数学人教版九年级上册圆的内接四边形
24.1.4圆周角圆内接四边形(教案)2021-2022学年九年级数学人教版上册
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆周角和圆内接四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在小组讨论环节，我尝试引导学生探索圆周角和圆内接四边形在实际生活中的应用，他们提出了许多有趣的例子。这个环节不仅增强了他们对知识的理解，还激发了他们的创造性思维。然而，我也观察到一些学生在讨论中较为沉默，我需要找到方法来鼓励这些学生更积极地参与到讨论中来。
实践活动是一个亮点，学生们通过动手操作，对理论知识的理解更加深刻。但在活动组织方面，我发现时间分配上可以更加合理，以确保每个小组都有足够的时间来完成实验和分享成果。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角的概念和圆内接四边形的性质这两个重点。对于难点部分，如圆周角与圆心角的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角和圆内接四边形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用量角器和圆规来验证圆周角和圆心角的关系。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角和圆内接四边形的基本概念。圆周角是由圆上两条半径或其延长线所夹的角，它等于其所对圆心角的一半。圆内接四边形是指四个顶点都在圆上的四边形，具有对角互补、对角线互相平分等重要性质。看一个具体的案例。通过分析圆周角和圆内接四边形在实际中的应用，如建筑设计中的圆拱桥，了解它们如何帮助我们解决问题。
初三数学圆系列讲义八——圆的内接四边形
五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。
圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。
判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。
【典型例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数．（2）已知圆内接四边形ABCD中，如图所示，AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数．例2 如图所示，ABC 是等边三角形，D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．A· ABDO例3、如图7-103，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P，求证：E，D，P，F四点共圆．例4、如图7-104，四边形ABCD内接于⊙O，过AB延长线上一点E作EF∥AD，且与DC延长线交于F，证明四边形BEFC为圆内接四边形．例5、如图7-105，△ABC内接于⊙O，D点在⊙O上，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC延长线于F．求证：BE=CF．例6、如图7-106，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，△ABD的外接圆交BC于E．求证：AD=EC．例8、如图7-107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：E，M，O，C四点共圆．例9、如图7-108，M，N分别是△ABC中AB，AC的中点，过M作AB的垂线交AC于D，过N作AC的垂线交AB于E．求证：B，C，D，E四点共圆．例10、如图7-109，四边形ABCD 内接于圆，AC 平分∠BAD ，延长DC 交AB 的延长线于E 点．若AC=EC ，求证：AD=EB ．【考点速练】1．圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都 它的内对角． 2．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2: :7，且最大的内角为 ． 3．如右图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CD 于E ，若∠ABC=︒130，则∠DAE= ．4．已知圆内接四边形ABCD 的∠A 、∠B 、∠C 的外角度数比为2:3:4，则∠A= ，∠B= ．5．圆内接梯形是 梯形，圆内接平行四边形是 ．6．若E 是圆内接四边形ABCD 的边BA 的延长线上一点，BD=CD ，∠EAD=︒55，则∠BDC= ． 7．四边形ABCD 内接于圆，∠A 、∠C 的度数之比是5:4，∠B 比∠D 大︒30，则∠A= 。
人教版九年级数学上册优秀教学案例：24.1.4圆周角圆内接四边形
5.教学策略的灵活性：在教学过程中，我根据学生的学习情况和反馈，灵活调整教学策略。我注重关注每个学生的学习情况，给予个性化的指导，确保他们能够在理解的基础上掌握所学知识。同时，我也注重激发学生的学习兴趣和好奇心，创设有趣的教学活动，使学生在轻松愉快的氛围中学习和探索。这种灵活性的教学策略能够更好地满足学生的学习需求，提高他们的数学素养。
4.注重学生的反思与评价，培养学生的自我监控和自我调整能力。
五、教学延伸
1.设计与圆周角和圆内接四边形相关的拓展问题，提高学生的思维能力和问题解决能力。
2.引导学生运用圆周角和圆内接四边形的性质解决实际问题，培养学生的应用能力。
3.组织学生进行研究性学习，鼓励他们深入探究圆周角和圆内接四边形的性质，提高学生的研究能力。
2.引导学生运用圆周角定理和圆内接四边形的性质进行几何证明，提高学生的推理能力。
3.培养学生的合作学习能力，学会与他人交流、分享和合作解决问题。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养他们积极主动学习数学的态度。
2.培养学生的自信心，让他们相信自己能够通过努力学习和思考解决问题。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用实物模型或几何图形，展示一个与圆周角和圆内接四边形相关的实际问题，激发学生的兴趣和好奇心。
2.引导学生观察和思考问题，提出问题引导词，如“你能看到哪些角度？它们之间有什么关系？”等，引发学生对圆周角和圆内接四边形的关注。
人教版九年级数学上册《圆内接四边形》课件
已 知 :BD1800
求 证 :四 边 形 ABCD内 接 于 圆
D
A
D’
B
C
例2 如 图210,CF是ABC
C
的AB边 上 的 ,高FP BC, FQ Q
P
AC.求 证: A、B、P、Q四
点 共 圆.
A
F
B
图2 10
证明 连接 PQ .
在四 QF 边 中 ,P 因 C F为 PB,C FQ A,C
图5
(3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则
∠A=_4_5_°__,
A
100 D
O
B
C
(4)梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则
∠C=__7_5_°_
A
D
O
B
C
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补充练习：
若ABCD为圆内接四边形，则下列哪
个选项可能成立（ B ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 （B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 （C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4 （D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
所 F 以 Q A FP . 则 C Q、F、P、C四点共 .
故 QFCQP.又 C 因 C为 F A,B
所 以 QF 与 C Q互 FA .而 余 A 与 Q也 FA互 ,
则 A QF , A C QP . C 因此 ,A、B、P、Q四点共 . 圆
例2、如图，D为△ABC的边BC上一点，⊙O1 经过点B、D，交AB于另一点E，⊙O2 经过点 C、D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2 交于点 G，求证：（1）∠BAC+∠EGF＝180°
九年级数学圆的内接四边形
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径。
内接四边形对角互补定理
圆内接四边形的对角互补，即任一外 角等于其内对角。
利用角度关系求解问题
通过已知角度求解未知角度
01
利用内接四边形对角互补定理和圆心角定理，可以通过已知角
度求解出未知角度。
通过已知边长求解角度
02
在已知内接四边形的某些边长时，可以利用正弦、余弦定理等
利用边长关系求解问题
已知边长求角度
在已知内接四边形部分边 长的情况下，通过边长比 例关系求解未知角度。
已知角度求边长
在已知内接四边形部分角 度的情况下，通过三角函 数和边长比例关系求解未 知边长。
综合应用
结合已知条件和所求问题， 综合运用边长比例关系、 三角函数和相似三角形等 知识求解问题。
拓展：相似三角形在内接四边形中应用
求解出相应的角度。
角度与弧度的转换
03
在求解与圆相关的问题时，经常需要在角度与弧度之间进行转
换。
拓展：外角、内角和公式应用
内角和公式
多边形的内角和公式为（n-2） ×180°，其中n为多边形的边数。
对于圆内接四边形，其内角和为 360°。
外角公式
多边形的外角和公式为360°，即所 有外角之和等于360°。对于圆内接 四边形，每个外角都等于相邻的内 对角。
02
若一个四边形的对角互补，则这 个四边形的四个顶点共圆，即这 个四边形是某个圆的内接四边形 。
性质定理梳理
圆内接四边形的对角互补：即对于圆 内接四边形ABCD，有∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
若在圆内接四边形中，有一个角是直 角，则其对角也是直角。
人教版九年级数学上册教案：24.1.4圆内接四边形课堂优秀教学案例
1.创设生活化的情境导入
本教学案例以校园操场的跑道为背景，创设生活化的情境导入，使学生能够从现实生活的实例中感受到圆内接四边形的实际应用，从而激发他们的学习兴趣。这种导入方式充分体现了数学与生活的紧密联系，有助于提高学生对数学知识的应用意识。
2.问题导向的教学策略
本案例以问题导向的教学策略为核心，通过设计不同难度层次的问题，引导学生逐步深入探讨圆内接四边形的性质。这种策略有助于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，使学生在解决问题的过程中掌握知识、发展能力。
3.引导学生总结：在问题解决后，引导学生总结圆内接四边形的性质，提高他们的归纳总结能力。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学策略，通过分组讨论、合作探究，培养学生的团队协作能力和交流沟通能力。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，让他们在组内讨论问题，共同探究圆内接四边形的性质。
2.交流分享：鼓励小组代表在全班分享本组的讨论成果，促进学生之间的交流与互动。
5.知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的全面培养
本教学案例在教学内容与过程中，充分关注知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的全面培养。通过讲授新知、学生小组讨论、总结归纳等环节，引导学生掌握圆内接四边形的性质，提高解题能力。同时，注重培养学生的合作意识、创新意识和数学应用意识，使他们在学习过程中形成正确的价值观。
3.教师评价：教师对学生进行全面的评价，包括知识掌握、技能运用、合作交流等方面，以激励学生不断进步。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课的环节，我将运用生动的生活实例和问题情境，引导学生从已知的几何知识出发，自然过渡到本节课的主题——圆内接四边形。
1.生活实例引入：展示一幅校园操场的图片，让学生观察并思考：“为什么操场上的跑道是椭圆形而不是圆形？椭圆形内接四边形有哪些特殊性质？”通过这个实例，让学生感受到圆内接四边形在实际生活中的应用，激发他们的学习兴趣。
人教版九年级数学上册：圆内接四边形性质 在解题中的具体应用
圆内接四边形性质在解题中的应用圆的内接四边形具有如下性质：性质1：圆内接四边形对角互补.性质2：圆内接四边形的外角等于内对角.当遇到圆内接四边形时，能为问题的解决从角的层面提供最有效的帮助，下面就具体展示一下性质的灵活应用，供学习借鉴.1.直接应用性质，求对角的大小例1 (2019年甘肃兰州）如图1，四边形ABCD 内接于⊙0，若∠A=40°，则∠C=（ ）A.110°B.120°C.135°D.140°解析：因为四边形ABCD 内接于⊙0，且∠A 与∠C 是对角，所以∠A+∠C=180°，因为∠A=40°， 所以∠C=140°，所以选D.点评：这是性质的直接性应用，应用时，抓住四点：一是确定四边形是圆的内接四边形；二 是确定对角是哪一对；三是准确布列对角和为180°的等式；四是代入求值计算即可2.用性质，联手菱形，求角的大小例2（2019年甘肃天水）如图2，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于 点E ，连接AC 、AE ．若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°解法1：因为四边形ABCD 是菱形，∠D=80°所以∠ACB=21∠DCB=21（180°﹣∠D ）=50°， 因为四边形AECD 是圆内接四边形，所以∠AEB=∠D=80°，所以∠EAC=∠AEB ﹣∠ACE=30°， 所以选C ．解法2：因为四边形ABCD 是菱形，∠D=80°所以∠ACB=21∠DCB=21（180°﹣∠D ）=50°， 因为四边形AECD 是圆内接四边形，所以∠AEC=180°-∠D=100°，所以∠EAC=180°-∠AEC ﹣∠ACE=30°，所以选C ．点评：解答时，有如下几点体会：一是熟练掌握菱形的性质，这是解题的基础；二是熟练掌握圆内接四边形的性质，这是解题的关键；三是灵活运用性质，性质选择不同，就会得到不同的解法，这是解题的灵魂和创新点所在.3.创造条件用性质，求两角的和例3（2019年南京市）如图3，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊙O 上．若∠P ＝102°，则∠A+∠C ＝ ．解析：如图3，连接AB ，因为四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠BAD+∠C=180°. 因为PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，所以PA=PB ，因为∠P ＝102°，∠PAB=21（180°﹣∠P ）=39°，所以∠PAD+∠C=∠BAD+∠C+∠PAB=180°+39°=219°. 点评：构造圆内接四边形为性质应用创造条件是解题的关键，其次，熟练运用切线长的性质，等腰三角形的性质也是解题的有效支撑.4.创造条件用性质，求线段的长例4（2019年十堰市）如图4，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，若BA 平分∠DBE ，AD=5，CE=13，则AE= （ ）A ．3B ．32C ．43D ．23解析：如图4，连接AC ，因为BA 平分∠DBE ，所以∠1=∠2，因为∠1=∠CDA ，∠2=∠3， 所以∠3=∠CDA ，所以AC=AD=5，因为AE ⊥CB ，所以∠AEC=90°，所以 AE=2222)13(5-=-CE AC =23,所以选D ．点评：解答时，把握好五条脉络：一是角平分线得到的两个等角；二是圆内教师必须外角等于内对角得到的两个等角；三是同弧上的圆周角相等得到的两个等角；四是逻辑推理得到的两个等角；五是等腰三角形的判定和勾股定理的应用.5.用性质，探求三角之间的关系例5 如图5矩形ABCD 中，AD=8,DC=6，在对角线AC 上取点O ，以OC 为半径的圆切AD 于E,交BC 于F ，交CD 于G.（1）求⊙O 的半径R ；（2）设∠BFE=α，∠GED=β，请写出α，β，90°三者之间的关系式（只需写出一个）并证明你的结论．解析：（1）如图5，连接OE ，则OE ⊥AD.因为四边形ABCD 是矩形，所以∠D=90°，根据勾股定理，得AC=10.因为OE ⊥AD ，CD ⊥AD ，所以OE ∥CD ，所以△AOE ∽△ACD ， 所以CD OE AC AO =，所以61010R R =-,解得R=415； （2）因为四边形EFCG 是圆的内接四边形，所以∠BFE=∠EGC ，因为∠GED=90°-∠EGD, ∠EGD=180°-∠EGC ,所以∠GED=∠EGC-90°即∠GED=∠BFE-90°，所以α，β，90°三者之间的关系式为α=β+90°．点评：本题是矩形与圆及圆内接四边形相结合的开放型的综合题[2]，解答时，注意如下几点：一是熟练应用切线的性质，为平行线的生成创造条件；二是熟练驾驭平行线与相似三角形的关系，用相似渗透方程的思想确定线段的长度；三是活动圆内接四边形的性质，互余的性质，邻补角的定义综合推理确定三角之间的关系，这是解题的关键.6.用性质，探求三线段之间的关系或线段比值例6（2019年湖北天门）已知△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图6，当∠BAC ＝120°时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ；（2）如图7，当∠BAC ＝90°时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图8，若BC ＝5，BD ＝4，求的值．解析：（1）解法1：如图9，在AD 上截取AE=AB ，连接BE ，因为∠BAC=120°，∠BAC 的平分线交⊙O于点D，所以∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，所以△ABE和△BCD都是等边三角形，所以∠DBE=∠ABC，AB=BE，BC=BD，所以△BED≌△BAC，所以DE=AC，所以AD=AE+DE=AB+AC.所以应该填AB+AC=AD．点评：此法的灵魂是在较长的线段上截取一段等于其中一条线段，证明余长等于另一条线段，简称截长法，要熟练掌握.解法2：如图10，延长AB到E，使BE=AC，连接DE，因为∠BAC=120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，所以∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，所以△BCD是等边三角形，所以BD=CD，因为四边形ABDC是圆内接四边形，所以∠DBE=∠DCA，所以△BED≌△CAD，所以DE=DA，因为∠BAD=60°，所以△DAE都是等边三角形，所以AD=AE=AB+BE=AB+AC.所以应该填AB+AC=AD．点评：这种证明的方法叫做等量延长法，实质是构造两线段的和，证明和线段等于所求线段.解答时，有三个关键要把握好：一是用好圆内接四边形的外角等于内对角，为三角形的全等提供条件；二是熟练用好等边三角形的判断，为等线段的构造奠定基础；三是灵活运用三角形全等，为问题的解决提供等线段支撑.（3）AB+AC=2AD．理由如下：解法1：如图11，延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，因为四边形ABDC内接于⊙O，所以∠MBD=∠ACD，因为∠BAD=∠CAD=45°，所以BD=CD，所以△MBD≌△ACD，所以MD=AD，∠M=∠CAD=45°，所以MD⊥AD．所以AM=2AD，即AB+BM= 2AD，所以AB+AC=2AD.点评：此法是顺延第一问中的解法2，关键是构造直角三角形，基础是三角形全等.解法2：如图12，过点D作ED⊥AD，垂足为D，交AC的延长线于点E,因为∠BAD=∠CAD=45°，所以BD=CD，∠AED=45°,所以AD=DE，所以AE=2AD.因为四边形ABDC内接于⊙O，ED⊥AD，CD⊥BD，所以∠ECD=∠ABD，∠BDA=∠CDE，所以△ABD≌△CED，所以AB=CE，所以AE=AC+CE=AC+AB=2AD，所以AB+AC=2AD.点评：此法的最大特点是直角构造出了一个等腰直角三角形，让结论直接生成，利用圆内接四边形性质，互余性质得到全等三角形，从而实现解题目标.（3）如图13，延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，因为四边形ABDC内接于⊙O，所以∠NBD=∠ACD，因为∠BAD=∠CAD，所以BD=CD，所以△NBD≌△ACD，所以ND=AD，∠N=∠CAD，所以∠N=∠NAD=∠DBC=∠DCB，所以△NAD∽△CBD，所以，所以，因为AN=AB+BN=AB+AC，BC=5，BD=4，所以=．点评：用性质，特别是渗透了三角形相似，使得问题求解非常有情趣，有数学味道，从而体会数学解题的乐趣.解后反思：通过对圆内接四边形性质解题应用的探究，深深体会到如下几点：1.学习时，要重视对教材上的每一条性质的掌握，务必从准确记忆，科学把握，灵活应用三个维度去掌握和学习，确实夯实数学基础；2.通过学习，努力更多地去掌握数学的基本解题思路和基本的解题方法，掌握常见题型解题时需要构造的辅助线，使得解题方法更加灵活多样，有生命力，充满解题生机；3.通过学习，要锻炼自己的发散思维能力，通过解题的变式思考，一题多解的思维训练等方式，启迪自己的思维，在解题过程中碰撞数学智慧，探索发现数学解题智慧，切实提高自身数学素养和数学能力；4.通过学习，要牢牢树立数学知识一盘棋的思想，构建起适合自己的数学知识网，让数学知识，数学方法，数学思思，数学智慧都融入这个大棋盘，做到知识选择灵活自如，方法选择灵活自如，思想选择灵活自如，为数学创新思维点燃创新的火花.。
人教版九年级上册数学第24章 圆 圆内接四边形
解：如图，连接 EF. ∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠ECD＝∠A. ∵∠ECD＝∠1＋∠2，∴∠A＝∠1＋∠2. ∵∠A＋∠1＋∠2＋∠AEB＋∠AFD＝180°， ∴2∠A＋α＋β＝180°. ∴∠A＝90°－α＋2 β.
(1)求⊙O 半径的长； 解：如图，连接 OA，OC， 过点 O 作 OH⊥AC 于点 H. ∵∠ABC＝120°， ∴∠AMC＝180°－∠ABC＝60°.
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°. ∴∠AOH＝12∠AOC＝60°. ∴∠OAH＝90°－∠AOH＝30°. ∴OA＝2OH. 易得 AH＝12AC＝ 3，且在 Rt△OAH 中，OA2＝OH2＋AH2， ∴OA＝2，即⊙O 半径的长为 2.
2．(2019·兰州)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A＝40°， 则∠C＝( D ) A．110° B．120° C．135° D．140°
3．(2019·德州)如图，点 O 为线段 BC 的中点，点 A，C，D 到点 O 的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是( B ) A．130° B．140° C．150° D．160°
∴AB＝ME.
∵ME＋EB＝BM，
∴AB＋BC＝BM.
14．(2018·绥化)已知关于 x 的一元二次方程 x2－5x＋2m＝0 有实 数根．
(1)求 m 的取值范围； 解：∵方程有实数根， ∴Δ＝(－5)2－4×1×2m≥0， 则 m≤285.
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初三几何教学设计
武汉二中广雅中学 李鸿运
课 题：圆的内接四边形 【教学目标】：
教学目标：1、知道圆内接多边形和多边形的外接圆的定义
2、理解并会阐述圆内接四边形的性质定理
3、会运用圆内接四边形性质定理证明有关几何问题
4、培养学生的识图能力、发散思维能力、构造能力以及应用所学知识分析问题和解决问题的实践能力
重 难 点： （1）圆内接四边形的性质定理的证明及其应用 （2）构造圆内接四边形 教 程：
一、引导 1、（学生自己动手）画⊙O ，在⊙O 任取A 、B 、C 三点，连AB ，BC ，CA ，则△ABC
叫⊙O 的 三角形；⊙O 叫△ABC 的 圆。
2、（学生自己动手）画⊙O ，在⊙O 任取A 、B 、C 、D 四点，并顺次连接AB ，BC ，
CD ，DA ，观察四边形ABCD 与⊙O 的特殊位置关系（学生用类比的方法得到）。
说明多边型的外接圆，圆内接多边形。
二、探索
圆内接四边形的四个内角之间有什么关系？试证明你的结论。
（1）引导学生猜想四个内角之间的关系，若学生回答∠A+∠B+∠C+∠D=
360，予以肯定（多边形内角和定理）。
（2）继续引导学生探索：∠A+∠C 是多少度？
（这是本节课要突破的重点，关键点）这里放手让学生交流、讨论，教师根据现场的情况可适当点拨圆心角定理、圆周角定理的应用，必须由学生们共同得出结论：
圆内接四边形对角互补，即在圆内接四边形ABCD 中，∠A+∠C=
180，∠B+
∠
D=
180。
（3）若E 是BC 延长线上一点，∠DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，你能发现∠DCE 与四边形ABCD 内角之间的关系吗？ 引导学生根据圆内接四边形对角互补得出：
圆内接四边形的一个外角都等它的内对角。
定理：圆内接四边形对角互补，并且每一个外交都等于它的内对角。
三、巩固
1、如图，⊙O 与⊙Q 都经过M ，N 两点，根据定理写出图中四对相等的角。
（1）
（2）
（3）
（4）
2、如图，⊙O 与⊙Q 都经过A 、B ，图中有两组相等的角，各组有三只角相等，请
写出来：
四、例题解析：
例：如下图，⊙O 、⊙Q 都经过A 、B 两点，经过A 点的直线CD 与⊙O 交于C ，与⊙Q 交于D ，经过B 点的直线EF 与⊙O 交于点E ，与⊙Q 交于点F ，求证：CE ∥DF 。
引导分析：（1）怎样证明两条线的平行？ （2）由图形可联想到怎样的四边形？ （3）构造圆接四边形（圆和圆相交，常作公共弦）。
证明：由学生自主完成。
五、变式
在上例中，已知条件不变，在以下各种情况下，如图所示，请同学们探求CE 、DF 的位置关系，分小组讨论，各小组要总结出解题的规律。
变式（1） 变式（2） 变式（3）
变式（4）
六、课堂练习：P 83 1、2、3
七、小结
1、圆内接四边形——顶点在圆上的四边形
2、圆内接四边形性质：
3、解题思想：
4、变式（形变，解题思想方法不变，以不变应万变）
八、作业
P 86 15、16、17 选作P 87 5
对角互补
外角等于内对角 直接利用圆内接四边形性质
构造圆内接四边形（圆和圆相交，常作公共弦）。