定积分的概念和可积条件
合集下载
第7章第2节定积分存在的条件
证明: 设对于a，b有两个独立的分法，
对应的达布和分别记为 s1，s1及s2，s2， 我们来证明 s1 s2. 把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，
对应的达布和分别记为S3 , 及S3，于是由定理1知
S1 S3, S3 S2 . 而S3 S3 , 所以S1 S2.
(证毕)
2020年4月6日星期一
i
ixi 0.
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
19
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
二、可积函数类（三类可积函数）
1. a,b上的连续函数在a,b上可积.
证明: 设f x 在a,b上连续。根据康托定理， f x在a,b上一致连续，
所以对任意的 0， 0,使对于
a,b上任意两点x', x'',只要 x' x'' ，
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
21
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
2. 只有有限个第一类不连续点的函数是可积的. (即, 分段函数是可积的).
证明：设f x有k个不连续点：x1' , x2' ,L , xk'，则对于
任意的 0及 0，总存在适当小的 0，使 ，
2k
而对任何分法，当 maxxi 时，
n
S f i xi S
i 1
n
取极限 0，得
lim f
0 i1
i
xi I
可积准则1：f 在a,b可积 lim S S 0 0
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
16
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
对应的达布和分别记为 s1，s1及s2，s2， 我们来证明 s1 s2. 把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，
对应的达布和分别记为S3 , 及S3，于是由定理1知
S1 S3, S3 S2 . 而S3 S3 , 所以S1 S2.
(证毕)
2020年4月6日星期一
i
ixi 0.
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
19
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
二、可积函数类（三类可积函数）
1. a,b上的连续函数在a,b上可积.
证明: 设f x 在a,b上连续。根据康托定理， f x在a,b上一致连续，
所以对任意的 0， 0,使对于
a,b上任意两点x', x'',只要 x' x'' ，
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
21
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
2. 只有有限个第一类不连续点的函数是可积的. (即, 分段函数是可积的).
证明：设f x有k个不连续点：x1' , x2' ,L , xk'，则对于
任意的 0及 0，总存在适当小的 0，使 ，
2k
而对任何分法，当 maxxi 时，
n
S f i xi S
i 1
n
取极限 0，得
lim f
0 i1
i
xi I
可积准则1：f 在a,b可积 lim S S 0 0
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
16
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
定积分存在的条件
10
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
Mi Mi1 x'j xi1
Mi Mi2
xi
x
' j
M
m
x
' j
xi 1
xi
x
' j
M m xi xi1 M m p 1
M
m
p
1
2
p
1
M
m
2
另一方面，由定理1有
*
'
S L S L
2
于是将上面的两个不等式相加，得
'
S
L，S '
L
,及
0 S'－L
2
2
固定了p及 xi' 以后, 可取 (分法固定)
2020年4月8日星期三
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
7
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
min x1'
x0' ,
x2'
x1' , L
,
x'p
x
' p1
,
2 p 1 M m
（分法T 对应的小区间中最小的小区间长度）
证明: 设对于a，b有两个独立的分法，
对应的达布和分别记为 s1，s1及s2，s2， 我们来证明 s1 s2. 把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，
对应的达布和分别记为S3 , 及S3，于是由定理1知
S1 S3, S3 S2 . 而S3 S3 , 所以S1 S2.
(证毕)
2020年4月8日星期三
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
5
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
6.1 定积分的概念及性质
b c b b b
b
b
b
（线性性)
f ( x)dx .
（积分区间具有可加性)
补充 不论 a , b, c 的相对位置如何,上式总成立.
四、定积分的性质
• 性质 4 性质 4
a1dx a dx b a .
b
b
b
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f (x)dx 0 (ab).
2
2
1
x dx （2） ln(1 x)dx 与
2
1
0
1
0
ln 2 (1 x)dx
2 x [1, 2] x x 时， ，由保序性可知 解 （1）当
可知
2
1
xdx x 2 dx ．
1
2
2
x ，由保序性 ) （2 ）当 x [0,1]时， ln(1 x ) ln (1
i 1,2, n
a
b xn x
解决步骤
(2) 取近似
在每个小区间上任 取一点 i 设函数在区间 a, b 上连续
y
xi 1 i xi
y f x 0
为高，以 xi为底， 以 f ( i ) 作 n 个小矩形，其面积分 别为 f i xi , 则 Ai f i xi (i 1,2,, n)
结
1. 定积分的实质: 特殊和式的极限.
思想 以直代曲、以常代变. 取极限. 方法 四步曲: 分割、取近似、求和、
3. 定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用)
4. 典型问题 (1) 估计积分值; (2) 不计算定积分比较积分大小.
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
b
b
b
（线性性)
f ( x)dx .
（积分区间具有可加性)
补充 不论 a , b, c 的相对位置如何,上式总成立.
四、定积分的性质
• 性质 4 性质 4
a1dx a dx b a .
b
b
b
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f (x)dx 0 (ab).
2
2
1
x dx （2） ln(1 x)dx 与
2
1
0
1
0
ln 2 (1 x)dx
2 x [1, 2] x x 时， ，由保序性可知 解 （1）当
可知
2
1
xdx x 2 dx ．
1
2
2
x ，由保序性 ) （2 ）当 x [0,1]时， ln(1 x ) ln (1
i 1,2, n
a
b xn x
解决步骤
(2) 取近似
在每个小区间上任 取一点 i 设函数在区间 a, b 上连续
y
xi 1 i xi
y f x 0
为高，以 xi为底， 以 f ( i ) 作 n 个小矩形，其面积分 别为 f i xi , 则 Ai f i xi (i 1,2,, n)
结
1. 定积分的实质: 特殊和式的极限.
思想 以直代曲、以常代变. 取极限. 方法 四步曲: 分割、取近似、求和、
3. 定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用)
4. 典型问题 (1) 估计积分值; (2) 不计算定积分比较积分大小.
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
函数可积性
2020/1/13 s(T1 ) s(T2 ) 同法可证 S(T2 ) S(T114)
s(T2 ) s(T1 ) [mk ( x xk1 ) mk( xk x)] mk ( xk xk1 )
[Mk ( x xk1 ) Mk ( xk x)]
记作:
积分上限
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k 1
f (k ) xk
积分下限
定积分是 :
[a, b] 称为积分区间
积分和式的极限
2020/1/13
4
b
[例如] 曲边梯形的面积 A f ( x)dx a b 变速直线运动的路程 s v(t)dt a 定积分的“ ”定义：
1 D( x) 0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
在[0, 1]上 不 可 积
[证]
任给[0,
1]的一个划
分xk
n k0
任 取k [ xk1 , xk ]是 有 理 数 (k 1,, n)
n
n
n
D(k )xk
k 1
xk
k 1
1
lim
0
作业
P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9.
复习：P37—53 预习：P54—60
2020/1/13
1
第五讲 函数可积性
一、定积分的概念 二、可积性条件与可积类
2020/1/13
2
一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设 函 数 f : [a, b] R, 对 区 间[a, b]
2020/1/13
s(T2 ) s(T1 ) [mk ( x xk1 ) mk( xk x)] mk ( xk xk1 )
[Mk ( x xk1 ) Mk ( xk x)]
记作:
积分上限
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k 1
f (k ) xk
积分下限
定积分是 :
[a, b] 称为积分区间
积分和式的极限
2020/1/13
4
b
[例如] 曲边梯形的面积 A f ( x)dx a b 变速直线运动的路程 s v(t)dt a 定积分的“ ”定义：
1 D( x) 0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
在[0, 1]上 不 可 积
[证]
任给[0,
1]的一个划
分xk
n k0
任 取k [ xk1 , xk ]是 有 理 数 (k 1,, n)
n
n
n
D(k )xk
k 1
xk
k 1
1
lim
0
作业
P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9.
复习：P37—53 预习：P54—60
2020/1/13
1
第五讲 函数可积性
一、定积分的概念 二、可积性条件与可积类
2020/1/13
2
一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设 函 数 f : [a, b] R, 对 区 间[a, b]
2020/1/13
第十讲 定积分的概念与性质 积分上限函数及其导数
1.
b
o a
xi 1xi
(左矩形公式)
bx
a f ( x) dx y0x y1x yn1x
a ( y y y b 0 1 n 1 ) n
2.
a f ( x) dx y1x y2x yn x
a ( y y y ) b 1 2 n n
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )xi
0 i 1
o a x1
xi 1 xi
i
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2) 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: a) 大化小. n 个小段 过的路程为 b) 常代变. 得 将它分成 在每个小段上物体经
2
则
2 i f (i )xi i2 xi 3 n
i n
下页 返回
1x
结束
注 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
n
1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n
y
1 2 x 0
A5 b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和（几何意义）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、可积的充分条件:
定理1.
定理2.
且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
y
yx
o
b
o a
xi 1xi
(左矩形公式)
bx
a f ( x) dx y0x y1x yn1x
a ( y y y b 0 1 n 1 ) n
2.
a f ( x) dx y1x y2x yn x
a ( y y y ) b 1 2 n n
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )xi
0 i 1
o a x1
xi 1 xi
i
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2) 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: a) 大化小. n 个小段 过的路程为 b) 常代变. 得 将它分成 在每个小段上物体经
2
则
2 i f (i )xi i2 xi 3 n
i n
下页 返回
1x
结束
注 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
n
1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n
y
1 2 x 0
A5 b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和（几何意义）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、可积的充分条件:
定理1.
定理2.
且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
y
yx
o
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
71定积分的概念与可积条件
x x a 轴 与 两 条 直 线 、
y
y f( x )
A ?
a b
x b 所 围 成 .
o
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2 x x f ( ) x i i i i i xi ,
n
n
2
n
i 1
i 1
i 1
1 n 2 1n ( n 1 )( 2 n 1 ) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
n
2
1 1 1 1 , 2 6 n n
[ a , b ] 区 间 上 可 积 .
四、定积分的几何意义
f( x ) 0 , f( x ) 0 ,
f(x ) dx A 曲边梯形的面积 a
b
f(x ) dx A 曲边梯形的面积 a
的负值
b
A1
A2
A3
A4
f ( x ) dx A A A A 1 2 3 4 a
i 1 , 2 , , n [ q , q ] 典 型 小 区 间 为 ， （ ）
i 1 i
小 区 间 的 长 度 , x q q q ( q 1 ) i
i 1 , 2 , , n 取 ， （ ） q i
n 1 1 i1 q (q1 ) f (i )xi x i i 1 i 1 i 1 i i 1q
y
y f( x )
A ?
a b
x b 所 围 成 .
o
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2 x x f ( ) x i i i i i xi ,
n
n
2
n
i 1
i 1
i 1
1 n 2 1n ( n 1 )( 2 n 1 ) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
n
2
1 1 1 1 , 2 6 n n
[ a , b ] 区 间 上 可 积 .
四、定积分的几何意义
f( x ) 0 , f( x ) 0 ,
f(x ) dx A 曲边梯形的面积 a
b
f(x ) dx A 曲边梯形的面积 a
的负值
b
A1
A2
A3
A4
f ( x ) dx A A A A 1 2 3 4 a
i 1 , 2 , , n [ q , q ] 典 型 小 区 间 为 ， （ ）
i 1 i
小 区 间 的 长 度 , x q q q ( q 1 ) i
i 1 , 2 , , n 取 ， （ ） q i
n 1 1 i1 q (q1 ) f (i )xi x i i 1 i 1 i 1 i i 1q
数学分析ch7-1定积分的概念和与可积条件
数学分析ch7-1定积分的概念和与 可积条件
目录
• 定积分的概念 • 可积条件 • 定积分的应用 • 定积分与不定积分的关系
01 定积分的概念
定积分的定义
定积分是积分和的极限
定积分定义为积分区间[a,b]上，函数f(x)与直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边 梯形的面积，即对任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当分割的区间长度 最大不超过δ时，积分和的绝对值不超过ε。
计算方法不同
定积分需要先找到被积函数的原函 数，再利用微积分基本定理计算； 而不定积分则直接对被积函数进行 不定积分运算。
定积分与不定积分的转换
利用微积分基本定理
通过求不定积分得到原函数，再利用定积分的定义计算出定 积分的值。
利用牛顿-莱布尼茨公式
将定积分转换为不定积分的计算，需要先找到被积函数的原 函数，再利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的值。
在计算曲线长度时，我们需要确定曲线的起点和终点，并将其表示为连续可微的函数。然后， 我们可以利用这个函数来计算定积分，从而得到曲线的长度。
定积分在计算曲线长度方面具有广泛的应用，它可以用来计算各种曲线的长度，如圆弧、椭 圆弧、抛物线等。
04 定积分与不定积分的关系
定积分与不定积分的联系
两者都是积分，都是求解曲线 与x轴所夹的面积。
定积分的性质
线性质
∫(a,b)[k*f(x)+g(x)]dx=k*∫(a,b)f(x)d x+∫(a,b)g(x)dx，其中k和g(x)是常数。
区间可加性
下限函数的积分性质
∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f[φ(t)]φ'(t)dt， 其中φ(t)是单调不减的函数，且 φ(a)=b，φ(b)=a。
目录
• 定积分的概念 • 可积条件 • 定积分的应用 • 定积分与不定积分的关系
01 定积分的概念
定积分的定义
定积分是积分和的极限
定积分定义为积分区间[a,b]上，函数f(x)与直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边 梯形的面积，即对任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当分割的区间长度 最大不超过δ时，积分和的绝对值不超过ε。
计算方法不同
定积分需要先找到被积函数的原函 数，再利用微积分基本定理计算； 而不定积分则直接对被积函数进行 不定积分运算。
定积分与不定积分的转换
利用微积分基本定理
通过求不定积分得到原函数，再利用定积分的定义计算出定 积分的值。
利用牛顿-莱布尼茨公式
将定积分转换为不定积分的计算，需要先找到被积函数的原 函数，再利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的值。
在计算曲线长度时，我们需要确定曲线的起点和终点，并将其表示为连续可微的函数。然后， 我们可以利用这个函数来计算定积分，从而得到曲线的长度。
定积分在计算曲线长度方面具有广泛的应用，它可以用来计算各种曲线的长度，如圆弧、椭 圆弧、抛物线等。
04 定积分与不定积分的关系
定积分与不定积分的联系
两者都是积分，都是求解曲线 与x轴所夹的面积。
定积分的性质
线性质
∫(a,b)[k*f(x)+g(x)]dx=k*∫(a,b)f(x)d x+∫(a,b)g(x)dx，其中k和g(x)是常数。
区间可加性
下限函数的积分性质
∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f[φ(t)]φ'(t)dt， 其中φ(t)是单调不减的函数，且 φ(a)=b，φ(b)=a。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的直径。对每一个这样的划分 作如下黎曼和：
n
S() f ( i )xi，i [xi1, xi ], i 1
如果当 0 时极限 lim S() 存在，且与划分 的具 0
体选取无关，也与 i 的选取无关，则称函数 f (x) 在 [a,b]
上是黎曼可积的，并称上述极限为 f (x) 在 [a,b] 上的定积分，
T2
t tn1
n
n
(3) 作和： S si v( i )ti
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 1
n
S (4) 取极限：记
t
max {
1in
ti
},
lim
t 0
i 1
v( i
)ti
二、定积分的定义
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，在 [a,b] 上任意取分 点a x0 x1 xn b，我们称之为区间 [a,b] 的一个划分， 记作 ，同时记 xi xi xi1，x m1iaxn {xi}，称之为划分
S( ') S(), S( ') S().
证明： 不是一般性，设 ' 就比 多一个分点 x '，且
不妨设 x ' (xk1, xk ) ，则
n
k 1
n
S() Mixi Mixi Mk xk Mixi
i 1
i 1
ik 1
k 1
S( ') Mixi (x ' xk1) sup f (x)
记作：
b
f (x)dx
，
即
a
b
n
a
f (x)dx
lim S()
0
lim
0 i1
f (
i )xi.
f (x) 在 [a,b] 上黎曼可积也简称可积。
注：在上面的定义中我们假定 a b，如果 a b， 则作如下约定
b
a
a f (x)dx b f (x)dx.
积分上限
b a
n
f ( x)dx lim x0 i 1
若是匀速直线运动， 路程 = 速度
时间.
(1) 分割: T1 t0 t1 ti1 ti tn T2,
ti ti ti1, (i 1,2, , n)
(2) 近似： 任取 i [ti1, ti ],
si v( i )ti (i 1,2, , n)
T1
t1 t2
i
t ti1 i
分点为：a x0 x1 x2 xi1 xi xn b,
xi xi xi1 ( i 1,2, n ).
（2）近似：任取 i [ xi1 , xi ],
y
Si f (i )xi ( i 1,2, ,n )
y f (x)
f ( ) i
（3）作和：
n
n
S Si f ( i )xi
割圆术
割之弥细，所失弥少；割之又割， 以至于不可割，则与圆周，体而 无所失矣.
——刘徽
阿基米德（Archimedes， 约前287—212 ）
球体、圆柱体的体积和表面 积的计算公式，提出了抛物 线所围成的面积和弓形面积 的计算方法。最著名的还是 求阿基米德螺线（ρ=α×θ ）所围面积的求法，这种螺 线就以阿基米德的名字命名。
i 1
x[ xk1 ,x ']
n
(xk x ') sup f (x) Mixi
问题：求曲边梯形的面积。
y f (x)
a0
b
基本思想：分割---〉求和
f x0
f x2 f x1
f x3
x0 a x1
x2
x3 x4 b
n 8 的情形
n 16 的情形
n 32 的情形
一、引例
例1. 曲边梯形的面积
y
y f (x)
oa
bx
(1) 分割: 将区间[a,b]任意分为 n个子区间，
与达布小和。
显然有
n
S() f (i )xi S(), i [xi1, xi ], i 1, 2, , n. i 1
现设 , ' 都是区间 [a,b] 的划分，如果 的每一个 分点都包含在 ' 之中，则称 ' 是 的加细划分， 记作 ' 。
引理7.1.1 设 f (x) 是定义在区间 [a,b] 上的有界函数， , ' 是 [a,b] 的两个划分，且 ' ，则
在 [0,1] 上的可积性。
解：对于 [0,1] 的任何一个划分 : 0 x0 x1 xn 1，
每一个小区间 [xi1, xi ] 上既有有理数又有无理数，
如果每一个 i 都取有理数，则
n
n
n
S() D(i )xi 1• xi (xi xi1) 1,
i 1
i 1
i 1
如果每一个 i 都取无理数，则
i 1
i 1
a o
b x x1
x 2
3
xi1•xi
x
（4）取极限：
记
x
max {
1 i n
xi
},
i
n
S lim x0 i 1
f ( i )xi
例2. 变速直线运动的路程
设物体作直线运动, 已知速度 v v(t)是时间间隔 [T1,T2 ]上的连续
函数，且 v(t) 0 , 计算在这段 时间内物体所经过的路程.
f (i )xi
积分下限
被
积
函
数
积
被 积 式
分 变 量
[a,b]叫做积分区间
“ ”语言定义：
设函数 f (x) 在区间 [a, b] 上有界，如果存在常数 I
使得对任意的正数 总存在一个正数 使得对于区
间 [a, b] 的任何分划 ；a x0 x1 xn b，
只要
x
max
1i n
对于 [a,b] 的任何一个划分 : a x0 x1
xn b，记
Mi sup f (x),
x[ xi1,xi ]
mi
inf
x[ xi1,xi ]
f
(x),
i 1, 2, , n
n
S() Mixi , i 1
n
S() mixi , i 1
S()与 S() 分别称为划分 的达布（Darboux）大和
n
n
S() D(i )xi 0 • xi 0，
i 1
i 1
因此
lim S()
0
依赖于
i
的选取，
D(x) 在 [0,1] 上不可积。
三、黎曼可积的条件
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，记
M sup f (x),
m inf f (x),
x[ a ,b ]
x[a,b]
xi
，则不论
i
在 [ xi1, xi ] 中怎
样选取，总有
n
f (i )xi I
i 1
成立，则称 I 是 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分，
记作：b f (x)dx a
比较：定积分与不定积分有何区别？
例7.1.1
讨论Dirichlet函数
1, D(x) 0,
x为有理数， x为无理数
n
S() f ( i )xi，i [xi1, xi ], i 1
如果当 0 时极限 lim S() 存在，且与划分 的具 0
体选取无关，也与 i 的选取无关，则称函数 f (x) 在 [a,b]
上是黎曼可积的，并称上述极限为 f (x) 在 [a,b] 上的定积分，
T2
t tn1
n
n
(3) 作和： S si v( i )ti
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 1
n
S (4) 取极限：记
t
max {
1in
ti
},
lim
t 0
i 1
v( i
)ti
二、定积分的定义
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，在 [a,b] 上任意取分 点a x0 x1 xn b，我们称之为区间 [a,b] 的一个划分， 记作 ，同时记 xi xi xi1，x m1iaxn {xi}，称之为划分
S( ') S(), S( ') S().
证明： 不是一般性，设 ' 就比 多一个分点 x '，且
不妨设 x ' (xk1, xk ) ，则
n
k 1
n
S() Mixi Mixi Mk xk Mixi
i 1
i 1
ik 1
k 1
S( ') Mixi (x ' xk1) sup f (x)
记作：
b
f (x)dx
，
即
a
b
n
a
f (x)dx
lim S()
0
lim
0 i1
f (
i )xi.
f (x) 在 [a,b] 上黎曼可积也简称可积。
注：在上面的定义中我们假定 a b，如果 a b， 则作如下约定
b
a
a f (x)dx b f (x)dx.
积分上限
b a
n
f ( x)dx lim x0 i 1
若是匀速直线运动， 路程 = 速度
时间.
(1) 分割: T1 t0 t1 ti1 ti tn T2,
ti ti ti1, (i 1,2, , n)
(2) 近似： 任取 i [ti1, ti ],
si v( i )ti (i 1,2, , n)
T1
t1 t2
i
t ti1 i
分点为：a x0 x1 x2 xi1 xi xn b,
xi xi xi1 ( i 1,2, n ).
（2）近似：任取 i [ xi1 , xi ],
y
Si f (i )xi ( i 1,2, ,n )
y f (x)
f ( ) i
（3）作和：
n
n
S Si f ( i )xi
割圆术
割之弥细，所失弥少；割之又割， 以至于不可割，则与圆周，体而 无所失矣.
——刘徽
阿基米德（Archimedes， 约前287—212 ）
球体、圆柱体的体积和表面 积的计算公式，提出了抛物 线所围成的面积和弓形面积 的计算方法。最著名的还是 求阿基米德螺线（ρ=α×θ ）所围面积的求法，这种螺 线就以阿基米德的名字命名。
i 1
x[ xk1 ,x ']
n
(xk x ') sup f (x) Mixi
问题：求曲边梯形的面积。
y f (x)
a0
b
基本思想：分割---〉求和
f x0
f x2 f x1
f x3
x0 a x1
x2
x3 x4 b
n 8 的情形
n 16 的情形
n 32 的情形
一、引例
例1. 曲边梯形的面积
y
y f (x)
oa
bx
(1) 分割: 将区间[a,b]任意分为 n个子区间，
与达布小和。
显然有
n
S() f (i )xi S(), i [xi1, xi ], i 1, 2, , n. i 1
现设 , ' 都是区间 [a,b] 的划分，如果 的每一个 分点都包含在 ' 之中，则称 ' 是 的加细划分， 记作 ' 。
引理7.1.1 设 f (x) 是定义在区间 [a,b] 上的有界函数， , ' 是 [a,b] 的两个划分，且 ' ，则
在 [0,1] 上的可积性。
解：对于 [0,1] 的任何一个划分 : 0 x0 x1 xn 1，
每一个小区间 [xi1, xi ] 上既有有理数又有无理数，
如果每一个 i 都取有理数，则
n
n
n
S() D(i )xi 1• xi (xi xi1) 1,
i 1
i 1
i 1
如果每一个 i 都取无理数，则
i 1
i 1
a o
b x x1
x 2
3
xi1•xi
x
（4）取极限：
记
x
max {
1 i n
xi
},
i
n
S lim x0 i 1
f ( i )xi
例2. 变速直线运动的路程
设物体作直线运动, 已知速度 v v(t)是时间间隔 [T1,T2 ]上的连续
函数，且 v(t) 0 , 计算在这段 时间内物体所经过的路程.
f (i )xi
积分下限
被
积
函
数
积
被 积 式
分 变 量
[a,b]叫做积分区间
“ ”语言定义：
设函数 f (x) 在区间 [a, b] 上有界，如果存在常数 I
使得对任意的正数 总存在一个正数 使得对于区
间 [a, b] 的任何分划 ；a x0 x1 xn b，
只要
x
max
1i n
对于 [a,b] 的任何一个划分 : a x0 x1
xn b，记
Mi sup f (x),
x[ xi1,xi ]
mi
inf
x[ xi1,xi ]
f
(x),
i 1, 2, , n
n
S() Mixi , i 1
n
S() mixi , i 1
S()与 S() 分别称为划分 的达布（Darboux）大和
n
n
S() D(i )xi 0 • xi 0，
i 1
i 1
因此
lim S()
0
依赖于
i
的选取，
D(x) 在 [0,1] 上不可积。
三、黎曼可积的条件
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，记
M sup f (x),
m inf f (x),
x[ a ,b ]
x[a,b]
xi
，则不论
i
在 [ xi1, xi ] 中怎
样选取，总有
n
f (i )xi I
i 1
成立，则称 I 是 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分，
记作：b f (x)dx a
比较：定积分与不定积分有何区别？
例7.1.1
讨论Dirichlet函数
1, D(x) 0,
x为有理数， x为无理数