北师大版初三上数学相似三角形(一)
北师大版中学数学九年级上册 探索三角形相似的条件(第一课时 利用两角判定三角形相似) 课件PPT
知识讲解
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，
DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
A
解：∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
D
∴△ADE∽△ABC
B
(两角分别相等的两个三角形相似).
∴ AD DE .
AB BC
∴BC=14.
E C
知识讲解
知识拓展
解：
AB
AO，DB
AB A B
ACO
BCD
ΔAOC
∽
ΔBDC
AO AC AO 120 AO 100m. BD BC 50 60
16
课堂小结
定义：三角分别相等、三边成比例的两 个三角形叫做相似三角形
三角形相似的条 件（1）
定理：两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理1的运用
14
随堂训练
3.如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
证明： ∵ DE∥BC，EF∥AB.
A
∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC.
D
E
∴ △ADE∽△EFC.
B
C F
（两角分别相等的两个三角形相似．）
15
随堂训练
4.如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上 观察到一个明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A，B，D，使 得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C．测得AC=120m，CB=60m， BD=50m，你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
2.利用角的关系判定两个三角形相似
三角形全等的性质和判定方法有哪些？
定义
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形性质(课时1)说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自北师大版九年级数学上册第四章第四节“相似三角形性质（课时1）”。这一节内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义及判定方法的基础上展开的，是整个相似三角形章节的重要组成部分。相似三角形性质的学习，不仅有助于学生巩固已学知识，而且为后续学习其他几何图形的性质打下基础。
2.主要内容：相似三角形的性质、周长比与面积比的证明、实际应用案例。
3.风格：采用图文结合的方式，用不同颜色粉笔突出重点，使用箭头和框线连接相关知识点，使板书层次分明。
板书在教学过程中的作用是帮助学生构建知识结构，强化记忆。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我将：
1.在课前精心设计板书内容，确保逻辑清晰、重点突出。
2.对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。这一性质的理解和运用对学生来说有一定的难度，需要通过具体例题和练习进行巩固。
3.解决实际问题。将相似三角形的性质运用到实际问题中，培养学生的应用能力和解决问题的能力。
二、学情分析导
（一）学生特点
本节课面向的是九年级学生，这个年龄段的学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，具有一定的独立思考和探究能力。在认知水平上，他们已经具备了基本的几何知识和逻辑推理能力，能够理解并运用相似三角形的定义和判定方法。在学习兴趣方面，学生对新颖有趣、富有挑战性的问题更感兴趣。在学习习惯上，他们逐渐形成了自主学习、合作交流的习惯，但仍有部分学生依赖性强，需要教师引导和鼓励。
4.鼓励学生进行自我评价，反思学习过程中的优点和不足，提高自我认知。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.基础作业：布置一些相似三角形性质的练习题，巩固课堂所学知识。
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形性质(课时1)教学设计
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的几何基础，对三角形的性质、全等三角形等知识有了较为深入的了解。在此基础上，学习相似三角形的性质，对学生来说是几何知识的拓展和深化。然而，学生在解决实际问题时，可能还未能熟练运用相似三角形的性质，需要教师在教学过程中给予引导和指导。
5.演示与操作，增强直观感受：运用几何画板等教学工具，动态演示相似三角形的性质，增强学生的直观感受，帮助学生理解并掌握性质。
6.精讲精练，提高解题能力：精选典型例题，详细讲解解题思路和方法，引导学生掌握几何证明的步骤和技巧。同时，布置适量练习题，让学生在练习中巩固所学知识。
7.评价与反馈，促进教学相长：采用多元化评价方式，如口头提问、课堂练习、小组讨论等，及时了解学生的学习情况，给予针对性的指导。同时，鼓励学生积极反馈，促进教学相长。
（二）过程与方法
1.通过实际问题的引入，激发学生的兴趣，引导学生自主探究相似三角形的性质。
2.通过动手操作、观察、猜想、验证等环节，培养学生的观察能力、动手能力和创新能力。
3.通过小组讨论、合作交流，提高学生的问题解决能力和团队协作能力。
4.引导学生运用几何画板等教学工具，直观演示相似三角形的性质，增强学生对知识点的理解。
2.自主探究，合作交流：在教学过程中，教师引导学生通过观察、猜想、验证等方法，自主探究相似三角形的性质。同时，组织学生进行小组讨论，合作交流，共同解决问题。
3.分层次教学，关注个体差异：针对不同层次的学生，设计不同难度的练习题和思考题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
新北师大版数学九年级上册课件：探索三角形相似的条件(第1课时)
7．[2018· 株洲]如图349所示，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形 ABCD的边AB和AD，其中AM＝AN.
图349
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△ADN； 1 (2)线段MN与线段AD相交于点T，若AT＝ AD，求tan ∠ABM的值． 4 (1)证明：∵AM＝AN，AB＝AD，
3．如图345，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于 点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：
△CDF∽△ABP等
△ABP∽△AED或△BEF∽△CDF或△BEF∽△AED或△CDF∽△
．
图345
【解析】 ∵BP∥DE，∴∠ABP＝∠AED，又∠A＝∠A，∴△ABP∽△ AED；同理△BEF∽△CDF；△BEF∽△AED.利用相似三角形的传递性，还可 以得到△CDF∽△AED，△CDF∽△ABP等．
6．如图348，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C， AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．
图348
解：在△ABD和△ACB中， ∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ABD∽△ACB， AB AD ∴AC＝AB. ∵AB＝6，AD＝4， AB2 36 ∴AC＝ AD ＝ ＝9， 4 则CD＝AC－AD＝9－4＝5.
第四章 图形的相似
总第34课时——4 探索三角形相似的条件 (第1课时)
知识管 理 归类探 究 随堂练 习 分层作 业
1．相似三角形的概念
知识管 理
相似三角形：三角分别 相等 ，三边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形． 表示方法：△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF. 注 意：(1)全等三角形是特殊的相似三角形，它的特殊性体现在相似比为 1. (2)相似三角形的定义，既可以作为相似三角形的判定，又可以作为相似三角形 的性质，其性质为：两个三角形相似，对应角相等、对应边成比例．
北师大版九年级数学上册《探索三角形相似的条件》图形的相似(第1课时)
科 目：数学 适用版本：北师大版 适用范围：【教师教学】
第四章 图形的相似
探索三角形相似的条件
第1课时
第一页，共十三页。 相似三角形的判定定理1
逐点
导讲练
课堂小 结
作业提 升
第二页，共十三页。
AD
5
第十页，共十三页。
（来自教材）
知2－讲
知2－练
1 如图所示的三个三角形中，相似的是( )
A．(1)和(2)
B．(2)和(3)
C．(1)和(3)
D．(1)和(2)和(3)
第十一页，共十三页。
（来自《典中点》）
2 (海南)如图，点P是 ABCD边AB上一点，射线
CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形
第四页，共十三页。
2.要点精析： (1)判定两个三角形相似的必备条件：三角分别相等，
三边成比例；
(2)两个三角形相似又为解题提供了条件； (3)相似三角形具有传递性，即若
△ABC∽△A′B′C′，
△A′B′C′∽△A″B″C″，则
△ABC∽△A″B″C″； (4)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个
全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形．
知1－讲
第五页，共十三页。
（来自《点拨》）
知1－讲
3．易错警示：
(1)表示两个三角形相似时，要注意对应性，即要把
对应顶点写在对应位置上．
(2)求两个相似三角形的相似比，要注AB意顺序BC性．若AC k, AB BC AC 当△ABC∽△A′B′C′时，
复习提问：相似多边形的定义是什么？
第三页，共十三页。
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质课件1 (共22张PPT)
课堂练习(2)
6、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48 ，求：△ADE的面积。
解：∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB ∴ △A DE ∽△ABC ∴ BD=3AD ∴ 相似比k=AD:AB=1:2
∴ S△ADE =1/4 S△ABC =12
如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为
原来的__1_0_0__0_0______倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的______1_0________倍。
4、△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
〔1〕假设△ABC的周长为24cm，那么△A′B′C′的周
长为 18 cm；
边：对应边成比例
角：对应角相等 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值=
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。
A′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得
△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD
4.7相似三角形的性质
识别
特征 对应边上的高
课后小结
对应边上的中线
对应角的角平分线
周长 面积
课堂练习(1) (2)
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证三组对应 边成比例
证二组对 应角相等
证二组对应 边成比例， 且夹角相等
BACK
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延
长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
〔2〕与〔1〕的相似比＝____2__:1__________，
北师大版九年级数学上册.1相似三角形性质一课件
∴△AM1B∽△DN1E(两边对应成比例 且夹角相等的两个三角形类似).
E
F
N1
结论：类似三角形对应中线的比等于类似比
类似三角形的性质
相 对应高的比
似
三 对应中线的比
都等于类似比.
角 形
对应角平分线的比
定理 类似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对 应中线的比都等于类似比.
议一议
如图 3-31，已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 k.
6.【例4】如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝ 120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成正方形零件，使正 方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个 正方形零件的边长是多少？
解：设正方形的边长为 x mm， 则 AI＝AD－x＝(80－x)mm. ∵四边形 EFHG 是正方形，∴EF∥GH. ∴△AEF∽△ABC. ∴EBFC＝AADI ，即12x0＝808－0 x. 解得 x＝48. ∴这个正方形零件的边长是 48 mm.
★10.有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝ 80 mm.要把它加工成矩形零件，且此矩形是由两个并排放置 的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两条边长又 分别为多少？
解：设矩形的边长 PN＝2y mm，则 PQ＝y mm，
由条件可得△APN∽△ABC，
∴PN＝AE，即 2y ＝80－y，解得 BC AD 120 80
为K，AM、DN分别为三角形的角平分线，它们的对
应角平分线的比是多少？
A
如图，∵△ABC∽△DEF，
∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF.
数学北师大版九年级上册相似三角形性质(一)课时作业
《相似三角形的性质（1）》课时作业1．[2016·兰州] 已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△DEF 对应角平分线的比为( )A .34B .43C .916D .1692．如图4－7－1，△ABC ∽△A′B′C′，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD ＝4，A ′D ′＝3，BE ＝6，则B′E′的长为( )图4－7－1A .32B .52C .72D .923．已知△ABC ∽△A′B′C′，AD 和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD ＝8 cm ，A ′D ′＝3 cm ，则△ABC 与△A′B′C′的对应高的比为________．4．已知△ABC ∽△A′B′C′，BD 和B′D′是它们的对应中线，已知AC A′C′＝32，B ′D ′＝4，则BD 的长是________．5．如图4－7－2所示，某校宣传栏后面2 m 处种了一排树，每隔2 m 一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m 处，正好看到这排树两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为________m ．(不计宣传栏的厚度)图4－7－26．已知△ABC ∽△A′B′C′且相似比为13，△A ′B ′C ′∽△A ″B ″C ″且相似比为43，则△ABC 与△A″B″C″的相似比为( )A .14B .94C .49D .94或497．[2016·安顺] 如图4－7－3，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上，若AD ⊥BC ，BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23EH ，则EH 的长为________．图4－7－38．如图4－7－4是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm ，焦距是60 mm ，求所拍摄的2 m 外景物的宽CD.图4－7－49．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图4－7－5所示．其中BA ＝CD ，BC ＝20 cm ，BC ，EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40 cm ，8 cm ，为使板凳两腿底端A ，D 之间的距离为50 cm ，那么横梁EF 应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)图4－7－510．如图4－7－6，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM AD ＝HG BC； (2)求矩形EFGH 的周长．图4－7－611．如图4－7－7所示，有一侦察员在距敌方200 m 的地方A 处发现敌人的一座建筑物DE ，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好能将建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm ，食指的长约为8 cm ，你能根据上述条件计算出敌方建筑物DE 的高度吗？请写出你的推理过程．图4－7－712．一块直角三角板的一条直角边AB的长为1.5 m，面积为1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法如图4－7－8(1)(2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)图4－7－8。
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相似三角形
【知识要点】
1
．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
2．相似三角形的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
3．相似三角形具有下述性质：
①相似三角形对应角相等、对应边成比例；
②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
③相似三角形周长的比等于相似比；
④相似三角形面积的比等于相似比的平方。
4．熟悉如图中形如“A”型，“X”型，“子母型”等相似三角形。
【典型例题】
例1．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，BM∥CD交CA的延长线于M，求证：OC2 =OA·OM
B
G
D
例2 . 如图，三个正方形组成一个矩形，AB=AG=GH=HD=a ，求证：∠AFB+∠ACB=45°。
例3 . 已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，E 是CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，
AB FG ⊥，垂足是G ，求证：FB FC FG ∙=2
A
B
C
D
E G H
例4．如图，已知△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB 。
（1）求证：△ADE ∽△EFC 。
（2）如果△ADE 和△EFC 的面积分别是20和45，求四边形BFED 的面积。
例5. 如图所示，△ABC 中AB=AC ，D 为CB 的延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，满足AB 2=DB ·CE 。
（1）求证：△ADB ∽△EAC ； （2）若∠BAC=40°，求∠EAD 的大小
例6.已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F
求证：△AEF ∽△ACB
A
D
B
C
E
例7．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD .（1）求证：OE=OF ； （2）求证：EF
BC AD 2
11=+。
课堂练习
1.已知：如图5—32，正方形DE －FG 内接于△ABC ，AM ⊥BC 于M 交DG 于N ，BC=18，AM=1
2.求正方形边长.
A D E F
B
O
2．如图所示，ABC ∆中，︒=∠90BAC ，AB=AC=2，点D 在BC 上，︒=∠45ADE ，DE 交AC 于E ，求证：ABD ∆∽DCE ∆。
3.已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，F 为AB 上一点，CF 交AD 于
E
4．如图13，设P 是等边△ABC 的BC 边上任一点，连结AP ，作AP 的中垂线交AB 、AC 于M 、N 。
求
证：BP ·PC=BM ·CN 。
C
图
13
5．如图，已知△ABC∽△ADE。
求证：△ABD∽△ACE。
A
E
D
B
6．已知：如图5－22，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F．求证：FD2=FB·FC
课后作业1．如图，已知AB=AD，AC=AE，FG∥DE，求证：△ABC∽△AFG。
2．如图，∠1=∠2，BC与DE交于点O，求证：△ABC∽△ADE。
C
B
A
E
D
F
G
A B
O
D
C
1
2
3．如图，AO ⊥OD ，点B 、C 在OD 上，且OA=OB=BC=CD ，求证：△ABC ∽△DBA 。
5．如图所示，D 、E 是等边△ABC 的边BC ，AC 上的点，BD=CE ，AD 与BE 相交于G ，AF ⊥BE 于F ，求证：（1）BD 2=DG ·AD ；（2）AG=2GF 。
A
O B D
A
B
C
D
E
F
G。