现代控制理论期末试卷

一、（10分，每小题1分）
1、任一线性连续定常系统的系统矩阵均可对角形化。

(×)
2、对SISO 线性连续定常系统，传递函数存在零极点对消，则系统一定不能观且不能控制。

(×)
3、对线性连续定常系统，非奇异变换后的系统特征值不变。

(√)
4、对于线性连续定常系统的最小实现是唯一的。

(×)
5、稳定性问题是相对于某个平衡状态而言的。

(√)
6、Lyapunov 第二法只给出了判定稳定性的充分条件。

(√)
7、对于SISO 线性连续定常系统，状态反馈后形成的闭环系统零点与原系统一样。

(√)
8、对于一个系统，只能选取一组状态变量。

(×)
9、对于一个n 维的线性定常连续系统，若其完全能观，则利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统是2n 维的。

(√)
10、对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵特征值都具有负实部是一致的。

(√)
二（10分，每小题5分）
（1）简述平衡状态及平衡点的定义。

（2）简述状态方程解的意义。

解：（1）状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。

由平衡状态在状态空间中所确定的点称之为平衡点。

（2）线性连续定常系统状态方程的解由两部分组成，一部分是由初始状态所引起的自由运动即零输入响应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态响应。

三、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。

其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。

取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。

解：
f ma =……………………………….……1分
令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有
122u kx kx mx --=………………………………2分
于是有
12x x =………………………………..……………1分
2121k h x x x u m m m
=-
-+……….….……………….2分 再令位移为系统的输出y ，有
1y x =…………………………….……….1分
写成状态空间表达式，即矩阵形式，有
11220101x x u k h x x m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
………..……………..2分 []1210x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
……………………..……….……….2分 四、（15分）求以下系统的状态响应
0120()()(),(0),()e 2301t x t x t u t x u t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
解： 由012,230A b ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
得 123s sI A s -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦
…………….……………………………………2分 121111212()22
2121
21s s s s sI A s s s s -⎡⎤--⎢⎥++++-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥++++⎣⎦……………….………2分 22222e e e e e 2e e e 2e t t
t t At t t t t --------⎡⎤--=⎢⎥-+-+⎣⎦
…………….………….………2分 ()0
()e (0)e ()()t At A t s x t x B s u s ds -=+⎰…………….………………2分 21(41)e e
t t x t --=-+…………….………………...…………1分 22(34)e 2e t t x t --=--…………….…………..………………1分
五、（10分）令2I 为二阶单位矩阵。

求解Lyapunov 方程20T A P PA I ++=判断以下系统的
稳定性
0111x x ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦
解 令a b P b c ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦
………….…………..…………………..……………1分 得
21002201b a b c a b c b c ---⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
……………….………………2分 21002210b a b c b c -+=⎧⎪--=⎨⎪-+=⎩
……………….……………………………..………2分 3212121P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
……………….…………………………..…………2分 由 320,540a P =>=>……………….…………..………………2分 可知P 正定，所以系统渐近稳定………….……………..………………1分 六、设1∑和2∑是两个能控且能观的系统
[]1
121210431022221111==-=∑=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑C b A C b A ，，：，，： （1）试分析由1∑和2∑所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数； 解：（1）1∑和2∑串联
当1∑的输出1y 是2∑的输入2u 时，331222x x x x =-++
010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，[]001y x = 20141413014M b Ab A b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
则rank M=2<3，所以系统不完全能控。

12
71)4)(3)(2(2)()(21++=++++=-=-s s s s s s B A sI C s W 当2∑得输出2y 是1∑的输入1u 时
11034
100021x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，[]210y x =
因为 2001016124M b Ab A b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
rank M=3 则系统能控
因为2210321654c N cA cA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
rank N=2<3 则系统不能观
12
71)()(21++=-=-s s B A sI C s W 七、（15分）已知系统 u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011 试将其化为能控标准型。

（10分） 解 1210c u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1112201c u -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
（2分） [][][]1111221122010101c p u -⎡⎤
===-⎢⎥-⎣⎦ （2分） [][]111
12122221100p p A ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦
（2分） 11221112211,11P P --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
（2分） 能控标准型为u x x
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010 （2分） 八、（10分）已知系统[]01000010,10061161x x u y x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
，求形如 ()z A GC z Bu Gy =-++的全维状态观测器，
且极点为12,35,2s s j =-=-±其
中,,A B C 分别为原系统得系统、控制和输出矩阵。

解： 令
123g G g g ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
..…………………………………..…………..…………1分 则
32112123 ()
(6)(611)(1166)sI A GC s g s g g s g g g -+=+++++++++……2分
计算知理想特征多项式为 12332 ()()()
93680
s s s s s s s s s ---=+++…………………………………..…………2分
列方程得 1121
236961136
116680g g g g g g +=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩………………………………..…………2分 解方程得
371G ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
..………………………………………...…………..………2分 从而状态观测器为
3100370107511611z z u y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦
………..………..…………1分。