中考数学十大解题思路之反证法
【初中数学】反证法初中数学题解答方法
【初中数学】反证法初中数学题解答方法【初中数学】反证法?初中数学题解答方法
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初中数学
反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反证法是反证法的基础。
为了正确地进行对仗，必须掌握一些常用的相互否定形式，如是/否；在场/缺席；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；小于（大于/小于）；是/否；至少一个/无；至少N/最多（N-1）；最多一个/至少两个；独特/至少两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
上文介绍的反证法的应用。
你熟悉它的应用特点吗？事实上，除了反证法
初中历史
它还为你提供了越来越完整的数学问题分析。
初中数学解题方法：反证法
初中数学解题方法：反证法
数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。
六年级的同学们很快就要小学毕业，中学的大门已经向我们敞开。
为了能进一步学好数学，有必要掌握初中数学的特点尤其是解题方法。
下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。
反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
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中考数学十大题型解题方法之反证法
中考数学十大题型解题方法之反证法
反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种。
反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为（1）反设；（2）归谬；（3）结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n一1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法是一种常用的数学证明方法，它的基本思想是通过假设待证命题的反面，然后推导出矛盾的结论，从而证明待证命题是成立的。
在初中数学中，反证法常常用于解题过程中，它具有简洁明了、直观易懂的特点，能够帮助学生提升数学思维能力和解题能力。
一、直接反证法
直接反证法是最基本的反证法思想，它主要用于证明一些简单的命题。
我们要证明一个命题P成立，可以先假设命题P的反面¬P成立，然后推导出矛盾的结论，从而得出¬P不成立，因此P成立。
在初中数学解题中，直接反证法常常用于证明几何命题。
要证明两条直线平行，可以先假设这两条直线不平行，然后推导出两条直线相交，从而得出矛盾的结论。
这两条直线一定是平行的。
在初中数学解题中，间接反证法常常用于证明一些数学定理。
要证明勾股定理成立，可以先假设勾股定理不成立，然后推导出一个与已知条件和数学推理规律相矛盾的结论，从而得出勾股定理成立。
三、反例法
在初中数学解题中，反例法常常用于证明一些不成立的数学命题。
要证明“所有素数都是奇数”，可以举出反例2，从而说明这个命题不成立。
反证法的十大方法
反证法的十大方法
反证法是一种证明方法，通过反驳假设的逆命题来证明原命题的正确性。
下面是十种常见的反证法：
1. 假设对立命题成立，通过推导证明原命题成立。
2. 假设原命题不成立，通过推导证明对立命题不成立。
3. 假设原命题不成立，找出原命题的推论或假设的矛盾点，推出矛盾。
4. 假设原命题不成立，与已知事实或已有结论相矛盾，证明原命题成立。
5. 假设原命题不成立，找出假设的前提条件不成立，推出矛盾。
6. 假设原命题不成立，从反面证明原命题成立。
7. 假设原命题不成立，找出假设的缺陷或矛盾，推出原命题成立。
8. 假设原命题不成立，通过演绎证明得到矛盾，进而证明原命题成立。
9. 假设原命题不成立，找出假设的结果与实际不符，推出矛盾。
10. 假设原命题不成立，通过对其与其他已知事实或已有结论之间的矛盾进行分析，证明原命题成立。
以上是反证法的十种常见方法，反证法在数学、哲学、逻辑等领域都有广泛的应用，是一种重要的思维工具。
1。
初中数学中的反证法例谈
初中数学中的反证法例谈反证法是数学证明中非常常用的一种方法，在初中数学中也经常会遇到一些需要使用反证法来证明的问题。
以下是几个反证法的例子：1. 证明所有正整数都是奇数或偶数。
假设存在一个既不是奇数也不是偶数的正整数，那么这个正整数既不满足奇数的定义也不满足偶数的定义，与假设矛盾。
因此，所有正整数都是奇数或偶数。
2. 证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，那么可以表示为一个分数，即根号2 =a/b，其中a和b都是整数，且a和b互质。
将这个等式两边平方得2 = a^2 / b^2，即a^2 = 2b^2。
因为2是质数，所以a必须是2的倍数，那么就可以表示为a = 2c（c是整数）。
带入到a^2 =2b^2中得到(2c)^2 = 2b^2，即4c^2 = 2b^2或2c^2 = b^2。
这意味着b也是2的倍数，与a和b互质的条件矛盾。
因此，根号2是无理数。
3. 证明当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。
假设√n是有限循环小数，即可以表示为a/b（a和b都是整数，且a和b互质），那么可以得到n = a^2/b^2。
因为n不是完全平方数，所以a和b必须互质，且a和b至少有一个是奇数。
假设a是奇数，那么a^2是奇数，b^2是偶数，所以a^2/b^2是一个无限不循环小数。
同理，如果b是奇数，也可以推出a^2/b^2是一个无限不循环小数。
因此，当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。
这些例子展示了在初中数学中应用反证法的常见情形，可以巩固理解反证法在解决数学问题时的重要作用。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种证明方法，它通过假设所要证明的结论不成立，然后推出与已知事实相矛盾的结论，从而得出所要证明的结论成立的结论。
在初中数学中，反证法被广泛应用。
它不仅能够帮助学生更加深刻地理解数学概念，还能够提高学生的思维能力和解决问题的能力。
首先，反证法在初中数学中常用于证明某些命题是假的。
比如，我们常常可以用反证法证明一些等式不成立。
例如，我们来看下面这个例子：已知 $a,b,c$ 为正整数，且 $a+b=c$，证明 $a^2+b^2$ 不能被 4 整除。
我们可以用反证法来证明这个命题。
假设 $a^2+b^2$ 能被 4 整除，那么 $a$ 和$b$ 一定都是偶数。
令 $a=2m$，$b=2n$，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，则：$a^2+b^2=4(m^2+n^2)$由于 $a+b=c$，因此：因此，$c$ 也是偶数。
但是，由于 $a,b,c$ 是正整数，因此 $c$ 不能为偶数。
因此，假设不成立，命题得证。
其次，反证法在初中数学中还常用于证明一些命题是正确的。
有时候，我们可以通过假设某些前提不成立，然后推出一个与已知事实不符的结论，从而证明原命题是正确的。
比如，我们来看下面这个例子：对于正整数 $n$，如果 $n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。
由于 $n^2$ 是奇数，因此 $4m^2$ 也是奇数。
但是，我们知道，偶数的平方一定是偶数，因此 $4m^2$ 一定是偶数，与已知事实相矛盾。
因此，可以得出结论：如果$n^2$ 是奇数，则 $n$ 也是奇数。
初中数学反证法简单例子
初中数学反证法简单例子初中数学中的反证法是一种常用的证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题一定成立。
下面我们来列举一些初中数学中常用的反证法的简单例子。
1. 命题：不存在任意两个不相等的正整数，使得它们的和等于它们的积。
假设存在两个不相等的正整数a和b，满足a + b = ab。
由于a和b不相等，不妨设a > b，那么有a > a/2 > b。
根据不等式性质，我们可以得到2a > a + b = ab，即2 > b。
但是正整数b不可能小于2，与假设矛盾。
因此，不存在任意两个不相等的正整数满足该条件。
2. 命题：存在一个无理数x，使得x的平方等于2。
假设不存在这样的无理数x，即对于任意实数x，x的平方不等于2。
那么我们可以考虑一个特殊的实数y，即y = √2。
根据无理数定义，√2不是有理数，因此是一个无理数。
而根据假设，y的平方不等于2，即y^2 ≠ 2。
然而，这与y = √2相矛盾。
因此，存在一个无理数x，使得x的平方等于2。
3. 命题：对于任意正整数n，2n不等于n的平方。
反证法证明：假设存在一个正整数n，使得2n = n^2。
可以将等式两边同时除以n，得到2 = n。
然而，这与n是一个正整数相矛盾。
因此，对于任意正整数n，2n不等于n的平方。
4. 命题：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
反证法证明：假设存在一个正整数n，使得n^2 + 3n + 2 = m^2，其中m是一个正整数。
可以将等式变形为n^2 + 3n + 2 - m^2 = 0。
这是一个关于n的二次方程，可以使用求根公式解得n = (-3 ± √(9 - 8(2 - m^2))) / 2。
由于n是一个正整数，因此根号内的值必须为正整数。
然而，当m取不同的正整数值时，根号内的值不可能为正整数，因此假设不成立。
因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
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中考数学十大解题思路之反证法一、选择题1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A.有一个解B.有两个解 C .至少有三个解D .至少有两个解［答案］C［解析］在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+ 1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”故应选C.2•否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（）A. a、b、c都是奇数 B . a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C. a、b、c都是偶数 D . a、b、c中至少有两个偶数［答案］B［解析］a, b, c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B.3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）A.假设三内角都不大于60° B .假设三内角都大于60 °C.假设三内角至多有一个大于60° D .假设三内角至多有两个大于60°［答案］B［解析］“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B.4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+ bx+ c = 0（a工0）有有理根，那么a, b, c中至少有一个是偶数”下列假设正确的是（)时，A.假设a, b, c都是偶数 B .假设a、b, c都不是偶数C.假设a, b, c至多有一个偶数 D .假设a, b, c至多有两个偶数［答案］B9.用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应先假设（)［解析］"至少有一个”反设词应为"没有一个”，也就是说本题应假设为a, b, c都不是偶数.5.命题“△ ABC中，若/ A>/ B,则a>b”的结论的否定应该是（）A. a<b B . a< b C . a = b D . a> b［答案］B［解析］“a>b”的否定应为“ a = b或a<b”，即a< b.故应选B.6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”,乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A.甲B.乙C.丙D. 丁［答案］C［解析］因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手.故应选C.7.用反证法证明命题三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A.有一个内角大于60°B. 有一个内角小于60°C. 每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°［答案］C［解析］用反证法证明三角形中必有一个内角小于或等于60° ”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60 ° ,即都大于60° .8.用反证法证明命题’一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A.有两个角是直角B. 有两个角是钝角C. 有两个角是锐角D. 一个角是钝角，一个角是直角［答案］A［解析］用反证法证明’一个三角形中不能有两个角是直角”，应先设这个三角形中有两个角是直角.A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一个锐角都大于45°［答案］D［解析］用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°时，应先假设每一个锐角都大于45。
.10.在证明在厶ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中（）A.没有锐角B.都是直角C.最多有一个锐角D.有三个锐角［答案］C［解析］用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，应先假设同一三角形中最多有一个锐角.11.用反证法证明：’一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（）A. —个三角形中至少有两个钝角B. 一个三角形中至多有一个钝角C. 一个三角形中至少有一个钝角D. 一个三角形中没有钝角［答案］A［解析］从结论的反面出发进行假设，证明一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角.12.用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90° ,应先假设（）A.四边形中有一个内角小于90°B.四边形中每一个内角都小于90°C.四边形中有一个内角大于90°D.四边形中每一个内角都大于90°［答案］B［解析］用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°应先假设：四边形中的每个角都小于90 °13 •用反证法证明一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（）A.假设一个三角形中只有一个锐角B.假设一个三角形中至多有两个锐角C.假设一个三角形中没有一个锐角D.假设一个三角形中至少有两个钝角［答案］D［解析］用反证法应先假设一个三角形中最多有一个锐角"或者假设一个三角形中至少有两个钝角.14.用反证法证明命题三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（）9.用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应先假设（)A.三角形中最少有一个角是直角或钝角B.三角形中没有一个角是直角或钝角C.三个角全是直角或钝角D. 三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角［答案］D［解析］假设正确的是：假设三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角.二，填空题1.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________ .［答案］没有一个是三角形或四边形或五边形［解析］“至少有一个”的否定是“没有一个”2•用反证法证明命题“a, b是自然数N, ab可被5整除，那么a, b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是__________________ .［答案］a, b都不能被5整除［解析］“至少有一个”的否定是“都不能”.3•用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①/ A+Z B+Z C= 90° + 90°+/ 0180°,这与三角形内角和为180。
相矛盾，则/ A=Z B= 90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设Z A, / B,Z C中有两个角是直角，不妨设Z A=Z B= 90° .正确顺序的序号排列为______________ .［答案］③①②［解析］由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②•4.若a〃b, b II c, 证明a II c.用反证法证明的第一步是假设a与c不平行5.对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形6.用反证法证明三角形中最多有一个是直角或钝角 ___ ”8.用反证法证明：多边形的内角中锐角的个数最多有三个的第一步应该是: 假设多边形的内角中锐时应假设7.用反证法证明四边形的四个内角不能都是锐角”时，应首先假设四边形的四个内角都是锐角______8.用反证法证明：多边形的内角中锐角的个数最多有三个的第一步应该是: 假设多边形的内角中锐角的个数最少是4个.9•用反证法证明命题三角形中最多有一个是直角”时，可以假设为三角形中最少有两个角是直角•10.用反证法证明在△KBC中，至少有一个内角小于或等于60。
时，第一步是假设SBC中，每一个内角都大于60°•11.用反证法证明命题一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角"的第一步应假设一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角•12.反证法”证明命题等腰三角形的底角是锐角”时，是先假设等腰三角形的两底都是直角或钝角•三、解答题1.已知：a+ b+ c>0, ab+ be + ca>0, abc>0.求证：a>0, b>0, c>0.证明：用反证法：假设a, b, c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0, b<0, c>0，则由a+ b+ c>0,可得c>—(a + b),又a + b<0,二c(a + b)< —(a + b)(a + b)ab+ c(a + b)< —(a + b)(a + b) + ab即ab+ bc + ca<—a —ab —b2 2 2 2 2 2-a >0, ab>0, b>0,.. —a —ab —b = —(a + ab + b )<0 ，即卩ab + bc + ca<0,这与已知ab+ bc+ ca>0矛盾，所以假设不成立.因此a>0, b>0, c>0成立.2•用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角.证明：①设等腰三角形底角/ B，/ C都是直角，则/ B+ / C=180，而/ A+ / B+ / C=180 + / A > 180°这与三角形内角和等于180°矛盾.②设等腰三角形的底角/ B ,ZC都是钝角，则/ B+ / C> 180°而/ A+ / B+ / C=180，这与三角形内角和等于180°矛盾.综上所述，假设①，②错误，所以/ B ,Z C只能为锐角.故等腰三角形两底角必为锐角3.用反证法证明：一条线段只有一个中点.证明：假设线段AB有两个中点M N,不妨设M在N的左边，贝U AMC AN,又AM=AB=AN=AB,这与AMK AN矛盾，\2 M所以一条线段只有一个交点4.用反证法证明："在一个三角形中，外角最多有一个锐角”证明：假设三角形中的外角有两个角是锐角.根据三角形的外角与相邻的内角互补，知：与这两个角相邻的两个内角一定是钝角，大于90 则这两个角的度数和一定大于180度，与三角形的内角和定理相矛盾.因而假设错误.故在一个三角形中，外角最多有一个锐角.。