人教版九年级数学上册 圆 几何综合(篇)(Word版 含解析)

人教版九年级数学上册 圆 几何综合（篇）（Word 版 含解析）

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，

(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ； (2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：

(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．

【答案】（1）1502AOD α∠=?-；（2）7AD =3）

331331

22

or

【解析】 【分析】

（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值. （2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.

（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解. 【详解】

(1)如图1：连接OB 、OC. ∵BC=AO ∴OB=OC=BC

∴△OBC 是等边三角形 ∴∠BOC=60° ∵点D 是BC 的中点 ∴∠BOD=1

302

BOC ∠=? ∵OA=OC

∴OAC OCA ∠=∠=α ∴∠AOD=180°-α-α-30?=150°-2α

(2)如图2：连接OB、OC、OD.

由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=1

30 2

BOC

∠=?

∵OB=2，

∴OD=OB?cos30?=3

∵B为AC的中点，

∴∠AOB=∠BOC=60°

∴∠AOD=90°

根据勾股定理得：AD=227

AO OD

+=

（3）①如图3.圆O与圆D相内切时：

连接OB、OC，过O点作OF⊥AE

∵BC是直径，D是BC的中点

∴以BC为直径的圆的圆心为D点

由（2）可得：3D的半径为1∴31

设AF=x

在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，

2222OA AF OD DF -=-

即(

)

2

2

2

2331x x -=-+-

解得：331

x 4+=

∴AE=331

2AF +=

②如图4.圆O 与圆D 相外切时： 连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE ∵BC 是直径，D 是BC 的中点 ∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点 由（2）可得：3D 的半径为1 ∴31 在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，

2222OA AF OD DF -=-

即()

2

222331x x -=- 解得：331

x 4-=

∴AE=331

2AF -=

【点睛】

本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.

2．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．

（1）求证：MN是⊙O的切线．

（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．

①求证：FD＝FG．

②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②AE＝1

【解析】

【分析】

（1）由AB为直径知∠ACB＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°．由∠MAC＝∠ABC可证得

∠MAC+∠CAB＝90°，则结论得证；

（2）①证明∠BDE＝∠DGF即可．∠BDE＝90°﹣∠ABD；∠DGF＝∠CGB＝90°﹣∠CBD．因为D是弧AC的中点，所以∠ABD＝∠CBD．则问题得证；

②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．证明Rt△ADE≌Rt△CDH，可得AE＝CH．根据AB＝BH可求出答案．

【详解】

（1）证明：∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠CAB+∠ABC ＝90°； ∵∠MAC ＝∠ABC ，

∴∠MAC+∠CAB ＝90°，即MA ⊥AB ， ∴MN 是⊙O 的切线；

（2）①证明：∵D 是弧AC 的中点， ∴∠DBC ＝∠ABD ， ∵AB 是直径， ∴∠CBG+∠CGB ＝90°， ∵DE ⊥AB ，

∴∠FDG+∠ABD ＝90°， ∵∠DBC ＝∠ABD ， ∴∠FDG ＝∠CGB ＝∠FGD ， ∴FD ＝FG ；

②解：连接AD 、CD ，作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于H 点．

∵∠DBC ＝∠ABD ，DH ⊥BC ，DE ⊥AB ， ∴DE ＝DH ，

在Rt △BDE 与Rt △BDH 中，

DH DE

BD BD =??

=?

， ∴Rt △BDE ≌Rt △BDH （HL ）， ∴BE ＝BH ， ∵D 是弧AC 的中点， ∴AD ＝DC ，

在Rt △ADE 与Rt △CDH 中，

DE DH

AD CD =??

=?

， ∴Rt △ADE ≌Rt △CDH （HL ）． ∴AE ＝CH ．

∴BE ＝AB ﹣AE ＝BC+CH ＝BH ，即5﹣AE ＝3+AE ，

∴AE＝1．

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线来构造全等三角形是解题的关键．

3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．

（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；

①求此抛物线的函数解析式；

②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；

（2）如图2，若a=1，c=-4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．

【答案】（1）①y=x2-x-4；②△BDM的面积有最大值为36；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）①只需运用待定系数法就可解决问题；②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，从而可得AB为直径，根据垂径定理可得OD=OC，即可得到D（0，4），然后运用待定系数法可求得直线BD的解

析式为y=-x+4，设M（x，x2-x-4），则E（x，-x+4），从而得到ME=-x2+x+8，运用割补法可得S△BDM=S△DEM+S△BEM=-（x-2）2+36，然后根据二次函数的最值性就可求出△BDM 的面积的最大值；

（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，可得C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，根据根与系数的关系可得OA?OB=4．由A、D、B、C四点共圆可得

∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，从而可得△ADO∽∽△CBO，根据相似三角形的性质可得OC?OD=OA?OB=4，从而可得OD=1，即可得到D（0，1），因而无论b取何值，点D的坐标均不改变．

试题解析：（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），

∴，

解得．

∴抛物线的解析式为y=x2-x-4；

②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．

∵A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），

∴OA=2，OB=8，OC=4，

∴AB=10，AC=2，BC=4，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°，

∴AB为直径．

∵CD⊥AB，

∴OD=OC，

∴D（0，4）．

设直线BD的解析式为y=mx+n．

∵B（8，0），D（0，4），

∴，

解得，

∴直线BD的解析式为y=-x+4．

设M（x，x2-x-4），则E（x，-x+4），

∴ME=（-x+4）-（x2-x-4）=-x2+x+8，

∴S△BDM=S△DEM+S△BEM

=ME（x E-x D）+ME（x B-x E）=ME（x B-x D）

=（-x2+x+8）×8=-x2+4x+32=-（x-2）2+36．

∵0＜x＜8，

∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；

（2）连接AD、BC，如图2．

若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，

则C（0，-4），OC=4．

设点A（x1，0），B（x2，0），

则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，

∴OA?OB=-x1?x2=-（-4）=4．

∵A、D、B、C四点共圆，

∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，

∴△ADO∽△CBO，

∴，

∴OC?OD=OA?OB=4，

∴4OD=4，

∴OD=1，

∴D（0，1），

∴无论b取何值，点D的坐标均不改变．

考点：圆的综合题

4．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r＞1)，点P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A，B，若满足|PA﹣PB|＝2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图点P为⊙C的一个“完美点”．

(1)当⊙O的半径为2时

①点M(3

2

，0)⊙O的“完美点”，点(

31

2

)⊙O的“完美点”；(填

“是”或者“不是”)

②若⊙O的“完美点”P在直线y＝3

4

x上，求PO的长及点P的坐标；

(2)设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围．

【答案】(1)①不是，是；②PO的长为1，点P的坐标为(4

5

，

3

5

)或(﹣

4

5

，﹣

3

5

)；(2)t的

取值范围为﹣1≤t≤3．

【解析】

【分析】

（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论.②先确定出满足圆的“完美点”的OP的长度，然后分情况讨论计算即可得出结论；（2）先判断出圆的“完美点”的轨迹，然后确定出取极值时OC与y轴的位置关系即可得出结论.

【详解】

解：(1)①∵点M(3

2

，0)，

∴设⊙O与x轴的交点为A，B，∵⊙O的半径为2，

∴取A(﹣2，0)，B(2，0)，

∴|MA﹣MB|＝|(3

2

+2)﹣(2﹣

3

2

)|＝3≠2，

∴点M不是⊙O的“完美点”，

同理：点(﹣

3

2

，﹣

1

2

)是⊙O的“完美点”．

故答案为不是，是．②如图1，

根据题意，|PA﹣PB|＝2，

∴|OP+2﹣(2﹣OP)|＝2，

∴OP＝1．

若点P在第一象限内，作PQ⊥x轴于点Q，

∵点P在直线y＝3

4

x上，OP＝1，

∴

43

,

55 OQ PQ

==．

∴P(43

,

55

)．

若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣4

5

，﹣

3

5

)．

综上所述，PO的长为1，点P的坐标为(43

,

55

)或（

43

,

55

--）)．

(2)对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，

∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2．

∴CP＝1．

∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”．

因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆．设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，

当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，t的值最大．设切点为E，连接CE，

∵⊙C的圆心在直线y＝﹣2x+1上，

∴此直线和y轴，x轴的交点D(0，1)，F(1

2

，0)，

∴OF＝1

2

，OD＝1，

∵CE∥OF，

∴△DOF∽△DEC，

∴OD OF DE CE

=，

∴

11

2 DE

=，

∴DE＝2，

∴OE＝3，

t的最大值为3，

当⊙C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，t的值最小．

同理可得t的最小值为﹣1．

综上所述，t的取值范围为﹣1≤t≤3．

【点睛】

此题是圆的综合题，主要考查了新定义，相似三角形的性质和判定，直线和圆的位置关系，解本题的关键是理解新定义的基础上，会用新定义，是一道比中等难度的中考常考题.

5．四边形ABCD内接于⊙O，AC为对角线，∠ACB＝∠ACD

（1）如图1，求证：AB＝AD；

（2）如图2，点E在AB弧上，DE交AC于点F，连接BE，BE＝DF，求证：DF＝DC；（3）如图3，在（2）的条件下，点G在BC弧上，连接DG，交CE于点H，连接GE，GF，若DE＝BC，EG＝GH＝5，S△DFG＝9，求BC边的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（370

【解析】

【分析】

（1）如图1，连接OA，OB，OD，由∠ACB＝∠ACD，可得AD AB，可得AB＝AD；（2）连接AE，由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得∠BAE＝∠DAC，可证BE＝CD＝DF；（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，通过证明

△FDN≌△DCM，可得FN＝DM，CM＝DN，由面积公式可求FN＝2，DM＝2，DH＝4，通

过证明△EGC∽△DMC，△GEH∽△CHD，可得EC＝5

2

CD，CD2＝

40

3

，由勾股定理可求

解．

【详解】

证明：（1）如图1，连接OA，OB，OD，

∵∠ACB＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2∠ACB ∴∠AOD＝∠AOB

∴AD AB

∴AD＝AB；

（2）如图2，连接AE，

∵AE AE

∴∠ABE＝∠ADE

在△ABE和△ADF中

AB AD

ABE ADF

BE DF

∴△ABE≌△ADF（SAS）

∴∠BAE＝∠DAC

∴BE CD

∴BE＝DC

∵BE＝DF

∴DF＝DC；

（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，

∵DE＝BC，BE＝CD，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∴∠EBC＝∠EDC，

∵四边形BEDC是圆内接四边形，

∴∠EBC+∠EDC＝180°，

∴∠EDC＝∠EBC＝90°，

∴EC是直径，

∴∠FGC＝∠EDC＝90°

∴∠FDN+∠MDC＝90°，且∠MDC+∠MCD＝90°，

∴∠FDN＝∠MCD，且∠FND＝∠CMD＝90°，DF＝DC，

∴△FDN≌△DCM（AAS）

∴FN＝DM，CM＝DN，

∵EG＝GH＝5，

∴∠GEH＝∠GHE，且∠GHE＝∠DHC，∠GEH＝∠GDC，

∴∠HDC＝∠CHD，

∴CH＝CD，且CM⊥DH，

∴DM＝MH＝FN，

∵S△DFG＝9，

∴1

2

DG×FN＝9，

∴1

2

×（5+2FN）×FN＝9，

∴FN＝2，

∴DM ＝2，DH ＝4，

∵∠GEC ＝∠GDC ，∠EGC ＝∠DMC ， ∴△EGC ∽△DMC ， ∴52

EC EG CD

DM

， ∴EC ＝

5

2CD ，且HC ＝CD ， ∴EH ＝3

2

CD ，

∵∠EGD ＝∠ECD ，∠GEC ＝∠GDC ， ∴△GEH ∽△CHD ， ∴EG EH

CH

DH

， ∴35

24

CD

CD

， ∴2

403

CD ， ∵EC 2﹣CD 2＝DE 2， ∴22

2254

CD CD DE ，

∴

2214043

DE ，

∴DE ＝70 ∴BC ＝70 【点睛】

本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的难点．

6．如图，∠ACL ＝90°，AC ＝4，动点B 在射线CL ，CH ⊥AB 于点H ，以H 为圆心，HB 为半径作圆交射线BA 于点D ，交直线CD 于点F ，交直线BC 于点E ．设BC ＝m ．

（1）当∠A ＝30°时，求∠CDB 的度数； （2）当m ＝2时，求BE 的长度；

（3）在点B的整个运动过程中，

①当BC＝3CE时，求出所有符合条件的m的值．

②连接EH，FH，当tan∠FHE＝

5

12

时，直接写出△FHD与△EFH面积比．

【答案】（1）60°；（2）4

5

；（3）①m＝22或42；②

26

2

【解析】

【分析】

（1）根据题意由HB＝HD，CH⊥BD可知：CH是BD的中垂线，再由∠A＝30°得：∠CDB＝∠ABC＝60°；

（2）由题意可知当m＝2时，由勾股定理可得：AB＝25，cos∠ABC＝5

，过点H作

HK⊥BC于点K，利用垂径定理可得结论；

（3））①要分两种情况：I．当点E在C右侧时，II．当点E在C左侧时；根据相似三角形性质和勾股定理即可求得结论；

②根据题意先证明EF∥BD，根据平行线间距离相等可得：△FHD与△EFH高相等，面积比

等于底之比，再由tan∠FHE＝

5

12

可求得

DH

EF

的值即可．

【详解】

解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，

∵HB＝HD，CH⊥BD，

∴CH是BD的中垂线，

∴CB＝CD，

∴∠CDB＝∠ABC＝60°；

（2）如图1，过点H作HK⊥BC于点K，

当m＝2时，BC＝2，

∴AB22

AC BC

5，

∴cos∠ABC＝BC

AB 5

，

∴BH＝BC?cos∠ABC＝25

5

，

∴BK＝BH?cos∠ABC＝2

5

，

∴BE＝2BK＝4

5

；

（3）①分两种情况：

I．当点E在C右侧时，如图2，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，

∵BC＝3CE＝m，

∴CE＝1

3m，BE＝

2

3

m，

∵DE∥AC，

∴△DEB～△ACB，

∴DE

AC ＝

BE

BC

＝

2

3

，

∴DE＝2

3AC＝

8

3

，

∵CD＝CB＝m，

∴Rt△CDE中，由勾股定理得：

22

81

m

33

????

?

??

+?

??

＝m2，

∵m＞0，

∴m＝22；

II．当点E在C左侧时，如图3，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，

∵BC ＝3CE ，

∴CE

＝13m ，BE ＝3

2m ， ∵DE ∥AC ，

∴△DEB ～△ACB ，

∴

DE AC ＝BE BC ＝3

2

， ∴DE ＝

3

2

AC ＝6， ∵CD ＝CB ＝m ，

∴Rt △CDE 中，由勾股定理得：62+2

1m 3?? ???

＝m 2， ∵m ＞0， ∴m ＝42；

综上所述，①当BC ＝3CE 时，m ＝22或42． ②如图4，过F 作FG ⊥HE 于点G ，

∵CH ⊥AB ，HB ＝HD ， ∴CB ＝CD ， ∴∠CBD ＝∠CDB ，

∴DFE BEF =，即DF EF BE EF +=+， ∴DF BE =， ∴EF ∥BD ，

∴FHD EFH

S S

＝

DH

EF

， ∵在Rt △FHG 中，

FG HG ＝tan ∠FHE ＝5

12

， 设FG ＝5k ，HG ＝12k ，则FH 22FG HG +22(5)(12)k k +＝13k ， ∴DH ＝HE ＝FH ＝13k ，EG ＝HE ﹣HG ＝13k ﹣12k ＝k ， ∴EF 22FG EG +22(5)k k +26k ，

∴

FHD EFH

S S

＝

26k ＝26

2

． 【点睛】

本题考查的是圆的几何综合题，主要考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形判定及性质，解直角三角形知识等；综合性较强，有一定难度，解题要求对所学知识点熟练掌握和运用数形结合思维分析．

7．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延

长交

O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且

2180APB PEB ∠+∠=?．

（1）如图1，求证：//PF AD ；

（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=?，求证：PE 平分AEB ∠； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，

4

sin 5

ABD ∠=

，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257

【解析】 【分析】

（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=?，由四边形内角和是

360?，得180∠+∠=?P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到

2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；

（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=?得290PEB ∠=?，从而45PEB ∠=?，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=?，得

PE PK =，从而90APE EPB ?∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得

APE BPK ??≌由此45K AEP ∠=∠=?，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；

（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由

45ADE ∠=?，90AED ∠=?，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ??≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=?，在

Rt ADM ?中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对

角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ?中，252OP OA =

=延长EO

交AD 于K ，在Rt OEP ?中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ?中，由勾股定理得

257PH =

. 【详解】 （1）连接OA 、OB

∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径， ∴OA AP ⊥，OB BP ⊥， ∴90OAP OBP ∠=∠=?，

∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=?-?=?， ∵AB AB =， ∴2AOB ADB ∠=∠， ∴2180P ADB ∠+∠=?， ∵2180P PEB ∠+∠=?， ∴ADB PEB ∠=∠， ∴//PF AD

（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K

∵90APB ∠=?，

∴21809090PEB ∠=?-?=?， ∴45PEB ∠=?，

∵PA 、PB 为圆O 的切线， ∴PA PB =，

∵PK PE ⊥，45PEK ∠=?， ∴PE PK = ，

∵9090APE EPB KPB EPB ??∠=-∠=∠=-∠， ∴APE BPK ∠=∠， ∴APE BPK ??≌， ∴45K AEP ∠=∠=?，

∴AEP PEB ∠=∠， ∴PE 平分AEB ∠；

（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM

∵45ADE ∠=?，90AED ∠=?， ∴DE AE =， ∵OA 、OD 为半径， ∴OA OD =， ∵OE OE =， ∴DEO AEO ??≌， ∴1

452

AEO OED AED ∠=∠=∠=?， ∴90OEP ∠=?， ∵AM 为圆O 的直径， ∴90ADM ∠=?， ∵弧AD =弧AD ， ∴ABD AMD ∠=∠，

在Rt ADM ?中，8AD =，4

sin 5

AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，

由题易证四边形OAPB 为正方形， ∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =， ∵H 在AB 上， ∴OH PH =， 在Rt OAP ?中，252OP OA ==

延长EO 交AD 于K ，

∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠， ∴4DK KE ==，3OK =，1OE = ∴在Rt OEP ?中，227PE OP OE =-= 在Rt OEH ?中，222OH OE EH =+ ∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=- ∴()2

2217PH PH =+-