10整式的概念
整式的所有概念
整式的所有概念整式是指由多个字母和常数通过有限次的加减乘除运算得到的多项式，也叫多项式函数。
在整式中，字母称为变量，常数称为系数。
整式是代数学中重要的概念，被广泛应用于各个数学领域，如代数、几何、概率等。
一、整式的基本概念1. 变量：整式中的字母通常用来表示未知量，可代表各种数值。
2. 系数：整式中字母的系数称为系数，系数可以是实数、有理数、整数或自然数等。
3. 单项式：只含有一个变量的整式，如3x、-4y^2等。
4. 多项式：由若干个单项式相加减得到的整式，如2x^2+3xy-5y^2等。
5. 最高次数：多项式中各单项式的次数的最大值称为多项式的最高次数。
6. 约束条件：用于限制变量的取值范围的条件，如不等式、方程等。
二、整式的运算1. 加法：整式与整式相加，按照对应项相加的原则进行运算。
2. 减法：整式与整式相减，按照对应项相减的原则进行运算。
3. 乘法：整式与整式相乘，按照分配律和乘法运算法则进行运算。
4. 除法：整式与整式相除，除法运算可通过因式分解与因式消去进行简化。
三、整式的性质和特点1. 对称性：整式具有对称性，即交换两个整式的次序仍可保持运算结果不变。
2. 同类项合并：多项式中相同次数的单项式可合并，该性质有助于简化整式。
3. 分解因式：整式可以通过因式分解化简，找到整式的因式有助于求解方程、图像等问题。
4. 比较大小：可通过整式的次数和系数对比大小，进一步研究整式的性质。
5. 二次函数：一种特殊的整式，其最高次数为2，常见的代表形式为f(x)=ax^2+bx+c。
四、整式的应用领域1. 代数方程：利用整式进行方程的求解和求根。
2. 几何学：整式在图形的建模中起重要作用，如通过函数图像求解交点、切线等。
3. 概率和统计：整式在概率和统计中用于计算合成概率、数据拟合等。
4. 数值计算：整式在数值计算中用于插值和多项式逼近等。
5. 计算机科学：整式在计算机科学中用于编程和算法设计等。
第06讲 整式的概念和整式的加减w
第6讲 整式的概念和整式的加减知识方法扫描整式的概念1. 单项式与多项式统称整式．2．单项式由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个字或数也是单项式．单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数3． 多项式几个单项式的和叫做多项式．在多项式中的每个单项式叫做多项式项，其中，不含字母的项叫做常数项．一个多项式有几项就叫做几项式，次数最高的项的次数就叫做多项的次数. 把一个多项式的各项按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大） 的顺序排列叫做降（或升）幂排列法．整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数也是同类项．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项．整式的加减实际就是合并同类项。
3. 灵活地去（添）括号括号前面去掉（或添上）“+”号，括号里各项都不变；括号前面去掉 （或添上）“-”号，括号里各项都变号，若有多层括号，去括号有三种方法：一是可以从里向外去；二是可以 从外向里去；三是可以里外同时去，同时在去括号后，在不影响计算结果 的前提下，也可以边去括号边合并同类项，从而简化计算，经典例题解析例1 (1997年北京市初二数学竞赛试题)同时都含有字母a ，b ，c ，且系数为1的7次单项式共有( )．(A)4个 (B) 12个 (C) 15个 (D) 25个解：设满足条件的单项式为p n m c b a 的形式，其中m 、n 、p 为自然数，且m+n+p=7．指数m ，n ，p 只能有如下四组可能: 1,1,5； l,2,4； 1,3,3； 2,2,3．所以满足条件的单项式有;,,;,,334242555c b a bc a c ab bc a c ab abc ;,,244224c b a c b a c ab .,,;,,223232322333333c b a c b a c b a c b a bc a c ab 总计有15个．故选（D ）例2．（1993年第4届“希望杯”邀请赛试题）在多项式42123431993---++m n n m n m n m y x v u y x v u （其中m ，n 为正整数）中，恰有两项是同类项，则m·n=解 若n m v u 1993与n m v u 23是同类项，则m=0，n=0，与已知条件矛盾。
整式的运算经典解析
整式的基本概念1、代数式的有关概念代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
2、整式的有关概念（1）单项式的定义：都是数与字母的积的代数式叫做单项式． 说明：判断一个代数式是不是单项式，主要是根据代数式中数字和字母间是否都是乘法运算关系．如xy 2就不是一个单项式． a 2是一个单项式，因为a 2可以看作是a ·a ．特别地，单独的一个数或单独的一个字母也都是单项式，如－3，0，35 ，x ，2x等都是单项式（2）单项式次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．说明：在单项式中，系数只与数字因数有关；次数只与字母有关．如x 3yz 4的系数是1，次数为3＋1＋4＝8．（4）多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．（5）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．说明：在确定多项式的次数时，应先计算出多项式的每一项的次数，次数最大的项的次数作为该多项式的次数．如，多项式x 3－x 2y 2＋x 中，单项式x 3的次数是3，单项式－x 2y 2的次数是4，单项式x 的次数是1，所以多项式x 3－x 2y 2＋x 的次数是4．（6）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项．每一个单项式就是一项。
说明：多项式的项，包括符号．如多项式5－3x 2中，二次项是－3x 2．（7）常数项的定义： 在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。
（8）降幂排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列．（9）升幂排列 ：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．如： x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4－7＝2x 4y ＋x 3－7xy 3－y 4－7 ①＝－7－y 4－7xy 3＋x 3＋2x 4y ②＝－y 4－7xy 3＋2x 4y ＋x 3－7 ③＝－7＋x 3＋2x 4y －7xy 3－y 4④其中，①是按x 的降幂排列；②是按x 的升幂排列；③是按y 的降幂排列；④是按y 的升幂排列．（10）整式的定义： 单项式和多项式统称整式．说明：知道一个代数式，不论是单项式还是多项式，都一定是整式；反之，如果已知一个代数式是整式，那么它或者是单项式，或者是多项式，二者必具其一．如单项式－3x 2，x 等都是整式，多项式3－x ，－x 3－x ＋1等都是整式；在整式2x ，x 4－1中，2x 是单项式，x 4－1是多项式．探究引导：216b π是二次单项式，这里要注意π是一个常数，不是一个字母，所以单项式中只有一个字母b ，它的指数是2，216b π就是一个二次单项式。
整式的概念(教师版)
高一数学寒假课程整式的概念 （教师版） 1 / 17 初一数学暑假课程高一数学寒假课程整式的概念 （教师版） 2 / 17 初一数学暑假课程 初一数学暑假班（教师版）1、单项式（1）单项式的含义：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做代数式（单独的一个数字或者字母也叫做单项式）.如：代数式3a 、mn -、2x 、2、π，它们都是单项式.（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 注意：①关于单项式的系数，要包括前面的符号；系数是1或-1时，通常省略不写.②关于单项式的次数，当字母的指数是1时，“1”通常省略不写；对于不含字母的非0数，如2-，0.5，13等，这些单项式叫做“零次单项式”. 2、多项式（1）多项式的含义：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式.（2）多项式的项与常数项：在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.如：多项式2232x x -+共有三项，分别是22x ，3x -，2；其中常数项整式的概念知识梳理是2.注意：在确定多项式的项时，要特别注意项的符号.（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数.注意：多项式的次数的概念要正确理解，是指最高次项的次数，而不是指多项式中所有字母指数的和，要与单项式的次数区分开.（4）多项式的降（升）幂排列：按照某一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序来排列.（5）整式：单项式和多项式统称为整式.注意：单项式中不含加或减法运算；而多项式必须含有加或减法运算，但不能有以字母为除式的除法运算.例题解析【例1】在式子，﹣1，x2﹣3x，，中，是整式的有 3 个．初一数学暑假课程高一数学寒假课程整式的概念（教师版）3/ 17【例2】下列代数式：（1），（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+，（9）y3﹣5y+中，整式有(1)(2)(3)(5)(6)(8)．（填序号）【例3】求单项式的系数与次数之积.-3\2【例4】观察下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，…（1）按此规律写出第9个单项式；（2）试猜想第N个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？1）∵当n=1时，xy，当n=2时，-2x2y，当n=3时，4x3y，初一数学暑假课程高一数学寒假课程整式的概念（教师版）4/ 17当n=4时，-8x4y，当n=5时，16x5y，∴第9个单项式是29-1x9y，即256x9y．（2）∴n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为n-1，∴当n为奇数时的单项式为2n-1x n y，它的系数是2n-1，次数是n+1．【例5】下表中的字母都是按移动规律排列的．序号123…图形x xyx xyx xx x xy yx x xy yx x xx x x xy y yx x x xy y yx x x x…高一数学寒假课程整式的概念（教师版）5/ 17初一数学暑假课程高一数学寒假课程整式的概念 （教师版） 6 / 17 初一数学暑假课程 我们把某格中的字母的和所得多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为6x+2y ，第2格的“特征多项式”为9x+4y ，回答下列问题．（1）第3格的“特征多项式”为 12X+6y ，第4格的“特征多项式”为 15X+8Y ，第n 格的“特征多项式”为 3(N+1X+2NY （n 为正整数）； （2）求第6格的“特征多项式”与第5格的“特征多项式”的差．【例6】已知式子：ax 5+bx 3+3x+c ，当x=0时，该式的值为﹣1． （1）求c 的值；（2）已知当x=1时，该式的值为﹣1，试求a+b+c 的值；（3）已知当x=3时，该式的值为﹣1，试求当x=﹣3时该式的值；（4）在第（3）小题的已知条形下，若有3a=5b 成立，试比较a+b 与c 的大小．初一数学暑假课程高一数学寒假课程整式的概念（教师版）7/ 17【例7】学规律在数学中有着极其重要的意义，我们要善于抓住主要矛盾，提炼出我们需要的信息，从而解决问题．（1）观察下列算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，通过观察，用你所发现的规律确定32014的个位数字是9；（2）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 2 ；根据此规律，如果a n （n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18=，a n=；（3）观察下面的一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…根据你发现的规律，第5个单项式为；第7个单项式为；第n个单项式为．【例8】已知关于x、y的多项式5x2﹣2xy2﹣[3xy+4y2+（9xy﹣2y2﹣2mxy2）+7x2]﹣1（1）若该多项式不含三次项，求m的值；（2）在（1）的条件下，当x2+y2=13，xy=﹣6时，求这个多项式的值．初一数学暑假课程高一数学寒假课程整式的概念（教师版）8/ 17高一数学寒假课程整式的概念 （教师版） 9 / 17 初一数学暑假课程【例9】已知多项式3x 2﹣y 3﹣5xy 2﹣x 3﹣1；（1）按x 的降幂排列；（2）当x=﹣1，y=﹣2时，求该多项式的值． 31【例10】（1）已知代数式：4x﹣4xy+y2﹣x2y3①将代数式按照y的次数降幂排列．②当x=2，y=﹣1时，求该代数式的值（2）已知：关于xyz的代数式﹣（m+3）x2y|m+1|z+（2m﹣n）x2y+5为五次二项式，求|m﹣n|的值．高一数学寒假课程整式的概念（教师版）10/ 17初一数学暑假课程【例11】当多项式﹣5x2﹣（2m﹣1）x2+（2﹣3n）x﹣1不含二次项和一次项时，求m、n 的值．M=-2 N=2\3【例12】已知多项式是八次三项式，求n的值．N=2初一数学暑假课程高一数学寒假课程整式的概念（教师版）11/ 17高一数学寒假课程整式的概念 （教师版） 12 / 17 初一数学暑假课程单项式次数与多项式次数的区别（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.（3）多项式的次数：多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数.一．判断题(1)31 x 是关于x 的一次两项式． ( 对 ) (2)－3不是单项式．( 错 )(3)单项式xy 的系数是0．( 错 )(4)x 3＋y 3是6次多项式．( 错 )(5)多项式是整式．( 对 )反思总结 随堂检测高一数学寒假课程 整式的概念 （教师版）13 / 17初一数学暑假课程 二、选择题1．在下列代数式：21ab ，2b a +，ab 2+b+1，x 3+y2，x 3+ x 2－3中，多项式有（ B ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D5个2．多项式－23m 2－n 2是（ A ）A ．二次二项式B ．三次二项式C ．四次二项式D 五次二项式3．下列说法正确的是（ B ）A ．3 x 2―2x+5的项是3x 2，2x ，5B ．3x－3y与2 x 2―2xy －5都是多项式C ．多项式－2x 2+4xy 的次数是３D ．一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是64．下列说法正确的是（ D ）A ．整式abc 没有系数B ．2x+3y+4z不是整式C ．－2不是整式D ．整式2x+1是一次二项式 5．下列代数式中，不是整式的是（ C ）A 、23x -B 、745ba - C 、x a 523+ D 、－20056．下列多项式中，是二次多项式的是（ C ）A 、132+xB 、23xC 、3xy －1D 、253-x7．x 减去y 的平方的差，用代数式表示正确的是（ D ）A 、2)(y x -B 、22y x -C 、y x -2D 、2y x -高一数学寒假课程整式的概念 （教师版） 14 / 17 初一数学暑假课程 8．某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下。
苏版数学初一上册课程讲义第二十一章：整式-解析版
苏版数学初一上册课程讲义第二十一章：2 知识定位讲解用时：3分钟A 、适用范畴：人教版初一，基础一样；B 、知识点概述：本讲义要紧用于人教版初一新课，明白得单项式系数及次数的概念； 明白得多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；把握整式的概念，会判定一个代数式是否为整式；能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．知识梳理讲解用时：20分钟课堂精讲精练 【例题1】 下列代数式中：x 1，2x+y ，b a 231，πy x -，x y 45，0，整式有 个． 【答案】4 【解析】 解：整式有：2x+y ，b a 231，πy x -，0，故有4个． 讲解用时：3分钟解题思路：分母不含字母的式子即为整式．教学建议：讲解整式的概念，注意π不是字母.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2021【练习1.1】1.单项式的概念：如，，-1，它们差不多上数与字母的积，像 ）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相 （2）单项式中不能含有加减运算，但能够含有除法运算．如：能够写成。
但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做那个单项式的系数． 22xy -13mn 2st 12st 5m ：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 要点诠释：（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做那个多项式的次数．2627x x --单项式与多项式统称为整式． 要点诠释： （1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示． 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的写成． ：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做那个单项式的要点诠释：单项式的次数是运算单项式中所有字母的指数和得到的，运算时要注意以下两点： 2114x y 254x y在代数式π，122++x x ，x+xy ，3x2+nx+4，﹣x ，3，5xy ，xy 中，整式共有 个【答案】6【解析】 解：在代数式π（单项式），122++x x （分式），x+xy （多项式），3x2+nx+4（多项式），﹣x （单项式），3（单项式），5xy （单项式），x y （分式）中，整式共有6个讲解用时：3分钟解题思路：依照多项式与单项式统称为整式，判定即可．教学建议：弄清整式的定义是解本题的关键．难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2021【练习1.1】指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？，，，10，，，，，， 【答案】单项式有：，10，，；多项式有：，，，； 整式有：，，，10，，，，． 【解析】解：单项式有：，10，，；多项式有：，，，； 整式有：，，，10，，，，． 讲解用时：3分钟解题思路：不是整式，因为分母中含有字母； 也不是多项式，因为不是单项式． 教学建议：弄清整式的定义是解本题的关键． 难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2021【例题2】代数式852mn -的系数是 ，次数为 ． 【答案】85-，3． 22x y +x -3a b +61xy +1x 217m n 225x x --22x x +7a x -217m n 7a 22x y +3a b +61xy +225x x --22x y +x -3a b +61xy +217m n 225x x --7a x -217m n 7a 22x y +3a b +61xy +225x x --22x y +x -3a b +61xy +217m n 225x x --7a 22x x +212a a ++1a【解析】 解：依照单项式系数、次数的定义，代数式852mn -的数字因数85-即系数，所有字母的指数和是1+2=3，故次数是3．讲解用时：3分钟解题思路：依照单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做那个单项式的次数．教学建议：明白得单项式的定义，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2021【练习2.1】单项式﹣5x2y 的次数是 ．【答案】3【解析】解：依照单项式次数的定义，所有字母的指数和是2+1=3，故次数是3． 讲解用时：2分钟解题思路：依照单项式次数的定义来求解．所有字母的指数和叫做那个单项式的次数．教学建议：确定单项式的次数时，找准所有字母的指数，是确定单项式的次数的关键．指数是1时，不要忽略．难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2021【例题3】多项式是a3﹣2a2﹣1是 次 项式．【答案】三、三．【解析】解：多项式是a3﹣2a2﹣1是三次三项式．讲解用时：2分钟解题思路：利用每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案．教学建议：把握多项式的次数与系数的确定方法，正确把握定义是解题关键．难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2021【练习3.1】 代数式6 2x π-+4x ﹣3的二次项系数是 【答案】6π-． 【解析】 解：代数式6 2x π-+4x ﹣3的二次项系数是：6π-．讲解用时：2分钟 解题思路：直截了当利用多项式中各项系数确定方法分析得出答案． 教学建议：明白得多项式中的系数、次数和项的概念.难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2021【例题4】若3xmyn 是含有字母x 和y 的5次单项式，求mn 的最大值．【答案】9【解析】解：因为3xmyn 是含有字母x 和y 的五次单项式因此m+n=5因此m=1，n=4时，mn=14=1；m=2，n=3时，mn=23=8；m=3，n=2时，mn=32=9；m=4，n=1时，mn=41=4，故mn 的最大值为9．讲解用时：4分钟解题思路：依照单项式的概念即可求出答案，注意分类讨论思想的运用.教学建议：复习单项式的概念以及有理数的乘方，引导学生利用分类讨论分析难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2021【练习4.1】已知x2y|a|+（b+2）是关于x 、y 的五次单项式，求a2﹣3ab 的值．【答案】﹣9或27【解析】解：∵x2y|a|+（b+2）是关于x ，y 的五次单项式，解得：⎩⎨⎧-=±=23b a ， 则当a=﹣3，b=﹣2时，a2﹣3ab=9﹣18=﹣9；当a=3，b=﹣2时，a2﹣3ab=9+18=27．讲解用时：5分钟解题思路：依照单项式及单项式次数的定义，可得出a 、b 的值，代入代数式即可得出答案．教学建议：强调单项式的概念及次数难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2021【例题5】关于x ，y 的多项式6mx2+4nxy+2x+2xy ﹣x2+y+4不含二次项，求6m ﹣2n+2的值．【答案】4【解析】解：∵多项式6mx2+4nxy+2x+2xy ﹣x2+y+4=（6m ﹣1）x2+（4n+2）x y+2x+y+4不含二次项，即二次项系数为0，即6m ﹣1=0，∴m=61；∴4n+2=0，∴n=21-，把m 、n 的值代入6m ﹣2n+2中，∴原式=6×61﹣2×（21-）+2=4．讲解用时：5分钟解题思路：由于多项式6mx2+4nxy+2x+2xy ﹣x2+y+4不含二次项，即二次项系数为0，在合并同类项时，能够得到二次项为0，由此得到故m 、n 的方程，即6m ﹣1=0，4n+2=0，解方程即可求出n ，m ，然后把m 、n 的值代入6m ﹣2n+2，即可求出代数式的值．教学建议：依照在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值．难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2021【练习5.1】已知多项式x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，单项式6x2ny5﹣m 的次数与那个多项式的次数相同，求m+n 的值．【答案】5【解析】解：∵多项式x2ym+1+xy2﹣3x3﹣6是六次四项式，∴2+m+1=6，∴m=3，∵单项式26x2ny5﹣m 的次数与那个多项式的次数相同，∴2n+5﹣m=6，∴2n=1+3=4，∴n=2．∴m+n=3+2=5．讲解用时：5分钟解题思路：依照已知得出方程2+m+1=6，求出m=3，依照已知得出方程2n+5﹣m=6，求出方程的解即可．教学建议：强调多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数． 难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2021【练习5.2】已知多项式． (1)求多项式各项的系数和次数． (2)假如多项式是七次五项式，求m 的值．【答案】32312246753m x xy x y y x y ---+--（1）第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l ，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．（2）m ＝2.【解析】解：(1)依题意知此多项式是五项式，第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l ，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．(2)由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m -1+2＝7，解得m ＝2．讲解用时：5分钟解题思路：依照多项式中项与各项系数次数的概念，能够使问题得到解决教学建议：关于单项式的次数为3m+1的认识会不太适应，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2021【例题6】观看下列单项式：﹣x ，3x2，﹣5x3，7x4，…﹣37x19，39x20，…写出第n 个单项式，为了解那个问题，特提供下面的解题思路．（1）这组单项式的系数依次为多少，绝对值规律是什么？（2）这组单项式的次数的规律是什么？（3）依照上面的归纳，你能够猜想出第n 个单项式是什么？（4）请你依照猜想，写出第2021个，第2021个单项式．【答案】（1）（﹣1）n （2n ﹣1）；（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数；（3）（﹣1）n （2n ﹣1）xn （4）4031x2021，﹣4033x 2021【解析】解：（1）这组单项式的系数依次为：﹣1，3，﹣5，7，…系数为奇数且奇次项为负数，故单项式的系数的符号是：（﹣1）n ， 26xy -3127m x y --343x y 432x y -26xy -3127m x y --343x y 432x y -3127m x y --3127m x y --绝对值规律是：2n﹣1；（2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．（3）第n个单项式是：（﹣1）n（2n﹣1）xn．（4）第2021个单项式是4031x2021，第2021个单项式是﹣4033x202 1．讲解用时：8分钟解题思路：（1）依照已知数据得出单项式的系数的符号规律和系数的绝对值规律；（2）依照已知数据次数得出变化规律；（3）依照（1）（2）中数据规律得出即可；（4）利用（3）中所求即可得出答案．教学建议：本例是数字变化规律问题，得出次数与系数的变化规律是解题关键．难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2021【练习6.1】观看下列一串单项式的特点：xy，﹣2x2y，4x3y，﹣8x4y，16x5y，…（1）按此规律写出第9个单项式；（2）试猜想第n个单项式为多少？它的系数和次数分别是多少？【答案】（1）256x9y；（2）（﹣1）n+12n﹣1xny，（﹣1）n+12n﹣1，n +1【解析】解：（1）∵当n=1时，xy，当n=2时，﹣2x2y，当n=3时，4x3y，当n=4时，﹣8x4y，当n=5时，16x5y，∴第9个单项式是29﹣1x9y，即256x9y．（2）∴n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为n﹣1，∴当n为奇数时的单项式为2n﹣1xny，该单项式为（﹣1）n+12n﹣1xny它的系数是（﹣1）n+12n﹣1，次数是n+1．讲解用时：8分钟解题思路：通过观看题意可得：n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为（n﹣1），由此可解出本题；依照单项式的系数是指单项式的数字因数，次数是所有字母指数的和解答即可．教学建议：依照题意找出各式子的规律是解答此题的关键．难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2021【例题7】某市出租车收费标准为：起步价10元，3千米后每千米1.8元（超过部分不足一公里的路程按一公里算）．①假如有人乘计程车行驶了x公里（x＞3），那么他应对多少车费？（列代数式）②某游客乘计程车从甲地到乙地，付了车费37元，试估算从甲地到乙地大约有多少公里？【答案】①4.6+1.8x；②18公里【解析】解：①有人乘计程车行驶了x公里（x＞3），那么他应对车费为：10+1.8×（x﹣3）=4.6+1.8x；②设从甲地到乙地大约有x公里，由①中代数式可得：4.6+1.8x=37，解得：x=18（公里）．讲解用时：6分钟解题思路：①：计程车行驶了x公里（x＞3）时，应对费=起步价+3千米后加费金额，据此列出代数式即可．②：依照①中代数式，设行驶了x公里，据代数式=37得到方程，求解即可．教学建议：引导学生读明白题目的意思，依照题目给出的条件，找出合适的等量关系．难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2021【练习7.1】已知：我市出租车收费标准如下：乘车里程不超过五公里的一律收费5元；乘车里程超过5公里的，除了收费5元外超过部分按每公里1.2元计费．（1）假如有人乘计程车行驶了x公里（x＞5），那么他应对多少车费？（列代数式）（2）某乘客预备坐出租车从A市到B市，距离35公里，他身上带了40元钱，够不够车费，说明理由．【答案】（1）5+1.2（x﹣5）；（2）不够．理由：因为距离为35公里时，5+1.2×（35﹣5）=41，41＞40．因此不够．【解析】解：（1）不超过5公里的付费5元，超过5公里的应对费：1. 2×（5﹣x），因此他应对多少车费：5+1.2（x﹣5）；（2）不够．理由：因为距离为35公里时，5+1.2×（35﹣5）=41，41＞40．因此不够．讲解用时：6分钟解题思路：（1）超过5公里的部分为（x﹣5），依照乘车里程超过5公里的，除了收费5元外超过部分按每公里1.2元计费可列出应对的车费．（2）依照（1）的表达式，将x的值代入即可运算出40元的车费够不够．教学建议：重点分析分段表示代数表达式难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2021课后作业【作业1】多项式3xm+（n ﹣5）x ﹣2是关于x 的二次三项式，则m ，n 应满足的条件是 ．【答案】m=2，n ≠5．【解析】解：∵多项式3xm+（n ﹣5）x ﹣2是关于x 的二次三项式，∴m=2，n ﹣5≠0，即m=2，n ≠5．故答案为：m=2，n ≠5．讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2021【作业2】 已知多项式132543422+-+-xy y x y x(1)那个多项式是几次几项式？(2)那个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？【答案】(1)七次四项式；（2）最高次项是3432y x ，二次项系数为－1，常数项是1.【解析】解：（1）那个多项式是七次四项式；（2）最高次项是3432y x ,二次项系数为－1，常数项是1.讲解用时：3分钟难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2021【作业2】下列图形差不多上由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为 .【答案】24【解析】观看图形得：第1个图形有3+3×1=6个圆圈，第2个图形有3+3×2=9个圆圈，第3个图形有3+3×3=12个圆圈，第n 个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，当n=7时，3×（7+1）=24，讲解用时：5分钟难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2021【作业3】（1）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…(0ab ≠)，其中第7个式子是 ，第n 个式子是 (n 为正整数)．（2）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，如此的帐篷按图②．图③的方式串起来搭建，则串7顶如此的帐篷需要 根钢管. 【答案】（1）720a b -；()n n ab 13n 1--；83. 【解析】(1)由给出的规律可得：第7个式子是720-a b ，第n 个式子是()n n a b 13n 1--； (2)第一个帐篷需要17根钢管，第二个帐篷需要：17+11=28根第三个帐篷需要：17+11+11=39根:因此第7帐篷需要：17+11×6=83根讲解用时：5分钟难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无 年份：2021【作业4】若多项式4123n n x x -++-是三次三项式，求n 的值．【答案】n=1或n=2【解析】解：3n -4=，或31n =+，解得1n =或2n =。
1、整式的概念
个性化辅导教案7、(1)代数式上3222b ab a ++是由几项组成的？系数分别是什么？(2)单项式-4x 的系数是多少？字母指数是几？综合应用专题一、找规律题 （一）、代数式找规律1、观察下列单项式：54325,4,3,2,a a a a a --，…（1）观察规律，写出第2010和第2011个单项式； （2）请你写出第m 个单项式和第n+1个单项式。
（m 为自然数）2、有一个多项式为332456b a b a b a a -+-…，按这种规律写下去，第六项是= ，最后一项是= 。
3、（1）观察一列数2,4,8,16,32，…发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是= ，根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a = ，n a = 。
（2）如果欲求203233331+++++ 的值，可令203233331+++++= S ①，将①式两边同乘以3，得 ，②由②减去①式，得S= ;（3）由上可知，若数列1a ，2a ，3a ，…n a ，n a ，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q ，则n a = ，（用含1a ，q ，n 的代数式表示），如果这个常数q ≠1，那么1a +2a +3a +…+n a = （用含1a ，q ，n 的代数式表示）。
（二）、图形找规律4、用棋子摆成如图所示的“T ”字图案．（1）摆成第一个“T ”字需要 个棋子，第二个图案需要 个棋子；（2）按这样的规律摆下去，摆成第10个“T ”字需要 个棋子，第n 个需要 个棋子．5、如图是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中棋子个数是= ，第n 个“广”字中棋子个数是= 。
6、下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“●”的个数为 ．7、将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有_________ 个小圆； 第n 个图形有_________个小圆.8、观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）A. 22n + B ．44n + C ．44n -D ．4n专题二：综合计算问题 9、若212y xm -与n y x 2-的和是一个单项式，则m= ，n= 。
人教版八年级数学上册 专题复习：整式的运算
专题 整式的运算知 识 点名师点晴整式的有关概念单项式知道单项式、单项式的系数、次数多项式 知道多项式、多项式的项、多项式的次数、常数项.同类项 能够分清哪些项是同类项.整式的运算1.幂的运算能运用幂的运算法则进行同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方运算2.整式的加、减、乘、除法运算法则 能按照运算法则进行整式的加、减、乘、除法运算以及整式的混合运算3.乘法公式能熟练运用乘法公式☞2年中考【2015年题组】 1．（2015北海）下列运算正确的是（ ）A ．3412a b a +=B ．326()ab ab = C ．222(5)(42)3a ab a ab a ab --+=- D ．1262x x x ÷= 【答案】C ． 【解析】试题分析：A ．3a 与4b 不是同类项，不能合并，故错误；B ．3226()ab a b =，故错误； C ．正确；D ．1266x x x ÷=，故错误；故选C ．考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．合并同类项；3．去括号与添括号；4．同底数幂的除法． 2．（2015南宁）下列运算正确的是（ ）A ．ab a ab 224=÷B ．6329)3(x x =C ．743a a a =•D ．236=÷【答案】C ．考点：1．整式的除法；2．同底数幂的乘法；3．幂的乘方与积的乘方；4．二次根式的乘除法． 3．（2015厦门）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）A ．22xy -B ．23xC ．32xyD ．32x【答案】D ． 【解析】试题分析：此题规定了单项式的系数和次数，但没规定单项式中含几个字母．A ．22xy -系数是﹣2，错误；B ．23x 系数是3，错误；C ．32xy 次数是4，错误；D ．32x 符合系数是2，次数是3，正确； 故选D ．考点：单项式．4．（2015厦门）32-可以表示为（ ）A ．2522÷ B ．5222÷ C ．2522⨯ D ．(2)(2)(2)-⨯-⨯-【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．2522÷=252-=2522÷，故正确；B ．5222÷=32，故错误； C ．2522⨯=72，故错误；D ．(2)(2)(2)-⨯-⨯-=3(2)-，故错误；故选A ．考点：1．负整数指数幂；2．有理数的乘方；3．同底数幂的乘法；4．同底数幂的除法． 5．（2015镇江）计算3(2)4(2)x y x y --+-的结果是（ ）A ．2x y -B ．2x y +C ．2x y --D ．2x y -+ 【答案】A ．考点：整式的加减． 6．（2015广元）下列运算正确的是（ ）A ．23222()()ab ab ab -÷=- B ．2325a a a +=C ．22(2)(2)2a b a b a b +-=-D ．222(2)4a b a b +=+【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．23222()()ab ab ab -÷=-，正确；B ．325a a a +=，故错误；C ．22(2)(2)4a b a b a b +-=-，股错误； D ．222(2)44a b a b ab +=++，故错误． 故选A ．考点：1．平方差公式；2．合并同类项；3．同底数幂的除法；4．完全平方公式． 7．（2015十堰）当x=1时，1axb 的值为－2，则11ab a b的值为的值为（ ）A ．﹣16B ．﹣8C ．8D ．16 【答案】A ． 【解析】试题分析：∵当x=1时，1axb 的值为﹣2，∴12a b ++=-，∴3a b +=-，∴11a b a b=（﹣3﹣1）×（1+3）=﹣16．故选A ．考点：整式的混合运算—化简求值．8．（2015黄冈）下列结论正确的是（ ）A ．2232a b a b -= B ．单项式2x -的系数是1-C ．使式子2+x 有意义的x 的取值范围是2x >-D ．若分式112+-a a 的值等于0，则1a =±【答案】B ．考点：1．合并同类项；2．单项式；3．分式的值为零的条件；4．二次根式有意义的条件．9．（2015佛山）若n mx x x x ++=-+2)1()2(，则m n +=（ ） A ．1 B ．﹣2 C ．﹣1 D ．2【答案】C ． 【解析】试题分析：∵(2)(1)x x +-=2+2x x -=2x mx n ++，∴m=1，n=﹣2．∴m+n=1﹣2=﹣1．故选C ．考点：多项式乘多项式． 10．（2015天水）定义运算：a ⊗b=a （1﹣b ）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗（﹣2）=6，②a ⊗b=b ⊗a ，③若a+b=0，则（a ⊗a ）+（b ⊗b ）=2ab ，④若a ⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（ ）A ．①④B ．①③C ．②③④D ．①②④ 【答案】A ．考点：1．整式的混合运算；2．有理数的混合运算；3．新定义． 11．（2015邵阳）已知3a b +=，2ab =，则22a b +的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵3a b +=，2ab =，∴22a b +=2()2a b ab +-=9﹣2×2=5，故选C ．考点：完全平方公式．12．（2015临沂）观察下列关于x 的单项式，探究其规律： x ，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2015个单项式是（ ）A ．2015x2015B ．4029x2014C ．4029x2015D ．4031x2015 【答案】C ． 【解析】 试题解析：系数的规律：第n 个对应的系数是2n ﹣1．指数的规律：第n 个对应的指数是n ．故第2015个单项式是4029x2015．故选C ． 考点：1．单项式；2．规律型． 13．（2015日照）观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b +=++； 33223()33a b a a b ab b +=+++； 4432234()464a b a a b a b ab b +=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++；…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是（ ）A ．36B ．45C ．55D ．66【答案】B ．考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．14．（2015连云港）已知m n mn +=，则(1)(1)m n --= ． 【答案】1．【解析】试题分析：(1)(1)m n --=mn ﹣（m+n ）+1，∵m+n=mn ，∴（m ﹣1）（n ﹣1）=mn ﹣（m+n ）+1=1，故答案为：1．考点：整式的混合运算—化简求值．15．（2015珠海）填空：2+10x x + =2(_____)x +．【答案】25；5． 【解析】试题分析：∵10x=2×5x ，∴2+1025x x +=2(5)x +．故答案为：25；5．考点：完全平方式． 16．（2015郴州）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为 ．【答案】12．考点：1．列表法与树状图法；2．完全平方式． 17．（2015大庆）若若52=na ，162=nb ，则()nab = ．【答案】5±． 【解析】试题分析：∵52=n a ，162=n b ，∴2280n na b ⋅=，∴2()80nab =，∴()n ab =45±5±．考点：幂的乘方与积的乘方．18．（2015牡丹江）一列单项式：2x -，33x ，45x -，57x ，…，按此规律排列，则第7个单项式为 ． 【答案】213x -． 【解析】试题分析：第7个单项式的系数为﹣（2×7﹣1）=﹣13，x 的指数为8，所以，第7个单项式为213x -．故答案为：213x -．考点：1．单项式；2．规律型．19．（2015安顺）计算：201320111(3)()3-⋅-= ．【答案】9．考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．同底数幂的乘法．20．（2015铜仁）请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则6()a b += ．【答案】654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++． 【解析】试题分析：6()a b +=654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++．故本题答案为：654233245661520156a a b a b a b a b ab b ++++++．考点：1．完全平方公式；2．规律型：数字的变化类；3．综合题． 21．（2015南宁）先化简，再求值：(1)(1)(2)1x x x x +-++-，其中12x =．【答案】2x ，1． 【解析】试题分析：先利用乘法公式展开，再合并得到答案，然后把12x =代入计算即可．试题解析：原式=22121x x x -++-=2x ，当12x =时，原式=2×12=1．考点：整式的混合运算—化简求值．22．（2015无锡）计算： （1）02(5)(3)3--+-；（2）2(1)2(2)x x +--． 【答案】（1）1；（2）25x +．考点：1．整式的混合运算；2．实数的运算；3．零指数幂．23．（2015内江）填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ； 3223()()a b a a b ab b -+++= ．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且2n ≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+． 【答案】（1） 22a b -，33a b -，44a b -；（2） nna b -；（3）342． 【解析】试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可； （2）根据（1）的规律可得结果；（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果． 试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -；3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -； 3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；故答案为：22a b -，33a b -，44a b -；（2）由（1）的规律可得：原式=nna b -，故答案为：nna b -；（3）令98732222...222S =-+-+-+，∴987321222...2221S -=-+-+-+-=98732[2(1)](222...2221)3---+-+-+-÷=10(21)3(10241)3341-÷=-÷=，∴S=342． 考点：1．平方差公式；2．规律型；3．阅读型；4．综合题．24．（2015咸宁）（1）计算：128(2)-++-；（2）化简：2232(2)()a b ab b b a b --÷--．【答案】（1）32；（2）22b -．考点：1．整式的混合运算；2．实数的运算；3．零指数幂．25．（2015随州）先化简，再求值：5322(2)(2)(5)3()a a a a b a b a b +-+-+÷-，其中12ab =-．【答案】42ab -，5．【解析】试题分析：利用平方差公式、单项式乘以多项式法则、单项式除法运算，合并得到最简结果，把ab 的值代入计算即可求出值．试题解析：原式=22453a a ab ab -+-+=42ab -，当12ab =-时，原式=4+1=5．考点：整式的混合运算—化简求值．26．（2015北京市）已知22360a a +-=． 求代数式3(21)(21)(21)a a a a +-+-的值．【答案】7． 【解析】试题分析：利用单项式乘以多项式法则、平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．试题解析：∵22360a a +-=，即2236a a +=，∴原式=226341a a a +-+=2231a a ++=6+1=7． 考点：整式的混合运算—化简求值．27．（2015茂名）设y ax =，若代数式()(2)3()x y x y y x y +-++化简的结果为2x ，请你求出满足条件的a 值．【答案】a=﹣2或0．【解析】试题分析：因式分解得到原式=2()x y +，再把当y ax =代入得到原式=22(1)a x +，所以当2(1)1a +=满足条件，然后解关于a 的方程即可．试题解析：原式=2()x y +，当y ax =时，代入原式得222(1)a x x +=，即2(1)1a +=，解得：a=﹣2或0．考点：1．整式的混合运算；2．平方根． 28．（2015河北省）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：（1）求所捂的二次三项式； （2）若16+=x ，求所捂二次三项式的值．【答案】（1）221x x -+；（2）6．考点：整式的混合运算—化简求值．【2014年题组】 1．（2014年百色中考） 下列式子正确的是（ ） A ．（a ﹣b ）2=a2﹣2ab+b2 B ． （a ﹣b ）2=a2﹣b2 C ．（a ﹣b ）2=a2+2ab+b2 D ．（a ﹣b ）2=a2﹣ab+b2 【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．（a ﹣b ）2=a2﹣2ab+b2，故A 选项正确；B ．（a ﹣b ）2≠a2﹣b2，故B 选项错误；C ．（a ﹣b ）2≠a2+2ab+b2，故C 选项错误；D ．（a ﹣b ）2≠a2﹣ab+b2，故D 选项错误；故选A ． 考点：完全平方公式．2.（2014年镇江中考）下列运算正确的是（ ） A.()339x x = B.()332x 6x -=- C.22x x x -= D.632x x x ÷=【答案】A ．考点：1.幂的乘方和积的乘方；2.合并同类项；3.同底幂乘除法． 3.（2014年常州中考）下列运算正确的是（ ）A. 33a a a ⋅=B.()33ab a b = C. ()236a a = D. 842a a a ÷=【答案】C ．【解析】试题分析：根据同底幂乘法，同底幂乘除法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐一计算作出判断： A. 31343a a aa a+⋅==≠，选项错误； B.()3333ab a b a b=≠，选项错误；C.()23326a a a ⨯==，选项正确； D. 848442a a aa a -÷==≠，选项错误.故选C ．考点：1.同底幂乘法；2.同底幂乘除法；3.幂的乘方和积的乘方． 4.（2014年抚顺中考）下列运算正确的是（ ） A ．-2（a-1）=-2a-1B ．（-2a ）2=-2a2C ．（2a+b ）2=4a2+b2 D ． 3x2-2x2=x2 【答案】D ． 【解析】 试题分析：A 、-2（a-1）=-2a+2，故A 选项错误；B 、（-2a ）2=4a2，故B 选项错误；C 、（2a+b ）2=4a2+4ab+b2，故C 选项错误；D 、3x2-2x2=x2，故D 选项正确． 故选D ．考点：1.完全平方公式；2.合并同类项；3.去括号与添括号；4.幂的乘方与积的乘方． 5.（2014年眉山中考）下列计算正确的是（ ）A ．235x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．236()x x =D ．632x x x ÷=【答案】C ．考点：1.同底数幂的除法；2.合并同类项；3.同底数幂的乘法；4.幂的乘方与积的乘方．6.（2014年资阳中考）下列运算正确的是（ ） A ．a3+a4=a7 B ． 2a3•a4=2a7 C ． （2a4）3=8a7 D ． a8÷a2=a4 【答案】B ． 【解析】试题分析：A 、a3和a4不能合并，故A 错误；B 、2a3•a4=2a7，故B 正确；C 、（2a4）3=8a12，故C 错误；D 、a8÷a2=a6，故D 错误；故选B ．考点：整式的运算．7.（2014年镇江中考）化简：()()x 1x 11+-+=．【答案】2x ． 【解析】试题分析：第一项利用平方差公式展开，去括号合并即可得到结果：()()22x 1x 11x 11x +-+=-+=．考点：整式的混合运算．8.（2014年吉林中考）先化简，再求值：x （x+3）﹣（x+1）2，其中x=+1．【答案】x ﹣1；2．【解析】试题分析：先利用整式的乘法和完全平方公式计算，再进一步合并化简，最后代入数值即可． 试题解析：原式=x2+3x ﹣x2﹣2x ﹣1=x ﹣1，当x=2+1时，原式=2+1﹣1=2． 考点：1．整式的运算；2．化简求值．9.（2014年绍兴中考）先化简，再求值：()()()2a a 3b a b a a b -++--，其中1a 1b 2==-，．【答案】a2+b2,54．考点：整式的混合运算—化简求值．10.（2014年杭州中考）设y kx =，是否存在实数k ，使得代数式2222222(x y )(4x y )3x (4x y )--+-能化简为4x ？若能，请求出所有满足条件的k 值，若不能，请说明理由． 【答案】能． 【解析】试题分析：化简代数式，根据代数式恒等的条件列关于k 的方程求解即可 试题解析：∵y kx=，∴222222222222222(x y )(4x y )3x (4x y )(4x y )(x y 3x )(4x y )--+-=--+=-()2222242(4x k x )x 4k =-=-．∴要使代数式22222224(x y )(4x y )3x (4x y )x --+-=，只要()224k1-=．∴24k 1-=±，解得k=±3或k=±5．考点：1. 代数式的化简；2. 代数式恒等的条件；3.解高次方程．☞考点归纳归纳 1：整式的有关概念 基础知识归纳：整式：单项式与多项式统称整式．（1）单项式：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式（单独一个数或字母也是单项式）.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．多项式：几个单项式的和叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项,其中次数最高的项的 次数叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做常数项．2. 同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.基本方法归纳：要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同． 注意问题归纳：1、单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独一个非0数的次数是0；2、多项式的次数是指次数最高的项的次数．3、同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同． 【例1】下列式子中与3m2n 是同类项的是（ ） A.3mn B.3nm2 C.4m D.5n 【答案】B ．考点：同类项． 归纳 2：幂的运算 基础知识归纳：（1）同底数幂相乘：am ·an ＝am ＋n （m ，n 都是整数，a ≠0） （2）幂的乘方：（am ）n ＝amn （m ，n 都是整数，a ≠0） （3）积的乘方：（ab ）n ＝an ·bn （n 是整数，a ≠0，b ≠0） （4）同底数幂相除：am ÷an ＝am －n （m ，n 都是整数，a ≠0） 注意问题归纳：（1）幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；（2）在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理． 【例2】下列运算正确的是（ ）A. 33a a a ⋅= B.()33ab a b = C.()236a a = D. 842a a a ÷=【答案】C ．考点：幂的运算．归纳 3：整式的运算 基础知识归纳：1.整式的加减法:，实质上就是合并同类项 1.整式乘法①单项式乘多项式：m （a ＋b ）＝ma+mb ； ②多项式乘多项式：（a ＋b ）（c ＋d ）＝ac+ad+bc+bd ③乘法公式：平方差公式:（a+b ）（a-b ）=a2-b2；完全平方公式：（a ±b ）2=a2±2ab+b2．3.整式除法：单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．注意问题归纳：注意整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算． 【例3】下列计算正确的是（ ） A ．2x －x ＝x B ．a3·a2＝a6 C ．（a －b ）2＝a2－b2 D ．（a ＋b ）（a －b ）＝a2＋b2 【答案】A ．【解析】A 、原式=x ，正确；B 、原式=x5，错误；C 、原式=a2-2ab+b2，错误；D 、原式=a2-b2，故选A ．考点：整式的运算．【例4】先化简，再求值：()()()22a b a b b a b b +-++-，其中1a =、2b =-．【答案】-1．【解析】原式222222a b ab b b a ab =-++-=+；当1a =、2b =-时，原式()2112121=+⨯-=-=-．考点：整式的混合运算—化简求值．【例5】计算21()(21)(41)2x x x +-÷- 【答案】12．【解析】原式=12（2x+1）（2x ﹣1）÷[（2x ﹣1）（2x+1）]=12．考点：整式的混合运算． ☞1年模拟 1、（2015届云南省剑川县九上第三次统一模拟考试数学试卷）下列运算正确的是（ ）A ．6a ÷2a ＝3aB ．22532a a a -=C ．235()a a a -⋅=D ．527a b ab +=【答案】C ．考点：整式的运算． 2．（2015届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）下列运算正确的是（ ）．A ．623a a a =⋅B ．6223)(b a ab =C ．222)(b a b a -=-D ．235=-a a【答案】B ． 【解析】试题分析：因为32235a a a a +⋅==，所以A 错误；因为6223)(b a ab =，所以B 正确；因为222()2a b a ab b -=-+，所以C 错误；因为532a a a -=，所以D 错误；故选B ．考点：1.幂的运算；2.整式的加减． 3．（2015届重庆市合川区清平中学等九年级模拟联考数学试卷）下列运算正确的是（ ）A ．23a a ⋅＝6aB ．33()y y x x = C ．55a a a ÷= D ．326()a a =【答案】D ．考点：1．同底数幂的除法；2．幂的乘方与积的乘方；3．同底数幂的乘法．4．（2015届云南省腾冲县九年级上学期五校联考摸底考试数学试卷）下列运算正确的是（ ）A ．642a a a =+B ．523)(a a =C ．2328=+D ．222))((b ab a b a b a ---=---【答案】C ．【解析】试题分析：A ．2a 和4a 不能合并，故错误；B ．3265()a a a =≠，故错误；C ．8222232+=+=，故正确；D ．2222()()()a b a b a b a b ---=--=-+，故错误；故选C ．考点：1．二次根式的混合运算；2．整式的混合运算． 5．（2015届山东省日照市中考一模）观察下列各式及其展开式： （a+b ）2=a2+2ab+b2（a+b ）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b ）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b ）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 …请你猜想（a+b ）10的展开式第三项的系数是（ ） A ．36 B ．45 C ．55 D ．66 【答案】B ．考点：完全平方公式．6．（2015届云南省腾冲县九年级上学期五校联考摸底考试数学试卷）若3223y x mm -与3852y x m +-能够进行加减运算，则21m +=_________________； 【答案】－1或9．【解析】试题分析：∵3223y x mm -与3852y x m +-能够进行加减运算，∴2258m m m -=+，即：2340m m --=，解得：1m =-或4m =，①当1m =-时，21m +=－1，②当4m =时，21m +=9．故答案为：－1或9．考点：1、同类项；2、解一元二次方程-因式分解法；3、分类讨论． 7．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）已知a2-2a-3=0，求代数式2a （a-1）-（a+2）（a-2）的值．【答案】7．考点：整式的混合运算—化简求值．7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。
新人教版七年级数学上名师点拨与训练第4章整式的加减小结与复习(2024年版)
新人教版七年级数学上名师点拨与训练第4章整式的加减小结与复习一、知识梳理二、知识点解析（一）整式的相关概念1 .单项式的概念单项式：数或字母的积注：①分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式②“或”单独的一个数字或单独一个字母也称为单项式例：5x；100；x；10ab等系数：单项式中的数字叫做单项式的系数单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和2 .多项式的有关概念1）多项式：几个单项式的和注：和，即减单项式，实际是加该单项式的负数项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式常数项：不含字母的项多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n次，就叫做n次式3 .整式的概念1）整式：单项式与多项式统称为整式。
⎩⎨⎧多项式单项式整式 2）提示：①多项式是由多个单项式构成的；②单项式和多项式的区别在于是否含有加减运算；③分母中含有字母的式子不是整式（因不是单项式或多项式）（二）整式的加减运算1.同类项的概念同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项（即仅系数不同或系数也相同的项2.合并同类项同类项合并的计算方法：系数对应向加减，字母及指数不变。
3.去括号法则（1）括号前是“+”，去括号后，括号内的符号不变（2）括号前是“-”，去括号后，括号内的符号全部要变号。
（3）括号前有系数的，去括号后，括号内所有因素都要乘此系数 4.整式的加减整式的加减运算实际就是合并同类项的过程，具体步骤为： ①将同类项找出，并置与一起； ②合并同类项。
三、题型训练与方法点拨题型1. 单项式的系数、次数及系数次数形成的规律题例1．观察下列关于x 的单项式：2xy ，233x y -，345x y ，457x y -，⋯ (1)直接写出第5个单项式：___________； (2)第20个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为2025的单项式的次数是多少？针对训练12x y ，223x y -，235x y ，247x y -，259x y ，2611x y -，⋯，(1)直接写出：第7个单项式是 ；第8个单项式是 ；(2)第(n n 大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 3．已知()2332mm x y +是关于x ，y 的七次单项式，求231m m -+的值．题型2. 多项式的项、次数、升（降）幂排列例2-1．如果()2352x y m xy ---是关于x 、y 的三次二项式，则m = ．例2-2．已知关于x 、y 的整式()3223222266121ax y x y x y xy a x y bxy +---+-+-中不含三次项，求a 、b 的值，并将整式按y 的升幂排列．针对训练21．多项式333434x y x y x y -+中次数最高的项是 ．2．若多项式()2321221n m x y xy xy π---++是四次三项式，则m n -= ．3．整式2321x y x xy -+-按x 的降幂排列为 ．4．把多项式342127x y xy xy +-+按字母y 升幂排列后，第三项是 ．题型3. 整式的概念、数字、图形规律例3-1．下列代数式中，整式共有（ ） ①2221x y +-；②25πx y +；③216a b -；④542a b x -+．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3-2．下图是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，其中一部分小正方形被涂黑，依此规律，第2023个图案中被涂黑的小正方形个数为（ ）A ．10100B ．10097C ．8080D ．8093针对训练31．下列叙述正确的是（ ） A ．1a ÷是整式B ．22221x x y yx +-+是二次四项式C ．3m n -的各项系数都是13D ．3221x x -+-的常数项是1-2．下列说法中错误的是（ ） A ．单项式是整式B ．231xy x --是三次三项式C ．多项式2354x -的常数项是5-D ．多项式2354x -的常数项是54-3．观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…． 1，4，7，10，13，16，19，22，25，…．（1）第2行数中第n 个数是 ；（用含n 的代数式表示）（2）探索以上两行数发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，则第m 个相同的数是 （用含m 的代数式表示）．4．如图是一组有规律的图案，第1个图案山4个▲组成，第2个图案山7个▲组成，第3个图案由个▲组成，第4个图案由13个▲组成，第5个图案由 个▲组成，…第100个图案由 个▲组成．题型4. 同类项及合并同类项例4-1．下列各组单项式中，不是同类项的是（ ） A ．233x y 与3223y x -B ．2a -与15aC ．3215x y z 与315x yzD ．3-与π2例4-2．如果单项式312m x y +-与432n x y +的和是单项式，那么()2024m n +的值为（ ）A ．22024B ．0C ．1D ．1-针对训练41．若单项式 322m x y -与 3-x y 的差仍是单项式，则m 的值为 ． 2．若单项式422m x y -与28xy 的和是单项式，则m = ．3．已知单项式134b a x y +与单项式625b x y --是同类项，c 是多项式253mn m n ---的次数．(1)a = ，b = ，c = ；(2)若关于x 的二次三项式2ax bx c ++的值是3，求代数式2202426x x --的值．题型5. 去括号与添括号例5-1．下列去括号正确的是（ ） A ．()2121x x --=-- B ．()2121x x --=-+ C ．()2121x x -=-D ．()3133x x -+=-+例5-2．下列添括号正确的是（ ） A ．()a b c a b c -+=-+ B ．()a b c a b c -+=--- C ．()a b c a b c -+=--D ．()a b c a b c -+=+- 针对训练51．下列去括号中正确的（ ） A ．(32)32x y x y ++=+- B ．2222(321)321a a a a a a --+=--+ C ．22(21)21y y y y +--=--D ．22(241)241m m m m ---=-+-题型6. 整式的加减例6．化简： (1)()325+-+x y x y ；(2)()()22224353a b ab ab a b ---+； (3)()()2222222232x x xy y x xy y +-+--+．针对训练61．化简：(1)()()2354x y x y -++(2)()()222245234a b ab a b ab ---2．已知关于x 的多项式A ，B ，其中221A mx x =+-，22B x nx =-+（m ，n 为有理数）． (1)化简2B A -；(2)若2B A -的结果不含x 项和2x 项，求m n -的值．3．已知两个整式A 和B ，237A a ab =-+，2447B a ab =-++． (1)请化简A B -；(2)若1a =-，2b =，则A B -的值为多少？ 4．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)a 0，c b - 0，a b - 0，a bc -- 0； (2)化简a a b c a c b -++++-．5．小亮准备完成题目“化简：(68)(652)x y y x ++-++▲”时，发现系数“▲”印刷不清楚． (1)小亮猜“▲”是3，请你化简：(368)(652)x y y x ++-++．(2)小亮的老师说：“你猜错了，我看到这道题标准答案的化简结果是一个固定的数．”那么原题中的“▲”是几？题型7 整式的化简求值例7．已知22132A x xy y =-+-，2213422B x xy y =-+-． (1)求3A B -；(2)若()2120x y ++-=，求3A B -的值．针对训练71．若关于a b ，的多项式()()222242a ab b a mab b ----+化简后不含ab 项，则m =2．先化简后求值：()()2224612x xy x xy --++-+，其中122x y ==，．3．下面是小乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：()4232mn m m mn --+()4236mn m m mn =--+…第一步4236mn m m mn =--+…第二步105mn m =-．…第三步任务1：填空：①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是______；②以上化简步骤中，第______步开始出现错误，具体错误是______；任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当3m =-，13n =-时该整式的值．4．先化简，再求值：2222213124225223m m n mn n mn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+---- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，其中()2490m m n ++++=．5．已知多项式223A x xy y =++，22B x xy =-． (1)求32A B -的值；(2)若32A B -的值与y 的取值无关，求x 的值．题型8. 整式的加减的应用例8．如图，长为50cm ，宽为cm x 的大长方形被分割为8小块，除阴影A ，B 外，其余6块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为cm a ．(1)由图可知，每个小长方形较长的一边长是 cm （用含a 的式子表示），阴影部分B 的较短的边长是 cm （用含a 、x 的式子表示）(2)当40x =时，求图中两块阴影A ，B 的周长和．针对训练81．如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭及过道，其余部分种植花圃（阴影部分）．(1)用整式表示花圃的面积；a=米，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用．(2)若22．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：一次性购物优惠办法低于200元不予优惠低于500元但不低于200元九折优惠500元或超过500元其中不超过500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠(1)若王老师一次性购物400元，则他实际付款______元；若一次性购物600元，则他实际付款______元．(2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款______元；当x大于或等于500时，他实际付款______（用含x的式子表示）(3)如果王老师两次购物的货款合计820元，第一次购物的货款为a元（200300<<），用含a的代a数式表示王老师两次购物实际付款的钱数．3．按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：A方案：买一个篮球送一条跳绳；B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．x>）．已知要购买篮球50个，跳绳x条（50(1)若按A方案购买，一共需付款元；（用含x的代数式表示），若按B方案购买，一共需付款元；（用含x的代数式表示）x=时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？(2)当150x=时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？(3)当1504．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示：每月用水量单价例如：若某户居民1月份用水38m ，则应收水费：()2648620⨯+⨯-=（元）． (1)若该户居民2月份用水312.5m ，则应收水费 元．(2)若该户居民3月份用水3m a （其中336m 10m a <<），则应收水费多少元？（用含a 的整式表示，并化简）(3)若该户居民4月份用水3m x ，4、5两个月共用水315m ，且5月份用水超过4月份，请用含x 的整式表示4、5两个月共交的水费多少元？新人教版七年级数学上名师点拨与训练第4章 整式的加减 小结与复习一、知识梳理二、知识点解析（一）整式的相关概念1 .单项式的概念 单项式：数或字母的积注：①分母中有字母，那就是字母的商，不是单项式②“或” 单独的一个数字或单独一个字母也称为单项式 例：5x ；100；x ；10ab 等系数：单项式中的数字叫做单项式的系数单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和 2 .多项式的有关概念1）多项式：几个单项式的和 注：和，即减单项式，实际是加该单项式的负数项：每个单项式叫做多项式的项，有几项，就叫做几项式 常数项：不含字母的项多项式的次数：所有项中，次数最高的项的次数就是多项式的次数（最高次数是n 次，就叫做n 次式 3 .整式的概念1）整式：单项式与多项式统称为整式。
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字母表示数一（整式的概念）
【课前热身】列代数式
1、边长为a 的正方形的面积为________，
2、边长为b 的正方体的体积为 ；
3、铅笔的单价是x 元，圆珠笔的单价是铅笔的2.5倍，圆珠笔的单价是 元；
4、一辆汽车的速度是v 千米/小时，行驶t 小时所走的路程是_______千米；
5、设n 是一个数，则它的相反数是________．
【本讲说明】
本讲内容属于 “数与式”领域，是“数与代数”领域的重要内容，本讲内容的编写是在学生已有的字母表示数以及有理数运算的基础上展开的。
本讲的主要内容是单项式、多项式、整式的概念，整式的概念是整式运算的基础，在中考中主要考查单项式的次数、系数；多项式的次数、项数，命题的形式多为填空题和选择题。
【课程引入】
某地区冬季高山上的温度从山脚处开始每升高100米降低0.5℃． （1）如果山脚温度是－10℃，则山上x 米处的温度是多少？
（2）如果山脚处的温度保持不变，那么山上200米、1000米、3000米处的温度各是多少？ 【知识梳理】 1、单项式 单项式：数字或字母的积组成的式子叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
(1)单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
(2)单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
知识延伸：(1)书写含有字母的式子时应注意： ①当数字与字母相乘时，乘号通常省略不写或简写为“· ”，且数字在前，字母在后，若数字是带分数的，要化为假分数；②字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或简写为“· ”；③除法写成分数的形式。
(2)单项式的有关问题：
①单项式的系数包括它前面的符号；②单项式的系数是1或－1时，通常1省略不写，
如－k ，pq 2
等；③单项式的次数仅仅与字母有关，是单项式中所有字母的指数的和，如：单
项式b 的次数是1，而不是0，常数－5的次数是0，而c b a 3
2
4
2的次数是6，与4
2无关；
④要正确区分单项式的次数与单项式中字母的次数，如：q p 2
6的次数是3，其中p 的次数是2；⑤圆周率π是常数。
2、多项式
多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式的项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项。
常数项：多项式中不含字母的项，叫做常数项。
多项式的次数：在多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
知识延伸：(1)多项式的组成元素是单项式，换句话说，若一个代数式中的某一单独的项不是单项式，那么它也就不是多项式；
(2)多项式中含有字母的项是几次就叫几次项，一个多项式含有几项，就叫几项式，若一个多项式有m 项，次数为n ，则这个多项式就叫n 次m 项式。
3、多项式的排列
降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
知识延伸：排列是指按某一个字母的次数排列。
规律方法小结：(1)重新排列多项式时，各项都要带符号移动位置；
(2)对含有两个或两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数排列顺序。
4、整式
单项式和多项式统称整式。
⎪
⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧的和叫做多项式多项式：几个单项式
母也是单项式。
单独的一个数或一个字的式子；由数或字母的乘积组成单项式：整式 知识延伸：因为单项式和多项式都是代数式，所以整式也是代数式，但代数式不一定
是整式。
【典例分析】
【知识点1】用字母表示数
【例题1】列式表示：
(1)一本字典的售价是56元，n 本这样的字典的售价是＿＿＿元； (2)a 的平方的相反数是＿＿＿； 【举一反三】
(1)乙数比甲数小7%，甲数为x ，乙数表示为＿＿＿＿＿；
(2)一个三位数，它的百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字分别为a 、b 、c ，则这个三位数为＿＿＿＿．
(3)一个正方形的周长为c ，则这个正方形的边长为＿＿＿＿． 【知识点2】单项式
【例题2】判断下列各式中哪些是单项式，哪些不是?如果是单项式，请指出它的系数与次数．
23bx -，223x y ，5π，y x -，22
5a b ，12a b -，3235a b -． 【举一反三】 1．在
s
t
b a a ab
c x ab 295.005443、、、、、、、---中，单项式有( ) A .5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个
2．下列说法中正确的是( )
A ．单项式5
22y
x -的系数是－2，次数是3
B ．单项式a 的系数是0，次数是O
C ．单项式
π
x
-的系数是－1，次数是1
D ．单项式232ab -的系数是2
9
-，次数是2
【拓展】单项式5
32b
a π-的系数是____________，次数是______________。
【知识点3】多项式 【例题3】
1、请指出下列式子中的多项式：
（1）3153
2xy x -+；（2）222x y +；（3）2ab a b +；（4）1x y -+；（5）592015ab -；（6）-20．
2、指出下列多项式是几次几项式，并进行降幂排列: (1)1232
-+-x x
(2)2952
3
2
++-xy x x
(3)42
222-+-ab b a b a
(4)14
+x
【举一反三】
1、指出下列多项式的最高次项及其系数和常数项。
(1)x x x 5222
5
-+-
(2)442
3
++--x x x
2、将多项式3
2
2
4a ab b a a +-+分别按a 的升幂和降幂进行排列。
3、多项式()b x x x a b
-+--3
4是关于x 的二次三项式，求a 与b 的差的相反数。
【拓展】已知单项式3
42
1y x -
的次数与多项式22128b a b a a m +++的次数相同，
求m 的值。
【知识点4】整式
【例题4】判断下列各式子是否为整式：
（1）
22217a b c +
；
（2）3
3xy y +； （3）2
7184x y --； （4）5xy ； （5）-35．
【举一反三】下列式子中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式?
xy
π-，3m n +，15-，216a -+，13a b
+，3nx y ，4y x +，0，1
z ．
【知识点5】整体知识的运用 【例题5】
1、已知2321x x +=，求多项式2
647x x +-的值．
【举一反三】
1、已 知
()2
3|+2|=0
a b -+，x 、y 互为相反数，c 、d 互为倒数，求3
443b x y cd --+的值．
2、如果关于x 的多项式42142ax x +-与35b x x +是同次多项式，求321
2342
b b b -++的值．
3、当x =2，y =－2是，382015,mx ny ++=求当x =－4，1
2
y =-时，式子33245018mx ny -+的值．
2、某超市出售一种商品，其原价为每件a 元，现有三种调价方案： （1）先提价20%；再降价20%； （2）先降价 20%，再提价20%； （3）先提价15%，再降价15%． 请分别算出调价后的价
【举一反三】1、—件服装降价10%后卖m 元，则原价为___________
2、某种药品前年的定价是a 元，去年提价20%，今年又降价20%，今年的定价是 元．
【知识点6】用含字母的式子表示变化规律
【例题6】如图，是正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是 ．
【举一反三】
1、观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7，…，将这列数排成下列形式：记ij a 为第i 行第j 列的数，如234a =，那么87a 是 ；2=_______i a ．
2、有足够多的每个面的面积为1cm 2
的小正方体按下图的方式进行组合，则第4个图形的表面积为 cm 2
，如此排下去，第n 个图形表面积为 cm 2
．
【拓展】某汽车行驶时油箱中余油量Q （L ）与行驶时间t （h ）的关系如下表：
（1）用含t 的整式表示Q ；
（2）当1
22
t =时，求Q 的值；
（3）根据所列整式回答：汽车行驶前油箱中有多少升的汽油？ （4）油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时?。