2020-2021学年北师大版九年级上数学第四章《图形的相似》章末测试(有答案)
新北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》章末复习题含答案解析 (50)
一、选择题1.已知菱形ABCD，E，F是动点，边长为4，BE=AF，∠BAD=120∘，若AF=1，则GFEG= ( )A．13B．4C．12D．12.已知3a=4b，则下列各式成立的是( )A．ab =34B．ab=43C．a−bb=14D．aa+b=373.如图，四个三角形的顶点都在方格的格点上，下列两个三角形中相似的是( )A．①④B．①③C．②③D．②④4.如图，有三个矩形，其中是相似形的是( )A．甲与乙B．甲与丙C．乙与丙D．以上都不对5.如图，CB=CA，∠ACB=90∘，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：① AC=FG；② S△FAB:S四边形CBFG=1:2；③ ∠ABC=∠ABF；④ AD2=FQ⋅AC，其中正确的结论的个数是( )A．1B．2C．3D．4BC，DF=15，则DE等于( )6.如图，l1∥l2∥13，若AB=23A．5B．6C．7D．97.如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，则下列结论：① ∠AME=90∘；② ∠BAF=∠EDB；③ MD=2AM=4EM；MF．④ AM=23其中正确结论的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒√2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点Pʹ．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QPCPʹ为菱形，则t的值为A．√2B．2C．2√2D．39.如图，点E、F分别在矩形ABCD的边DC，BC上，∠AEF=90∘，∠AFB=2∠DAE=72∘，则甲、乙、丙三个三角形中相似的是( )A．只有甲与乙B．只有乙与丙C．只有甲与丙D．甲与乙与丙10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，BD平分∠ABC交AC于点D．若AC=2，则AD的长是( )A．√5−1B．√3−1C．√5−2D．32二、填空题11.在△ABC中，AB=6，AC=9，点D是AB边所在直线上的一点，且AD=2，过点D作DE∥BC，交AC边所在直线于点E，则CE=．12.如图，Rt△ABC中，∠C=90∘C，AC=4，BC=3，点D是AB边上一点（不与A，B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为．13.正方形ABCD的边长AB=2，E是AB的中点，F是BC的中点，AF分别与DE，BD相交于点M，N，则MN的长为．14.在直角△ABC中，∠C=90∘，CB=2√3，AC=4，点D为直线AB上一点，∠BCD=30∘，则线段BD=．15.如图，已知△ABC中，CA=CB=4，∠C=45∘，D是线段AC上一点（不与A，C重合），连接BD，将△ABD沿AB翻折，使点D落在点E处，延长BD与EA的延长线交于点F，若△BEF是直角三角形，则AF的长为．16.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为 1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为平方米．17.如果xx+y =25，那么xy=．三、解答题18.如图，在△ABC中，∠ABC=80∘，∠BAC=40∘，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E．(1) 尺规作图作出AB的垂直平分线DE，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；(2) 证明：△ABC∽△BDC．19.如图，一路灯在距地面6.4m的G点，身高1.6m的小方从距离灯的底部（点O）5m的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3m．求：(1) 小方在A处时的影子AB的长；(2) 小方行走的路程AC．20.如图，点P在平行四边形ABCD的边CD上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．(1) 求证：△DQP∽△CBP．(2) 当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．21.已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，∠BAD=120∘，E为线段BC上的一个动点（不与B，C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G．(1) 如图1，当AE⊥BC时，求线段BE，CG的长度；(2) 如图2，点E在线段BC上运动时，连接DE，DF，△BEF与△CEG的周长之和是否是一个定值？若是请求出定值，若不是请说明理由；(3) 如图2，设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式．22.已知△ABC∽△AʹBʹCʹ，△ABC的最短边长为6cm，最长边长为18cm，△AʹBʹCʹ的最长边长为6cm，求△AʹBʹCʹ的最短边的长．23.如图，已知△ABD∽△ACE，∠ABC=50∘，∠BAC=60∘，求∠AED的度数．24.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90∘，AD=6．BC=3，DE⊥AB于E，AC交DE于F．(1) 求AE⋅AB的值；(2) 若CD=4，求AF的值；FC的值．(3) 若CD=6，过A点作AM∥CD交CE的延长线于M，求MEEC25.如图所示，已知四边形ABCD，AB∥DC，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于E且S△DCE=S△FBE．(1) 求证：△DCE≌△FBE．(2) 若BE是△ADF的中位线，且BE+FB=6cm，求DC+AD+AB的长．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】过点E作EM∥BC交AC于点M，∵∠BAD=120∘，∴∠B=60∘，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∵EM∥BC，∴△AEM是等边三角形，∴EM=AE=3，∵AF∥EM，∴GFEG =AFEM=13．【知识点】平行线分线段成比例定理2. 【答案】B【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算3. 【答案】B【解析】三角形①的边长分别为√10，√5，5；三角形②的边长分别为√5，2√2，√17；三角形③的边长分别为2，√2，√10；三角形④的边长分别为3，√2，√5．三边成比例的是①和③．故选B．【知识点】两边成比例且夹角相等4. 【答案】B【知识点】相似图形的定义5. 【答案】D【解析】∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90∘，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90∘，∵FG⊥CA，∴∠GAF+∠AFG=90∘，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，{∠G=∠C,∠AFG=∠CAD, AF=AD,∴△FGA≌△ACD(AAS)，∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90∘，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90∘，S△FAB=12FB⋅FG=12S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90∘，∴∠ABC=∠ABF=45∘，③正确；∵四边形ADEF为正方形，∴∠ADE=∠QBD=∠E=90∘，∴∠ADC+∠QDB=90∘，∵∠QDB+∠DQB=90∘，∴∠FQE=∠DQB=∠ADC，∵∠E=∠C=90∘，∴△ACD∽△FEQ，∴AC:AD=FE:FQ，∴AD⋅FE=AD2=FQ⋅AC，④正确；或：AD2表示正方形的面积；连接AQ，FQ×AC=FQ×AB=FQ×GF=△AFQ面积的2倍（FQ为底，GF为高）=△AFQ 面积的2倍（AF为底，AD为高）=正方形的面积，∴结论4是对的．【知识点】正方形的性质、两角分别相等6. 【答案】B【解析】因为l1∥l2∥13，AB:BC=2:3，所以DEEF =ABBC=23，所以DE=6．【知识点】平行线分线段成比例定理7. 【答案】B【解析】（1）因为四边形 ABCD 为正方形， 所以 AD =AB =BC ，∠DAE =∠ABF =90∘，因为 E ，F 分别为正方形 ABCD 的边 AB ，BC 的中点， 所以 AE =12AB ，BF =12BC ，所以 AE =BF ，所以 △DAE ≌△ABF (SAS )， 所以 ∠BAF =∠ADE ， 因为 ∠BAF =∠ADE ， 所以 ∠BAF +∠DAM =90∘， 所以 ∠ADE +∠DAM =90∘，所以 ∠AME =∠ADE +∠DAM =90∘， 故①正确．（2）设 AF 与 BD 交于点 N ，正方形 ABCD 的边长为 4，则 AE =BE =BF =2， 所以 DE =AF =√42+22=2√5， 因为 AD ∥BF ， 所以 △BFN ∽△DAN ， 所以 BFAD =FNAN =12， 所以 FN =2√53，AN =4√53， 因为 S △AED =12AD ⋅AE =12DE ⋅AM ， 所以 AM =AD⋅AE DE=2√5=4√55，所以 MN =AF −AM −FN =8√55， 所以 AM ≠MN ， 若 ∠BAF =∠EDB ， 则 ∠ADE =∠EDB ．又因为 DM =DM ，∠DMA =∠DMN =90∘， 所以 △DAM ≌△DNM (ASA )，所以 AM =MN ，不符合题意，故②错误． （3）由（1）知，∠BAF =∠ADE ， 又因为 ∠AME =∠EAD =∠AMD =90∘， 所以 △AME ∽△DMA ∽△DAE ， 所以 EMAM =AMDM =AEAD =12， 所以 AM =2EM ，DM =2AM ，所以 MD =2AM =4EM ，故③正确． （4）由（2）知，AM =4√55，MN =8√515，FN =2√53， 所以 MF =MN +FN =8√515+2√53=6√55，所以 AMMF =23，故④正确．【知识点】两角分别相等、正方形的性质、基本定理8. 【答案】B【解析】连接 PPʹ 交 BC 于 O ． ∵ 四边形 QPCPʹ 为菱形， ∴PPʹ⊥QC ， ∴∠POQ =90∘． ∵∠ACB =90∘， ∴PO ∥AC ， ∴PB AB =BOBC ．设点 Q 的运动时间为 t 秒，则 AP =√2t ，QB =t ， ∴QC =6−t ， ∴CO =3−t2，∵AC =CB =6，∠ACB =90∘， ∴AB =6√2， ∴√2−√2t 6√2=6−(3−t 2)6，解得 t =2．【知识点】平行线分线段成比例定理、菱形9. 【答案】D【解析】在矩形ABCD中，∵∠AFB=2∠DAE=72∘，∴∠DAE=36∘，∠BAF=18∘，∴∠EAF=36∘，∠AED=54∘，又∠AEF=90∘，∴∠FEC=36∘，∴∠DAE=∠EAF=∠CEF=36∘，又∠D=∠AEF=∠C=90∘，∴甲、乙、丙三个三角形相似，应选D．【知识点】两角分别相等10. 【答案】A【解析】∵AB=AC，∠A=36∘，∴∠ABC=∠C=12×(180∘−36∘)=72∘，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36∘，∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠C=72∘，∴DA=DB=BC，∵∠A=∠BDC，∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴CDBC =BCAC，即2−ADAD=AD2，整理得AD2+2AD−4=0，解得AD1=√5−1，AD2=−√5−1（舍去）．【知识点】两角分别相等二、填空题11. 【答案】6或12【知识点】平行线分线段成比例定理12. 【答案】103或54或83【解析】Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，所以AB=√32+42=5，所以△ABC的周长为3+4+5=12，设AD=x，（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE=6−x，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以AD:AB=AE:AC，即x:5=(6−x):4，解得x=103；（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD=5−x，BF=6−(5−x)=1+x，因为DF∥AC，所以△BDF∽△BAC，所以BD:BA=BF:BC，即(5−x):5=(1+x):3，解得x=54；（3）作DG⊥AB，交BC于G，如图3，则AG=6−x，因为∠DAG=∠CAB，∠ADG=∠C=90∘，所以Rt△ADG∽Rt△ACB，所以AD:AC=AG:AB，即x:4=(6−x):5，解得x=83，综上所述，AD的长为103或54或83．【知识点】基本定理、两角分别相等13. 【答案】4√515【解析】∵BF∥AD，∴△BNF∽△DNA，∴BFAD =FNAN，而BF=12BC=1，AF=√5，∴AN=2√53，又∵△DAE≌△ABF(SAS)，∴∠AED=∠BFA，∴△AME∽△ABF，∴AMAB =AEAF，即：AM2=√5，∴AM=2√55，∴MN=AN−AM=2√53−2√55=4√515．【知识点】两角分别相等14. 【答案】23√7或2√7【知识点】两角分别相等、解直角三角形15. 【答案】4√2或4√2−4【解析】①当∠E=90∘时，由折叠性质可知∠ADB=∠E=90∘，如图所示．在△ABC中，CA=CB=4，∠C=45∘，∴∠ABC=∠BAC=12(180∘−∠C)=67.5∘．∵∠BDC=90∘，∠C=45∘，∴△BCD为等腰直角三角形．∴CD=√22BC=2√2，∠DBC=45∘．∴∠EBA=∠DBA=∠ABC−∠DBC=67.5∘−45∘=22.5∘．∴∠EBF=45∘．∴∠F=90∘−45∘=45∘．∴△ADF为等腰直角三角形．∴AF=√2AD=√2(CA−CD)=√2(4−2√2)=4√2−4．②当∠EBF=90∘时，如图所示，由折叠的性质可知∠ABE=∠ABD=45∘，∵∠BAD=∠CAB，∴△ABD∽△ACB．∴ABAC =ADAB．由情况①中的AD=4−2√2，BD=2√2，可得AB=√AD2+BD2=4√2−√2．∴AD=AB2AC =32−16√24=8−4√2．∴CD=AC−AD=4−(8−4√2)=4√2−4．∵∠DBC=∠ABC−∠ABD=22.8∘，∵∠E=∠ADB=∠C+∠DBC=67.5∘，∴∠F=22.5∘=∠DBC．∴EF∥BC．∴△ADF∽△CDB．∴ADCD =AFBC．∴AF=AD⋅BCCD =√2)×44√2−4=4√2．∵∠E=∠BDA=∠C+∠DBC=45∘+67.5∘−∠ABD=112.5∘−∠ABD,∠EBF=2∠ABD，∴∠E+∠EBF=112.5∘+∠ABD>90∘．∴∠F不可能为直角．综上所述，AF的长为4√2或4√2−4．【知识点】两角分别相等、图形成轴对称、基本定理16. 【答案】0.81π【解析】设影子所在圆的半径为R米，根据题意，得2:3=0.6:R，解得R=0.9，所以阴影部分的面积为0.81π平方米．【知识点】相似三角形的应用、中心投影中影子的变化17. 【答案】23【解析】∵xx+y =25，∴x+yx =52，1+yx=52，yx=32，∴xy =23．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算三、解答题18. 【答案】(1) 如图，DE为所求．(2) ∵DE是AB的垂直平分线，∴BD=AD，∴∠ABD=∠A=40∘，∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=80∘−40∘=40∘，∴∠DBC=∠BAC，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC．【知识点】两角分别相等、作线段的垂直平分线19. 【答案】(1) 因为AE⊥OD，OG⊥OD，所以△AEB∽△OGB，所以AEOG =ABBO，即 1.66.4=ABAB+5，解得AB=53m．答：小方在A处时的影子AB的长为53m．(2) 因为沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3m，所以DC=(3+53)m，同理可得△DFC∽△DGO，所以FCOG =CDDO，即 1.66.4=3+53AC+5+3+53，解得AC=9m．答：小方行走的路程AC为9m．【知识点】相似三角形的应用20. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AQ∥BC．∴∠QDP=∠BCP．又∠QPD=∠CPB，∴△DQP∽△CBP．(2) ∵△DQP≌△CBP，∴DP=CP=12CD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=8．∴DP=12CD=4．【知识点】两角分别相等、平行四边形及其性质21. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAD+∠B=180∘，∵∠BAD=120∘，∴∠B=60∘，∵AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠BAE=30∘，AB=6，∴BE=3，AE=3√3，∵EF⊥AB，∴∠BFE=90∘，在Rt△BEF中，∠BEF=30∘，∴BF=12BE=32，EF=3√32，∵S平行四边形ABCD=BC×AE=AB×FG，∴10×3√3=6FG，∴FG=5√3，∴EG=FG−EF=7√32．(2) 如图2，过点A作AH⊥BC于H，∵∠B=60∘，∴BH=3，AH=3√3，∵∠AHB=∠BFE=90∘，∠B=∠B，∴△ABH∽△EBF，∴ABBE =BHBF=AHEF，设BE=a，∴6a =3BF=3√3EF，∴BF=12a，EF=√32a，∵AB∥CD，∴△BEF∽△CEG，∴BFCG =BECE=EFEG，∴12aCG=a10−a=√32aEG，∴CG=12(10−a)，EG=√32(10−a)，∴C△BEF+C△CEG=BE+BF+EF+CE+CG+EG=a+12a+√32a+10−a+12(10−a)+√32(10−a)=10+5+5√3 =15+5√3.(3) 同（2）的方法得，EF=√32x，CG=12(10−x)，∴DG=CD+CG=6+5−12x=11−12x，∴S△DEF=12EF×DG=12×√32x×(11−12x)=−√38x2+11√34(0<x<10).【知识点】两角分别相等、平行四边形及其性质、解析式法22. 【答案】2cm．【知识点】相似三角形的性质23. 【答案】∵∠ABC=50∘，∠BAC=60∘，∴∠ACB=180∘−∠ABC−∠BAC=70∘，∵△ABD∽△ACE，∴ABAC =ADAE，∠BAD=∠CAE，∴ABAD =ACAE，∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴∠AED=∠ACB，∴∠AED=70∘．【知识点】两边成比例且夹角相等24. 【答案】(1) 过点B作BH⊥AD于H，如图1，则有∠AHB=∠BHD=90∘，∵AD∥BC，∠BCD=90∘，∴∠ADC=180∘−∠BCD=90∘，∴∠BHD=∠HDC=∠BCD=90∘，∴四边形BCDH是矩形，∴HD=BC=3，∴AH=AD−HD=6−3=3，∵DE⊥AB即∠AED=90∘，∴∠AED=∠AHB，又∵∠EAD=∠HAB，∴△AED∽△AHB，∴AEAH =ADAB，∴AE⋅AB=AH⋅AD=3×6=18．(2) 延长DE，CB交于点G，如图2，由（1）得：AH=3，AE⋅AB=18，四边形BCDH是矩形，则有BH=CD=4，AB=√AH2+BH2=5，∴AE=18AB =185，EB=5−185=75，∵AD∥GC，∴△AED∽△BEG，∴ADBG =AEEB，∴6BG =187，∴BG=73，∴GC=73+3=163，∵AD∥GC，∴△AFD∽△CFG，∴AFCF =ADCG=6163=98．(3) 延长AB，DC交于点N，如图3，∵AD∥BC，∴△NBC∽△NAD，∴NCND =BCAD，∴NCNC+6=36=12，解得NC=6，∴DN=12，∴AN=√AD2+DN2=6√5，∴DE=AD⋅DNAN =6√5=12√55，∴AE=√AD2−DE2=6√55，∴EN=AN−AE=6√5−6√55=24√55，∴AEEN =14，∵AM∥CD，∴△AEM∽△NEC，∴MECE =AENE=14．【知识点】基本定理、两角分别相等、勾股定理、矩形的判定25. 【答案】(1) ∵AB∥DC，∴∠DCE=∠FBE，∠CDE=∠EFB，∴△DCE:△FBE，∴S△DCES△FBE =(DCFB)2．∵S△DCE=S△FBE，∴(DCFB )2=1，∴DC=FB，∴△DCE≌△FBE．(2) ∵BE是△ADF的中位线，∴BE∥AD，AD=2BE，AB=FB．∵AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD．∵BE+FB=6，∴DC+AD+AB=AB+2BE+AB=2(BE+FB)=12（厘米）．【知识点】一组对边平行且相等、两角分别相等21。
新北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》章末复习题含答案解析 (13)
一、选择题1.如图，DE∥BC，若S ADE:S ABC=4:25，AD=4，则BD的值为( )A．5B．6C．7D．82.如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，连接BD分别交AE，AF于点M，N，下列说法：① ∠EAF=45∘；②连接MG，NG，则△MGN为直角三角形；③ △AMN∽△AFE；√2．④若BE=2，FD=3，则MN的长为52其中正确结论的个数是( )A．4B．3C．2D．13.如图所示的两个三角形相似，则α与β的度数分别为( )A．α=30∘，β=30∘B．α=105∘，β=30∘C．α=30∘，β=105∘D．α=105∘，β=45∘4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CB=7，AC=9，以C为圆心、3为半径作⊙C，PAP+BP的最小值为( )为⊙C上一动点，连接AP，BP，则13A．7B．5√2C．4+√10D．2√135.如图，在△ABC中，AC和AB上的高BD，CE交于点O，下列结论错误的是( )A．CO⋅CE=CD⋅CA B．OE⋅OC=OD⋅OBC．AD⋅AC=AE⋅AB D．CO⋅DO=BO⋅EO6.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1:√2，点A的坐标为(1,0)，则E点的坐标为A．(√2,0)B．(32,32)C．(√2,√2)D．(2,2)7.如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C；直线DF分别交a，b，c于点D，E，F，若ABBC =23,,则DEDF=( )A．23B．25C．35D．328.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿岀随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示，已知小丽同学的身高是 1.54m，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于( )A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m9.下列四条线段中，不能成比例的是( )A．a=4，b=8，c=5，d=10B．a=2，b=2√5，c=√5，d=5C．a=1，b=2，c=3，d=4D．a=1，b=2，c=2，d=410.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于( )A．4B．165C．245D．5二、填空题11.相似多边形的对应边，对应角．12.如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形的面积之和为．13.如图，△ABC是一块正三角形余料，边长为120mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在边BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是mm．14.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD=2，BD=3，则AC的长为．AB，延长CD到F，使DF=DC，15.如图，在平行四边形ABCD中，延长AB到E，使BE=12连接EF交BC于G，交AD于H，则△BEG与△CFG的面积之比是．16.如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12．在Rt△ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放，则最多能叠放个．17.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4√5，D为边AB上一动点（不与点B重合），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为．三、解答题18.某矩形场地长20m，宽16m．(1) 如图①，在场地中央建有一矩形草坪，沿草坪四周外围有x m宽的小路，小路内外边缘所成的矩形相似吗？(2) 如果矩形场地中矩形草坪的变化如图②所示，它们相似吗？(3) 如果变化如图③所示，它们能相似吗？若能相似，求x，y满足的关系；(4) 如果变化如图④所示，矩形ABCD与矩形ADEF能否相似？若能相似，求x的值（其中a>b）．19.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90∘，E为AB的中点．(1) 求证：AC2=AB⋅AD．(2) 求证：CE∥AD．的值．(3) 若AD=4，AB=6，求ACAF20.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．(1) 求证：四边形EFDG是菱形；GF⋅AF；(2) 求证：EG2=12(3) 若AG=6，EG=2√5，求BE的长．21.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，sinB=4，AC=4；D是BC的延长线上一个动点，5∠EDA=∠B，AE∥BC．(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明；(2) 设CD=x，AE=y, 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(3) 当△ADE为等腰三角形时，求AE的长．22.如图在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为(3,4)，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与菱形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．(1) 求点B的坐标；AC时，求t的值；(2) 当MN=12(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数表达式，并确定S的最大值．23.如图，铁道口的栏杆AB的短臂OA=1.25m，长臂OB=16.5m，当短臂端点A下降0.85m时，长臂端点B升高多少？下面是小明的解题过程：“如图，连接AAʹ，BBʹ，∵AO=AʹO，BO=BʹO，∴AOBO =AʹOBʹO．又∠1=∠2，∴△AAʹO∽△BBʹO，有AOBO =AAʹBBʹ，∵AO=1.25，BO=16.5，AAʹ=0.85，∴1.2516.5=0.85BBʹ，解得BBʹ=11.22，即长臂端点B升高了11.22m．”你认为小明的解题过程正确吗？如果不正确，请写出你的答案．24.如图，在矩形ABCD中，已知AD>AB．在边AD上取点E，连接CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．(1) 求证：△AEF∽△DCE．(2) 若AB=3，AE=4，DE=6，求线段BF的长．25.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于O．(1) 求证：△COM∽△CBA；(2) 求线段OM的长度．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(ADAB)2=425，∴ADAB =25，∵AD=4，∴AB=10，∴BD=AB−AD=10−4=6．【知识点】相似三角形的性质2. 【答案】A【解析】①在Rt△ABE和Rt△AGE中，{AB=AG, AE=AE,∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．∴∠BAE=∠GAE，BE=EG，同理，∠GAF=∠DAF，GF=DF，∴∠EAF=12∠BAD=45∘，故①正确；②连将△ADN绕点A顺时针旋转90∘至△ABH位置，得到图②，连接HM，由旋转知：∠BAH=∠DAN，AH=AN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90∘，∵∠EAF=45∘，∴∠BAM+∠DAN=45∘，∴∠HAM=∠BAM+∠BAH=45∘，∴∠HAM=∠NAM，又AM=AM，∴△AHM≌△ANM(SAS)，∴MN=MH∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠ABD=45∘由旋转知：∠ABH=∠ADB=45∘，HB=ND，∴∠HBM=∠ABH+∠ABD=90∘，∴MH2=HB2+BM2，∴MN2=ND2+BM2∵Rt△ABE≌Rt△AGE，∴∠BAM=∠GAM．在△ABM和△AGM中，{AB=AG,∠BAM=∠GAM, AM=AM,∴△ABM≌Rt△AGM(SAS)．∴MG=MB，同理NG=ND，∴MN2=NG2+MG2∴△MGN为直角三角形，故②正确；③ ∵∠AEB+∠BME+∠DBC=180∘，∠AEF+∠AFE+∠EAF=180∘∵∠DBC=∠EAF=45∘，∠AEB=∠AEF，∴∠AFE=∠BME，∴∠AFE=∠AMN，∵∠EAF=∠NAM，∴△AMN∽△AFE，故③正确；④ ∵BE=EG，GF=FD，BE=2，FD=3，∴EF=EG+FG=5，设正方形的边长为a，则EC=a−2，FC=a−3，∵EF2=EC2+FC2，∴52=(a−2)2+(a−3)2，解得a=6，∴AB=AD=6，∴BD=6√2，作AH⊥BD于H，则AH=3√2，∵△AMN∼△AFE，∴MNEF =AHAG，∵AG=AB=6，∴MN5=3√26，∴MN=52√2，故④正确．综上正确结论的个数是4个．【知识点】正方形的性质、两角分别相等【知识点】相似三角形的性质4. 【答案】B【解析】如图，在CA上截取CM，使得CM=1，连接PM，PC，BM，∵PC=3，CM=1，CA=9，∴PC2=CM⋅CA，∴PCCA =CMCP，∵∠PCM=∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴PMPA =PCAC=13，∴PM=13PA，∴13AP+BP=PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM=90∘，CM=1，BC=7，∴BM=√12+72=5√2，∴13AP+BP≥5√2，∴13AP+BP的最小值为5√2．故选：B．【知识点】两边成比例且夹角相等【知识点】两角分别相等6. 【答案】C【解析】∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1:√2，∴OA:OD=1:√2．∵点A的坐标为(1,0)，即OA=1，∴OD=√2．∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=√2．∴E点的坐标为(√2,√2)．【知识点】位似7. 【答案】B【解析】因为ABBC =23，所以ABAC =25，因为a∥b∥c，所以DEDF =ABAC=25．【知识点】平行线分线段成比例定理8. 【答案】B【解析】由题意可知AB=1.5m，BC=0.5m，DC=4m，∴△ABC∽△EDC，∴ABED =BDDC，即 1.5ED=0.54，∴DE=12m．【知识点】相似三角形的应用9. 【答案】C【解析】A、4×10=5×8，能成比例；B、2×5=2√5×√5，能成比例；C、1×4≠2×3，不能成比例；D、1×4=2×2，能成比例．故选C．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算10. 【答案】C【解析】如图，延长CE交AD于F，连接BD．∵∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵∠ACB=90∘，CE为中线，∴CE=AE=BE=2.5，∴∠ACF=∠BAC，又∵∠AFC=∠BCA=90∘，∴△ABC∽△CAF，∴CFAC =ACBA，即CF4=45，∴CF=3.2，∴EF=CF−CE=0.7，由折叠可得，AC=DC，AE=DE，∴CE垂直平分AD，又∵E为AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴BD=2EF=1.4，∵AE=BE=DE，∴∠DAE=∠ADE，∠BDE=∠DBE，又∵∠DAE+∠ADE+∠BDE+∠DBE=180∘，∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=90∘，∴Rt△ABD中，AD=√AB2−BD2=√52−1⋅42=245．【知识点】三角形的中位线、两角分别相等、勾股定理、轴对称的性质、对应边成比例二、填空题11. 【答案】成比例；相等【知识点】相似图形的性质12. 【答案】10.5【知识点】两角分别相等、面积比等于相似比的平方13. 【答案】(240√3−360)【解析】如图，作△ABC的高AD，交PN于点E．因为三角形ABC为正三角形，所以BD=12BC=60mm，由勾股定理得AD=√AB2−BD2=√1202−602=60√3(mm)．设正方形的边长为x mm，则PN=PQ=ED=x mm，所以AE=AD−ED=(60√3−x)mm，因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC，所以PNBC =AEAD，即x120=√3−x60√3，解得x=240√3−360，所以加工成的正方形零件的边长是(240√3−360)mm．【知识点】基本定理14. 【答案】√10【解析】因为BC的垂直平分线MN交AB于点D，所以CD=BD=3，所以∠B=∠DCB，AB=AD+BD=5，因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠DCB=∠B，因为∠A=∠A，所以△ACD∽△ABC，所以ACAB =ADAC，所以AC2=AD×AB=2×5=10，所以AC=√10．【知识点】对应边成比例、垂直平分线的性质、两角分别相等15. 【答案】1:16【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴△BEG∽△CFG，∴S△BEGS△CFG =(BECF)2，∵BE=12AB，CF=2CD=2AB，∴BECF =14，∴S△BEGS△CFG =116．【知识点】基本定理、面积比等于相似比的平方、平行四边形及其性质16. 【答案】22【解析】作CD⊥AB，垂足为D．∵AC=5，BC=12，∠ACB=90∘．∴AB=13．∴CD=12×5÷13=6013≈4.6．∴可以放4层．由题意结合相似三角形的性质得，第一层可放13×(6013−1)÷6013≈10（个）（取整数部分），第二层可放13×(6013−2)÷6013≈7（个）（取整数部分），第三层可放13×(6013−3)÷6013≈4（个）（取整数部分），第四层可放13×(6013−4)÷6013≈1（个）（取整数部分），故一共可放10+7+4+1=22（个）．【知识点】用代数式表示规律、相似三角形的性质17. 【答案】8【知识点】两角分别相等、二次函数的最值三、解答题18. 【答案】(1) ∵AB=CD=20，AD=BC=16，EF=GH=20−2x，EH=FG=16−2x，∴EFAB =20−2x20=1−x10，EHAD=16−2x16=1−x8．∵1−x10≠1−x8，∴EFAB ≠EHAD．∴小路内外边缘所成的矩形不相似．(2) ∵20>16，∴20−x>16−x，∴EF>FG．如果两个矩形相似，那么有EFAB =FGBC，即20−x20=16−x16，解得x=0，不符合题意．∴两个矩形不相似．(3) 能．当20−x20=16−y16时，解得x=54y(0<y<16)．当20−x16=16−y20时，解得y=54x−9(7.2<x<20)．∴当x=54y(0<y<16)或y=54x−9(7.2<x<20)时，两个矩形相似．(4) 假设矩形ABCD与矩形ADEF相似，则DEBC =ADAB，即a−xb=ba，解得x=a2−b2a．∴矩形ABCD与矩形ADEF能相似，x=a2−b2a．【知识点】相似图形的性质、相似图形的定义19. 【答案】(1) ∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90∘，∴△ADC∽△ACB，∴AD:AC=AC:AB，∴AC2=AB⋅AD．(2) ∵E为AB的中点，∴CE=12AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD．(3) ∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD:CE=AF:CF，∵CE=12AB，∴CE=12×6=3，∵AD=4，∴43=AFCF，∴ACAF =74．【知识点】两角分别相等、等腰三角形的性质、基本定理20. 【答案】(1) ∵EG∥DC，∴∠DFA=∠EGF，又∵∠EFA=∠DFA，EG=GD，DF=EF，∴∠EFA=∠EGF，∴EF=EG=FD=GD，∴四边形EFDG是菱形．(2) 连接ED交AF于点H，∵四边形EFDG是菱形，∴DE⊥AF，FH=12GF，∴∠FEH+∠EFH=90∘，∵∠EAF+∠EFA=90∘，∴∠EAF=∠FEH．又∵∠EFH=∠AFE，∴△FEH∽△FAE，∴EFAF =FHEF，即EF2=FH⋅AF，∴EG2=12GF⋅AF．(3) ∵EG2=12GF⋅AF，AG=6，EG=2√5，∴(2√5)2=12GF(6+GF)，∴GF=4，AF=10．∵DF=EG=2√5，∴AD=BC=√AF2−DF2=4√5，DE=2EH=√EG2−(12GF)2=8，∵∠CDE+∠DFA=90∘，∠DAF+∠DFA=90∘，∴∠CDE=∠DAF，∴Rt△ADF∽Rt△DCE，∴ECDF =DEAF，即2√5=810，∴EC=8√55，∴BE=BC−EC=12√55．【知识点】两角分别相等21. 【答案】(1) △ADE∽△DBA．(2) y=x2+16x+3（x>0）．(3) 4或256．【知识点】两角分别相等22. 【答案】(1) 过点C作CH⊥OA于H，如图1所示：∵C(3,4)，∴CH=4，OH=3，∴OC=√42+32=5，∵四边形OABC是菱形，∴CB=OC=5，5+3=8，∴点B的坐标为(8,4)．(2) 分两种情况：①当0≤t≤5时，如图2所示：∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC=5，OC∥AB．∵MN∥AC，∴△OMN∽△OAC，∴MNAC =OMOA．∵MN=12AC，∴OM =12OA ∴OM =52，∴t =52．②当 5≤t ≤10 时，如图 3 所示：设直线 MN 与 OA 交于点 E ，同①可得 AM =52．∵OC ∥AB ，MN ∥AC ，∴∠COA =∠MAE ，∠CAO =∠MEA ， ∴△AEM ∽△OAC ． ∴AE OA=AM OC．∵OC =OA ， ∴AM =AE ， ∴OE =152，∴t =152．综上所述：t =52 或 t =152．(3) 分两种情况：①当 0≤t <5 时（如图 1），S △OAC =12OA ⋅CH =10． ∵△OMN ∽△OAC ， ∴S △OMN S △OAC=(OM OA)2，即S △OMN 10=(t 5)2，∴S =25t 2(0≤t <5)；②当 5≤t ≤10 时，过点 M 作 MT ⊥x 轴于 T ，如图 4 所示： 由 △BMN ∽△AME 可知，MT =45(t −5)，∴S △OMN =S △ONE −S △OME =−25(t −5)2+10． 综上所述：S ={25t 2,0≤t <5−25(t −5)2+10,5≤t ≤10．∴ 当 t =5 时，S 最大值=10．【知识点】两角分别相等、菱形的性质、二次函数的最值、面积比等于相似比的平方、基本定理、平面直角坐标系及点的坐标、对应边成比例23. 【答案】不正确，作AʹC⊥AB，BʹD⊥AB，∴∠AʹCO=∠BʹDO=90∘．又∠1=∠2，∴△OCAʹ∽△ODBʹ，∴AʹCBʹD =AʹOBʹO．∵AʹO=AO=1.25(m)，BʹO=BO=16.5，AʹC=0.85，∴0.85BʹD =1.2516.5，解得BʹD=11.22(m)，即长臂端点B升高了11.22m．【知识点】相似三角形的应用24. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90∘，∴∠AEF+∠F=90∘∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF=180∘−90∘=90∘，∴∠CED=∠F，又∵∠A=∠D=90∘，∴△AFE∽△DEC．(2) ∵△AFE∽△DEC，∴AEDC =AFED，∵AB=CD=3，AE=4，DE=6，∴43=3+BF6，解得BF=5．答：线段BF的长为5．【知识点】两角分别相等、矩形的性质、对应边成比例25. 【答案】(1) ∵A与C关于直线MN对称，∴AC⊥MN，∴∠COM=90∘，在矩形ABCD中，∠B=90∘，∴∠COM=∠B，又∵∠MCO=∠ACB，∴△COM∽△CBA．(2) ∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，∴由勾股定理得AC=10，∴OC=5，∵△COM∽△CBA，∴OCBC =OMAB，即58=OM6，∴OM=154．【知识点】两角分别相等、对应边成比例。
第四章 图形的相似 单元测试卷-2021-2022学年数学九年级上册-北师大版(含答案)
第四章图形的相似单元测试卷-2021-2022学年数学九年级上册-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、下列阴影三角形分别在小正方形组成的网格中，则与左图中的三角形相似的是（）A. B. C. D.2、如图正方形网格上的三角形（1）（2）（3）中与△ABC相似的是（）A.（1）B.（2）C.（3）D.都不与△ABC相似3、下列命题中的真命题是（）A.两边和一角分别相等的两个三角形全等B.正方形不是中心对称图形 C.圆内接四边形的对角互补 D.相似三角形的面积比等于相似比4、如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF∶S△AOB的值为( )A.1∶3B.1∶5C.1∶6D.1∶115、“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，结果会造成很大的误差或错误的成语.现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，眼睛距离目标为200m，步枪上准星宽度AB为2mm，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星1mm，则目标偏离的距离为（）cm．A.25B.50C.75D.1006、如果线段b是线段a，c的比例中项，，那么下列结论中正确的是（）A. B. C. D.7、如图，己知在矩形ABCD中，AB=2，BC=6，点E从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动，点F从点B出发，沿射线AB以每秒3个单位的速度运动，当点E运动到点A时，E、F两点停止运动．连接BD，过点E作EH⊥BD，垂足为H，连接口，交BD于点G，交BC于点旭连接CF．给出下列结论：①△CDE∽△CBF；②∠DBC=∠EFC；③=；④GH的值为定值；上述结论中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.48、如图，在中，，，，点在边上，且，点E为射线上一动点，连接．将沿直线折叠，使点C落在点P处，连接，，则的面积最小值为（）A.3B.6C.D.129、如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是AB上一点，将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F，则下列结论，其中正确的结论有（）①BP＝BF；②若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE ＝16；④在③的条件下，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．A.2个B.3个C.4个D.5个10、如图，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，则FC的长为（）A.11B.12C.13D.1411、下列说法正确的是（）A.所有的矩形都是相似形B.有一个角等于100°的两个等腰三角形相似 C.对应角相等的两个多边形相似 D.对应边成比例的两个多边形相似12、如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连结EB，CA交于点F，则的值为（）A. B. C. D.13、如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A.60 mmB. mmC.20 mmD. mm14、如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E 从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（）A.3秒或4．8秒B.3秒C.4．5秒D.4．5秒或4．8秒15、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连接OE．下列结论：①∠ACD=30°；②S▱ABCD=AC•BC；③OE：AC= ：6；④S△OCF=2S△OEF成立的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB：AC=8：5，则CD：BD=________．17、一把剪刀如图所示，，当手握的地方张开时，剪刀的尖端，两点的距离为________18、已知，则=________。
2020--2021学年北师大版九年级上册数学 第四章 图形的相似 练习三(附答案)
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似习题练习三（附答案）一、选择题1.如图，小亮同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他的身影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A 25米，离路灯B 5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为（）A． 6.4米B． 8米 C． 9.6米D． 11.2米2.如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF的值为（）A． B．C．D．3.已知，则的值是（）A． B．C．D．4.如图，在中，，是斜边上的高，则图中相似三角形有（）A ．对B．对 C．对D．对5.如图，点F，G分别在直线AB，CE上，AE∥FG∥BC，若AB＝3FB，EG＝6，则GC长为（）A． 3 B． C． 2 D．6.如图．位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm，则投影三角形的对应边长为（）A． 8cm B． 20cm C． 3.2cm D． 10cm7.如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB=2a，则BE长为（）A．（√5+1）aB．（√5﹣1）aC．（3﹣√5）aD．（√5﹣2）a8.下列说法中正确的是（）A．两个平行四边形一定相似B．两个菱形一定相似C．两个矩形一定相似D．两个等腰直角三角形一定相似二、填空题9.在中，AD是BC边上的高，，正方形EFGH的顶点E、F分别在AB、AC 上，H、G在BC上．那么正方形EFGH的边长是______．10.在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米．11.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为_____12.如图，l1∥l2∥l3，AB=AC，DF=10，那么DE=_________________.13.如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为_____．14.如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E、F分别是AB，CD的中点．将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比．则a∶b等于________．15.已知（x、y、z均不为零），则_____________．三、解答题16.如图，在中，=8，=4,=6,,是的平分线，交于点,求的长.17.已知△ABC的面积为20cm2，AD为BC边上的高，且AD＝8cm，CD＝2cm，求BD的长度．18.如果，且x＋y＋z＝18，求x，y，z的值．19.方格图中的每个小方格都是边长为1小正方形，我们把小正方形的顶点称为格点，格点连线为边的四边形称为“格点四边形”，图1中的四边形ABCD就是一个格点四边形.（1）小彬在图2的方格图中画了一个格点四边形EFGH.借助方格图回答：四边形ABCD与四边形EFGH相似吗？若相似，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的相似比；若不相似说明理由；（2）请在图3的方格图中画一个格点四边形，使它与四边形ABCD相似，但与四边形ABCD、四边形EFGH都不全等.20.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．答案解析1.【答案】C【解析】本题考查的投影，相应用相似三角形的知识相似三角形对应边成比你来解决。
北师大版九年级数学上册《第四章图形的相似》单元测试(含答案)
第四章 图形的相似第Ⅰ卷 (选择题 共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是( )A ．1 cm ，2 cm ，20 cm ，40 cmB ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmC ．6 cm ，4 cm ，1 cm ，3 cmD ．5 cm ，10 cm ，15 cm ，20 cm2．如图1，两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，若AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，则DF 的长为( )图1A ．4B ．5C ．6D ．73．若a b ＝35，则a ＋b b的值是( )A.58B.35C.85D.324．如图2，△ABC 中，AC ＝BC ，在边AB 上截取AD ＝AC ，连接CD ，若点D 恰好是线段AB 的一个黄金分割点，则∠A 的度数是( )图2A．22.5° B．30° C．36° D．45°5．如图3所示，将△ABO的三边分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是( )A．(－4，－3) B．(－3，－3) C．(－4，－4) D．(－3，－4)图36．如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD的长为( )图4A. 5B.5＋1 C．4 D．2 37．在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图5所示，若点O到AB的距离是18 cm，点O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是AB长的( )图5A ．3倍 B.12C.13D ．不知AB 的长度，故无法判断8．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图6所示的测量方案，把一面很小的镜子水平放置在离树底(B )8.4米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝3.2米，观察者目高CD ＝1.6米，则树(AB )的高度为( )图6A ．4.2米B ．4.8米C ．6.4米D ．16.8米9．如图7，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 边的中点B ′重合，若AB ＝2，BC ＝3，则△FCB ′与△B ′DG 的面积之比为( )A．9∶4 B．3∶2 C．4∶3 D．16∶9图710．如图8，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为1 cm/s，点E的运动速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )图8A．3 s或4.8 s B．3 sC．4.5 s D．4.5 s或4.8 s请将选择题答案填入下表：题号12345678910总分答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图9，D 是等边三角形ABC 中边AB 上的点，AD ＝2，DB ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E ，F 分别在边AC 和BC 上，则CFCE＝________．图912．如图10，△ABC 中，AB ＝6，DE ∥AC ，将△BDE 绕点B 顺时针旋转得到△BD ′E ′，点D 的对应点D ′落在边BC 上．已知BE ′＝5，D ′C ＝4，则BC 的长为________．图1013．若a b ＝c d ＝e f ＝12，则3a －2c ＋e 3b －2d ＋f(3b －2d ＋f ≠0)＝________．14．如图11所示，Rt △DEF 是由Rt △ABC 沿BC 方向平移得到的，若AB ＝8，BE ＝4，DH ＝3，则△HEC 的面积为________．图1115．如图12，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 的同侧，且∠ACD ＝∠B ，CD ＝2，E 是线段BC 延长线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时，线段CE 的长为________．图1216．如图13，直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B ′O ′C ′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B 的对应点B ′的坐标为________．图13三、解答题(共72分)17．(6分)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a ＋43＝b ＋32＝c ＋84，a ＋b ＋c ＝12，试求a ，b ，c 的值，并判断△ABC 的形状．18．(6分)如图14，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3)．(1)以原点O为位似中心，在点O的异侧画出四边形OABC的位似图形四边形OA1B1C1，使它与四边形OABC的相似比是2∶3；(2)写出点A1，B1，C1的坐标；(3)求四边形OA1B1C1的面积．图1419．(8分)已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图15①)或线段AB的延长线(如图15②)于点P.(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ；(2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．图1520．(8分)如图16①，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且AD AB ＝AEAC .(1)求证：DE ∥BC ；(2)如图②，在△ABC 中，D 为边AC 上任意一点，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE 并延长CE 交边AB 于点F ，求证：BF AF ＝CDAC；(3)在(2)的条件下，若AB ＝AC ，AF ＝CD ，求BFAF的值．图1621．(10分)如图17是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D 处竖直立一根木棒CD ，并测得此时木棒的影长DE ＝2.4米；然后，小希在BD 的延长线上找出一点F ，使得A ，C ，F 三点在同一直线上，并测得DF＝2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD＝1.72米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB.图1722．(10分)如图18，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)．(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数表达式；(2)当t为何值时，△POQ与△AOB相似？图1823．(12分)如图19，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点(不与点B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．图1924．(12分)如图20①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似给出“黄金分割线”的定义：一条直线将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线？并证明你的结论；(2)如图③，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边BC 上一点，若直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线，求BE 的长．图20详解详析1．A2．C [解析] ∵两条直线分别被三条平行直线l 1，l 2，l 3所截，∴AB BC ＝DE EF.∵AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，∴EF ＝4，∴DF ＝DE ＋EF ＝2＋4＝6.故选C.3．C4．C [解析] ∵点D 是线段AB 的一个黄金分割点，∴AD 2＝BD ·AB . ∵AD ＝AC ＝BC ，∴BC 2＝BD ·AB ， 即BC ∶BD ＝AB ∶BC .而∠ABC ＝∠CBD ，∴△BCD ∽△BAC ， ∴∠A ＝∠BCD .设∠A ＝x °，则∠B ＝x °，∠BCD ＝x °， ∴∠ADC ＝∠BCD ＋∠B ＝2x °. 而AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ＝2x °， ∴x ＋2x ＋2x ＝180，解得x ＝36， 即∠A ＝36°.故选C.5．A6．B [解析] 由折叠知AF ＝AB ＝2，设AD ＝x ，则FD ＝x －2，EF ＝2，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴EF FD ＝AD AB ，即2x －2＝x 2，解得x 1＝1＋5，x 2＝1－5(不合题意，舍去)，即AD 的长为5＋1.故选B.7．C [解析] 过点O 作OM ⊥AB 于点M ，交CD 于点N ，如图，则OM ＝18 cm ，ON ＝6 cm.∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OAB ，∴CD AB ＝ON OM ＝618＝13，即CD 的长是AB 长的13.故选C.8．A [解析] 如图，过点E 作EF ⊥BD 于点E ，则∠1＝∠2.∵∠DEF ＝∠BEF ＝90°，∴∠DEC ＝∠AEB .∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∴∠CDE ＝∠ABE ＝90°，∴△CDE ∽△ABE ，∴DE BE ＝CDAB.∵DE ＝3.2米，CD ＝1.6米，BE ＝8.4米，∴3.28.4＝1.6AB，解得AB ＝4.2米． 9．D [解析] 本题运用方程思想，设CF ＝x ， 则BF ＝3－x ，易得CF 2＋CB ′2＝FB ′2，即x 2＋12＝(3－x )2，解得x ＝43.由已知可证得Rt △FCB ′∽Rt△B ′DG ，所以S △FCB ′S △B ′DG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CF DB ′2＝169.10．A [解析] 本题运用分类讨论的思想，分△ADE ∽△ABC 和△ADE ∽△ACB 两种情况分别求解．11.54 [解析] ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝AD ＋DB ＝6.由折叠的性质可知∠EDF ＝∠C ＝60°，EC ＝ED ，FC ＝FD ，∴∠AED ＝∠BDF ， ∴△AED ∽△BDF ，∴DF DE ＝BD ＋DF ＋BF AE ＋AD ＋DE ＝108＝54，∴CF CE ＝DF DE ＝54. 12．2＋34 [解析] 由旋转可得BE ＝BE ′＝5，BD ＝BD ′. ∵D ′C ＝4，∴BD ′＝BC －4，即BD ＝BC －4.∵DE ∥AC ，∴BD BA ＝BE BC ，即BC －46＝5BC，解得BC ＝2＋34(负值已舍)，即BC 的长为2＋34.13.12 [解析] 由a b ＝c d ＝e f ＝12，得a ＝12b ，c ＝12d ，e ＝12f ，所以3a －2c ＋e 3b －2d ＋f ＝1.5b －d ＋0.5f3b －2d ＋f ＝12. 14.503 [解析] 设CE ＝x ，由△CEH ∽△CBA ，得EH AB ＝CE CB ，即8－38＝x x ＋4，∴x ＝203，∴S△HEC＝12×203×5＝503.15.43或3 [解析] ∵∠ACD ＋∠DCE ＝∠B ＋∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴∠DCE ＝∠A ，∴∠A 与∠DCE 是对应角，∴△DCE 和△ABC 相似有两种情况：(1)当△BAC ∽△ECD 时，AB CE ＝AC CD ，∴4CE ＝62，∴CE ＝43； (2)当△BAC ∽△DCE 时，AB CD ＝ACCE， ∴42＝6CE，∴CE ＝3. 综上所述，CE 的长为43或3.故答案为：43或3.易错警示△DCE 和△ABC 相似有两种情况，注意不要漏解．16．(4，3)或(－8，－3) [解析] 由直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，得点A (－2，0)，点B (0，1)．画△BOC 的位似图形△B ′O ′C ′如图所示．∵△BOC 与△B ′O ′C ′的相似比为1∶3，∴点B ′(x ，3)或(x ，－3)．∵点B ′(x ，3)或(x ，－3)在直线y＝12x ＋1上，∴点B ′的坐标为(4，3)或(－8，－3)． 故答案为(4，3)或(－8，－3)．17．解：设a ＋43＝b ＋32＝c ＋84＝k (k ≠0)，∴a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8. ∵a ＋b ＋c ＝12，将a ＝3k －4，b ＝2k －3，c ＝4k －8代入上式， 得3k －4＋2k －3＋4k －8＝12， ∴9k ＝27，即k ＝3. ∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.∵b 2＋c 2＝9＋16＝25，a 2＝52＝25， ∴b 2＋c 2＝a 2，∴△ABC 是直角三角形．18．解：(1)如图所示，四边形OA 1B 1C 1即为所求．(2)由图形可得A 1(－4，0)，B 1(－2，－4)，C 1(2，－2)．(3)四边形OA 1B 1C 1的面积为12×2×4＋12×(3＋4)×2＋12×3×2＝14.19．解：(1)证明：∵∠A ＋∠APQ ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°， ∴∠APQ ＝∠C . 在△AQP 和△ABC 中， ∵∠APQ ＝∠C ，∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC .(2)在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AC ＝5. ①当点P 在线段AB 上时． ∵△PQB 为等腰三角形，∴PB ＝PQ . 由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，∴PA AC ＝PQBC，即3－PB 5＝PB 4，解得PB ＝43， ∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；②当点P 在线段AB 的延长线上时． ∵△PQB 为等腰三角形， ∴PB ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P .∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°，∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ， ∴AB ＝BP ，即B 为线段AP 的中点， ∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.20．解：(1)证明：∵∠A ＝∠A ，AD AB ＝AEAC， ∴△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠B ， ∴DE ∥BC .(2)证明：如图，过点D 作DG ∥AB 交CF 于点G ，则△CDG ∽△CAF ，∴DG AF ＝CD AC.∵E 是BD 的中点，∴BE ＝ED . ∵DG ∥AB ，∴∠FBE ＝∠EDG .在△BEF 和△DEG 中，∠FBE ＝∠EDG ，∠FEB ＝∠GED ，BE ＝ED ，∴△BEF ≌△DEG (ASA)，∴BF ＝DG ，∴BF AF ＝CDAC.(3)由(2)可得BF AF ＝CDAC.∵AB ＝AC ，AF ＝CD ，∴BF AF ＝AFAF ＋BF，∴BF 2＋BF ·AF －AF 2＝0，∴(BF AF)2＋BF AF －1＝0，解得BF AF ＝－1±52，而BE AF >0，∴BF AF ＝5－12.21．解：由题意得∠ABD ＝∠CDE ＝90°， ∠ADB ＝∠CED ，∴△CDE ∽△ABD ，∴CD AB ＝DE BD.∵由题意得∠CDF ＝∠ABF ＝90°，∠CFD ＝∠AFB ，∴△CDF ∽△ABF ，∴CD AB ＝DF BF，∴DE BD ＝DF BF，即2.4BD ＝ 2.5BD ＋2.5，∴BD ＝60， ∴1.72AB ＝2.460，∴AB ＝43. 答：小雁塔的高度AB 是43米．22．解：(1)由题意，得BQ ＝t 厘米，OP ＝t 厘米． 因为OB ＝6厘米， 所以OQ ＝(6－t )厘米．所以y ＝12OP ·OQ ＝12t ·(6－t )＝－12t 2＋3t (0≤t ≤6)． (2)当△POQ 与△AOB 相似时，①若OQ OB ＝OP OA ，即6－t 6＝t 12，解得t ＝4； ②若OQ OA ＝OP OB ，即6－t 12＝t 6，解得t ＝2. 所以当t ＝4或t ＝2时，△POQ 与△AOB 相似．23．解：(1)证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°. 又∵∠ADE ＝30°，∴∠B ＝∠ADE .又∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠B ＋∠DAB ，∴∠EDC ＝∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE .(2)如图①，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴∠AFB ＝90°.∵AB ＝2，∠ABF ＝30°，∴AF ＝12AB ＝1， ∴BF ＝3，∴BC ＝2BF ＝23，则CD ＝23－x ，CE ＝2－y .∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD ＝CD CE ，∴2x ＝23－x 2－y ，化简得y ＝12x 2－3x ＋2(0＜x ＜23)．(3)当AD ＝DE 时，如图②，由(1)可知：此时△ABD ∽△DCE ，则AB ＝CD ，即2＝23－x ，x ＝23－2，将其代入y ＝12x 2－3x ＋2，解得y ＝4－23， 即AE ＝4－23；当AE ＝ED 时，如图③，∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°，∴∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°，则DE ＝12CE ，即y ＝12(2－y )，解得y ＝23，即AE ＝23；当AD ＝AE 时，∠AED ＝∠ADE ＝30°，∠EAD ＝120°，此时点D 与点B 重合，不符合题意，故此种情况不存在．综上，当△ADE 是等腰三角形时，AE 的长为4－23或23. 24．解：(1)直线CD 是△ABC 的黄金分割线．证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝36°， ∴∠BDC ＝72°＝∠B ，∠A ＝∠ACD ，∴BC ＝CD ，AD ＝CD ，∴BC ＝AD .∵∠B ＝∠B ，∠BCD ＝∠A ，∴△BCD ∽△BAC ，∴BD BC ＝BC AB ，∴BD AD ＝AD AB. 又∵S △BCD S △ADC ＝BD AD ，S △ADC S △ABC ＝AD AB， ∴S △BCD S △ADC ＝S △ADC S △ABC， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)设BE ＝x ，∵正方形ABCD 的边长为1，∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝12x ，S 正方形ABCD ＝12＝1， ∴S 四边形ADCE ＝1－12x . ∵直线AE 是正方形ABCD 的黄金分割线， ∴S △ABES 四边形ADCE ＝S 四边形ADCE S 正方形ABCD， ∴S 四边形ADCE 2＝S △ABE ·S 正方形ABCD ， 即(1－12x )2＝12x ·1， 整理，得x 2－6x ＋4＝0，解得x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5.∵E 是边BC 上一点，∴x ＜1，∴x＝3－5，∴BE的长为3－ 5.。
2020年秋北师大版九年级上册数学《第4章 图形的相似》单元测试卷(有答案)
2020年北师大版九年级上册数学《第4章图形的相似》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如图，BC∥DE，则下列等式成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．如图所示，图中的三个矩形中相似的是（）A．甲、乙和丙B．甲和乙C．甲和丙D．乙和丙3．如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，连接CM、DM、AC，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．4．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3，AC＝5，A′C′＝15，则A′B′＝（）A．9B．1C．6D．35．若，则的值是（）A．4B．C．D．136．若x、y为非零线段的长，则下列说法错误的是（）A．若＝，则＝B．若＝，则＝C．若＝，则＝D．若2x﹣5y＝0，则＝7．语句：“①所有度数相等的角都相似；②所有边长相等的菱形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的圆都相似”中准确的有（）A．4句B．3句C．2句D．1句8．如图，线段AB∥CD，连结AD，BC交于点O，若CD＝2AB，则下列选项中错误的是（）A．△AOB∽△DOCB．C．D．9．一天晚上，某人在路灯下距灯竿6m远时，他发现他在地面上的影子是3m长，问：当他离灯竿20m远时，他的影子是（）A．9m B．14m C．17m D．10m10．下列3个图形中是位似图形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共10小题）11．已知线段a＝6cm，b＝8cm，则a，b的比例中项x＝．12．如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且AP＝5，BP的垂直平分线分别交AB、DC于E、F，点Q为垂足，则线段EQ：QF的值是．13．设＝，则＝．14．下列图形中是与相似的．（1）（2）（3）（4）15．大正方形的周长是小正方形的周长的2倍，则大正方形的面积是小正方形的倍．16．在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，﹣2），B（0，﹣2），在坐标平面中确定点P，使△AOP与△AOB相似，则符合条件的点P共有个．17．如图，在△ABC中，，，连结AE，D为AB上一点，若△BDE∽△BAC，那么＝．18．以坐标原点O为位似中心作位似图形，并把的边长放大5倍．如果四边形ABCD的坐标A（2，3），B（4，0），C（6，0），D（5，5），那么D点的对应点的坐标是．19．如图，已知点O是△ABC中BC边上的中点，且＝，则＝．20．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连接AC，BC，在AC，BC上分别取其靠近C点的三等分点M，N．量得MN＝38m，则AB的长为m．三．解答题（共7小题）21．如图，已知△ADE∽△ABC，AD＝10cm BD＝5cm，BC＝14cm，∠A＝70°，∠B＝50°（1）求∠ADE大小；（2）求DE的长度．22．若＝，求的值．23．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为边向外作正方形BEDC，连接AE 交BC于F，作FG∥BE交AB于G，求证：FG＝FC．24．观察下列的图形（a）﹣（g），其中哪些是与图形（1）、（2）或（3）相似的．与图形（1）相似的有；（填序号）与图形（2）相似的有；与图形（3）相似的有．25．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，又BD＝3，CE＝2．求证：△ABD∽△BCE．26．如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF．（1）求证：△ABE∽△CDF；（2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长．27．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC＝2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DFEC的面积之比是多少？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．解：A、B、C，都不符合平行线分线段成比例定理；D、＝正确，故选：D．2．解：∵都是矩形，∴所有对应角相等；∵甲与乙：≠，故不相似；甲与丙：，故相似；∴乙与丙也不相似．故选：C．3．解：如图，过点E作HF⊥AB∵AM∥CD，∴∠DCE＝∠EAM，∠CDE＝∠EMA，∴△AME∽△CDE∴AM：DC＝EH：EF＝1：2，FH＝AD＝1∴EH＝，EF＝．∴阴影部分的面积＝S正﹣S△AME﹣S△CDE﹣S△MBC＝1﹣﹣﹣＝．故选：B．4．解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AB：A′B′＝AC：A′C′，∵AB＝3，AC＝5，A′C′＝15，∴3：A′B′＝5：15，解得A′B′＝9．故选：A．5．解：∵，∴设x＝2a，y＝3a、z＝4a，则原式＝＝13，故选：D．6．解：A、若＝，则＝，故此选项正确；B、若＝，则＝，∴＝，＝，∴＝，故此选项正确；C、若＝，则＝，∴＝，故此选项正确；D、若2x﹣5y＝0，则x＝y，∴＝＝，故此选项错误；故选：D．7．解：①角是有公共端点的两条射线组成的图形，只有度数相等，两条射线是可以无限延长的，它们是相似形．所以①正确．②所有菱形的四条边的比相等，但不能判断它们的对应角相等，它们不一定是相似形．所以②不正确．③所以正方形的四个角都是90°，对应边的比都相等，它们是相似形．所以③正确．④圆是以定点为圆心，定长为半径所组成的图形，它们只有大小不同，形状都相同，是相似形．所以④正确．故选：B．8．解：∵AB∥CD，∴∠D＝∠A，∠C＝∠B，∴△AOB∽△DOC，故A正确；∵CD＝2AB，∴＝，故B错误；∴＝，故C正确；∴＝，故D正确．故选：B．9．解：∵设这人的身高为x米，则＝，解得y＝3x，∴离路灯竿20米远时，设影长为zm，则＝，解得z＝10m．故选：D．10．解：根据位似图形的定义可知两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），所以位似图形的是第一个、第二个和第三个．故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2＝6×8，解得x＝±4，（线段是正数，负值舍去）．故答案为：4．12．解：过F作FG⊥AB于G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠ABC＝90°，∴四边形FGBC是矩形，∴FG＝BC，∴FG＝AB，∵EF是BP的垂直平分线，∴∠BQE＝∠FGB，∴∠EFG＝∠ABP，在△ABP与△EFG中，，∴△ABP≌△EFG，∴EF＝BP，∵AB＝8，AP＝5，∴BP＝＝，∴EF＝，∴BQ＝PQ＝，∵∠BQE＝∠A＝90°，∠ABP＝∠QBE，∴△ABP∽△QBE，∴，即，∴EQ＝，∴QF＝EF﹣QE＝，∴EQ：QF＝．故答案为：．13．解：∵＝2﹣＝，∴＝2﹣＝，∴＝；故答案为：．14．解：观察图形，（1）与（4）形状相同，这两个图形中的斜线都是连接在一条直线上的三个正方形的相对的顶点，并且其中一个顶点是单独的一个正方形与成一条直线的三个正方形的公共顶点；（3）是成一条直线的三个三角形中两个正方形的相对顶点的连线；（2）是连接在一条直线上的相对的顶点，并且其中一个顶点是单独的一个正方形与成一条直线的三个正方形的不是公共顶点的连线．∴图形中是（1）与（4）相似的．15．解：∵所有的正方形都相似，大正方形的周长是小正方形的周长的2倍，∴大正方形与小正方形的相似比为2，∴大正方形的面积是小正方形的4倍．故答案为4．16．解：如图所示：使△AOP与△AOB相似，则符合条件的点P共有5个．故答案为：5．17．解：∵△BDE∽△BAC，∴∠BDE＝∠BAC，∴DE∥AC，∴AB：BD＝BC：BE；∵，，∴，设BE＝5λ，则EC＝3λ，，故答案为．18．解：∵以坐标原点O为位似中心作位似图形，并把的边长放大5倍，四边形ABCD中D（5，5），∴D点的对应点的坐标是：（25，25）或（﹣25，﹣25）．故答案为：（25，25）或（﹣25，﹣25）．19．解：过B作BF∥AC，交DE于点F，∵BF∥AC，∴∠FBO＝∠C，∠BFO＝∠CEO，又O为BC的中点，∴BO＝CO，在△OBF和△OCE中，，∴△OBF≌△OCE（AAS），∴BF＝CE，∵＝，∴＝．∵BF∥AE，∴△BDF∽△ADE，∴＝＝．故答案为：．20．解：∵CM：CA＝CN：CB＝1：3∵∠C＝∠C∴△CMN∽△CAB∴MN：AB＝CM：CA＝1：3∵MN＝38m∴AB＝114m故答案是：114．三．解答题（共7小题）21．解：（1）∵△ADE∽△ABC，∠B＝50°，∴∠ADE＝∠B＝50°；（2）∵△ADE∽△ABC，∴，∵AD＝10cmBD＝5cm，BC＝14cm，∴AB＝AD+BD＝15cm，∴，解得：DE＝．22．解：∵＝，∴8x﹣6y＝x﹣y，x＝，∴＝＝．23．证明：∵FG∥BE，∴＝．∵FC∥ED，∴＝．∴＝．又∵EB＝ED，∴FG＝FC．24．解：观察比较图形，根据相似形的定义可知：与图形（1）相似的有a；与图形（2）相似的有d；与图形（3）相似的有g．25．证明：在△ABD和△BCE中，∵＝，＝， ∴＝， ∵AB ＝AC ，∴∠ABD ＝∠C ，∴△ABD ∽△BCE ．26．（1）证明：∵AB ∥DC ，∴∠B ＝∠D ，∵AB ＝2DC ，BE ＝2DF ，∴AB ：DC ＝BE ：DF ＝2，∴△ABE ∽△CDF ；（2）解：∵BE ＝2DF ，DF ＝2，∴BE ＝4，∵BD ＝8，∴EF ＝BD ﹣DF ﹣BE ＝2．27．解：设CE ＝x ，S △BEF ＝a ，∵CE ＝x ，BE ：CE ＝2：1，∴BE ＝2x ，AD ＝BC ＝CD ＝AD ＝3x ；∵BC ∥AD ∴∠EBF ＝∠ADF ，又∵∠BFE ＝∠DFA ；∴△EBF ∽△ADF∴S △BEF ：S △ADF ＝（）2＝（）2＝，那么S △ADF ＝a ． ∵S △BCD ﹣S △BEF ＝S 四边形EFDC ＝S 正方形ABCD ﹣S △ABE ﹣S △ADF ， ∴x 2﹣a ＝9x 2﹣×3x •2x ﹣a ，化简可求出x 2＝a ；∴S △AFD ：S 四边形DEFC ＝a ：（ x 2﹣a ）＝a ： a ＝9：11．。
九年级数学上册第四章《图形的相似》测试卷-北师大版(含答案)
九年级数学上册第四章《图形的相似》测试卷-北师大版（含答案）（满分120分）一、选择题（每题3分，共30分）1.若两个相似三角形的面积之比为4 ：9，则它们对应角的平分线之比为（）A. 49B.32C.23D.622.下列各组线段中，能成比例的是（）A. 1c m，3c m，4c m，6c m，B. 1c m，3c m，4c m，12c m，C. 1c m，2c m，3c m，4c m，D. 2c m，3c m，4c m，5c m，3.下列说法中，正确的是（）A.相似三角形都是全等三角形B.所有的矩形都相似C.所有的等腰三角形都相似D.所有的等腰直角三角形都相似4.如图，DE// BC ，A D = 2BD，下列结论错误的是（）A. A E=2CEB. BC=2DEC. DE：BC=2：3D. C△A D E：C△ABC=2 ：35.在比例尺1：10000的地图上，相距2C m的两地的实际距离是（）A.200c mB.200 d mC.200 mD.200 km6.如图，l//l2//l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，已知32ABBC=，则DEDF的值为（）A. 32B.23.C.25D.357.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）8.△ABC与△DEF相似，且相似比是23.，反之，△DEF与△ABC的相似比是（）A. 23. B.32C.25D.499.如图，由下列条件不能判定△ABC与△A D E相似的是（）A. AE ACAD AB= B.∠B=∠A D EC. AE DEAC BC= D.∠C=∠A E D10.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）A.10米B.12米C.15米D.22.5米二、填空题（每题4分，共28分）。
11.若1a+b,2ab b==则_____________。
新北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》章末练习题含答案解析 (39)
一、选择题1.如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长来计算树的高度．阳光下他测得长1.0m的竹竿落在地面上的影长为0.9m．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长BD为 2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是( )A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m2.如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是( )A．B．C．D．3.已知：a3=b2（a≠0，b≠0），下列变形正确的是( )A．ab =23B．ba=32C．2a=3b D．3a=2b4.如图( )图形是将已知图形按2:1放大后得到的图形．A．A B．B C．C D．D5.如图，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是( )A．B．C．D．6.如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连接AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连接BE，得到四边形ABED．则BE的长是( )A．1B．65C．3215D．1747.如图，在△ABC中，AD，BE分别为边BC，AC上的高，AD与BE交于F，连接DE，则下列结论：① △AEF∽△BDF；② △DEF∽△BAF；③ ∠DEC=∠ABC；④ BD⋅DC=DF⋅DA，其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8.菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：① BF为∠ABE的角平分线；② DF=2BF；③ 2AB2=DF⋅DB；④ sin∠BAE=EFAF．其中正确的为( )A．①③B．①②④C．①④D．①③④9.如图，AB与CD交于点O，若要AC∥DB，只需添加条件( )A．ACBD =OCODB．ACBD=OAOBC．OAOB=OCODD．OAOB=ODOC10.如图，E是四边形ABCD边BC上一点，EA∥CD，ED∥AB，若S△ABE=4，S△DEC=9，则S△AED=( )A．(√3+√2)2B．6C．6.5D．2√6二、填空题11.已知a+bb =52，则ab=．12.如图，在等腰直角△ABC中，AB=4，点D是边AC上一点，且AD=1，点E是AB边上一点，连接DE，以线段DE为直角边作等腰直角△DEF（D，E，F三点依次呈逆时针方向），当点F恰好落在BC边上时，则AE的长是．13.如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球怡好能打过网，且落点怡好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度ℎ为米．14.在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，正方形A1B1C1C的面积为，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，⋯⋯按这样的规律进行下去，正方形A2018B2018C2018C2017的面积为．15.如图，小明站在地面D处，刚好离路灯AB的距离为4米．已知小明身高为1.6米，它的影长CD为2米，那么路灯AB的高为米．16.如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边BʹC交CD边于点G．如果当ABʹ=BʹG时量得AD=7，CG=4，连接BBʹ，CCʹ，那么CCʹBBʹ=．17.如果ab =53，那么a−bb=．三、解答题18.(1) 问题1：如图①，在△ABC中，AB=4，D是AB上一点（不与A，B重合），DE∥BC，交AC于点E，连接CD．设△ABC的面积为S，△DEC的面积为Sʹ．（1）当AD=3时，SʹS=；（2）设AD=m，请你用含字母m的代数式表示SʹS．(2) 问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4，AD∥BC，AD=12BC，E是AB上一点（不与A，B重合），EF∥BC，交CD于点F，连接CE．设AE=n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为Sʹ．请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示SʹS．19.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫做格点，A，B是网格中的两个格点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图：(1) 如图①，请在网格中找出格点P，Q，连接AP，BQ，使得AP∥BQ，并且满足APBQ =23；(2) 如图②，请在线段AB上找出点P，使得APBP =23．20.为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米、宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．(1) 甲同学的方案：如图（1），将视力表挂在墙ABEF和墙ADGF的夹角处，被测试人站立在对角线AC上，问：甲同学的设计方案是否可行？请说明理由．(2) 乙同学的方案：如图（2），将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF米处．(3) 丙同学的方案：如图（3），根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如果大视力表中“E”的长是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的长是多少？21.如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AC．过点A作AE⊥CD，垂足为点E，AE与BD相交于点F．过点C作CG⊥AC，与AE的延长线相交于点G．求证：(1) △ACG ≌△DOA ； (2) DF ⋅BD =2DE ⋅AG ．22. 如图 1，在 △ABC 中，∠ACB =90∘，AC =BC ，点 D 是 AB 边上一点（含端点 A ，B ），过点B 作 BE 垂直于射线 CD ，垂足为 E ，点 F 在射线 CD 上，且 EF =BE ，连接 AF ，BF ．(1) 求证：△ABF ∽△CBE ；(2) 如图 2，连接 AE ，点 P ，M ，N 分别为线段 AC ，AE ，EF 的中点，连接 PM ，MN ，PN ．求 ∠PMN 的度数及MN PM的值；(3) 在（2）的条件下，若 BC =√2，直接写出 △PMN 面积的最大值．23. 如图，在 △ABC 中，∠ACD =∠B ，AD =4，DB =5．(1) 求 AC 的长；(2) 若设 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用 a ，b ⃗ 的线性组合表示向量 CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．24.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．(1) 求证：BE=DF；(2) 当DFFC =ADDF时，求证：四边形BEFG是平行四边形．25.如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD=2，DB=3，AE=4，求AC的长．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】如图，作CE∥BD，交AB于点E，由题意得四边形BDCE是矩形，∴CE=BD=2.7m，BE=CD=1.0m．根据同一时刻物高与影长成正比，得AECE =1.00.9，即AE2.7=1.00.9，解得AE=3.0m，则AB=3.0+1.0=4.0m．【知识点】相似三角形的应用2. 【答案】A【解析】如图，AB=√32+12=√10，AC=√12+12=√2，BC=2．A．∵DE=√12+22=√5，DF=√12+12=√2，EF=1，∴ABDE =ACEF=BCDF=√2，∴△DEF∽△BAC，故A选项正确；B．∵MN=√12+22=√5，MK=√12+12=√2，NK=3，∴ABNK =√103，ACMK=1，BCMN=√5=2√55，∴△MNK与△ABC不相似，故B选项错误；C．∵PQ=√22+22=2√2，PR=√12+22=√5，QR=1，∴ABPQ =√102√2=√52，ACQR=√2，BCPR=2√55，∴△PQR与△ABC不相似，故C选项错误；D．∵GH=√22+32=√13，GL=√12+22=√5，HL=2，∴ABGH =√13013，BCGL=2√55，ACHL=√22，∴△GHL与△ABC不相似，故D选项错误．【知识点】三边成比例3. 【答案】C【解析】∵a3=b2，∴ab =32，故A错；∴ba =23，故B错；∴2a=3b，故C对，D错．故选C．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算4. 【答案】D【解析】原图占2×3格，则放大2倍后图形应该占4×6格．【知识点】相似图形的性质5. 【答案】B【解析】在△ABC中，∠ACB=135∘，AC=2，BC=√2，在A，C，D中的三角形都没有135∘，而在B中，三角形的钝角为135∘，它的两边分别为1和√2，∵√2=√21，∴B中的三角形与△ABC相似．【知识点】两边成比例且夹角相等6. 【答案】A【解析】∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ABC，∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴46=CD 4，∴CD =83，BD =BC −CD =6−83=103，∵∠DAM =∠DAC =∠DBA ，∠ADM =∠ADB ， ∴△ADM ∽△BDA ， ∴AD BD=DM DA，即 83103=DM83，∴DM =3215，MB =BD −DM =103−3215=65，∴∠ABM =∠C =∠MED ， ∴ A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠ADB =∠BEM ，∠EBM =∠EAD =∠ABD ，∴△ABD ∽△MBE ，（不用四点共圆，可以先证明 △BMA ∽△EMD ，推出 △BME ∽△AMD ，推出 ∠ADB =∠BEM 也可以！） ∴ABBM =BDBE ， ∴BE =BM⋅BD AB=65×1034=1．故选：A ．【知识点】对应边成比例、判断四点共圆的方法、两角分别相等7. 【答案】A【解析】 ∵AD ，BE 分别为边 BC ，AC 上的高， ∴∠AEB =∠BDA =90∘， ∵∠BFD =∠AFE ，∴△BDF ∽△AEF ，故①正确； ∵AF BF=FEFD，∵∠AFB =∠DFE ，∴△DEF ∽△BAF ，故②正确﹔ ∴∠BAD =∠FDE ，∴∠BAD +∠ABC =90∘，∠DEC +∠FDE =90∘， ∴∠DEC =∠ABC ，故③正确﹔ ∵∠C =∠C ， ∵△AEF ∽△BDF ， ∴∠DAC =∠FBD ， ∴△FBD ∽△ADC ，∴BD⋅DC=DF⋅DA，故④正确．【知识点】两边成比例且夹角相等8. 【答案】D【解析】① ∵四边形ABCD是菱形，∴BF为∠ABE的角平分线，故①正确；②连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD，∴当∠ABC=60∘时，△ABC是等边三角形，即AB=AC，则DF=2BF，∵∠ABC的度数不定，∴DF不一定等于2BF，故②错误；③ ∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE⊥AD，∴∠FAD=90∘，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=12DB，AD=AB，∴∠AOD=∠FAD=90∘，∵∠ADO=∠FDO，∴△AOD∽△FAD，∴AD:DF=OD:AD，∴AD2=DF⋅OD，∴AB2=DF⋅12DB，即2AB2=DF⋅DB，故③正确；④连接CF，在△ABF和△CBF中，{AB=CB,∠ABF=∠CBF, BF=BF,∴△ABF≌△CBF(SAS)，∴∠BCF=∠BAE，AF=CF，在Rt△EFC中，sin∠ECF=EFCF =EFAF，∴sin∠BAE=EFAF，故④正确．【知识点】两角分别相等、正弦、菱形的性质9. 【答案】C【解析】如图．∵OAOB =OCOD，∴AC∥DB．【知识点】平行线分线段成比例定理10. 【答案】B【解析】∵EA∥CD，ED∥AB，∴∠DEC=∠B，∠AEB=∠C，∴△AEB∽△DCE，∴S△ABES△DEC =(AEDC)2=49，∴AEDC =23，又△AED和△DEC以AE，DC为底边，底相等，∴S△AEDS△DEC =AEDC=23，∴S△AED=23S△DEC=23×9=6．【知识点】两角分别相等、面积比等于相似比的平方二、填空题11. 【答案】32【解析】由分比性质，得a+b−bb =5−22，即ab =32．【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算12. 【答案】32或2【解析】分两种情况：① 当∠DEF=90∘时，如图1所示：∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∴AC=AB=4，∠B=∠C=∠EFD=∠EDF=45∘，BC=√2AB=4√2，DF=√2EF，∵AD=1，∴CD=AC−AD=3，∵∠EFC=∠EFD+∠CFD=∠B+∠BEF，∴∠CFD=∠BEF，∴△CDF∽△BFE，∴CFBE =CDBF=DFEF=√2，∴BF=√2=√2=32√2，∴CF=BC−BF=4√2−32√2=52√2，∴BE=√2=52，∴AE=AB−BE=32；②当∠EDF=90∘时，如图2所示：同①得：△CDF∽△BFE，∴CFBE =CDBF=DFEF=√2，∴BF=√2CD=3√2，∴CF=BC−BF=4√2−3√2=√2，∴BE=√2CF=2，∴AE=AB−BE=2；综上所述，AE的长是32或2；故答案为：32或2．【知识点】勾股定理、两角分别相等13. 【答案】1.4【解析】由题意得，44+3=0.8ℎ，解得ℎ=1.4．【知识点】相似三角形的应用14. 【答案】454； 5×(94)2018【解析】 ∵ 点 A 的坐标为 (1,0)，点 D 的坐标为 (0,2)． ∴OA =1，OD =2，在 Rt △AOD 中，AD =√OA 2+OD 2=√12+22=√5， ∴ 正方形 ABCD 的面积为：(√5)2=5； ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴AD =AB ，∠DAB =∠ABC =∠ABA 1=90∘=∠DOA ， ∴∠ADO +∠DAO =90∘，∠DAO +∠BAA 1=90∘， ∴∠ADO =∠BAA 1， ∵∠DOA =∠ABA 1， ∴△DOA ∽△ABA 1， ∴OD AB=OAA 1B，即√5=1A 1B．∴A 1B =√52． ∴A 1C =A 1B +BC =3√52， ∴ 正方形 A 1B 1C 1C 的面积为：(3√52)2=454；∵ 第 1 个正方形 ABCD 的面积为：5； 第 2 个正方形 A 1B 1C 1C 的面积为：454=94×5；同理可得：第 3 个正方形 A 2B 2C 2C 1 的面积为：94×94×5=(94)2×5， ⋯⋯则正方形 A 2018B 2018C 2018C 2017 的面积为：5×(94)2018．【知识点】正方形的性质、两角分别相等15. 【答案】 4.8【解析】由题意可得：△ABC ∽△EDC ， 则 DEAB =CDBC ，因为 BD =4 m ，DC =2 m ，DE =1.6 m ， 所以 1.6AB =22+4， 解得：AB =4.8．【知识点】相似三角形的应用16. 【答案】√745【解析】连接AC，AG，ACʹ，由旋转可得，易证△ABBʹ∽△ACCʹ，∴CCʹBBʹ=ACAB，∵ABʹ=BʹG，∴△ABʹG是等腰直角三角形，设AB=ABʹ=x，则AG=√2x，DG=x−4，∴72+(x−4)2=(√2x)2，解得x=5，∴AB=5，AC=√74，∴CCʹBBʹ=ACAB=√745．【知识点】两边成比例且夹角相等17. 【答案】23【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算三、解答题18. 【答案】(1) （1）316（2）解法一：∵AB=4，AD=m，∴BD=4−m，又∵DE∥BC，∴CEEA =BDDA=4−mm，∴S△DECS△ADE =4−mm，又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(m4)2=m216，∴S△DECS△ABC =S△DECS△ADE×S△ADES△ABC=4−mm×m216=−m2+4m16，即SʹS=−m2+4m16．(2) 解法一：如图2，分别延长BA，CD，相交于点O．∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC，∴OAOB =ADBC=12，∴OA=AB=4，∴OB=8，∵AE=n，∴OE=4+n，∵EF∥BC，由问题1的解法可知，S△CEFS△OBC =S△CEFS△OEF×S△OEFS△OBC=4−n4+n×(4+n8)2=16−n264，∵S△OADS△OBC =(OAOB)2=14，∴S四边形ABCDS△OBC=34，∴S△CEFS四边形ABCD =S△CEF34S△OBC=43×16−n264=16−n248，即SʹS=16−n248．【解析】(1) （2）解法二：如图1，过点B作BH⊥AC，垂足为H，过点D作DF⊥AC，垂足为F．则DF∥BH，∴△ADF∽△ABH，∴DFBH =ADAB=m4，∵DE∥BC，∴CECA =BDBA=4−m4，∴S△DECS△ABC =12CE⋅DF12CA⋅BH=4−m4×m4=−m2+4m16，即SʹS=−m2+4m16．(2) 解法二：如图3，连接AC交EF于M，∵AD∥BC，且AD=12BC，∴S△ADCS△ABC =12，∴S△ADC=13S，S△ABC=23S．由问题1的结论可知，S△EMCS△ABC =−n2+4n16，∴S△EMC=−n2+4n16×23S=−n2+4n24×S，∵MF∥AD，∴△CFM∽△CDA，∴S△CFMS△CDA =S△CFM13S=3×S△CFMS=(4−n4)2，∴S△CFM=(4−n)248×S，∴S△EFC=S△EMC+S△CFM=−n2+4n24×S+(4−n)248×S=16−n248×S,∴SʹS =16−n248．【知识点】相似三角形的性质、基本定理19. 【答案】(1) 线段PA，BQ如图所示（答案不唯一）．(2) 取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求．【知识点】内错角、两角分别相等20. 【答案】(1) 甲生的设计方案可行．根据勾股定理，得AC2=AD2+CD2=3.22+4.32=28.73．∴AC=√28.73>√25=5．∴甲生的设计方案可行．(2) 1.8(3) ∵FD∥BC，∴△ADF∽△ABC．∴FDBC =ADAB，即FD3.5=35．∴FD=2.1(cm)．故小视力表中相应“E”的长是2.1cm．【知识点】相似三角形的应用、勾股定理的实际应用21. 【答案】(1) ∵在菱形ABCD中，AD=CD，AC⊥BD，OB=OD，∴∠DAC=∠DCA，∠AOD=90∘，∵AE⊥CD，CG⊥AC，∴∠DCA+∠GCE=90∘，∠G+∠GCE=90∘，∴∠G=∠DCA，∴∠G=∠DAC，∵BD=2AC，BD=2OD，∴AC=OD，在△ACG和△DOA中，{∠G=∠DAO,∠ACG=∠AOD, AC=OD,∴△ACG≌△DOA(AAS)．(2) ∵AE⊥CD，BD⊥AC，∴∠DOC=∠DEF=90∘，又∵∠CDO=∠FDE，∴△CDO∽△FDE，∴CDDF =ODDE，即得OD⋅DF=DE⋅CD，∵△ACG≌△DOA，∴AG=AD=CD，又∵OD=12BD，∴DF⋅BD=2DE⋅AG．【知识点】菱形的性质、两角分别相等22. 【答案】(1) 如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90∘，EF=EB，∠BEF=90∘，∴∠CBA=∠EBF=45∘，AB=√2BC，BF=√2BE，∴∠CBE=∠ABF，ABBC =BFBE=√2，∴△ABF∼△CBE．(2) 如图2中，延长PM交AF于T．∵BE⊥CF，∴∠CEB=90∘，∵△ABF∽△CBE，∴∠CEB=∠AFB=90∘，AFEC =ABBC=√2，∴AF=√2EC，∵∠EFB=45∘，∴∠AFC=45∘，∵AP=PC，AM=ME，∴PT∥CF，PM=12EC，∵AM=ME，EN=NF，∴MN∥AF，MN=12AF，∴四边形MNFT是平行四边形，MN=√2PM，∴∠TMN=∠AFC=45∘，∴∠PMN=135∘，∴MNPM=√2．(3) 14【解析】(3) ∵MN=√2PM，∠PMN=135∘，PM=12EC，∴当EC的值最大时，PM的值最大，此时△PMN的面积最大，∵当点E与B重合时，EC的值最大，EC的最大值为√2，此时PM=√22，MN=√2PM=1，∴△PMN的面积的最大值为12×√22×1×√22=14．【知识点】直角三角形面积公式、三角形的中位线、两边成比例且夹角相等、对应边成比例、平行四边形的判定、勾股定理23. 【答案】(1) AC =6．(2) CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =59a +49b ⃗ ． 【知识点】向量的线性组合、两角分别相等24. 【答案】(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AB =AD ，∠ABC =∠ADF ，∵∠BAF =∠DAE ，∴∠BAF −∠EAF =∠DAE −∠EAF ，即：∠BAE =∠DAF ，∴△BAE ≌△DAF ，∴BE =DF ．(2) ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴△ADG ∽△EBG ．∴AD BE =DG BG ．又 ∵BE =DF ，DF FC =AD DF ，∴DG BG=AD DF =DF FC ． ∴DG DB =DF DC ，又 ∠BDC =∠GDF ，故 △BDC ∽△GDF ，再由对应角相等有 ∠DBC =∠DGF ，∴GF ∥BC （同位角相等则两直线平行），∴∠DGF =∠DBC ，∵BC =CD ，∴∠BDC =∠DBC =∠DGF ．∴GF =DF =BE ．∵GF ∥BC ，GF =BE ，∴ 四边形 BEFG 是平行四边形．【知识点】菱形的性质、一组对边平行且相等、两边成比例且夹角相等25. 【答案】 ∵DE ∥BC ，∴AD DB =AE EC ，即 23=4EC ，∴EC =6．∴AC =AE +EC =10．【知识点】平行线分线段成比例定理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章《图形的相似》章末测试
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1、已知点P 在线段AB 上,且AP ∶PB=2∶3,那么AB ∶PB 为 ( )
A. 3∶2
B. 3∶5
C. 5∶2
D. 5∶3
2、下列各组图形一定相似的是 ( )
A. 两个菱形
B. 两个矩形
C. 两个直角梯形
D. 两个正方形
3、已知y x =5
3,那么下列等式中,不一定正确的是 ( ) A. 5x=3y B. x+y=8 C.y y x +=5
8 D.y x =53++y x 4、如图,已知四边形ABCD 中,E 、F 分别为AB 、CD 上的两点,且AD ∥BC ∥EF,AB=4BE,则DF 与FC 的关系是 ( )
A. DF=4FC
B. DF=3FC
C. DF=3
5FC D. DF=2FC 5、如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠ADC>∠C,在∠ADC 内作∠ADF=∠C,DF 交AB 于E,交CB 的延长线于F,则图中与△BEF 相似的三角形有 ( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
6、如图,DE ∥BC,CD 与BE 相交于点O,若=41,则AC AE 的值为 ( )
7、如图,A,B,C,D,E,G,H,M,N 都是方格纸中的格点(即小正方形的顶点),要使△DEF 与△ABC 相似,则点F 应是G,H,M,N 四点中的 ( )
A. H 或N
B. G 或H
C. M 或N
D. G 或M
8、在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:甲:将边长为3、4、5的三角形按图①的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距均为1,则新三角形与原三角形相似.乙:将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.对于两人的观点,下列说法正确的是 ( )
A. 两人都对
B. 两人都不对
C. 甲对,乙不对
D. 甲不对,乙对
9、如图,在四边形ABCD 中,BD 平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E 为BC 的中点,AE 与BD 相交于点F.若BC=4,∠CBD=30°,则DF 的长为 ( )
A.
532 B. 332 C. 433 D. 534 10、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,DE 垂直平分AB,交BC 的延长线于点E,则CE 的长为( )
A. 23
B. 67
C. 6
25 D. 2 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11、如图,在△ABC 中,DE ∥BC,BC DE =2
3,△ADE 的面积是8,则△ABC 的面积为 .
12、已知a,b,c,d 是成比例线段,即
b a =d
c ,其中a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm,则d= cm. 13、若b b a 2-=35,则b
b a += . 14、图是一种贝壳的俯视图,点C 分线段AB 近似于黄金分割.已知AB=10cm,则AC 的长约为 cm.(结果精确到0.1cm)
15、有一个大矩形和一个小矩形,它们是位似图形,若大矩形的周长是小矩形周长的2倍,小矩形的面积为5 cm2,大矩形的长为5 cm,则大矩形的宽为 cm.
16、如图,某小区门口的栏杆从水平位置AB 绕固定点O 旋转到位置DC,已知栏杆AB 的长为3.5米,OA 的长为3米,点C 到AB 的距离为0.3米,支柱OE 的高为0.6米,那么栏杆端点D 离地面的距离为 米.
17、如图,在 中,AB=6 cm,AD=9 cm,∠BAD 的平分线交BC 于点E,交DC 的延长线于点F,BG ⊥AE,垂足为G,BG=42cm,则EF+CF 的长为 cm.
18、如图,在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,∠DCA=30°,AC=3,AD=
37,则BC 的长为 .
三、解答题(共46分)
19、(8分)方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度,△OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示,解答问题:
(1)请按要求对△OAB 作变换:以点O 为位似中心,相似比为2∶1,将△OAB 在位似中心的异侧进行放大得到△OA'B';
(2)写出点A'的坐标: ;
(3)△OA'B'的面积为 .
20、(8分)为了测量校园内水平地面上的一棵树的高度,小明在距树5米处立了一根高为3米的标杆,然后小明前后调整自己的位置,当小明与标杆相距1米时,小明的眼睛A 、标杆的顶端F 、树的顶端E 在同一直线上,如图所示.已知小明的眼睛距地面1.5米,求树的高度.
21、(8分)已知:如图4-9-15,在△ABC中,点D在边BC上,AE∥BC,BE与AD、AC分别相交于点F、G,AF2=FG·FE.
(1)求证:△CAD∽△CBG;
(2)连接DG,求证:DG·AE=AB·AG.
22、(10分)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,CB⊥AB,AB=16 cm,BC=6 cm,CD=8 cm,动点P从点D 开始沿DA边匀速运动,动点Q从点A开始沿AB边匀速运动,它们的运动速度均为2 cm/s.点P 和点Q同时出发,设运动的时间为t(s),0<t<5.
(1)用含t的代数式表示AP;
(2)当以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABD相似时,求t的值.
23、(12分)请你认真阅读下面的小探究系列,完成所提出的问题.
(1)如图,将角尺放在正方形ABCD上,使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合,角尺的一边交CB于点F,另一边交BA的延长线于点G.求证:EF=EG;
(2)如图,移动角尺,使角尺的顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线BD 上,其余条件不变,请你思考后直接回答EF 和EG 的数量关系:EF EG(用“=”或“≠”填空);
(3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识,完成下题:如图,将(2)中的“正方形ABCD ”改
成“矩形ABCD ”,使角尺的一边经过点A(即点G 、A 重合),其余条件不变,若AB=4,AD=3,求EG
EF 的值.
答案
1、D
2、D
3、B
4、B
5、C
6、C
7、C
8、A
9、D 10、B
11、18
12、4
13、3
14 14、6.2
15、4
16、2.4
17、5
18、2或5
19、(1)
(2) (-6,-2) (3) 10 20、
21、
22、
23、
word版初中数学
11/ 11。