最新北师大版九年级数学上册知识点总结
北师大版《数学》(九年级上册)知识点总结
北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结第一章 证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。
（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。
（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。
（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。
二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形.三、等边三角形性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）三线合一判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形（3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、直角三角形（一）、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 其它性质：1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。
北师大版九年级数学上册知识点总结
（1）1.菱形的性质与判定菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质: ①菱形的四条边相等。
②菱形的对角线互相垂直。
③菱形具有平行四边形的一切性质。
（3）菱形的判定: ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
③四条边都相等的四边形是菱形。
2、矩形的性质与判定矩形的定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质: ①矩形的四个角都是直角。
②矩形的对角线相等。
③矩形具有平行四边形的一切性质。
矩形的判定: ①有一个角是直角的平行四边形是矩形。
②对角线相等的平行四边形是矩形。
③有三个角是直角的四边形是矩形。
3、正方形的性质与判定正方形的定义: ①有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形的性质: ①正方形的四个角都是直角, 四条边相等。
正方形的判定: ①有一组邻边相等, 并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
②对角线相等的菱形是正方形。
③对角线垂直的矩形是正方形。
④有一个叫是直角的菱形是正方形。
第二章一元二次方程1.认识一元二次方程（1）整式方程及一元二次方程的概念整式方程: 方程两边都是关于未知数的整式；一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程, 并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式。
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式: ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0), 其中, a是二次项系数, b是一次项系数, c是常数项。
（3）一元二次方程解的估算：当某一x的取值使得这个方程中的ax2+bx+c的值无限接近于0时, x的值即可看做一元二次方程ax2+bx+c=0的近似解2.配方法将一元二次方程转化为(x+m)2=n的形式, 它的一边是一个完全平方式, 另一边是一个常数。
当n≥0时, 两边同时开平方, 转化为一元一次方程, 便可以求出它的根。
（1）直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
北师大版数学九年级上册知识点总结
九年级上册数学知识点总结第一章 证明（二）一、全等三角形的判定：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL二、等腰三角形1、等腰三角形“三线合一”顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高2、等腰三角形：等边对等角，等角对等边。
三、等边三角形（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）“三线合一” 四、直角三角形1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、常用关系式：由三角形面积公式可得：两直角边的积=斜边与斜边上的高的积五、角的平分线及其性质与判定1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（如图1所示，AO=BO=CO ）3、角的平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
六、线段垂直平分线的性质与判定1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
3、定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(如图2所示，OD=OE=OF)线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
A CB O 图1 图2 O A CBD E F第二章 一元二次方程一、一元二次方程1. 一元二次方程定义只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程必须同时满足以下三点； (1)方程是整式方程． (2)它只含有一个未知数．(3)未知数的最高次数是2，即化简为ax 2+bx+c=0时，a ≠0． 2. 一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
北师大版九年级数学知识点汇总(总16页)
北师大版九年级数学知识点汇总(总16页)第一章整式与代数式一、定义1、定义1：整式整式是由常数和未知数的乘积以及未知数的幂次构成的一个或多个项的表达式。
2、定义2：代数式代数式是数学中由常数、未知数、及他们的运算符号组成的符号表达式的总称。
二、运算1、加减运算在加减运算中，同类项要求具有相同的底数和指数，再将它们的系数相加减，整式中一些未知数有相同指数，可以合并为一项。
2、乘除运算乘除运算中，同一式子中的若干未知数及其指数要求相同，否则将它们拆开，系数则相乘、相除，未知数则相乘、相除。
三、同类因式1、定义：同类因式是指有相同底数和指数的项。
2、形式当底数相同，有两种形式出现：（1）乘积形式，如：（a+b）2；（2）对比形式，如a2：b2；当指数相同，有三种形式出现：（1）口诀形式，如：a2b2；（2）引号形式，如：(a+b)2；（3）下标形式，如：a2/b2。
第二章平方差一、定义1、定义1：平方平方是数学中指一个数的平方，也可以表示为n²。
2、定义2：差差是指在数学中表示两个或多个数之间的差，也可以表示为a-b。
二、运算1、解平方差要解方程：x²-a=b，须将a和b分别平方，变为x²-a²=b²，再根据等式左右两边分别加或减a²，变为：x²±2a x±a²=b²，再用平方根法求出x的值。
2、完全平方差要解方程：ax²+2bx+c=0，首先设：x²+2px+q=0，其中p=b/a，q=c/a，再将上式化为完全平方差的形式：（x+p）²=q-p²，最后解出 x=–p±√q–p² 。
三、巧解平方差当a、b、c的数值比较简单且不能完全平方差时，则可用巧解方法。
只要将a、b、c 做互质处理，即将a与b、c求公约数，将a、b、c分解为两个数的乘积，如果形式中乘积可以分解完全平方式，则可用巧解方法解方程。
北师大九年级数学上册
北师大九年级数学上册一、章节知识点总结。
1. 特殊平行四边形。
- 矩形。
- 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
- 性质：- 四个角都是直角。
- 对角线相等。
- 既是轴对称图形（对称轴有两条，对边中点连线所在直线）又是中心对称图形（对称中心是对角线交点）。
- 判定：- 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
- 对角线相等的平行四边形是矩形。
- 有三个角是直角的四边形是矩形。
- 菱形。
- 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
- 性质：- 四条边都相等。
- 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
- 是轴对称图形（对称轴是两条对角线所在直线），也是中心对称图形。
- 判定：- 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
- 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
- 四条边都相等的四边形是菱形。
- 正方形。
- 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
- 性质：- 四条边都相等，四个角都是直角。
- 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
- 既是轴对称图形（有四条对称轴，两条对角线所在直线和两组对边中点连线所在直线）又是中心对称图形。
- 判定：- 有一组邻边相等的矩形是正方形。
- 有一个角是直角的菱形是正方形。
2. 一元二次方程。
- 定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为ax^2+bx + c=0(a≠0)。
- 解法：- 直接开平方法：对于形如x^2=k(k≥slant0)的方程，x=±√(k)。
- 配方法：将方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)通过配方转化为(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}的形式，然后求解。
- 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其解为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}(b^2-4ac≥slant0)。
初三上册数学知识点归纳北师大版
初三上册数学知识点归纳北师大版
一、数的基本概念
1. 数的定义：数是用来表示物体数量的符号。
2. 计数单位：计数单位有个、十、百、千、万等。
3. 数的种类：自然数、真分数、假分数、分数、整数、有理数、无理数等。
二、数论
1. 因数分解：把一个数拆分成几个乘积，这几个乘积就是这个数的因数。
2. 最大公约数：两个或多个数的公约数中最大的一个数叫做这几个数的最大公约数。
3. 最小公倍数：两个或多个数的公倍数中最小的一个数叫做这几个数的最小公倍数。
4. 约分：把一个分数的分子和分母都除以它们的最大公约数，使分子分母不再有公约数，这称为约分。
三、代数
1. 平方根：一个数的平方根是指这个数的平方等于这个数的数。
2. 平方差：平方差是指两个数的平方之差。
3. 平方和：平方和是指两个数的平方之和。
4. 立方根：一个数的立方根是指这个数的立方等于这个数的数。
四、几何
1. 平面几何：平面几何是指在平面上的几何图形、角、弧、圆等的计算。
2. 空间几何：空间几何是指在三维空间上的几何图形、体积、表面积等的计算。
3. 直角三角形：直角三角形是指三角形中有一个内角为90°的
三角形。
4. 等腰三角形：等腰三角形是指三角形中两条边长相等的三角形。
北师大版九年级数学上册 知识点归纳
九年级数学上册知识点归纳第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2.矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1.认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=bxax（a、+c+b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02=bxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一+c+般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
北师大版九年级数学上册 知识点归纳
九年级数学上册知识点归纳第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2.矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1.认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=bxax（a、+c+b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02=bxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一+c+般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
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最新北师大版九年级数学上册知识点总结
第一章证明（一）
1、你能证明它吗？
（1）三角形全等的性质及判定
全等三角形的对应边相等，对应角也相等
判定：SSS、SAS、ASA、AAS、
（2）等腰三角形的判定、性质及推论
性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理
性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.
判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.或者三个角都相等的三角形是等边三角形.
（4）含30度的直角三角形的边的性质
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2、直角三角形
（1）勾股定理及其逆定理
定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理.
（3）直角三角形全等的判定定理
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）
3、线段的垂直平分线
（1）线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
（2）三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.
4、角平分线
（1）角平分线的性质及判定定理
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
（2）三角形三条角平分线的性质定理
性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
（3）如何用尺规作图法作出角平分线
第二章 一元二次方程
1、花边有多宽
（1）整式方程及一元二次方程的概念
整式方程：方程两边都是关于未知数的整式；
一元二次方程：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化作ax 2+bx+c=0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)的形式.
（2）一元二次方程的一般式及各系数含义
一般式：ax 2+bx+c=0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)，其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项.
2、配方法
（1）直接开平方法的定义
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法.
（2）配方法的步骤和方法
一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m ）2=n(n ≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解.
3、公式法
（1）求根公式
b 2
-4ac ≥0时，x=a ac b b 242-±- (2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义
一、将方程化为一元二次方程的一般ax 2+bx+c=0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；二、计算b 2-4ac
的值，当b 2-4ac ≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根.
4、分解因式法
（1）分解因式的概念
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据a ·b=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式.
（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤
一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解.
5、为什么是0.618
（1）什么叫黄金比
线段AB 上一点C 分线段AB 成两条线段AC ，BC ，若
AB AC =AC BC ，则C 点叫线段AB 的黄金分割点，其中AB
AC 叫黄金比，其值为0.618. （2）列一元二次方程解应用题的一般步骤
一、审题；二、设求知数；三、列代数式；四、列方程；五、解方程；六、检验；七、答
第三章 证明（三）
1、平行四边行
（1）平行四边形的定义、性质及判定
定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
性质：平行四边形的对边分别平行；平行四边形的对边分别相等；平行四边形的对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分.
判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边行. （2）等腰梯形的性质及判定
性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等.
判定：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形.
（3）三角形中位线定义及性质
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
2、特殊平行四边形
（1）矩形、菱形、正方形、直角三角形的性质及判定
第四章视图与投影
1、视图
（1）三视图的种类及三种视图之间的关系
三视图有主视图、左视图和俯视图；
三种视图间的关系：主、俯长对正；主、左高平齐；俯、左宽相等；
（2）会画圆柱、圆锥、球的三视图
2、太阳光与影子
（1）投影与平行投影的含义、平行投影的性质
一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做投影；由平行光线形成的投影是平行投影.
平行投影的性质：物体上的点以及影子上的对应点的连线互相平行；当物体与投影面平行时，所形成的影子与物体全等；同一时刻，在平行光线下，互相平行的物体的高度与影子长度的比值相等.
（2）物体影长的变化规律，会将影长与相似结合起来进行计算
在太阳光的照射下，不同时刻，物体影子的长短也不一样，早晚影子长，中午影子短.
（3）平行投影与视图之间的关系
视图实际上就是该物体在某一平行光线下的投影.
3、灯光与影子
（1）中心投影的概念及应用，区别平行投影与中心投影
从一点发出的光线形成的投影称为中心投影.
（2）视点、视线与盲区的概念
眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区.
第五章 反比例函数
1、反比例函数
（1）反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y=
x
k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数.反比例函数的自变量x 不能为0.
（2）掌握求反比例函数的解析式的方法
将一组x ，y 的值代入解析式中确定k 的值即可.
2、反比例函数的图象与性质
（1）反比例函数图象的画法
一般采用描点法：先列表，再描点，再连线.
（2）反比例函数的图象及性质，其表达式与图象的关系，函数值大小的比较（表5-1）
3、反比例函数的应用
（1）用反比例函数解决实际问题的一般思路
1、根据问题情境，设出所求的反比例函数表达式；
2、由问题中的已知数据，代入所求表达式，列出方程（或方程组），求出方程的解，确定出待定系数的值，从而确定函数表达式；
3、根据函数表达式，去解决实际问题.
（2）反比例函数与正比例函数的区别及综合应用（表5-1）
表5-1。