人教新课标版数学高一B版必修4作业1.2.4-第2课时 诱导公式三、四
人教新课标版数学高一-人教B版必修4练习 1.2.4 诱导公式(二)
1.2.4 诱导公式(二)一、基础过关1． 已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12B.12C ．－32 D.32 2． 若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( ) A ．－12B.12C.32 D ．－32 3． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13C ．－223D.2234． 若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3C ．－3m2D.3m 2 5． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 3 6． 已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23C ．－13D ．－237． sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 8． 求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.二、能力提升9． 已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.10．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．11．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．12．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．三、探究与拓展13．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．答案1．A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.8928． 证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边．∴原等式成立． 9． 210．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.11．sin α＝1213 cos α＝513 12.－133513．解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
人教新课标版数学高一B版必修4学案 1.2.4 诱导公式(一)
1.2.4诱导公式(一)明目标、知重点 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.1.设α为任意角，则2kπ＋α(k∈Z)，－α，(2k＋1)π＋α(k∈Z)的终边与α的终边之间的对称关系2.诱导公式一～三(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.(2)公式二：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.(3)公式三：sin＝－sin α，cos＝－cos α，tan＝tan α，其中k∈Z.在初中，我们已经会求锐角的三角函数值.对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解.本节课将解决这一问题.探究点一诱导公式一思考1诱导公式一是什么？答由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，其中k∈Z.思考2诱导公式一的作用是什么？答把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值.例1求下列各式的值.(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0. 反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos ⎝⎛⎭⎫－23π3＋tan 17π4； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.解 (1)原式＝cos ⎣⎡⎦⎤π3＋(－4)×2π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2×2π ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°) ＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°＝－1＋1＋1－1＝0.探究点二 诱导公式二思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P 1(x ，y )，角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P 2坐标如何？答 角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称.角－α与单位圆的交点为P 2(x ，－y ).思考2 根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ； sin(－α)＝－y ＝－sin α；cos(－α)＝x ＝cos α，tan(－α)＝－y x＝－tan α. 即诱导公式二sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，tan (－α)＝－tan α.思考3 诱导公式二有何作用？答 将负角的三角函数转化为正角的三角函数.探究点三 诱导公式三思考1 设角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 如图，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则角π＋α的终边与单位圆的交点P 2的坐标如何？答 角π＋α的终边与角α的终边关于原点O 对称.P 2(－x ，－y ).思考2 根据三角函数定义，sin(π＋α) 、cos(π＋α)、tan(π＋α)的值分别是什么？对比sin α，cos α，tan α的值，(2k ＋1)π＋α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答 sin(π＋α)＝－y ，cos(π＋α)＝－x ，tan(π＋α)＝－y －x ＝y x. 诱导公式三sin ＝－sin α，cos ＝－cos α，tan ＝tan α.思考3 公式三有何作用？答 第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数.小结 公式一～三都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，－α，(2k ＋1)π＋α(k ∈Z )的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 简记为“函数名不变，符号看象限”！例2 利用公式求下列三角函数的值：(1)cos 225°；(2)sin 11π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3；(4)cos(－2 040°). 解 (1)cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22； (2)sin 11π3＝sin ⎝⎛⎭⎫4π－π3＝－sin π3＝－32； (3)sin ⎝⎛⎭⎫－16π3＝－sin 16π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫5π＋π3＝－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝32； (4)cos(－2 040°)＝cos 2 040°＝cos(6×360°－120°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12. 反思与感悟 利用诱导公式求三角函数值时，先将不是0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再转化到⎣⎡⎦⎤0，π2范围内的角的三角函数值. 跟踪训练2 求下列三角函数值.(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π；(3)tan(－855°). 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12； (2)cos 296π＝cos(4π＋56π)＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32； (3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.例3 化简：cos (180°＋α)·sin (α＋360°)sin (－α－180°)·cos (－180°－α).解 sin(－α－180°)＝sin＝－sin(180°＋α)＝－(－sin α)＝sin α，cos(－180°－α)＝cos＝cos(180°＋α)＝－cos α，所以，原式＝－cos α·sin αsin α·(－cos α)＝1. 反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.跟踪训练3 化简：tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ). 解 原式＝tan (－θ)·sin (－θ)·cos (－θ)cos (π－θ)·sin (π＋θ)＝(－tan θ)·(－sin θ)·cos θ(－cos θ)·(－sin θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 例4 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值. 解 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－1 ＝⎝⎛⎭⎫332－33－1＝－2＋33. 反思与感悟 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值.跟踪训练4 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值. 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15.1.求下列三角函数的值.(1)sin 690°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π；(3)tan(－1 845°). 解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330°＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π＝cos 203π＝cos(6π＋23π) ＝cos 23π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12. (3)tan(－1 845°)＝tan(－5×360°－45°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.2.化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 3.证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边.当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2[－sin (π－α)](－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边.综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立.1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.一、基础过关1.sin 585°的值为( )A.－22B.22C.－32D.32答案 A2.若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是( ) A.±tan α B.－tan α C.tan α D.12tan α 答案 C3.若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12 B.±32 C.32 D.－32答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2 α＝－32(α为第四象限角).4.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( ) A.m ＋1m －1 B.m －1m ＋1C.－1D.1 答案 A解析 原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 5.记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k 2kB.－1－k 2kC.k 1－k 2D.－k 1－k 2 答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2.∴tan 80°＝1－k 2k .∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k 2k .6.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝ .答案 －33解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－(π6＋θ)＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝－33.7.化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)，n ∈Z .解 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin(2k π－23π)·cos(2k π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫－23π·cos 43π＝(－sin 23π)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π＝sin 23π·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34.当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z .原式＝sin(2k π＋π－23π)·cos(2k π＋π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫π＋43π＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π3×cos π3＝32×12＝34.∴sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)＝34，n ∈Z .二、能力提升8.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为()A.53 B.－53C.±53 D.以上都不对答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 2 2－23＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2 α＝－ 1－49＝－53. 9.已知tan(4π＋α)＝m (m ≠±1)，则sin (α－2π)＋2cos (2π－α)2sin (－α)－cos (2π＋α)的值为 . 答案 －m ＋22m ＋110.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数.若f (2 015)＝1，则f (2 016)＝ .答案 3解析 ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2＝2－(a sin α＋b cos β)＝1，∴a sin α＋b cos β＝1，f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3.11.若cos(α－π)＝－23，求 sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值. 解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角. 当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52. 12.已知tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根，且3π<α<7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值.解 因为tan α，1tan α是关于x 的方程3x 2－3kx ＋3k 2－13＝0的两实根， 所以tan α·1tan α＝13×(3k 2－13)＝1， 可得k 2＝163. 因为3π<α<7π2，所以tan α>0，sin α<0，cos α<0， 又tan α＋1tan α＝－－3k 3＝k ， 所以k >0，故k ＝433， 所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433， 所以sin αcos α＝34， 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×34＝2＋32. 因为cos α＋sin α<0，所以cos α＋sin α＝－3＋12. 所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋12.三、探究与拓展13.在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角.解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，∴cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去.∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，C ＝712π.。
2018-2019学年高一数学人教B版必修4课时作业：1.2.5 诱导公式(三)、(四) Word版含解析
5cos2α＋sinπ＋α·cos－α
(1)求 tan(α＋β)的值．
tanα＋tanβ
(2)若已知 tan(α＋β)＝
，求 tanβ 的值．
1－tanα·tanβ
1
1
解析：因为 tan(π＋α)＝－ ，所以 tanα＝－ .
3
3
( )1
－ ＋2
sinα·cosα＋2cos2α tanα＋2
5
4
3
A.
B．－
5
5
43 C．－ D.
55
3
3
解析：∵cos(π＋α)＝－ ，∴cosα＝ .
5
5
4 ∴sin(－2π＋α)＝sinα＝－ 1－cos2α＝－ .
5
答案：C
( )13
11
7．若 a＝tan － π ，b＝tan π，则 a，b 的大小关系是__________．
4
3
( ) ( ) ( ) 13π
11．已知 f(α)＝
.
cos－α－π
(1)化简 f(α)．
( ) π
3
(2)若 f －α ＝－ ，且 α 是第二象限角，求 tanα.
2
5
( ) π
tanπ－α·cos2π－α·sin ＋α 2
解析：(1)f(α)＝
cos－α－π
－tanα·cosα·cosα
＝ －cosα ＝sinα.
1
解析：sin
－α 3
＝sin
－ 2
＋α 6
＝cos ＋α ＝ .
6
3
答案：A
( ) 1
3π
4．如果 cos(π＋α)＝－ ，那么 sin －α ＝________.
人教版数学高一B版必修4学案1.2.4诱导公式第二课时
第二课时 诱导公式(2)点)1．角α与α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数间的关系 cos[α＋(2k ＋1)π]＝－cos_α， sin[α＋(2k ＋1)π]＝－sin_α， tan[α＋(2k ＋1)π]＝tan_α.通常，称上述公式为诱导公式(三)．归纳总结sin(α＋n π)＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin α，当n 为奇数，sin α，当n 为偶数，cos(α＋n π)＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos α，当n 为奇数，cos α，当n 为偶数，tan(α＋n π)＝tan α，n ∈Z .【自主测试1－1】sin 19π6的值是( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案：A【自主测试1－2】化简1－sin 2460°为( ) A ．－cos 80° B．－sin 80° C ．cos 80° D ．sin 80° 答案：C2．角α与α＋π2的三角函数间的关系cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α. 通常，将上述公式称为诱导公式(四)．在诱导公式(四)中，以－α替代α，可得另一组公式cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝cos α. 由三角函数之间的关系又可得 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cot α，cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－tan α； tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝cot α，cot ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋π2＝tan α.我们知道，任意一个角都可表示为k ·π2＋α⎝⎛⎭⎪⎫其中|α|≤π4的形式．这样由前面的公式就可以把任意角的三角函数求值问题转化为0到π4之间角的三角函数求值问题．【自主测试2－1】化简sin π＋αcos 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α所得的结果为( )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α答案：C【自主测试2－2】若|cos α|＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则角α的集合为__________． 解析：∵|cos α|＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α， ∴cos α≥0，∴2k π－π2≤α≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π2≤α≤2k π＋π2，k ∈Z. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π2≤α≤2k π＋π2，k ∈Z诱导公式的作用与规律性剖析：(1)诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为0°～90°角的三角函数值． (2)诱导公式存在的规律： ①α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”．如sin(300°＋180°)＝－sin 300°，我们把300°看成一个锐角α，则sin(300°＋180°)的符号为负，即sin 300°前面所带的符号为负．②α＋π2，－α＋π2的三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．如cos(100°＋90°)＝－sin 100°，我们把100°看成锐角α，则cos(100°＋90°)的符号为负，即sin 100°前面所带的符号为负．③这两套公式可以归纳为α＋k ·π2(k ∈Z )的三角函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是π2的奇数倍和偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号．诱导公式有很多组，使用不同的组合都可以达到共同的效果，但是一般采用以下顺序： ①化负角为正角；②大于360°的角化为[0°，360°)之间的角； ③把90°～360°的角转化为0°～90°之间的角．题型一 利用诱导公式求值【例题1】求sin(－1 920°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．分析：求三角函数值一般先将负角化为正角，再化为0°～360°的角，最后化为锐角求值．解：原式＝－sin(5×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°＝32×32＋12×12＋1＝2. 反思对于任意给定的角都要将其化成k ·360°＋α，180°±α，360°－α等形式进行求值，大体的求值思路可以用口诀描述为“负变正，大变小，化为锐角范围内错不了”．题型二 利用诱导公式化简【例题2】已知α是第三象限的角，f (α)＝sin π－αcos 2π－αtan ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cot －α－πsin －π－α，(1)化简f (α)；(2)若α＝－1 860°，求f (α)的值．分析：这是一道综合性题目，其实质就是化简求值，在化简求值的过程中，要正确运用十字诀(奇变偶不变，符号看象限)．解：(1)f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4·π2－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3·π2－αcot ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2·π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2·π2－α＝sin αcos αcot α－cot αsin α＝－cos α.(2)∵－1 860°＝－21×90°＋30°，∴f (－1 860°)＝－cos(－1 860°)＝－cos(－21×90°＋30°)＝－sin 30°＝－12.反思三角函数的化简问题要依据诱导公式进行，关键是诱导公式的选择，要把角进行合理的拆分，再者要与前面所学三角函数基本关系式相互配合使用，化简中应遵循“三个统一”，即统一角，统一函数名称，统一结构形式．题型三 利用诱导公式证明【例题3】已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：sin π－α＋5cos 2π－α3cos π－α－sin －α＝－35.分析：首先将已知条件进行化简，得到一个结构比较简单的式子，然后再化简待求式的左边，最后将化简后的已知条件代入，进一步整理即可证得．证明：因为sin(α－π)＝2cos(2π－α)，所以－sin α＝2cos α，即sin α＝－2cos α.所以待求式的左边＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－3cos α－2cos α＝3cos α－5cos α＝－35＝右边，所以sin π－α＋5cos 2π－α3cos π－α－sin －α＝－35.反思利用诱导公式证明等式，关键在于公式的灵活运用，就本题而言，主要就是运用诱导公式由左边推导到右边，并先对已知条件进行化简．1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－16π3的值为( ) A ．－1＋32 B ．1－32 C ．3－12 D ．3＋12解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π3＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12.答案：C2．在△ABC 中，下列等式一定成立的是( )A ．sin A ＋B 2＝－cosC 2B ．sin(2A ＋2B )＝－cos 2CC ．sin(A ＋B )＝－sin CD ．sin(A ＋B )＝sin C解析：在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ． sin A ＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cos C 2. sin(2A ＋2B )＝sin(2π－2C )＝－sin 2C ． 答案：D3．已知cos(π＋α)＝－35，且α是第四象限的角，则sin(－2π＋α)的值是( )A ．45B ．－35C ．－45D ．35解析：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.又∵α是第四象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－45.答案：C4．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋1π－π3(n ∈Z )．其中函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：对于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3，当n 为偶数时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3. 对于cos ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π－π6＝cos 5π6＝－cos π6＝－sin π3. 故①与④中的函数值不等于sin π3.可以验证②③⑤中的函数值均与sin π3的值相同．答案：C5．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 150°)＝__________. 解析：∵sin 150°＝sin(60°＋90°)＝cos 60°， ∴f (sin 150°)＝f (cos 60°)＝cos 180°＝－1. 答案：－16．已知tan(π＋α)＝－2，求sin(3π－α)和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解：∵tan(π＋α)＝－2，∴tan α＝－2. ∴sin αcos α＝－2， ∴sin α＝－2cos α.将sin α＝－2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1，整理，得5cos 2α＝1.∴cos 2α＝15.∴cos α＝±55. 又∵tan α＝－2＜0，∴α为第二或第四象限的角．当α为第二象限的角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝cos α＝－55，sin(3π－α)＝sin α＝－2cos α＝255；当α为第四象限的角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝cos α＝55，sin(3π－α)＝sin α＝－2cos α＝－255.。
人教新课标版数学高一B版必修4学案 1.2.4 诱导公式(二)
1.2.4 诱导公式(二)明目标、知重点 1.掌握诱导公式四、五的推导，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式一至五，能作综合归纳，体会出五组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.1.诱导公式四～五(1)公式四：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α， tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cot α，cot ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－tan α. 以－α替代公式四中的α，可得公式五.(2)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cot α，cot ⎝⎛⎭⎫π2－α＝tan α. 2.诱导公式四～五的记忆π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”.对形如2k π－α、－α、π＋α的角的三角函数可以转化为α角的三角函数，对形如π2＋α，π2－α的角的三角函数与α角的三角函数，是否也存在着某种关系，需要我们作进一步的探究. 探究点一 诱导公式四 思考1 公式四的内容是什么？答 sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α，tan(π2＋α)＝－cot α，cot(π2＋α)＝－tan α.思考2 如何推导公式四？答 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P ，则点P 的坐标为(cos α，sin α).点P 关于直线y ＝x 的对称点为M ，点M 也在单位圆上，且M 点坐标为(sin α，cos α).点M 关于y 轴的对称点为N ，点N 也在单位圆上，且N 点坐标为(－sin α，cos α).另一方面，点P 经过以上两次轴对称变换到达点N ，等同于点P 沿单位圆旋转到点N ，且旋转角的大小为∠PON ＝2(∠AOM ＋∠MOB )＝2×π4＝π2.因此点N 是角α＋π2与单位圆的交点，点N 坐标为⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2. 所以，有cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α， 从而，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－cot α，cot ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－tan α. 探究点二 诱导公式五 思考1 公式五的内容是什么？答 sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α， tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cot α，cot ⎝⎛⎭⎫π2－α＝tan α. 思考2 如何推导公式五？答 方法1：利用公式二和公式四可得： sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(－α)＝cos(－α)＝cos α， cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋(－α)＝－sin(－α)＝sin α， 从而：tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cot α，cot ⎝⎛⎭⎫π2－α＝tan α. 方法2：如图，设角α与π2－α的终边分别与单位圆交于点P 与P ′，因为角α与π2－α的终边关于直线y ＝x 对称，若设P (x ，y )，则P ′(y ，x ).根据任意角的三角函数的定义推导诱导公式五. ∵sin α＝y ，cos α＝x ， sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝x ，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝y ， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α.由同角三角函数基本关系式得 tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cot α，cot ⎝⎛⎭⎫π2－α＝tan α. 小结 公式一～三归纳：α＋2k π(k ∈Z )，－α，α＋(2k ＋1)π的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”.公式四～五归纳：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.五组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3 的值.解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2， ∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 反思与感悟 利用诱导公式四和诱导公式五求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用.跟踪训练1 已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值. 解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33. 探究点三 诱导公式的应用思考 你能根据相关的诱导公式给出下列等式证明吗？ sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin α.证明 sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－cos α； cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α； sin ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cos α； cos ⎝⎛⎭⎫32π＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin α. 例2 化简：sin (2π－α)cos (π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫112π－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π－α)sin ⎝⎛⎭⎫92π＋α.解 原式＝(－sin α)(－cos α)(－sin α)cos ⎣⎡⎦⎤5π＋⎝⎛⎭⎫π2－α(－cos α)sin (π－α)[－sin (π＋α)]sin ⎣⎡⎦⎤4π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2αcos α⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α(－cos α)sin α[－(－sin α)]sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin 2αcos αsin α－cos αsin 2αcos α＝－sin αcos α＝－tan α.反思与感悟 三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数. (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪训练2 求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－32πcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2－11－2cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋32π＝tan (9π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1. 证明 ∵左边＝－2sin ⎝⎛⎭⎫32π－θ()－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π2－θ(－sin θ)－11－2sin 2θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ(－sin θ)－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝(sin θ＋cos θ)2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. 右边＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原等式成立.例3 已知sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ的值. 解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫722－1＝38， ∴sin 4⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos 4⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－2×⎝⎛⎭⎫382＝2332.反思与感悟 解答本题时，应先利用诱导公式将已知式子和所求式分别化简，再利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值.解答这类给值求值的问题，首先应把所给的进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式. 跟踪训练3 在△ABC 中，sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，试判断△ABC 的形状. 解 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B －C ＝π－2C ，A －B ＋C ＝π－2B .又∵sin A ＋B －C 2＝sin A －B ＋C2，∴sin π－2C 2＝sin π－2B2，∴sin(π2－C )＝sin(π2－B )，∴cos C ＝cos B .又B ，C 为△ABC 的内角，∴C ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形.1.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.－233 B.233 C.13 D.－13答案 D解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13. 2.已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α等于( ) A.－25 B.－15 C.15 D.25答案 C解析 sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝cos α＝15. 3.代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是 . 答案 1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1.4.已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)·sin (－α＋32π)cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos(α－32π)＝15，求f (α)的值.解 (1)f (α)＝－sin αcos α·(－cos α)(－cos α)sin α＝－cos α.(2)∵cos(α－32π)＝cos ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15，又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－125＝－265， ∴f (α)＝－cos α＝265.1.学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式.当k为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.2.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法.3.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.一、基础过关1.已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32答案 A解析 f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240° ＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.2.若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( )A.－12B.12C.32D.－32答案 A解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝－sin α＝－12.3.已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A.－13B.13C.－223D.223答案 A解析 cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 4.若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A.－2m3B.2m 3C.－3m 2D.3m 2 答案 C解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.∴cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .5.在△ABC 中，下列表达式为常数的是( ) A.sin(A ＋B )＋sin CB.cos(B ＋C )－cos AC.sinA ＋B 2cosC 2D.cosB ＋C 2cos A 2答案 C解析 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B 2＝π2－C2，∴sinA ＋B 2＝sin(π2－C 2)＝cos C2. ∴sin A ＋B 2cos C 2＝cosC 2cos C 2＝1，故选C .6.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝ . 答案892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 7.求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边.∴原等式成立. 二、能力提升8.已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23C.－13D.－23答案 D解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α) ＝sin ＋cos＝－sin －cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.9.化简cos (α＋π)·sin 2(α＋3π)tan (α＋4π)·tan (α－π)sin 3(π2＋α)的值为 .答案 －1解析 原式＝－cos α·sin 2αtan α·tan α·cos 3α＝－sin 2αtan 2α·cos 2α＝－tan 2αtan 2α＝－1.10.化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z ). 解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.11.已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值. 解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169， 即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 12.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， 求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值. 解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2.∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α ＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－(sin 3α＋cos α)5sin α－3cos α ＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335. 三、探究与拓展13.是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立. 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由. 解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32， 又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合.当α＝－π4时，代入②得cos β＝32， 又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合. 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件.。
高中数学人教B版必修4作业：1.2.4-第2课时 诱导公式三、四 Word版含解析
一、选择题1．sin 600°＋tan(－300°)的值是( )A ．－32 B.32C ．－12＋ 3 D.12＋3【解析】 原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)＝sin 240°＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝32.【答案】 B2．(2019·杭州高一检测)cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )A ．－1＋32 B.1－32 C.3－12 D.3＋12 【解析】 原式＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12.【答案】 C3．(2019·广东高考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25B ．－15 C.15 D.25【解析】 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.【答案】 C4．若f (cos x )＝2－sin 2x ，则f (sin x )＝( )A ．2－cos 2xB ．2＋sin 2xC ．2－sin 2xD ．2＋cos 2x【解析】 ∵f (cos x )＝2－sin 2x ，∴f (sin x )＝f [cos(π2－x )]＝2－sin[2(π2－x )]＝2－sin(π－2x )＝2－sin 2x .【答案】 C5．(2019·吉安高一检测)若α∈(π2，32π)，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的值为( )A ．±15B ．－15 C.15 D ．－75【解析】 tan(α－7π)＝tan(α－π)＝tan[－(π－α)]＝tan α，∴tan α＝－34，∴sin αcos α＝－34，∵cos 2α＋sin 2α＝1，α∈(π2，3π2)且tan α＝－34，∴α为第二象限角．∴cos α＝－45，sin α＝35，∴sin α＋cos α＝－15.【答案】 B二、填空题6．已知tan(π＋2α)＝－43，则tan 2α＝__________.【解析】 tan(π＋2α)＝tan 2α＝－43.【答案】 －437.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值等于________． 【解析】 原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (360°＋210°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝－cos 45°sin (90°＋45°)－sin (180°＋30°)＝－2222＋12＝2－2. 【答案】 2－28．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 009)＝2，则f (2 010)＝__________.【解析】 ∵f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)＝2.∴f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β)＝a sin[π＋(2 009π＋α)]＋b cos[π＋(2 009π＋β)]＝－[a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)]＝－2.【答案】 －2三、解答题9．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．【解】 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝32×32＋12×12＋1＝2.10．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值； (2)求sin 3(π－α)＋5cos 3 (α－3π)3sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋sin 2(π－α)cos (α－2π)的值． 【解】 (1)∵r ＝|OP |＝ (45)2＋(－35)2＝1，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)＝cos α－sin α·tan α－cos α＝1cos α＝54. (2)∵tan α＝－34，∴sin 3(π－α)＋5cos 3(α－3π)3sin 3(32π－α)＋sin 2(π－α)cos (α－2π)＝sin 3 α－5cos 3 α－3cos 3α＋sin 2 α·cos α＝tan 3 α－5－3＋tan 2 α＝347156.11．(2019·湛江高一检测)已知π6<α<2π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝m (m ≠0)，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．【解】 因为2π3－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－m . 由于π6<α<2π3，所以0<2π3－α<π2.于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α ＝1－m 2.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－1－m 2m .。
2019-2020人教B版数学必修4课时分层作业7 诱导公式(三)、(四)
课时分层作业(七) 诱导公式(三)、(四)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝35，则sin x 的值为( )A.35 B ．－35 C.45D ．－45B [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝－sin x ＝35，∴sin x ＝－35.]2．在△ABC 中，cos(A ＋B )的值等于( ) A ．cos C B ．－cos C C ．sin CD ．－sin CB [cos(A ＋B )＝cos(180°－C )＝－cos C ．]3．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0B [∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0. ∵cos(θ－π)＝－cos θ>0，∴cos θ<0.] 4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A ．－13 B.13 C.223D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1D ．1A [由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ， 所以sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1.] 二、填空题6．若sin(π－α)＝log 8 14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝________.23 [由已知得sin(π－α)＝sin α＝log 32 2－2＝－23. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝23.]7．若a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π，b ＝tan 113π，则a ，b 的大小关系是________.a >b [a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋34π＝tan 34π＝－tan π4，b ＝tan 113π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋23π＝tan 23π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－tan π3，∵0<π4<π3<π2， ∴tan π4<tan π3， ∴a >b .]8．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.2 [由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2， 则原式＝sin (α－π)－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.] 三、解答题9．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值． [解] 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2.10．已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α.[解] (1)f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43.[等级过关练]1．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (6π－α)的值为( )A ．－23m B ．－32mC.23mD.32mB [∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ， 从而sin α＝m2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α ＝－32m .]2．计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C.892D ．45 C [原式＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋sin 2(90°－44°)＋…＋sin 2(90°－3°)＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋(sin 23°＋cos 23°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝________.14 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.]4．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是________．31010 [由条件知⎩⎨⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又α为锐角，tan α＝sin αcos α＝sin α1－sin 2α＝3，解得sin α＝31010.]5．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π，求下列各式的值：(1)sin α－cos α； (2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α. [解] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，①将①两边平方，得1＋2sin αcos α＝29，故2sin αcos α＝－79. 又π2＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0.(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169，∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α) ＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－718＝－2227.。
人教版高中数学必修4课后强化作业 1-3-1 诱导公式二、三、四
基 础 巩 固一、选择题1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( ) A ．α一定是锐角 B ．0≤α<2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角[答案] D2．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β) [答案] B 3．cos(－20π3)等于( ) A.12B.32 C ．－12D ．－32[答案] C [解析] cos(－20π3)＝cos 20π3＝cos(6π＋2π3)＝cos 2π3＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.4．(广东揭阳第一中学2012－2013期中)tan300°＝( ) A.3B ．－3C.33D．－33[答案] B[解析]tan300°＝tan(360°－60°)＝tan(－60°) ＝－tan60°＝－ 3.5．sin600°＋tan240°的值是()A．－32 B.32C．－12＋ 3 D.12＋ 3[答案] B[解析]sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－3 2＋3＝3 2.6．已知tan5°＝t，则tan(－365°)＝()A．t B．360°＋tC．－t D．与t无关[答案] C[解析]tan(－365°)＝－tan365°＝－tan(360°＋5°)＝－tan5°＝－t.二、填空题7．(2013杭州调研)若sin(π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tanα＝________.[答案]－3 3[解析] ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12，又α∈(－π2，0)，∴α＝－π6，tan α＝tan(－π6)＝－33.8．已知α∈(0，π2)，tan(π－α)＝－34，则sin α＝______.[答案] 35[解析] 由于tan(π－α)＝－tan α＝－34，则tan α＝34，解方程组⎩⎨⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈(0，π2)，所以sin α>0.所以sin α＝35.三、解答题9．求值：(1)sin1320°；(2)cos(－316π)． [解析] (1)sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32；(2)cos(－316π)＝cos(－6π＋5π6)＝cos 5π6＝cos(π－π6)＝－cos π6＝－32.10．已知cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (540°＋α)sin (－α－180°)cos (－180°－α)＝lg 1310，求cos (π＋α)cos α[cos (π－α)－1]＋cos (α－2π)cos αcos (π－α)＋cos (α－2π)的值．[解析] ∵cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (540°＋α)sin (－α－180°)cos (－180°－α)＝(－cos α)sin αsin (180°＋α)－sin (180°＋α)cos (180°＋α)＝(－cos α)sin α(－sin α)sin α(－cos α)＝－sin α＝lg 1310，∴sin α＝－lg 1310＝lg 310＝13.∴cos (π＋α)cos α[cos (π－α)－1]＋cos (α－2π)cos αcos (π－α)＋cos (α－2π) ＝－cos αcos α(－cos α－1)＋cos αcos α(－cos α)＋cos α ＝1cos α＋1＋11－cos α＝(1－cos α)＋(1＋cos α)1－cos 2α ＝2sin 2α＝18.。
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一、选择题
1．sin 600°＋tan(－300°)的值是( )
A ．－32 B.32
C ．－12＋ 3 D.12＋ 3
【解析】 原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)
＝sin 240°＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝32.
【答案】 B
2．(2013·杭州高一检测)cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )
A ．－1＋32 B.1－32 C.3－1
2 D.3＋1
2
【解析】 原式＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12.
【答案】 C
3．(2013·广东高考)已知sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25
B ．－15 C.15 D.25
【解析】 sin(5π2＋α)＝cos α，故cos α＝15，故选C.
【答案】 C
4．若f (cos x )＝2－sin 2x ，则f (sin x )＝( )
A ．2－cos 2x
B ．2＋sin 2x
C ．2－sin 2x
D ．2＋cos 2x
【解析】 ∵f (cos x )＝2－sin 2x ，
∴f (sin x )＝f ＝2－sin
＝2－sin(π－2x )＝2－sin 2x .
【答案】 C
5．(2013·吉安高一检测)若α∈(π2，32π)，tan(α－7π)＝－34，则sin α＋cos α的
值为( )
A ．±15
B ．－15 C.15 D ．－75
【解析】 tan(α－7π)＝tan(α－π)＝tan ＝tan α，
∴tan α＝－34，∴sin αcos α＝－34，
∵cos 2α＋sin 2α＝1，α∈(π2，3π2)且tan α＝－34，
∴α为第二象限角．
∴cos α＝－45，sin α＝35，∴sin α＋cos α＝－15.
【答案】 B
二、填空题
6．已知tan(π＋2α)＝－43，则tan 2α＝__________.
【解析】 tan(π＋2α)＝tan 2α＝－43.
【答案】 －43
7.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)
的值等于________． 【解析】 原式＝cos (360°＋225°)
sin (360°＋135°)－sin (360°＋210°)
＝cos 225°sin 135°－sin 210°
＝
－cos 45°sin (90°＋45°)－sin (180°＋30°) ＝－2222＋1
2
＝2－2. 【答案】 2－2
8．若函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 009)＝2，则f (2 010)＝__________.
【解析】 ∵f (2 009)＝a sin(2 009π＋α)＋b cos(2 009π＋β)＝2.
∴f (2 010)＝a sin(2 010π＋α)＋b cos(2 010π＋β)
＝a sin ＋b cos
＝－
＝－2.
【答案】 －2
三、解答题
9．求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值．
【解】 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)
＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°
＝32×32＋12×12＋1＝2.
10．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫45，－35.
(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)
的值； (2)求sin 3(π－α)＋5cos 3 (α－3π)3sin 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π－α＋sin 2(π－α)cos (α－2π)的值． 【解】 (1)∵r ＝|OP |＝ (45)2＋(－35)2＝1，
∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)＝cos α－sin α·tan α－cos α
＝1cos α＝54. (2)∵tan α＝－34，
∴sin 3(π－α)＋5cos 3(α－3π)3sin 3(32π－α)＋sin 2(π－α)cos (α－2π)
＝sin 3 α－5cos 3 α
－3cos 3α＋sin 2 α·cos α
＝tan 3 α－5
－3＋tan 2 α ＝347156.
11．(2013·湛江高一检测)已知π6<α<2π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝m (m ≠0)，求tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－α的值．
【解】 因为2π3－α＝π－⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π3， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3 ＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π3＝－m . 由于π6<α<2π3，所以0<2π3－α<π2.
于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝ 1－cos 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫2π3－α ＝1－m 2. 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αcos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－α＝－1－m 2m .。