哈尔滨工业大学2010《现代控制理论基础》考试题A卷及答案

哈工大2010年春季学期

现代控制理论基础 试题A 答案

一．（本题满分10分）

如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。

【解】

（1）对左边的质量块，有

()2111211cos sin sin cos sin 222

L L L

ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?-

对右边的质量块，有

()221222sin sin cos sin 22

L L

ML k MgL θθθθθ=?-?-

在位移足够小的条件下，近似写成：

()112124f kL

ML Mg θθθθ=---

()21224kL

ML Mg θθθθ=--

即

112442k

g k f M L M ML θθθ??=-+++

???

21244k k g M M L θθθ??=-+ ???

（2）定义状态变量

11x θ=，21x θ=，32x θ=，42x θ=

则

12

2133441344244x x k g k f

x x x M L M ML x x k k

g x x x M M L =??

???=-+++ ????

?

=????=-+? ?????

或写成

11

22334401

000014420001000044x x k g k x x M L M

f ML x x x x k k

g M M L ?

?

??

??????????

??-+???? ?

??????????=+???

?

?????

??????????????????

?????-+??

?

? ??????

?

二．（本题满分10分）

设一个线性定常系统的状态方程为=

x Ax ，其中22R ?∈A 。

若1(0)1??

=??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-??

x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为

2()t t e t e --??

=??-??

x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。

【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有

221()1t t t e t e e --????==????--????

A x

22()1t t t e t e e --????==????--????

A x

合并得

2212211t t t t t e e e e

e ----????=????----??

??A 求得状态转移矩阵为

1

22221212221111t t t t t

t

t t t e e e e e e

e e e -----------??????

??

==????????------????

????A

22222222t t

t t t t t t e e e e e e e e --------??

-+-+=??--??

当1(0)3??

=????

x 时的状态响应为

222211222()332t t

t t t

t t

t t e e e e t e e e

e e --------??-+-+????

==??????--????

??A x 227874t t t

t e e e e ----??

-+=?

?

-??

三．（本题满分10分）

已知某系统的方块图如下，

回答下列问题：

（1）按照上图指定的状态变量建立状态空间表达式；

（2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数k 的取值范围。 【解答】（1）系统的状态空间表达式为

[]1122122110110x x k u x x x y x ?-????????=+??????????

?????????

??

?=???

???

（2）使系统状态完全能控且完全能观时，参数3k ≠且0k ≠。