信息熵的性质
3第二章2-熵的性质
∑ P(a ) = 1
i =1 i
q
•定义自信息的数学期望为平均自信息量H(X)，称为信息熵： 定义自信息的数学期望为平均自信息量 信息熵： 定义自信息的数学期望为平均自信息量 ，称为信息熵
我们用概率矢量 来表示 率分布P(x)： 来表示概 我们用概率矢量P来表示概率分布 ：
4、扩展性 、
lim H q +1 ( p1 , p 2 ,..., p q − ε , ε ) = H q ( p1 , p 2 ,..., p q )
ε →0
因为
ε →0
lim H q +1 ( p1, p2 ,⋅ ⋅ ⋅, pq − ε , ε )
= lim{−∑ pi log pi − ( pq − ε ) log( pq − ε ) − ε log ε }
∑p
i =1
n
i
= 1,
∑q
j =1
m
j
=1
∑∑ p q
i =1 j =1 i
n
m
j
=1
p ( xi y j ) = p ( xi ) p ( y j ) = pi q j
可加性是熵函数的一个重要特性。 可加性是熵函数的一个重要特性。
证明： 证明：
H nm ( p1 q1 , p1 q 2 ,..., p1 q m , p 2 q1 ,..., p n q m )
q −1 i =1
= −∑ pi log pi =H q ( p1 , p2 ,⋅ ⋅ ⋅, pq )
i =1
ε →0 q
lim ε log ε = 0
ε →0
所以， 所以，上式成立
性质说明：信源的取值数增多时， 性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率 很小(接近于零 则信源的熵不变。 接近于零)， 很小 接近于零 ，则信源的熵不变。
通信原理信息熵
通信原理信息熵通信原理中的信息熵是指在信息传输中所包含的信息量的度量。
信息熵的概念最早由克劳德·香农在1948年提出，他定义了信息熵作为信息传输中的不确定性度量。
信息熵通常用来描述一个随机变量中所包含的信息量的平均值。
在通信系统中，信息熵可以用来衡量信息源的不确定性，即信息源产生的符号的平均信息量。
信息熵越高，表示信息源产生的符号越不确定，需要更多的信息来描述。
相反，信息熵越低，表示信息源产生的符号越确定，需要较少的信息来描述。
信息熵的计算公式为H(X) = - Σ P(x) log2 P(x)，其中P(x)为随机变量X取某个值的概率。
这个公式告诉我们，信息熵的计算需要知道每个符号出现的概率。
如果一个符号出现的概率很高，那么它所携带的信息量就很低，因为我们可以预测它的出现。
相反，如果一个符号出现的概率很低，那么它所携带的信息量就很高，因为它的出现是不可预测的。
信息熵的单位是比特（bit），表示信息量的大小。
一个比特表示一个二进制选择的结果，即两种可能性中的一种。
例如，抛一次硬币的结果可以用1比特来表示，因为它有两种可能的结果：正面或反面。
如果我们抛两次硬币，结果可以用2比特来表示，因为它有四种可能的结果：正正、正反、反正、反反。
在通信系统中，信息熵的概念对于设计编码方案和传输协议非常重要。
在编码方案中，我们希望尽可能地利用信息熵的特性，减少冗余信息，提高编码效率。
在传输协议中，我们需要考虑信道容量和传输速率，以确保能够有效地传输信息。
信息熵的概念也与信息压缩和数据压缩密切相关。
在信息压缩中，我们希望通过去除冗余信息来减少数据的存储空间和传输带宽。
信息熵提供了一个理论上的界限，即最低的压缩率。
在数据压缩算法中，我们可以利用信息熵的特性来设计压缩算法，以提高压缩效率。
除了信息熵，通信原理中还有其他重要的概念，如信噪比、传输速率和带宽等。
这些概念共同构成了通信系统的基础知识。
了解和理解这些概念对于设计和优化通信系统非常重要。
信息论基础——熵
信息论基础——熵
熵、联合熵与条件熵
所以
H(XY) p (x iy j)I(x iy j) p (x iy j)lo p (x ig y j)
i,j
i,j
p(xiyj)lop(g yj)p(xi/yj)
i,j
p (x iy j)lo p (y g j) p (x iy j)lo p (x g i/y j)
说明：
从数学角度： H(P)= pi ·log pi 中的和式满足交换率；
从随机变量的角度：熵只与随机变量的总体统计特性有关。
信息论基础——熵
信息熵的基本性质
一个例子：
P ( x x ) 1 a / 1 3 1 a / 2 6 1 a / 3 2 , P ( y y ) 1 a / 1 6 1 a / 2 2 1 a / 3 3 , P ( z z ) 1 a / 1 3 1 a / 2 2 1 a / 3 6 H(X)H(1,1,1)1.45(B9/iSt ym ) bol 362 H(Y)H(1,1,1)1.45(B9/iSt ym ) lob H (X )H (Y)H (Z) 623 H(Z)H(1,1,1)1.45 (B9/iSt ym ) bol 326
由熵联合熵与条件熵ijijixypxpyxp?jijyxpyp??ijjiyxpiixp???j?jyphxyhyhxy所以?xyh?iyjy?ixix??jjijijjijiyxpyxpyxiyxplogloglogxxppyyppyypp?i????熵联合熵与条件熵ijjjlogjjjypyp?h??logjijijiyxpyxp??yxhy??loglogjijijijijjiyxpyxpypyxp????例例某一二维离散信源某一二维离散信源其发出的符号只与前一个符号有关其发出的符号只与前一个符号有关即可用联合概率xxjj给出它们的关联程度给出它们的关联程度如下表所示如下表所示即可用联合概率pxpxii14194361121031??????????????????iipxpxpxpxiixxjjjjxi??求信源的熵求信源的熵hxhx条件熵条件熵hxhx22xx11和联合熵和联合熵hxhx11xx22
信息论基础理论与应用考试题及答案
信息论基础理论与应用考试题及答案信息论基础理论与应用考试题一﹑填空题（每题2分，共20分）1.信息论研究的目的就是要找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的（可靠性）﹑（有效性）﹑保密性和认证性，使信息传输系统达到最优化。
（考点：信息论的研究目的）2.电视屏上约有500×600=3×510个格点，按每点有10个不同的灰度等级考虑，则可组成531010⨯个不同的画面。
按等概计算，平均每个画面可提供的信息量约为（610bit /画面）。
（考点：信息量的概念及计算）3.按噪声对信号的作用功能来分类信道可分为 （加性信道）和 （乘性信道）。
（考点：信道按噪声统计特性的分类）4.英文电报有32个符号（26个英文字母加上6个字符），即q=32。
若r=2，N=1，即对信源S 的逐个符号进行二元编码，则每个英文电报符号至少要用 （5）位二元符号编码才行。
（考点：等长码编码位数的计算）5.如果采用这样一种译码函数，它对于每一个输出符号均译成具有最大后验概率的那个输入符号，则信道的错误概率最小，这种译码规则称为（最大后验概率准则）或（最小错误概率准则）。
（考点：错误概率和译码准则的概念）6.按码的结构中对信息序列处理方式不同，可将纠错码分为（分组码）和（卷积码）。
（考点：纠错码的分类）7.码C=｛（0，0，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，0，1，1）｝是（（4，2））线性分组码。
（考点：线性分组码的基本概念）8.定义自信息的数学期望为信源的平均自信息量，即（11()log ()log ()()q i i i i H X E P a P a P a =⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦∑）。
（考点：平均信息量的定义）9.对于一个（n,k）分组码，其最小距离为d，那么，若能纠正t个随机错误，同时能检测e（e≥t）个随机错误，则要求（d≥t+e+1）。
（考点：线性分组码的纠检错能力概念）10.和离散信道一样，对于固定的连续信道和波形信道都有一个最大的信息传输速率，称之为（信道容量）。
信息熵(informationentropy)百科物理
信息熵（informationentropy）百科物理
信息熵（informationentropy）百科物理
广泛的阅读有助于学生形成良好的道德品质和健全的
人格，向往真、善、美，摈弃假、恶、丑;有助于沟通个人与外部世界的联系，使学生认识丰富多彩的世界，获取信息和知识，拓展视野。
快一起来阅读信息熵(informationentropy)百科物理吧~
信息熵（informationentropy）
信息熵(informationentropy)
是信息论中信息量的统计表述。
香农(Shannon)定义信息量为：`I=-Ksum_ip_ilnp_i`，表示信息所消除的不确定性(系统有序程度)的量度，K为待定常数，pi为事件出现的概率，$sump_i=1$。
对于N个等概率事件，pi=1/N，系统的信息量为I=-Klnpi=KlnN。
平衡态时系统热力学函数熵的最大值为$S=-ksum_iW_ilnW_i=klnOmega$，k为玻尔兹曼常数，Wi=1/为系统各状态的概率，$sum_iW_i=1$，为系统状态数，熵是无序程度的量度。
信息量I与熵S具有相同的统计意义。
设K为玻尔兹曼常数k，则信息量I可称信息熵，为
$H=-ksum_ip_ilnp_i$，信息给系统带来负熵。
如取K=1，对数底取2，熵的单位为比特(bit);取底为e，则称尼特。
信息熵是生命系统(作为非平衡系统)在形成有序结构耗散结
构时，所接受的负熵的一部分。
由查字典物理网独家提供信息熵(informationentropy)百
科物理，希望给大家提供帮助。
信息熵基本性质的研究
从某种意义上说 ,教育系统是一种包括人在内的复杂信息系统. 由于系统的变化性 、多样 性和模糊性 ,长期以来 ,教育研究和实践工作往往对教育系统及系统中的信息缺乏有效的分析 和处理 ,因而难以对教育系统进行有效的控制. 特别是在教育系统的评价体系中 ,相当多的研 究工作基本上停留在定性描述的水平 ,有失科学的严谨性. 信息科学理论中信息熵概念的引 入 ,为教育工作者提供了一种分析教育系统 、处理教育信息的有效方法 ,使得对教育教学信息 传递与接收的分析由定性分析阶段进入定量研究阶段.
可求得
Pi
=
1 n
(常数) . 同理有
P1
=
P2
=
…=
Pn
=
1 n
(常数)
, 即当
P1
=
P2
=
…=
Pn
=
1 n
时
,
H
有极大值.
2. 2 对称性
信息熵的对称性可表述为 :设某一概率系统中 n 个事件的概率分布为 ( P1 , P2 , …, Pn) , 当对事件位置的顺序进行任意置换后 ,得到新的概率分布为 ( P′1 , P′2 , …, P′n) ,并有以下关系 成立 :
个 ,在用信息熵分析教学系统时应特别注意这一性质.
对以上 概 率 系 统 予 以 扩 张 , 假 设 概 率 系 统 有 3 个 事 件 , 概 率 分 别 为 P1 、P2 、P3 , 且
P1 + P2 + P3 = 1 ,可以化为 P1 + ( P2 + P3) = 1. 不难证明上述结论仍然成立.
参考文献 :
[ 1 ] 薛理银. 教育信息处理原理 [ M ] . 北京 :北京师范大学出版社 ,1996. [ 2 ] 傅德荣 ,章慧敏. 教育信息处理 [ M ] . 北京 :北京师范大学出版社 ,2001. [ 3 ] 王孝玲. 教育统计学 [ M ] . 上海 :华东师范大学出版社 ,2001.
2.2熵函数的性质
2.2 熵函数的性质熵函数•H(P)是概率矢量P 的函数，称为熵函数。
•表示方法：–用H(x)表示随机变量x 的熵；–用H(P)或H(p 1, p 2 , …, p q )表示概率矢量为P = (p 1, p 2, …, p q )的q 个符号信源的熵。
–若当q =2 时，因为p 1+p 2 = 1, 所以将两个符号的熵函数写成H(p 1)或H(p 2)。
•熵函数H(P)是一种特殊函数，具有以下性质。
2、确定性：H(1,0)=H(1,0,0)=H(1,0,0…,0)=0•性质说明：这个信源是一个确知信源，其熵等于零。
3、非负性：H(P) ≥0•说明：–这种非负性合适于离散信源的熵，对连续信源来说这一性质并不存在。
以后可看到在相对熵的概念下，可能出现负值。
非负性体现信息是非负的。
4、扩展性•性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率很小(接近于零)，则信源的熵不变。
),...,,(),,...,,(lim 212110q q q q p p p H p p p H =−+→εεε),,,(log 211q q qi i i p p p H p p ⋅⋅⋅=−=∑=}log )log()(log {lim 110εεεεε∑−=→−−−−−=q i q q i i p p p p 所以，上式成立),,,,(lim 2110εεε−⋅⋅⋅+→q q p p p H 因为5、可加性()()(/)()()(/)(|)(|)(/)H X Y H X H Y X H X Y H Y H X Y H X Y Z H X Z H Y X Z =+=+=+统计独立信源X 和Y 的联合信源的熵等于信源X 和Y 各自的熵之和。
H(XY) = H(X)+ H(Y)可加性是熵函数的一个重要特性，正因具有可加性，才使熵函数的形式是唯一的。
222()log ()()log (/)log ()()(/)()(/):()()(/)(/)1i j i i j j i ijiji i j i j yp x y q x p x y p y x q x p x y H Y X H X H Y X p xy q x p y x p y x =−−⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦=+==∑∑∑∑∑∑∑利用可加性证明22()()log ()()log [()(/)]i j i j iji j i j i ijH XY p x y p x y p x y q x p y x =−=−∑∑∑∑同理=+H XY Z H X Z H Y XZ(|)(|)(/)复习链式法则()()()|H X Y HX HYX=+()()()()()()121213*********...//.../.../...n n n ni i i H X X X H X H X X H X X X H X X X X H X X X X −−==++++=∑复习熵函数的性质H(p 1,p 2,…, p n )对称性非负性极值性连续性扩展性可加性()()()()()()()()()1222122211111211122112221,,...,,...,,...,,,.,,...,,,..,,,...,||n nn n n n n n m nn i i x m i im i Xm q H q p q p q p H q q q q H p p p H XY H X H Y X p q q q p q p H X q x H q x p Y q p =∈=+=+=+∑∑定理：1. H(X/Y ) ≤H (X )2. H (XY ) ≤H (X )+H (Y )证明：222(/)((/)()log (/)()/)(/)()log ()log ()i j i j ijj ji j i j i j i j j i i p x y p x y p H X Y p x y p x y p y p y H p x X x y =−⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎡⎤≤−⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑∑∑()()/j H X y H X 与大小比较?\1211/81/825/81/8x y ()()/j H X y H X 与大小比较?定义概率矢量满足仅K-1个分量独立。
信息熵与热力学熵
信息熵与热力学熵信息熵与热力学熵December 2nd, 2011化学及热力学中所指的熵，是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数。
熵亦被用于计算一个系统中的失序现象，用来衡量一个系统混乱程度的度量。
热力学熵熵是什么呢？宏观上--体系的熵等于可逆过程吸收或耗散的热量除以它的绝对温度，也就是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数。
微观上--熵是大量微观粒子的位置和速度的分布概率的函数，是描述系统中大量微观粒子的无序性的宏观参数。
举例来讲果我们能看到橡皮筋的分子结构，我们会发现它的结构在拉紧和放松的状态时是不一样的。
放松的时候它的分子结构像一团乱麻交织在一起。
而在把橡皮筋拉长的时候，那些如同链状的分子就会沿着拉伸的方向比较整齐地排列起来。
于是我们可以看到两种状态：一种是自然，或者自发的状态。
在这种状态下结构呈混乱或无序状。
而另一种是在外界的拉力下规则地排列起来的状态。
这种无序的状态还可以从分子的扩散中观察到。
用一个密封的箱子，中间放一个隔板。
在隔板的左边空间注入烟。
我们把隔板去掉，左边的烟就会自然(自发)地向右边扩散，最后均匀地占满整个箱体。
这种状态称为无序。
在物理学里我们可以用熵的概念来描述某一种状态自发变化的方向。
比如把有规则排列的状态称为低熵而混乱的状态对应于高熵而熵则是无序性的定量量度。
热力学第二定律的结论是：一个孤立系统的熵永不减少。
换句话说，物质世界的状态总是自发地转变成无序；从低熵变到高熵。
比如，当外力去除之后，整齐排列的分子就会自然地向紊乱的状态转变；而箱子左边的烟一定会自发地向右边扩散。
这就是著名的熵增定律，熵增原理表示自然界会越来越无序。
信息熵那么信息熵是什么呢？一个 X 值域为x1,...,xn的随机变量的熵值 H 定义为：其中，E 代表了期望函数，而 I(X) 是 X 的信息量（又称为信息本体）。
I(X) 本身是个随机变量。
如果p 代表了X 的机率质量函数（probability mass function），则熵的公式可以表示为：信息熵可以认为是系统中所含有的平均信息量大小，也可以认为是描述一个系统需要的最小存储空间长度，即最少用多少个存储空间就可以描述这个系统。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
即H(X)>0。
因为随机变量X的所有取值的概率分布为0<P(x i )<1。
当取对数的底大于１时，logP(x i )<0 ,而-P(x i )logP(x i )>0 ,则得到的熵是正值，只有当随机变量是一确知量时，熵才等于零。这种非负性对于离散信源的熵来说，这一性质并不存在。
4、可加性
信息熵表征了信源整体的统计特征，是总体的平均不确定性的量度。对某一特定的信源，其信息熵只有一个，因统计特性不同，其熵也不同。例如，两个信源，其概率空间分别为：
经计算可知，H(Y)>H(X),说明信源Y比信源X的平均不确定性要大，即在事件发生之前，分析信源Y，由于事件y 1 ,y 2是等概率的，难以猜测哪一个事件会发生；而信源X，虽然也存在不确定性，但大致可以知道, x 1出现的可能性要大。正如两场足球赛，其中一场，双方势均力敌；而另一场双方实力悬殊很大。当然,人们希望看第一场，因为胜负难卜，一旦赛完，人们获得信息量大。
信息熵的性质（摘自互动维客：,更多内容请访问互动维客！）
一、信息熵
自信息I(xi)是指信源（物理系统）某一事件发生时所包含的信息量，物理系统内不同事件发生时，其信息量不同，所以自信息I(xi)是一个随机变量，它不能用来作为整个系统的信息的量度。
山农定义自信息的数学期望为信息熵，即信源的平均信息量:
5、极值性
信源各个状态为零概率分布时，熵值最大，并且等于信源输出状态数，因为当P(x1)=P(x2)=...= P(xN)=1/N时，
例如，信源有两种状态时，概率空间
其H(X)-P(x1)关系如下图所示,当P(x 1 )=1/2时，熵有最大值。以上分析表明，对于具有N个状态的离散信源，只有在
信源N个状态等概率出现的情况下，信息熵才能达到最大值。这也表明，等概率分布信源的平均不确定性最大，这是一个很重要的结论，称为最大离散熵定理。
上图还进一步说明，如果二进制信源输出是确定的，即P(x 1 )= 1，则H(X)=0，此时表明该信源不提供任何信息；反之，当信源输出为等概率发生时，信源的熵达到最大值，等于1bit信息量。
也可以这样理解，信息熵H(X)表征了变量X的随机性。如上例，变量Y取y 1和y 2是等概率的，所以其随机性大；而变量X取x 1比x 2的概率要大的多，这时变量X的随机性就小。因此，熵反映了变量的随机性，也是表征随机量统计特性的一个特征参数。
二、信息熵的基本性质
1、对称性
当概率空间中P(x 1 ), ) P(x 2 )…序任意互换时，熵函数的值不变，例如下面两个信源空间:
其信息熵H(X)=H(Y)。该性质说明，熵只与随机变量的总体结构有关，与信源总体的统计特性有关，同时也说明所定义的熵有其局限性，它不能描述事件本身的主观意义。
2、确定性
如果信源的输出只有一个状态是必然的,即P(x 1 )=1 , P(x2)=P(x3)=… =0 ,则信源的熵:
这个性质表明，信源的输出虽有不同形态，但其中一种是必然的，这意味着其他状态不可能出现。那么，这个信源是一个确知信源，其熵为零。
即统计独立信源X和Y的联合信源的熵等于它们各自的熵之和。
如果有两个随机变量X和Y，它们彼此是统计独立பைடு நூலகம்，即X的概率分布为［P(x 1 ),P(x 2 ),..., P(xN)］,而Y的分布概率为［P(y1), P(y2),... ,P(yM)］,则联合信源的熵
可加性是熵函数的一个重要特性，正因为有可加性，所以可以证明熵函数的形式是唯一的。