数字图像处理之卷积
常见的卷积运算
常见的卷积运算
卷积运算是信号处理和图像处理领域中常用的一种运算方法，用于滤波、特征提取和图像处理等任务。
以下是一些常见的卷积运算：
1.一维离散卷积：一维离散卷积用于处理一维序列，如时间序列或音频信号。
它将输入序列与卷积核进行卷积操作，计算出输出序列。
2.二维离散卷积：二维离散卷积常用于图像处理任务，例如边缘检测、模糊滤波等。
它使用二维滤波器（卷积核）与输入图像进行卷积操作，生成输出图像。
3.一维连续卷积：一维连续卷积适用于处理连续信号。
它使用输入信号与连续卷积核进行卷积操作，计算出输出信号。
4.二维连续卷积：二维连续卷积常用于图像处理领域。
它使用二维连续滤波器与输入图像进行卷积操作，生成输出图像。
这些都是卷积运算的常见形式，具体使用哪种形式取决于输入信号的维度和问题的需求。
卷积运算在信号处理和图像处理中有广泛应用，可以进行信号滤波、特征提取、图像增强等任务。
卷积操作计算
卷积操作计算卷积操作是深度学习中常用的一种操作，它在图像处理和自然语言处理等领域起着重要的作用。
卷积操作主要用于提取输入数据中的特征，并通过对特征进行加权求和的方式得到输出。
在计算机视觉中，卷积操作常用于图像的特征提取。
卷积操作通过滑动一个卷积核（也称为滤波器）在输入图像上进行运算，从而得到一个新的特征图。
这个特征图可以用于后续的任务，如目标检测、图像分类等。
卷积核的大小和数量是可以调整的，不同的卷积核可以提取不同的特征，例如边缘、纹理等。
在自然语言处理中，卷积操作主要应用于文本分类和情感分析等任务。
通过将文本转换为词向量表示，可以将文本看做一个二维图像，其中每个词向量对应一个像素。
然后，通过对文本进行卷积操作，可以提取出文本中的局部特征，例如短语、句子结构等。
这些特征可以用于构建文本分类模型，实现对不同类型的文本进行分类。
卷积操作的计算过程可以通过矩阵乘法来实现。
首先，将输入数据和卷积核展开成矩阵形式，然后通过矩阵乘法计算得到输出特征图。
具体来说，对于一个输入矩阵I和一个卷积核矩阵K，可以通过以下公式计算输出特征图O：O = I * K其中，*表示矩阵乘法操作。
在计算过程中，需要注意卷积核的大小与输入矩阵的大小相匹配，以保证计算的正确性。
除了卷积操作之外，还有其他一些相关的操作，如池化操作。
池化操作主要用于减小特征图的尺寸，并保留最重要的特征。
常用的池化操作有最大池化和平均池化，它们分别取特征图中每个区域的最大值和平均值作为输出。
池化操作可以有效地减少计算量，提高模型的计算效率。
总之，卷积操作是深度学习中重要的一种操作，它在图像处理和自然语言处理等领域起着关键的作用。
通过卷积操作，可以提取输入数据中的特征，并用于后续的任务。
同时，卷积操作的计算可以通过矩阵乘法来实现，从而提高计算效率。
卷积运算的matlab命令及其参数设置规则
卷积运算是数字信号处理和图像处理中常用的一种运算方式，它在图像滤波、特征提取等领域中发挥着重要作用。
在Matlab中，卷积运算可以通过一些内置的函数实现，同时可以通过设置不同的参数来实现不同的卷积操作。
本文将结合实际案例，介绍卷积运算在Matlab 中的常用命令及其参数设置规则。
一、卷积运算的基本概念在数字信号处理和图像处理中，卷积运算是一种重要的数学运算。
它通常用于图像滤波、特征提取等方面。
卷积运算的基本原理是将一个函数与另一个函数的翻转及平移进行积分。
在离散情况下，卷积运算可以用离散的形式来表示如下：\[y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \cdot h[n-k]\]其中，\(x[k]\)和\(h[n]\)分别代表输入信号和卷积核，\(y[n]\)代表卷积运算的输出结果。
二、Matlab中的卷积运算函数在Matlab中，可以使用conv函数来进行一维和二维的卷积运算。
conv函数的基本语法如下：```y = conv(x, h)```其中，x和h分别代表输入信号和卷积核，y代表卷积运算的输出结果。
这里需要注意的是，x和h的长度必须是有限的，而且二者不能交换位置。
在进行二维卷积运算时，可以使用conv2函数。
conv2函数的基本语法如下：```y = conv2(x, h)```其中，x和h分别代表输入图像和卷积核，y代表二维卷积运算的输出结果。
三、卷积运算参数的设置规则在进行卷积运算时，需要注意一些参数的设置规则，以确保卷积运算的正确性和有效性。
以下是一些常见的参数设置规则：1. 卷积核的选择：卷积核的选择对卷积运算的结果影响很大。
通常情况下，可以根据具体的应用需求来选择合适的卷积核，例如高斯滤波、边缘检测等。
2. 边界处理：在进行卷积运算时，往往需要考虑图像或信号的边界处理。
常见的处理方式包括零填充、边界拓展、周期延拓等。
3. 步长和填充：在进行卷积运算时，可以通过设置步长和填充参数来控制输出结果的大小。
conv2d原理
conv2d原理一、概述conv2d是卷积神经网络（Convolutional Neural Network，CNN）中最常用的操作之一。
它在计算机视觉和图像处理领域中广泛应用。
本文将详细介绍conv2d的原理及其在CNN中的应用。
二、卷积操作介绍卷积操作是指通过一个滤波器（或称为卷积核、过滤器、权重）在输入图像上滑动，对输入图像的像素进行加权求和，从而得到输出图像。
每个滤波器由一组可学习的权重参数组成。
三、卷积核的工作原理卷积核的尺寸通常是一个正方形或长宽比相等的矩形，其大小由用户指定。
在进行卷积操作时，卷积核以一定的步长在输入图像上滑动，与当前所覆盖的图像区域进行卷积运算。
在每个位置，卷积核与输入图像上相应的像素以及周边的像素进行加权求和，生成一个输出值。
四、卷积核的作用卷积核的作用是提取图像的特征。
通过调整卷积核的权重，可以获得不同种类的特征。
例如，一个卷积核可能会检测图像中的边缘，另一个卷积核可能会检测图像中的纹理等。
五、卷积操作的过程卷积操作的过程可以概括为以下几个步骤： 1. 初始化卷积核的权重参数。
2. 将卷积核与输入图像进行卷积计算。
3. 对卷积结果进行非线性变换（如ReLU激活函数）。
4. 可选地，对卷积结果进行池化操作，减小特征图的尺寸。
5. 重复以上步骤，直到获得最终的特征图。
六、卷积操作的参数卷积操作涉及多个参数的设置，包括卷积核的尺寸、步长、填充和通道数等。
1. 卷积核的尺寸决定了卷积操作中滤波器的大小。
2. 步长决定了滤波器在输入图像上滑动的距离。
3. 填充指的是在输入图像的边缘填充像素值，以保持输出特征图的大小。
4. 通道数决定了输入图像和输出特征图的通道数。
七、卷积操作在CNN中的应用卷积操作是CNN的核心组件之一，它在图像分类、目标检测、语义分割等任务中发挥着重要的作用。
1. 在图像分类任务中，卷积操作用于提取图像的特征，并通过全连接层进行分类。
向量a,b卷积和互相关的公式
向量a、b的卷积和互相关是信号处理和数字图像处理中常用的运算，具有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍向量a、b的卷积和互相关的数学公式和计算方法。
一、向量a、b的卷积公式如果a和b是长度为n的向量，那么它们的卷积可以表示为以下形式：c[i] = Σ (a[j] * b[i-j])，其中j的取值范围为0到n-1，c[i]表示卷积结果的第i个元素。
从上述公式可以看出，向量a和b的卷积结果c的长度为n，计算过程是将向量a和b按照一定的规则进行相乘，并将相乘的结果累加得到卷积结果。
二、向量a、b的互相关公式与卷积类似，向量a和b的互相关可以表示为以下形式：c[i] = Σ (a[j] * b[j+i])，其中j的取值范围为0到n-1，c[i]表示互相关结果的第i个元素。
与卷积不同的是，互相关在计算过程中，向量b的元素是按照顺序平移后与向量a的对应元素相乘并累加得到互相关结果。
三、卷积和互相关的区别卷积和互相关在数学上有一定的区别。
在卷积中，向量b的元素是按照逆序进行相乘并累加；而在互相关中，向量b的元素是按照顺序进行相乘并累加。
这意味着它们在计算过程中，对向量b的处理方式不同。
四、卷积和互相关的计算方法1. 基本计算方法对于长度为n的向量a和b，可以使用双重循环的方法来计算卷积和互相关。
具体步骤是先将向量a和b进行填充，然后进行相乘并累加得到结果。
2. 快速计算方法为了提高计算效率，可以使用快速傅里叶变换（FFT）来进行卷积和互相关的计算。
FFT是一种高效的计算方法，可以在O(nlogn)的时间复杂度内完成卷积和互相关的计算。
五、卷积和互相关的应用1. 信号处理领域卷积和互相关在信号处理领域有着广泛的应用，用于滤波、频域变换等方面。
2. 数字图像处理领域在数字图像处理中，卷积和互相关被广泛应用于图像匹配、特征提取等方面。
3. 人工智能领域在人工智能领域，卷积神经网络（CNN）中的卷积层就是利用了卷积的原理进行特征提取。
生活中卷积的例子
生活中卷积的例子
在生活中，卷积是一种普遍存在的数学概念，它描述了两个函数之间的交互，通常用于处理信号、图像和其他数据。
以下是一些生活中卷积的例子：
一、图像处理：在数字图像处理中，卷积常用于图像滤波。
例如，应用卷积操作可以模糊图像、增强边缘或进行其他各种图像处理任务。
这在许多摄影应用和图像编辑软件中都有广泛应用。
二、声音处理：在音频处理中，卷积可以用于模拟声音的混响效果。
通过将原始声音信号与房间的冲击响应进行卷积，可以生成模拟在不同环境中录制的声音。
三、医学影像：在医学影像学中，卷积被用于处理和分析医学图像，例如在核磁共振（MRI）或计算机断层扫描（CT）图像中进行特征提取和图像增强。
四、天气预报：气象学中的卷积操作也被广泛使用。
卷积可以用于处理大气中的不同参数，例如气温、湿度和风速，以模拟未来的天气变化。
五、食品烹饪：在烹饪中，卷积的概念也可以找到。
例如，调味料的味道与食材混合的过程可以看作是一种卷积，其中不同的成分相互影响，创造出复杂的味道。
这些例子展示了卷积在不同领域中的广泛应用，从处理数字信号到模拟真实世界的复杂交互。
卷积在数学和工程中的灵活性使其成为许多领域中重要的工具。
常用卷积公式总结
常用卷积公式总结卷积是数字信号处理和图像处理中常用的一种运算方式，广泛应用于图像滤波、特征提取等领域。
本文将总结常用的卷积公式，便于读者在实践中快速掌握卷积运算的要点和技巧。
1. 一维离散卷积公式一维离散卷积是卷积的最基本形式，适用于处理一维序列。
给定两个长度为N和M的离散序列f和g，卷积结果序列h的长度为N+M-1。
卷积公式如下：h[i] = sum(f[j]*g[i-j], j=0 to min(i, M-1))其中，h[i]表示卷积结果的第i个元素。
2. 二维离散卷积公式二维离散卷积常用于图像处理中，用于实现图像的滤波、边缘检测等操作。
给定两个大小分别为N1×N2和M1×M2的二维矩阵F和G，卷积结果矩阵H的大小为(N1+M1-1)×(N2+M2-1)。
卷积公式如下：H[i, j] = sum(sum(F[p, q]*G[i-p, j-q], p=0 to M1-1), q=0 to M2-1)其中，H[i, j]表示卷积结果的第(i, j)个元素。
3. 常见卷积核形状在实际应用中，常见的卷积核形状有以下几种：•方形卷积核：使用方形的矩阵作为卷积核，可以实现简单的模糊、锐化、边缘检测等操作。
•高斯卷积核：采用高斯函数生成的卷积核，可以实现图像的平滑与去噪。
•锐化卷积核：用于增强图像的边缘、细节等特征。
•Sobel卷积核：用于边缘检测，可以检测图像中的水平和垂直边缘。
•Laplace卷积核：用于图像锐化和边缘检测，可以实现对图像的细节增强。
4. 卷积的性质卷积具有一些重要的性质，可以帮助我们简化卷积运算。
•交换性质：f g = g f，表示两个序列的卷积结果是相同的。
•结合性质：(f g)h = f(g h)，表示多个序列进行卷积的顺序不影响最终结果。
•分配性质：f(g+h) = f g + f*h，表示卷积运算对于序列的加法操作分配。
5. 快速卷积算法常规的卷积运算需要计算大量的乘法和加法，计算复杂度较高。
数字图像处理的数学基础
梯度的幅值为： 为避免平方根运算，可以采用梯度近似值：
为避免平方根运算，可以采用梯度近似值： ①
②
离散系统梯度幅值与近似值关系：
本章重点
线性系统与调谐信号 卷积与滤波 二维位置不变系统
2. 相关函数与卷积的关系 数学上可以证明，相关本质上是一个信号
反折后的卷积
相关实质上也是一种滤波，因此，有些专著上 将相关称为相关滤波。
五. 二维系统
1 二维线性系统 设 若该系统输入输出满足以下特性
则称该二维系统为线性系统。
2. 二维位置不变线性系统
对于任意一个二维系统，若给定输入f(x，y)， 产生输出g(x，y) 即：
将输入信号自变量x和y分别平移x0和y0，若满 足以下条件
则称为二维位置不变线性系统
(1) 连3续. 系二统维梯系度算统子的梯度算子
对于连续系统，在坐标位置(x,y)处的梯 度向量为：
可写为：
由于梯度是向量，因此其幅值为： 梯度的方向为：
(2) 离散系统梯度算子
在数字图像处理中，罗伯特算子、索贝 尔算子、普瑞维特等各种梯度算子均以差 分形式表示。
即线性移不变系统的输出可通过输入信号与 代表了系统特性的冲击响应函数h(t)的卷积得 到。 (滤波器的设计将在第6章详细讨论)
其中h(t)与系统的冲激响应一致，因此称为冲 击响应函数，即当输入为单位冲激函数时
三、相关函数 1.相关函数的定义
任意两个信号的相关函数定义：
相关函数是信号之间相似性的一种量度
一、线性系统
应用系统模型
线性系统的特性：
பைடு நூலகம்
二、调谐信号分析
3. 系统的传递函数
三、卷积与滤波 1. 连续卷积
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2 调谐信号分析
1）调谐信号
x t e j t cos t j sin t 其中j 2 1, 且 2 f
Im(x)
1
wt Re(x)
1. 图像可表示为二维实值函数
2. 实值函数是复函数的特例
3. 调谐信号是复函数的一种
2 调谐信号分析
2）线性系统对调谐输入的响应
1 x x lim a 0 a a
A x dx A f x x dx f 0
4 五个有用函数
5）阶跃函数
1, x 0 u x 1 2, x 0 0, x 0
A1e
2 x 1
2 12
A2 e
2 2 2
A1 A2 2 1 2 e
2 2
2 32
其中3 1 2
32 12 2 2
更正：前文有误。
4 五个有用函数
4）冲激函数（Delta Function）
x dx x dx 1，x 0时， x 0
3 卷积
例：二维卷积的矩阵计算形式。
1 2 1 1 已知F ,G , 求F G; 3 4 2 2 1 1 0 1 2 0 Step1: Fp 3 4 0 , G p 2 2 0 0 0 0 0 0 0
3 卷积
1 2 0 3 Step 2 : f p 4 0 0 0 0
y
0.5
0.25
0 -5 -2.5 0 2.5 x -0.25 5
-0.5
3 卷积
线性系统x t 、y t 的另一种一般表示 y t f t, x d
根据移不变性质，简化f t, y t-T f t, x T d
数字图像处理
第九章 线性系统理论
CH9 线性系统理论
一、什么是线性系统
二、调谐信号分析
三、卷积 四、五个有用函数 五、卷积滤波及其应用 要点总结
Step1: 郭靖师从江南七怪； 1.飞天蝙蝠柯镇恶柯；2.妙手书生朱聪 ；3.马王神 韩宝；4.南山樵子南希仁；5.笑弥陀张阿生；6.闹市 侠隐全金发；7.越女剑韩小莹 Step2: 郭靖偷师全真教丹阳子马钰； Step3: 郭靖拜师洪七公，学习降龙十八掌。
3 卷积
G1 Step3 : G p G2 G3 2 G2 2 0 0 2 G3 G1 G2 G2 1 0 G3 其中G1 1 1 G1 0 0 0 0 1 1 0 1
2 0 , G3 0 0 0 2 2 0 0 0
1 1 2 Step 4 : F G 5 3 8 6 2 8
对t-T和 T进行变量变换，则 y t f t T, T x d 所以f t T, T f t, g t- f t,
所以两个变量的f函数可表达成
冲激响应
3 卷积
因此线性系统总可以表示成卷积形式 y t g t- x d
其矩阵计算形式为 g p 1 gp N g p 2 f p 1 g 2 g 1 g 3 f 2 p p p p h g f g p N g p N 1 g p 1 fp N
1）线性移不变系统的两种表示形式
复数形式的传递函数； 实数形式的卷积冲激响应；
两者是统一的。
3 卷积
2）卷积的几个性质
交换性
f g g f
加法的分配率
f g h f g f h
结合率
f g *h f g h
3 卷积
step 4 : 按如下方式生成一个N N 的块循环矩阵Gb :
2 2
G1 GN G G 2 1 Gb GN GN 1 hp Gb f p
G2 G3 G1
step5 : 二维卷积的矩阵形式，再行列转换回矩阵形式
两个高斯函数的卷积产生另一个高斯函数。 G x 2
e
2 2
y 2 x y
e
2
dy e
x 2 2 xy 2 y 2
dy
e
2 y x
e
x
2
2 1 x 2 dy 2 e 2 4 2 x2 2 x 3
d f g f g f g dt
求导的性质
3 卷积
3）离散一维卷积
对于两个长度为m和n的序列f i 和g j ， h i f i g i f j g i j
j
给出长度为N m n 1的输出序列。
m n
3 卷积
二维卷积的矩阵计算形式
step1: 设F 大小为m1 n1 , G大小为m2 n2 , 扩展F 和G矩阵为Fp 和G p , 大小为M N , 其中 M m1 m2 1; N n1 n2 1;以下假定M=N。 step 2 : 从矩阵Fp构造一个N 2 1维列向量f p， 将Fp的第一行转置，使成为f p 最上面的N 个元素， 然后其他行转置依次在下面。 step3 : 矩阵G p 每一行生成一个N N 循环矩阵，总共 产生一个N 个这样的矩阵Gi 1 i N 。
2）边缘增强
3）去卷积
要点总结
线性和移不变系统的定义；
调谐信号及其线性系统分析、传递函数；
线性移不变系统与卷积的关系；
离散二维卷积的矩阵计算；
典型冲激响应函数及其应用。
上机实习题
编写实现二维离散卷积的程序。
j t T
e j t e j T
y2 t K , t x2 t K , t x1 t T
2 调谐信号分析
3）调谐信号与正弦型信号
将输入的正弦型信号表示成调谐信号；
计算线性系统对此调谐输入的响应； 取调谐输出的实部为真正的输出。
对应二维，即方 形卷积模板
A
A*Pi(x/a)
-a/2
a/2
4 五个有用函数
2）三角脉冲（ Lamda Function ）
1 x , x 1 x 0, x 1
B
B*La(x/b)
-b
b
两个相同矩形脉冲的卷积得到一个三角脉冲。
4 五个有用函数
3）高斯函数（Gaussian Function）
3 卷积
例：请花5分钟时间计算。
0 1 0
已知F
3 1
, G 1 4 1 , 求F G。 4 1 0 1 0
0 3 1 3 -7 0 F G= 4 -12 1 0 4 1
0 1 1 0
3 卷积
5）图像边缘处卷积处理方法
1）重复图像边缘的行和列，使卷积在边缘可计算；
2）卷绕输入图像，使之成为周期性； 3）在图像边缘外侧填充0或其他常数； 4）去掉不能计算的行和列，仅对可计算的象素进 行卷积。
在实际图像应用中，边缘处四种卷积处理方法并不重要。
4 五个有用函数
1）矩形脉冲（Pi Function）
1, 1 2 x 1 2 x 1 2, x 1 2 0,others
4）传递函数
2 调谐信号分析
将K 表示成极坐标形式： K A e
j
假设输入为余弦函数，令其为调谐信号的实部： x t cos t Re e jt 调谐输入的响应为 K e jt A e y t Re A e
3 卷积
4）二维卷积和离散二维卷积
二维卷积定义
h x, y f g
f u , v g x u , y v dudv
离散二维卷积定义
H F G H i, j F m, n G i m, j n
1
u(x-x0)
0
x0
4 五个有用函数
5）阶跃函数
阶跃函数是单位冲激函数的积分
单位冲激函数是阶跃函数的导数
5 卷积滤波及其应用
1）平滑
可采用矩形脉冲、三角脉冲或高斯脉冲为平滑函数。 等价于邻域处理中的平滑去噪。 带负的旁瓣（side lobes）的正尖峰函数，其边缘增强时产 生两个效果。 * 增加边缘的梯度； * 在边缘的两侧加边。类似与拉普拉斯算子产生的效果。 利用一个卷积去除另一卷积影响的技术。
2 调谐信号分析
5）线性移不变系统的重要性质
调谐输入总是产生同频率的调谐输出；
系统的传递函数
一个仅依赖于频率的复值函数，包含系统全部信息；
传递函数对调谐信号输入只产生两种影响
幅度的变化和相位的平移。
3 卷积
y 1 0.5 0 -5 -2.5 0 2.5 x -0.5 5
-1