人教版八年级数学上册 第27章 相似专题练习：相似三角形的判定与性质(含答案)

C ．∠
D ＝ ∠AEC
D △． AD
E ∽△CBE
c a c
c
C ．AC 2＝A
D · B C
D . ＝
小专题(四) 相似三角形的判定与性质
1．(河北中考)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB ⊥CD 于点 E ，则下列结论 正确的是(D )
︵ ︵ A ．AE >BE
B .AD ＝BC
1
2
2．如图，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，△要使 ABC ∽△CAD ，只要 CD
等于(A )
b 2
b 2
ab
a 2 A . B . C . D .
3．如图，在四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，如果添加下列条件，不能使得△ ABC ∽△DCA 成 立的是(D )
A ．∠BAC ＝∠ADC
B ．∠B ＝∠ACD
DC AB
AC BC
4．(邯郸育华中学月考)如图，在 7×12 的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中 由实线组成的相似三角形有(C )
A ．4 对
B ．3 对
C ．2 对
D ．1 对
提示：△ ABC ∽△FGE △， HIJ ∽△HKL .
5．如图，P 为线段 AB 上一点，AD 与 BC 交于 E ，∠CPD ＝∠A ＝∠B ，BC 交 PD 于 F ，AD 交 PC 于 G ，则图中相似三角形有 3 对．
提示：△ BCP ∽△PCF △， DAP ∽△DPG △
， APG ∽△BFP .
的延长线于 N ，则 1
＋ ＝1．
CD CE ，
AB －3 2
6．(河池中考)如图，菱形 ABCD 的边长为 1，直线 l 过点 C ，交 AB 的延长线于点 M ，交 AD
1 AM AN
7．(保定高阳章末测试)如图，在等边△ ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且 ∠ADE ＝60°.
(1)求证：△ ABD ∽△DCE ； (2)若 BD ＝3，CE ＝2，△求 ABC 的边长．
解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°.
∴∠BAD ＋∠ADB ＝120°. ∵∠ADE ＝60°，
∴∠ADB ＋∠EDC ＝120°. ∴∠DAB ＝∠EDC .
又∵∠B ＝∠C ＝60°， ∴△ABD ∽△DCE .
(2)∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC .
∴CD ＝BC －BD ＝AB －3. ∵△ABD ∽△DCE ，
∴ AB BD
＝
即 AB 3 ＝ .解得 AB ＝9.
8．(邯郸育华中学月考)如图所示，已知 ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2. (1)△求 AEF △与 CDF 的周长之比； (2)如果 △S AEF ＝6 cm 2，求 S △ CDF .
∴ FD BD ＝.
∵AB ＝AD ，BD ＝ BC ，
FD 2
1 ∴ ＝ ＝ .
解：(1)∵AE ∶EB ＝1∶2， ∴AE ∶AB ＝1∶3.
∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD . ∴AE ∶CD ＝AE ∶AB ＝1∶3. ∵AB ∥CD ，
∴△AEF ∽△CDF .
∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长＝1∶3. (2)∵△AEF ∽△CDF ， ∴△S AEF ∶△S CDF ＝1∶9. 又∵△S AEF ＝6， ∴△S CDF ＝6×9＝54(cm 2)．
9．如图，△在 ABC 中，AB ＝AD ，DC ＝BD ，DE ⊥BC ，DE 交 AC 于点 E ，BE 交 AD 于点 F .求证：
(1)△ BDF ∽△CBA ； (2)AF ＝DF .
证明：(1)∵BD ＝DC ， DE ⊥BC ，
∴EB ＝EC .
∴∠EBD ＝∠C . ∵AB ＝AD ，
∴∠ADB ＝∠ABC . ∴△BDF ∽△CBA . (2)由(1)知△， BDF ∽△CBA ，
AB CB 1
2
1 BC
AD CB 2
∴AF ＝DF .
10．(衢州中考)如图，AB 为半圆 O 的直径，C 为 BA 延长线上一点，CD 切半圆 O 于点 D ， 连接 OD ，作 BE ⊥CD 于点 E ，交半圆 O 于点 F ，已知 CE ＝12，BE ＝9.
(1)求证：△ COD ∽△CBE ；
(2)求半圆 O 的半径 r 的长．
∴OD CO r 15－r ∴r ＝ .
＝CB ( C ▱ y BP ＝( )2＝ .
∴y ＝1－ － .
∴y ＝－ ＋x . (2)y ＝－ ＋x ＝－ (x －1)2＋ .
解：(1)证明：∵CD 切半圆于点 D ，OD 为⊙O 的半径， ∴CD ⊥OD .∴∠CDO ＝90°. ∵BE ⊥CD ，
∴∠E ＝90°.
∵∠CDO ＝∠E ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDO ∽△CEB . (2)∵在 △Rt BEC 中，CE ＝12，BE ＝9， ∴CB ＝15.
∵△CDO ∽△CEB .
EB ，即9＝ 15 .
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11．淄博中考)如图，在△ ABC 中，点 P 是 BC 边上任意一点(点 P 与点 B ， 不重合)， AFPE 的顶点 F ，E 分别在 AB ，AC 上．已知 BC ＝2，S △ ABC ＝1.设 BP ＝x ，▱ AFPE 的面积为 y .
(1)求 y 与 x 的函数关系式；
(2)上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当 x 取何值时， 有这样的值，并求出该值； 若没有，请说明理由．
解：(1)∵四边形 AFPE 是平行四边形， ∴PF ∥CA .
∴△BFP ∽△BAC .
∴ S △ BFP ＝( )2 x )2. S △ BAC BC 2 x 2 ∵△S ABC ＝1，∴S △ BFP ＝ 4 .
同理 △S PEC ＝( 2－x x 2－4x ＋4 2 4
x 2 x 2－4x ＋4
4 4 x 2
2
x 2 1 1
2 2 2
当x＝1时，y有最大值，最大值为.
∴
BF
＝.
662－2t6－t
∴AN
＝.
1
2
12．(菏泽中考)正方形ABCD的边长为6cm，点E、M分别是线段BD、AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.
(1)如图1，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；
(2)如图2，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B 出发，以2cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为t s.
①设BF＝y cm，求y关于t的函数表达式；
②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°.
∵MN⊥AF，∴∠NAH＋∠ANH＝90°.
∵∠NDA＋∠ANH＝90°，
∴∠NAH＝∠NDA.
∴△ABF≌△DAN.
∴AF＝DN.
∴AF＝MN.
(2)①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BF.
∴∠ADE＝∠FBE.
∵∠AED＝∠BEF△，∴EBF∽△EDA.
BE
AD ED
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝CB＝6.
∴BD＝6 2.
由题意得，BE＝2t，则DE＝62－2t.
y2t6t
∴＝，即y＝.
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MAN＝∠FBA＝90°.
∵MN⊥AF，∴∠NAH＋∠ANH＝90°.
∵∠NMA＋∠ANH＝90°，
∴∠NAH＝∠NMA.
∴△ABF∽△MAN.
BF
AM AB
∵BN＝2AN，AB＝6，∴AN＝2.
6t
26－t
∴＝.解得t＝2.
6－t6。