2003年考研数学试题详解及评分参考
2003数一数三考研数学真题及解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上.)(1)设10,cos ,()0,0,x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩其导函数在0x =处连续,则λ的取值范围是 .(2)已知曲线b x a x y+-=233与x 轴相切,则2b 可以通过a 表示为=2b.(3)设0,a >,01,()()0,,a x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩若其他而D 表示全平面,则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.(4)设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α;E 为n 阶单位矩阵,矩阵T E A αα-=,T aE B αα1+=其中A 的逆矩阵为B ,则a =.(5)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为.(6)设总体X 服从参数为2的指数分布,n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,则当∞→n 时,∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每题小给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设()f x 为不恒等于零的奇函数,且)0(f '存在,则函数xx f x g )()(= (A ) 在0x =处左极限不存在. (B ) 有跳跃间断点0x =. (C ) 在0x =处右极限不存在.(D ) 有可去间断点0x =.(2)设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值,则下列结论正确的是 (A ) ),(0y x f 在0y y=处的导数等于零.(B ) ),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C )),(0y x f 在0y y =处的导数小于零.(D ) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.(3)设2nn n a a p +=,2nn n a a q -=, ,2,1=n ,则下列命题正确的是(A ) 若∑∞=1n na条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B ) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C )∑∞=1n na若条件收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq的敛散性都不定.(D ) 若∑∞=1n na绝对收敛,则∑∞=1n np与∑∞=1n nq的敛散性都不定.(4)设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ,若A 的伴随矩阵的秩等于1,则必有(A ) a b =或20a b +=. (B ) a b =或20a b +≠. (C ) a b ≠且20a b +=.(D ) a b ≠且20a b +≠.(5)设s ααα,,,21 均为n 维向量,下列结论不正确．．．的是 (A ) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ,则s ααα,,,21 线性无关.(B ) 若s ααα,,,21 线性相关,则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,有1122k k αα+0.s s k α++=L(C ) s ααα,,,21 线性无关的充要条件是此向量组的秩为s . (D ) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:1A ={掷第一次出现正面},2A ={掷第二次出现正面},3A ={正、反面各出现一次},4A ={正面出现两次},则事件(A ) 321,,A A A 相互独立. (B ) 432,,A A A 相互独立. (C ) 321,,A A A 两两独立.(D ) 432,,A A A 两两独立.三、(本题满分8分) 设1111(),[,1)sin (1)2f x x x x x πππ=+-∈-,试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.四、(本题满分8分)设(,)f u v 具有二阶连续偏导数,且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ,又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求 .2222ygx g ∂∂+∂∂五、(本题满分8分) 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域D =}.),{(22π≤+y x y x六、(本题满分9分)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数()f x 及其极值.七、(本题满分9分)设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在),(+∞-∞内满足一下条件:)()(x g x f =',)()(x f x g ='且(0)0f =,.2)()(x e x g x f =+(1)求()F x 所满足的一阶微分方程; (2)求()F x 出的表达式.八、(本题满分8分)设函数()f x 在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==.试证必存在(0,3)ξ∈,使.0)(='ξf九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时,(1)方程组仅有零解;(2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分13分) 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ,其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为12-.(1)求,a b 的值;(2)利用正交变换将二次型化f 为标准型,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本题满分13分)设随机变量X的概率密度为[1,8],();0,xf x∈=⎩其他()F x是X的分布函数,求随机变量()Y F X=的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X与Y独立,其中的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X,而Y的概率密度为()f y,求随机变量U X Y=+的概率密度()g u.2003年考研数学三试题答案与解析一、填空题(1)【分析】从题意知参数λ是在实数集中取值,这时幂函数xλ的定义域为0x>.故题目中的函数宜改为10,cos,()0.0,xxf x xxλ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩若若以下讨论这个函数()f x的导函数'()f x在0x=处的连续的条件.显然()f x在0x=可导的充要条件是1λ>,且当1λ>时有'1001cos01(0)lim lim cos0.x xxxf xx xλλ++-+→→-===-由()f x是偶函数,又可得''00()(0)()(0)(0)lim lim(0)0.00x xf x f f x ff fx x---+→→---==-=-=---故当1λ>时,'(0)f存在且等于0.注意,当0x >时,1211'()cossin f x x x x x λλλ--=+; 当0x <时,1211'()cos sin f x xx x xλλλ--=+. 于是()f x 由的导函数在0x =处连续得0lim '()'(0)0x f x f →==,故λ的取值范围是2λ>.(2)【分析】22'()33y x x a =-,令'()0y x =有x a =或x a =-.由题设还有3330a a b -+=或3330a a b -++=,所以32b a =或32b a =-,即264b a =.(3)【分析】 由题设知201,01,()()0,x y x a f x g y x ⎧≤≤≤-≤-=⎨⎩若且其他,于是,令1{(,)01,01}{(,)01,1}D x y x y x x y x x y x =≤≤≤-≤=≤≤≤≤+,则1112220()()x xDD I f x g y x dxdy a dxdy adx dy a +=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 按可逆定义,有AB E =,即()111()TTT T T T E E E aa aαααααααααααα-+=+--.由于22T a αα=,而Tαα是秩为1的矩阵,故111(12)0120, 1.2T AB E a a a a a a αα=⇔--=⇔--=⇒==-已知0a <,故应填:1-.(5)【分析】 (0.4),DZ D X DX =-=(,)(,0.4)(,)(,),0.9.XY XY Cov Y Z Cov Y X Cov Y X Cov X Y ρρ=-======(6)【分析】 根据简单随机样本的性质,n X X X ,,,21 相互独立都服从参数为2的指数分布,因此22212,,,nX X X L 也都相互独立同分布,且它们共同的期望值为222111()().422i i i EX DX EX =+=+= 根据辛钦大数定律,当∞→n 时,∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于其期望值12,因此应填:12.二、选择题(1)【分析】 由()f x 是奇函数有(0)0f =.又因为)0(f '存在,所以00()(0)()(0)limlim lim ().0x x x f x f f x f g x x x→→→-'===- 由于函数()g x 在点0x =无定义,但存在0lim ()'(0)x g x f →=,所以0x =是()g x 的可去间断点.故应选(D ).(2)【分析】 由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微,知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在,又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零.从而有000(,)(,)(,)0.y y x y x y df x y f dyy==∂==∂故应选(A ).(3)【分析】 利用正项级数的比较判别法,由级数∑∞=1n na绝对收敛以及0,0n n n n p a q a ≤≤≤-≤可知,正项级数∑∞=1n np与1()nn q ∞=-∑都收敛,从而∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛,故应选(B ).(4)【分析】 根据伴随矩阵A *秩的关系式,(),()1,()1,0,()1,n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩若若若知()1()2r A r A *=⇔=.若a b =,易见()1r A ≤,故可排除(A ),(B ).当a b ≠时,A 中有2阶子式0a b b a≠,若()2r A =,按定义只需0A =.由于2222(2)().a b a b a b A b a b a b a b b b a +++⎡⎤⎢⎥==+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以应选(C ).(5)【分析】 按线性相关定义:若存在不全为零的数s k k k ,,,21 ,使11220s s k k k ααα+++=L ,①则称向量组s ααα,,,21 线性相关.即齐次方程组1212(,,,)0s n x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 有非零解,则向量组s ααα,,,21 线性相关,而非零解就是关系式①中的组合系数.按定义不难看出(B )是错误的,因为①式中的常数s k k k ,,,21 不能是任意的,而应当是齐次方程组的解.所以应选(B ).而向量组s ααα,,,21 线性无关,即齐次方程组1212(,,,)0s n x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L M 只有零解,亦即系数矩阵的秩12(,,,)s r s ααα=L.故(C )是正确的,不应当选.因为线性无关等价于齐次方程组只有零解,那么,若s k k k ,,,21 不全为0,则12(,,,)T s k k k L 必不是齐次方程组的解,即必有02211≠+++s s k k k ααα .可知(A )是正确的,不应当选.因为“如果s ααα,,,21 线性相关,则必有11,,,s s ααα+L 线性相关”,所以,若s ααα,,,21 中有某两个向量线性相关,则必有s ααα,,,21 线性相关.那么s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其任一个部分组必线性无关.因此(D )是正确的,不应当选.(6)【分析】 123411211(),(),(),(),22424P A P A P A P A ===== 124132312311()(),()(),()()044P A A P A P A A P A A P A A A P =====∅=.计算看出121213132323()()(),()()(),()()(),P A A P A P A P A A P A P A P A A P A P A ===但是123123()()()()P A A A P A P A P A ≠.因此事件123,,A A A 两两独立但不相互独立.应选(C ).进一步分析,由于事件24A A ⊃,故2A 与4A 不独立.因此不能选(B )与(D ).三、【解】利用sin sin[(1)]sin (1)x x x ππππ=--=-,并令(1)y x π=-,有111(1)sin lim ()lim (1)sin x x x xf x x xπππππ--→→--=+-200001sin 1sin lim lim sin 11cos 1sin 1lim lim .22y y y y y y y yy y y y y y πππππ++++→→→→--=+=+-=+=+=由于()f x 在1[,1)2上连续,因此定义1(1)f π=,就可使()f x 在]1,21[上连续.四、【解】由一阶全微分形式不变性,得221()()()()2f f f f dg d xy d x y ydx xdy xdx ydy u v u v ∂∂∂∂=+-=+--∂∂∂∂ ()()f f f f y x dx x y dy u v u v∂∂∂∂=++-∂∂∂∂.于是,g f f g f f y x x y x u v y u v∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂. 故22222222()()()()g f f f f f f f f y x y y x y x x x u x v v u u v v u v v∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂22222222,f f f f y xy x u u v v v ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂ 22222222()()()()g f f f f f f f fx y x x y y x y y y u y v v u u v v u v v∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=--=----∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 22222222.f f f f x xy y u u v v v ∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂ 所以 22222222222222()().g g f f y x x y x y x y u v∂∂∂∂+=+++=+∂∂∂∂五、【解】作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,有2222()2220sin()sin x y r DI eex y dxdy ed r dr πππθ-+-=+=⎰⎰⎰.令2t r =,则0sin t Ie e tdt πππ-=⎰.记0sin t A e tdt π-=⎰,于是sin sin cos t t t A tde e te tdt πππ---=-=-+⎰⎰cos cos sin 1.t t t tde e te tdt e A ππππ----=-=--=+-⎰⎰由此可解得1(1).2A e π-=+ 因此 (1)(1).22I e A e e e πππππππ-==+=+六、【解】将等式21()1(1)(1)2nnn x f x x n ∞==+-<∑逐项求导,得 2121'()(1)(1).1n n n xf x x x x ∞-==-=-<+∑ 上式两边从0到x 积分,有2201()(0)ln(1)(1).12xt f x f dt x x t -=-=-+<+⎰由于(0)1f =,故得到了和函数()f x 的表达式21()1ln(1)(1).2f x x x =-+<令'()0f x =,可求出函数()f x 有唯一驻点0x =,因为2221''()''(0)10,(1)x f x f x -=-⇒=-<+ 可见()f x 在点0x =处取得极大值,且极大值为(0)1f =.七、【解】(1)由22()'()()()'()()()F x f x g x f x g x f x g x =+=+22[()()]2()()(2)2().x f x g x f x g x e F x =+-=-可知()F x 所满足的一阶微分方程为2'()2()4.xF x F x e+=(2)用2xe同乘方程两边,可得24(())'4xx eF x e =,积分即得22()4,x x e F x e C =+于是方程的通解是22().xx F x eCe -=+将(0)(0)(0)0F f g ==代入上式,可确定常数1C =-.故所求函数的表达式为22().x x F x e e -=-八、【分析】 本题关键是证明存在一点[0,3)c ∈,使()1f c =,然后(3)1f =,用用罗尔定理即可.【证明】因为()f x 在[0,3]上连续,所以()f x 在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M 和最小值m ,于是(0),(1),(2).m f M m f M m f M ≤≤≤≤≤≤故(0)(1)(2)1.3f f f m M ++≤=≤这表明1[(0)(1)(2)]3f f f ++是函数()f x 当[0,2]x ∈时的值域[,]m M 上的一个点.由闭区间上连续函数的最大、最小值定理与介值定理知,至少存在一点[0,2]c ∈,使(0)(1)(2)()13f f f f c ++==.因为()1(3)f c f ==,且()f x 在[,3]c 上连续,在(,3)c 内可导,所以由罗尔定理知,必存在(0,3)(0,3),ξ∈⊂使.0)(='ξf九、【解】方程组的系数行列式12312312312312300000n n n n n a b a a a a b a a a a a b a a b b A a a a b a bb a a a a bbb+++-=+=-+-L L LL LL M M M M M M MM LL2311000().000000in nn i i a ba a ab b a b b b-=+==+∑∑L L L M M M M L(1)当0b ≠且10ni i a b =+≠∑时,0A ≠,方程组仅有零解.(2)当0b =时,原方程组的同解方程组为11220.n n a x a x a x +++=L由10nii a=≠∑可知(1,2,,)i a i n =L 不全为零,不妨设10a ≠.因为秩()1r A =,取23,,,n x x x L 为自由变量,可得到方程组的基础解系为12123111(,,0,,0),(,0,,,0),,(,0,0,,).T T T n n a a a a a a ααα-=-=-=-L L L L当1n i i b a ==-∑时,由10nii a=≠∑知0b ≠,系数矩阵可化为12312311100001010110000.1010100100000011nn in i a b a a a a a a a a b b A bb bb =⎡⎤+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦∑L L L L L L LM M M M uu r uu r L MM M M L M M MM L LL①②由于秩()1r A n =-,则0Ax =的基础解系是(1,1,1,1)T α=L .十、【解】(1)二次型f 的矩阵为002002a b A b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.设A 的特征值为(1,2,3)i i λ=,由题设,有 12321232(2)1,1,22(2)12.a ab A a b λλλλλλ++=++-=⎧⎪⇒==⎨==--=-⎪⎩(已知0b >). (2)由矩阵A 的特征多项式21021220(2)(2)(3),22202E A λλλλλλλλλ-----=-=-=-+-+-+得到A 的特征值1232, 3.λλλ===-对于2λ=,由102102(2)0,000000,204000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得到属于2λ=的线性无关的特征向量12(0,1,0),(2,0,1).T T αα==对于3λ=-,由402201(3)0,050010,201000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦得到属于3λ=-的特征向量3(1,0,2)T α=-.由于123,,ααα已两两正交,故只需单位化,有123(0,1,0),,2).T T T γγγ===- 那么,令1230(,,)100.0P γγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣则P 为正交矩阵,在正交变换x Py =下,有122.3T P AP P AP -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦二次型的标准型为222123223f y y y =+-.十一、【解】 易见,当1x <时,()0F x =;当8x >时,()1F x =.对于[1,8]x ∈,有1()1xf x ==⎰.设()G y 是随机变量()Y F X =的分布函数.显然当0y ≤时,()0G y =;当1y ≥时,()1G y =. 对于(0,1)y ∈,有(){}{()}1}G y P Y y P F X y P y =≤=≤=≤33{(1)}[(1)].P X y F y y =≤+=+=于是,()Y F X =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二、【解】 设()F y 是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U X Y =+的分布函数为(){}G u P X Y u =+≤0.3{1}0.7{2}0.3{11}0.7{22}.P X Y u X P X Y u X P Y u X P Y u X =+≤=++≤==≤-=+≤-=由于X 和Y 独立,可见()0.3{1}0.7{2}0.3(1)0.7(2).G u P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-由此,得U 的概率密度()'()0.3'(1)0.7'(2)0.3(1)0.7(2).g u G u F u F u f u f u ==-+-=-+-。
2003年考研数学一试题及完全解析(Word版)
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x . 【评注】 本题属基本题型。
2003数学四--考研数学真题详解
2003年全国硕士研究生入学统一考试经济数学四试题详解及评析一、填空题（1）极限xx x 20)]1ln(1[lim ++→= .【答】 2e【详解】 xx x 20)]1ln(1[lim ++→=)]1ln(1ln[2lim x xx e++→=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lim 00e ee x x x x x x ==+++→→（2）dx e x x x∫−−+11)(= .【答】 )21(21−−e 【详解】dx ex x x∫−−+11)(=dx xedx ex xx∫∫−−−−+1111=dx ex x−−∫111122x x xe dx xde −−+=−∫∫=1102()xx xe e dx −−−−∫ =)21(21−−e .(3)设a>0，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则∫∫−=Ddxdy x y g x f I )()(= .【答】2a 【详解】 ∫∫−=Ddxdy x y g x f I )()(=dxdy ax y x ∫∫≤−≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx ax x=−+=∫∫∫+（4）设A,B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵. 已知AB=2A+B,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡202040202,则 1)(−−E A = .【答】 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 【详解】 由AB=2A+B, 知 AB-B=2A-2E+2E, 即有 E E A B E A 2)(2)(=−−−， E E B E A 2)2)((=−−， E E B E A =−⋅−)2(21)(， 可见 1)(−−E A =)2(21E B −=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100.（5）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T"α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 TE A αα−=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= . 【答】 -1【详解】 由题设，有)1)((T Ta E E AB αααα+−= =TT T T a a E αααααααα⋅−+−11=TT T T a a E αααααααα)(11−+−=TT T a a E αααααα21−+−=E aa E T=+−−+αα)121(,于是有 0121=+−−a a ，即 0122=−+a a ，解得 .1,21−==a a 由于a<0 ,故a=-1.（6）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5, EX=EY=0,222==EY EX, 则2)(Y X E += .【答】 6 【详解】 因为2)(Y X E +=22)(2EY XY E EX ++ =4+]),([2EY EX Y X Cov ⋅+=4+2.625.024=××+=⋅⋅DY DX XY ρ二、选择题（1）曲线21x xe y =(A) 仅有水平渐近线. (B) 仅有铅直渐近线.(C) 既有铅直又有水平渐近线. (D) 既有铅直又有斜渐近线. 【答】 [ D]【详解】 当±∞→x 时，极限y x ±∞→lim 均不存在，故不存在水平渐近线；又因为 1lim lim 21==∞→∞→x x x e x y ，0)(lim 1=−∞→x xe x x ，所以有斜渐近线y=x.另外，在 x=0 处21x xe y =无定义，且∞=→1lim x x xe ，可见 x=0为铅直渐近线.故曲线21x xe y =既有铅直又有斜渐近线，应选(D).（2）设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在x=1处连续，则0)1(=ϕ是f(x)在x=1处可导的(A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件.(C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 【答】 [ A ] 【详解】 因为)1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ=⋅−−=−−++→→x x x x f x f x x ， )1(3)(11lim 1)1()(lim 311ϕϕ−=⋅−−−=−−−−→→x x x x f x f x x ， 可见，f(x)在x=1处可导的充分必要条件是 .0)1()1(3)1(3=⇔−=ϕϕϕ 故应选(A).（3）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. 【答】 [ A ]【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00=′y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).（4）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001010100B . 已知矩阵A 相似于B ，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. 【答】 [ C ]【详解】 因为矩阵A 相似于B ，于是有矩阵A-2E 与矩阵B-2E 相似，矩阵A-E 与矩阵B-E 相似，且相似矩阵有相同的秩，而秩(B-2E)=秩3201010102=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−，秩(B-E)=秩1101000101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−， 可见有 秩(A-2E)+秩(A-E)= 秩(B-2E)+秩(B-E)=4，故应选(C). （5）对于任意二事件A 和B(A) 若φ≠AB ，则A,B 一定独立. (B) 若φ≠AB ，则A,B 有可能独立. (C) 若φ=AB ，则A,B 一定独立. (D) 若φ=AB ，则A,B 一定不独立. 【答】 [ B ]【详解】 φ≠AB 推不出P(AB)=P(A)P(B), 因此推不出A,B 一定独立，排除(A); 若φ=AB ，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确选项为(B).（6）设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则 (A) X 与Y 一定独立. (B) (X,Y)服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X+Y 服从一维正态分布. 【答】 [ C ]【详解】 只有当(X,Y) 服从二维正态分布时，X 与Y 不相关⇔X 与Y 独立，本题仅仅已知X 和Y 服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X 与Y 一定独立，排除(A); 若X 和Y 都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道X,Y 是否独立，可排除(B); 同样要求X 与Y 相互独立时，才能推出X+Y 服从一维正态分布，可排除(D).故正确选项为(C).三 、（本题满分8分） 设 21,0(,)1(11sin 1)(∈−−−=x x x x x f πππ 试补充定义f(0),使得f(x)在]21,0[上连续.【详解】)(lim 0x f x +→= -.1π+xx xx x ππππsin sin lim 0−+→= -220sin lim 1ππππx x x x −++→= -xxx 202cos lim 1πππππ−++→= -2202sin lim 1ππππxx +→+ = -.1π由于f(x)在]21,0(上连续，因此定义π1)0(−=f ，使f(x)在]21,0[上连续.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vfu f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g −=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 【详解】v f x u f y x g ∂∂+∂∂=∂∂，.vfy u f x y g ∂∂−∂∂=∂∂ 故 v f v f x v u f xy u f y x g ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， .2222222222v f v f y u v f xy u f x y g ∂∂−∂∂+∂∂∂−∂∂=∂∂所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +五 、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=∫∫−+−π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x)sin(22)(22+=∫∫+−π=.sin 2022dr r re d e r ∫∫−πππθ令2r t =，则 tdt e e I t sin 0∫−=πππ.记 tdt e A t sin 0∫−=π，则t t de e A −−∫−=int 0π=]cos sin [0∫−−−−ππtdt e te t t=∫−−πcos t tde =]sin cos [0tdt e te t t ∫−−+−ππ=.1A e −+−π因此 )1(21π−+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=−六、（本题满分9分）设a>1，at a t f t−=)(在),(+∞−∞内的驻点为).(a t 问a 为何值时，t(a)最小？并求出最小值.【详解】 由0ln )(=−=′a a a t f t，得唯一驻点.ln ln ln 1)(aaa t −= 考察函数aaa t ln ln ln 1)(−=在a>1时的最小值. 令 0)(ln ln ln 1)(ln ln ln 11)(22=−−=−−=′a a aa aa a a t ，得唯一驻点 .ee a =当ee a >时，0)(>′a t ；当ee a <时，0)(<′a t ，因此ee t e11)(−=为极小值，从而是最小值.七、（本题满分9分）设y=f(x) 是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM的面积之和为3163+x ，求f(x)的表达式.【详解】 根据题意，有316)()](1[213+=++∫x x dt t f x f x .两边关于x 求导，得.21)()(21)](1[212x x f x f x x f =−′++当0≠x 时，得.1)(1)(2xx x f x x f −=−′ 此为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 ]1[)(121C dx e xx ex f x dxx+∫−∫=−−−∫=]1[ln 2ln C dx e xx ex x+−−∫=)1(22C dx xx x +−∫ =.12Cx x ++ 当x=0时，f(0)=1.由于x=1时，f(1)=0 ,故有2+C=0，从而C=-2. 所以 .)1(21)(22−=−+=x x x x f八、（本题满分8分）设某商品从时刻0到时刻t 的销售量为kt t x =)(，).0(],,0[>∈k T t 欲在T 时将数量为A 的该商品销售完，试求(1) t 时的商品剩余量，并确定k 的值； (2) 在时间段[0，T]上的平均剩余量.【详解】 (1) 在时刻t 商品的剩余量为 )()(t x A t y −==kt A −， ].,0[T t ∈ 由kt A −=0，得 TA k =， 因此 ,)(t TAA t y −= ].,0[T t ∈ (2) 依题意，)(t y 在[0，T]上的平均值为∫=Tdt t y T y 0)(1 =∫−T dt t T A A T 0)(1=.2A因此在时间段[0，T] 上的平均剩余量为.2A九、（本题满分13分）设有向量组（I ）：T)2,0,1(1=α，T)3,1,1(2=α，Ta )2,1,1(3+−=α和向量组（II ）：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，.)4,1,2(3T a +=β 试问：当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）等价？当a 为何值时，向量组（I ）与（II ）不等价？【详解】 作初等行变换，有),,,,(321321βββααα#=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++−463232112110221111a a a a ###⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−+−−→111100112110111201a a a a ###.(1) 当1−≠a 时，有行列式[]01321≠+=a ααα，秩（3),,321=ααα，故线性方程组)3,2,1(332211==++i x x x i βααα均有唯一解. 所以，321,,βββ可由向量组（I ）线性表示.同样，行列式[]06321≠=βββ，秩（3),,321=βββ，故321,,ααα可由向量组（II ）线性表示. 因此向量组（I ）与（II ）等价.(2) 当a=-1时，有),,,,(321321βββααα#⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→202000112110111201###. 由于秩（321,,ααα）≠秩（),,1321βααα#，线性方程组1332211βααα=++x x x 无解，故向量1β不能由321,,ααα线性表示. 因此，向量组（I ）与（II ）不等价.十、（本题满分13分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a A 11121112可逆，向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11b α是矩阵*A 的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵. 试求a,b 和λ的值.【详解】 矩阵*A 属于特征值λ的特征向量为α， 由于矩阵A 可逆，故*A 可逆.于是0≠λ，0≠A ，且 λαα=*A.两边同时左乘矩阵A ，得 αλαA AA =*， αλαAA =，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111111121112b A b a λ， 由此，得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+.1,22,3λλλA b a b A b A b (1)(2)(3) 由式(1),(2)解得1=b或2−=b ;由式(1),(3)解得 a=2. 由于 42311121112=−==a aA ，根据(1)式知，特征向量α所对应的特征值.343bb A+=+=λ 所以，当1=b 时，1=λ；当2−=b 时，.4=λ十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1.对于]8,1[∈x ，有.131)(3132−==∫x dt t x F x设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当0<y 时，G(y)=0；当1≥y 时，G(y)=1.对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤==})1({}1{33+≤=≤−y X P y X P=.])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为 0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩十二、（本题满分13分）对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<<<B P A P ，)()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P −=ρ称做事件A 和B 的相关系数.(1) 证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零；(2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明.1≤ρ【详解】 (1) 由ρ的定义，可见0=ρ当且仅当P(AB)-P(A)P(B)=0,而这恰好是二事件A 和B 独立的定义，即0=ρ是A 和B 独立的充分必要条件.(2) 考虑随机变量X 和Y:A A X 不出现若出现若⎩⎨⎧=,0,1 .,0,1不出现若出现若B B Y ⎩⎨⎧= 由条件知，X 和Y 都服从0—1分布：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛)((10~A P A P X ，.)((10~⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛B P B P Y 易见)(A P EX =， )(B P EY =；)()(A P A P DX =, )()(B P B P DY =;).()()(),cov(B P A P AB P EXEY EXY Y X −=−= 因此，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二随机变量相关系数的基本性质，可见 .1≤ρ。
2003-数一真题、标准答案及解析
(3)2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)的平均值为40 (cm)，贝U 的置信度为0.95的置信区间是(注：标准正态分布函数值(1.96) 0.975, (1.645) 0.95.)二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)一个极小值点和两个极大值点 两个极小值点和一个极大值点 两个极小值点和两个极大值点已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且lim f (x, y)―xyx 0, y 0(1)lim (cos x)x 0(2)曲面z x 2(3) 设x 21ln(1 x 2)2x 4y z 0平行的切平面的方程是a n cosnx()，则 a2 =(4) 从R 2的基到基1 的过渡矩阵为(5) 设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为 f (x, y)6x, 0 0,x y 其他,1,则 P{X Y 1}(6) 已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布 N(,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度(1) 设函数f(x)在()内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) (B) (C) 0, lim b nn1 ,lim c nn，则必有(A) a nb n 对任意n 成立.(B) b n C n 对任意(C) 极限lim a n C n 不存在. n(D)极限lim b n C n 不存在.n1，则2 2 2(x y )n y 2与平面 0n(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(4)设向量组I:1, 2, , r可由向量组II:1? 2 ,,s线性表示，则(A)当r s时, 向量组II必线性相关•(B)当(r s 时，向量组II必线性相关(C)当r s时，向量组I必线性相关•(D)当j r s 时，向量组1必线性相关[](5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m n矩阵，现有4个命题:①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；②若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A)①②•(B)①③•(C)②④•(D)③④•[ ](6) 设随机变量X~t(n)(n1),Y 1X2，则(A)2Y~ (n )•(B)Y〜2(n 1).(C)Y ~ F(n,1)・(D)Y〜F(1, n).[]三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形 D.(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、(本题满分12分)1 2x ( i)n将函数f (x) arctan 展开成x的幕级数，并求级数的和•1 2x n 02n 1五、(本题满分10分)已知平面区域D {(x, y) 0 x ,0 y }，L为D的正向边界•试证：sin y . sin x . sin y . sin x .(1) ;xe dy ye dx xe dy ye dx；sin y . sin x . - 2(2) ；xe dy ye dx 2 .六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层•汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k>0)•汽锤第一次击打将桩打进地下根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1).问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？.设土a m.(注：m 表示长度单位米.) 七、(本题满分12分)A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵. 十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1 : ax2by 3c 0， 2 : bx2cy 3a 0， 3: cx2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 十一、(本题满分10分) 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从 甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率 .十二、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为设函数y=y(x)在()内具有二阶导数，且y 0, x x(y)是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程第(ydydxsin x)(-dx)3 0变换为y=y(x)满足的微分方程; dy求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0, y (0)、(本题满分12分) 设函数f(x)连续且恒大于零，2 2 2f (x y z )dv(t)y 2)dF(t))d，G(t)f(x 2D(t)t 2，1f(x )dx(t) {( x, y, z) x 2 2 y 2 .2-1z t }，D(t){(x, y) x 22 .2,yt}(1)讨论F(t)在区间 (0, )内的单调性(2)证明当t>0时， F(t)-G(t).九、(本题满分10分)3 2 2 0 1 0设矩阵A 2 3 2， P 1 0 1， B P 1A P ，求 B+2E 2 2 3 0 0 1a b c 0.其中的特征值与特征向量，其中A *为D(t)0是未知参数•从总体X 中抽取简单随机样本 X 1,X 2, ,X n ，记? min (X^X ?, ,X n ).(1) 求总体 X 的分布函数 F(x); (2) 求统计量 ?的分布函数 F ?(x)；(3) 如果用 ?作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性f(x)2e 2(x ),x0, x其中2003年考研数学一真题评注、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)1ln(1 x 2)lim 1_ ln cosx【详解 1】lim(cosx)ln(1 x )= e x 0ln(1 x)x 0sin x1所以原式=e 2故所求的切平面方程为2(x 1) 4(y 2) (z 5) 0,即卩 2x 4y z 5._ 1= ,e .(1) i|m (cos x)【分析】1型未定式，化为指数函数或利用公式lim f (x)g(x) (1 ) = e lim(f(x) 1)g(x)进行计算求极限均而lim x 0 ln(1In cos xx 2) lim 竺空x 0x 2limcosxx 02x，故原式=e1 e"【详解2】 因为lim (cos x 1)x 0ln(1 x 2)1 2xlim 2—x 0 x 2(2) 曲面z2y 与平面2x4yz 0平行的切平面的方程是 2x 4y z 5. 【分析】 待求平面的法矢量为 n {2,4, 1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程 ，而切点坐标可根据曲面z 2 2x y 切平面的法矢量与 n{2,4, 1}平行确定•【详解】22令 F (x, y, z) z x y ,则F x 2x ， F y 2y ， F z 1 .设切点坐标为(x 0,y °,Z 0)，则切平面的法矢量为 { 2x 。
2003考研数一真题及解析
2( x 1) 4( y 2) (z 5) 0 ，即 2x 4 y z 5
21
2003
(3) 【答案】 1
【详解】将 f ( x) x 2 (
x ) 展开为余弦级数
f ( x) x2
an cosnx(
n0
2
f ( x, y)dxdy 进行计算．
g ( x, y ) z0
【详解】图中阴影区域为积分区域 . 由题设，有
P{ X Y 1}
f (x, y)dxdy
y
xy1
1
1x
2 dx 6xdy
0
x
yx
1
21
O
1
2
xy1 x
2003
1
2 (6 x
2
12 x )dx
1
0
4
(6) 【答案】 (39.51,40.49) ．
(5) 设有齐次线性方程组 Ax 0和 Bx 0 , 其中 A, B 均为 m n 矩阵，现有 4 个命题：
① 若 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解，则秩 ( A ) 秩 ( B )；
② 若秩 ( A ) 秩 ( B )，则 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解；
③ 若 Ax 0 与 Bx 0 同解，则秩 ( A )= 秩( B )；
? min( X1, X 2 , , X n ).
(1) 求总体 X 的分布函数 F ( x) ;
(2) 求统计量 ?的分布函数 F?( x) ；
(3) 如果用 ?作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性 .
2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
2003数一数三考研数学真题及解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.)(1))1ln(12)(cos lim x x x +→= .(2)曲面22y x z+=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是.(3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n,则2a =.(4)从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧= 则=≤+}1{Y X P.(6)已知一批零件的长度X (单位:cm )服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40(cm ),则μ的置信度为0.95的置信区间是.(注:标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95.ΦΦ==)二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A ) 一个极小值点和两个极大值点. (B ) 两个极小值点和一个极大值点. (C ) 两个极小值点和两个极大值点. (D ) 三个极小值点和一个极大值点.(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A ) n n b a <对任意n 成立.(B ) n n c b <对任意n 成立.(C ) 极限n n n c a ∞→lim 不存在.(D ) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且22200(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+,则 (A ) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点. (B ) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点. (C ) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点.(D ) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.(4)设向量组I:r ααα,,,21 可由向量组II:s βββ,,,21 线性表示,则 (A ) 当s r <时,向量组II 必线性相关.(B ) 当s r>时,向量组II 必线性相关.(C ) 当s r <时,向量组I 必线性相关.(D ) 当s r >时,向量组I 必线性相关.(5)设有齐次线性方程组0Ax =和0Bx =,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ①若0Ax =的解均是0Bx =的解,则秩(A )≥秩(B ); ②若秩(A )≥秩(B ),则0Ax =的解均是0Bx =的解; ③若0Ax =与0Bx =同解,则秩(A )=秩(B ); ④若秩(A )=秩(B ),则0Ax =与0Bx =同解. 以上命题中正确的是(A ) ①②.(B ) ①③.(C ) ②④.(D ) ③④.(6)设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>,则 (A ) )(~2n Yχ.(B ) )1(~2-n Yχ.(C ) )1,(~n F Y .(D ) ),1(~n F Y .过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D . (1)求D 的面积A ;(2)求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V .四、(本题满分12分)将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.五、(本题满分10分) 已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证:(1)dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xex Ly六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为,0k k >).汽锤第一次击打将桩打进地下a (m ).根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七、(本题满分12分)设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.设函数()f x 连续且恒大于零,222()22()()()()t D t f xy z dVF t f x y d σΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰,22()2()()()D t tt f x y d G t f x dxσ-+=⎰⎰⎰,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九、(本题满分10分)设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ,P A P B *1-=,求2B E +的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx , :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数X 的数学期望; (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分)设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数.从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ,记12ˆmin(,,,X X θ=L )n X .(1)求总体X 的分布函数()F x ; (2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ;(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】 属1∞型. 原式=1cos 1cos 1ln(1)lim[1(cos 1)].x x x x x -⋅-+→+-利用等价无穷小因子替换易求得2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x , 故原式=12.e -(2)【分析】 曲面在任意点(,,)P x y z 处的法向量{2,2,1}x y =-n ,n 与平面042=-+z y x 的法向量{2,4,1}=-0n 平行,λλ⇔=0n n 为某常数,即22,24,1.x y λλλ==-=- 从而1, 2.x y ==,又点P 在曲面上22(1,2)()5z x y P ⇒=+=⇒点处的{2,4,1}=-n .因此所求切面方程是0)5()2(4)1(2=---+-z y x ,即245x y z +-=.(3)【分析】 这是求傅氏系数的问题. 已知)()(2ππ≤≤-=x x x f 是以2π为周期的偶函数,按傅氏系数计算公式得2220002211cos 2sin 22sin 22a x xdx x d x x xdx ππππππ===-⎰⎰⎰=00111cos 2cos 2cos 2 1.xd x x x xdx ππππππ=-=⎰⎰(4)【分析】 设由基12,αα到基12,ββ的过渡矩阵为C ,则1212(,)(,)C ββαα=,即11212(,)(,).C ααββ-=那么,由111110231023011201120112⎡⎤⎡⎤⎡⎤→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 可知应填:23.12⎡⎤⎢⎥--⎣⎦当然也可先求出11111,0101-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦再作矩阵乘法而得到过渡矩阵.(5)【分析】 =≤+}1{Y X P 1(,)x y f x y dxdy +≤⎰⎰11206xxdx xdy -=⎰⎰12016(12).4x x dx =-=⎰(6)【分析】 这是一个正态总体方差已知求期望值μ的置信区间问题,该类型置信区间公式为(,),I x x =+其中λ由{}0.95P U λ<=确定(~(0,1))U N 即 1.96λ=.将40,1,16, 1.96x n σλ====代入上面估计公式,得到μ的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).二、选择题(1)【分析】 由图,()f x 有三个驻点和一个不可导点0.x ='()f x 在三个驻点处,一个由正变负,两个由负变正,因而这三个驻点中一个是极大值点,两个是极小值点;而点0x =(()f x 的连续点)的左侧'()0f x >,0x =的右侧'()0f x <,0x =是()f x 由增变减的交界点,因而是极大值点.应选(C ).(2)【分析】 (A ),(B )显然不对,因为由数列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情况,不可能得出“对任意n 成立”的性质.(C )也明显不对,因为“无穷小⋅无穷大”是未定型,极限可能存在也可能不存在. 故应选(D ).(3)【分析】 由条件000lim[(,)]0lim (,)(0,0)0.x x y y f x y xy f x y f →→→→⇒-=⇒==由极限与无穷小的关系⇒222(,)1(1)()f x y xyo x y -=++ (0).ρ=→⇒2222222(,)()(())()(0).f x y xy x y o x y xy o ρρ=++++=+→ 当y x =时,2(,)(0,0)[1(1)]0f x y f x o -=+>(0ρδ<<时), 当y x =-时,2(,)(0,0)[1(1)]0f x y f x o -=-+<(0ρδ<<时),其中δ是充分小的正数,因此,(0,0)不是(,)f x y 的极值点.应选(A ).(4)【分析】 根据定理“若12,,,s αααL可由12,,,t βββL 线性表出,且s t >,则12,,,s αααL 必线性相关”,即若多数向量可以由少数向量线性表出,则这多数向量必线性相关,故应选(D ).(5)【分析】 显然命题④错误,因此排除(C ),(D ).对于(A )与(B )其中必有一个正确,因此命题①必正确,那么②与③哪一个命题正确呢?由命题①,“若0Ax =的解均是0Bx =的解,则秩(A )≥秩(B )”正确,知“若0Bx =的解均是0Ax =的解,则秩(A )≥秩(B )”正确,可见“若0Ax =与0Bx =同解,则秩(A )=秩(B )”正确.即命题③正确,所以应当选(B ).(6)【分析】 根据t 分布的性质,2~(1,)X F n ,再根据F 分布的性质21~(,1),F n X因此21~(,1)Y F n X=.故应选择(C ).三、【解】(1)曲线ln y x =在点0000(,)(ln )x y y x =处的切线方程为0001();y y x x x -=- 由切线过原点(0,0),得000,y x e ==,所以该切线方程为x y e=.从而,图形的D 面积为(如图)1() 1.2y eA e ey dy =-=-⎰ (2)切线y x e x =、轴与直线x e =所围三角形绕x e =旋转所得圆锥体的体积为211,3V e π=而曲线ln y x x =、轴与直线x e =所围曲边三角形绕x e =的旋转体体积为1222011()(2),22y V e e dy e e ππ=-=-+-⎰或者221112()ln (2).22e V e x xdx e e ππ=-=-+-⎰因此所求旋转体的体积为 212(5123).6V V V e e π=-=-+四、【分析与求解】 (1)因为'()f x 简单,先求'()f x 的展开式,然后逐项积分得()f x 的展开式.因2220112211()()'2(1)4,(,),121214221()12n n nn x f x x x x x x x∞=--'==-=--∈--++++∑ 又(0)4f π=,两边积分得221000(1)411()2(1)42,(,).442122n n x n n nn n n f x t dt x x n ππ∞∞+==-=--=-∈-+∑∑⎰因为()f x 在21=x 连续,21102(1)41(1)21221n n nn x n n xn n ∞∞+===--=++∑∑收敛,所以210(1)411()2,(,].42122n n n n f x x x n π∞+=-=-∈-+∑(2)令21=x ,得21001(1)41(1)()2.24212421n n n n n n f n n ππ∞∞+==--=-⋅=-++∑∑又0)21(=f ,因此0(1).214n n n π∞=-=+∑五、【分析与证明】用格林公式把第二类曲线积分转化为二重积分.(1)由格林公式,有左边曲线积分=sin sin sin sin [()()](),y x y x DDxe ye dxdy e e dxdy x y --∂∂--=+∂∂⎰⎰⎰⎰ 右边曲线积分=sin sin ().y x De e dxdy -+⎰⎰ 因为区域D 关于y x =对称⇒⎰⎰-+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-Dxy dxdy e e )(sin sin (x 与y 互换). 因此dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=---.①(2)由(1)的结论,有sin sin sin sin sin sin ()()y x y x y yLDDxe dy ye dx e e dxdy e e dxdy ----=+=+⎰⎰⎰⎰⎰Ñ2222.DDdxdy π≥==⎰⎰⎰⎰六、【分析】 设第n 次打击后,桩被打进地下n x ,第n 次打击时,气锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设,已知当桩被打进地下的深度为x 时,土层对桩的阻力的大小为kx ,1n n W rW -=要求的是(n x n 3)=及lim .n n x →+∞【解】 通过求1nii W =∑直接求出nx .按功的计算公式:12211011,22x W kxdx kx ka ===⎰2312123,,,.nn x x x n x x x W kxdx W kxdx W kxdx -===⎰⎰⎰L相加得 21201.2nx n n W W W kxdx kx +++==⎰L又 21121n n n n W rW r W r W ---====L ,代入上式得21221111(1),.22n n r r r W kx W ka -++++==L 于是().n x a m ==因此3().x m ==lim ).n n x m →+∞=七、【证明】 (1)实质上是求反函数的一、二阶导数的问题.由反函数求导公式知y dy dx '=1,2211()'()'()'''y y x d x dx dx dy dy y y dy===⋅33''().y dxy y dy ''=-=-' 代入原微分方程,便得常系数的二阶线性微分方程.sin x y y =-''(*)(2)特征方程210r -=的两个根为1,21;r =±由于非齐次项()sin f x x =sin x e x αβ=,0,α=1β=,i i αβ±=±不是特征根,则设(*)的特解*cos sin y a x b x =+,代入(*)求得,10,2a b ==-,故x y sin 21*-=,于是(*)的通解为121()sin .2x x y x C e C e x -=+- 又由初始条件得1,121-==C C ,所求初值问题的解为.sin 21x e e y x x --=-八、【分析与证明】(1)分别作球坐标变换:sin cos ,sin sin ,cos x y z ρϕθϕθρϕ===与极坐标变换:cos ,sin .x r y r θθ==将()F t 中的分子与分母表成定积分,于是222220222()sin 2()().()()ttttd d f drf drF t d f r rdrf r rdrπππθϕρρϕρρθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰下面求'()F t ,由它的符号讨论()F t 的单调性.由变限积分求导法得2222222022()()()()()2(())tttt f t f r rdr t f t f r r drF t f r rdr -'=⎰⎰⎰220220()()()20,[()]tttf t f r r t r drf r rdr -=>⎰⎰(0,)t ∈+∞.因此()F t 在),0(+∞单调增加.(2)如同题(1),先将()G t 表成定积分:22200022()()().2()()ttttd f r rdrf r rdrG t f r rdrf r drπθπ==⎰⎰⎰⎰⎰要证0t >时,2()(),F t G t π>即证2220022()(),()()t t ttf r r dr f r rdr f r rdrf r dr>⎰⎰⎰⎰即证222220()()[()]0.ttt f r dr f r r dr f r rdr ->⎰⎰⎰(*)我们将利用单调性证明这个不等式. 令222220()()()[()],tttt f r dr f r r dr f r rdr Φ=-⎰⎰⎰⇒2222222200'()()()()()2[()]()tttt f t f r r dr f t tf r dr f r rdr f t t Φ=+-⋅⎰⎰⎰2220()()()0t f t f r t r dr =->⎰,(0,)t ∈+∞又()t Φ在0t =处连续⇒()t Φ在[0,)+∞单调增加0t ⇒>时,()(0)0.t ΦΦ>=因此0t >时,).(2)(t G t F π>九、【解】由于322777232232223011E A λλλλλλλλλλ-------=---=--------2111(7)(1)232(1)(7),011λλλλλ=-----=---故A 的特征值为.7,1321===λλλ因为7,i A λ==∏若,A αλα=则.AA ααλ*=所以,A *的特征值为:7,7,1.由于1B P A P -*=,即A *与B 相似,故B 的特征值为7,7,1.从而2B E +的特征值为9,9,3.因为11111()()(),AB P P A P P P A P ααααλ--*--*-===按定义可知矩阵B 属于特征值Aλ的特征向量是1Pα-.因此2B E +属于特征值2+λA的特征向量是1Pα-.由于,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ,而当1λ=时,由222111()0,222000,222000E A x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦得到属于1λ=的线性无关的特征向量为111,0α-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦210.1α-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 当7λ=时,由422121(7)0,242011,224000E A x ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 得到属于7λ=的特征向量为311.1α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦那么1111,0P α-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1211,1P α--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1301.1P α-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故2B E +属于特征值9λ=的全部特征向量为121111,01k k -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12,k k 是不全为零的任意常数. 而2B E +属于特征值3λ=的全部特征向量为301,1k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中3k 为非零的任意常数.十、【解】必要性:若三条直线交于一点,则线性方程组23,23,23ax by c bx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩(*)有唯一解,故()()2r A r A ==.于是0.A =由于23111236()23a bc A b c a a b c b c a c a b c a b--=-=++---2226()()a b c ab c ab ac bc =++++---2223()[()()()],a b c a b b c c a =++-+-+-(* *)由321,,l l l 是三条不同直线,知a b c ==不成立,那么0)()()(222≠-+-+-a c c b b a .故必有.0=++c b a充分性:若0,a b c ++=由(**)知0=A ,故秩() 3.r A <由22222132()2[()]2[()]0,224a b ac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠(否则0a b c ===.)知秩() 2.r A =于是()() 2.r A r A ==因此,方程组(*)有唯一解,即三条直线321,,l l l 交于一点.十一、【解】 (1)易见,X 服从超几何分布,其分布参数为123,3n N N ===,根据超几何分布的期望公式,可直接得到1123.2N EX nN N ==+(2)设A 表示事件“从乙箱中任意取出的一件产品是次品”,由于{0},{1},{2}X X X ===和{3}X =构成完备事件组,因此根据全概率公式,有3300(){}{}{}6k k kP A P X k P A X k P X k =======⋅∑∑3011131{}.66624k kP X k EX =====⋅=∑十二、【解】 (1)2(),1,()().0,x xx e F x f t dt x θθθ---∞≥⎧-==⎨<⎩⎰(2)}),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤=θθ 12121{min(,,,)}1{,,,}n n P X X X x P X x X x X x =->=->>>L L 121{}{}{}n P X x P X x P X x =->>>L1[1()]nF x =--=2(),1,.0,n x x e x θθθ--≥⎧-⎨<⎩(3)ˆθ的概率密度为 2()ˆˆ,2,()'().0,n x x ne f x F x x θθθθθ-->⎧==⎨≤⎩因为2()ˆ1ˆ()2,2n x E xf x dx nxe dx nθθθθθθ+∞+∞---∞===+≠⎰⎰ 所以ˆθ作为θ的矩估计量不具有无偏性.。
2003考研数一真题及解析
次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后， 求：
(1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二 、(本题满分8分) 设总体的概率密度为
其中是未知参数. 从总体中抽取简单随机样本，记 (1) 求总体的分布函数; (2) 求统计量的分布函数； (3) 如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.
=[[=
(5)【答案】． 【分析】本题为已知二维随机变量的概率密度，求满足一定条件的概 率．连续型二维随机变量概率的求解方法 此题可转化为二重积分进行计算． 【详解】图中阴影区域为积分区域. 由题设，有
1 O (6)【答案】． 【分析】可以用两种方法求解：
(1) 已知方差，对正态总体的数学期望进行估计. 因为，设有个样 本，样本均值，则，将其标准化，由公式得：
六【详解】(1) 建立坐标系，地面作为坐标原点，向下为轴正向，设第
次击打后，桩被打进地下，第次击打时，汽锤所作的功为．由题设，当
桩被打进地下的深度为时，土层对桩的阻力的大小为，汽锤所作的功等
于克服阻力所做的功．
，，，
从而
又
，，
从而
于是 ．
(2) 第次击打后，桩被打进地下，第次击打时，汽锤所作的功为．
九【分析】 法1：可先求出，进而确定及，再按通常方法确定其特征值
和特征向量；法2：先求出的特征值与特征向量，再相应地确定的特征
值与特征向量，最终根据与相似求出其特征值与特征向量．
① 若的解均是的解，则秩()秩()；
② 若秩()秩()，则的解均是的解；
③ 若与同解，则秩()=秩()；
2003年考研数学(一)试题及答案解析
2003年考研数学（一）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim)1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例1.30-31】.（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例10.28】和 《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例8.13】.（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.62第一大题第（6）小题和《数学复习指南》P.240 【例8.37】.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例3.35】. （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x xy1DO211 x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N n X μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . 【评注】 本题属基本题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.608 【例6.16】.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] yO x【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是 .)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想，类似分析思想的例题见《数学复习指南》P.43 【例1.71】.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。
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相互独立，于是 Z 2 ~ c 2 (1) ，从而
c2 n 1 = : F (n,1) . 故选 (C) . X 2 Z2 1
三、 （本题满分 10 分） 过坐标原点作曲线 y = ln x 的切线， 该切线与曲线 y = ln x 及 x 轴围成平面图形 D . (1) 求 D 的面积 A ； (2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V . 解 (1) 设切点的横坐标为 x0 ，则曲线 y = ln x 在点 ( x0 , ln x0 ) 处的切线方程是
2
有 a2 =
p p 2 p 2 1 x cos 2 xdx = [ x 2 sin 2 x - ò 2 x sin 2 xdx] ò 0 0 p 0 p
p 1 p [ x cos 2p 0 - ò cos 2 xdx] = 1 . 0 p æ1 ö æ1 ö æ1ö æ1 ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç (4) 从 R 2 的基 a 1 = ç , a = 到基 b = , b = 2 1 2 ç 0÷ ç - 1÷ ç1÷ ç 2÷ ÷ 的过渡矩阵为 è ø è ø è ø è ø æ2 3 ö 【答】 应填 ç ç - 1 - 2÷ ÷. è ø
s s za , X + za ) ，由于 za = z0.025 ， 1 - 0.025 = 0.975 = F (1.96 ) ，数据代入， n 2 n 2 2 1 1 得置信区间为 (40 ´1.96, 40 + ´ 1.96) = ( 39.51, 40.49 ) 16 16
(X 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分） (1) 设函数 f ( x) 在 (-¥,+¥) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f ( x) 有 (A) 一个极小值点和两个极大值点 (B) 两个极小值点和一个极大值点 (C) 两个极小值点和两个极大值点 (D) 三个极小值点和一个极大值点 【答】 应选 (C). 【解】 在 y 轴左侧，因 f ¢( x) 由正变负再变正，故 f ( x ) 由增变减再变增，从而有一个极 大值点和一个极小值点；而在 y 轴右侧，因 f ¢( x) 由负变正，故 f ( x) 由减变增，从而有 一个极小值点；又在点 x = 0 左右领域， f ¢( x) 由正变负， f ( x) 由增变减，且 f ( x) 在点
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因此所求旋转体的体积为 V = V1 - V2 = p e2 - p (e - e y )2dy =
2 (A) Y ~ c ( n)
1 ，则 X2 (B) Y ~ c 2 ( n - 1) (C) Y ~ F ( n ,1) Z
(D) Y ~ F (1, n)
【答】 应选 (C) . 【解】 因 X ~ t (n) ，故 X =
c n
2
~ t ( n ) ，其中 Z ~ N (0,1) ， c 2 ~ c 2 (n) ，且 Z 与 c 2
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(B) 当 r > s 时，向量组 II 必线性相关 (D) 当 r > s 时，向量组 I 必线性相关
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① 若 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解，则秩 ( A) ³ 秩 ( B ) ； ② 若秩 ( A) ³ 秩 ( B ) ，则 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解； ③ 若 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，则秩 ( A) = 秩 ( B ) ； ④ 若秩 ( A) = 秩 ( B ) ，则 Ax = 0 与 Bx = 0 同解 以上命题中正确的是 (A) ① ② (B) ① ③ (C) ② ④ (D) ③ ④
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2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
1
(1) lim(cos x)
x ®0
l n (1+ x 2 ) 1 2
=
.
【答】 应填 e
-
=
.
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【解】 设过度矩阵为 P ，则 (a1 a 2 ) P = ( b1 b 2 ) ，因而
æ1 1 ö æ 1 1 ö æ 1 1 öæ 1 1 ö æ 2 3 ö ÷ P = (a1 a 2 ) ( b1 b 2 ) = ç ÷ ç ÷ =ç ÷ç ÷ =ç ÷. ç è 0 -1ø è 1 2 ø è 0 -1øè 1 2 ø è - 1 - 2 ø ì 6 x, 0 £ x £ y £ 1 ， (5) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) = í 其他 î0, 则 P{ X + Y £ 1} = .
.
1 ln cos x
2
【解】 lim(cos x)
x ®0
l n (1+ x )
= lim e
x ®0
ln 1+ x 2
(
) ，而
lim
x ®0
ln cos x ln(1 + cos x - 1) cos x - 1 1 1 = lim = = - ，所以原式= 2 2 2 0 x ® x ln(1 + x ) 2 x e
【答】 应选 (B) . 【解】 若 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解，则 Ax = 0 的解空间的维数不超过 Bx = 0 的解 空间的维数，即 n - rA £ n - rB ，亦即 rA ³ rB ，故①正确；同理③也正确.又由两个解空 间的维数的大小关系， 推不出两个齐次线性方程的解集是否有包含关系， 所以②不成立, 同理，④也不成立. 故选 (B) . (6) 设随机变量 X ~ t (n) (n > 1) ， Y =
(A) 点 (0,0) 不是 f ( x, y ) 的极值点 (B) 点 (0,0) 是 f ( x, y ) 的极大值点 (C) 点 (0,0) 是 f ( x, y ) 的极小值点 (D) 根据所给条件无法判断点 (0,0) 是否为 f ( x, y ) 极值点 【答】 应选 (A) . 【解】 因 lim
cnbn cnbn lim = n ®¥ 存在，与条件矛盾. n ®¥ b lim bn n
n ®¥
因此 lim bn cn 存在，故应选 (D) .
n ®¥
(3) 已知函数 f ( x, y ) 在点 (0,0) 的某个领域内连续，且 lim
x ®0 y ®0
f ( x, y ) - xy = 1 ，则 (x2 + y 2 )2
n ®¥
n ®¥
n ®¥
只是在 n 充分大时才成立，而不是对任意 n 成立，故因予排除； 对于选项(C)，由于 lim a n c n 是 0 × ¥ 型，故其极限可能不存在，也可能存在，故也排除；
n ®¥
对于选项(D)，假若 lim bn cn 存在，则有 lim cn = lim
n ®¥ n ®¥
-1
-1
【答】 应填 1 / 4 . 【解】 P{ X + Y £ 1} =
x + y £1
òò
f ( x, y )dxdy = ò 2 dx ò
0
1
1- x
x
6 xdy =
ò
1 2 0
6 x (1 - 2 x ) dx =
1 . 4
(6) 已知一批零件的长度 X （单位：cm）服从正态分布 N ( m ,1) ，从中随机地抽取 16 个零 . 件，得到长度的平均值为 40（cm） ，则 m 的置信度为 0.95 的置信区间是 （注：标准正态分布函数值 F (1.96) = 0.975， F (1.645) = 0.95 ） 【答】 应填 （ 39.51, 40.49） . 【解】 记 X 为样本均值，置信度为 0.95（即 a = 0.05 ）的双侧置信区间为
x ®0 y ®0
f ( x, y ) - xy = 1 ，故 lim[ f ( x, y ) - xy ] = 0 ，即 f (0, 0) = 0 . x ®0 (x2 + y 2 )2 y ®0
又记 a =
f ( x, y ) - xy - 1 ，知 lim a = 0 ，且 f ( x, y ) = xy + (a + 1)( x 2 + y 2 ) 2 . 2 2 2 x ®0 (x + y ) y ®0
2 2Βιβλιοθήκη -2 x0 -2 y0 1 = = ，从而 x0 = 1, y0 = 2 . 2 4 -1
.
(3) 设 x =
2
åa
n =0
¥
n
cos nx (-p £ x £ p ) ，则 a2 =
【答】 应填 1. 【解】 由题设， an 是偶函数 x 在区间 [ -p , p ] 上周期为 2 p 的傅里叶系数，取 n = 2 ，
(A) a n < bn 对任意 n 成立
(B) bn < c n 对任意 n 成立
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(C) lim a n c n 极限不存在
n ®¥
(D) lim bn c n 极限不存在
n ®¥
【答】 应选 (D) . 【解】 对于选项(A)和(B)，尽管据题设有， lim an < lim bn < lim c n ，但极限的保号性