x2＝0；②x2＝y+4；③ax2+2x﹣3＝0（其中a是常数）；④x（2x﹣3）＝2x（x﹣1）；⑤（x2+3）＝x，一定是一元二次方程的有（填序号）．12．将方程2x2﹣5x＝1﹣3x化为一般形式是．13．方程（x﹣5）2＝4的解为．14．已知关于x的方程x2﹣mx+1＝0的一个根为1，那么m的值是．15．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．16．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（8分）解一元二次方程：（1）x2+2x＝29；（2）2x2﹣x﹣1＝0．18．（6分）如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣5x＝4是一元二次方程，试判断关于y的方程y2﹣my+m＝1根的情况，并说明理由．19．（6分）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率．20．（7分）在实数范围内，对于任意实数m、n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n＝m n+mn ﹣3，例如：3⊗2＝32+3×2﹣3＝12．（1）计算：（﹣2）⊗（﹣1）；（2）若x⊗1＝﹣27，求x的值；（3）若（﹣y）⊗2的最小值为a，求a的值．21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若m为正整数，求m的值；（2）在（1）的条件下，求代数式（x12+x1）（x12+x22）的值．22．（9分）“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．23．（9分）[阅读材料]把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）②求x2+6x+11的最小值．解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2；由于（x+3）2≥0，所以（x+3）2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+；（2）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；（3）用配方法因式分解：x4+4；（4）求4x2+4x+3的最小值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：∵关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，∴a≠0，故选：C．2．解：5x2﹣1＝4x，5x2﹣4x﹣1＝0，二次项的系数和一次项系数分别是5、﹣4，故选：C．3．解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x+9＝8，∴（x﹣3）2＝8，故选：A．4．解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．故选：C．5．解：A．方程x2﹣2x﹣3＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；B．方程（x﹣5）（x+2）＝0的两根分别为x1＝5，x2＝﹣2，不符合题意；C．方程x2﹣x+1＝0中△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，没有实数根，符合题意；D．方程x2＝1的两根分别为x1＝1，x2＝﹣1，不符合题意；故选：C．6．解：∵关于x的一元二次方程x2+（a2﹣3a）x+a＝0的两个实数根互为倒数，∴x1•x2＝a＝1，则a的值为1．故选：C．7．解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，∴x＝＝．∵m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个解，且m＞n，∴m＝．∵2＜＜3，∴＝1.5＜m＜＝2．故选：C．8．解：设有x个队参赛，则x（x﹣1）＝110．故选：D．9．解：m2+n2﹣6m﹣10n+36＝m2﹣6m+9+n2﹣10n+25+2＝（m﹣3）2+（n﹣5）2+2，∵（m﹣3）2≥0，（n﹣5）2≥0，∴（m﹣3）2+（n﹣5）2+2≥2，∴多项式m2+n2﹣6m﹣10n+36的值总是不小于2，故选：D．10．解：∵x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，∴ax12﹣2x1＝c，则p﹣q＝（ax1﹣1）2﹣（ac+1.5）＝a2x12﹣2ax1+1﹣ac﹣1.5＝a（ax12﹣2x1）﹣ac﹣0.5＝ac﹣ac﹣0.5＝﹣0.5，∴p﹣q＜0，∴p＜q．故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：①x2＝0是一元二次方程；②x2＝y+4，含有两个未知数x、y，不是一元二次方程；③ax2+2x﹣3＝0（其中a是常数），a＝0时不是一元二次方程；④x（2x﹣3）＝2x（x﹣1），整理后是一元一次方程；⑤（x2+3）＝x是一元二次方程；一定是一元二次方程的有①⑤．故答案为：①⑤．12．解：2x2﹣5x＝1﹣3x，2x2﹣5x﹣1+3x＝0，2x2﹣2x﹣1＝0，故答案为：2x2﹣2x﹣1＝0．13．解：（x﹣5）2＝4，开方得：x﹣5＝±2，解得：x1＝7，x2＝3，故答案为x1＝7，x2＝3．14．解：当x＝1时，方程x2﹣mx+1＝0为12﹣m+1＝0，即2﹣m＝0，解得m＝2，故答案为：2．15．解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0，解得m≤且m≠﹣2．故答案为：m≤且m≠﹣2．16．解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：，解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），答；剪去的正方形的边长为2cm．故答案为：2．三．解答题（共7小题，满分52分）17．解：（1）∵x2+2x＝29，∴x2+2x+1＝29+1，即（x+1）2＝30，则x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）∵a＝2，b＝﹣，c＝﹣1，∴△＝（﹣）2﹣4×2×（﹣1）＝10＞0，则x＝，即x1＝，x2＝．18．解：关于y的方程y2﹣my+m＝1有两个不相等的实数根，理由如下：∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣5x＝4是一元二次方程，∴m﹣2≠0，∴m≠2．在方程y2﹣my+m＝1中，a＝1，b＝﹣m，c＝m﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2，∵m≠2，∴（m﹣2）2＞0，即△＞0，∴关于y的方程y2﹣my+m＝1有两个不相等的实数根．19．解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608化简得：4x2+12x﹣7＝0∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%．20．解：（1）（﹣2）⊗（﹣1）＝（﹣2）﹣1+（﹣2）×（﹣1）﹣3＝；（2）由题意得x⊗1＝x+x﹣3＝﹣27，解得x＝﹣12；（3）（﹣y）⊗2＝y2﹣2y﹣3＝（y﹣1）2﹣4，∵（y﹣1）2﹣4的最小值为﹣4，∴a的值为﹣4．21．解：（1）∵方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣）＝﹣4m﹣11＞0，解得：m＜2．∵m为正整数，∴m＝1，答：m的值为1；（2）∵m＝1，∴x2+x+﹣＝0，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣，∴（x12+x1）（x12+x22）＝﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝．22．解：（1）∵该商品的售价为x元/件（20≤x≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）件．（2）①依题意，得：（x﹣20）（180﹣3x）＝900，整理，得：x2﹣80x+1500＝0，解得：x1＝30，x2＝50（不合题意，舍去）．答：该商品的售价为30元/件．②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．23．解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，故答案为：4；（2）a2﹣12a+35＝a2﹣12a+36﹣1＝（a﹣6）2﹣1＝（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）＝（a﹣5）（a﹣7）；（3）x4+4＝x4+4+4x2﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）；（4）4x2+4x+3＝4x2+4x+1+2＝（2x+1）2+2，∵（2x+1）2≥0，∴（2x+1）2+2≥2，∴4x2+4x+3的最小值为2．。
第二章一元二次方程整合练习题 2021-2022学年九年级数学北师大版上册
一元二次方程一、认识一元二次方程1.下列方程属于一元二次方程的是（）A．x3-2=x2 B. 2x2+x+1=0 C.3xy+2=0 D.x(x+1)=x2-42.已知(m-2)x|m|+x=1是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．±2 B. 2 C. -2 D. 以上都不对二、一元二次方程的一般形式（ax2+bx+c=0,a≠0）⑴二次项、一次项、常数项类1、若一元二次方程2x2- (m+1)x+1=x的一次项系数为-3，则m的值为2、若一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，则这个一元二次方程是⑵公式法求解一元二次方程（x=−b±√b2−4ac2a）1、解下列方程x2-x-1=0 3x(x-1)=2-2x(3)根的判别式（∆=b2−4ac）1、关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式为1，则m=2、若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0没有实数根，则k的取值范围为3、已知a，b，c为∆ABC的三边长，且方程(a+b)x2-2cx+a=b有两个相等的实数根，则∆ABC的形状为4、已知关于x的不等式组{x−m>07−2x>1无解，且关于y的一元二次方程my2+4y+1=0有两个实数根，则整数m的值可以是5、若直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0的实数解个数是（）A. 0个B.1个C.2个D.1个或2个(4)韦达定理（x1+x2=−ba ,x1x2=ca）1.已知x1，x2一元二次方程x2-4x+3=0的两个根，则x1x2−x1−x2的值为（）A．-1 B. -7 C. 7 D. 12.已知关于x的方程x2-6x+k-4=0的两根分别为x1，x2，且满足1x1+1x2=2，则k的值是（）A．3 B. -3 C. 7 D.13.若菱形的两条对角线的长分别是方程x2-10x+24=0的两个实数根，则菱形的面积为4.设a,b是方程x2+x-2021=0的两个实数根，则（a-1）（b-1）的值为5.若关于x的一元二次方程x2+2（m-1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2>0,x1x2>0,则m的取值范围是6.已知关于x的一元二次方程a(x-2)2+c=0的两根为x1=-2，x2=6，则一元二次方程ax2-2ax+a+c=0的根为（）A. 0,4B. -3,5C. -2,4D. -3,17.若一元二次方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a，b，则一次函数y=abx+a+b的图像一定不经过（）A．第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限8.如果关于x的一元二次方程x2+3x-7=0的两根分别为a，b，那么a2+4a+b=9.已知a ，b 是方程x 2+3x+1=0的两个根，则（1+5a+a 2）（1+5b+b 2）的值为10.已知关于x 的一元二次方程x 2-2（a-1）x+a 2-a-2=0有两个不相等的实数根x 1，x 2.（1）若a 为正整数，求a 的值（2）若x 1.x 2满足x 12+x 22-x 1x 2=16，求a 的值三、一元二次方程的解1.已知关于x 的一元二次方程2x 2-3kx+4=0的一根为1，则k=2. 若一元二次方程ax 2+bx+c=0有一个根为-1，则a-b+c= ；若a+b+c=0，则有一根为3. 若关于x 的一元二次方程（a-1）x 2+x+a 2-1=0的一个根为0，则a 的值为（）A. 1B. -1C. 1或-1D. 04.若m 是关于x 的方程x 2-2x-3=0的一个根，则2m 2-4m=5.若实数a 是一元二次方程x 2-2021x+1=0的解，则代数式a 2-2022a+a 2+12021的值是6.已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a-c ）=0，其中a ，b ，c 分别为∆ABC 三边的长。
九年级数学上册第2章一元二次方程2.3一元二次方程根的判别式导学课件新版湘教版
➢ 在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的研究方向； 分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行叙述。这些 都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法；因式分解 法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
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2.3 一元二次方程的判别式
目标二 会根据一元二次方程根的情况求未知字母的值或取值范围
例2 高频考题 当m为何值时，一元二次方程(2m＋1)x2＋4mx＋ 2m－3＝0的根满足下列情况：
(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根．
[解析] 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根的条件是b2－ 4ac≥0且a≠0.
(1)根据判别式b2－4ac建立不等式或方程；
(2)一元二次方程的二次项系数不等于0.
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2.3 一元二次方程的判别式
2．若条件中是“方程有实数根”，要考虑方程有两种可 能：(1)方程为一元二次方程，(2)方程是一元一次方 程．若条件中指出方程是一元二次方程，则求得的未知字 母必须满足二次项系数不等于0；若条件中没有肯定是一 元二次方程，则要考虑方程是一元一次方程的情况．
➢ 优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
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2019-2020年九年级数学上册第2章一元二次方程2.1一元二次方程
作业新版湘教版
一、选择题
1．下列关于x 的方程：①ax 2＋bx ＋c ＝0；②3(x －9)2－(x ＋1)2
＝1；③x ＋3＝2x
；④(x
－1)(x ＋2)＝1.其中一元二次方程的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．关于x 的方程ax 2
－3x ＋2＝x 2
是一元二次方程，则a 的取值范围为( ) A ．a ≠0 B．a ＞0 C ．a ≠1 D．a ＞1
3．xx·衡阳中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民xx 年年人均收入200美元，预计xx 年年人均收入将达到1000美元，设xx 年到xx 年该地区居民年人均收入平均增长率为x ，可列方程为( )
A ．200(1＋2x )＝1000
B ．200(1＋x )2
＝1000 C ．200(1＋x 2
)＝1000 D ．200＋2x ＝1000 二、填空题
4．方程2x 2＝3(x －6)化为一般形式为__________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．
5．当m ＝________时，方程(m －2)xm 2
－2＋2mx ＋3＝0是关于x 的一元二次方程． 三、解答题
6．下列方程是不是一元二次方程？若是，请指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)x 2
＋1＝2x ；(2)－2＝3x 2
；(3)x (2x －1)＝x ；(4)2(x ＋1)(x －1)＝2x 2
－4x .
7．根据题意列方程：
(1)剪一块面积为150 cm2的长方形铁皮，使它的长比宽多5 cm.设铁皮的宽为x cm，请列出满足题意的方程．
(2)一个数比另一个数小3，且这两数之积为6，求这两个数．设其中较小的一个数为x，请列出满足题意的方程．
(3)为了庆祝某节日，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了45场比赛．如果设这次有x支队参加比赛，列出满足题意的方程．
(4)如图K－6－1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝8 cm，动点P从点A 出发沿AB向点B移动，通过点P引PQ∥AC，PR∥BC，当AP等于多少时，平行四边形PQCR 的面积等于16 cm2？设AP的长为x cm，请列出满足题意的方程．
图K－6－1
8、分类讨论思想鹰山中学数学兴趣小组对关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0提出了下列问题：
(1)是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并确定方程的二次项系数、一次项系数和常数项；
(2)是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
1．[解析] B ①当a ＝0时，ax 2
＋bx ＋c ＝0不是一元二次方程，③x ＋3＝2x
不是整式方
程．
2．[解析] C 把已知方程转化为一般形式，然后根据一元二次方程的定义进行解答．由原方程，得(a －1)x 2
－3x ＋2＝0，则依题意得a －1≠0，解得a ≠1.故选C.
3．[解析] B 设xx 年到xx 年该地区居民年人均收入平均增长率为x ，那么根据题意得xx 年年人均收入为200(1＋x )2
美元，列出方程为200(1＋x )2
＝1000.故选B.
4．[答案] 2x 2
－3x ＋18＝0 2 －3 18 5．答案] －2
[解析] 当m 2
－2＝2且m －2≠0，即m ＝－2时，方程(m －2)xm 2
－2＋2mx ＋3＝0是关于
x 轴一元二次方程．
6．解：(1)原方程可化为x 2
－2x ＋1＝0，所以此方程是一元二次方程，其中二次项系数为1，一次项系数为－2，常数项为1.
(2)原方程可化为3x 2
＋2＝0，所以此方程是一元二次方程，其中二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为2.
(3)原方程可化为2x 2－2x ＝0，所以此方程是一元二次方程，其中二次项系数为2，一次项系数为－2，常数项为0.
(4)原方程可化为4x －2＝0，所以此方程不是一元二次方程． 7．解：(1)(x ＋5)x ＝150. (2)x (x ＋3)＝6. (3)1
2x (x －1)＝45. (4)x (8－x )＝16.
8、 解：(1)存在m 的值，使方程为一元二次方程．
根据一元二次方程的定义可得⎩
⎪⎨⎪⎧m 2
＋1＝2，
m ＋1≠0，
解得m ＝1，此时方程为2x 2
－x －1＝0，
所以二次项系数为2，一次项系数为－1，常数项为－1. (2)存在m 的值，使方程为一元一次方程． 由题意可知应分以下三种情况：
①当m 2
＋1＝1且(m ＋1)＋(m －2)≠0时，解得m ＝0， 此时方程为－x －1＝0，解得x ＝－1； ②当m 2＋1＝0且m －2≠0时，无解； ③当m ＋1＝0且m －2≠0时，解得m ＝－1， 此时方程为－3x －1＝0，解得x ＝－1
3
.
综上所述，存在m 的值，使方程为一元一次方程．当m ＝0时，方程的解为x ＝－1；当
m ＝－1时，方程的解为x ＝－13
.。