现代控制理论习题解答

《现代控制理论》第1章习题解答

1.1

线性定常系统和线性时变系统的区别何在

答：线性系统的状态空间模型为：

x Ax Bu

y Cx Du

=+=+

线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。

现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什

么区别 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下:

线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式它们分别具有什么特点

答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n 阶传递函数

121210

1

110

()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++， 分别有

⑴ 能控标准型： []012

101210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du

---⎧⎡⎤⎡⎤

⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢

⎥⎢⎥=+⎪⎢

⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥

⎪

⎢⎥⎢⎥⎪----⎣⎦⎣⎦

⎪

=+⎪⎩ ⑵ 能观标准型： []00112

2110

01000

10

0010

01n n n b a b a x a x u b a b y x du

---⎧-⎡⎤⎡⎤

⎪⎢⎥⎢⎥

-⎪⎢⎥⎢⎥

⎪⎢⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢

⎥

⎨⎢⎥⎢⎥

⎪⎢⎥⎢⎥⎪-⎣⎦⎣⎦

⎪=+⎪⎩ ⑶ 对角线标准型： []1212

001001001n n p p

x x u p y c c c x du

⎧⎡⎤⎡⎤

⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢

⎥⎢⎥=+⎪

⎢

⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪

⎣⎦⎣⎦⎪⎪=+⎩ 式中的12,,,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出，

12121012

1

11012

()n n n n n

n n n n

b s b s b s b

c c c G s

d d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=+++

+++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。 能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一

答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。

单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的

直接转移项D 不等于零，其参数如何确定 答: 当传递函数)(s G 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零。

转移项D 的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数

11

10

111)(a s a s a s b s b s b s b s G n n n

n n n n ++++++++=---- 可得：

d a s a s a s c s c s c s G n n n n n ++++++++=----0

11

10

111)( 由此得到的d 就是状态空间实现中的直接转移项D 。

在例1.2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图

的串联分解，试问：若将图中的两个环节前后调换，则对结果有何影响 答: 将图中的两个环节调换后的系统方块图为：

图中，

32

210

11()a s s a s a s a =+++，2

210()b s b s b s b =++。 由于3s y -相当于对y 作3次积分，故1

()

y m a s =可用如下的状态变量图表示：

因为2s b 相当于对b 作2次微分，故()m b s u

=可用如下的状态变量图表示:

因此，两个环节调换后的系统状态变量图为

进一步简化，可得系统状态变量图为

取3y x =，2y x =，1y x =，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为

001122001

001[0

01]a b x a x b u

a b y x

-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=

两个环节调换前的状态空间模型是：

012012010000101[]x x u a a a y b b b x

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦=

显然，调换前后的状态空间实现是互为对偶的。 已知系统的传递函数

2()6

()56

Y s s U s s s +=++ 试求其状态空间实现的能控标准形和能观标准形。 答： 系统的能控标准形为:

[]01065161x x u y x

⎧⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎨

⎪=⎩

系统的能观标准形为:

[]06615101x x u y x

⎧-⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎨

⎪=⎩

考虑由下图描述的二阶水槽装置，